Какво трябва да се има предвид при решаване на ирационални уравнения. Ирационални уравнения и начини за решаването им

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Методи за решаване ирационални уравнения.

Предварителна подготовка за урока: учениците трябва да могат да решават ирационални уравнения по различни начини.

Три седмици преди тази сесия студентите получават домашна работа №1: решаване на различни ирационални уравнения. (Учениците самостоятелно намират 6 различни ирационални уравнения и ги решават по двойки.)

Една седмица преди този урок учениците получават домашна работа №2, която изпълняват индивидуално.

1. Решете уравнениеторазлични начини.

2. Оценете предимствата и недостатъците на всеки метод.

3. Направете запис на заключенията под формата на таблица.

№ п/п	начин	Предимства	недостатъци

Цели на урока:

Образователни:обобщаване на знанията на учениците по тази тема, демонстрация на различни методи за решаване на ирационални уравнения, способността на учениците да подхождат към решаването на уравнения от изследователски позиции.

Образователни:възпитаване на независимост, умение да изслушват другите и да общуват в групи, повишаване на интереса към предмета.

Разработване:развитие логично мислене, алгоритмична култура, умения за самообучение, самоорганизация, работа по двойки при писане на домашна работа, способност за анализ, сравнение, обобщение, правене на изводи.

Оборудване: компютър, проектор, екран, таблица "Правила за решаване на ирационални уравнения", плакат с цитат от М.В. Ломоносов „Математиката трябва да се учи по-късно, че тя подрежда ума“, карти.

Правила за решаване на ирационални уравнения.

Тип урок: урок-семинар (работа в групи от 5-6 души, всяка група трябва да има силни ученици).

По време на часовете

аз . Организиране на времето

(Съобщение за темата и целите на урока)

II . Презентация изследователска работа"Методи за решаване на ирационални уравнения"

(Работата се представя от ученика, който я е провел.)

III . Анализ на методите за решаване на домашна работа

(По един ученик от всяка група записва на дъската своите предложени решения. Всяка група анализира едно от решенията, оценява предимствата и недостатъците, прави изводи. Учениците от групите допълват, ако е необходимо. Анализът и изводите на групата са оценени. Отговорите трябва да са ясни и пълни.)

Първият начин: повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен, последвано от проверка.

Решение.

Нека отново повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Оттук

Преглед:

1. Акоx=42 тогава, което означава числото42 не е коренът на уравнението.

2. Акоx=2, тогава, което означава числото2 е коренът на уравнението.

Отговор:2.

№ п/п	начин	Предимства	недостатъци
	Повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен	1. Разбирам. 2 налични.	1. Устно вписване. 2. Сложна проверка.

Заключение. При решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на двете части на уравнението на еднаква степен е необходимо да се води устен запис, което прави решението разбираемо и достъпно. Задължителната проверка обаче понякога е сложна и отнема много време. Този метод може да се използва за решаване на прости ирационални уравнения, съдържащи 1-2 радикала.

Вторият начин: еквивалентни трансформации.

Решение:Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Отговор:2.

№ п/п	начин	Предимства	недостатъци
	Еквивалентни трансформации	1. Липса на словесно описание. 2. Без проверка. 3. Ясна логическа нотация. 4. Последователност от еквивалентни преходи.	1. Тромав запис. 2. Можете да направите грешка, когато комбинирате знаците на системата и съвкупността.

Заключение. Когато решавате ирационални уравнения по метода на еквивалентните преходи, трябва ясно да знаете кога да поставите знака на системата и кога - съвкупността. Тромавата нотация, различни комбинации от знаци на системата и съвкупността често водят до грешки. Въпреки това, последователност от еквивалентни преходи, ясен логически запис без словесно описание, което не изисква проверка, са безспорните предимства на този метод.

Третият начин: функционално-графичен.

Решение.

Помислете за функциитеи.

1. Функциямощност; се увеличава, защото показателят е положително (не цяло) число.

Д(f).

Нека направим таблица със стойностихиf( х).

	1,5		3,5
f(x)

2. Функциямощност; намалява.

Намерете домейна на функциятад( ж).

Нека направим таблица със стойностихиж( х).

g(x)

Нека построим тези графики на функции в една координатна система.

Функционалните графики се пресичат в точка с абцисазащото функцияf( х) увеличава, а функциятаж( х) намалява, тогава има само едно решение на уравнението.

Отговор: 2.

№п/п	начин	Предимства	недостатъци
	Функционално-графичен	1. Видимост. 2. Няма нужда да правите сложни алгебрични трансформации и да следвате ODD. 3. Позволява ви да намерите броя на решенията.	1. словесна нотация. 2. Не винаги е възможно да се намери точният отговор и ако отговорът е точен, тогава е необходима проверка.

Заключение. Функционално-графичният метод е илюстративен, позволява ви да намерите броя на решенията, но е по-добре да го използвате, когато можете лесно да изградите графики на разглежданите функции и да получите точен отговор. Ако отговорът е приблизителен, тогава е по-добре да използвате друг метод.

Четвърти начин: въвеждане на нова променлива.

Решение.Въвеждаме нови променливи, означаващиПолучаваме първото уравнение на системата

Нека съставим второто уравнение на системата.

За променлива:

За променлива

Ето защо

Получаваме система от две рационални уравнения по отношение наи

Връщане към променливата, получаваме

Въвеждане на нова променлива

Опростяване - получаване на система от уравнения, които не съдържат радикали

1. Необходимостта от проследяване на LPV на нови променливи

2. Необходимостта да се върнете към първоначалната променлива

Заключение. Този метод се използва най-добре за ирационални уравнения, съдържащи радикали различни степени, или еднакви полиноми под знака за корен и зад знака за корен, или взаимно обратни изрази под знака за корен.

- Така че, момчета, за всяко ирационално уравнение трябва да изберете най-удобния начин за решаването му: разбираем. Достъпно, логично и добре проектирано. Вдигнете ръка, кой от вас би предпочел да реши това уравнение:

1) методът за повдигане на двете части на уравнението на еднаква степен с проверка;

2) методът на еквивалентните трансформации;

3) функционален графичен метод;

4) методът за въвеждане на нова променлива.

IV . Практическа част

(Групова работа. Всяка група ученици получава карта с уравнение и го решава в тетрадките. В това време един представител от групата решава пример на дъската. Учениците от всяка група решават същия пример като член на тяхната група и следете за правилното изпълнение на задачите на дъската. Ако отговарящият на дъската допусне грешки, тогава този, който ги забелязва, вдига ръка и помага да се поправи. По време на урока всеки ученик, в допълнение към примера, решен от неговата група , трябва да запише в тетрадка и други, предложени на групите, и да ги реши вкъщи.)

Група 1.

Група 2

Група 3.

V . Самостоятелна работа

(По групи първо се провежда дискусия, а след това учениците започват да изпълняват задачата. На екрана се показва правилното решение, подготвено от учителя.)

VI . Обобщаване на урока

Сега знаете, че решаването на ирационални уравнения изисква да имате добри теоретични познания, способност да ги прилагате на практика, внимание, усърдие, бърз ум.

Домашна работа

Решете уравненията, предложени на групите по време на урока.

Първата част от материала на тази статия формира представа за ирационални уравнения. След като го изучите, можете лесно да различите ирационалните уравнения от уравненията от други видове. Във втората част са подробно анализирани основните методи за решаване на ирационални уравнения, дадени са подробни решения за огромен брой типични примери. Ако усвоите тази информация, почти сигурно ще се справите с почти всяко ирационално уравнение от училищен курс по математика. Успех в придобиването на знания!

Какво представляват ирационалните уравнения?

Нека първо изясним какво представляват ирационалните уравнения. За целта ще намерим подходящите определения в учебниците, препоръчани от Министерството на образованието и науката на Руската федерация.

Подробен разговор за ирационални уравнения и тяхното решение се провежда в часовете по алгебра и започва анализ в гимназията. Някои автори обаче въвеждат уравнения от този вид по-рано. Например, тези, които учат по учебниците на Мордкович А. Г., научават за ирационални уравнения още в 8 клас: в учебника се посочва, че

Има и примери за ирационални уравнения, , и т.н. Очевидно във всяко от горните уравнения под знака корен квадратенсъдържа променливата x, което означава, че според горната дефиниция тези уравнения са ирационални. Тук веднага се анализира един от основните методи за решаването им -. Но ние ще говорим за методите на решение малко по-долу, засега ще дадем дефиниции на ирационални уравнения от други учебници.

В учебниците Колмогоров А. Н. и Колягин Ю. М.

Определение

ирационаленсе наричат ​​уравнения, в които променлива се съдържа под знака на корена.

Да обърнем внимание на фундаментална разлика това определениеот предишния: казва се само коренът, а не квадратният корен, тоест степента на корена, под която се намира променливата, не е посочена. Това означава, че коренът може да бъде не само квадратен, но и трети, четвърти и т.н. степен. По този начин последната дефиниция дефинира по-широк набор от уравнения.

Възниква естествен въпрос, защо започваме да използваме тази по-широка дефиниция на ирационални уравнения в гимназията? Всичко е обяснимо и просто: когато в 8-ми клас се запознаваме с ирационални уравнения, ние добре познаваме само квадратния корен, все още не знаем никакви кубични корени, корени от четвърта и по-високи степени. И в гимназията концепцията за корен се обобщава, учим за това и когато говорим за ирационални уравнения, вече не се ограничаваме до корен квадратен, а имаме предвид корен от произволна степен.

За по-голяма яснота ще демонстрираме няколко примера за ирационални уравнения. - тук променливата x се намира под знака за кубичен корен, така че това уравнение е ирационално. Друг пример: - тук променливата x е както под знака на корен квадратен, така и на корен от четвърта степен, тоест това също е ирационално уравнение. Ето още няколко примера за ирационални уравнения сложен тип: и .

