Ирационалните уравнения са сложни примери. Начини за решаване на ирационални уравнения

Отговор: x = 3.

8 метод. Приложение на производната при решаване на ирационални уравнения

Най-често при решаване на уравнения чрез метода на производните се използва методът на оценка.

ПРИМЕР 15:

Решете уравнението: (1)

Решение: Тъй като https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Разгледайте функцията ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> изобщо и следователно нараства. Следователно уравнението е еквивалентно на уравнение, което има корен, който е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор:

ПРИМЕР 16:

Решете ирационалното уравнение:

Областта на дефиниране на функцията е сегмент. Намерете най-големия и най-малка стойностстойностите на тази функция на интервала. За да направим това, намираме производната на функцията е(х): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> Нека намерим стойностите на функцията е(х)в краищата на сегмента и в точката: So, But и, следователно, равенството е възможно само при условие https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Проверката показва, че числото 3 е коренът на това уравнение.

Отговор:х = 3.

9 метод. Функционален

На изпитите понякога предлагат решаване на уравнения, които могат да бъдат записани във формата , където е определена функция.

Например, някои уравнения: 1) 2) . Наистина в първия случай , във втория случай . Следователно, решете ирационални уравнения, като използвате следното твърдение: ако функция е строго нарастваща върху множеството хи за всеки , тогава уравненията и т.н. са еквивалентни на множеството х .

Решете ирационалното уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго нарастващ на снимачната площадка R,и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > което има уникален корен Следователно еквивалентното уравнение (1) също има уникален корен

Отговор:х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решете ирационалното уравнение: (1)

По дефиниция корен квадратенполучаваме, че ако уравнение (1) има корени, тогава те принадлежат към множеството https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Считайте, че функцията https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго нараства в този набор за всеки ..gif" width="100" височина ="41"> което има един корен Следователно и еквивалентно на него в множеството хуравнение (1) има един корен

Отговор: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Това уравнение е еквивалентно на смесена система

Методически разработки на избираемата дисциплина

"Методи за решаване на ирационални уравнения""

ВЪВЕДЕНИЕ

Предложената избираема дисциплина "Методи за решаване на ирационални уравнения" е предназначена за ученици от 11 клас средно училищеи е предметно ориентиран, насочен към разширяване на теоретичните и практически знаниястуденти. Избираемата дисциплина се основава на знанията и уменията, които учениците придобиват при изучаването на математика в гимназията.

Спецификата на тази дисциплина се състои в това, че тя е предназначена предимно за студенти, които искат да разширят, задълбочат, систематизират, обобщят своите математически знания, да изучават общи методи и техники за решаване на ирационални уравнения. Програмата включва въпроси, които частично надхвърлят текущите програми по математика и нестандартни методи, които ви позволяват по-ефективно да решавате различни проблеми.

Повечето USE задачи изискват завършилите да притежават различни методирешения на различни видове уравнения и техните системи.Материалът, свързан с уравнения и системи от уравнения, е значителна част от училищния курс по математика. Релевантност на избора на тема избираема дисциплинасе определя от важността на темата "Ирационални уравнения" в училищния курс по математика и в същото време от липсата на време за разглеждане на нестандартни методи и подходи за решаване на ирационални уравнения, които се срещат в задачите на " В" група на Единния държавен изпит.

Заедно с осите нова задачаи преподаване на математика - осигуряване на силно и съзнателно овладяване на системата от математически знания и умения от учениците - този избираем курс осигурява формирането на устойчив интерес към предмета, развитието на математическите способности, повишаване на нивото на математическата култура на учениците, създава основа за успешна доставкаЕдинен държавен изпит и продължаващо обучение в университетите.

Цел на курса:

Повишаване на нивото на разбиране и практическо обучение при решаване на ирационални уравнения;

Да изучава техниките и методите за решаване на ирационални уравнения;

Да се ​​​​формира способността за анализ, подчертаване на основното, формиране на елементи на творческо търсене въз основа на техники за обобщение;

За да разширите знанията на учениците по тази тема, да подобрите уменията и способностите за решаване на различни проблеми за успешното полагане на изпита.

Цели на курса:

Разширяване на знанията за методите и начините за решаване на алгебрични уравнения;

Обобщаване и систематизиране на знанията при обучение в 10-11 клас и подготовка за изпит;

Развиване на способността за самостоятелно придобиване и прилагане на знания;

Въвеждане на учениците в работа с математическа литература;

Развитие на логическото мислене на учениците, тяхната алгоритмична култура и математическа интуиция;

Повишаване на математическата култура на ученика.

Програмата на избираемата дисциплина включва изучаване на различни методи и подходи за решаване на ирационални уравнения, развитие на практически умения по разглежданите въпроси. Курсът е предназначен за 17 часа.

