Метод на нелинейно програмиране на множителите на Лагранж. Метод на Лагранж (метод на вариация на произволни константи)

Точка M се нарича вътрешна за определено множество G, ако принадлежи на това множество заедно с някои от околностите си. Точка N се нарича гранична точка за множество G, ако във всяка пълна нейна околност има точки, както принадлежащи на G, така и непринадлежащи на него.

Множеството от всички гранични точки на множество G се нарича граница на G.

Множество G ще се нарича регион, ако всички негови точки са вътрешни (отворено множество). Множество G със свързана граница Г се нарича затворена област. Една област се нарича ограничена, ако се съдържа изцяло в кръг с достатъчно голям радиус.

Най-малко и най-висока стойностфункции в дадена област се наричат ​​абсолютни екстремуми на функцията в тази област.

Теорема на Weierstrass: функция, която е непрекъсната в ограничена и затворена област, достига своите минимални и максимални стойности в тази област.

Последица. Абсолютният екстремум на функция в дадена област се постига или в критичната точка на функцията, принадлежаща на тази област, или при За да намерите най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област G, е необходимо да се намери всички негови критични точки в тази област, изчислете стойностите на функцията в тези точки (включително граничните) и чрез сравняване на получените числа изберете най-голямото и най-малкото от тях.

Пример 4.1.Намерете абсолютния екстремум на функцията (най-голямата и най-малката стойност)
в триъгълна област D с върхове
,
,
(Фиг. 1).

;
,

т.е. точка O(0, 0) е критична точка, принадлежаща на областта D. z(0,0)=0.

Да изследваме границата:

а) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

б) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

такси: ;
,

Пример 4.2.Намерете най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, ограничена от координатните оси и правата линия
.

1) Намерете критичните точки, разположени в региона:

,
,

.

Да проучим границата. защото границата се състои от сегмент OA на оста Ox, сегмент OB на оста Oy и сегмент AB, след което определяме най-големите и най-малките стойности на функцията z на всеки от тези сегменти.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Сред всички намерени стойности изберете z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж

Нека разгледаме задача, специфична за функции на няколко променливи, когато нейният екстремум се търси не върху цялата област на дефиниция, а върху множество, което удовлетворява определено условие.

Нека разгледаме функцията
, аргументи И които отговарят на условието
, наречено уравнение на свързване.

Точка
се нарича условна максимална (минимум) точка, ако има такава околност на тази точка, че за всички точки
от този квартал, отговарящ на условието
, неравенството е в сила
или
.

Фигура 2 показва условната максимална точка
. Очевидно това не е безусловната екстремна точка на функцията
(на фиг. 2 това е точката
).

Най-простият начин да се намери условният екстремум на функция на две променливи е да се намали проблема до намиране на екстремума на функция на една променлива. Нека приемем уравнението на връзката
успя да разреши по отношение на една от променливите, например да изрази през :
. Замествайки получения израз във функция на две променливи, получаваме

тези. функция на една променлива. Неговият екстремум ще бъде условният екстремум на функцията
.

Пример 5.1.Намерете максималните и минималните точки на функция
предвид това
.

Решение. Нека изразим от уравнението
променлива чрез променлива и заместете получения израз
във функция . Получаваме
или
. Тази функция има уникален минимум при
. Съответна стойност на функцията
. По този начин,
– точка на условен екстремум (минимум).

В разглеждания пример уравнението на свързване
се оказа линеен, така че беше лесно разрешен по отношение на една от променливите. В по-сложни случаи обаче това не може да стане.

За намиране на условен екстремум в общ случайИзползва се методът на умножителя на Лагранж. Да разгледаме функция на три променливи. Тази функция се нарича функция на Лагранж и – Множител на Лагранж. Следната теорема е вярна.

Теорема.Ако точката
е условната екстремна точка на функцията
предвид това
, тогава има стойност такава точка
е екстремната точка на функцията
.

По този начин, за да намерите условния екстремум на функцията
предвид това
трябва да се намери решение на системата

П последното от тези уравнения съвпада с уравнението на свързване. Първите две уравнения на системата могат да бъдат пренаписани във формата, т.е. в условната точка на екстремума градиентите на функцията
И
колинеарен. На фиг. Фигура 3 показва геометричния смисъл на условията на Лагранж. Линия
пунктирана, равна линия
функции
твърдо. От фиг. следва, че в условната точка на екстремума линията на функционалното ниво
докосва линията
.

Пример 5.2. Намерете точките на екстремума на функцията
предвид това
, използвайки метода на умножителя на Лагранж.

Решение. Съставяме функцията на Лагранж. Приравнявайки неговите частични производни на нула, получаваме система от уравнения:

Единственото й решение. Така условната точка на екстремума може да бъде само точка (3; 1). Лесно е да се провери, че в този момент функцията
има условен минимум. Ако броят на променливите е повече от две, могат да се разгледат няколко уравнения на свързване. Съответно в този случай ще има няколко множителя на Лагранж.

Проблемът за намиране на условен екстремум се използва при решаването на такива икономически проблеми като намиране на оптимално разпределение на ресурсите, избор на оптимален портфейл от ценни книжа и др.

МЕТОД НА ЛАГРАНЖ

Метод за редуциране на квадратна форма до сума от квадрати, посочен през 1759 г. от J. Lagrange. Нека се даде

от променливи x 0 , х 1 ,..., x p. с коефициенти от полето кхарактеристики Изисква се да се приведе тази форма до каноничната. ум

използвайки неизродена линейна трансформация на променливи. L. m. се състои от следното. Можем да приемем, че не всички коефициенти на форма (1) са равни на нула. Следователно са възможни два случая.

1) За някои g,диагонал Тогава

където формата f 1 (x) не съдържа променлива x g . 2) Ако всичко Но Че

където формата f 2 (x) не съдържа две променливи x gИ x h .Формите под квадратните знаци в (4) са линейно независими. Чрез прилагане на трансформации на формата (3) и (4), форма (1) след краен брой стъпки се свежда до сумата от квадратите на линейно независими линейни форми. Използвайки частни производни, формули (3) и (4) могат да бъдат записани във формата

Лит.: G a n t m a k h e r F. Р.,Теория на матриците, 2 изд., М., 1966; K u r o sh A. G., Курс по висша алгебра, 11 изд., М., 1975; Александров П.С., Лекции по аналитична геометрия..., М., 1968. И. В. Проскуряков.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "МЕТОДЪТ НА LAGRANGE" в други речници:

Метод на Лагранж- Методът на Лагранж е метод за решаване на редица класове проблеми с математическото програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, λ*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на нула на частните производни на тази функция по отношение на ..... Икономически и математически речник

Метод на Лагранж- Метод за решаване на редица класове задачи по математическо програмиране чрез намиране на седловата точка (x*, ?*) на функцията на Лагранж, което се постига чрез приравняване на частните производни на тази функция по отношение на xi и?i на нула . Вижте Лагранж. )