Горните определения ни позволяват да отбележим, че в записа на всяко ирационално уравнение има знаци на корените. Също така е ясно, че ако няма признаци на корените, тогава уравнението не е ирационално. Въпреки това, не всички уравнения, съдържащи знаци за корен, са ирационални. Наистина, в едно ирационално уравнение трябва да има променлива под знака за корен, ако няма променлива под знака за корен, тогава уравнението не е ирационално. Като илюстрация даваме примери за уравнения, които съдържат корени, но не са ирационални. Уравнения и не са ирационални, тъй като не съдържат променливи под знака на корена - има числа под корените и няма променливи под знаците на корените, следователно тези уравнения не са ирационални.

Струва си да се спомене броят на променливите, които могат да участват в писането на ирационални уравнения. Всички горни ирационални уравнения съдържат една променлива x, т.е. те са уравнения с една променлива. Нищо обаче не ни пречи да разглеждаме ирационални уравнения с две, три и т.н. променливи. Нека дадем пример за ирационално уравнение с две променливи и с три променливи.

Имайте предвид, че в училище най-вече трябва да работите с ирационални уравнения с една променлива. Ирационалните уравнения с няколко променливи са много по-рядко срещани. Те могат да бъдат намерени в състава, като например в задачата „решете системата от уравнения ” или, да речем, в алгебричното описание на геометрични обекти, така че полукръг с център в началото, радиус от 3 единици, лежащ в горната полуравнина, съответства на уравнението.

Някои колекции от задачи за подготовка за изпита в раздела "ирационални уравнения" съдържат задачи, в които променливата е не само под знака на корена, но и под знака на друга функция, например модул, логаритъм и др. . Ето един пример , взето от книгата, а тук – от сб. В първия пример променливата x е под знака на логаритъма, а логаритъма също е под знака на корена, тоест имаме, така да се каже, ирационално логаритмично (или логаритмично ирационално) уравнение. Във втория пример променливата е под знака на модула, а модулът също е под знака на корена, с ваше разрешение, нека го наречем ирационално уравнение с модул.

Считат ли се уравнения от този вид за ирационални? Въпросът е добър. Изглежда, че има променлива под знака на корена, но обърква, че не е в „чистия си вид“, а под знака на друга или повече функции. С други думи, изглежда няма противоречие с това как дефинирахме ирационалните уравнения по-горе, но има известна степен на несигурност поради наличието на други функции. От наша гледна точка не бива да сме фанатизирани да „наричаме нещата с истинските им имена“. На практика е достатъчно просто да кажете „уравнение“, без да уточнявате какъв вид е то. И всички тези събирания са "ирационални", "логаритмични" и т.н. служат в по-голямата си част за удобство на представяне и групиране на материала.

В светлината на информацията в последния параграф, дефиницията на ирационалните уравнения, дадена в учебника с автор Мордкович А. Г. за 11 клас, представлява интерес

Определение

ирационаленсе наричат ​​уравнения, в които променливата се съдържа под знака на радикала или под знака на повишаване на дробна степен.

Тук, в допълнение към уравненията с променлива под знака на корена, уравненията с променливи под знака на дробна степен също се считат за ирационални. Например, според тази дефиниция, уравнението считани за ирационални. Защо изведнъж? Вече сме свикнали с корените в ирационалните уравнения, но тук не е корен, а степен и искате да наречете това уравнение повече, например, степенен закон, а не ирационален? Всичко е просто: дефинира се чрез корените и върху променливата x за даденото уравнение (приемайки x 2 +2 x≥0 ) може да се пренапише с помощта на корена като , а последното равенство е познато ни ирационално уравнение с променлива под знака на корена. А методите за решаване на уравнения с променливи в основата на дробни степени са абсолютно същите като методите за решаване на ирационални уравнения (те ще бъдат обсъдени в следващия параграф). Така че е удобно да ги наречем ирационални и да ги разглеждаме в тази светлина. Но нека бъдем честни със себе си: първоначално имаме уравнението , но не , и езикът не е много склонен да нарече оригиналното уравнение ирационално поради липсата на корен в нотацията. Същият трик ви позволява да се измъкнете от такива противоречиви точки по отношение на терминологията: да наречете уравнението просто уравнение без никакви конкретни спецификации.

Най-простите ирационални уравнения

Заслужава да се спомене т.нар най-простите ирационални уравнения. Нека кажем веднага, че този термин не се появява в основните учебници по алгебра и началото на анализа, но понякога се среща в учебници и ръководства, като например в. Не трябва да се счита за общоприето, но не пречи да знаете какво обикновено се разбира под най-простите ирационални уравнения. Това обикновено е името, дадено на ирационалните уравнения на формата , където f(x) и g(x) са някои . В тази светлина най-простото ирационално уравнение може да се нарече например уравнението или .

Как може да се обясни появата на такова име "най-простите ирационални уравнения"? Например фактът, че решението на ирационални уравнения често изисква първоначалното им редуциране до формата и по-нататъшно прилагане на всякакви стандартни методи за решение. Тук ирационалните уравнения в тази форма се наричат ​​най-простите.

Основни методи за решаване на ирационални уравнения

По дефиниция на корен

Един от методите за решаване на ирационални уравнения се основава на. С негова помощ обикновено се решават ирационални уравнения от най-простата форма , където f(x) и g(x) са някои рационални изрази (дадохме дефиницията на най-простите ирационални уравнения в ). Ирационални уравнения на формата , но в които f(x) и/или g(x) са нерационални изрази. В много случаи обаче е по-удобно да се решават такива уравнения с други методи, които ще бъдат обсъдени в следващите параграфи.

За удобство на представянето на материала разделяме ирационалните уравнения с четни коренни показатели, т.е. уравненията , 2 k=2, 4, 6, … , от уравнения с показатели на нечетен корен , 2 k+1=3, 5, 7, … Веднага ще изразим подходите за тяхното решаване:

Горните подходи следват пряко от и .

Така, метод за решаване на ирационални уравнения по дефиниция на корена е както следва:

По дефиницията на корена най-удобно е да се решават най-простите ирационални уравнения с числа от дясната страна, т.е. уравнения от вида , където C е някакво число. Когато има число от дясната страна на уравнението, тогава дори и с показател на четен корен, не е нужно да отивате към системата: ако C е неотрицателно число, тогава по дефиниция на корен на четен степен и ако C е отрицателно число, тогава можете веднага да заключите, че няма корени на уравнението, защото по дефиниция коренът на четна степен е неотрицателно число, което означава, че уравнението не се обръща в истинско числово равенство за всякакви реални стойности на променливата x.

Да преминем към типични примери.

Ще преминем от просто към сложно. Нека започнем с решаването на най-простото ирационално уравнение, от лявата страна на което има корен от четна степен, а от дясната страна - положително число, тоест от решаването на уравнение от формата , където C е положително номер. Дефиницията на корена ви позволява да преминете от решаване на дадено ирационално уравнение към решаване на по-просто уравнение без корени C 2·k =f(x) .

По същия начин, чрез дефиницията на корена, се решават най-простите ирационални уравнения с нула от дясната страна.

Нека се спрем отделно на ирационални уравнения, от лявата страна на които има корен от четна степен с променлива под неговия знак, а от дясната страна има отрицателно число. Такива уравнения нямат решения в множеството от реални числа (ще говорим за комплексни корени, след като се запознаем с комплексни числа ). Това е доста очевидно: коренът на четна степен по дефиниция е неотрицателно число, което означава, че не може да бъде равен на отрицателно число.

Левите страни на ирационалните уравнения от предишните примери бяха корени на четни степени, а десните бяха числа. Сега разгледайте примери с променливи от дясната страна, тоест ще решим ирационални уравнения от формата . За решаването им, чрез определяне на корена, се прави преход към системата , което има същия набор от решения като оригиналното уравнение.

Трябва да се има предвид, че системата , чието решение е решението на първоначалното ирационално уравнение , е желателно да се решава не механично, но, ако е възможно, рационално. Ясно е, че това още въпросот темата" системно решение“, но въпреки това ние изброяваме три често срещани ситуации с примери, които ги илюстрират:

1. Например, ако първото му уравнение g 2 k (x)=f(x) няма решения, тогава няма смисъл да се решава и неравенството g(x)≥0, защото вече от липсата на решения на уравнението, можем да заключим, че няма решения на системата.

1. По същия начин, ако неравенството g(x)≥0 няма решения, тогава не е необходимо да се решава уравнението g 2·k (x)=f(x) , защото дори и без това е ясно, че в този случай системата няма решения.

1. Много често неравенството g(x)≥0 изобщо не се решава, а само се проверява кои от корените на уравнението g 2·k (x)=f(x) го удовлетворяват. Множеството от всички онези от тях, които удовлетворяват неравенството, е решение на системата, което означава, че е и решение на еквивалентното му изходно ирационално уравнение.

Стига за уравненията с четни коренни показатели. Време е да обърнем внимание на ирационалните уравнения с корени на нечетни степени на формата . Както вече казахме, за да ги решим, преминаваме към еквивалентното уравнение , което се решава с всички налични методи.

В края на този параграф споменаваме проверка на решението. Методът за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена гарантира еквивалентността на преходите. Това означава, че не е необходимо да се проверяват намерените решения. Този момент може да се припише на предимствата този методрешаване на ирационални уравнения, защото в повечето други методи проверката е задължителна стъпка в решението, което ви позволява да отрежете външни корени. Но в същото време трябва да се помни, че проверката чрез заместване на намерените решения в оригиналното уравнение никога не е излишна: внезапно, когато се е промъкнала изчислителна грешка.

Също така отбелязваме, че проблемът с проверката и филтрирането на външни корени е много важен при решаването на ирационални уравнения, така че ще се върнем към него в един от следващите параграфи на тази статия.

Повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен

По-нататъшното представяне предполага, че читателят има представа за еквивалентни уравнения и уравнения-следствия.

Методът за повдигане на двете страни на уравнение на една и съща степен се основава на следното твърдение:

Изявление

повишаването на двете страни на уравнението до една и съща четна естествена степен дава следствие от уравнението, а повишаването на двете страни на уравнението до същата нечетна естествена степен дава еквивалентно уравнение.

Доказателство

Нека го докажем за уравнения с една променлива. За уравнения с няколко променливи принципите на доказателство са същите.