Програмата е сложна, надминава обичайния курс на обучение, насърчава развитието на абстрактното мислене и разширява полето на познание на ученика. Въпреки това поддържа приемственост с съществуващи програми, като тяхното логическо продължение.

Учебен и тематичен план

№п/п

Тема

Брой часове

Решаване на уравнения, като се вземе предвид обхватът на приемливите стойности

Решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на естествена степен

Решаване на уравнения чрез въвеждане на спомагателни променливи (метод на заместване)

Решение на уравнение с радикал от трета степен.

Тъждествени трансформации при решаване на ирационални уравнения

Нетрадиционни задачи. Задачи от група "C" USE

Форми на контрол:домашен контрол, самостоятелна работа, есета и научни доклади.

В резултат на преподаването на тази избираема дисциплина студентите трябва да могат да решават различни ирационални уравнения, използвайки стандартни и нестандартни методи и техники;

овладяват алгоритъма за решаване на стандартни ирационални уравнения;

да могат да използват свойствата на уравненията за решаване на нестандартни задачи;

да може да извършва тъждествени преобразувания при решаване на уравнения;

имат ясно разбиране по темите на единен държавен изпит, за основните методи за техните решения;

придобиват опит в избора на методи за решаване на нестандартни проблеми.

ГЛАВНА ЧАСТ.

Уравнения, в които неизвестната величина е под знака на радикала, се наричат ирационален.

Най-простите ирационални уравнения включват уравнения от формата:

Основната идея на решениетоирационално уравнение е да го редуцираме до рационално алгебрично уравнение, което е или еквивалентно на оригиналното ирационално уравнение, или е негово следствие. Когато решаваме ирационални уравнения, винаги говорим за намиране на реални корени.

Помислете за някои начини за решаване на ирационални уравнения.

1. Решението на ирационални уравнения, като се вземе предвид обхватът на допустимите стойности (ODZ).

Домейнът на допустимите стойности на ирационално уравнение се състои от онези стойности на неизвестните, за които всички изрази под знака на радикал с четна степен са неотрицателни.

Понякога познаването на ODZ ни позволява да докажем, че уравнението няма решения, а понякога ни позволява да намерим решения на уравнението чрез директно заместване на числа от ODZ.

Пример1 . реши уравнението.

Решение . След като намерихме ODZ на това уравнение, стигаме до заключението, че ODZ на оригиналното уравнение е набор от един елемент. Заместванех=2в това уравнение, заключаваме, чех=2е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор : 2 .

Пример2.

Уравнението няма решения, т.к за всяка валидна стойност на променливата сумата от две неотрицателни числа не може да бъде отрицателна.

Пример 3
+ 3 =
.

ODZ:

Уравнението ODZ е празен набор.

Отговор: Уравнението няма корени.

Пример 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Чрез проверка се убеждаваме, че x \u003d 1 е коренът на уравнението.

Отговор: 1.

Докажете, че уравнението няма

корени.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Решете уравнението.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. В повдигане на двете страни на уравнение на естествена степен , тоест преходът от уравнението

(1)

към уравнението

. (2)

Следните твърдения са верни:

1) за всяко уравнение (2) е следствие от уравнение (1);

2) ако ( не нечетно число), тогава уравнения (1) и (2 ) са еквивалентни;

3) ако ( не четно число), тогава уравнение (2) е еквивалентно на уравнението

, (3)

и уравнение (3) е еквивалентно на набора от уравнения

. (4)

По-специално, уравнението

(5)

е еквивалентен на набор от уравнения (4).

Пример 1. реши уравнението

.

Уравнението е еквивалентно на системата

откъдето следва, че x=1, а коренът не удовлетворява второто неравенство. В същото време компетентното решение не изисква проверка.

Отговор:x=1.

Пример 2. Решете уравнението.

Решаване на първото уравнение на тази система, което е еквивалентно на уравнението , получаваме корените и . Въпреки това, за тези стойности хнеравенството не е изпълнено и следователно това уравнение няма корени.

Отговор: без корени.

Пример 3. реши уравнението

След като изолираме първия радикал, получаваме уравнението

еквивалентен на оригинала.

Поставяйки на квадрат двете страни на това уравнение, тъй като и двете са положителни, получаваме уравнението

,

което е следствие от първоначалното уравнение. Поставяйки на квадрат двете страни на това уравнение при условие, че , достигаме до уравнението

.

Това уравнение има корени , . Първият корен удовлетворява началното условие, а вторият не.

Отговор: x=2 .

Ако уравнението съдържа два или повече радикала, те първо се изолират и след това се повдигат на квадрат.

