Как да решаваме сложни ирационални уравнения. Ирационално уравнение: Да се ​​научим да решаваме с помощта на метода за изолация на корена

Обобщение на урока

„Методи за решаване ирационални уравнения»

11 клас физико-математически профил.

Зеленодолски общински район RT"

Валиева С.З.

Тема на урока: Методи за решаване на ирационални уравнения

Целта на урока: 1. Изследвайте различни начинирешения на ирационални уравнения.

1. 
   Развийте способността за обобщаване, правилен избор на методи за решаване на ирационални уравнения.
2. 
   Развивайте независимост, възпитавайте речева грамотност

Тип урок:семинар.
План на урока:

1. 
   Организиране на времето
2. 
   Учене на нов материал
3. 
   Анкериране
4. 
   Домашна работа
5. 
   Обобщение на урока

По време на часовете
аз. Организационно време:посланието на темата на урока, целта на урока.

В предишния урок разгледахме решаването на ирационални уравнения, съдържащи квадратни корени, чрез повдигането им на квадрат. В този случай получаваме уравнение на следствието, което понякога води до появата на външни корени. И тогава задължителна част от решаването на уравнението е проверката на корените. Разгледахме и решението на уравненията, използвайки определението корен квадратен. В този случай проверката може да бъде пропусната. Въпреки това, когато решавате уравнения, не винаги е необходимо незабавно да преминете към „сляпо“ прилагане на алгоритми за решаване на уравнението. В задачите на Единствения държавен изпитима доста уравнения, при решаването на които е необходимо да изберете метод на решение, който ви позволява да решавате уравненията по-лесно и по-бързо. Затова е необходимо да се познават и други методи за решаване на ирационални уравнения, с които ще се запознаем днес. Преди класът беше разделен на 8 творчески групи, като им бяха дадени конкретни примери, за да разкрият същността на даден метод. Даваме им дума.

II. Учене на нов материал.

От всяка група по 1 ученик обяснява на децата как се решават ирационални уравнения. Целият клас слуша и си записва историята.

1 начин. Въвеждане на нова променлива.

Решете уравнението: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Отговор: -3; 5.

2 начина. ODZ изследвания.

реши уравнението

ODZ:


x \u003d 2. Чрез проверка се уверяваме, че x \u003d 2 е коренът на уравнението.

3 начина. Умножаване на двете страни на уравнението по спрегнатия фактор.

+
(умножете двете страни по -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, следователно x=1. Чрез проверка се убеждаваме, че x \u003d 1 е коренът на това уравнение.

4 начин. Свеждане на уравнение до система чрез въвеждане на променлива.

реши уравнението

Нека = u,
=v.

Получаваме системата:

Нека решим по метода на заместване. Получаваме u = 2, v = 2. Следователно,

получаваме x = 1.

Отговор: x = 1.

5 начин. Избор на пълен квадрат.

реши уравнението

Да отворим модулите. защото -1≤cos0,5x≤1, след това -4≤cos0,5x-3≤-2, така че . по същия начин,

Тогава получаваме уравнението

x = 4πn, nZ.

Отговор: 4πn, nZ.

6 начин. Метод на оценяване

реши уравнението

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, по дефиниция дясната страна -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

получаваме
тези. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Решавайки уравнението чрез разлагане на множители, получаваме x = 2, x = -2

Метод 7: Използване на свойствата на монотонността на функциите.

Решете уравнението. Функциите се увеличават строго. Сумата от нарастващите функции нараства и това уравнение има най-много един корен. Чрез селекция намираме x = 1.

8 начин. Използване на вектори.

Решете уравнението. ODZ: -1≤х≤3.

Нека векторът
. Скаларно произведениевектори - е лявата страна. Нека намерим произведението на техните дължини. Това е дясната страна. Има
, т.е. векторите a и b са колинеарни. Оттук
. Нека повдигнем на квадрат двете страни. Решавайки уравнението, получаваме x \u003d 1 и x \u003d
.

1. 
   Консолидация.(на всеки ученик се дава работен лист)

Предна устна работа

Намерете идея за решаване на уравнения (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
х = 2

3. x 2 - 3x +
(замяна)

4. (избор на пълен квадрат)

5.
(Редуциране на уравнение до система чрез въвеждане на променлива.)

