Произволни константи. Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж

Лекция 44. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Метод на вариация на произволни константи. Линейни нееднородни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. (специална дясна страна).

Социални трансформации. Държава и църква.

Социалната политика на болшевиките до голяма степен е продиктувана от техния класов подход.С указ от 10 ноември 1917 г. системата на имотите е премахната, премахнати са предреволюционните звания, звания и награди. Установен е изборът на съдии; е извършена секуларизацията на гражданските държави. Установява безплатно образование и медицинско обслужване (указ от 31 октомври 1918 г.). Жените са изравнени по права с мъжете (укази от 16 и 18 декември 1917 г.). Указът за брака въвежда института на гражданския брак.

С постановление на Съвета на народните комисари от 20 януари 1918 г. църквата е отделена от държавата и от системата на образованието. Голяма част от църковното имущество е конфискувано. Патриарх на Москва и цяла Русия Тихон (избран на 5 ноември 1917 г.), анатемосан на 19 януари 1918 г. съветска власти призова за борба срещу болшевиките.

Да разгледаме линейно нехомогенно уравнение от втори ред

Структурата на общото решение на такова уравнение се определя от следната теорема:

Теорема 1.Общото решение не е хомогенно уравнение(1) се представя като сума от някакво конкретно решение на това уравнение и общото решение на съответното хомогенно уравнение

(2)

Доказателство. Трябва да докажем, че сумата

има общо решениеуравнения (1). Нека първо докажем, че функция (3) е решение на уравнение (1).

Заместване на сумата в уравнение (1) вместо при, ще има

Тъй като има решение на уравнение (2), изразът в първите скоби е идентично равен на нула. Тъй като има решение на уравнение (1), изразът във вторите скоби е равен на f(x). Следователно равенството (4) е тъждество. Така първата част от теоремата е доказана.

Нека докажем второто твърдение: израз (3) е общрешение на уравнение (1). Трябва да докажем, че произволните константи, включени в този израз, могат да бъдат избрани така, че да са изпълнени началните условия:

(5)

каквито и да са числата x 0, y 0и (ако само х 0е взет от района, където функционира а 1, а 2и f(x)непрекъснато).

Отбелязвайки, че може да бъде представен във формата . Тогава, въз основа на условия (5), имаме

Нека решим тази система и намерим от 1и От 2. Нека пренапишем системата като:

(6)

Обърнете внимание, че детерминантата на тази система е детерминантата на Wronsky за функциите 1и на 2в точката x=x 0. Тъй като тези функции са линейно независими по предположение, детерминантата на Wronsky не е равна на нула; следователно система (6) има определено решение от 1и От 2, т.е. има такива стойности от 1и От 2, за която формула (3) определя решението на уравнение (1), което удовлетворява зададените начални условия. Q.E.D.

Да преминем към общ методнамиране на конкретни решения на нехомогенно уравнение.

Нека напишем общото решение на хомогенното уравнение (2)

. (7)

Ще търсим частно решение на нееднородното уравнение (1) във вида (7), като вземем предвид от 1и От 2тъй като някои все още неизвестни функции от Х.

Нека разграничим равенството (7):

Избираме желаните функции от 1и От 2така че равенството

. (8)

Ако това допълнително условие се вземе предвид, тогава първата производна приема формата

.

Сега, диференцирайки този израз, намираме:

Замествайки в уравнение (1), получаваме

Изразите в първите две скоби изчезват, защото y 1и y2са решения на хомогенно уравнение. Следователно последното равенство приема формата

. (9)

Така функция (7) ще бъде решение на нехомогенното уравнение (1), ако функциите от 1и От 2удовлетворяват уравнения (8) и (9). Нека съставим система от уравнения от уравнения (8) и (9).

Тъй като детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за линейно независими решения y 1и y2уравнение (2), то не е равно на нула. Следователно, решавайки системата, ще намерим и двете определени функции на х.

За да се намери общото решение y'' + (x) y' + (x) y = f (x), е необходимо да се намери конкретно решение.

