Определение 8.4.Диференциално уравнение на формата

където
се нарича уравнение в общи диференциали.

Обърнете внимание, че лявата страна на такова уравнение е общият диференциал на някаква функция
.

В общия случай уравнение (8.4) може да бъде представено като

Вместо уравнение (8.5) може да се разгледа уравнението

,

чието решение е общият интеграл на уравнение (8.4). По този начин, за да се реши уравнение (8.4), е необходимо да се намери функцията
. В съответствие с дефиницията на уравнение (8.4) имаме

(8.6)

функция
ще търсим като функция, която удовлетворява едно от тези условия (8.6):

където е произволна функция, независима от .

функция
се дефинира така, че да е изпълнено второто условие на израз (8.6).

(8.7)

От израз (8.7) се определя функцията
. Замествайки го в израза за
и вземете общия интеграл на първоначалното уравнение.

Задача 8.3.Интегриране на уравнение

Тук
.

Следователно това уравнение принадлежи към типа диференциални уравнения в общите диференциали. функция
ще търсим във формата

.

От друга страна,

.

В някои случаи състоянието
може да не се изпълнява.

След това такива уравнения се свеждат до разглеждания тип чрез умножаване по така наречения интегриращ фактор, който в общ случай, е само функция или .

Ако някое уравнение има интегриращ фактор, който зависи само от , тогава се определя по формулата

къде е съотношението трябва да бъде само функция .

По същия начин, интегриращ фактор, зависим само от , се определя по формулата

къде е съотношението
трябва да бъде само функция .

Липсата в горните съотношения, в първия случай, на променливата , а във втория - променлива , са знак за съществуването на интегриращ фактор за дадено уравнение.

Задача 8.4.Преведете това уравнение до уравнение в общите диференциали.

.

Помислете за връзката:

.

Тема 8.2. Линейни диференциални уравнения

Определение 8.5. Диференциално уравнение
се нарича линейна, ако е линейна по отношение на желаната функция , негова производна и не съдържа произведението на търсената функция и нейната производна.

Общата форма на линейно диференциално уравнение е представена от следната връзка:

(8.8)

Ако във връзка (8.8) дясната страна
, тогава такова уравнение се нарича линейно хомогенно. В случай, когато дясна част
, тогава такова уравнение се нарича линейно нехомогенно.

Нека покажем, че уравнение (8.8) е интегрируемо в квадратури.

На първия етап разглеждаме линейно хомогенно уравнение.

Такова уравнение е уравнение с разделими променливи. Наистина ли,

;

/

Последната връзка определя общо решениелинейно хомогенно уравнение.

За намиране на общо решение на линейно нехомогенно уравнение се използва методът на вариация на производната на константа. Идеята на метода е, че общото решение на линейно нехомогенно уравнение в същата форма като решението на съответното хомогенно уравнение, но произволна константа заменен с някаква функция
да се определи. Така че имаме:

(8.9)

Замествайки във връзка (8.8) изразите, съответстващи на
и
, получаваме

Замествайки последния израз във връзка (8.9), се получава общият интеграл на линейно нехомогенно уравнение.

Така общото решение на линейно нехомогенно уравнение се определя от две квадратури: общото решение на линейно хомогенно уравнение и частно решение на линейно нехомогенно уравнение.

Задача 8.5.Интегриране на уравнение

По този начин изходното уравнение принадлежи към типа линейни нехомогенни диференциални уравнения.

На първия етап намираме общото решение на линейното хомогенно уравнение.

;

На втория етап определяме общото решение на линейното нехомогенно уравнение, което се търси във формата

,

където
е функцията, която трябва да бъде дефинирана.

Така че имаме:

Заместване на съотношенията за и в първоначалното линейно нехомогенно уравнение получаваме:

;

;

.

Общото решение на линейно нехомогенно уравнение ще изглежда така:

.

Диференциално уравнение от първи ред в общите диференциали е уравнение от вида:
(1) ,
където лявата страна на уравнението е общият диференциал на някаква функция U (x, y)върху променливи x, y:
.
При което .

Ако такава функция U (x, y), тогава уравнението приема формата:
dU (x, y) = 0.
Неговият общ интеграл:
U (x, y) = C,
където C е константа.

Ако диференциалното уравнение от първи ред е написано по отношение на производната:
,
след това е лесно да го приведете във формата (1) . За да направите това, умножете уравнението по dx. Тогава . В резултат на това получаваме уравнение, изразено чрез диференциали:
(1) .

