Уравнение с една променлива. Корен на уравнението

Лекция 26

1. Концепцията за уравнение с една променлива

2. Еквивалентни уравнения. Теореми за еквивалентност на уравнения

3. Решаване на уравнения с една променлива

Нека вземем два израза с променлива: 4 хи 5 х+ 2. Свързвайки ги със знак за равенство, получаваме изречението 4x= 5х+ 2. Съдържа променлива и при заместване на стойностите на променливата се превръща в изявление. Например, когато x =-2 оферта 4x= 5х+ 2 се превръща в истинско числово равенство 4 (-2) = 5 (-2) + 2 и когато x = 1 - невярно 4 1 = 5 1 + 2. Следователно изречението 4x = 5x + 2има изразителна форма. Викат я уравнение с една променлива.

AT общ изгледедно уравнение с променлива може да се дефинира, както следва:

Определение. Нека f(x) и g(x) са два израза с променлива x и област X. Тогава пропозиционалната форма на формата f(x) = g(x) се нарича уравнение с една променлива.

Променлива стойност хот много х,при което уравнението става истинско числено равенство се нарича коренът на уравнението(или негово решение). Решете уравнението -това означава да се намери множеството от неговите корени.

И така, коренът на уравнението 4x = 5x+ 2 ако го смятаме на снимачната площадка Рреални числа, е числото -2. Това уравнение няма други корени. Така че множеството от неговите корени е (-2).

Нека уравнението ( х - 1)(x+ 2) = 0. Има два корена - числата 1 и -2. Следователно множеството от корени на това уравнение е: (-2,-1).

Уравнението (3x + 1)-2 = 6х+ 2, дадено на набор от реални числа, се превръща в истинско числено равенство за всички реални стойности на променливата х: ако отворим скобите от лявата страна, получаваме 6x + 2 = 6x + 2.В този случай казваме, че неговият корен е всяко реално число, а множеството от корени е множеството от всички реални числа.

Уравнението (3x+ 1) 2 = 6 х+ 1, дадено на набор от реални числа, не се превръща в истинско числено равенство за никоя реална стойност Х:след като отворим скобите от лявата страна, получаваме това 6 х + 2 = 6x + 1, което е невъзможно по никакъв начин Х.В този случай казваме, че даденото уравнение няма корени и че множеството от неговите корени е празно.

За да се реши всяко уравнение, то първо се трансформира, като се заменя с друго, по-просто; полученото уравнение отново се трансформира, като се заменя с по-просто и т.н. Този процес продължава, докато се получи уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени познат начин. Но за да бъдат тези корени корени на дадено уравнение, е необходимо в процеса на преобразуване да се получат уравнения, чиито набори от корени съвпадат. Такива уравнения се наричат еквивалентен.

Лекция 26

1. Концепцията за уравнение с една променлива

2. Еквивалентни уравнения. Теореми за еквивалентност на уравнения

3. Решаване на уравнения с една променлива

Уравнения с една променлива

Най-общо уравнение с една променлива може да се дефинира, както следва:

За да се реши всяко уравнение, то първо се трансформира, като се заменя с друго, по-просто; полученото уравнение отново се трансформира, като се заменя с по-просто и т.н. Този процес продължава, докато се получи уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени по известен начин. Но за да бъдат тези корени корени на дадено уравнение, е необходимо в процеса на преобразуване да се получат уравнения, чиито набори от корени съвпадат. Такива уравнения се наричат еквивалентен.

Равенство с променлива f(x) = g(x)се нарича уравнение с една променлива x. Всяка стойност на променливата, при която f(x) и g(x) приемат равни числени стойности, се нарича корен на такова уравнение. Следователно да се реши уравнение означава да се намерят всички корени на уравнението или да се докаже, че няма такива.

Уравнението x 2 + 1 \u003d 0 няма реални корени, но има въображаеми корени: в този случай това са корените x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i. По-нататък ще се интересуваме само от истинските корени на уравнението.

Ако уравненията имат еднакви корени, тогава те се наричат еквивалентни. Тези уравнения, които нямат корени, са еквивалентни.

Нека определим дали уравненията са еквивалентни:

а) x + 2 = 5 и x + 5 = 8

1. Решете първото уравнение

2. Решете второто уравнение

Корените на уравненията са еднакви, така че x + 2 = 5 и x + 5 = 8 са еквивалентни.

б) x 2 + 1 = 0 и 2x 2 + 5 = 0

И двете уравнения нямат реални корени, следователно са еквивалентни.

в) x - 5 \u003d 1 и x 2 \u003d 36

1. Намерете корените на първото уравнение

2. Намерете корените на второто уравнение

x 1 = 6, x 2 = -6

Корените на уравненията не съвпадат, така че x - 5 \u003d 1 и x 2 \u003d 36 не са еквивалентни.