Нека A(x)=B(x) е първоначалното уравнение и x 0 е неговият корен. Тъй като x 0 е коренът на това уравнение, тогава A(x 0)=B(x 0) - истинско числено равенство. Познаваме това свойство на числовите равенства: умножението член по член на истински числови равенства дава правилното числено равенство. Умножете член по член 2 k, където k е естествено число, правилни числени равенства A(x 0)=B(x 0) , това ще ни даде правилното числено равенство A 2 k (x 0)=B 2 k (x 0) . А полученото равенство означава, че x 0 е коренът на уравнението A 2 k (x)=B 2 k (x) , което се получава от първоначалното уравнение чрез повдигане на двете му части на една и съща четна естествена степен 2 k .

За да се обоснове възможността за съществуване на корен на уравнението A 2·k (x)=B 2·k (x) , който не е корен на първоначалното уравнение A(x)=B(x) , е достатъчно да дам пример. Разгледайте ирационалното уравнение , и уравнението , което се получава от оригинала чрез повдигане на квадрат на двете му части. Лесно се проверява, че нулата е коренът на уравнението , наистина ли, , което е същото 4=4 - правилното равенство. Но в същото време нулата е външен корен за уравнението , тъй като след заместване на нулата получаваме равенството , което е същото като 2=−2 , което е неправилно. Това доказва, че уравнението, получено от оригинала чрез повдигане на двете му части на една и съща четна степен, може да има корени, които са външни за оригиналното уравнение.

Така че е доказано, че повишаването на двете части на уравнението до една и съща четна естествена степен води до уравнението-следствие.

Остава да докажем, че повдигането на двете страни на уравнението до една и съща нечетна естествена степен дава еквивалентно уравнение.

Нека покажем, че всеки корен на уравнението е коренът на уравнението, получено от оригинала чрез повдигане на двете му части на нечетна степен, и обратното, че всеки корен на уравнението, получено от оригинала чрез повдигане на двете му части на нечетната степен е коренът на първоначалното уравнение.

Нека имаме уравнението A(x)=B(x) . Нека x 0 е неговият корен. Тогава численото равенство A(x 0)=B(x 0) е вярно. Изучавайки свойствата на истинските числови равенства, научихме, че истинските числови равенства могат да се умножават член по член. Умножавайки член по член 2 k+1, където k е естествено число, на правилни числени равенства A(x 0)=B(x 0), получаваме правилното числово равенство A 2 k+1 (x 0)=B 2 k +1 ( x 0) , което означава, че x 0 е коренът на уравнението A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) . Сега обратно. Нека x 0 е коренът на уравнението A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) . Това означава, че численото равенство A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) е правилно. По силата на съществуването на корен от нечетна степен от всяко реално число и неговата уникалност, равенството също ще бъде вярно. То от своя страна се дължи на самоличността , където a е всяко реално число, което следва от свойствата на корените и степените, може да се пренапише като A(x 0)=B(x 0) . И това означава, че x 0 е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Така че е доказано, че повишаването на двете части на ирационално уравнение на нечетна степен дава еквивалентно уравнение.

Доказаното твърдение попълва познатия ни арсенал, който се използва за решаване на уравнения, с още едно преобразуване на уравнения - повдигане на двете части на уравнението на една и съща естествена степен. Повишаването на двете части на уравнението на една и съща нечетна степен е трансформация, водеща до следствие от уравнение, а повишаването на четна степен е еквивалентна трансформация. Методът за повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен се основава на тази трансформация.

Повишаването на двете части на уравнението до една и съща естествена сила се използва главно за решаване на ирационални уравнения, тъй като в някои случаи тази трансформация ви позволява да се отървете от знаците на корените. Например повдигане на двете страни на уравнението на степен n дава уравнението , което по-късно може да се трансформира в уравнението f(x)=g n (x) , което вече не съдържа корен от лявата страна. Този пример илюстрира същността на метода за повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен: използвайки подходяща трансформация, получете по-просто уравнение, което няма радикали в нотацията си, и чрез неговото решение получете решение на оригиналното ирационално уравнение.

Сега можем да продължим директно към описанието на метода за повишаване на двете части на уравнението до една и съща естествена степен. Нека започнем с алгоритъм за решаване на най-простите ирационални уравнения с четни коренни показатели, тоест уравнения от вида , където k е естествено число, f(x) и g(x) са рационални изрази. Алгоритъм за решаване на най-простите ирационални уравнения с нечетен корен, т.е. уравнения от вида , ще дадем малко по-късно. След това ще отидем още по-далеч: ще разширим метода за повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен до по-сложни ирационални уравнения, съдържащи корени под знаци за корени, няколко знака за корени и т.н.

чрез повдигане на двете страни на уравнението на еднаква четна степен:

От горната информация става ясно, че след първата стъпка на алгоритъма ще стигнем до уравнение, чиито корени съдържат всички корени на оригиналното уравнение, но което може също да има корени, които са външни за оригиналното уравнение. Следователно алгоритъмът съдържа клауза за отсяване на външни корени.

Нека анализираме приложението на горния алгоритъм за решаване на ирационални уравнения, като използваме примери.

Нека започнем с решаването на просто и доста типично ирационално уравнение, повдигането на квадрат на двете страни на което води до квадратно уравнение, което няма корени.

Ето един пример, в който всички корени на уравнението, получени от оригиналното ирационално уравнение чрез повдигане на квадрат на двете му страни, се оказват чужди на оригиналното уравнение. Извод: няма корени.

Следващият пример е малко по-сложен. Неговото решение, за разлика от предишните две, изисква повдигане на квадрат на двете части вече не на квадрат, а на шеста степен и това вече няма да доведе до линейно или квадратно уравнение, а до кубично уравнение. Тук една проверка ще ни покаже, че и трите му корена ще бъдат корените на ирационалното уравнение, дадено първоначално.

И тук отиваме още по-далеч. За да се отървете от корена, ще трябва да повдигнете двете страни на ирационалното уравнение на четвърта степен, което от своя страна ще доведе до уравнение на четвърта степен. Проверката ще покаже, че само един от четирите потенциални корена ще бъде желаният корен на ирационалното уравнение, а останалите ще бъдат външни.

Последните три примера са илюстрация на следното твърдение: ако когато и двете части на едно ирационално уравнение се повдигнат на една и съща четна степен, се получи уравнение с корени, тогава последващата им проверка може да покаже, че

• или всички те са външни корени за оригиналното уравнение и то няма корени,
• или сред тях изобщо няма външни корени и всички те са корени на първоначалното уравнение,
• или аутсайдери са само част от тях.

Време е да преминем към решаването на най-простите ирационални уравнения с нечетен коренен показател, тоест уравнения от вида . Пишем съответния алгоритъм.

Алгоритъм за решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнение на една и съща нечетна степен:

• И двете части на ирационалното уравнение се повдигат на една и съща нечетна степен 2·k+1.
• Полученото уравнение се решава. Неговото решение е решението на първоначалното уравнение.

Моля, обърнете внимание: горният алгоритъм, за разлика от алгоритъма за решаване на най-простите ирационални уравнения с показател на четен корен, не съдържа клауза относно елиминирането на външни корени. По-горе показахме, че повдигането на двете части на уравнението на нечетна степен е еквивалентно на трансформиране на уравнението, което означава, че такава трансформация не води до появата на външни корени, така че няма нужда да ги филтрирате.

По този начин решението на ирационални уравнения чрез повдигане на двете части на една и съща нечетна степен може да се извърши без отсяване на външни лица. В същото време не забравяйте, че при повишаване на равна мощност е необходима проверка.

Познаването на този факт прави възможно законно да не се отсяват външни корени при решаването на ирационалното уравнение . Особено в този случай проверката е свързана с "неприятни" изчисления. Така или иначе няма да има външни корени, тъй като се повдига на нечетна степен, а именно на куб, което е еквивалентно преобразуване. Ясно е, че проверката може да се извърши, но по-скоро за самоконтрол, за да се провери допълнително верността на намереното решение.

Нека обобщим междинните резултати. На този етап ние, първо, попълнихме арсенала от вече познати ни решения различни уравнениядруга трансформация, която се състои в повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен. Когато се повдигне на четна степен, тази трансформация може да не е еквивалентна и когато я използвате, е необходимо да проверите, за да филтрирате външните корени. Когато се повдигне на нечетна степен, указаната трансформация е еквивалентна и не е необходимо да се филтрират външни корени. И второ, научихме се как да използваме тази трансформация за решаване на най-простите ирационални уравнения от вида , където n е основният показател, f(x) и g(x) са рационални изрази.

Сега е време да разгледаме повдигането на двете страни на уравнението на еднаква степен от обща гледна точка. Това ще ни позволи да разширим базирания на него метод за решаване на ирационални уравнения от най-простите ирационални уравнения до ирационални уравнения с по-сложна форма. Нека продължим с това.

Всъщност, когато се решават уравнения чрез повдигане на двете части на уравнението на една и съща степен, се използва общият подход, който вече ни е известен: първоначалното уравнение се трансформира в по-просто уравнение чрез някои трансформации, то се трансформира в още по-просто, и така нататък, до уравнения, които можем да решим. Ясно е, че ако във верига от такива трансформации прибягваме до повдигане на двете части на уравнението на една и съща степен, тогава можем да кажем, че действаме по същия метод за повдигане на двете части на уравнението на една и съща степен. Остава само да разберем какъв вид трансформации и в каква последователност трябва да се извършат, за да се решат ирационални уравнения, като се издигнат и двете части на уравнението до еднаква степен.

Ето общ подход за решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен:

• Първо, трябва да преминем от първоначалното ирационално уравнение към повече просто уравнение, което обикновено се постига чрез циклично извършване на следните три действия:
  • Изолиране на радикала (или подобни техники, например изолиране на произведението на радикали, изолиране на дроб, чийто числител и/или знаменател е коренът, което прави възможно да се отървете от корена, когато и двете страни на уравнението впоследствие се повдига на степен).
  • Опростяване на типа уравнение.
• Второ, трябва да решите полученото уравнение.
• И накрая, ако в процеса на решаване е имало преходи към следствени уравнения (по-специално, ако и двете части на уравнението са били повдигнати до равна степен), тогава външните корени трябва да бъдат елиминирани.