6.
(чрез умножение по присъединения израз)

7.
защото
. Това уравнение няма корени.

8. Защото всеки член е неотрицателен, приравняваме ги на нула и решаваме системата.

9. 3

10. Намерете корена на уравнението (или произведението на корените, ако има няколко) на уравнението.

Писмена самостоятелна работа с последваща проверка

решавайте уравнения с номера 11,13,17,19

Решете уравнения:

12. (x + 6) 2 -

14.

Метод на оценяване

Използване на свойствата на монотонността на функциите.

Използване на вектори.

1. 
   Кои от тези методи се използват за решаване на други видове уравнения?
2. 
   Кой от тези методи ви хареса най-много и защо?

1. 
   Домашна работа: Решете останалите уравнения.

Библиография:

1. 
   Алгебра и начала математически анализ: проучвания. за 11 клетки. общо образование институции / С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. М: Просвещение, 2009

1. 
   Дидактически материали по алгебра и принципи на анализа за 11 клас /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбург. – М.: Просвещение, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра и началото на анализа. 10 - 11 к.: Задачна тетрадка за общообразователна подготовка. институции. – М.: Мнемозина, 2000.
3. 
   Ершова А. П., Голобородко В. В. Независими и тестови работипо алгебра и наченки на анализ за 10-11 клас. – М.: Илекса, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010г

6. Алгебричен симулатор. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонски, М. С. Якир. Наръчник за ученици и абитуриенти. Москва: "Илекса", 2001 г.
7. Уравнения и неравенства. Нестандартни методи за решаване. образователен - Инструментариум. 10 - 11 клас. С. Н. Олейник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. Москва. "дропла". 2001 г

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Методически разработки на избираемата дисциплина

"Методи за решаване на ирационални уравнения""

ВЪВЕДЕНИЕ

Предложената избираема дисциплина "Методи за решаване на ирационални уравнения" е предназначена за ученици от 11 клас средно училищеи е предметно ориентиран, насочен към разширяване на теоретичните и практически знаниястуденти. Избираемата дисциплина се основава на знанията и уменията, които учениците придобиват при изучаването на математика в гимназията.

Спецификата на тази дисциплина се състои в това, че тя е предназначена предимно за студенти, които искат да разширят, задълбочат, систематизират, обобщят своите математически знания, да изучават общи методи и техники за решаване на ирационални уравнения. Програмата включва въпроси, които частично надхвърлят текущите програми по математика и нестандартни методи, които ви позволяват по-ефективно да решавате различни проблеми.

Повечето USE задачи изискват завършилите да притежават различни методирешения на различни видове уравнения и техните системи.Материалът, свързан с уравнения и системи от уравнения, е значителна част от училищния курс по математика. Релевантност на избора на тема избираема дисциплинасе определя от важността на темата „Ирационални уравнения“ в училищния курс по математика и в същото време липсата на време за разглеждане на нестандартни методи и подходи за решаване на ирационални уравнения, които се срещат в задачите от група „С“. “ на Единния държавен изпит.

Наред с основната задача на обучението по математика - осигуряване на силно и съзнателно овладяване на системата от математически знания и умения от учениците - този избираем курс осигурява формиране на устойчив интерес към предмета, развитие на математически способности, повишаване на нивото на математическа култура на учениците, създава основа за успешна доставкаЕдинен държавен изпит и продължаващо обучение в университетите.

Цел на курса:

Повишаване на нивото на разбиране и практическо обучение при решаване на ирационални уравнения;

Да изучава техниките и методите за решаване на ирационални уравнения;

Да се ​​​​формира способността за анализ, подчертаване на основното, формиране на елементи на творческо търсене въз основа на техники за обобщение;

За да разширите знанията на учениците по тази тема, да подобрите уменията и способностите за решаване на различни проблеми за успешното полагане на изпита.

