Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение. Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред

Тази статия разкрива въпроса за решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде разгледана заедно с примери за дадените задачи. За да дешифрирате неразбираеми термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните определения и понятия на теорията на диференциалните уравнения.

Разгледайте линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p y " + q y \u003d f (x) , където p и q са произволни числа, а съществуващата функция f (x) е непрекъснат на интервала на интегриране x .

Нека преминем към формулирането на общата теорема за решение за LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обща теорема за решение за LDNU

Общото решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервал f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равно на сумата от общото решение y 0 , което съответства на LODE и някое конкретно решение y ~ , където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~ .

Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След това трябва да се пристъпи към дефиницията на y ~ .

Изборът на конкретно решение на LIDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x) , следва, че определено решение на LIDE се намира по формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ, където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени характеристично уравнение. Стойността на y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x) , намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 1

Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Решение

С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1 , което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Общото решение на линейното не хомогенно уравнениее сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~ , тоест y = y 0 + y ~ .

Първо, нека намерим общо решениеза LNDU, а след това - частни.

Нека да преминем към намирането на y 0 . Написването на характеристичното уравнение ще помогне да се намерят корените. Разбираме това

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 \u003d 2

Открихме, че корените са различни и реални. Затова пишем

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна дадено уравнениее полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От тук получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C вземете неопределени коефициенти.

Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Тогава получаваме това:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели x , получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Когато решаваме по някой от начините, намираме коефициентите и записваме: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.

За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , е необходимо да се определят стойностите C1и C2, основано на равенство от вида y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Получаваме това:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Работим с получената система от уравнения от вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , където C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Прилагайки теоремата на Коши, имаме това

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) e a x , тогава от тук получаваме, че определено решение на LIDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α .

Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 2

Намерете общото решение на диференциално уравнение от вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Решение

Общо уравнение y = y 0 + y ~ . Посоченото уравнение съответства на LOD y "" - 2 y " = 0. Предишният пример показва, че неговите корени са k1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x съгласно характеристичното уравнение.

Това е ясно правилната странана уравнението е x 2 + 1 · e x . От тук LNDE се намира чрез y ~ = e a x Q n (x) x γ, където Q n (x) , което е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен, равен на 1. Следователно получаваме това

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени от равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Разбрах това

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Приравняваме показателите с еднакви коефициенти и получаваме системата линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Отговор:може да се види, че y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 е конкретно решение на LIDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1и В 1са числа, тогава уравнение от формата y ~ = A cos β x + B sin β x x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r броят на комплексно спрегнатите корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 3

Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Решение

Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0 . Тогава

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 = - 2 i

Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Корените от характеристичното уравнение се считат за спрегната двойка ± 2 i , тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни коефициентите A и B ще се търсят от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Нека трансформираме:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тогава се вижда, че

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Отговор:общото решение на оригиналния LIDE от втори ред с постоянни коефициенти се счита за

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Когато f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогава y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Имаме, че r е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равен на α ± i β , където P n (x) , Q k (x) , L m ( x) и N m (x)са полиноми от степен n, k, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти L m (x)и N m (x)се получава въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Пример 4

Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Решение

От условието става ясно, че

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Тогава m = m a x (n , k) = 1 . Намираме y 0, като първо напишем характеристичното уравнение във формата:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . След това е необходимо да се търси общо решение, основано на нехомогенно уравнение y ~ от формата

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i . Тези коефициенти се намират от полученото равенство:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Намирането на производната и подобни термини дава

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

След приравняване на коефициентите се получава система от вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

От всичко следва, че

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) грях (5x))

Отговор:сега е получено общото решение на даденото линейно уравнение:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Алгоритъм за решаване на LDNU

Всеки друг вид функция f (x) за решението осигурява алгоритъма за решение:

• намиране на общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , където y 1и y2са линейно независими отделни решения на LODE, от 1и От 2се считат за произволни константи;
• приемане като общо решение на LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• дефиниция на производни на функция чрез система от формата C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.

Пример 5

Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Решение

Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като преди това сме написали y 0 , y "" + 36 y = 0 . Нека напишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Имаме, че записът на общото решение на даденото уравнение ще приеме формата y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)и C2(x)по системата с уравнения:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Необходимо е да се вземе решение относно C 1 "(x)и C2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

От това следва, че общото решение ще има формата:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)

CLDE от втори ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left( x \right)$ е непрекъсната функция.