Нека приложим придобитите знания на практика.

Нека решим пример, в който изолирането на радикала редуцира ирационалното уравнение до най-простата му форма, след което остава да се извърши повдигане на квадрат на двете части, да се реши полученото уравнение и да се премахнат страничните корени с помощта на проверка.

Следното ирационално уравнение може да бъде решено чрез изолиране на дроб с радикал в знаменателя, който може да бъде елиминиран чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. И тогава всичко е просто: полученото дробно рационално уравнениеи се прави проверка, която изключва въвеждането на външни корени в отговора.

Доста характерни са ирационалните уравнения, в записа на които има два корена. Те обикновено се решават успешно чрез повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен. Ако корените имат еднаква степен и освен тях няма други членове, тогава за да се отървете от радикалите, достатъчно е да изолирате радикала и да извършите степенуване веднъж, както в следващия пример.

И ето един пример, в който също има два корена, освен тях също няма членове, но степените на корените са различни. В този случай, след като радикалът е изолиран, препоръчително е да повдигнете двете страни на уравнението на степен, която освобождава от двата радикала наведнъж. Такава степен са например показателите за корените. В нашия случай степените на корените са 2 и 3, LCM(2, 3)=6, следователно ще повдигнем и двете части на шеста степен. Обърнете внимание, че можем да действаме и по стандартния начин, но в този случай ще трябва да прибегнем до повишаване на двете части на степен два пъти: първо на втората, след това на третата. Ще покажем и двете решения.

В по-сложни случаи, решавайки ирационални уравнения чрез повдигане на двете части на уравнението на една и съща степен, трябва да прибягвате до повишаване на степен два пъти, по-рядко - три пъти, дори по-рядко - Повече ▼веднъж. Първото ирационално уравнение, илюстриращо казаното, съдържа два радикала и още един член.

Решението на следното ирационално уравнение също изисква две последователни степени. Ако не забравим да изолираме радикалите, тогава две степенни степени са достатъчни, за да се отървем от трите радикала, присъстващи в неговата нотация.

Методът за повдигане на двете части на ирационално уравнение на еднаква степен ви позволява да се справите с ирационални уравнения, в които има друг корен под корена. Ето решение на типичен пример.

И накрая, преди да пристъпим към анализа на следните методи за решаване на ирационални уравнения, е необходимо да се отбележи фактът, че повишаването на двете части на ирационално уравнение на една и съща степен може, в резултат на по-нататъшни трансформации, да даде уравнение, което има безкраен брой решения. Уравнение, което има безкрайно много корени, се получава например в резултат на повдигане на квадрат на двете страни на ирационалното уравнение и последващо опростяване на формата на полученото уравнение. В същото време по очевидни причини не можем да извършим проверка за заместване. В такива случаи трябва или да се прибегне до други методи за проверка, за които ще говорим, или да се откаже от метода за повишаване на двете части на уравнението на една и съща степен в полза на друг метод на решение, например в полза на метод, който предполага .

Разгледахме решенията на най-характерните ирационални уравнения, като повдигнахме двете страни на уравнението на еднаква степен. Изследваният общ подход позволява справяне с други ирационални уравнения, ако този метод на решаване изобщо е подходящ за тях.

Решаване на ирационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива

Съществуват общи методи за решаване на уравнения. Те ви позволяват да решавате уравнения различни видове. По-специално се прилагат общи методи за решаване на ирационални уравнения. В този параграф ще разгледаме един от често срещаните методи − метод за въвеждане на нова променлива, или по-скоро използването му при решаване на точно ирационални уравнения. Същността и подробностите за самия метод са изложени в статията, връзката към която е дадена в предходното изречение. Тук ще се съсредоточим върху практическата част, тоест ще анализираме решенията на типични ирационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива.

Следващите раздели на тази статия са посветени на решаването на ирационални уравнения с други общи методи.

Първо представяме алгоритъм за решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива. Веднага след него ще дадем необходимите разяснения. Така че алгоритъмът:

Сега за обещаното обяснение.

Втората, третата и четвъртата стъпка от алгоритъма са чисто технически и често не са трудни. И основният интерес е първата стъпка - въвеждането на нова променлива. Въпросът тук е, че често далеч не е очевидно как да се въведе нова променлива и в много случаи е необходимо да се направят някои трансформации на уравнението, за да се покаже удобен израз за заместване с t g(x). С други думи, въвеждането на нова променлива често е творчески и сложен процес. След това ще се опитаме да се докоснем до най-основните и типични примери, които обясняват как да се въведе нова променлива при решаване на ирационални уравнения.

Ще се придържаме към следната последователност на представяне:

И така, нека започнем с най-простите случаи на въвеждане на нова променлива при решаване на ирационални уравнения.

Нека решим ирационалното уравнение , който вече цитирахме като пример малко по-нагоре. Очевидно в този случай е възможна замяна. Ще ни доведе до рационално уравнение, което, както се оказва, има два корена, които, обърнати, ще дадат набор от две прости ирационални уравнения, чието решение не е трудно. За сравнение ще покажем алтернативен начин за решаване чрез извършване на трансформации, които ще доведат до най-простото ирационално уравнение.

В следното ирационално уравнение възможността за въвеждане на нова променлива също е очевидна. Но е забележително с това, че когато го решаваме, не трябва да се връщаме към първоначалната променлива. Факт е, че получените след въвеждането уравнение с променливаняма решения, което означава, че оригиналното уравнение няма решения.

ирационално уравнение , подобно на предишния, се решава удобно чрез въвеждане на нова променлива. Освен това, той, както и предишният, няма решения. Но липсата на корени се определя по друг начин: тук уравнението, получено след въвеждането на променливата, има решения, а наборът от уравнения, написани по време на обратното заместване, няма решения, следователно оригиналното уравнение също няма решения. Нека анализираме решението на това уравнение.

Нека завършим поредицата от примери, в които замяната е очевидна, с ирационално уравнение, което изглежда сложно, съдържащо корена под корена в нотацията. Въвеждането на нова променлива често прави структурата на уравнението по-разбираема, което е вярно по-специално за този пример. Наистина, ако приемем , тогава първоначалното ирационално уравнение се трансформира в по-просто ирационално уравнение , което може да се реши, например, чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. Представяме решението, като въвеждаме нова променлива и за сравнение показваме решението, като повдигаме на квадрат двете страни на уравнението.

Записите на всички предишни примери съдържаха няколко идентични израза, които взехме за нова променлива. Всичко беше просто и очевидно: виждаме подходящи еднакви изрази и вместо тях въвеждаме нова променлива, която дава по-просто уравнение с нова променлива. Сега ще преминем малко по-нататък - ще разберем как да решаваме ирационални уравнения, в които изразът, подходящ за заместване, не е толкова очевиден, но е доста лесно да се види и извлече явно с помощта на прости трансформации.

Обмислете основните техники, които ви позволяват изрично да изберете израз, удобен за въвеждане на нова променлива. Първият е този. Нека илюстрираме казаното.

Очевидно в ирационалното уравнение за да се въведе нова променлива е достатъчно да се вземе x 2 +x=t . Възможно ли е да се въведе и нова променлива в уравнението ? Това е възможност, тъй като е очевидно, че . Последното равенство дава възможност да се извърши еквивалентно преобразуване на уравнението , което се състои в замяна на израза с идентично равен израз, който не променя ODZ, което прави възможно преминаването от първоначалното уравнение към еквивалентното уравнение и го реши вече. Нека покажем цялостно решениеирационално уравнение чрез въвеждане на нова променлива.

Какво друго, освен поставянето в скоби на общия множител, прави възможно изрично да се отдели израз, удобен за въвеждане на нова променлива в ирационално уравнение? В определени случаи това са , и . Нека да разгледаме типичните примери.

Как бихме въвели нова променлива, когато решаваме ирационално уравнение ? Разбира се, че бихме приели. И ако задачата беше да се реши ирационално уравнение , възможно ли е да се въведе нова променлива като ? Изрично - не се вижда, но такава възможност е видима, тъй като върху ODZ на променливата x за това уравнение, поради дефиницията на корена и свойствата на корените, равенството е вярно, което ни позволява да отидем до еквивалентно уравнение .

Нека направим малко обобщение въз основа на предишния пример. В случаите, когато показателят на един корен е кратен на показателя на друг (k n и k), обикновено се прибягва до равенството и въведете нова променлива като . Така действахме, решавайки уравнението . Малко по-нататък ще говорим за това как да решаваме ирационални уравнения с неравни и некратни коренни показатели.

Струва си да се спрем накратко на въвеждането на нова променлива в ирационални уравнения, които съдържат корен, както и радикален израз и / или някаква степен от него. В тези случаи е очевидно, че коренът трябва да се вземе като нова променлива. Например при решаване на уравнението бихме приели , по дефиниция на корена, бихме преобразували оригиналното уравнение във формата , и след въвеждане на нова променлива ще стигнем до квадратното уравнение 2·t 2 +3·t−2=0 .

В малко по-сложни случаи може да е необходима още една допълнителна трансформация на уравнението, за да се извлече изразът, който съответства на корена. Нека обясним това. Как бихме въвели нова променлива в уравнението ? Очевидно изразът x 2 +5 съвпада с радикалния израз, следователно, според информацията от предходния параграф, бихме, въз основа на дефиницията на корена, преминали към еквивалентното уравнение и въведете нова променлива като . И как бихме въвели нова променлива, ако не се занимавахме с уравнение , и с уравнението ? Да също. Просто първо трябва да представим x 2 +1 като x 2 +5−4, за да маркираме изрично коренния израз x 2 +5. Тоест, бихме получили от ирационалното уравнение преминава към еквивалентното уравнение , след това към уравнението , след което лесно бихме въвели нова променлива.

В такива случаи има друг по-универсален подход за въвеждане на нова променлива: вземете корена като нова променлива и въз основа на това равенство изразете останалите стари променливи чрез новата. За уравнението бихме приели, от това равенство бихме изразили x 2 по отношение на t като t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), откъдето x 2 +1=t 2 −4 . Това ни позволява да преминем към уравнението с нова променлива t 2 −4+3 t=0 . За да развием умения, ще решим типично ирационално уравнение.