Цели на курса:

Разширяване на знанията за методите и начините за решаване на алгебрични уравнения;

Обобщаване и систематизиране на знанията при обучение в 10-11 клас и подготовка за изпит;

Развиване на способността за самостоятелно придобиване и прилагане на знания;

Въвеждане на учениците в работа с математическа литература;

Развитие на логическото мислене на учениците, тяхната алгоритмична култура и математическа интуиция;

Повишаване на математическата култура на ученика.

Програмата на избираемата дисциплина включва изучаване на различни методи и подходи за решаване на ирационални уравнения, развитие на практически умения по разглежданите въпроси. Курсът е предназначен за 17 часа.

Програмата е сложна, надминава обичайния курс на обучение, насърчава развитието на абстрактното мислене и разширява полето на познание на ученика. Въпреки това поддържа приемственост с съществуващи програми, като тяхното логическо продължение.

Учебен и тематичен план

№п/п

Тема

Брой часове

Решаване на уравнения, като се вземе предвид обхватът на приемливите стойности

Решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на естествена степен

Решаване на уравнения чрез въвеждане на спомагателни променливи (метод на заместване)

Решение на уравнение с радикал от трета степен.

Тъждествени трансформации при решаване на ирационални уравнения

Нетрадиционни задачи. Задачи от група "C" USE

Форми на контрол:домашен контрол, самостоятелна работа, есета и научни доклади.

В резултат на преподаването на тази избираема дисциплина студентите трябва да могат да решават различни ирационални уравнения, използвайки стандартни и нестандартни методи и техники;

овладяват алгоритъма за решаване на стандартни ирационални уравнения;

да могат да използват свойствата на уравненията за решаване на нестандартни задачи;

да може да извършва тъждествени преобразувания при решаване на уравнения;

имат ясно разбиране за темите на единния държавен изпит, основните методи за тяхното решаване;

придобиват опит в избора на методи за решаване на нестандартни проблеми.

ГЛАВНА ЧАСТ.

Уравнения, в които неизвестната величина е под знака на радикала, се наричат ирационален.

Най-простите ирационални уравнения включват уравнения от формата:

Основната идея на решениетоирационално уравнение е да го сведем до рационално алгебрично уравнение, което е или еквивалентно на първоначалното ирационално уравнение, или е негово следствие. Когато решаваме ирационални уравнения, винаги говорим за намиране на реални корени.

Помислете за някои начини за решаване на ирационални уравнения.

1. Решението на ирационални уравнения, като се вземе предвид обхватът на допустимите стойности (ODZ).

Диапазонът от допустими стойности на ирационално уравнение се състои от онези стойности на неизвестните, за които всички изрази под знака на радикал с четна степен са неотрицателни.

Понякога познаването на ODZ ни позволява да докажем, че уравнението няма решения, а понякога ни позволява да намерим решения на уравнението чрез директно заместване на числа от ODZ.

Пример1 . реши уравнението.

Решение . След като намерихме ODZ на това уравнение, стигаме до заключението, че ODZ на оригиналното уравнение е набор от един елемент. Заместванех=2в това уравнение, заключаваме, чех=2е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор : 2 .

Пример2.

Уравнението няма решения, т.к за всяка валидна стойност на променливата сумата от две неотрицателни числа не може да бъде отрицателна.

Пример 3
+ 3 =
.

ODZ:

Уравнението ODZ е празен набор.

Отговор: Уравнението няма корени.

Пример 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Чрез проверка се убеждаваме, че x \u003d 1 е коренът на уравнението.

Отговор: 1.

Докажете, че уравнението няма

корени.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Решете уравнението.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. В повдигане на двете страни на уравнение на естествена степен , тоест преходът от уравнението

(1)

към уравнението

. (2)

Следните твърдения са верни:

1) за всяко уравнение (2) е следствие от уравнение (1);

2) ако ( не нечетно число), тогава уравнения (1) и (2 ) са еквивалентни;

3) ако ( не четно число), тогава уравнение (2) е еквивалентно на уравнението

, (3)

и уравнение (3) е еквивалентно на набора от уравнения

. (4)

По-специално, уравнението

(5)

е еквивалентен на набор от уравнения (4).

Пример 1. реши уравнението

.