Пример 1

След като изолираме първия радикал, получаваме уравнение, което е еквивалентно на даденото. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

След като извършихме необходимите трансформации, квадратираме полученото уравнение

След проверка забелязваме това

не е в допустимия диапазон.

Отговор: 8.

Отговор: 2

Отговор: 3; 1.4.

3. Много ирационални уравнения се решават чрез въвеждане на спомагателни променливи.

Удобно средство за решаване на ирационални уравнения понякога е методът за въвеждане на нова променлива или метод на подмяна.Методът обикновено се прилага, ако в уравнението някакъв израз се появява многократно, в зависимост от неизвестната стойност. Тогава има смисъл да обозначим този израз с някаква нова буква и да се опитаме да решим уравнението първо по отношение на въведеното неизвестно и след това да намерим първоначалното неизвестно.

Добрият избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна. Новата променлива понякога е очевидна, понякога някак завоалирана, но се „усеща“, а понякога се „появява“ само в процеса на трансформация.

Пример 1

Позволявам
t>0, тогава

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 \u003d -7, t 2 \u003d 2. t=-7 не отговаря на условието t>0, тогава

,

x 2 -2x-5 \u003d 0,

x 1 \u003d 1-
, x 2 \u003d 1+
.

Отговор: 1-
; 1+
.

Пример 2Решете ирационално уравнение

Замяна:

Обратна замяна: /

Отговор:

Пример 3Решете уравнението .

Нека направим замествания: , . Оригиналното уравнение ще бъде пренаписано във формата , откъдето намираме това а = 4bи . Освен това, повишаване на двете страни на уравнението на квадрат, получаваме: От тук х= 15. Остава да проверим:

- правилно!

Отговор: 15.

Пример 4. реши уравнението

Задавайки, получаваме много по-просто ирационално уравнение. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението: .

; ;

; ; , .

Проверката на намерените стойности, заместването им в уравнението показва, че това е коренът на уравнението и е външен корен.

Връщане към оригиналната променлива х, получаваме уравнение, т.е. квадратно уравнение, решавайки което намираме два корена:,. И двата корена отговарят на първоначалното уравнение.

Отговор: , .

Заместването е особено полезно, ако в резултат се постигне ново качество, например ирационално уравнение стане рационално.

Пример 6. Решете уравнението.

Нека пренапишем уравнението така:

Може да се види, че ако въведем нова променлива , тогава уравнението ще приеме формата , откъдето е външен корен и .

От уравнението получаваме , .

Отговор: , .

Пример 7. реши уравнението .

Нека въведем нова променлива, .

В резултат на това първоначалното ирационално уравнение приема формата на квадратно

,

откъдето, като вземем предвид ограничението , получаваме . Решавайки уравнението, получаваме корена. Отговор: 2,5.

Задачи за самостоятелно решаване.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. Метод за въвеждане на две спомагателни променливи.

Уравнения на формата (тук а , b , ° С , д – някои числа м , н – естествени числа) и редица други уравнения често могат да бъдат решени чрез въвеждане на две спомагателни неизвестни:и , където и последващия преход към еквивалентна система от рационални уравнения.

Пример 1. Решете уравнението.

Повишаването на двете страни на това уравнение на четвърта степен не вещае нищо добро. Ако поставим , , тогава първоначалното уравнение се пренаписва, както следва: . Тъй като сме въвели две нови неизвестни, трябва да намерим още едно уравнение, свързано ги z. За да направим това, повдигаме равенствата , на четвърта степен и отбелязваме, че . И така, трябва да решим системата от уравнения

Чрез повдигане на квадрат получаваме:

След заместване имаме: или . Тогава системата има две решения: , ; , , и системата няма решения.

Остава да се реши системата от две уравнения с едно неизвестно

и системата Първият от тях дава , вторият дава .

Отговор: , .

Пример 2

Позволявам

Отговор:

5. Уравнения с радикал от трета степен.
При решаване на уравнения, съдържащи радикали от трета степен, може да бъде полезно да се използват идентичности на добавяне:

Пример 1 .
Нека повдигнем двете страни на това уравнение на 3-та степен и използваме горната идентичност:

Обърнете внимание, че изразът в скоби е равен на 1, което следва от оригиналното уравнение. Като вземем това предвид и приведем подобни условия, получаваме:
Нека отворим скобите, да дадем подобни членове и да решим квадратното уравнение. своите корении. Ако приемем (по дефиниция), че коренът на нечетна степен може да бъде извлечен и от отрицателни числа, тогава и двете получени числа са решения на оригиналното уравнение.
Отговор:.

6. Умножение на двете части на уравнението по спрегнатия израз на една от тях.

