Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

върху изучаването на темата "Линейни диференциални уравнения от втори ред" от студенти от счетоводния отдел на кореспондентската форма на обучение (NISPO)

Горки, 2013 г

Линейни диференциални уравнения

втори ред с константакоефициенти

Линейни хомогенни диференциални уравнения

Линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти се нарича уравнение от вида

тези. уравнение, което съдържа търсената функция и нейните производни само на първа степен и не съдържа техните произведения. В това уравнение и
са някои числа и функцията
дадени на някакъв интервал
.

Ако
на интервала
, тогава уравнение (1) приема формата

, (2)

и се обади линеен хомогенен . В противен случай се извиква уравнение (1). линейни нехомогенни .

Разгледайте сложната функция

, (3)

където
и
са реални функции. Ако функция (3) е комплексно решение на уравнение (2), тогава реалната част
, и имагинерната част
решения
поотделно са решения на едно и също хомогенно уравнение. По този начин всеки цялостно решениеуравнение (2) генерира две реални решения на това уравнение.

Решенията на хомогенно линейно уравнение имат следните свойства:

Ако е решение на уравнение (2), тогава функцията
, където ОТ- произволна константа, също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако и са решения на уравнение (2), тогава функцията
също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако и са решения на уравнение (2), тогава тяхната линейна комбинация
също ще бъде решение на уравнение (2), където и
са произволни константи.

Функции
и
Наречен линейно зависими на интервала
ако има такива числа и
, които не са равни на нула в същото време, че на този интервал равенството

Ако равенство (4) е в сила само когато
и
, след това функциите
и
Наречен линейно независими на интервала
.

Пример 1 . Функции
и
са линейно зависими, тъй като
по цялата числова ос. В този пример
.

Пример 2 . Функции
и
са линейно независими на всеки интервал, тъй като равенството
възможно само ако и
, и
.

Сграда общо решениелинеен хомогенен

уравнения

За да намерите общо решение на уравнение (2), трябва да намерите две от неговите линейно независими решения и . Линейна комбинация от тези решения
, където и
са произволни константи и ще дадат общото решение на линейно хомогенно уравнение.

Линейно независими решения на уравнение (2) ще се търсят във формата

, (5)

където - някакво число. Тогава
,
. Нека заместим тези изрази в уравнение (2):

или
.

защото
, тогава
. Така че функцията
ще бъде решение на уравнение (2), ако ще задоволи уравнението

. (6)

Уравнение (6) се нарича характеристично уравнение за уравнение (2). Това уравнение е алгебрично квадратно уравнение.

Позволявам и са корените на това уравнение. Те могат да бъдат или реални и различни, или сложни, или реални и равни. Нека разгледаме тези случаи.

Нека корените и характеристично уравнениевалидни и различни. Тогава решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
и
. Тези решения са линейно независими, тъй като равенството
може да се извърши само когато
, и
. Следователно общото решение на уравнение (2) има вида

,

където и
са произволни константи.

Пример 3
.

Решение . Характеристичното уравнение за този диференциал ще бъде
. Решаването му квадратно уравнение, намерете корените му
и
. Функции
и
са решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение има формата
.

комплексно число се нарича израз на формата
, където и са реални числа и
се нарича имагинерна единица. Ако
, след това числото
се нарича чисто въображаемо. Ако
, след това числото
се идентифицира с реално число .

Номер се нарича реална част от комплексното число и - въображаемата част. Ако две комплексни числа се различават едно от друго само по знака на въображаемата част, тогава те се наричат ​​спрегнати:
,
.

Пример 4 . Решаване на квадратно уравнение
.

Решение . Дискриминант на уравнение
. Тогава. по същия начин,
. По този начин това квадратно уравнение има спрегнати комплексни корени.

Нека корените на характеристичното уравнение са комплексни, т.е.
,
, където
. Решенията на уравнение (2) могат да бъдат записани като
,
или
,
. Според формулите на Ойлер

,
.

Тогава ,. Както е известно, ако сложна функция е решение на линейно хомогенно уравнение, тогава решенията на това уравнение са както реалната, така и въображаемата част на тази функция. Така решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
и
. От равенството

може да се извърши само ако
и
, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

където и
са произволни константи.

Пример 5 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Уравнението
е характерен за дадения диференциал. Решаваме го и получаваме сложни корени
,
. Функции
и
са линейно независими решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение има формата.

Нека корените на характеристичното уравнение са реални и равни, т.е.
. Тогава решенията на уравнение (2) са функциите
и
. Тези решения са линейно независими, тъй като изразът може да бъде идентично равен на нула само когато
и
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата
.

Пример 6 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристично уравнение
има равни корени
. В този случай линейно независимите решения на диференциалното уравнение са функциите
и
. Общото решение има формата
.