Може да се намери от общото решение на уравнението y'' + (x) y' + (x) y = 0 на някои вариации на произволни константи

Заместник в (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) += f(x)

+ + + + (x) +

(x) += f(x)

Чрез интегриране намираме и

След това, използвайки формула (5.6), съставяме общото решение

Теорема (5.2) : налагане на решение

Ако дясната страна на уравнението y'' + (x) y' + (x) y = f (x) е сумата от 2 функции:

f(x) = (x) + (x) ,

и u е конкретно решение на уравнението

+ (x) y' + (x) y = (x)

+ (x) y' + (x) y = (x)

Тази функция

Е решението на това уравнение

() ‘’ + ) ‘ + ) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = (x) + (x) = f(x)

10. Уравнение на Бернули.

11. Уравнение на Рикати:

Уравнение на Рикатие един от най-интересните нелинейни диференциални уравненияпърва поръчка. Записва се във формата:

където а(х), b(х), ° С(х) са непрекъснати функции в зависимост от променливата х.

Уравнението на Рикати се среща в различни области на математиката (например в алгебричната геометрия и в теорията на конформните преобразувания) и физиката. Често се среща и при приложни математически задачи.

Горното уравнение се нарича общо уравнениеРикати. Неговото решение се основава на следната теорема:

Теорема: Ако е известно конкретно решение г 1 на уравнението на Рикати, тогава общото му решение е дадено от

Наистина, замествайки решението y=y 1 + uв уравнението на Рикати имаме:

Подчертаните термини от лявата и дясната страна могат да бъдат съкратени, защото г 1 е конкретно решение, което удовлетворява уравнението. В резултат на това получаваме диференциално уравнение за функцията u(х):

Вторият вариант на rikkati (напишете само един от)

AT общ случайне е интегриран в квадратури

Въпреки това, ако е известно едно конкретно решение, тогава уравнението на Рикати може да се сведе до уравнението на Бернули

За да направите това, нека направим замяната:

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z + q(x) = 0

Z(p(x) + 2q(x) ) + q(x) =0

n=2 Бернули

12. Уравнение на Лагранж.:

13. Уравнение на Клеро:

14. Диференциални уравнения от по-висок порядък от първи. Случаи за понижаване.

15. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред. Вронскиан. Основна система за вземане на решения:

16. Хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Характеристично уравнение:

Специален случай на горното линейно хомогенно

диференциалните уравнения са LODE с константи

коефициенти.

17. Линейни нееднородни уравнения. Намиране на конкретно решение в случай на уравнение с квазиполином:

Квазиполином на Ойлер:Нека разгледаме LIDE от 2-ри ред с постоянни коефициенти: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) Можете да търсите конкретно решение по метода на Лагранж, но в някои случаи можете да го намерите по-лесно. Разгледайте следните случаи: 1. f(x) = , -полином от степен n. 2.f(x) = (cos β x + (x) sin β x). В тези случаи f(x) се нарича квазиполином на Ойлер. В тези случаи запишете очакваната форма на решението с неопределени коефициенти и я заменете в уравнение (5.1). От полученото тъждество намерете стойността на коефициентите. Случай 1 : дясната страна на (5.7) има формата: f(x) = α R -полином от степен n. Уравнение (5.7) ще бъде записано като: y’’ + p y’ + q y = (5.8) В този случай търсим конкретно решение във формата: = Qn (x) (5.9) където r е числото = кратности на α като корен на характеристичното уравнение + p k + q = 0, т.е. r е число, показващо колко пъти α е корен от ur-i + p k + q = 0, докато Qn (x) = + + …. + A n е полином от степен n, записан с неопределени коефициенти Ai (i= 0, 1, 2,…n) α , r = 0 и решението се търси във формата = Q n (x) B) Нека α е единичен (прост) корен на характеристичното уравнение + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) C) Нека α = е 2-кратен корен на характеристичното уравнение + p k + q = 0, r = 2 = Q n (x) Случай 2: Дясната страна на (5.7) има формата: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , където ) и Qm (x) са полиноми от степен n и m, съответно, α и β са реални числа, тогава уравнение (5.7) се записва като y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) В този случай конкретното решение е: = * (Ml (x ) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-число, равно на кратността (α + βi) като корен на уравнението: + pk + q = 0, Me (x) и Ne (x) са полиноми от степен l с неопределени коефициенти. аз - най-висока степенполиноми) и Qm (x), l =max(n,m). Бележка 1: След заместване на функцията (5.11) в (5.10) полиномите пред едноименния триъгълник се приравняват. функции от лявата и дясната страна на екв. Забележка 2 : Формула (5.11) също се запазва за ) 0 и Qm (x) 0. Забележка 3 : Ако дясната страна на уравнение (5.7) е сумата от функции от формата 1 и 2, тогава за намиране трябва да се използва теоремата (5.2) за налагането на решения. Теорема (5.2): за налагането на решения: Ако десните части на уравнение (5.1) са сумата от 2 функции: f(x) = (x) + (x) и u са частични решения на уравнение + (x) y ' + (x) y = (x ) + (x) y ' + (x) y = (x) Интегриране на LIDE от n-ти ред (n постоянен коефициент и дясната страна на специална форма. Нека разгледаме LIDE от n-ти ред + (x) + (x) + … + (x)y = f(x), където са дадени (x), …, (x) , f(x) непрекъсната функцияна интервала (a, b) . респ. хомогенен ur-e + (x) + ... + (x)y = 0 . Общото решение y от n-ти ред LNDE = сумата от конкретното решение на NU и общото решение на OU y= . може да се намери, ако е известно общото решение на OU = + + ... + 0 + + … + = 0 + + … + = f (x) специален вид, може да се намери чрез метода на несигурните коефициенти Методът за избор на конкретно решение за уравнението y '' + + ... + y \u003d f (x) R, където f (x) е квазиполиномът на Ойлер е същото като за n=2.