Свойство на диференциалното уравнение в общите диференциали

За да уравнението (1) е уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно да е изпълнено следното отношение:
(2) .

Доказателство

Освен това приемаме, че всички функции, използвани в доказателството, са дефинирани и имат съответните производни в някакъв диапазон от x и y. точка х 0, y0също принадлежи към тази област.

Нека докажем необходимостта от условие (2).
Нека лявата страна на уравнението (1) е диференциалът на някаква функция U (x, y):
.
Тогава
;
.
Тъй като втората производна не зависи от реда на диференциране, тогава
;
.
Оттук следва, че. Условие на необходимост (2) доказано.

Нека докажем достатъчността на условие (2).
Нека условието (2) :
(2) .
Нека покажем, че е възможно да се намери такава функция U (x, y)че неговият диференциал е:
.
Това означава, че има такава функция U (x, y), което удовлетворява уравненията:
(3) ;
(4) .
Нека намерим такава функция. Интегрираме уравнението (3) от x от x 0 към x, като приемем, че y е константа:
;
;
(5) .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа и приложете (2) :

.
Уравнението (4) ще бъде изпълнено, ако
.
Интегриране върху y от y 0 играчка :
;
;
.
Заместник в (5) :
(6) .
Така че намерихме функция, чийто диференциал е
.
Достатъчността е доказана.

Във формулата (6) , У (x0, y0)е константа - стойността на функцията U (x, y)в точка х 0, y0. Може да му се присвои произволна стойност.

Как да разпознаем диференциално уравнение в общите диференциали

Разгледайте диференциалното уравнение:
(1) .
За да определите дали това уравнение е в пълни диференциали, трябва да проверите условието (2) :
(2) .
Ако е валидно, тогава това е уравнение в общите диференциали. Ако не, тогава това не е уравнение в общите диференциали.

Пример

Проверете дали уравнението е в общи диференциали:
.

Решение

Тук
, .
Диференцирайте по отношение на y, като приемете, че x е константа:


.
Разграничаване


.
Тъй като:
,
тогава даденото уравнение е в общи диференциали.

Методи за решаване на диференциални уравнения в тотални диференциали

Метод на последователна диференциална екстракция

Повечето прост методрешаването на уравнението в общи диференциали е методът на последователно извличане на диференциала. За да направим това, използваме формули за диференциране, написани в диференциална форма:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
В тези формули u и v са произволни изрази, съставени от произволна комбинация от променливи.

Пример 1

Решете уравнението:
.

Решение

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека го трансформираме:
(P1) .
Решаваме уравнението, като последователно маркираме диференциала.
;
;
;
;

.
Заместник в (P1):
;
.

Отговор

Метод на последователно интегриране

В този метод търсим функцията U (x, y), удовлетворяващи уравненията:
(3) ;
(4) .

Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
.
Тук φ (y)е произволна функция на y, която трябва да бъде дефинирана. Това е константа на интеграцията. Заместваме в уравнението (4) :
.
Оттук:
.
Интегрирайки, намираме φ (y)и по този начин U (x, y).

Пример 2

Решете уравнението в общи диференциали:
.

Решение

По-рано открихме, че това уравнение е в общи диференциали. Нека въведем обозначението:
, .
Търся функция U (x, y), чийто диференциал е лявата страна на уравнението:
.
Тогава:
(3) ;
(4) .
Интегрираме уравнението (3) в x, ако приемем, че y е константа:
(P2)
.
Разграничете по отношение на y:

.
Заместник в (4) :
;
.
Ние интегрираме:
.
Заместник в (P2):

.
Общ интеграл на уравнението:
U (x, y) = const.
Комбинираме две константи в една.

Отговор

Метод на интегриране по крива

Функцията U, дефинирана от отношението:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
може да се намери чрез интегриране на това уравнение по кривата, свързваща точките (x0, y0)и (x, y):
(7) .
Тъй като
(8) ,
тогава интегралът зависи само от координатите на началната (x0, y0)и окончателно (x, y)точки и не зависи от формата на кривата. от (7) и (8) намираме:
(9) .
Тук x 0 и y 0 - постоянен. Следователно U (x0, y0)също е постоянен.