Понякога ирационално уравнение може да бъде решено доста бързо, ако двете страни се умножат по добре избрана функция. Разбира се, когато и двете страни на уравнението се умножат по някаква функция, могат да се появят странични решения, те могат да се окажат нули на самата тази функция. Следователно предложеният метод изисква задължително изследване на получените стойности.

Пример 1Решете уравнението

Решение:Да изберем функция

Умножете двете страни на уравнението по избраната функция:

Привеждаме подобни членове и получаваме еквивалентно уравнение

Добавяме първоначалното уравнение и получаваме последното

Отговор: .

7. Тъждествени трансформации при решаване на ирационални уравнения

При решаването на ирационални уравнения често е необходимо да се прилагат идентични трансформации, свързани с използването на добре известни формули. За съжаление, тези действия понякога са толкова опасни, колкото повишаването на равна степен - решенията могат да бъдат спечелени или загубени.

Нека да разгледаме няколко ситуации, в които възникват тези проблеми, и да се научим как да ги разпознаваме и предотвратяваме.

аз Пример 1. Решете уравнението.

Решение.Тук важи формулата .

Просто трябва да помислите за безопасността на използването му. Лесно се вижда, че лявата и дясната му част имат различни областиопределения и че това равенство е вярно само при условието . Следователно първоначалното уравнение е еквивалентно на системата

Решавайки уравнението на тази система, получаваме корените и . Вторият корен не удовлетворява набора от неравенства на системата и следователно е външен корен на първоначалното уравнение.

Отговор: -1 .

II.Следващото опасно преобразуване при решаване на ирационални уравнения се определя от формулата .

Ако използвате тази формула отляво надясно, DPV се разширява и могат да бъдат закупени решения на трети страни. Наистина и двете функции и трябва да са неотрицателни от лявата страна; и техният продукт трябва да е неотрицателен вдясно.

Помислете за пример, при който проблемът е реализиран с помощта на формулата.

Пример 2. Решете уравнението.

Решение.Нека се опитаме да решим това уравнение чрез разлагане на множители

Обърнете внимание, че по време на това действие решението се оказа загубено, тъй като отговаря на първоначалното уравнение и вече не отговаря на полученото: няма смисъл за . Следователно това уравнение се решава най-добре чрез обичайното повдигане на квадрат

Решавайки уравнението на тази система, получаваме корените и . И двата корена удовлетворяват неравенството на системата.

Отговор: , .

III.Има още повече опасно действие- намаление с общ коефициент.

Пример 3. реши уравнението .

Грешно разсъждение: Намаляваме двете страни на уравнението с , получаваме .

Няма нищо по-опасно и грешно от това действие. Първо, беше загубено подходящо решение на първоначалното уравнение; второ, бяха закупени две решения на трети страни. Оказва се, че новото уравнение няма нищо общо с оригинала! Ние ще дадем правилното решение.

Решение. Прехвърляме всички членове в лявата страна на уравнението и го размножаваме

.

Това уравнение е еквивалентно на системата

което има единствено решение.

Отговор: 3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Като част от изучаването на избираемия курс са показани нестандартни методи за решаване на сложни проблеми, които успешно се развиват логично мислене, способността да се намери сред многото начини за решаване този, който е удобен за ученика и рационален. Този курс изисква от учениците много самостоятелна работа, помага за подготовката на учениците за продължаващо обучение и повишава нивото на математическа култура.

Статията разглежда основните методи за решаване на ирационални уравнения, някои подходи за решаване на уравнения от по-високи степени, чието използване се предполага, че се използва при решаване на задачи на USE, както и при постъпване в университети и продължаване на математическото образование. Беше разкрито и съдържанието на основните понятия и постановки, свързани с теорията за решаване на ирационални уравнения. След като определихме най-често срещания метод за решаване на уравнения, разкрихме приложението му в стандартни и нестандартни ситуации. Освен това те считаха типични грешкипри извършване на идентични трансформации и начини за преодоляването им.

По време на курса студентите ще имат възможност да овладеят различни методи и техники за решаване на уравнения, като същевременно се научат да систематизират и обобщават теоретичната информация, самостоятелно да търсят решения на някои проблеми и във връзка с това да съставят редица задачи и упражнения върху тези теми. Изборът на сложен материал ще помогне на учениците да се изразят в изследователски дейности.

положителна странакурс е възможността за по-нататъшно прилагане от студентите на изучавания материал в преминаване на изпита, прием в университети.

Отрицателната страна е, че не всеки ученик може да овладее всички техники от този курс, дори и да иска, поради трудността на повечето от задачите за решаване.

ЛИТЕРАТУРА:

Шаригин И.Ф. „Математика за кандидати за университети.“ - 3-то изд., - М .: Drofa, 2000.

Уравнения и неравенства. Справочник./ Вавилов В.В., Мелников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Изпит, 1998.

Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. „Математика: Интензивен курс за подготовка за изпити“. - 8-мо издание, Рев. и допълнителни - М .: Ирис, 2003. - (Домашен учител)

Балаян Е.Н. Комплексни упражнения и варианти на тренировъчни задачи за изпита по математика. Ростов на Дон: Издателство Феникс, 2004 г.

Scanavi M.I. "Сборник задачи по математика за кандидатстващи във ВУЗ." - М., "Висше училище", 1998 г.

Игусман О.С. „Математиката на устния изпит“. - М., Ирис, 1999.

Изпитни материали за подготовка за Единен държавен изпит - 2008 - 2012 г.

V.V.Kochagin, M.N.Kochagina „USE - 2010. Математика. Учител "Московско" Просвещение "2010 г.

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович „Математика. Справочни материали "Москва" Просвещение "1988.

Решение на ирационални уравнения.

В тази статия ще говорим за начините за решаване най-простите ирационални уравнения.

Ирационално уравнениесе нарича уравнение, което съдържа неизвестното под знака на корена.

Нека разгледаме два вида ирационални уравнения, които на пръв поглед много си приличат, но всъщност са много различни един от друг.

(1)

(2)

В първото уравнение виждаме, че неизвестното е под знака на корена на трета степен. Можем да извлечем нечетен корен от отрицателно число, така че в това уравнение няма ограничения нито върху израза под знака за корен, нито върху израза от дясната страна на уравнението. Можем да повдигнем двете страни на уравнението на трета степен, за да се отървем от корена. Получаваме еквивалентно уравнение:

Когато повдигаме дясната и лявата страна на уравнението до нечетна степен, не можем да се страхуваме от получаване на външни корени.

Пример 1. Нека решим уравнението

Нека повдигнем двете страни на уравнението на трета степен. Получаваме еквивалентно уравнение:

Нека преместим всички членове в една посока и извадим x от скобите:

Приравняваме всеки фактор на нула, получаваме:

Отговор: (0;1;2)

Нека разгледаме по-отблизо второто уравнение: . От лявата страна на уравнението е квадратният корен, който приема само неотрицателни стойности. Следователно, за да има уравнението решения, дясна частсъщо трябва да бъде неотрицателно. Следователно в дясната страна на уравнението се налага следното условие:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} условие за наличие на корени.

За да решите уравнение от този вид, трябва да поставите на квадрат двете страни на уравнението:

(3)

Поставянето на квадрат може да въведе външни корени, така че имаме нужда от уравнения:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

Неравенството (4) обаче следва от условие (3): ако квадратът на някакъв израз е от дясната страна на равенството и квадратът на всеки израз може да приема само неотрицателни стойности, тогава лявата страна също трябва да не е - отрицателен. Следователно условие (4) автоматично следва от условие (3) и нашето уравнението е еквивалентен на системата:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Пример 2 .Нека решим уравнението:

.

Нека да преминем към еквивалентна система:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Решаваме първото уравнение на системата и проверяваме кои корени удовлетворяват неравенството.

Неравенство title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Отговор: x=1

внимание!Ако поставим на квадрат двете страни на уравнението в процеса на решаване, тогава трябва да помним, че могат да се появят външни корени. Следователно или трябва да преминете към еквивалентна система, или в края на решението НАПРАВЕТЕ ПРОВЕРКА: намерете корените и ги заменете в оригиналното уравнение.

Пример 3. Нека решим уравнението:

За да решим това уравнение, също трябва да повдигнем на квадрат двете страни. Да не се занимаваме с ОДЗ и условието за наличие на корени в това уравнение, а просто в края на решението ще проверим.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Преместете термина, съдържащ корена, вляво, а всички други термини вдясно:

Нека отново повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Според Vieta Terme:

Да направим проверка. За да направим това, заместваме намерените корени в оригиналното уравнение. Очевидно за дясната страна на първоначалното уравнение е отрицателна, докато лявата страна е положителна.

Когато получим правилното равенство.

Обобщение на урока

"Методи за решаване на ирационални уравнения"

11 клас физико-математически профил.

Зеленодолски общински район RT"

Валиева С.З.

Тема на урока: Методи за решаване на ирационални уравнения

Целта на урока: 1. Изследвайте различни начинирешения на ирационални уравнения.

1. 
   Развийте способността за обобщаване, правилен избор на методи за решаване на ирационални уравнения.
2. 
   Развивайте независимост, възпитавайте речева грамотност

Тип урок:семинар.
План на урока:

1. 
   Организиране на времето
2. 
   Учене на нов материал
3. 
   Анкериране
4. 
   Домашна работа
5. 
   Обобщение на урока

По време на часовете
аз. Организационно време:посланието на темата на урока, целта на урока.