Следните две твърдения са верни по отношение на 2-ри LNDE с компютър.

Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частно решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общо решение (OR) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава ИЛИ на LHDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.

Ако дясната страна на LIDE от 2-ри ред е сумата от функции, тоест $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, тогава първо можете да намерите PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, които съответстват на всеки на функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ и след това напишете LNDE-2 PD като $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Решение на LNDE от 2-ри ред с компютър

Очевидно формата на един или друг PD $U$ на даден LNDE-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD на LNDE-2 са формулирани като следните четири правила.

Правило номер 1.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тоест се нарича a полином от степен $n$. Тогава неговият PR $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (NC).

Правило номер 2.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Правило номер 3.

Дясната част на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta $ са известни числа. След това неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират по метода NDT.

Правило номер 4.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right) $ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равни на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Методът NDT се състои в прилагане следващото правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от конкретното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDE-2, е необходимо:

• заменете записаното PD $U$ общ изглед, от лявата страна на LNDU-2;
• от лявата страна на LNDE-2 извършете опростявания и групирайте термини със същите степени $x$;
• в получената идентичност приравнете коефициентите на членовете с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
• решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.

Пример 1

Задача: намерете ИЛИ LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Също така намерете PR , удовлетворяващ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.

Напишете съответния LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са реални и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Дясната част на този LNDE-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PR на този LNDE-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Ще търсим коефициентите $A$, $B$ по метода NK.

Намираме първата производна на CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Намираме втората производна на CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ В същото време, тъй като експонентата $e^(3\cdot x) $ е включена като фактор във всички компоненти, тогава той може да бъде пропуснат.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Извършваме действия от лявата страна на полученото равенство:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Използваме метода NC. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.

За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ ИЛИ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Имаме система от уравнения:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Ние го решаваме. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Крамър, а $C_(2) $ се определя от първото уравнение:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Така PD на това диференциално уравнение е: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

На лекцията се изучават LNDE - линейни нехомогенни диференциални уравнения. Разглежда се структурата на общото решение, решението на LNDE по метода на вариация на произволни константи, решението на LNDE с постоянни коефициенти и дясната страна специален вид. Разглежданите въпроси се използват при изучаването на принудените трептения във физиката, електротехниката и електрониката и теорията на автоматичното управление.

1. Структурата на общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред.

Разгледайте първо линейно нехомогенно уравнение от произволен ред:

Като се има предвид нотацията, можем да напишем:

В този случай ще приемем, че коефициентите и дясната страна на това уравнение са непрекъснати на определен интервал.

Теорема. Общото решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение в някаква област е сумата от всяко негово решение и общото решение на съответното линейно нехомогенно диференциално уравнение.

Доказателство.Нека Y е някакво решение на нехомогенно уравнение.

След това, замествайки това решение в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:

Позволявам
- фундаментална системарешения на линейното хомогенно уравнение
. Тогава общото решение на хомогенното уравнение може да се запише като:

По-специално, за линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред структурата на общото решение има формата:

където
е основната система от решения на съответното хомогенно уравнение, и
- всяко конкретно решение на нехомогенното уравнение.

По този начин, за да се реши линейно нехомогенно диференциално уравнение, е необходимо да се намери общо решение на съответното хомогенно уравнение и по някакъв начин да се намери едно конкретно решение на нехомогенното уравнение. Обикновено се намира чрез селекция. Методите за избор на конкретно решение ще бъдат разгледани в следващите въпроси.

2. Метод на вариация

На практика е удобно да се прилага методът на вариация на произволни константи.

За да направите това, първо намерете общото решение на съответното хомогенно уравнение във формата:

След това задаване на коефициентите ° С азфункции от х, се търси решението на нехомогенното уравнение:

Може да се покаже, че за да се намерят функциите ° С аз (х) трябва да решите системата от уравнения:

Пример.реши уравнението

Решаваме линейно хомогенно уравнение

Решението на нехомогенното уравнение ще изглежда така:

Съставяме система от уравнения:

Нека решим тази система:

От релацията намираме функцията О).

Сега намираме B(x).

Заместваме получените стойности във формулата за общото решение на нехомогенното уравнение:

Окончателен отговор:

Най-общо казано, методът на вариация на произволни константи е подходящ за намиране на решения на всяко линейно нехомогенно уравнение. Но тъй като намирането на основната система от решения на съответното хомогенно уравнение може да бъде доста трудна задача, този метод се използва главно за нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти.

