Моделиране на динамични системи (метод на Лагранж и графичен подход на Бонд). Условни екстремуми и метод на умножителя на Лагранж

СЪССъщността на метода на Лагранж е да сведе проблема с условния екстремум до решаване на проблема с безусловния екстремум. Помислете за модела нелинейно програмиране:

(5.2)

Където
– известни функции,

А
– дадени коефициенти.

Обърнете внимание, че при тази формулировка на проблема ограниченията се определят от равенства и няма условие променливите да са неотрицателни. Освен това смятаме, че функциите
са непрекъснати с техните първи частни производни.

Нека трансформираме условията (5.2), така че от лявата или дясната страна на равенствата да има нула:

(5.3)

Нека съставим функцията на Лагранж. Той включва целевата функция (5.1) и десните страни на ограниченията (5.3), взети съответно с коефициентите
. Ще има толкова коефициенти на Лагранж, колкото са ограниченията в проблема.

Точките на екстремум на функция (5.4) са точките на екстремум на първоначалния проблем и обратно: оптималният план на проблем (5.1)-(5.2) е глобалната точка на екстремум на функцията на Лагранж.

Наистина, нека се намери решение
задачи (5.1)-(5.2), тогава условията (5.3) са изпълнени. Нека заместим плана
във функция (5.4) и проверете валидността на равенството (5.5).

По този начин, за да се намери оптималният план за първоначалния проблем, е необходимо да се изследва функцията на Лагранж за екстремума. Функцията има екстремни стойности в точки, където нейните частни производни са равни нула. Такива точки се наричат стационарен.

Нека дефинираме частните производни на функцията (5.4)

,

.

След изравняване нулапроизводни получаваме системата m+nуравнения с m+nнеизвестен

,(5.6)

В общия случай системата (5.6)-(5.7) ще има няколко решения, които ще включват всички максимуми и минимуми на функцията на Лагранж. За да се подчертае глобалният максимум или минимум, стойностите на целевата функция се изчисляват във всички намерени точки. Най-голямата от тези стойности ще бъде глобалният максимум, а най-малката ще бъде глобалният минимум. В някои случаи е възможно да се използва достатъчни условия за строг екстремумнепрекъснати функции (вижте проблем 5.2 по-долу):

нека функционира
е непрекъсната и два пъти диференцируема в някаква околност на стационарната си точка (тези.
)). Тогава:

А ) Ако
, (5.8)

Че – точка на строг максимум на функцията
;

б) Ако
, (5.9)

Че – точка на строг минимум на функцията
;

Ж ) Ако
,

тогава въпросът за наличието на екстремум остава открит.

В допълнение, някои решения на системата (5.6)-(5.7) могат да бъдат отрицателни. Което не е в съответствие с икономическото значение на променливите. В този случай трябва да помислите за замяна на отрицателните стойности с нулеви стойности.

Икономически смисъл на множителите на Лагранж.Оптимална стойност на множителя
показва колко ще се промени стойността на критерия З когато ресурсът се увеличава или намалява йс една единица, тъй като

Методът на Лагранж може да се използва и в случаите, когато ограниченията са неравенства. По този начин, намирането на екстремума на функцията
при условия

,

извършва се на няколко етапа:

1. Определят стационарни точки на целевата функция, за които решават система от уравнения

.

2. От стационарните точки изберете тези, чиито координати отговарят на условията

3. Използвайки метода на Лагранж, решете задачата с ограничения за равенство (5.1)-(5.2).

4. Проверете точките, открити във втория и третия етап за глобалния максимум: сравнете стойностите целева функцияв тези точки - най-висока стойностотговаря на оптималния план.

Задача 5.1Нека решим задача 1.3, разгледана в първия раздел, като използваме метода на Лагранж. Оптималното разпределение на водните ресурси се описва с математически модел

.

Нека съставим функцията на Лагранж

Нека намерим безусловния максимум на тази функция. За да направим това, изчисляваме частните производни и ги приравняваме към нула

,

Така получихме система от линейни уравнения от вида

Решението на системата от уравнения представлява оптимален план за разпределение на водните ресурси в напояваните площи

, .

Количества
измерено в стотици хиляди кубични метри.
- размерът на нетния доход от сто хиляди кубични метра вода за напояване. Следователно пределната цена на 1 m 3 вода за напояване е равна на
бърлога единици

Максималният допълнителен нетен доход от напояване ще бъде

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (ден. единици)

Задача 5.2Решаване на проблем с нелинейно програмиране

Нека представим ограничението във формата:

.

Нека съставим функцията на Лагранж и да определим нейните частни производни

.

За да се определят стационарните точки на функцията на Лагранж, нейните частни производни трябва да бъдат равни на нула. В резултат на това получаваме система от уравнения

.

От първото уравнение следва

. (5.10)

Изразяване нека заместим във второто уравнение

,

което предполага две решения за :

И
. (5.11)

Като заместим тези решения в третото уравнение, получаваме

,
.

Стойности на множителя на Лагранж и неизвестното Нека изчислим с помощта на изрази (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Така получихме две екстремни точки:

;
.

За да разберем дали тези точки са максимални или минимални, използваме достатъчни условия за строг екстремум (5.8)-(5.9). Предварителен израз за , получено от ограничението на математическия модел, ние го заместваме в целевата функция

,

. (5.12)

За да проверим условията на строг екстремум, трябва да определим знака на втората производна на функция (5.11) в екстремните точки, които намерихме
И
.

,
;

.

По този начин, (·)
е минималната точка на първоначалния проблем (
), A (·)
– максимална точка.

Оптимален план:

,
,
,

.