При решаването на уравнението се опитват да го заменят с еквивалент, но повече просто уравнение. Затова е важно да се знае, в резултат на какви трансформации това уравнение се превръща в еквивалентно на него уравнение.

Теорема 1. Ако някой член в уравнението се прехвърли от една част в друга, като се промени знакът, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото.

Например уравнението x 2 + 2 = 3x е еквивалентно на уравнението x 2 + 2 - 3x = 0.

Теорема 2. Ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число (не равно на нула), тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Например уравнението (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x е еквивалентно на уравнението x 2 - 1 \u003d 6x. Умножаваме двете страни на първото уравнение по 3.

Линейно уравнение с една променлива е уравнение под формата ax \u003d b, където a и b са реални числа, а a се нарича коефициент на променливата, а b е свободният член.

Разгледайте три случая за линейното уравнение ax = b.

1. a ≠ 0. В този случай x \u003d b / a (тъй като a е различно от нула).

2. a \u003d 0, b \u003d 0. Уравнението ще приеме формата: 0 ∙ x \u003d 0. Това уравнение е вярно за всяко x, т.е. коренът на уравнението е всяко реално число.

3. a \u003d 0, b ≠ 0. В този случай уравнението няма да има корени, тъй като деленето на нула е забранено (0 ∙ x = b).

В резултат на трансформации много уравнения се свеждат до линейни.

Решаване на уравнения

а) (1/5) x + 2/15 = 0

1. Преместете компонента 2/15 от лявата страна на уравнението в дясната страна с обратен знак. Такава трансформация се ръководи от теорема 1. Така че уравнението ще приеме формата: (1/5)x = -2/15.

2. За да се отървем от знаменателя, умножаваме двете страни на уравнението по 15. Теорема 2 ни позволява да направим това.Така че уравнението ще приеме формата:

(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15

Така коренът на уравнението е -2/3.

б) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. За да се отървем от знаменателя, умножаваме двете части на уравнението на 12 (по теорема 2). Уравнението ще приеме формата:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. С помощта на теорема 1 „събираме“ всички числа отдясно и компонентите с x отляво. Уравнението ще приеме формата:

10 +12 \u003d 5x - x

Така коренът на уравнението е 5,5.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

В това видео ще разгледаме целия комплект. линейни уравнения, които се решават по един и същи алгоритъм – затова се наричат най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

Отворени скоби, ако има такива;
Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
Преместете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
След това донесете подобни
Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-много прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

Разгънете скобите, ако има такива.
Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
Представяме подобни условия.
Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Ние изпълняваме последна стъпка- разделете всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви предпази от допускане на глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към повече сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разширите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат как да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: щом започнем да умножаваме скобите, в които има член, по-голям от него, тогава това се прави според следващото правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: изваждаме седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

отворени скоби.
Отделни променливи.
Донесете подобни.
Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

Отървете се от дробите.
отворени скоби.
Отделни променливи.
Донесете подобни.
Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
Възможност за отваряне на скоби.
Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

Нека вземем два израза с променлива: 4x и 5x + 2. Свързвайки ги със знак за равенство, получаваме изречението 4x \u003d 5x + 2. То съдържа променлива и при заместване на стойностите на променливата се превръща в декларация.

Например,при x = -2 изречението 4x = 5x + 2 се превръща в истинско числово равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при x = 1 - в невярно 4-1 = 5- 1 + 2. Следователно изречението 4x = 5x + 2 е пропозиционална форма. Викат я уравнение с една променлива.

Най-общо уравнение с една променлива може да се дефинира, както следва:

Определение.Нека f(x) и q(x) са два израза с променлива x и област X. Тогава пропозиционалната форма на формата f(x) =q(x) се нарича уравнение с една променлива.

Променлива стойност хот много х,при което уравнението става истинско числено равенство се нарича коренът на уравнението (или негово решение). Решаването на уравнение означава намиране на множеството от неговите корени. .

И така, коренът на уравнението 4x \u003d 5x + 2, ако го разгледаме на множеството Рреални числа, е числото -2. Това уравнение няма други корени. Така че множеството от неговите корени е (-2).

Нека уравнението (x-1)(x+2)=0 е дадено върху набор от реални числа. Има два корена - числата 1 и -2. Следователно наборът от корени на това уравнение е: (-2,- 1).

Уравнението (3x + 1) × 2 = 6x + 2, дадено на набор от реални числа, се превръща в истинско числово равенство за всички реални стойности на променливата x: ако отворим скобите от лявата страна , получаваме 6x + 2 = 6 х+ 2. В този случай казваме, че неговият корен е всяко реално число, а множеството от корени е множеството на всички реални числа.