Въвеждането на нова променлива в такива примери може да доведе до появата под знаците на корените на изрази, които са идеални квадрати. Например, ако приемем ирационално уравнение, това ще доведе до уравнението, където първият радикален израз е квадратът на линейния бином t−2, а вторият радикален израз е квадратът на линейния бином t−3 . И най-добре е да преминете от такива уравнения към уравнения с модули: , , . Това се дължи на факта, че такива уравнения могат да имат безкраен брой корени, докато решаването им чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението няма да позволи тест за заместване, а решаването чрез определяне на корена ще доведе до необходимостта от решаване на ирационално неравенство . Ще покажем решението на такъв пример по-долу в раздела за прехода от ирационално уравнение към уравнение с модул.

Кога все още е доста лесно да се види възможността за въвеждане на нова променлива? Когато уравнението съдържа "обърнати" дроби и (с ваше разрешение ще ги наричаме взаимно обратни по аналогия с). Как бихме решили рационално уравнение с такива дроби? Ще вземем една от тези дроби като нова променлива t, докато другата дроб ще бъде изразена чрез новата променлива като 1/t. В ирационалните уравнения не е напълно практично да се въведе нова променлива по този начин, тъй като за да се отървем допълнително от корените, най-вероятно ще трябва да се въведе още една променлива. Най-добре като нов променлив коренот дроб. Е, тогава преобразувайте оригиналното уравнение, като използвате едно от равенствата и , което ще ви позволи да преминете към уравнението с нова променлива. Помислете за пример.

Не забравяйте за вече известните опции за подмяна. Например, при писане на ирационално уравнение могат да се появят изразите x+1/x и x 2 +1/x 2, което кара човек да мисли за възможността за въвеждане на нова променлива x+1/x=t. Тази мисъл не възниква случайно, защото ние вече направихме това, когато решихме уравнения за връщане. Този метод за въвеждане на нова променлива, както и други методи, които вече са ни известни, трябва да се имат предвид при решаването на ирационални уравнения, както и уравнения от други видове.

Обръщаме се към по-сложни ирационални уравнения, в които е по-трудно да се различи израз, подходящ за въвеждане на нова променлива. И нека започнем с уравнения, в които радикалните изрази са едни и същи, но за разлика от случая, обсъден по-горе, по-големият показател на един корен не се дели на по-малкия показател на другия корен. Нека видим как да изберем правилния израз за въвеждане на нова променлива в такива случаи.

Когато радикалните изрази са еднакви и по-големият показател на единия корен k 1 не се дели равномерно на по-малкия показател на другия корен k 2, коренът на степен LCM (k 1, k 2) може да се приеме като a нова променлива, където LCM е . Например в ирационално уравнение показателите на корените са 2 и 3, три не е кратно на две, LCM(3, 2)=6, така че новата променлива може да бъде въведена като . Освен това дефиницията на корена, както и свойствата на корените, ви позволяват да трансформирате оригиналното уравнение, за да маркирате изрично израза и след това да го замените с нова променлива. Ето пълен и подробно решениетова уравнение.

Съгласно подобни принципи се въвежда нова променлива в случаите, когато изразите под корените се различават в степени. Например, ако в едно ирационално уравнение променливата се съдържа само под корените, а самите корени изглеждат като и , тогава трябва да изчислите най-малкото общо кратно на степените на корена LCM(3, 4)=12 и да вземете . В този случай, според свойствата на корените и степените, корените и трябва да се трансформират като и съответно, което ще позволи въвеждането на нова променлива.

По подобен начин може да се действа в ирационални уравнения, в които взаимно реципрочни дроби и са под корени с различни показатели. Тоест, като нова променлива, препоръчително е да се вземе корен с индикатор, равен на LCM на основните индикатори. Е, тогава преминете към уравнението с нова променлива, която ви позволява да правите равенства и , дефиницията на корен и свойствата на корените и степените. Помислете за пример.

Сега нека поговорим за уравнения, в които може само да се подозира възможността за въвеждане на нова променлива и които при успешен сценарий се отварят само след доста сериозни трансформации. Например, ирационално уравнение само след поредица от не най-очевидните трансформации се свежда до формата , което отваря пътя към замяната . Нека да разгледаме решението на този пример.

И накрая да добавим малко екзотика. Понякога ирационално уравнение може да бъде решено чрез въвеждане на повече от една променлива. Този подход за решаване на уравнения е предложен в учебника. Там за решаване на ирационалното уравнение предлага се въвеждането на две променливи . Урокът дава кратко решение, нека възстановим и детайлите.

Решаване на ирационални уравнения чрез разлагане на множители

В допълнение към метода за въвеждане на нова променлива се използват и други общи методи за решаване на ирационални уравнения, по-специално, метод на факторизация. В статията на посочения в предходното изречение линк е подробно анализирано кога се използва методът на факторизацията, каква е неговата същност и на какво се основава. Тук повече се интересуваме не от самия метод, а от използването му при решаване на ирационални уравнения. Затова представяме материала по следния начин: накратко си припомняме основните положения на метода, след което ще анализираме подробно решенията на характеристични ирационални уравнения чрез факторизиране.

Методът на факторизиране се използва за решаване на уравнения, в левите части на които има определен продукт, а в десните части има нули, тоест за решаване на уравнения от вида f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0, където f 1 , f 2 , …, f n са някои функции. Същността на метода е да се замени уравнението f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0върху променливата x за първоначалното уравнение.

Първата част на последното изречение за прехода към комплекта следва от добре познатото основно училищефакт: произведението на няколко числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от числата е равно на нула. Наличието на втората част за ОДЗ се обяснява с факта, че преходът от уравнението f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0към набора от уравнения f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0може да бъде неравномерно и да доведе до появата на външни корени, които в този случай могат да бъдат елиминирани, като се вземе предвид ODZ. Трябва да се отбележи, че отсяването на външни корени, ако е удобно, може да се извърши не само чрез ODZ, но и по други начини, например чрез проверка чрез заместване на намерените корени в оригиналното уравнение.

И така, за да решим уравнението f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)=0метод на факторизация, включително ирационалния, от който се нуждаете

• Отидете на набор от уравнения f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Решете комплекта,
• Ако наборът от решения няма, тогава заключете, че оригиналното уравнение няма корени. Ако има корени, тогава отстранете външните корени.

Да преминем към практическата част.

Левите части на типични ирационални уравнения, които се решават чрез метода на факторизиране, са продуктите на няколко алгебрични израза, обикновено линейни биноми и квадратни триноми, и няколко корена с алгебрични изрази под тях. Нули от дясната страна. Такива уравнения са идеални за получаване на първоначални умения за решаването им. Ще започнем с решаването на подобно уравнение. По този начин ще се опитаме да постигнем две цели:

• разглеждане на всички стъпки от алгоритъма на факторизацията при решаване на ирационално уравнение,
• припомнете си трите основни начина за отсяване на външни корени (според ODZ, според условията на ODZ и чрез директно заместване на решенията в оригиналното уравнение).

Следното ирационално уравнение е типично в смисъл, че когато се решава чрез метода на факторизиране, е удобно да се отсеят външните корени според условията на ODZ, а не според ODZ под формата на числов набор, тъй като е трудно да се получи ODZ под формата на числов фактор. Трудността се състои в това, че едно от условията, които определят DHS е ирационално неравенство . Посоченият подход за отсяване на външни корени позволява да се направи без решаването му, освен това понякога в училищния курс по математика те изобщо не се запознават с решението на ирационални неравенства.

Добре е, когато уравнението има продукт от лявата страна и нула от дясната страна. В този случай можете веднага да отидете до набора от уравнения, да го решите, да намерите и отхвърлите корени, които са външни за оригиналното уравнение, което ще даде желаното решение. Но по-често уравненията приемат различна форма. Ако в същото време е възможно да ги трансформирате във форма, подходяща за прилагане на метода на факторизиране, тогава защо не се опитате да извършите подходящите трансформации. Например, за да получите продукта от лявата страна на следното ирационално уравнение, е достатъчно да прибегнете до разликата на квадратите.

Има друг клас уравнения, които обикновено се решават чрез метода на факторизиране. Той включва уравнения, двете части на които са продукти, които имат един и същ фактор под формата на израз с променлива. Такова е например ирационалното уравнение . Можете да отидете, като разделите и двете части на уравнението на един и същи коефициент, но не трябва да забравяте да проверите отделно стойностите, които превръщат тези изрази в нула, в противен случай можете да загубите решения, тъй като разделянето на двете части на уравнението на същото изразът може да бъде нееквивалентна трансформация. По-надеждно е да се действа по метода на факторизиране, което позволява да се избегне загубата на корени с по-нататъшно правилно решение. Ясно е, че за това първо трябва да получите продукта от лявата страна на уравнението и да получите нула от дясната страна. Това е лесно: достатъчно е да прехвърлите израза от дясната страна в лявата страна, като промените знака му и извадите общия множител от скобите. Нека покажем пълното решение на подобно, но малко по-сложно ирационално уравнение.

Полезно е да започнете решаването на всяко уравнение (както и решението на много други задачи) с намиране на ODZ, особено ако ODZ е лесно да се намери. Ето някои от най-очевидните аргументи в полза на това.

Така че, след като сте получили задачата да решите уравнението, не трябва да бързате с изчисления за трансформация, без да поглеждате назад, може би просто да погледнете ODZ? Това ясно се демонстрира от следното ирационално уравнение.

Функционално-графичен метод

Функционално-графичен методе друг общ метод за решаване на уравнения. Като всеки общ метод, той ви позволява да решавате уравненията различни видове, по-специално, може да се използва за решаване на ирационални уравнения. Именно това приложение на функционално-графичния метод ни интересува най-вече в рамките на настоящата статия.

Функционално-графичният метод включва функции, техните свойства и графики в процеса на решаване на уравнения. Това е много мощен инструмент. И като всеки мощен инструмент, обикновено се прибягва до него, когато по-простите инструменти са безсилни.