Пример за такова определение на U беше получен в доказателството:
(6) .
Тук интегрирането се извършва първо по сегмент, успореден на оста y от точката (x 0, y 0)към основния въпрос (x0, y). След това интегрирането се извършва по отсечка, успоредна на оста x от точката (x0, y)към основния въпрос (x, y) .

В по-общ случай трябва да се представи уравнението на кривата, свързваща точките (x 0, y 0)и (x, y)в параметрична форма:
х 1 = s(t1); г 1 = r(t1);
х 0 = s(t0); г 0 = r(t0);
x = s (T); y=r (T);
и интегрира върху t 1 от т 0 към t.

Най-простото интегриране е върху отсечката, свързваща точките (x 0, y 0)и (x, y). В такъв случай:
х 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; г 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
T 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
След заместването получаваме интеграла върху t от 0 преди 1 .
Този метод обаче води до доста тромави изчисления.

Препратки:
В.В. Степанов, Курс диференциални уравнения, ЛКИ, 2015г.

Студентите често търсят информация „Как да намерим решение на уравнение в общите диференциали?“.От този урок ще получите пълни инструкцииплюс готови решения. Първо кратко въведение - какво е общо диференциално уравнение? Как да намерим решение на уравнението за общ диференциал?
Допълнителен анализ готови примери, след което може да нямате въпроси по тази тема.

Уравнение в общите диференциали

Определение 1. Уравнение от вида M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 се нарича уравнение в общи диференциали, ако зависимостта преди знака за равенство е общият диференциал на някаква функция на две променливи u(x,y) , тоест справедливата формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (един)
По този начин първоначалното уравнение по отношение на съдържанието означава, че общият диференциал на функцията е равен на нула
du(x,y)=0.
Интегрирайки диференциала, който получаваме общ интеграл DU във формата
u(x,y)=C. (2)
При изчисленията, като правило, константата се задава равна на нула.
Винаги има въпрос преди изчисленията „Как да проверя дали дадено DE е уравнение в общите диференциали?“
На този въпрос отговаря следното условие.

Необходимо и достатъчно условие за тотален диференциал

Необходимо и достатъчно условие за пълен диференциал еравенство помежду си на частни производни
(3)
При решаването на диференциални уравнения се проверява първо, за да се установи дали имаме уравнение в тотални диференциали или е възможно друго.
По съдържание това условие означава, че смесените производни на функцията са равни една на друга.
Във формули, като се вземат предвид зависимостите
(4)
необходимо и достатъчно условиеналичието на тотален диференциалможем да пишем във формата

Даденият критерий се използва при проверка на уравнението за съответствие с общия диференциал, въпреки че при изучаването на тази тема учителите няма да ви задават различен тип уравнение.

Алгоритъм за решаване на уравнение в тотални диференциали

От нотацията (4) на частните производни на общия диференциал на функцията следва, че можем да намерим u(x,y) чрез интегриране

Тези формули дават избор при изчисленията, следователно за интегриране се избира частната производна, чийто интеграл е по-лесен за намиране на практика.
По-нататък вторият важен момент е, че неопределеният интеграл е антипроизводнат.е. "+ C" трябва да бъде дефинирано.
Следователно, ако интегрираме частната производна M (x, y) по отношение на "x", тогава стоманата зависи от y и обратно - ако интегрираме N (x, y) по отношение на y, тогава стоманата зависи от "х".
Освен това, за да се определи константата, производната на u(x, y) се взема по отношение на променлива, различна от тази, върху която е извършено интегрирането, и се приравнява към втората частна производна.
Във формулите ще изглежда така

Като правило някои термини се опростяват и се получава уравнение за производната на константа. За първото от уравненията получаваме

И накрая, общият интеграл след определяне на константата има формата

В симетрична форма получаваме отговора на друго уравнение.
Записването е само привидно сложно, всъщност на практика всичко изглежда много по-просто и ясно. Анализирайте следните проблеми за общи диференциали.

Готови отговори на уравнението в общи диференциали

Пример 1

Решение: Лявата страна на уравнението е пълен диференциалнякаква функция, тъй като условието

Оттук напишете частната производна на функция на две променливиот "х"

и чрез интегриране намираме неговата форма

Да се ​​дефинира константа намерете частната производна на функция по отношение на"y" и приравнете със стойността в уравнението

Съкращаваме подобни членове от дясната и лявата страна, след което намираме константата чрез интегриране

Сега имаме всички количества за записване общо решение на диференциално уравнениекато

Как можете да се уверите схема за решаване на уравнения в тотални диференциалиНе е трудно и всеки може да го научи. Важностимат фактори при диференциалите, тъй като те трябва да бъдат интегрирани и диференцирани, за да се намери решение.

Пример 2. (6.18) Намерете интеграла на диференциално уравнение

Решение: Според теорията лявата страна на уравнението трябва да бъде общият диференциал на някаква функция на две променливи u(x,y), докато се проверява дали условието е изпълнено

От тук вземаме частната производна и чрез интеграла намираме функцията

Изчисляваме частната производна на функция на две променливи по отношение на y и се приравнява към дясната страна на диференциалното уравнение.

Производната се изразява като зависимост

Като вземем предвид константата, получихме във формата

Това завършва изчисленията за този пример.

Пример 3 (6.20)Решете диференциално уравнение

Решение: Лявата страна на уравнението ще бъде общият диференциал на някаква функция на две променливи u(x; y), ако условието

От тук започваме да решаваме уравнения или по-скоро интегрирането на една от частните производни

След това намираме производната на получената функция по отношение на променливата y и я приравняваме към дясната страна на диференциалната зависимост

Това ви позволява да намерите константата като функция на y. Ако започнем да разкриваме диференциалната зависимост от дясната страна, получаваме, че константата зависи от х. докато не се променя за дадено уравнениеима формата

Този пример е решен. Общо решение на диференциално уравнениеможем да напишем формулата

За да консолидирате темата, моля, проверете самостоятелно дали тези уравнения са уравнения в общи диференциали и ги решете:
Тук имате коренни функции, тригонометрични, експоненти, логаритми, с една дума - всичко, което може да се очаква от вас в модули и изпити.
След това ще ви стане много по-лесно да решавате този тип уравнения.
От следващата статия ще се запознаете с уравненията на вида
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
които са достатъчно подобни на уравнението в общите диференциали, но не отговарят на условието за равенство на частните производни. Те се изчисляват чрез търсене на интегриращ фактор, умножавайки по който даденото уравнение става уравнение в общите диференциали.

Със стандартната форма $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в която лявата страна е общият диференциал на някаква функция $F \left( x,y\right)$ се нарича уравнение в общите диференциали.

Общото диференциално уравнение винаги може да бъде пренаписано като $dF\left(x,y\right)=0$, където $F\left(x,y\right)$ е функция, такава че $dF\left(x, y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Ние интегрираме двете страни на уравнението $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интегралът на нулевата дясна страна е равен на произволна константа $C$. По този начин общото решение на това уравнение в неявна форма има формата $F\left(x,y\right)=C$.

За да бъде дадено диференциално уравнение уравнение в общите диференциали, е необходимо и достатъчно условието $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ да бъде изпълнено . Ако това условие е изпълнено, тогава съществува функция $F\left(x,y\right)$, за която можем да запишем: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откъдето получаваме две отношения: $\ frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ и $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Интегрираме първото отношение $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ върху $x$ и получаваме $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, където $U\left(y\right)$ е произволна функция от $y$.

Нека го изберем така, че второто отношение $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ да е изпълнено. За да направим това, диференцираме получената връзка за $F\left(x,y\right)$ по отношение на $y$ и приравняваме резултата към $Q\left(x,y\right)$. Получаваме: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\надясно)$.

Следващото решение е:

• от последното равенство намираме $U"\left(y\right)$;
• интегрирайте $U"\left(y\right)$ и намерете $U\left(y\right)$;
• заместете $U\left(y\right)$ в $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и накрая получаваме функцията $F\left(x,y\right)$.

Откриваме разликата:

Интегрираме $U"\left(y\right)$ върху $y$ и намираме $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Намерете резултата: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записваме общото решение като $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Намерете конкретно решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, където $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Конкретно решение има формата: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Определение: Уравнение на формата

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

където лявата страна е общият диференциал на някаква функция на две променливи, се нарича уравнение в общите диференциали.

Означете тази функция на две променливи с F(x,y). Тогава уравнение (9) може да бъде пренаписано като dF(x,y) = 0 и това уравнение има общо решение F(x,y) = C.

Нека е дадено уравнение от вида (9). За да разберете дали това е уравнение в общите диференциали, трябва да проверите дали изразът е такъв

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

общият диференциал на някаква функция на две променливи. За да направите това, е необходимо да проверите изпълнението на равенството

Да приемем, че за даден израз (10) равенството (11) е изпълнено в някаква просто свързана област (S) и следователно израз (10) е общият диференциал на някаква функция F(x,y) в (S) .

Помислете за следния начин за намиране на тази антипроизводна. Необходимо е да се намери функция F(x,y) такава, че

където функцията (y) ще бъде дефинирана по-долу. От формула (12) тогава следва, че

във всички точки в областта (S). Сега избираме функцията (y), така че да се осъществи равенството

За да направим това, пренаписваме равенството (14), от което се нуждаем, замествайки вместо F(x, y) неговия израз съгласно формула (12):

Ще диференцираме по отношение на y под интегралния знак (това може да се направи, защото P (x, y) и - непрекъснати функциидве променливи):

Тъй като по (11) , тогава, замествайки с под интегралния знак в (16), имаме:

След като интегрираме по y, намираме самата функция (y), която е конструирана така, че да е изпълнено равенството (14). Използвайки равенства (13) и (14), виждаме това

в областта (S). (осемнадесет)

Пример 5. Проверете дали даденото диференциално уравнение е уравнение в общи диференциали и го решете.

Това е диференциално уравнение в общите диференциали. Наистина, обозначавайки, ние се уверяваме, че

а това е необходимо и достатъчно условие за израза

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

е общият диференциал на някаква функция U(x,y). Освен това са непрекъснати функции в R.

Следователно, за да се интегрира дадено диференциално уравнение, е необходимо да се намери функция, за която лявата страна на диференциалното уравнение е пълен диференциал. Тогава нека U(x,y) е такава функция

Интегрирайки лявата и дясната страна върху x, получаваме:

За да намерим u(y), използваме факта, че

Замествайки намерената стойност на u(y) в (*), накрая получаваме функцията U(x, y):

Общият интеграл на първоначалното уравнение има формата

Основни видове диференциални уравнения от първи ред (продължение).

Линейни диференциални уравнения

Определение: Линейно уравнение от първи ред е уравнение от формата

y" + P(x)y = f(x), (21)

където P(x) и f(x) са непрекъснати функции.

Името на уравнението се обяснява с факта, че производната y "- линейна функцияот y, тоест ако пренапишем уравнение (21) като y" = - P(x) + f(x), тогава дясната страна съдържа y само на първа степен.

Ако f(x) = 0, тогава уравнението

yґ+ P(x) y = 0 (22)

наречен линеен хомогенно уравнение. Очевидно едно хомогенно линейно уравнение е уравнение с разделими променливи:

y" + P(x)y = 0; ,

Ако f(x) ? 0, тогава уравнението

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

се нарича линейно нееднородно уравнение.

Като цяло, променливите в уравнение (21) не могат да бъдат разделени.

Уравнение (21) се решава по следния начин: ще търсим решение под формата на произведение на две функции U(x) и V(x):

Нека намерим производната:

y" = U"V + UV" (25)

и заместете тези изрази в уравнение (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Нека групираме термините от лявата страна:

U "V + U \u003d f (x). (26)

Нека наложим условие на един от факторите (24), а именно да предположим, че функцията V(x) е такава, че превръща израза в квадратни скоби в (26) в идентична нула, т.е. че е решение на диференциалното уравнение

V" + P(x)V = 0. (27)

Това е уравнение с разделими променливи, намираме V (x) от него:

Сега нека намерим функция U(x), така че за вече намерената функция V(x), произведението U V е решение на уравнение (26). За това U(x) трябва да е решение на уравнението

Това е уравнение на разделима променлива, така че

Замествайки намерените функции (28) и (30) във формула (4), получаваме общото решение на уравнение (21):

По този начин разглежданият метод (методът на Бернули) намалява решението линейно уравнение(21) към решението на две уравнения с разделими променливи.

Пример 6. Намерете общия интеграл на уравнението.

Това уравнение не е линейно по отношение на y и y", но се оказва, че е линейно, ако разгледаме търсената функция x и аргумента y. Наистина, преминавайки към, получаваме

За да решим полученото уравнение, използваме метода на заместване (Бернули). Тогава ще търсим решение на уравнението във формата x(y)=U(y)V(y). Получаваме уравнението:

Избираме функцията V(y), така че. Тогава