Метод на Лагранж─ това е метод за решаване на проблем условна оптимизация, в която ограниченията, записани като неявни функции, се комбинират с целевата функция под формата на ново уравнение, наречено Лагранж.

Нека разгледаме специален случай на общия проблем с нелинейното програмиране:

Като се има предвид системата нелинейни уравнения (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Намерете най-малката (или най-голямата) стойност на функцията (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

ако няма условия променливите да са неотрицателни и f(x1,x2,…,xn) и gi(x1,x2,…,xn) са функции, които са непрекъснати заедно с техните частни производни.

За да намерите решение на този проблем, можете да приложите следния метод: 1. Въведете набор от променливи λ1, λ2,…, λm, наречени множители на Лагранж, съставете функцията на Лагранж (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на променливите xi и λi и ги приравнете на нула.

3. Решавайки системата от уравнения, намерете точките, в които целевата функция на проблема може да има екстремум.

4. Сред точките, които са съмнителни, че не са екстремуми, намерете тези, в които е достигнат екстремумът, и изчислете стойностите на функцията в тези точки .

4. Сравнете получените стойности на функцията f и изберете най-добрата.

Според производствения план предприятието трябва да произведе 180 продукта. Тези продукти могат да бъдат произведени по два технологични начина. При производството на продукти x1 по метод I разходите са 4*x1+x1^2 рубли, а при производството на продукти x2 по метод II те са 8*x2+x2^2 рубли. Определете колко продукта трябва да бъдат произведени с всеки метод, така че общите производствени разходи да са минимални.

Решение: Математическата формулировка на проблема се състои в определяне на най-малката стойност на функция от две променливи:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, при условие, че x1 +x2 = 180.

Нека съставим функцията на Лагранж:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Нека изчислим неговите частни производни по отношение на x1, x2, λ и ги приравним към 0:

Нека преместим λ в дясната страна на първите две уравнения и приравним левите им страни, получаваме 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, или x1 − x2 = 2.

Решавайки последното уравнение заедно с уравнението x1 + x2 = 180, намираме x1 = 91, x2 = 89, т.е. получихме решение, което отговаря на условията:

Нека намерим стойността на целевата функция f за тези стойности на променливите:

F(x1, x2) = 17278

Тази точка е подозрителна за крайна точка. Използвайки втори частни производни, можем да покажем, че в точка (91.89) функцията f има минимум.

Намирането на полином означава определяне на стойностите на неговия коефициент . За да направите това, като използвате условието за интерполация, можете да формирате линейна система алгебрични уравнения(СЛАУ).

Детерминантата на този SLAE обикновено се нарича детерминанта на Вандермонд. Детерминантата на Vandermonde не е равна на нула за за , т.е. в случая, когато няма съвпадащи възли в справочната таблица. Въпреки това може да се твърди, че SLAE има решение и това решение е уникално. След решаване на SLAE и определяне на неизвестните коефициенти можете да конструирате интерполационен полином.

Полином, който отговаря на условията за интерполация, когато се интерполира по метода на Лагранж, се конструира под формата на линейна комбинация от полиноми от n-та степен:

Обикновено се наричат ​​полиноми основенполиноми. За да Полином на Лагранжудовлетворява условията за интерполация, изключително важно е следните условия да са изпълнени за неговите базисни полиноми:

За .

Ако тези условия са изпълнени, тогава за всеки имаме:

Освен това, изпълнението на посочените условия за базисните полиноми означава, че условията за интерполация също са изпълнени.

Нека определим вида на базисните полиноми въз основа на ограниченията, наложени върху тях.

1-во условие:при .

2-ро условие: .

И накрая, за основния полином можем да напишем:

След това, замествайки получения израз за базовите полиноми в оригиналния полином, получаваме крайната форма на полинома на Лагранж:

Конкретна форма на полинома на Лагранж при обикновено се нарича формула за линейна интерполация:

.

Полиномът на Лагранж, взет при обикновено се нарича формула за квадратична интерполация:

Метод на Лагранж. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "метод на Лагранж". 2017 г., 2018 г.

МЕТОД НА ЛАГРАНЖ

Метод за редуциране на квадратна форма до сума от квадрати, посочен през 1759 г. от J. Lagrange. Нека се даде

от променливи x 0 , х 1 ,..., x p. с коефициенти от полето кхарактеристики Изисква се да се приведе тази форма до каноничната. ум

използвайки неизродена линейна трансформация на променливи. L. m. се състои от следното. Можем да приемем, че не всички коефициенти на форма (1) са равни на нула. Следователно са възможни два случая.

1) За някои g,диагонал Тогава

където формата f 1 (x) не съдържа променлива x g . 2) Ако всичко Но Че

където формата f 2 (x) не съдържа две променливи x gИ x h .Формите под квадратните знаци в (4) са линейно независими. Чрез прилагане на трансформации на формата (3) и (4), форма (1) след краен брой стъпки се свежда до сумата от квадратите на линейно независими линейни форми. Използвайки частни производни, формули (3) и (4) могат да бъдат записани във формата

Лит.: G a n t m a k h e r F. Р.,Теория на матриците, 2 изд., М., 1966; K u r o sh A. G., Курс по висша алгебра, 11 изд., М., 1975; Александров П.С., Лекции по аналитична геометрия..., М., 1968. И. В. Проскуряков.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "МЕТОДЪТ НА LAGRANGE" в други речници:

Метод на Лагранж- Методът на Лагранж е метод за решаване на редица класове проблеми с математическото програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, λ*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на нула на частните производни на тази функция по отношение на ..... Икономически и математически речник

Метод на Лагранж- Метод за решаване на редица класове задачи по математическо програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, ?*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на частните производни на тази функция по отношение на xi и?i на нула . Вижте Лагранж. )