Има три основни направления на функционално-графичния метод за решаване на уравнения:

• Първият е използването на функционални графики. Това направление се нарича графичен метод.
• Второто е да се използват свойствата на нарастващи и намаляващи функции.
• Третото е да се използват свойствата на ограничените функции. Вероятно по метода за оценка, който в последно времена слух те разбират точно това направление на функционално-графичния метод.

Тези три посоки позволяват да се справят с преобладаващата част от ирационалните уравнения, за които функционално-графичният метод като цяло е подходящ. В посочената последователност - използване на графики, използване на нарастване-намаляване, използване на свойствата на ограничените функции - ще анализираме решенията на най-типичните примери.

Графичен метод

И така, нека започнем с графичен метод за решаване на ирационални уравнения.

Според графичния метод се нуждаете от:

• първо, в една координатна система, начертайте графиките на функциите f и g, съответстващи на лявата и дясната част на уравнението, което се решава,
• второ, според тях относителна позициянаправете заключения относно корените на уравнението:
  • ако графиките на функциите не се пресичат, тогава уравнението няма решения,
  • ако графиките на функциите имат пресечни точки, тогава корените на уравнението са абсцисите на тези точки.

Решаване на ирационални уравнения чрез ОДЗ

Много често част от процеса на решаване на уравнения е. Причините за търсене на ODZ могат да бъдат различни: необходимо е да се извършат трансформации на уравнението, а те, както знаете, се извършват на ODZ, избраният метод на решение предполага намиране на ODZ, проверка според ODZ и т.н. И в някои случаи ODZ действа не само като спомагателен или контролен инструмент, но също така ви позволява да получите решение на уравнението. Тук имаме предвид две ситуации: когато ODZ е празно множество и когато ODZ е краен набор от числа.

Ясно е, че ако ODZ на уравнение, по-специално ирационално, е празно множество, тогава уравнението няма решения. Така че ODZ на променливата x за следното ирационално уравнение е празен набор, което означава, че уравнението няма решения.

Когато ODZ на променлива за уравнение е краен набор от числа, тогава последователна проверка чрез заместване на тези числа, можете да получите решение на уравнението. Например, разгледайте ирационално уравнение, ODZ за което се състои от две числа и заместването показва, че само едно от тях е коренът на уравнението, от което се заключава, че този корен е единственото решение на уравнението.

Решение на ирационални уравнения от формата "дроб е равна на нула"

Всякакви уравнение под формата "дроб е равна на нула", по-специално, ирационално, върху ODZ на променливата x за това уравнение е еквивалентно на уравнението f(x)=0 . От това твърдение следват два подхода за решаване на уравнения от този тип:

Ясно е, че е по-добре да се прибегне до първия подход за решаване на уравнението, когато е по-лесно да се намери ODZ, отколкото да се реши уравнението f(x)=0. В този случай ODZ може да се окаже празен набор или да се състои от няколко числа, в тези случаи ще бъде възможно изобщо да се направи без решаване на уравнението f (x) = 0 (виж). Нека решим типично ирационално уравнение.

Подходът с втори глас за решаване на уравнението е за предпочитане, когато решаването на уравнението f(x)=0 е доста лесно. След решаване на уравнението f(x)=0 остава проверката на намерените корени, което обикновено става по един от следните начини:

• чрез заместване в знаменателя на оригиналното уравнение, онези от намерените корени, които превръщат знаменателя в нула или в израз, който няма смисъл, не са корени, а намерените корени, които превръщат знаменателя в ненулево число, са корени на първоначалното уравнение.
• директно от ODZ (когато ODZ се намира доста лесно, докато първият и вторият подход за решаване на ирационални уравнения от формата „дроб е нула“ са практически еквивалентни), намерените корени, принадлежащи на ODZ, са корените на оригиналното уравнение , а не принадлежащи - не са.
• или чрез условията на ODZ (често е лесно да се запишат условията, които определят ODZ, но е трудно да се намери ODZ от тях под формата на числово множество), онези от намерените корени, които удовлетворяват всички условията на ODZ са корените на оригиналното уравнение, останалите не са.

Ирационални уравнения, редуцирани до числени уравнения

Преминете към модули

Ако в записа на ирационално уравнение под знака на корен от четна степен стои степента на някакъв израз с експонента, равна на root, тогава можете да отидете на модула. Такава трансформация се извършва поради едно от , което съответства на формулата , където 2·m е четно число, a е всяко реално число. Струва си да се отбележи, че тази трансформация е еквивалентна на трансформацията на уравнението. Всъщност при такава трансформация коренът се заменя с идентично равен модул, докато ODZ не се променя.

Помислете за характеристично ирационално уравнение, което може да бъде решено чрез преминаване към модула.

Винаги ли си струва да преминавате към модули, когато е възможно? В по-голямата част от случаите такъв преход е оправдан. Изключение правят случаите, когато е очевидно, че алтернативните методи за решаване на ирационално уравнение изискват относително по-малко труд. Нека вземем ирационално уравнение, което може да бъде решено както чрез преминаване към модули, така и чрез някои други методи, например чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението или чрез определяне на корена, и да видим кое от решенията ще бъде най-простото и най-компактното.

В решения пример най-предпочитаното решение е да се определи коренът: той е по-кратък и по-прост от решението чрез прехода към модула и решението чрез метода на повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. Можехме ли да знаем това, преди да решим уравнението и с трите метода? Нека си признаем, не беше очевидно. Така че, когато се разглеждат няколко метода за решение и не е ясно веднага кой да предпочетете, струва си да опитате да получите решение с някой от тях. Ако това се получи, тогава добре. Ако избраният метод не доведе до резултат или решението се окаже много трудно, тогава си струва да опитате друг метод.

За да завършим този параграф, нека се върнем към ирационалното уравнение. В предишния параграф вече го решихме и видяхме, че опитът да се реши чрез изолиране на радикала и повдигане на квадрат на двете части на уравнението доведе до численото равенство 0=0 и невъзможността да се направи заключение за корените. И решението за определяне на корена беше свързано с решението на ирационално неравенство, което само по себе си е доста трудно. Един добър метод за решаване на това ирационално уравнение е да се премине към модули. Нека дадем подробно решение.

Трансформация на ирационални уравнения

Решаването на ирационални уравнения почти никога не е пълно без трансформирането им. По времето, когато изучаваме ирационални уравнения, ние вече сме запознати с еквивалентни трансформации на уравнения. При решаването на ирационални уравнения те се използват по същия начин, както при решаването на вече изучени видове уравнения. Видяхте примери за такива трансформации на ирационални уравнения в предишните параграфи и, ще се съгласите, те бяха съвсем естествено възприети, тъй като са ни добре познати. По-горе научихме и за нова трансформация за нас - повдигане на двете части на уравнението на еднаква степен, което е типично за ирационалните уравнения, то е в общ случайне е еквивалентен. Струва си да се говори за всички тези трансформации подробно, за да се знаят всички фини точки, които възникват по време на тяхното изпълнение и да се избегнат грешки.

Ще анализираме трансформациите на ирационални уравнения в следната последователност:

1. Замяна на изрази с идентично равни изрази, които не променят DPV.
2. Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.
3. Добавяне на същия израз, който не променя DPV към двете страни на уравнението, или изваждане на същия израз, който не променя DPV от двете страни на уравнението.
4. Прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга с противоположен знак.
5. Умножение и деление на двете страни на уравнение с едно и също ненулево число.
6. Умножение и деление на двете части на уравнението с един и същ израз, който не променя обхвата на допустимите стойности на променливата и не изчезва върху него.
7. Повдигнете двете страни на уравнение на еднаква степен.

И така, кръгът от въпроси е очертан. Да започнем с примери.

Първата трансформация, която ни интересува, е замяната на изрази в уравнението с идентично равни изрази. Знаем, че е еквивалентно, ако ODZ за полученото в резултат на трансформацията уравнение е същото като ODZ за оригиналното уравнение. Оттук става ясно, че има две основни причини за възникването на грешки по време на тази трансформация: първата е промяна в ODZ, която възниква в резултат на трансформацията, втората е замяната на израз с израз, който е не е тъждествено равен на него. Нека анализираме тези аспекти подробно и по ред, като разгледаме примери за типични трансформации от този тип.

Първо, нека разгледаме типичните трансформации на уравнения, които се състоят в замяна на израз с израз, който е идентично равен на него, които винаги са еквивалентни. Ето съответния списък.