3. Уравнения с дясна страна на специален вид

Изглежда възможно да се представи формата на дадено решение в зависимост от формата на дясната страна на нехомогенното уравнение.

Има следните случаи:

I. Дясната страна на линейното нехомогенно диференциално уравнение има формата:

където е градусен полином м.

След това се търси конкретно решение във формата:

Тук Q(х) е полином от същата степен като П(х) , но с неопределени коефициенти, и r- число, показващо колко пъти числото  е корен на характеристичното уравнение за съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.

Пример.реши уравнението
.

Решаваме съответното хомогенно уравнение:

Сега нека намерим конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение.

Нека сравним дясната страна на уравнението с формата на дясната страна, обсъдена по-горе.

Търсим конкретно решение във формата:
, където

Тези.

Сега дефинираме неизвестните коефициенти НОи AT.

Нека заместим конкретно решение в обща форма в първоначалното нехомогенно диференциално уравнение.

И така, частно решение:

Тогава общото решение на линейното нехомогенно диференциално уравнение:

II. Дясната страна на линейното нехомогенно диференциално уравнение има формата:

Тук Р 1 (Х)и Р 2 (Х)са полиноми от степен м 1 и м 2 съответно.

Тогава конкретното решение на нехомогенното уравнение ще има формата:

където номер rпоказва колко пъти дадено число
е коренът на характеристичното уравнение за съответното хомогенно уравнение, и Q 1 (х) и Q 2 (х) – полиноми от степен най-много м, където м- най-голямата от степените м 1 и м 2 .

Обобщена таблица на видовете конкретни решения

за различни видове десни части

Имайте предвид, че ако дясната страна на уравнението е комбинация от изрази от формата, разгледана по-горе, тогава решението се намира като комбинация от решения на спомагателни уравнения, всяко от които има дясна страна, съответстваща на израза, включен в комбинацията.

Тези. ако уравнението изглежда така:
, тогава определено решение на това уравнение ще бъде
където при 1 и при 2 са частни решения на спомагателни уравнения

и

За да илюстрираме, нека решим горния пример по различен начин.

Пример.реши уравнението

Представяме дясната страна на диференциалното уравнение като сбор от две функции f 1 (х) + f 2 (х) = х + (- грях х).

Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

Получаваме: т.е.

Обща сума:

Тези. желаното конкретно решение има формата:

Общото решение на нехомогенното диференциално уравнение:

Нека разгледаме примери за прилагане на описаните методи.

Пример 1..реши уравнението

Нека съставим характеристично уравнение за съответното линейно хомогенно диференциално уравнение:

Сега намираме конкретно решение на нехомогенното уравнение във формата:

Нека използваме метода на неопределените коефициенти.

Замествайки в първоначалното уравнение, получаваме:

Конкретното решение изглежда така:

Общото решение на линейното нехомогенно уравнение:

Пример.реши уравнението

Характеристично уравнение:

Общото решение на хомогенното уравнение:

Частно решение на нехомогенното уравнение:
.

Намираме производните и ги заместваме в първоначалното нехомогенно уравнение:

Получаваме общото решение на нехомогенното диференциално уравнение:

Нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Структура на общото решение Линейно нехомогенно уравнение от този тип има формата: където стр, р− постоянни числа (които могат да бъдат както реални, така и комплексни). За всяко такова уравнение може да се напише съответното хомогенно уравнение: Теорема: Общото решение на нехомогенното уравнение е сумата от общото решение г 0 (х) на съответното хомогенно уравнение и конкретно решение г 1 (х) на нехомогенното уравнение: По-долу разглеждаме два метода за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Метод на постоянна вариация Ако общото решение г 0 на свързаното хомогенно уравнение е известно, тогава общото решение на нехомогенното уравнение може да се намери с помощта метод на постоянна вариация. Нека общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред има формата: Вместо постоянно ° С 1 и ° С 2 ще разгледаме спомагателните функции ° С 1 (х) и ° С 2 (х). Ще търсим тези функции така, че решението удовлетворява нехомогенното уравнение с дясната страна f(х). Неизвестни функции ° С 1 (х) и ° С 2 (х) се определят от системата от две уравнения: Метод на неопределените коефициенти Дясна част f(х) на нехомогенно диференциално уравнение често е полином, експоненциална или тригонометрична функция или някаква комбинация от тези функции. В този случай е по-удобно да се намери решение с помощта на метод на несигурни коефициенти. Подчертаваме това този методработи само за ограничен клас функции от дясната страна, като напр И в двата случая изборът на конкретно решение трябва да съответства на структурата на дясната страна на нехомогенното диференциално уравнение. В случай 1, ако числото α в експоненциална функциясъвпада с корена на характеристичното уравнение, то конкретното решение ще съдържа допълнителен фактор х с, където с− кратност на корена α в характеристичното уравнение. В случай 2, ако числото α + βiсъвпада с корена на характеристичното уравнение, то изразът за конкретното решение ще съдържа допълнителен множител х. Неизвестните коефициенти могат да бъдат определени чрез заместване на намерения израз за определено решение в оригиналното нехомогенно диференциално уравнение. Принцип на суперпозиция Ако дясната страна на нехомогенното уравнение е количествоняколко функции на формата тогава конкретното решение на диференциалното уравнение също ще бъде сумата от конкретни решения, конструирани отделно за всеки член от дясната страна.

