Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1) .
Има три начина за решаване на това уравнение:

• метод на постоянна вариация (Лагранж).

Разгледайте решението на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж.

Метод на постоянна вариация (Лагранж)

При метода на постоянната вариация ние решаваме уравнението в две стъпки. На първия етап опростяваме първоначалното уравнение и решаваме хомогенното уравнение. На втория етап ще заменим константата на интегриране, получена на първия етап от решението, с функция. След това търсим общото решение на първоначалното уравнение.

Разгледайте уравнението:
(1)

Стъпка 1 Решение на хомогенното уравнение

Търсим решение хомогенно уравнение:

Това е разделимо уравнение

Разделете променливите - умножете по dx, разделете по y:

Ние интегрираме:

Интеграл върху y - табличен:

Тогава

Потенцира:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знака на модула, което се свежда до умножаване по константата ±1, които включваме в C:

Стъпка 2 Заменете константата C с функцията

Сега нека заменим константата C с функция от x:
c → u (х)
Тоест ще търсим решение на първоначалното уравнение (1) като:
(2)
Намираме производната.

Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Според правилото за диференциране на продукта:

.
Заместваме в оригиналното уравнение (1) :
(1) ;

.
Намаляват се два срока:
;
.
Ние интегрираме:
.
Заместник в (2) :
.
В резултат на това получаваме общото решение на линейното диференциално уравнение от първи ред:
.

Пример за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж

реши уравнението

Решение

Решаваме хомогенното уравнение:

Разделяне на променливи:

Нека умножим по:

Ние интегрираме:

Таблица интеграли:

Потенцира:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знаците на модула:

Оттук:

Нека заменим константата C с функция от x:
c → u (х)

Намираме производната:
.
Заместваме в оригиналното уравнение:
;
;
Или:
;
.
Ние интегрираме:
;
Решение на уравнението:
.

Методът за определяне на условния екстремум започва с изграждането на спомагателна функция на Лагранж, която в областта на възможните решения достига максимум за същите стойности на променливите х 1 , х 2 , ..., х н , кое е целева функция z . Нека проблемът за определяне на условния екстремум на функцията z=f(X) под ограничения φ аз ( х 1 , х 2 , ..., х н ) = 0, аз = 1, 2, ..., м , м < н

Съставете функция

което се нарича Функция на Лагранж. х , - постоянни фактори ( Множители на Лагранж). Обърнете внимание, че множителите на Лагранж могат да бъдат дадени икономически смисъл. Ако f(x 1 , х 2 , ..., х н ) - приходи по план X = (x 1 , х 2 , ..., х н ) , и функцията φ аз (х 1 , х 2 , ..., х н ) са разходите за i-тия ресурс, съответстващ на този план, тогава х , - цена (оценка) на i-тия ресурс, която характеризира промяната в екстремната стойност на целевата функция в зависимост от промяната в размера на i-тия ресурс (пределна оценка). L(X) - функция n+m променливи (х 1 , х 2 , ..., х н , λ 1 , λ 2 , ..., λ н ) . Определянето на стационарните точки на тази функция води до решението на системата от уравнения

Лесно е да се види това . По този начин проблемът за намиране на условния екстремум на функцията z=f(X) се свежда до намиране на локалния екстремум на функцията L(X) . Ако се намери стационарна точка, тогава въпросът за съществуването на екстремум в най-простите случаи се решава въз основа на достатъчни условия за екстремума - изследване на знака на втория диференциал д 2 L(X) в стационарна точка, при условие че променливата нараства Δx аз - свързани с връзки

получени чрез диференциране на уравненията на ограниченията.

Решаване на система от нелинейни уравнения с две неизвестни с помощта на инструмента Solver

Настройка Намиране на решениеви позволява да намерите решение на системата нелинейни уравненияс две неизвестни:

където
- нелинейна функция на променливи х и г ,
е произволна константа.