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1) .
Има три начина за решаване на това уравнение:

• метод на постоянна вариация (Лагранж).

Разгледайте решението на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж.

Метод на постоянна вариация (Лагранж)

При метода на постоянната вариация ние решаваме уравнението в две стъпки. На първия етап опростяваме първоначалното уравнение и решаваме хомогенното уравнение. На втория етап ще заменим константата на интегриране, получена на първия етап от решението, с функция. След това търсим общото решение на първоначалното уравнение.

Разгледайте уравнението:
(1)

Стъпка 1 Решение на хомогенното уравнение

Търсим решение на хомогенното уравнение:

Това е разделимо уравнение

Разделете променливите - умножете по dx, разделете по y:

Ние интегрираме:

Интеграл върху y - табличен:

Тогава

Потенцира:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знака на модула, което се свежда до умножаване по константата ±1, които включваме в C:

Стъпка 2 Заменете константата C с функцията

Сега нека заменим константата C с функция от x:
c → u (х)
Тоест ще търсим решение на първоначалното уравнение (1) като:
(2)
Намираме производната.

Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Според правилото за диференциране на продукта:

.
Заместваме в оригиналното уравнение (1) :
(1) ;

.
Намаляват се два срока:
;
.
Ние интегрираме:
.
Заместник в (2) :
.
В резултат на това получаваме общото решение на линейното диференциално уравнение от първи ред:
.

Пример за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж

реши уравнението

Решение

Решаваме хомогенното уравнение:

Разделяне на променливи:

Нека умножим по:

Ние интегрираме:

Таблица интеграли:

Потенцира:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знаците на модула:

Оттук:

Нека заменим константата C с функция от x:
c → u (х)

Намираме производната:
.
Заместваме в оригиналното уравнение:
;
;
Или:
;
.
Ние интегрираме:
;
Решение на уравнението:
.

Разгледайте сега линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментална системарешения и е общото решение на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 . Подобно на случая на уравнения от първи ред, ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека проверим дали съществува решение в тази форма. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е
. (4)
При изчисляване на втората производна четири члена се появяват от дясната страна на (4), при изчисляване на третата производна се появяват осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшните изчисления, първият член в (4) се приема за равен на нула. Имайки това предвид, втората производна е равна на
. (5)
По същите причини, както преди, в (5) ние също поставяме първия член равен на нула. накрая n-та производнае равно на
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j , j=1,2,..,n, са решения на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Комбинирайки с предишния, получаваме системата алгебрични уравненияза намиране на функции C" j (x)
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на фундаменталната система от решения y 1 ,y 2 ,..,y n на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 и следователно не е равна на нула. Следователно има единствено решениесистеми (8). След като го намерихме, получаваме функциите C "j (x), j=1,2,…,n, и следователно C j (x), j=1,2,…,n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решението на линейното нехомогенно уравнение.
Описаният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.