В предишния урок разгледахме решаването на ирационални уравнения, съдържащи квадратни корени, чрез повдигането им на квадрат. В този случай получаваме уравнение на следствието, което понякога води до появата на външни корени. И тогава задължителна част от решаването на уравнението е проверката на корените. Обмислихме също решаването на уравнения, използвайки определението за квадратен корен. В този случай проверката може да бъде пропусната. Въпреки това, когато решавате уравнения, не винаги е необходимо незабавно да преминете към „сляпо“ прилагане на алгоритми за решаване на уравнението. В задачите на Единния държавен изпит има доста уравнения, при решаването на които е необходимо да изберете метод на решение, който ви позволява да решавате уравненията по-лесно, по-бързо. Затова е необходимо да се познават и други методи за решаване на ирационални уравнения, с които ще се запознаем днес. Преди класът беше разделен на 8 творчески групи, като им бяха дадени конкретни примери, за да разкрият същността на даден метод. Даваме им дума.

От всяка група по 1 ученик обяснява на децата как се решават ирационални уравнения. Целият клас слуша и си записва историята.

1 начин. Въвеждане на нова променлива.

Решете уравнението: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Отговор: -3; 5.

2 начина. ODZ изследвания.

реши уравнението

ODZ:


x \u003d 2. Чрез проверка се уверяваме, че x \u003d 2 е коренът на уравнението.

3 начина. Умножаване на двете страни на уравнението по спрегнатия фактор.

+
(умножете двете страни по -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, следователно x=1. Чрез проверка се убеждаваме, че x \u003d 1 е коренът на това уравнение.

реши уравнението

Нека = u,
=v.

Получаваме системата:

Нека решим по метода на заместване. Получаваме u = 2, v = 2. Следователно,

получаваме x = 1.

Отговор: x = 1.

5 начин. Избор на пълен квадрат.

реши уравнението

Да отворим модулите. защото -1≤cos0,5x≤1, след това -4≤cos0,5x-3≤-2, така че . по същия начин,

Тогава получаваме уравнението

x = 4πn, nZ.

Отговор: 4πn, nZ.

6 начин. Метод на оценяване

реши уравнението

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, по дефиниция дясната страна -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

получаваме
тези. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Решавайки уравнението чрез разлагане на множители, получаваме x = 2, x = -2

Метод 7: Използване на свойствата на монотонността на функциите.

Решете уравнението. Функциите се увеличават строго. Сумата от нарастващите функции нараства и това уравнение има най-много един корен. Чрез селекция намираме x = 1.

8 начин. Използване на вектори.

Решете уравнението. ODZ: -1≤х≤3.

Нека векторът
. Скаларно произведениевектори - е лявата страна. Нека намерим произведението на техните дължини. Това е дясната страна. Има
, т.е. векторите a и b са колинеарни. Оттук
. Нека повдигнем на квадрат двете страни. Решавайки уравнението, получаваме x \u003d 1 и x \u003d
.

1. 
   Консолидация.(на всеки ученик се дава работен лист)

Намерете идея за решаване на уравнения (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
х = 2

3. x 2 - 3x +
(замяна)

4. (избор на пълен квадрат)

5.
(Редуциране на уравнение до система чрез въвеждане на променлива.)

6.
(чрез умножение по присъединения израз)

7.
защото
. Това уравнение няма корени.

8. Защото всеки член е неотрицателен, приравняваме ги на нула и решаваме системата.

9. 3

10. Намерете корена на уравнението (или произведението на корените, ако има няколко) на уравнението.

Написано самостоятелна работапоследвано от проверка

решавайте уравнения с номера 11,13,17,19

12. (x + 6) 2 -

14.

1. 
   Кои от тези методи се използват за решаване на други видове уравнения?
2. 
   Кой от тези методи ви хареса най-много и защо?

1. 
   Домашна работа: Решете останалите уравнения.

1. 
   Алгебра и начала математически анализ: проучвания. за 11 клетки. общо образование институции / С. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. М: Просвещение, 2009

1. 
   Дидактически материали по алгебра и принципи на анализа за 11 клас /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбург. – М.: Просвещение, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра и началото на анализа. 10 - 11 к.: Задачна тетрадка за общообразователна подготовка. институции. – М.: Мнемозина, 2000.
3. 
   Ершова А. П., Голобородко В. В. Независими и тестови работипо алгебра и наченки на анализ за 10-11 клас. – М.: Илекса, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010г

Когато изучават алгебра, учениците се сблъскват с уравнения от много видове. Сред тези, които са най-простите, могат да се назоват линейни, съдържащи едно неизвестно. Ако променлива в математически израз се повдигне на определена степен, тогава уравнението се нарича квадратно, кубично, биквадратно и т.н. Тези изрази могат да съдържат рационални числа. Но има и ирационални уравнения. Те се различават от другите по наличието на функция, където неизвестното е под знака на радикала (т.е. чисто външно променливата тук може да се види записана под квадратния корен). Решаването на ирационални уравнения има свои собствени характеристики. Когато се изчислява стойността на дадена променлива, за да се получи правилният отговор, те трябва да се вземат предвид.