Известно е, че двойката х , г ) е решение на системата от уравнения (10) тогава и само ако е решение на следното уравнение с две неизвестни:

ОТот друга страна, решението на система (10) е пресечните точки на две криви: f ] (х, г) = ° С и f 2 (x, y) = C 2 на повърхността XOY.

От това следва метод за намиране на корените на системата. нелинейни уравнения:

Определете (поне приблизително) интервала на съществуване на решение на системата от уравнения (10) или уравнение (11). Тук е необходимо да се вземе предвид вида на уравненията, включени в системата, областта на дефиниране на всяко от техните уравнения и т.н. Понякога се използва изборът на първоначалното приближение на решението;

Табулирайте решението на уравнение (11) за променливите x и y в избрания интервал или изградете графики на функции f 1 (х, г) = C, и f 2 (x, y) = C 2 (система (10)).

Локализирайте предполагаемите корени на системата от уравнения - намерете няколко минимални стойности от табличната таблица на корените на уравнението (11) или определете пресечните точки на кривите, включени в системата (10).

4. Намерете корените на системата от уравнения (10) с помощта на добавката Търсене на решение.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

се състои в замяна на произволни константи ck в общото решение

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

съответното хомогенно уравнение

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

към спомагателни функции ck(t), чиито производни удовлетворяват линейната алгебрична система

Детерминантата на система (1) е Wronskian на функциите z1,z2,...,zn, което осигурява нейната уникална разрешимост по отношение на .

Ако са антипроизводни за взети при фиксирани стойности на константите на интегриране, тогава функцията

е решение на първоначалното линейно нехомогенно диференциално уравнение. Интеграция нехомогенно уравнениепри наличието на общо решение на съответното хомогенно уравнение, по този начин се свежда до квадратури.

Метод на Лагранж (метод на вариация на произволни константи)

Метод за получаване на общо решение на нехомогенно уравнение, като се знае общото решение на хомогенно уравнение, без да се намира конкретно решение.

За линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

където y = y(x) е неизвестна функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) са известни, непрекъснати, вярни: 1) има n линейно независими решения уравнения y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) за всякакви стойности на константите c1, c2, ..., cn, функцията y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) е a решение на уравнението; 3) за всякакви начални стойности x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1, има стойности c*1, c*n, ..., c*n, така че решението y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) удовлетворява за x = x0 началните условия y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Изразът y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) се нарича общо решениелинейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред.

Множеството от n линейно независими решения на линейно хомогенно диференциално уравнение от n-ти ред y1(x), y2(x), ..., yn(x) се нарича основна система от решения на уравнението.

За линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициентиима прост алгоритъм за конструиране на фундаментална система от решения. Ще търсим решение на уравнението във формата y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, т.е. числото l е коренът характеристично уравнение ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Лявата страна на характеристичното уравнение се нарича характеристичен полином на линейно диференциално уравнение: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. По този начин проблемът за решаване на линейно хомогенно уравнение от n-ти ред с постоянни коефициенти се свежда до решаване на алгебрично уравнение.

Ако характеристичното уравнение има n различни реални корена l1№ l2 № ... № ln, тогава фундаменталната система от решения се състои от функциите y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), а общото решение на хомогенното уравнение е: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

фундаментална система от решения и общо решение за случая на прости реални корени.

Ако някой от реалните корени на характеристичното уравнение се повтаря r пъти (r-кратен корен), тогава r функции му съответстват във фундаменталната система от решения; ако lk=lk+1 = ... = lk+r-1, тогава in фундаментална системарешения на уравнението, има r функции: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

ПРИМЕР 2. Фундаментална система от решения и общо решение за случай на множество реални корени.

Ако характеристичното уравнение има сложни корени, тогава всяка двойка прости (с кратност 1) сложни корени lk,k+1=ak ± ibk във фундаменталната система от решения съответства на двойка функции yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ПРИМЕР 4. Фундаментална система от решения и общо решение за случай на прости сложни корени. въображаеми корени.