Уравнението е еквивалентно на системата

откъдето следва, че x=1, а коренът не удовлетворява второто неравенство. В същото време компетентното решение не изисква проверка.

Отговор:x=1.

Пример 2. Решете уравнението.

Решаване на първото уравнение на тази система, което е еквивалентно на уравнението , получаваме корените и . Въпреки това, за тези стойности хнеравенството не е изпълнено и следователно това уравнение няма корени.

Отговор: без корени.

Пример 3. реши уравнението

След като изолираме първия радикал, получаваме уравнението

еквивалентен на оригинала.

Поставяйки на квадрат двете страни на това уравнение, тъй като и двете са положителни, получаваме уравнението

,

което е следствие от първоначалното уравнение. Поставяйки на квадрат двете страни на това уравнение при условие, че , достигаме до уравнението

.

Това уравнение има корени , . Първият корен удовлетворява началното условие, а вторият не.

Отговор: x=2 .

Ако уравнението съдържа два или повече радикала, те първо се изолират и след това се повдигат на квадрат.

Пример 1

След като изолираме първия радикал, получаваме уравнение, което е еквивалентно на даденото. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

След като извършихме необходимите трансформации, квадратираме полученото уравнение

След проверка забелязваме това

не е в допустимия диапазон.

Отговор: 8.

Отговор: 2

Отговор: 3; 1.4.

3. Много ирационални уравнения се решават чрез въвеждане на спомагателни променливи.

Удобно средство за решаване на ирационални уравнения понякога е методът за въвеждане на нова променлива или метод на подмяна.Методът обикновено се прилага, ако в уравнението някакъв израз се появява многократно, в зависимост от неизвестната стойност. Тогава има смисъл да обозначим този израз с някаква нова буква и да се опитаме да решим уравнението първо по отношение на въведеното неизвестно и след това да намерим първоначалното неизвестно.

Добрият избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна. Новата променлива понякога е очевидна, понякога някак завоалирана, но се „усеща“, а понякога се „появява“ само в процеса на трансформация.

Пример 1

Позволявам
t>0, тогава

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 \u003d -7, t 2 \u003d 2. t=-7 не отговаря на условието t>0, тогава

,

x 2 -2x-5 \u003d 0,

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1+
.

Отговор: 1-
; 1+
.

Пример 2Решете ирационално уравнение

Замяна:

Обратна замяна: /

Отговор:

Пример 3Решете уравнението .

Нека направим замествания: , . Оригиналното уравнение ще бъде пренаписано във формата , откъдето намираме това а = 4bи . Освен това, повишаване на двете страни на уравнението на квадрат, получаваме: От тук х= 15. Остава да проверим:

- правилно!

Отговор: 15.

Пример 4. реши уравнението

Задавайки, получаваме много по-просто ирационално уравнение. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението: .

; ;

; ; , .

Проверката на намерените стойности, заместването им в уравнението показва, че това е коренът на уравнението и е външен корен.

Връщане към оригиналната променлива х, получаваме уравнението , т.е квадратно уравнение, решавайки което намираме два корена: ,. И двата корена отговарят на първоначалното уравнение.

Отговор: , .

Заместването е особено полезно, ако в резултат се постигне ново качество, например ирационално уравнение стане рационално.

Пример 6. Решете уравнението.

Нека пренапишем уравнението така:

Може да се види, че ако въведем нова променлива , тогава уравнението ще приеме формата , откъдето е външен корен и .

От уравнението получаваме , .

Отговор: , .

Пример 7. реши уравнението .

Нека въведем нова променлива, .

В резултат на това първоначалното ирационално уравнение приема формата на квадратно

,

откъдето, като вземем предвид ограничението , получаваме . Решавайки уравнението, получаваме корена. Отговор: 2,5.

Задачи за самостоятелно решаване.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. Метод за въвеждане на две спомагателни променливи.

Уравнения на формата (тук а , b , ° С , д – някои числа м , н – естествени числа) и редица други уравнения често могат да бъдат решени чрез въвеждане на две спомагателни неизвестни:и , където и последващия преход към еквивалентна система от рационални уравнения.

Пример 1. Решете уравнението.