• Пренареждане на термини и фактори. Тази трансформация може да се извърши както от лявата, така и от дясната страна на ирационалното уравнение. Може да се използва например за групиране и след това редуциране на подобни членове, за да се опрости формата на уравнението. Размяната на членове или фактори очевидно е еквивалентна трансформация на уравнението. Разбираемо е: оригиналният израз и изразът с пренаредени термини или фактори са еднакви (ако, разбира се, пермутацията е извършена правилно) и е очевидно, че такава трансформация не променя ODZ. Да вземем пример. От лявата страна на ирационалното уравнение в продукта x 3 x можете да размените първия и втория фактор x и 3, което в бъдеще ще ви позволи да представите полинома под знака на корена в стандартна форма. И от дясната страна на уравнението в сумата 4 + x + 5 можете да пренаредите членовете 4 и x, което в бъдеще ще ви позволи да добавите числата 4 и 5. След тези пермутации ирационалното уравнение ще приеме формата , полученото уравнение е еквивалентно на оригиналното.
• Отвор на скоба. Еквивалентността на тази трансформация на уравненията е очевидна: изразите преди и след отварянето на скобите са идентично равни и имат еднакъв диапазон от валидни стойности. Например, вземете ирационалното уравнение . Решението му изисква отваряне на скоби. Отваряйки скобите от лявата страна на уравнението, както и от дясната страна на уравнението, стигаме до еквивалентно уравнение.
• Групиране на термини и/или фактори. Това преобразуване на уравнение по своята същност е замяната на всеки израз, който е част от уравнението, с израз, който е идентично равен на него с групирани членове или фактори. Очевидно това не променя ODZ. Следователно посочената трансформация на уравнението е еквивалентна. За да илюстрираме, нека вземем ирационално уравнение. Пермутацията на членовете (говорихме за това два параграфа по-горе) и групирането на членовете ни позволява да стигнем до еквивалентно уравнение. Целта на такова групиране на термини е ясно видима - да се извърши следната еквивалентна трансформация, която ще ни позволи да въведем нова променлива.
• Поставяне на общия множител в скоби. Ясно е, че изразите преди поставянето в скоби на общия множител и след поставянето в скоби на общия множител са идентично равни. Също така е ясно, че изваждането на общия множител извън скоби не променя ODZ. Следователно изваждането на общия множител извън скоби в израз, който е част от уравнение, е еквивалентно преобразуване на уравнението. Такава трансформация се използва, например, за представяне на лявата страна на уравнение като продукт, за да се реши чрез метода на факторизация. Ето един конкретен пример. Помислете за ирационално уравнение. Лявата страна на това уравнение може да бъде представена като продукт, за това трябва да извадите общия множител извън скоби. В резултат на тази трансформация ще се получи ирационално уравнение , еквивалентен на оригиналния, който може да бъде решен чрез факторизацията.
• Замяна на числови изрази с техните стойности. Ясно е, че ако в записа на уравнението има някакъв числов израз и ние заменим този числов израз с неговата стойност (правилно изчислена), тогава такава замяна ще бъде еквивалентна. Всъщност, всъщност, всъщност, изразът се заменя с израз, идентично равен на него, и в същото време ODZ на уравнението не се променя. И така, замествайки в ирационалното уравнение сумата от две числа -3 и 1 по стойността на тази сума, която е равна на -2, получаваме еквивалентно ирационално уравнение. По подобен начин можем да извършим еквивалентна трансформация на ирационалното уравнение , извършвайки операции с числа под знака на корена (1+2=3 и ), тази трансформация ще ни доведе до еквивалентното уравнение .
• Извършване на действия с мономи и полиноми, които са в записа на ирационално уравнение. Ясно е, че правилно изпълнениетези действия ще доведат до еквивалентно уравнение. Наистина, в този случай изразът ще бъде заменен с израз, който е идентично равен на него и DPV няма да се промени. Например в ирационалното уравнение можете да съберете мономите x 2 и 3 x 2 и да отидете до еквивалентно уравнение . Друг пример: изваждането на полиноми от лявата страна на ирационално уравнение е еквивалентно преобразуване, което води до еквивалентно уравнение .

Продължаваме да разглеждаме преобразувания на уравнения, които се състоят в замяна на изрази с идентично равни изрази. Такива трансформации също могат да бъдат неравномерни, тъй като те могат да променят ODZ. По-специално, може да се осъществи разширяване на ODZ. Това може да се случи при добавяне на подобни членове, при съкращаване на дроби, при нулиране на продукт с няколко нулеви множителя или дроб с нулев числител и най-често при използване на формули, които съответстват на свойствата на корените. Между другото, небрежното използване на свойствата на корените също може да доведе до стесняване на ODZ. И ако трансформациите, които разширяват ODZ, са допустими при решаване на уравнения (те могат да причинят появата на външни корени, които се елиминират по определен начин), тогава трансформациите, които стесняват ODZ, трябва да бъдат изоставени безпроблемно, тъй като те могат да причинят загуба на корени. Нека се спрем на тези точки.

Първото ирационално уравнение е . Неговото решение започва с преобразуването на уравнението във формата въз основа на едно от свойствата на степените. Тази трансформация е еквивалентна, тъй като изразът се заменя с идентично равен израз и DPV не се променя. Но следващият преход към уравнението , извършен въз основа на дефиницията на корена, вече може да бъде нееквивалентна трансформация на уравнението, тъй като с такава трансформация ODZ се разширява. Нека покажем пълното решение на това уравнение.

Второто ирационално уравнение, подходящо да илюстрира, че трансформациите на ирационални уравнения, използващи свойствата на корените и дефиницията на корен, могат да бъдат нееквивалентни, е . Е, ако не си позволите да започнете решението по този начин

Или така

Започваме с първия случай. Първата трансформация е преходът от първоначалното ирационално уравнение към уравнението се състои в замяна на израза x+3 с израза . Тези изрази са идентично равни. Но с такава замяна ODZ се стеснява от множеството (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множеството [−1, +∞) . И се съгласихме да се въздържаме от реформи, които стесняват ОДЗ, тъй като те могат да доведат до загуба на корени.

Какво не е наред с втория случай? Разширение на ОДЗ при последния преход от към числото −3 ? Не само това. Голямо безпокойство предизвиква първият преход от първоначалното ирационално уравнение към уравнението . Същността на този преход е замяната на израза x + 3 с израза . Но тези изрази не са идентично равни: за x + 3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , откъдето следва, че .

Как тогава да решим това ирационално уравнение ? Тук е най-добре веднага да въведете нова променлива , докато (x+3) (x+1)=t 2 . Нека дадем подробно решение.

Нека обобщим първото от разгледаните преобразувания на уравненията - замяната на израз, който е част от уравнението, с израз, който му е тъждествено равен. При всяко провеждане трябва да бъдат изпълнени две условия: първото е изразът да се замени с точно тъждествено равен израз и второто е да не настъпва стесняване на ОДЗ. Ако при такава замяна ODZ не се промени, тогава в резултат на трансформацията ще се получи еквивалентно уравнение. Ако при такава подмяна ODZ се разшири, тогава могат да се появят външни корени и трябва да се внимава да ги отстраните.

Обръщаме се към второто преобразуване на списъка - добавяне на едно и също число към двете страни на уравнението и изваждане на едно и също число от двете страни на уравнението. Това е еквивалентна трансформация на уравнението. Обикновено прибягваме до него, когато има еднакви числа от лявата и дясната страна на уравнението, изваждането на тези числа от двете страни на уравнението ни позволява да се отървем от тях в бъдеще. Например от лявата и дясната страна на ирационалното уравнение има термин 3. Изваждането на тройката от двете страни на уравнението води до уравнението, което след извършване на манипулации с числата приема формата и допълнително опростява до . Според резултата разглежданата трансформация има нещо общо с прехвърлянето на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак, но за тази трансформация малко по-късно. Има и други примери за прилагане на тази трансформация. Например, в ирационално уравнение, добавянето на числото 3 към двете страни е необходимо, за да се организира пълен квадрат от лявата страна на уравнението и допълнително да се трансформира уравнението във формата, за да се въведе нова променлива.

Обобщение на току-що разгледаната трансформация е добавянето към двете части на уравнението или изваждането от двете части на уравнението на същия израз. Тази трансформация на уравненията е еквивалентна, когато ODZ не се променя. Тази трансформация се извършва главно с цел по-нататъшно премахване на едни и същи членове, които са едновременно от лявата и дясната страна на уравнението. Да вземем пример. Да предположим, че имаме ирационално уравнение. Очевидно има член както в лявата, така и в дясната страна на уравнението. Разумно е този израз да се извади от двете страни на уравнението: . В нашия случай при такъв преход ODZ не се променя, така че извършената трансформация е еквивалентна. И това се прави, за да се премине към по-просто ирационално уравнение.

Следващата трансформация на уравненията, която ще разгледаме в този параграф, е прехвърлянето на членове от една част на уравнението в друга с противоположен знак. Тази трансформация на уравнението винаги е еквивалентна. Обхватът на приложението му е доста широк. С негова помощ може например да се изолира радикалът или да се съберат подобни членове в една част от уравнението, така че по-късно те да бъдат намалени и по този начин да се опрости формата на уравнението. Да вземем пример. За решаване на ирационално уравнение можем да прехвърлим членовете −1 и в правилната страна, променяйки техния знак, това ще даде еквивалентното уравнение , което може да бъде решено допълнително, например чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението.

Продължаваме по-нататък по пътя на разглеждане на трансформациите на уравнения до умножение или деление на двете части на уравнението на едно и също число, различно от нула. Тази трансформация е еквивалентна трансформация на уравнението. Умножаването на двете страни на уравнение с едно и също число се използва главно за преминаване от дроби към цели числа. Например в ирационално уравнение за да се отървете от дробите, умножете двете му части по 8, което дава еквивалентно уравнение , което допълнително се свежда до формата . Разделянето на двете части на уравнението се извършва главно с цел намаляване на числените коефициенти. Например, двете страни на ирационалното уравнение препоръчително е да се раздели на числови коефициенти 18 и 12, тоест на 6, такова разделяне дава еквивалентно уравнение , от което по-късно можем да преминем към уравнението , който има по-малки, но също цели коефициенти.

Следващата трансформация на уравнението е умножаването и деленето на двете страни на уравнението с един и същи израз. Тази трансформация е еквивалентна, когато изразът, чрез който се извършва умножението или делението, не променя диапазона от допустими стойности на променливата и не изчезва върху него. Обикновено умножаването на двете страни по един и същ израз е, по цели, като умножаване на двете страни на уравнение по едно и също число. Най-често тази трансформация се прибягва, за да се отърват от дроби чрез допълнителни трансформации. Нека покажем това с пример.

Няма да заобиколим ирационалните уравнения, за чието решение трябва да се прибегне до разделяне на двете части на уравнението с един и същи израз. Малко по-нагоре отбелязахме, че такова разделяне е еквивалентна трансформация, ако не засяга ODZ и този израз върху ODZ не изчезва. Но понякога разделянето трябва да се извърши върху израз, който изчезва в ODZ. Напълно възможно е да се направи това, ако в същото време нулите на този израз се проверяват отделно, за да се види дали между тях има корени на решаваното уравнение, в противен случай тези корени могат да бъдат загубени по време на такова разделяне.

Последната трансформация на ирационални уравнения, която ще разгледаме в този раздел, е да повдигнем двете страни на уравнението на еднаква степен. Тази трансформация може да се нарече типична за ирационални уравнения, тъй като практически не се използва при решаване на уравнения от други типове. Вече споменахме тази трансформация в настоящата статия, когато анализирахме. Има и много примери за тази трансформация. Тук няма да се повтаряме, а само ще напомним, че в общия случай тази трансформация не е еквивалентна. Това може да доведе до появата на външни корени. Следователно, ако в процеса на решаване се обърнахме към тази трансформация, тогава намерените корени трябва да бъдат проверени за наличието на външни корени сред тях.