Ако сложна двойка корени има кратност r, тогава такава двойка lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, във фундаменталната система от решения съответстват на функциите exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ПРИМЕР 5. Фундаментална система от решения и общо решение за случай на множество комплексни корени.

Така, за да се намери общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти, трябва: да се напише характеристичното уравнение; намерете всички корени на характеристичното уравнение l1, l2, ... , ln; запишете основната система от решения y1(x), y2(x), ..., yn(x); напишете израз за общото решение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). За да решим проблема на Коши, трябва да заместим израза за общото решение в началните условия и да определим стойностите на константите c1,..., cn, които са решения на системата от линейни алгебрични уравнения c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

За линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

където y = y(x) е неизвестна функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) са известни, непрекъснати, валидни: 1 ) ако y1(x) и y2(x) са две решения на нехомогенно уравнение, тогава функцията y(x) = y1(x) - y2(x) е решение на съответното хомогенно уравнение; 2) ако y1(x) е решение на нехомогенно уравнение, а y2(x) е решение на съответното хомогенно уравнение, тогава функцията y(x) = y1(x) + y2(x) е решение на нехомогенно уравнение; 3) ако y1(x), y2(x), ..., yn(x) са n линейно независими решения на хомогенното уравнение и ych(x) - произволно решениенехомогенно уравнение, тогава за всякакви начални стойности x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 има стойности c*1, c*n, ..., c*n, така че решение y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) удовлетворява за x = x0 началните условия y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Изразът y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) се нарича общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от n-ти ред.

Да се ​​намерят частни решения на нехомогенни диференциални уравненияс постоянни коефициенти с дясна страна на формата: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), където Pk(x), Qm(x) са полиноми от степен k и m съответно, има прост алгоритъм за конструиране на определено решение, наречено метод за избор.

Методът на подбор или методът на несигурните коефициенти е както следва. Желаното решение на уравнението се записва като: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, където Pr(x), Qr(x) са полиноми от степен r = max(k, m) с неизвестни коефициенти pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Факторът xs се нарича резонансен фактор. Резонанс има в случаите, когато сред корените на характеристичното уравнение има корен l = a ± ib с кратност s. Тези. ако сред корените на характеристичното уравнение на съответното хомогенно уравнение има такова, че реалната му част съвпада с коефициента в експонента на експонента, а имагинерната част съвпада с коефициента в аргумента на тригонометричната функция от дясната страна на уравнението и кратността на този корен s, тогава в желаното конкретно решение има резонансен фактор xs. Ако няма такова съвпадение (s=0), тогава няма резонансен фактор.

Като заместим израза за конкретното решение от лявата страна на уравнението, получаваме обобщен полином със същата форма като полинома от дясната страна на уравнението, чиито коефициенти са неизвестни.

Два обобщени полинома са равни тогава и само ако коефициентите на множители от вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) с еднакви степени на t са равни. Приравнявайки коефициентите на такива фактори, получаваме система от 2(r+1) линейни алгебрични уравнения в 2(r+1) неизвестни. Може да се покаже, че такава система е последователна и има уникално решение.

• урок

Всеки добър ден. В тази статия искам да покажа един от графични методиизграждане на математически модели за динамични системи, което се нарича облигационна графика("бонд" - връзки, "граф" - графика). В руската литература намерих описание на този метод само в Учебното ръководство на Томски политехнически университет, А.В. Воронин "МОДЕЛИРАНЕ НА МЕХАТРОНИЧНИ СИСТЕМИ" 2008 г. Също така покажете класическия метод чрез уравнението на Лагранж от 2-ри род.