Нееднородни линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

и специални правилната страна

Общото решение на линейното нехомогенно уравнение (1) е равно на сумата от общото решение
съответно хомогенно уравнение и всяко конкретно решение
нехомогенно уравнение:
.

В някои случаи определено решение на нехомогенно уравнение може да се намери съвсем просто чрез формата на дясната страна
уравнения (1). Нека разгледаме случаите, когато е възможно.

тези. дясната страна на нехомогенното уравнение е полином от степен м. Ако
не е корен на характеристичното уравнение, то определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси под формата на полином от степен м, т.е.

Коефициенти
се определят в процеса на намиране на определено решение.

Ако
е коренът на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата

Пример 7 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Съответното хомогенно уравнение за това уравнение е
. Неговото характеристично уравнение
има корени
и
. Общото решение на еднородното уравнение има вида
.

защото
не е корен на характеристичното уравнение, тогава ще търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение под формата на функция
. Намерете производните на тази функция
,
и ги заместете в това уравнение:

или . Приравнете коефициентите при и безплатни членове:
Решавайки тази система, получаваме
,
. Тогава определено решение на нехомогенното уравнение има формата
, а общото решение на това нехомогенно уравнение ще бъде сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и частното решение на нехомогенното:
.

Нека нееднородното уравнение има формата

Ако
не е корен на характеристичното уравнение, то частно решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата. Ако
е коренът на уравнението за характеристична множественост к (к=1 или к=2), то в този случай конкретното решение на нехомогенното уравнение ще има формата .

Пример 8 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристичното уравнение за съответното хомогенно уравнение има формата
. своите корени
,
. В този случай общото решение на съответното хомогенно уравнение се записва като
.

Тъй като числото 3 не е корен на характеристичното уравнение, тогава определено решение на нехомогенното уравнение трябва да се търси във формата
. Нека намерим производни от първи и втори ред:,

Заместете в диференциалното уравнение:
+ +,
+,.

Приравнете коефициентите при и безплатни членове:

Оттук
,
. Тогава определено решение на това уравнение има формата
и общото решение

.

Метод на Лагранж за вариация на произволни константи

Методът на вариация на произволни константи може да се приложи към всяко нехомогенно линейно уравнение с постоянни коефициенти, независимо от формата на дясната страна. Този метод дава възможност винаги да се намери общо решение на нехомогенно уравнение, ако общото решение на съответното хомогенно уравнение е известно.

Позволявам
и
са линейно независими решения на уравнение (2). Тогава общото решение на това уравнение е
, където и
са произволни константи. Същността на метода на вариация на произволни константи е, че общото решение на уравнение (1) се търси във формата

където
и
- ще бъдат намерени нови неизвестни функции. Тъй като има две неизвестни функции, за намирането им са необходими две уравнения, съдържащи тези функции. Тези две уравнения съставят системата

която е линейна алгебрична система от уравнения по отношение на
и
. Решавайки тази система, намираме
и
. Интегрирайки двете части на получените равенства, намираме

и
.

Замествайки тези изрази в (9), получаваме общото решение на нехомогенното линейно уравнение (1).

Пример 9 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение. Характеристичното уравнение за хомогенното уравнение, съответстващо на даденото диференциално уравнение, е
. Корените му са сложни
,
. защото
и
, тогава
,
, а общото решение на хомогенното уравнение има формата Тогава общото решение на това нехомогенно уравнение ще се търси във вида където
и
- неизвестни функции.

Системата от уравнения за намиране на тези неизвестни функции има формата

Решавайки тази система, намираме
,
. Тогава

,
. Нека заместим получените изрази в общата формула за решение:

Това е общото решение на това диференциално уравнение, получено по метода на Лагранж.

Въпроси за самоконтрол на знанията

Кое диференциално уравнение се нарича линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти?

Кое линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно и кое нехомогенно?

Какви са свойствата на линейното хомогенно уравнение?

Какво уравнение се нарича характерно за линейно диференциално уравнение и как се получава?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на различни корени на характеристичното уравнение?

В каква форма е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случая равни коренихарактеристично уравнение?

В какъв вид е записано общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение?

Как се записва общото решение на линейно нееднородно уравнение?

В каква форма се търси частно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако корените на характеристичното уравнение са различни и не са равни на нула, а дясната страна на уравнението е полином от степен м?

В каква форма се търси конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение, ако сред корените на характеристичното уравнение има една нула, а дясната страна на уравнението е полином от степен м?

Каква е същността на метода на Лагранж?