За загубата на корени

Какво може да причини загубата на корени при решаване на уравнение? Основната причина за загубата на корени е трансформацията на уравнението, при което ODZ се стеснява. За да разберем тази точка, нека вземем пример.

Нека вземем ирационално уравнение , което вече решихме в настоящата статия. Започнахме да го решаваме, като предупредихме за следните трансформации на уравнението

Първата трансформация е преходът от уравнението към уравнението - стеснява ОДЗ. Наистина, ODZ за първоначалното уравнение е (−∞, −3)∪[−1, +∞) , а за полученото уравнение е [−1, +∞) . Това води до загуба на интервала (−∞, −3) от разглеждане и, като следствие, загуба на всички корени на уравнението от този интервал. В нашия случай, при извършване на посочената трансформация, всички корени на уравнението, които са две и , ще бъдат загубени.

Така че, ако преобразуването на уравнението доведе до стесняване на ODZ, тогава всички корени на уравнението, които са в частта, върху която е настъпило стесняването, ще бъдат загубени. Ето защо призоваваме да не се прибягва до реформи, които стесняват ДХС. Има обаче едно предупреждение.

Тази резервация се прилага за трансформации, при които ODZ се стеснява с едно или повече числа. Най-характерното преобразуване, при което от ОДЗ изпадат няколко отделни числа, е разделянето на двете части на уравнението в един и същи израз. Ясно е, че при извършване на такова преобразуване могат да бъдат загубени само корените, които са сред този краен набор от числа, които отпадат при стесняване на ODZ. Следователно, ако всички числа от този набор се проверяват поотделно, за да се види дали сред тях има корени на уравнението, което се решава, например чрез заместване, и намерените корени са включени в отговора, тогава желаната трансформация може да се извърши по-нататък без страх от загуба на корените. Нека илюстрираме горното с пример.

Помислете за ирационалното уравнение, което също вече беше решено в предишния параграф. За да решите това уравнение чрез въвеждане на нова променлива, е полезно първо да разделите двете страни на уравнението на 1+x. При такова деление числото -1 изпада от ОДЗ. Заместването на тази стойност в оригиналното уравнение дава неправилно числено равенство (), което предполага, че −1 не е коренът на уравнението. След такава проверка можете безопасно да извършите планираното разделяне, без да се страхувате да загубите корена.

В заключение на този параграф отбелязваме, че най-често при решаване на ирационални уравнения разделянето на двете части на уравнението с един и същ израз, както и трансформации, базирани на свойствата на корените, води до стесняване на ODZ. Така че трябва да бъдете много внимателни, когато извършвате такива трансформации и не допускайте загуба на корени.

За външните корени и начините за премахването им

Решаването на по-голямата част от уравненията се извършва чрез преобразуване на уравнения. Някои трансформации могат да доведат до следствени уравнения и сред решенията на следственото уравнение може да има корени, които са външни за първоначалното уравнение. Външните корени не са корени на оригиналното уравнение, така че не трябва да се включват в отговора. С други думи, те трябва да бъдат отстранени.

Така че, ако има поне едно следствено уравнение във веригата от трансформации на уравнението, което се решава, тогава трябва да се погрижите за откриването и отсяването на външни корени.

Методите за откриване и премахване на чужди корени зависят от причините, които предизвикват евентуалната им поява. И има две причини за възможната поява на външни корени при решаване на ирационални уравнения: първата е разширяването на ODZ в резултат на преобразуването на уравнението, втората е повишаването на двете части на уравнението до равностепенна степен . Нека да разгледаме съответните методи.

Нека започнем с методите за пресяване на външни корени, когато единствената причина за възможната им поява е разширяването на ODZ. В този случай отстраняването на външни корени се извършва по един от следните три начина:

• Според ОДЗ. За целта се намира ODZ на променливата за изходното уравнение и се проверява принадлежността на намерените корени към него. Корените, които принадлежат на ODZ, са корените на оригиналното уравнение, а тези, които не принадлежат на ODZ, са външни корени за оригиналното уравнение.
• Чрез условията на ОДЗ. Записват се условията, които определят ODV на променливата за първоначалното уравнение и намерените корени се заместват в тях на свой ред. Тези корени, които отговарят на всички условия, са корени, а тези, които не отговарят на поне едно условие, са външни корени за оригиналното уравнение.
• Чрез заместване в оригиналното уравнение (или във всяко уравнение, еквивалентно на него). Намерените корени се заместват последователно в изходното уравнение, като тези от тях, при чието заместване уравнението се превръща в правилно числово равенство, са корени, а онези от тях, при чието заместване се получава израз, който няма смисъл, са външни корени за първоначалното уравнение.

Когато решаваме следното ирационално уравнение, нека отсеем страничните корени по всеки от посочените начини, за да добием обща представа за всеки от тях.

Ясно е, че няма всеки път да идентифицираме и премахваме чужди корени по всички известни методи. За да филтрираме външни корени, ние ще изберем най-подходящия метод във всеки случай. Например, в следващия пример е най-удобно да се филтрират външни корени чрез условията на ODZ, тъй като при тези условия е трудно да се намери ODZ под формата на числов набор.

Сега нека поговорим за отсяването на външни корени, когато решението на ирационално уравнение се извършва чрез повдигане на двете части на уравнението на четна степен. Тук скринингът през ODZ или чрез условията на ODZ вече няма да помогне, тъй като няма да ни позволи да премахнем външни корени, които възникват по друга причина - поради повишаването на двете части на уравнението до една и съща дори мощност . Защо се появяват външни корени, когато двете страни на уравнението са повдигнати на една и съща четна степен? Появата на външни корени в този случай следва от факта, че повишаването на двете части на неправилно числено равенство на една и съща четна степен може да даде правилно числово равенство. Например, неправилното числово равенство 3=−3, след повдигане на квадрат на двете му страни, става правилно числово равенство 3 2 =(−3) 2 , което е същото като 9=9 .

Изяснени са причините за появата на външни корени, когато и двете части на уравнението са повдигнати на еднаква степен. Остава да се посочи как се елиминират външните корени в този случай. Скринингът се извършва главно чрез заместване на намерените потенциални корени в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него. Нека демонстрираме това с пример.

Но си струва да имате предвид друг метод, който ви позволява да премахнете външни корени в случаите, когато и двете части на ирационално уравнение с единствен радикал са повдигнати на една и съща четна степен. При решаване на ирационални уравнения , където 2·k е четно число, чрез повишаване на двете части на уравненията на еднаква степен, отсяването на външни корени може да се извърши чрез условието g(x)≥0 (това всъщност е решаване на ирационално уравнение чрез определяне на корена). Този метод често идва на помощ, когато отсяването на външни корени чрез заместване се окаже свързано със сложни изчисления. Следващият пример е добра илюстрация на казаното.

Литература

1. Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: Ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Математика. Повишено ниво на USE-2012 (C1, C3). Тематични тестове. Уравнения, неравенства, системи / под редакцията на Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухов. - Ростов на Дон: Легион-М, 2011. - 112 с. - (Подготовка за изпита) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Випуск 2004. Математика. Сборник задачи за подкотовка към изпита. Част 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова.

Ирационално уравнение е всяко уравнение, което съдържа функция под знака за корен. Например:

Такива уравнения винаги се решават в 3 стъпки:

1. Отделете корена. С други думи, ако има други числа или функции вляво от знака за равенство в допълнение към корена, всичко това трябва да се премести вдясно чрез промяна на знака. В същото време отляво трябва да остане само радикалът - без коефициенти.
2. 2. Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението. В същото време не забравяйте, че диапазонът на корена е всички неотрицателни числа. Оттук и функцията вдясно ирационално уравнениесъщо трябва да бъде неотрицателно: g (x) ≥ 0.
3. Третата стъпка следва логично от втората: трябва да извършите проверка. Факт е, че във втората стъпка можем да имаме допълнителни корени. И за да ги отрежете, е необходимо да замените получените числа кандидати в оригиналното уравнение и да проверите: наистина ли е получено правилното числено равенство?

Решаване на ирационално уравнение

Нека се справим с нашето ирационално уравнение, дадено в самото начало на урока. Тук коренът вече е уединен: вляво от знака за равенство няма нищо друго освен корена. Нека повдигнем на квадрат двете страни:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Решаваме полученото квадратно уравнение чрез дискриминанта:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Остава само да заменим тези числа в първоначалното уравнение, т.е. извърши проверка. Но дори и тук можете да направите правилното нещо, за да опростите крайното решение.

Как да опростим решението

Нека помислим: защо изобщо проверяваме в края на решаването на ирационално уравнение? Искаме да сме сигурни, че когато заместваме нашите корени, ще има неотрицателно число отдясно на знака за равенство. В края на краищата вече знаем със сигурност, че това е неотрицателно число отляво, тъй като аритметичният квадратен корен (заради който нашето уравнение се нарича ирационално) по дефиниция не може да бъде по-малко от нула.

Следователно всичко, което трябва да проверим е, че функцията g ( x ) = 5 − x , която е вдясно от знака за равенство, е неотрицателна:

g(x) ≥ 0

Заменяме нашите корени в тази функция и получаваме:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

От получените стойности следва, че коренът x 1 = 6 не ни подхожда, тъй като при заместване в дясната страна на първоначалното уравнение получаваме отрицателно число. Но коренът x 2 \u003d −2 е доста подходящ за нас, защото:

1. Този корен е решението квадратно уравнениеполучени в резултат на изграждането на двете страни ирационално уравнениев квадрат.
2. Дясната страна на първоначалното ирационално уравнение, когато се замести коренът x 2 = −2, се превръща в положително число, т.е. диапазонът на аритметичния корен не е нарушен.

Това е целият алгоритъм! Както можете да видите, решаването на уравнения с радикали не е толкова трудно. Основното нещо е да не забравяте да проверите получените корени, в противен случай е много вероятно да получите допълнителни отговори.