Метод на Лагранж

Няма да рисувам теорията, ще покажа етапите на изчисленията и с няколко коментара. Лично за мен е по-лесно да се уча от примери, отколкото да чета теорията 10 пъти. Струваше ми се, че в руската литература обяснението на този метод, както и математиката или физиката, е много пълно със сложни формули, което съответно изисква сериозна математическа подготовка. Докато изучавах метода на Лагранж (учих в Политехническия университет в Торино, Италия), изучавах руска литература, за да сравня методите на изчисление, и ми беше трудно да проследя напредъка на решаването на този метод. Дори да си спомня курсовете по моделиране в Харковския авиационен институт, извеждането на такива методи беше много тромаво и никой не си направи труда да разбере този въпрос. Това реших да напиша, ръководство за изграждане на мат модели според Лагранж, както се оказа, не е никак трудно, достатъчно е да знаете как да изчислявате времеви производни и частични производни. За по-сложни модели се добавят ротационни матрици, но и в тях няма нищо сложно.

Характеристики на методите за моделиране:

• Нютон Ойлер: векторни уравнения, базирани на динамично равновесие сили (сила)и моменти
• Лагранж: скаларни уравнения, базирани на функции на състоянието, свързани с кинетика и потенциал енергия
• облигационна графика: метод, базиран на потока мощност (мощност)между елементите на системата

Да започнем с прост пример. Тегло с пружина и демпфер. Пренебрегваме силата на гравитацията.

Фиг. 1. Тегло с пружина и демпфер

На първо място, ние определяме:

• начална координатна система(NSK) или фиксиран ск R0(i0,j0,k0). Където? Можете да бръкнете с пръст в небето, но чрез потрепване на върховете на невроните в мозъка преминава идеята за поставяне на NSC на линията на движение на тялото M1.
• координатни системи за всяко тяло с маса(имаме M1 R1(i1,j1,k1)), ориентацията може да бъде произволна, но защо да усложнявате живота си, ние го задаваме с минимална разлика от NSC
• обобщени координати q_i(минималният брой променливи, които могат да опишат движението), в този пример, една обобщена координата, движение само по оста j

Фиг. 2. Записване на координатни системи и обобщени координати

Фигура 3. Позиция и скорост на тялото M1

След като намерим кинетичната (C) и потенциалната (P) енергия и дисипативната функция (D) за амортисьора съгласно формулите:

Фигура 4. Пълна формулакинетична енергия

В нашия пример няма ротация, вторият компонент е 0.

Фигура 5. Изчисляване на кинетична, потенциална енергия и дисипативна функция

Уравнението на Лагранж има следната форма:

Фиг. 6. Уравнение на Лагранж и Лагранжиан

Делта W_iтова е виртуална работа, извършена от приложени сили и моменти. Нека го намерим:

Фигура 7. Изчисляване на виртуална работа

Където делта q_1виртуален ход.

Заместваме всичко в уравнението на Лагранж:

Фигура 8. Полученият масов модел с пружина и амортисьор

Това е мястото, където методът на Лагранж приключи. Както можете да видите, не е толкова трудно, но това все пак е много прост пример, за който методът на Нютон-Ойлер най-вероятно би бил дори по-прост. За по-сложни системи, където ще има няколко тела, завъртани едно спрямо друго под различни ъгли, методът на Лагранж ще бъде по-лесен.

Метод на графиката на облигациите

Веднага ще ви покажа как изглежда моделът в графиката на връзката за пример с маса на пружина и демпфер:

Фиг. 9. Bond-graph маса с пружина и демпфер

Тук трябва да разкажем малко теория, която е достатъчна за изграждане прости модели. Ако някой се интересува, може да прочете книгата ( Методология на Bond Graph) или ( Воронин А.В. Моделиране на мехатронни системи: урок. - Томск: Издателство на Томския политехнически университет, 2008 г).

Нека първо дефинираме, че сложните системи се състоят от няколко области. Например, електрическият двигател се състои от електрически и механични части или домейни.

облигационна графикасе основава на обмен на енергия между тези домейни, подсистеми. Обърнете внимание, че обменът на енергия, независимо от неговата форма, винаги се определя от две променливи ( променливи мощности), с помощта на които можем да изследваме взаимодействието на различни подсистеми като част от динамична система (виж таблицата).