Максимална производна степен 2 3 4 5 6

Пример #1. Намерете общото решение на уравнението y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y "" + 4y" + 3y = 0. Корените му характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенно уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решение на нехомогенно уравнение във формата y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. За да намерим производните C " 1 , C" 2 съставяме система от уравнения (8)

решавайки което, намираме , Интегрирайки получените функции, имаме
Накрая получаваме

Пример #2. Решете линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти по метода на вариация на произволни константи:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Решение:
Това диференциално уравнение принадлежи към линейните диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решението на уравнението във формата y = e rx . За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корените на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения са функциите:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение има формата:

Търсене на конкретно решение чрез метода на вариация на произволна константа.
За да намерим производните на C "i, съставяме система от уравнения:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Изразете C" 1 от първото уравнение:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
и заместник във втория. В резултат на това получаваме:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Интегрираме получените функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Тъй като , след което записваме получените изрази във формата:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Така общото решение на диференциалното уравнение има формата:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Намираме конкретно решение при условие:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намираме първата производна на полученото общо решение:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаваме система от две уравнения:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Където:
C1=0, C*2=2
Конкретно решение ще бъде написано като:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти от произволен n-ти ред:
(1) .
Методът на постоянната вариация, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-високи редове.

Разтворът се извършва на два етапа. На първия етап отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат на това получаваме решение, съдържащо n произволни константи. Във втората стъпка променяме константите. Тоест считаме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.

Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всеки линеен нехомогенни уравнения . За това обаче трябва да се знае фундаменталната система от решения на еднородното уравнение.

Стъпка 1. Решение на хомогенното уравнение

Както в случая на уравнения от първи ред, първо търсим общото решение на хомогенното уравнение, като приравняваме дясната нехомогенна частдо нула:
(2) .
Общото решение на такова уравнение има формата:
(3) .
Ето произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенното уравнение (2), които образуват основната система от решения на това уравнение.

Стъпка 2. Вариация на константи - Замяна на константи с функции

Във втората стъпка ще се занимаваме с вариацията на константите. С други думи, ще заменим константите с функции на независимата променлива x:
.
Тоест търсим решение на първоначалното уравнение (1) в следната форма:
(4) .

Ако заместим (4) в (1), получаваме едно диференциално уравнение за n функции. В този случай можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които можете да определите n функции. Могат да се направят допълнителни уравнения различни начини. Но ще го направим по такъв начин, че решението да има най-простата форма. За да направите това, когато диференцирате, трябва да приравните към нула членове, съдържащи производни на функции. Нека демонстрираме това.

За да заместим предложеното решение (4) в оригиналното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n реда на функцията, записана във формата (4). Разграничете (4) чрез прилагане правила за диференциране на сумии работи:
.
Нека групираме членовете. Първо изписваме термините с производни на , а след това и термините с производни на :

.
Налагаме първото условие на функциите:
(5.1) .
Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по-проста форма:
(6.1) .

По същия начин намираме втората производна:

.
Налагаме второто условие на функциите:
(5.2) .
Тогава
(6.2) .
И така нататък. При допълнителни условия ние приравняваме на нула членовете, съдържащи производните на функциите.

Така, ако изберем следните допълнителни уравнения за функциите:
(5.k) ,
тогава първите производни по отношение на ще имат най-простата форма:
(6.k) .
Тук .

Намираме n-тата производна:
(6.n)
.

Заместваме в оригиналното уравнение (1):
(1) ;






.
Вземаме предвид, че всички функции отговарят на уравнение (2):
.
Тогава сумата от условията, съдържащи даде нула. В резултат на това получаваме:
(7) .

В резултат на това имаме система линейни уравненияза деривати:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Решавайки тази система, ние намираме изрази за производни като функции на x. Интегрирайки, получаваме:
.
Тук има константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общото решение на първоначалното уравнение.

Имайте предвид, че никога не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни, за да определим стойностите на производните. Ето защо методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение (2).

Примери

Решаване на уравнения по метода на вариацията на константите (Лагранж).