Уравнението (3x + 1)-2 = 6x + 1, дадено на набор от реални числа, не се превръща в истинско числено равенство за никоя реална стойност на x: след отваряне на скобите от лявата страна, получаваме, че 6x + 2 = 6x + 1, което е невъзможно за всяко x. В този случай казваме, че даденото уравнение няма корени и че множеството от неговите корени е празно.

За да се реши всяко уравнение, то първо се трансформира, като се заменя с друго, по-просто; полученото уравнение отново се трансформира, като се заменя с по-просто и т.н. Този процес продължава, докато се получи уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени по известен начин. Но за да бъдат тези корени корени на дадено дадено уравнение, е необходимо в процеса на преобразуване да се получат уравнения, чиито набори от корени съвпадат. Такива уравнения се наричат еквивалентен.

Определение.Две уравнения f 1 (x) =q 1 (x) и f 2 (x) =q 2 (х) се наричат еквивалентни, ако множествата на техните корени съвпадат.

Например,уравнения x 2 - 9 = 0 и (2x + 6)(x - 3) = 0 са еквивалентни, тъй като и двете имат корени 3 и -3. Уравненията (3x + 1)-2 = 6x + 1 и x 2 + 1 също са еквивалентни = 0, тъй като и двете нямат корени, т.е. множествата на техните корени са еднакви.

Определение. Замяната на уравнение с еквивалентно уравнение се нарича еквивалентна трансформация.

Нека сега разберем какви трансформации правят възможно получаването на еквивалентни уравнения.

Теорема 1. Нека уравнението f(x) = q(x) е дадено на множество и h(x) е израз, дефиниран на същото множество. Тогава уравнението f(x) = q(x) (1) и f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) са еквивалентни.

Доказателство.Означаваме с T 1 множеството от решения на уравнение (1), а чрез T 2 множеството от решения на уравнение (2). Тогава уравнения (1) и (2) ще бъдат еквивалентни, ако T 1 = T 2 . За да се провери това, е необходимо да се покаже, че всеки корен от T 1 е коренът на уравнение (2) и, обратно, всеки корен от T 2 е коренът на уравнение (1).

Нека числото a е коренът на уравнение (1). Тогава a н T 1 и при заместване в уравнение (1) го превръща в истинско числово равенство f(a) = q(a), а изразът h(x) го превръща в числов израз h(a), което прави смисъл на множеството X. Нека добавим към двете части на истинското равенство f(a) = q(a) числовия израз h(a). Получаваме, според свойствата на истинските числени равенства, истинското числово равенство f (a) + h (a) \u003d q (a) + h (a), което показва, че числото a е коренът на уравнението (2 ).

И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (1) е и корен на уравнение (2), т.е. T 1 Ì T 2.

Сега нека a е коренът на уравнение (2). Тогава a Î T 2 и при заместване в уравнение (2) го превръща в истинско числово равенство f(a) + h(a) = q(a) + h(a). Нека към двете части на това равенство добавим числов израз - h (a). Получаваме истинското числено равенство f (a) \u003d q (a), че числото a е коренът на уравнение (1).

И така, доказано е, че всеки корен на уравнение (2) е и корен на уравнение (1), т.е. T 2 Ì T 1 .

Тъй като T 1 Ì T 2 и T 2 Ì T 1 , тогава по дефиницията на равни множества T 1 = T 2 , а оттам и уравнения (1) и (2) са еквивалентни.

Тази теорема 1 може да се формулира по различен начин: ако добавим към двете части на уравнението с домейна X един и същ израз с променлива, дефинирана в същото множество, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.

От тази теорема следват следствията, които се използват при решаването на уравненията:

1. Ако добавим едно и също число към двете страни на уравнението, получаваме уравнение, което е еквивалентно на даденото.

2. Ако някой член (числов израз или израз с променлива) се прехвърли от една част на уравнението в друга, променяйки знака на члена на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

Теорема 2.Нека уравнението f(x) = q(x) е дадено на множеството X и h(x) е израз, който е дефиниран на същото множество и не изчезва за никакви стойности на x от множеството X. Тогава уравненията f(x) = q(х) и f(х) × h(х) = q(х) × h(х) са еквивалентни.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теорема 1.

Теорема 2 може да се формулира по различен начин: ако и двете части на уравнение с област X се умножат по един и същи израз, който е дефиниран на едно и също множество и не се нулира върху него, тогава получаваме ново уравнение, еквивалентно на даденото.

Следствието следва от тази теорема: ако и двете части на уравнението се умножат (или разделят) на едно и също число, различно от нула, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

Нека решим уравнението , x О R и обосновем всички трансформации, които ще извършим в процеса на решаване.