Както се вижда от таблицата изразът на мощността е почти еднакъв навсякъде. В обобщение, Мощност- Тази работа " поток - f" на " усилия - e».

Усилие(Английски) усилие) в електрическата област това е напрежение (e), в механичната област е сила (F) или момент (T), в хидравликата е налягане (p).

Поток(Английски) поток) в електрическата област това е ток (i), в механичната област е скорост (v) или ъглова скорост (omega), в хидравликата това е потокът или флуидният поток (Q).

Като вземем тези обозначения, получаваме израз за мощност:

Фигура 10. Формула за мощност по отношение на променливи за мощност

В езика на графиката на връзката връзката между две подсистеми, които обменят мощност, е представена чрез връзка. връзка). Затова се нарича този метод облигационна графикаили ж raf-връзки, свързан граф. Обмисли блокова схемавръзки в модела с електродвигател (това все още не е графика на връзката):

Фигура 11. Блокова диаграма на потока на мощността между домейни

Ако имаме източник на напрежение, тогава той генерира напрежение и го дава на двигателя за пренавиване (следователно стрелката е насочена към двигателя), в зависимост от съпротивлението на намотката се появява ток според закона на Ом (насочен от двигателя към източника). Съответно една променлива е вход към подсистемата, а втората трябва да е необходима. изходот подсистемата. Тук напрежението ( усилие) – вход, ток ( поток) - изход.

Ако използвате източник на ток, как ще се промени диаграмата? Правилно. Токът ще бъде насочен към двигателя, а напрежението към източника. Тогава текущият ( поток) - входен волтаж ( усилие) - изход.

Помислете за пример в механиката. Сила, действаща върху маса.

Фигура 12. Сила, приложена към масата

Блоковата схема ще бъде както следва:

Фиг. 13. блокова схема

В този пример Сила ( усилие) е входната променлива за масата. (сила, приложена към маса)
Според втория закон на Нютон:

Масата отговаря бързо:

В този пример, ако една променлива ( сила - усилие) е входв механичната област, след това друга променлива на мощността ( скорост - поток) - автоматично става изход.

За да се разграничи къде е входът и къде е изходът, се използва вертикална линия в края на стрелката (връзката) между елементите, тази линия се нарича знак за причинност или причинно-следствена връзка (причинно-следствена връзка). Оказва се: приложената сила е причината, а скоростта е следствието. Този знак е много важен за правилното изграждане на системен модел, тъй като причинността е следствие от физическото поведение и обмен на мощност на две подсистеми, така че изборът на местоположението на знака за причинност не може да бъде произволен.

Фигура 14. Нотация на причинно-следствената връзка

Тази вертикална линия показва коя подсистема получава силата ( усилие) и като следствие създава поток ( поток). В масовия пример ще изглежда така:

Фигура 14. Причинност за силата, действаща върху масата

По стрелката е ясно, че входът за масата - сила, а изходът е скорост. Това се прави, за да не се претрупва схемата и систематизацията на моделната сграда със стрелки.

Следващата важна точка. Обобщен импулс(количество движение) и движещ се(енергийни променливи).

Таблица на променливите мощност и енергия в различни области

Таблицата по-горе въвежда две допълнителни физически величини, използвани в метод на графиката на връзката. Те се наричат обобщен импулс (Р) и генерализирано изместване (р) или енергийни променливи и те могат да бъдат получени чрез интегриране на мощностни променливи във времето:

Фигура 15. Връзка между променливите мощност и енергия

В електрическата област :

Според закона на Фарадей, волтажв краищата на проводника е равна на производната на магнитния поток през този проводник.

НО Текуща сила - физическо количество, равно на съотношението на количеството заряд Q, преминало за известно време t през напречното сечение на проводника, към стойността на този интервал от време.