Повишаването на двете страни на това уравнение на четвърта степен не вещае нищо добро. Ако поставим , , тогава първоначалното уравнение се пренаписва, както следва: . Тъй като сме въвели две нови неизвестни, трябва да намерим още едно уравнение, свързано ги z. За да направим това, повдигаме равенствата , на четвърта степен и отбелязваме, че . И така, трябва да решим системата от уравнения

Чрез повдигане на квадрат получаваме:

След заместване имаме: или . Тогава системата има две решения: , ; , , и системата няма решения.

Остава да се реши системата от две уравнения с едно неизвестно

и системата Първият от тях дава , вторият дава .

Отговор: , .

Пример 2

Позволявам

Отговор:

5. Уравнения с радикал от трета степен.
При решаване на уравнения, съдържащи радикали от трета степен, може да бъде полезно да се използват идентичности на добавяне:

Пример 1 .
Нека повдигнем двете страни на това уравнение на 3-та степен и използваме горната идентичност:

Обърнете внимание, че изразът в скоби е равен на 1, което следва от оригиналното уравнение. Като вземем това предвид и приведем подобни условия, получаваме:
Нека отворим скобите, да дадем подобни членове и да решим квадратното уравнение. своите корении. Ако приемем (по дефиниция), че коренът на нечетна степен може да бъде извлечен и от отрицателни числа, тогава и двете получени числа са решения на оригиналното уравнение.
Отговор:.

6. Умножение на двете части на уравнението по спрегнатия израз на една от тях.

Понякога ирационално уравнение може да бъде решено доста бързо, ако двете страни се умножат по добре избрана функция. Разбира се, при умножаване на двете части на уравнението по някаква функция могат да се появят странични решения, те могат да се окажат нули на самата тази функция. Следователно предложеният метод изисква задължително изследване на получените стойности.

Пример 1Решете уравнението

Решение:Да изберем функция

Умножете двете страни на уравнението по избраната функция:

Привеждаме подобни членове и получаваме еквивалентно уравнение

Добавяме първоначалното уравнение и получаваме последното

Отговор: .

7. Тъждествени трансформации при решаване на ирационални уравнения

При решаването на ирационални уравнения често е необходимо да се прилагат идентични трансформации, свързани с използването на добре известни формули. За съжаление, тези действия понякога са толкова опасни, колкото повишаването на равна степен - решенията могат да бъдат спечелени или загубени.

Нека да разгледаме няколко ситуации, в които възникват тези проблеми, и да се научим как да ги разпознаваме и предотвратяваме.

аз Пример 1. Решете уравнението.

Решение.Тук важи формулата .

Просто трябва да помислите за безопасността на използването му. Лесно се вижда, че лявата и дясната му част имат различни областиопределения и че това равенство е вярно само при условието . Следователно първоначалното уравнение е еквивалентно на системата

Решавайки уравнението на тази система, получаваме корените и . Вторият корен не удовлетворява набора от неравенства на системата и следователно е външен корен на първоначалното уравнение.

Отговор: -1 .

II.Следващото опасно преобразуване при решаване на ирационални уравнения се определя от формулата .

Ако използвате тази формула отляво надясно, DPV се разширява и могат да бъдат закупени решения на трети страни. Наистина и двете функции и трябва да са неотрицателни от лявата страна; и техният продукт трябва да е неотрицателен вдясно.

Помислете за пример, при който проблемът е реализиран с помощта на формулата.

Пример 2. Решете уравнението.

Решение.Нека се опитаме да решим това уравнение чрез разлагане на множители

Обърнете внимание, че по време на това действие решението се оказа загубено, тъй като отговаря на първоначалното уравнение и вече не отговаря на полученото: няма смисъл за . Следователно това уравнение се решава най-добре чрез обичайното повдигане на квадрат

Решавайки уравнението на тази система, получаваме корените и . И двата корена удовлетворяват неравенството на системата.

Отговор: , .

III.Има още повече опасно действие- намаление с общ коефициент.

Пример 3. реши уравнението .

Грешно разсъждение: Намаляваме двете страни на уравнението с , получаваме .

Няма нищо по-опасно и грешно от това действие. Първо, беше загубено подходящо решение на първоначалното уравнение; второ, бяха закупени две решения на трети страни. Оказва се, че новото уравнение няма нищо общо с оригинала! Ние ще дадем правилното решение.

Решение. Прехвърляме всички членове в лявата страна на уравнението и го размножаваме

.

Това уравнение е еквивалентно на системата

което има единствено решение.

Отговор: 3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Като част от изучаването на избираемия курс са показани нестандартни методи за решаване на сложни проблеми, които успешно се развиват логично мислене, способността да се намери сред многото начини за решаване този, който е удобен за ученика и рационален. Този курс изисква от студентите да самостоятелна работа, допринася за подготовката на учениците за продължаващо обучение, повишаване на нивото на математическата култура.

Статията разглежда основните методи за решаване на ирационални уравнения, някои подходи за решаване на уравнения от по-високи степени, чието използване се предполага, че се използва при решаване на задачи на USE, както и при постъпване в университети и продължаване на математическото образование. Беше разкрито и съдържанието на основните понятия и постановки, свързани с теорията за решаване на ирационални уравнения. След като определихме най-често срещания метод за решаване на уравнения, разкрихме приложението му в стандартни и нестандартни ситуации. Освен това те считаха типични грешкипри извършване на идентични трансформации и начини за преодоляването им.

По време на курса студентите ще имат възможност да овладеят различни методи и техники за решаване на уравнения, като същевременно се учат да систематизират и обобщават теоретичната информация, самостоятелно да търсят решения на някои проблеми и във връзка с това да съставят редица задачи и упражнения върху тези теми. Изборът на сложен материал ще помогне на учениците да се изразят в изследователски дейности.

положителна странакурс е възможността за по-нататъшно прилагане от студентите на изучавания материал в преминаване на изпита, прием в университети.

Отрицателната страна е, че не всеки ученик може да овладее всички техники от този курс, дори и да иска, поради трудността на повечето от задачите за решаване.

ЛИТЕРАТУРА:

Шаригин И.Ф. „Математика за кандидати за университети.“ - 3-то изд., - М .: Drofa, 2000.

Уравнения и неравенства. Справочник./ Вавилов В.В., Мелников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Изпит, 1998.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. „Математика: Интензивен курс за подготовка за изпити“. - 8-мо издание, Рев. и допълнителни - М .: Ирис, 2003. - (Домашен учител)

Балаян Е.Н. Комплексни упражнения и варианти на тренировъчни задачи за изпита по математика. Ростов на Дон: Издателство Феникс, 2004 г.

Scanavi M.I. "Сборник задачи по математика за кандидатстващи във ВУЗ." - М., "Висше училище", 1998 г.

Игусман О.С. „Математиката на устния изпит“. - М., Ирис, 1999.

Изпитни материали за подготовка за Единен държавен изпит - 2008 - 2012 г.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina „USE - 2010. Математика. Учител "Московско" Просвещение "2010 г.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович „Математика. Справочни материали "Москва" Просвещение "1988.

Уравнения, в които променлива се съдържа под знака на корена, се наричат ​​ирационални.

Методите за решаване на ирационални уравнения обикновено се основават на възможността за замяна (с помощта на някои трансформации) на ирационалното уравнение рационално уравнение, което е или еквивалентно на първоначалното ирационално уравнение, или е негово следствие. Най-често двете страни на уравнението се повдигат на еднаква степен. В този случай се получава уравнение, което е следствие от първоначалното.

При решаването на ирационални уравнения трябва да се вземе предвид следното:

1) ако индексът на корена е четно число, тогава радикалният израз трябва да е неотрицателен; стойността на корена също е неотрицателна (определението на корен с четен показател);

2) ако индексът на корена е нечетно число, тогава радикалният израз може да бъде всяко реално число; в този случай знакът на корена е същият като знака на коренния израз.

Пример 1реши уравнението

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.
x 2 - 3 \u003d 1;
Прехвърляме -3 от лявата страна на уравнението в дясната страна и извършваме редукция на подобни членове.
x 2 \u003d 4;
Полученото непълно квадратно уравнение има два корена -2 и 2.