„Неописуемо с думи“

Не е тайна, че древните математици са оперирали предимно с рационални числа. Те включват, както знаете, цели числа, изразени чрез обикновени и десетични периодични дроби, представители на тази общност. Но учени от Близкия и Близкия изток, както и Индия, развиващи тригонометрия, астрономия и алгебра, също се научиха да решават ирационални уравнения. Например, гърците са знаели такива количества, но, поставяйки ги в словесна форма, са използвали понятието „алогос“, което означава „неизразимо“. Малко по-късно европейците, имитирайки ги, нарекоха такива числа "глухи". Те се различават от всички останали по това, че могат да бъдат представени само под формата на безкрайна непериодична дроб, чийто окончателен цифров израз е просто невъзможно да се получи. Следователно по-често такива представители на царството на числата се записват под формата на числа и знаци като някакъв израз, който е под корена на втора или по-висока степен.

Въз основа на гореизложеното ще се опитаме да дефинираме ирационалното уравнение. Такива изрази съдържат така наречените "неизразими числа", записани със знака за квадратен корен. Те могат да бъдат всякакви доста сложни опции, но в най-простата си форма изглеждат като снимката по-долу.

Преминавайки към решаването на ирационални уравнения, на първо място е необходимо да се изчисли обхватът на допустимите стойности на променливата.

Има ли смисъл в израза?

Необходимостта от проверка на получените стойности следва от свойствата , Както е известно, такъв израз е приемлив и има значение само при определени условия. В случай на четен корен всички радикални изрази трябва да са положителни или равни на нула. Ако това условие не е изпълнено, тогава представената математическа нотация не може да се счита за значима.

Нека дадем конкретен пример за това как се решават ирационални уравнения (на снимката по-долу).

В този случай е очевидно, че тези условия не могат да бъдат изпълнени за никакви стойности, взети от желаната стойност, тъй като се оказва, че 11 ≤ x ≤ 4. Това означава, че само Ø може да бъде решение.

Метод на анализ

От горното става ясно как се решават някои видове ирационални уравнения. Тук по ефективен начинможе да е прост анализ.

Даваме редица примери, които отново ясно демонстрират това (на снимката по-долу).

В първия случай, при внимателно разглеждане на израза, веднага става пределно ясно, че той не може да бъде верен. Наистина, в крайна сметка трябва да се получи положително число от лявата страна на равенството, което по никакъв начин не може да бъде равно на -1.

Във втория случай сумата от два положителни израза може да се счита за равна на нула само когато x - 3 = 0 и x + 3 = 0 едновременно. Отново, това е невъзможно. И така, в отговора трябва да напишете Ø отново.

Третият пример е много подобен на предишния. Наистина, тук условията на ODZ изискват да бъде изпълнено следното абсурдно неравенство: 5 ≤ x ≤ 2. И такова уравнение по подобен начин не може да има здрави решения.

Неограничено увеличение

Природата на ирационалното може да бъде най-ясно и пълно обяснена и позната само чрез безкрайна поредица от числа. десетична дроб. И специфичното отличен примерот членовете на това семейство е pi. Не без причина се предполага, че тази математическа константа е известна от древни времена, като се използва при изчисляване на обиколката и площта на кръг. Но сред европейците за първи път е приложен на практика от англичанина Уилям Джоунс и швейцареца Леонард Ойлер.

Тази константа възниква по следния начин. Ако сравним най-различни обиколки, тогава съотношението на техните дължини и диаметри задължително е равно на едно и също число. Това е пи. Ако се изрази по отношение на обикновена дроб, тогава приблизително получаваме 22/7. Това е направено за първи път от великия Архимед, чийто портрет е показан на фигурата по-горе. Ето защо подобен номер получи името си. Но това не е явна, а приблизителна стойност на може би най-удивителното число. Брилянтният учен намери желаната стойност с точност до 0,02, но всъщност тази константа няма реална стойност, а се изразява като 3,1415926535 ... Това е безкрайна поредица от числа, безкрайно приближаващи се до определена митична стойност.

Квадратура

Но обратно към ирационалните уравнения. За да намерите неизвестното, в този случай много често се прибягва до прост метод: повдигнете на квадрат двете страни на съществуващото равенство. Този метод обикновено дава добри резултати. Но трябва да се вземе предвид коварството на ирационалните ценности. Всички получени в резултат на това корени трябва да бъдат проверени, защото може да не са подходящи.

Но нека продължим разглеждането на примерите и се опитаме да намерим променливите по новопредложения начин.

Съвсем лесно е, използвайки теоремата на Виета, да намерим желаните стойности на величините, след като сме формирали квадратно уравнение в резултат на определени операции. Тук се оказва, че сред корените ще има 2 и -19. Въпреки това, когато проверявате, замествайки получените стойности в оригиналния израз, можете да се уверите, че нито един от тези корени не е подходящ. Това е често срещано явление в ирационалните уравнения. Това означава, че нашата дилема отново няма решения и празното множество трябва да бъде посочено в отговора.

По-сложни примери

В някои случаи е необходимо двете страни на израза да се повдигнат на квадрат не веднъж, а няколко пъти. Обмислете примери, когато горното се изисква. Те могат да се видят по-долу.

След като получите корените, не забравяйте да ги проверите, защото могат да възникнат допълнителни. Трябва да се обясни защо това е възможно. При прилагането на такъв метод се получава по някакъв начин рационализация на уравнението. Но като се отървем от неприемливите за нас корени, които ни пречат да извършваме аритметични операции, ние, така да се каже, разширяваме съществуващия диапазон от стойности, което е изпълнено (както можете да разберете) с последствия. Предусещайки това, правим проверка. В този случай има шанс да се уверите, че само един от корените пасва: x = 0.

системи

Какво да правим в случаите, когато се изисква решаване на системи от ирационални уравнения, а имаме не едно, а две цели неизвестни? Тук действаме по същия начин, както в обикновените случаи, но като вземем предвид горните свойства на данните математически изрази. И във всяка нова задача, разбира се, трябва да прилагате творчески подход. Но отново е по-добре да разгледаме всичко на конкретен пример, представен по-долу. Тук не само се изисква да се намерят променливите x и y, но и да се посочи тяхната сума в отговора. И така, има система, съдържаща ирационални количества (вижте снимката по-долу).

Както можете да видите, такава задача не е свръхестествено трудна. Просто трябва да сте умни и да познаете, че лявата страна на първото уравнение е квадрат на сумата. Подобни задачи има и на изпита.

Ирационално в математиката

Всеки път необходимостта от създаване на нови видове числа възниква за човечеството, когато му липсва „пространство“ за решаване на някои уравнения. Ирационалните числа не са изключение. Както свидетелстват факти от историята, за първи път великите мъдреци обърнаха внимание на това още преди нашата ера, през 7 век. Това е направено от математик от Индия, известен като Манава. Той ясно разбра, че някои естествени числаневъзможно е да се извлече коренът. Например, те включват 2; 17 или 61, както и много други.

Един от питагорейците, мислител на име Хипас, стигна до същото заключение, опитвайки се да направи изчисления с числените изрази на страните на пентаграмата. След като откри математически елементи, които не могат да бъдат изразени числено и нямат свойствата на обикновените числа, той толкова разгневи колегите си, че беше изхвърлен зад борда в морето. Факт е, че други питагорейци смятаха неговите разсъждения за бунт срещу законите на Вселената.

Радикален знак: Еволюция

Коренният знак за изразяване на числената стойност на "глухите" числа започна да се използва при решаването на ирационални неравенства и уравнения далеч от веднага. За първи път европейските, по-специално италианските, математици започват да мислят за радикала около 13 век. В същото време те излязоха с идеята да използват за обозначаване латинското R. Но немските математици действаха по различен начин в своите трудове. Те харесаха повече буквата V. В Германия скоро се разпространи обозначението V (2), V (3), което имаше за цел да изрази корен квадратен от 2, 3 и т.н. По-късно холандците се намесиха и смениха знака на радикала. И Рене Декарт завърши еволюцията, довеждайки знака за квадратен корен до съвременно съвършенство.

Освобождаване от ирационалното

Ирационалните уравнения и неравенства могат да включват променлива не само под знака за квадратен корен. Може да бъде от всякаква степен. Най-често срещаният начин да се отървете от него е да повдигнете двете страни на уравнението на съответната степен. Това е основното действие, което помага при операции с ирационалното. Действията в четните случаи не се различават особено от тези, които вече сме анализирали по-рано. Тук трябва да се вземат предвид условията за неотрицателност на радикалния израз, а също така в края на решението е необходимо да се отсеят външните стойности на променливите по начина, показан в вече разгледани примери.

От допълнителните трансформации, които помагат да се намери правилният отговор, често се използва умножение на израза по конюгата, а също така често е необходимо да се въведе нова променлива, което улеснява решението. В някои случаи, за да намерите стойността на неизвестните, е препоръчително да използвате графики.