Механична област:

От 2-ри закон на Нютон, Силае времевата производна на импулса

И съответно, скорост- времева производна на изместване:

Нека обобщим:

Основни елементи

Всички елементи в динамичните системи могат да бъдат разделени на двуполюсни и четириполюсни компоненти.
Обмисли биполярни компоненти:

Източници
Източниците са едновременно усилие и поток. Аналогия в електрическата област: източник на усилия – източник на напрежение, източник на поток – източник на ток. Причинните знаци за източниците трябва да бъдат само такива.

Фигура 16. Причинно-следствени връзки и обозначаване на източници

R компонент – дисипативен елемент

Компонент I – инерционен елемент

Компонент C – капацитивен елемент

Както се вижда от фигурите, различни елементи от същ тип R,C,Iописани със същите уравнения. Има разлика САМО в електрическия капацитет, просто трябва да я запомните!

Четириполюсни компоненти:

Помислете за два компонента трансформатор и жиратор.

Последните важни компоненти в метода на графиката на връзката са връзките. Има два вида възли:

Това е краят на компонентите.

Основните стъпки за записване на причинно-следствени връзки след изграждане на графика на връзка:

1. Поставете причинно-следствената връзка на всичко източници
2. Преминете през всички възли и запишете причинно-следствени връзки след точка 1
3. За компоненти Iзадайте входна причинно-следствена връзка (усилието е включено в този компонент), за компоненти Cзадайте изходна причинно-следствена връзка (усилието произлиза от този компонент)
4. Повторете точка 2
5. Начертайте причинно-следствени връзки за R компоненти

Това завършва мини-курса по теория. Сега имаме всичко необходимо за изграждане на модели.
Нека решим няколко примера. Нека започнем с електрическата верига, за да разберем по-добре аналогията с изграждането на графика на връзката.

Пример 1

Нека започнем да изграждаме графика на връзка от източник на напрежение. Просто напишете Se и поставете стрелка.

Виждате, че всичко е просто! Гледаме по-нататък, R и L са свързани последователно, което означава, че в тях тече един и същи ток, ако говорим по отношение на мощностните променливи - един и същ поток. Кой възел има същия поток? Правилният отговор е 1 възел. Прикрепяме източник, съпротивление (компонент - R) и индуктивност (компонент - I) към 1-възел.

След това имаме капацитет и съпротивление в паралел, което означава, че те имат същото напрежение или сила. 0-възел ще пасне като никой друг. Свързваме капацитета (компонент C) и съпротивлението (компонент R) към 0-възела.

Възли 1 и 0 също са свързани помежду си. Посоката на стрелките се избира произволно, посоката на връзката засяга само знака в уравненията.

Вземете следната графика на връзките:

Сега трябва да напишем причинно-следствените връзки. Следвайки инструкциите за последователността на тяхното поставяне, нека започнем с източника.

1. Имаме източник на стрес (усилие), такъв източник има само една опция за причинно-следствена връзка - изход. Ние поставяме.
2. След това има компонент I, разглеждаме какво се препоръчва. Ние поставяме
3. Поставяме за 1 възел. Има
4. 0-възел трябва да има един вход и всички изходни причинно-следствени връзки. Имаме един почивен ден. Търсим компоненти C или I. Намерени. Ние поставяме
5. Показва какво е останало

Това е всичко. Изградена графика на връзката. Ура, другари!

Единственото, което остава да направим, е да напишем уравненията, които описват нашата система. За целта ще създадем таблица с 3 колони. Първият ще съдържа всички компоненти на системата, вторият ще съдържа входната променлива за всеки елемент, а третият ще съдържа изходната променлива за същия компонент. Вече сме определили входа и изхода по причинно-следствена връзка. Така че не би трябвало да има проблеми.

Нека номерираме всяка връзка за удобство при записване на уравненията. Взимаме уравненията за всеки елемент от списъка с компоненти C, R, I.