Нека проверим получените корени, за това ще заместим стойностите на променливата x в оригиналното уравнение.
Преглед.
Когато x 1 \u003d -2 - вярно:
Когато x 2 \u003d -2- вярно.
От това следва, че първоначалното ирационално уравнение има два корена -2 и 2.

Пример 2реши уравнението .

Това уравнение може да бъде решено по същия метод като в първия пример, но ние ще го направим по различен начин.

Нека намерим ODZ на това уравнение. От дефиницията на квадратния корен следва, че в това уравнение трябва да бъдат изпълнени едновременно две условия:

ОДЗ на даденото уравнение: х.

Отговор: няма корени.

Пример 3реши уравнението =+ 2.

Намирането на ODZ в това уравнение е доста трудна задача. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
х 1 =1; х2=0.
След проверка установяваме, че x 2 \u003d 0 е допълнителен корен.
Отговор: x 1 \u003d 1.

Пример 4Решете уравнението x =.

В този пример ODZ е лесен за намиране. ODZ на това уравнение: x[-1;).

Нека поставим на квадрат двете страни на това уравнение, като резултат получаваме уравнението x 2 \u003d x + 1. Корените на това уравнение:

Трудно е да се проверят откритите корени. Но въпреки факта, че и двата корена принадлежат на ODZ, е невъзможно да се твърди, че и двата корена са корените на оригиналното уравнение. Това ще доведе до грешка. В този случай ирационалното уравнение е еквивалентно на комбинация от две неравенства и едно уравнение:

х+10 и x0 и x 2 \u003d x + 1, от което следва, че отрицателният корен за ирационалното уравнение е страничен и трябва да бъде изхвърлен.

Пример 5 .Решете уравнението += 7.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението и извършим редукция на подобни членове, прехвърлим членовете от едната част на уравнението в другата и умножим двете части по 0,5. В резултат на това получаваме уравнението
= 12, (*) което е следствие от първоначалното. Нека отново повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. Получаваме уравнението (x + 5) (20 - x) = 144, което е следствие от първоначалното. Полученото уравнение се редуцира до формата x 2 - 15x + 44 =0.

Това уравнение (което също е следствие от оригиналното) има корени x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. И двата корена, както показва тестът, удовлетворяват оригиналното уравнение.

Представител x 1 = 4, x 2 = 11.

Коментирайте. Когато повдигат уравнения на квадрат, учениците често в уравнения като (*) умножават коренни изрази, т.е. вместо уравнение = 12, те записват уравнението = 12. Това не води до грешки, тъй като уравненията са следствия от уравненията. Трябва обаче да се има предвид, че в общ случайтакова умножение на радикални изрази дава нееквивалентни уравнения.

В примерите, обсъдени по-горе, беше възможно първо да се прехвърли един от радикалите към правилната странауравнения. Тогава от лявата страна на уравнението ще остане един радикал и след повдигане на квадрат на двете страни на уравнението ще се получи рационална функция от лявата страна на уравнението. Тази техника (самотата на радикала) се използва доста често при решаване на ирационални уравнения.

Пример 6. Решете уравнение-= 3.

След като изолираме първия радикал, получаваме уравнението
=+ 3, което е еквивалентно на оригиналното.

Поставяйки на квадрат двете страни на това уравнение, получаваме уравнението

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, което е еквивалентно на уравнението

4x - 5 = 3(*). Това уравнение е следствие от първоначалното уравнение. Поставяйки на квадрат двете страни на уравнението, стигаме до уравнението
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), или

7x2 - 13x - 2 = 0.

Това уравнение е следствие от уравнението (*) (и следователно от оригиналното уравнение) и има корени. Първият корен x 1 = 2 удовлетворява първоначалното уравнение, а вторият x 2 =- не.

Отговор: x = 2.

Обърнете внимание, че ако веднага, без да изолираме един от радикалите, повдигнем на квадрат двете части на първоначалното уравнение, ще трябва да извършим доста тромави трансформации.

При решаването на ирационални уравнения, в допълнение към изолирането на радикали, се използват и други методи. Помислете за пример за използване на метода за заместване на неизвестното (методът за въвеждане на спомагателна променлива).