Пример 1

Решете диференциално уравнение y"" + y= грях (2 х). Решение. Първо решаваме съответното хомогенно уравнение y"" + y= 0. В този случай корените на характеристичното уравнение са чисто въображаеми: Следователно общото решение на хомогенното уравнение се дава от Нека се върнем отново към нехомогенното уравнение. Неговото решение ще търсим във формата използвайки метода на вариация на константите. Функции ° С 1 (х) и ° С 2 (х) може да се намери от следната система от уравнения: Изразяваме производната ° С 1 " (х) от първото уравнение: Като заместим във второто уравнение, намираме производната ° С 2 " (х): Оттук следва, че Интегриране на изрази за производни ° С 1 " (х) и ° С 2 " (х), получаваме: където А 1 , А 2 − интеграционни константи. Сега заместваме намерените функции ° С 1 (х) и ° С 2 (х) във формулата за г 1 (х) и напишете общото решение на нехомогенното уравнение:

Пример 2

Намерете общо решение на уравнението y"" + y" −6г = 36х. Решение. Нека използваме метода на неопределените коефициенти. Дясната страна на даденото уравнение е линейна функция f(х)= брадва + b. Затова ще търсим конкретно решение във формата Производните са: Замествайки това в диференциалното уравнение, получаваме: Последното уравнение е идентичност, тоест е валидно за всички х, така че приравняваме коефициентите на членовете с еднакви степени хот лявата и дясната страна: От получената система намираме: А = −6, б= −1. В резултат на това конкретното решение се записва във формуляра Сега нека намерим общото решение на хомогенното диференциално уравнение. Нека изчислим корените на спомагателното характеристично уравнение: Следователно общото решение на съответното хомогенно уравнение има формата: И така, общото решение на първоначалното нехомогенно уравнение се изразява с формулата

Общ интеграл на DE.

Решете диференциално уравнение

Но най-смешното е, че отговорът вече е известен: по-точно, трябва да добавим и константа: Общият интеграл е решение на диференциалното уравнение.

Метод на вариация на произволни константи. Примери за решения

Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урок е предназначен за тези ученици, които вече са повече или по-малко добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с дистанционното управление, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. И ако вече приключвате, моля, изхвърлете евентуалното предубеждение, че методът е труден. Защото е прост.

В какви случаи се използва методът на вариация на произволни константи?

1) Методът на вариация на произволна константа може да се използва за решаване линеен нехомогенен DE от 1-ви ред. Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата (константата) също е единица.

2) Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на някои линейни нееднородни уравнения от втори ред. Тук две константи (константи) варират.

Логично е да се предположи, че урокът ще се състои от два параграфа .... Написах това предложение и около 10 минути мъчително мислех какви други умни глупости да добавя за плавен преход към практически примери. Но по някаква причина няма мисли след празниците, въпреки че изглежда, че не съм злоупотребявал с нищо. Така че нека преминем направо към първия параграф.

Метод на произволна постоянна вариация за линейно нееднородно уравнение от първи ред

Преди да разгледаме метода на вариация на произволна константа, е желателно да се запознаем със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред. В този урок ние се упражнявахме първи начин за решаваненехомогенна DE от 1-ви ред. Това първо решение, напомням ви, се нарича метод на подмянаили Метод на Бернули(да не се бърка с Уравнение на Бернули!!!)