След като съставихме таблицата, ние дефинираме променливите на състоянието, в този пример има 2, p3 и q5. След това трябва да напишете уравненията на състоянието:

Това е всичко, моделът е готов.

Пример 2. Просто искам да се извиня за качеството на снимката, основното е, че можете да четете

Нека решим друг пример за механична система, същата, която решихме по метода на Лагранж. Ще покажа решението без коментари. Нека да проверим кой от тези методи е по-прост, по-лесен.

В матбола и двата модела на мат бяха компилирани с едни и същи параметри, получени по метода на Лагранж и графа на връзката. Резултатът по-долу: Добавете етикети

Име на параметъра	Значение
Тема на статията:	Метод на Лагранж.
Рубрика (тематична категория)	Математика

Да се ​​намери полином означава да се определят стойностите на неговия коефициент . За да направите това, като използвате условието за интерполация, можете да формирате система от линейни алгебрични уравнения (SLAE).

Детерминантата на този SLAE обикновено се нарича детерминанта на Вандермонд. Детерминантата на Vandermonde не е равна на нула, когато за , тоест в случая, когато няма съвпадащи възли в справочната таблица. Въпреки това, може да се твърди, че SLAE има решение и това решение е уникално. Решаване на SLAE и определяне на неизвестните коефициенти може да се конструира интерполационен полином.

Полином, който отговаря на условията на интерполация, когато се интерполира по метода на Лагранж, се конструира като линейна комбинация от полиноми от n-та степен:

Полиномите се наричат основенполиноми. Да се Полином на Лагранжудовлетворява условията за интерполация, изключително важно е следните условия да бъдат изпълнени за основните му полиноми:

за .

Ако тези условия са изпълнени, тогава за всеки имаме:

Както и да е, изпълнението на дадените условия за основните полиноми означава, че условията за интерполация също са изпълнени.

Нека определим формата на основните полиноми въз основа на ограниченията, наложени върху тях.

1-во условие:при .

2-ро условие: .

И накрая, за основния полином можем да напишем:

След това, замествайки получения израз за основните полиноми в оригиналния полином, получаваме крайната форма на полинома на Лагранж:

Конкретна форма на полинома на Лагранж при обикновено се нарича формула за линейна интерполация:

.

Полиномът на Лагранж, взет при обикновено се нарича формула за квадратична интерполация:

Метод на Лагранж. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "метод на Лагранж". 2017 г., 2018 г.

- Метод на Лагранж (метод на вариация на произволна константа).

Линейни дистанционни управления. Определение. контрол на типа, т.е. линейна по отношение на неизвестната функция и нейната производна се нарича линейна. За решение от този тип, ur-th разгледа два метода: метода на Лагранж и метода на Бернули.Нека разгледаме хомогенен DE.

- Линейно дистанционно управление, хомогенно и разнородно. Концепцията за общо решение. Метод на Лагранж за вариация на произведения на константи.

Определение. DU се нарича хомогенен, ако f-i може да бъде представен като f-i по отношение на техните аргументи Пример. F-аз се наричам хомогенен f-то измерване if Примери: 1) - 1-ви ред на хомогенност. 2) - 2-ри ред на хомогенност. 3) - нулев порядък на хомогенност (просто хомогенен... .

- Лекция 8. Приложение на частни производни: задачи за екстремум. Метод на Лагранж.

Екстремни задачи имат голямо значениев икономически изчисления. Това е изчислението, например, на максималния доход, печалбата, минималните разходи, в зависимост от няколко променливи: ресурси, производствени активии т.н. Теорията за намиране на екстремуми на функции... .

- Т.2.3. DE от по-висок порядък. Уравнение в общите диференциали. Т.2.4. Линейни DE от втори ред с постоянни коефициенти. Метод на Лагранж.

3. 2. 1. DE с разделими променливи S.R. 3. В природните науки, технологиите и икономиката често трябва да се работи с емпирични формули, т.е. формули, съставени въз основа на обработката на статистически данни или ...