Диференциални уравнениявтори ред и по-високи редове.
Линейни DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на решение и основни понятия на диференциите от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е вярно . Научете се да решавате дифузи по-висок редедва ли по-сложно от "обикновените" DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциалните уравнения от трети ред в практически задачи се срещат много по-рядко, според моите субективни наблюдения в Държавна думаще получат около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. AT практически задачитакова дистанционно управление се изплъзва изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравненияпо-високи порядки с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнениеи нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиима следната форма:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това решете правилно квадратното уравнение.

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение изобщо не се променя, трябва спокойно да съставите характеристичното уравнение и да намерите неговите корени. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За това уравнение също трябва да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случай е, когато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

Решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.

Тук прилагаме метода на вариация на константите на Лагранж за решаване на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред. Подробно описаниетози метод за решаване на уравнения от произволен ред е изложен на страницата
Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж >>> .

Пример 1

Решете диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти, като използвате вариацията на константите на Лагранж:
(1)

Решение

Първо решаваме хомогенното диференциално уравнение:
(2)

Това е уравнение от втори ред.

Решаваме квадратното уравнение:
.
Множество корени: . Фундаменталната система от решения на уравнение (2) има формата:
(3) .
Оттук получаваме общото решение на хомогенното уравнение (2):
(4) .

Варираме константите C 1 и С 2 . Тоест заместваме константите и в (4) с функции:
.
Търсим решение на първоначалното уравнение (1) във формата:
(5) .

Намираме производната:
.
Свързваме функциите и уравнението:
(6) .
Тогава
.

Намираме втората производна:
.
Заместваме в оригиналното уравнение (1):
(1) ;



.
Тъй като и удовлетворяват хомогенното уравнение (2), сумата от членовете във всяка колона от последните три реда е нула и предишното уравнение става:
(7) .
Тук .

Заедно с уравнение (6) получаваме система от уравнения за определяне на функциите и :
(6) :
(7) .

Решаване на система от уравнения

Решаваме системата от уравнения (6-7). Нека напишем изрази за функции и :
.
Намираме техните производни:
;
.

Решаваме системата от уравнения (6-7) по метода на Крамер. Изчисляваме детерминантата на матрицата на системата:

.
По формулите на Крамер намираме:
;
.

И така, намерихме производни на функции:
;
.
Да интегрираме (вижте Методи за интегриране на корени). Извършване на замяна
; ; ; .

.
.

;
.

Отговор

Пример 2

Решете диференциалното уравнение по метода на вариацията на константите на Лагранж:
(8)

Решение

Стъпка 1. Решение на хомогенното уравнение

Решаваме хомогенно диференциално уравнение:

(9)
Търся решение във формата. Съставяме характеристичното уравнение:

Това уравнение има сложни корени:
.
Фундаменталната система от решения, съответстваща на тези корени, има формата:
(10) .
Общото решение на хомогенното уравнение (9):
(11) .

Стъпка 2. Вариация на константи - Замяна на константи с функции

Сега променяме константите C 1 и С 2 . Тоест заместваме константите в (11) с функции:
.
Търсим решение на първоначалното уравнение (8) във формата:
(12) .

По-нататък ходът на решението е същият като в пример 1. Стигаме до следната система от уравнения за определяне на функциите и :
(13) :
(14) .
Тук .

Решаване на система от уравнения

Нека решим тази система. Нека напишем изразите на функциите и :
.
От таблицата на производните намираме:
;
.

Решаваме системата от уравнения (13-14) по метода на Крамер. Детерминанта на системната матрица:

.
По формулите на Крамер намираме:
;
.

.
Тъй като , тогава знакът за модул под знака за логаритъм може да бъде пропуснат. Умножете числителя и знаменателя по:
.
Тогава
.

Общо решение на първоначалното уравнение:


.

Диференциални уравнения от 2-ри ред

§едно. Методи за понижаване реда на уравнение.

Диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( или диференциално" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">диференциално уравнение от 2-ри ред). Задача на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред изглежда така: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Така уравнението от 2-ри ред https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Решавайки го, получаваме общия интеграл на оригиналното диференциално уравнение в зависимост от две произволни константи: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

Решение.

Тъй като няма изричен аргумент в оригиналното уравнение https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.

От https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред изглежда така: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.

Пример 2Намерете общото решение на уравнението: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. Редът на степента се намалява, ако е възможно да се трансформира до такава форма, че и двете части на уравнението да станат общи производни според https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height="25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - предварително дефинирани функции, непрекъсната на интервала, на който се търси решението. Ако приемем, че a0(x) ≠ 0, разделете на (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Да приемем без доказателство, че (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, тогава уравнение (2.2) се нарича хомогенно, а уравнение (2.2) се нарича нехомогенно в противен случай.

Нека разгледаме свойствата на разтворите на lodu от 2-ри ред.

Определение.Линейна комбинация от функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

след това тяхната линейна комбинация https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> в (2.3) и показват, че резултатът е идентичност:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Тъй като функциите https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> са решения на уравнение (2.3), тогава всяка от скобите в последното уравнение е идентично равно на нула, което трябваше да се докаже.

Следствие 1.Следва от доказаната теорема на https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – решение на уравнението (2..gif " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> се нарича линейно независим на някакъв интервал, ако нито една от тези функции не е представена като линейна комбинация от всички останалите.

В случай на две функции https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, т.е..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. По този начин детерминантът на Wronsky за две линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула.

Нека https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> отговарят на уравнението (2..gif" width="42" height="25 src = "> – решение на уравнение (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> е идентичен. Така,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в който детерминантата за линейно независими решения на уравнението (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> И двата фактора от дясната страна на формула (3.2) са различни от нула.

§ четири. Структурата на общото решение на 2-ри ред lod.

Теорема.Ако https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> са линейно независими решения на уравнението (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">е решение на уравнение (2.3), следва от теоремата за свойствата на lodu решения от 2-ри ред..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Константите https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> от тази система от линейни алгебрични уравнения са еднозначно определени, тъй като детерминантата на тази система е https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Съгласно предходния параграф, общото решение на lodu от 2-ри ред се определя лесно, ако са известни две линейно независими частични решения на това уравнение. Прост метод за намиране на частични решения на уравнение с постоянни коефициенти, предложено от L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, получаваме алгебрично уравнение, което се нарича характеристика:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> ще бъде решение на уравнение (5.1) само за тези стойности на k които са корените на характеристичното уравнение (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> и общото решение (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Проверете дали тази функция удовлетворява уравнение (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Заместване на тези изрази в уравнение (5.1), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because.gif" width="137" height="26 src=" >.

Частните решения https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> са линейно независими, защото.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height=" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

И двете скоби от лявата страна на това равенство са еднакво равни на нула..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> е решение на уравнение (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

представен като сума от общото решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

и всяко конкретно решение https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> ще бъде решение на уравнение (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Това равенство е идентичност, защото..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Следователно.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> са линейно независими решения на това уравнение. По този начин:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> и такъв детерминант, както видяхме по-горе, е различен от нула..gif" width="19" height="25 src="> от системата на уравнения (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> ще реши уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в уравнение (6.5), получаваме

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> на уравнение (7.1) в случай, когато дясната страна f(x) има специален вид. Този метод се нарича метод на неопределените коефициенти и се състои в избора на определено решение в зависимост от формата на дясната страна на f(x). Помислете за правилните части на следния формуляр:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> може да е нула. Нека посочим формата, в която трябва да бъде взето конкретното решение в този случай.

а) Ако числото е https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Решение.

За уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Съкращаваме двете части с https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> в лявата и дясната част на равенството

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

От получената система от уравнения намираме: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, и общото решение дадено уравнениеима:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Решение.

Съответното характеристично уравнение има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Накрая имаме следния израз за общото решение:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> отлично от нулата. Нека посочим формата на конкретно решение в този случай.

а) Ако числото е https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> е коренът на характеристичното уравнение за уравнение (5..gif" ширина ="229 "height="25 src=">,

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Решение.

Корените на характеристичното уравнение за уравнението https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" височина="25 src=">.

Дясната страна на уравнението, дадено в пример 3, има специална форма: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

За да определите https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > и заместете в даденото уравнение:

Привеждане на подобни термини, приравняване на коефициенти на https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

Крайното общо решение на даденото уравнение е: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> съответно и един от тези полиноми може да бъде равен на нула. Нека посочим формата на конкретно решение в това общо случай.

а) Ако числото е https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

където https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

б) Ако числото е https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, тогава определено решение ще изглежда така:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. В израза (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Пример 4Посочете вида на конкретното решение на уравнението

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Общото решение на lod има формата:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Допълнителни коефициенти https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > има конкретно решение за уравнението с дясната страна f1(x) и Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">вариации на произволни константи (метод на Лагранж).

Директното намиране на конкретно решение на линия, с изключение на случая на уравнение с постоянни коефициенти и освен това със специални постоянни членове, представлява големи трудности. Следователно, за да се намери общото решение на линду, обикновено се използва методът на вариация на произволни константи, което винаги дава възможност да се намери общото решение на линду в квадратури, ако фундаментална системарешения на съответното хомогенно уравнение. Този метод е както следва.

Съгласно горното общото решение на линейното хомогенно уравнение е:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не константа, а някои, все още неизвестни, функции на f(x). . трябва да се вземе от интервала. Всъщност в този случай детерминантата на Вронски е различна от нула във всички точки на интервала, т.е. в цялото пространство това е комплексният корен на характеристичното уравнение..gif" width="20" height="25 src="> линейно независими частни решения от вида:

В общата формула за решение този корен съответства на израз на формата.