Сега ще разгледаме втори начин за решаване– метод на вариация на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на вариация на произволни константи се използва по-рядко от метода на заместване.

Пример 1

Намерете общото решение на диференциалното уравнение (Diffur от пример № 2 от урока Линейни нехомогенни DE от 1-ви ред)

Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има позната форма:

На първия етап е необходимо да се реши по-просто уравнение: Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна - вместо това пишем нула. Уравнението, което ще нарека спомагателно уравнение.

В този пример трябва да решите следното спомагателно уравнение:

пред нас разделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас:

Така: е общото решение на спомагателното уравнение .

На второто стъпало замениконстанта на някои ощенеизвестна функция, която зависи от "x":

Оттук и името на метода - променяме константата. Като алтернатива, константата може да бъде някаква функция, която трябва да намерим сега.

AT оригиналеннехомогенно уравнение, ще направим замяната:

Заместете в уравнението:

контролен момент - двата члена от лявата страна се анулират. Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по-горе.

В резултат на замяната се получава уравнение с разделими променливи. Разделете променливите и интегрирайте.

Каква благословия, експонентите също намаляват:

Добавяме „нормална“ константа към намерената функция:

На последния етап си спомняме нашата замяна:

Току-що намерена функция!

Така че общото решение е:

Отговор:общо решение:

Ако разпечатате двете решения, лесно ще забележите, че и в двата случая намерихме едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма за решение.

Сега нещо по-сложно, ще коментирам и втория пример:

Пример 2

Намерете общото решение на диференциалното уравнение (Diffur от пример № 8 от урока Линейни нехомогенни DE от 1-ви ред)

Решение:Нека приведем уравнението във формата:

Задайте дясната страна на нула и решете спомагателното уравнение:

Разделете променливите и интегрирайте: Общо решение на спомагателното уравнение:

В нехомогенното уравнение ще направим заместването:

Според правилото за диференциране на продукта:

Заместете и в първоначалното нехомогенно уравнение:

Двата члена от лявата страна се съкращават, което означава, че сме на прав път:

Интегрираме по части. Една вкусна буква от формулата за интегриране по части вече е включена в решението, така че използваме например буквите "a" и "be":

В крайна сметка:

Сега нека да разгледаме замяната:

Отговор:общо решение:

Метод на вариация на произволни константи за линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти

Често се чува мнението, че методът на вариация на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесен. Но предполагам следното: най-вероятно методът изглежда труден за мнозина, тъй като не е толкова често срещан. Но в действителност няма особени затруднения - ходът на решението е ясен, прозрачен и разбираем. И красив.

За овладяване на метода е желателно да можете да решавате нехомогенни уравнения от втори ред, като избирате конкретно решение според формата на дясната страна. Този метод е разгледан подробно в статията. Нехомогенна DE от 2-ри ред. Спомняме си, че линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата:

Методът за избор, който беше разгледан в горния урок, работи само в ограничен брой случаи, когато полиноми, експоненти, синуси, косинуси са от дясната страна. Но какво да правите, когато отдясно, например, дроб, логаритъм, тангенс? В такава ситуация на помощ идва методът на вариация на константите.

Пример 4

Намерете общото решение на диференциално уравнение от втори ред

Решение:В дясната страна на това уравнение има дроб, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на определено решение не работи. Използваме метода на вариация на произволни константи.

Нищо не предвещава гръмотевична буря, началото на решението е съвсем обикновено:

Да намерим общо решениерелевантни хомогененуравнения:

Съставяме и решаваме характеристичното уравнение: – получават се спрегнати комплексни корени, така че общото решение е:

Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, отворете ги.

Сега правим почти същия трик като за уравнението от първи ред: променяме константите, като ги заместваме с неизвестни функции. Това е, общо решение на нееднороднитеЩе търсим уравнения във формата:

Където - ощенеизвестни функции.

Прилича на сметище, но сега ще подредим всичко.

Производните на функции действат като неизвестни. Нашата цел е да намерим производни и намерените производни трябва да удовлетворяват както първото, така и второто уравнение на системата.

Откъде идват "игрите"? Донася ги щъркелът. Разглеждаме предварително полученото общо решение и пишем:

Нека намерим производни:

Справих се с лявата страна. Какво има вдясно?

е дясната страна на оригиналното уравнение, в този случай: