Решение на тригонометрични уравнения с тангенс. Тригонометрични уравнения

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, от които се нуждаете успешна доставка USE по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 профилен изпитматематика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Можете да поръчате подробно решениетвоя задача!!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и ние ще разгледаме техните формули по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека напишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синуса, няма решения сред реалните числа.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Освен това има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синусите:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• използване, за да го преобразувате в най-простия;
• решете полученото просто уравнение, като използвате горните формули за корените и таблиците.

Нека разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

алгебричен метод.

При този метод се извършва замяната на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Преместете наляво всички членове на равенство: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да приведете това тригонометрично уравнение в една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` ( хомогенно уравнениепърва степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` за първия случай и на `cos^2 x \ne 0` за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени с помощта на известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем правилната страна, като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, като разделим лявата и дясната му част на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да въведем замяната `tg x=t`, като резултат `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Прилагайки формулите за двоен ъгъл, резултатът е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки горното алгебричен метод, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение `a sin x + b cos x =c`, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, ние разделяме двете части на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и модулът им не е по-голям от 1. Означаваме ги по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяйки двете страни на уравнението на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Означете `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, в чиито числители и знаменатели има тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на уравнението на „(1+cos x)“. В резултат на това получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравнете числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за изпита, така че се опитайте да запомните всички формули тригонометрични уравнения- определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да правите изводи. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

Най-простите тригонометрични уравнения обикновено се решават с формули. Позволете ми да ви напомня, че следните тригонометрични уравнения се наричат ​​най-простите:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.

А ето и формулите, с които веднага можете да запишете решенията на тези най-прости уравнения.

За синусите:

За косинус:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

За допирателна:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

За котангенс:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Всъщност това е теоретичната част от решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И, цялото!) Изобщо нищо. Броят на грешките по тази тема обаче просто нараства. Особено при леко отклонение на примера от шаблона. Защо?

Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!С опасение той записва, без значение как се случва нещо ...) Това трябва да се реши. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)

Да го разберем?

Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.

И така винаги ще работи.За всякакви а.

Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета.) Промених номера а към някои отрицателни. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.

Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Комбинираме тези две серии в една:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

И всички неща. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.

Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратен запис на две серии от отговори,вие и задачите "C" ще бъдете на рамото. С неравенства, с избор на корени от даден интервал ... Там отговорът с плюс / минус не се търкаля. И ако се отнасяте към отговора делово и го разделите на два отделни отговора, всичко е решено.) Всъщност за това разбираме. Какво, как и къде.

В най-простото тригонометрично уравнение

sinx = а

също получавате две серии от корени. Е винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани една линия. Само този ред ще бъде по-умен:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа на серии от корени. И това е!

Да проверим математиците? И това не е достатъчно...)

В предишния урок беше подробно анализирано решението (без никакви формули) на тригонометричното уравнение със синус:

Отговорът се оказа две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Всъщност това е полузавършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Тук възниква интерес Питай. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е правилният отговор!) и чрез самотния х (и това е правилният отговор!) - същото нещо, или не? Нека разберем сега.)

Заменете в отговор с х 1 стойности н =0; един; 2; и т.н., считаме, получаваме поредица от корени:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.

Със същата замяна в отговор на х 2 , получаваме:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.

И сега заместваме стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за самотните х . Тоест повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. И, разбира се, заместваме 0 във втория член; един; 2 3; 4 и т.н. И ние мислим. Получаваме серия:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.

Това е всичко, което можете да видите.) Общата формула ни дава абсолютно същите резултатикоито са двата отговора поотделно. Всички наведнъж, по ред. Математиците не са излъгали.)

Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но нека не.) Толкова са непретенциозни.

Цялата тази подмяна и проверка нарисувах нарочно. Тук е важно да се разбере едно просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, просто обобщение на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкна плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.

Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания лесно могат да обезпокоят човек.

И какво да правя? Да, или нарисувайте отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството в тригонометричен кръг. Тогава тези вложки изчезват и животът става по-лесен.)

Можете да обобщите.

За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:

sinx = 0,3

Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Лесно: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Остава един: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

тогава вече блестиш, това ... онова ... от локва.) Правилният отговор е: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.н. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да се преобразуват в радиани.

И ако вече попаднете на неравенство, например

тогава отговорът е:

x πn, n ∈ Z

има рядка глупост, да ...) Тук е необходимо да се вземе решение за тригонометричен кръг. Какво ще правим в съответната тема.

За тези, които героично са дочели до тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ти усилия. ти бонус.)

Бонус:

Когато пишат формули в тревожна бойна ситуация, дори закоравели маниаци често се объркват къде pn, И къде 2πn. Ето един лесен трик за вас. в всичкоформули пн. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепиен. Ключова дума - две.В една и съща единствена формула са двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.

Така че, ако сте писали двезнак пред аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепиен. И обратното се случва. Пропуснете знака за мъж ± , стигнете до края, пишете правилно две pien, да, и го хващай. Пред нещо двезнак! Човекът ще се върне в началото, но ще поправи грешката! Като този.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Веднъж станах свидетел на разговор между двама кандидати:

– Кога трябва да добавите 2πn и кога - πn? не мога да си спомня!

- И аз имам същия проблем.

Исках да им кажа: „Не е необходимо да запаметявате, а да разбирате!“

Тази статия е предназначена предимно за ученици от гимназията и, надявам се, ще им помогне с "разбирането" за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

Цифров кръг

Наред с понятието числова ос съществува и понятието числова окръжност. Както знаем, в правоъгълна координатна система окръжност с център в точката (0; 0) и радиус 1 се нарича единична окръжност.Представете си числова линия с тънка нишка и я навийте около този кръг: референтната точка (точка 0), прикрепете я към „дясната“ точка на единичния кръг, увийте положителната полуос обратно на часовниковата стрелка и отрицателната полуос в посока ( Фиг. 1). Такава единична окръжност се нарича числова окръжност.

Свойства на числовата окръжност

• Всяко реално число е в една точка от числовата окръжност.
• Във всяка точка от числовата окръжност има безкрайно много реални числа. Тъй като дължината на единичната окръжност е 2π, разликата между произволни две числа в една точка от окръжността е равна на едно от числата ±2π; ±4π; ±6π; …

Нека заключим: знаейки едно от числата на точка А, можем да намерим всички числа на точка А.

Нека начертаем диаметъра на AC (фиг. 2). Тъй като x_0 е едно от числата на точка A, то числата x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... и само те ще бъдат числата на точка C. Нека изберем едно от тези числа, да речем x_0+π, и да го използваме, за да запишем всички числа на точка C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ З. Обърнете внимание, че числата в точки A и C могат да се комбинират в една формула: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (за k = 0; ±2; ±4; ... получаваме числата на точка A, а за k = ±1, ±3, ±5, … са номерата на точка C).

Нека заключим: знаейки едно от числата на една от точките A или C на диаметъра AC, можем да намерим всички числа на тези точки.

• Две противоположни числа са разположени в точки от окръжността, които са симетрични спрямо абсцисната ос.

Нека начертаем вертикална хорда AB (фиг. 2). Тъй като точките A и B са симетрични спрямо оста Ox, числото -x_0 се намира в точка B и следователно всички числа на точка B са дадени по формулата: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Записваме числата в точки A и B с една формула: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или B на вертикалната хорда AB, можем да намерим всички числа в тези точки. Разгледайте хоризонталната хорда AD и намерете номерата на точка D (фиг. 2). Тъй като BD е диаметърът и числото -x_0 принадлежи на точка B, тогава -x_0 + π е едно от числата на точка D и следователно всички числа на тази точка са дадени по формулата x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числата в точки A и D могат да бъдат записани с помощта на една формула: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; ... получаваме номерата на точка A, а при k = ±1; ±3; ±5; ... - номерата на точка D).

Нека заключим: знаейки едно от числата в една от точките A или D на хоризонталната хорда AD, можем да намерим всички числа в тези точки.

Шестнадесет основни точки на числовия кръг

На практика решението на повечето от най-простите тригонометрични уравнения се свързва с шестнадесет точки от окръжността (фиг. 3). Какви са тези точки? Червени, сини и зелени точки разделят кръга на 12 равни части. Тъй като дължината на полуокръжността е π, дължината на дъгата A1A2 е π/2, дължината на дъгата A1B1 е π/6, а дължината на дъгата A1C1 е π/3.

Сега можем да посочим едно число на точките:

π/3 на С1 и

Върховете на оранжевия квадрат са средните точки на дъгите на всяка четвърт, така че дължината на дъгата A1D1 е равна на π/4 и следователно π/4 е едно от числата на точката D1. Използвайки свойствата на числовата окръжност, можем да запишем всички числа във всички маркирани точки на нашата окръжност с помощта на формули. Фигурата показва и координатите на тези точки (пропускаме описанието на тяхното придобиване).

След като научихме горното, сега имаме достатъчна подготовка за решаване на специални случаи (за девет стойности на числото а)най-простите уравнения.

Решете уравнения

1)sinx=1⁄(2).

– Какво се иска от нас?

– Намерете всички онези числа x, чийто синус е 1/2.

Спомнете си дефиницията на синуса: sinx - ординатата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x. На окръжността имаме две точки, чиято ордината е равна на 1/2. Това са краищата на хоризонталната хорда B1B2. Това означава, че изискването „решете уравнението sinx=1⁄2” е еквивалентно на изискването „намерете всички числа в точка B1 и всички числа в точка B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Трябва да намерим всички числа в точките C4 и C3.

3) sinx=1. На окръжността имаме само една точка с ордината 1 - точка A2 и следователно трябва да намерим само всички числа на тази точка.

Отговор: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Само точка A_4 има ордината -1. Всички числа от тази точка ще бъдат конете на уравнението.

Отговор: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окръжността имаме две точки с ордината 0 - точките A1 и A3. Можете да посочите числата на всяка от точките поотделно, но като се има предвид, че тези точки са диаметрално противоположни, е по-добре да ги комбинирате в една формула: x=πk ,k∈Z .

Отговор: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Припомнете си определението за косинус: cosx - абсцисата на точката от числовата окръжност, върху която се намира числото x.Върху окръжността имаме две точки с абсцисата √2⁄2 – краищата на хоризонталната хорда D1D4. Трябва да намерим всички числа в тези точки. Записваме ги, като ги комбинираме в една формула.

Отговор: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Трябва да намерим числата в точките C_2 и C_3.

Отговор: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Само точки A2 и A4 имат абсциса 0, което означава, че всички числа във всяка от тези точки ще бъдат решения на уравнението.
.

Решенията на уравнението на системата са числата в точките B_3 и B_4 Неравенство cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Отговор: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Обърнете внимание, че за всяка допустима стойност на x вторият фактор е положителен и следователно уравнението е еквивалентно на системата

Решенията на системното уравнение са броят точки D_2 и D_3. Числата на точката D_2 не удовлетворяват неравенството sinx≤0.5, но числата на точката D_3 го удовлетворяват.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

При решаване на мн задачи по математика, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи към какъв тип принадлежи проблемът, който се решава, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Различна ситуация възниква при тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.

Понякога е трудно да се определи неговият тип чрез появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

1. приведете всички функции, включени в уравнението, до "едни и същи ъгли";
2. приведете уравнението към "същите функции";
3. факторизиране на лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен х = а; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Променливо заместване

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).

Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не отговаря на условието |t| ≤ 1.

4) грях (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намаляване на реда на уравнението

Схема на решение

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението с известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използвайки всички видове тригонометрични формули, доведете това уравнение до уравнение, което може да бъде решено с методи I, II, III, IV.

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много Важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и др.Процесът на решаване на такива задачи, така да се каже, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаването на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучението по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.