II линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред. Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Тук прилагаме метода на константата на Лагранж за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнениявтора поръчка. Подробно описаниетози метод за решаване на уравнения от произволен ред е изложен на страницата
Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж >>> .

Пример 1

Решете диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентиметод на вариация на константите на Лагранж:
(1)

Решение

Първо решаваме хомогенното диференциално уравнение:
(2)

Това е уравнение от втори ред.

Решаваме квадратното уравнение:
.
Множество корени: . Фундаменталната система от решения на уравнение (2) има формата:
(3) .
От тук получаваме общо решение хомогенно уравнение (2):
(4) .

Варираме константите C 1 и С 2 . Тоест заместваме константите и в (4) с функции:
.
Търсим решение на първоначалното уравнение (1) във формата:
(5) .

Намираме производната:
.
Свързваме функциите и уравнението:
(6) .
Тогава
.

Намираме втората производна:
.
Заместваме в оригиналното уравнение (1):
(1) ;



.
Тъй като и удовлетворяват хомогенното уравнение (2), сумата от членовете във всяка колона от последните три реда е нула и предишното уравнение става:
(7) .
Тук .

Заедно с уравнение (6) получаваме система от уравнения за определяне на функциите и :
(6) :
(7) .

Решаване на система от уравнения

Решаваме системата от уравнения (6-7). Нека напишем изрази за функции и :
.
Намираме техните производни:
;
.

Решаваме системата от уравнения (6-7) по метода на Крамер. Изчисляваме детерминантата на матрицата на системата:

.
По формулите на Крамер намираме:
;
.

И така, намерихме производни на функции:
;
.
Да интегрираме (вижте Методи за интегриране на корени). Извършване на замяна
; ; ; .

.
.

;
.

Отговор

Пример 2

Решете диференциалното уравнение по метода на вариацията на константите на Лагранж:
(8)

Решение

Стъпка 1. Решение на хомогенното уравнение

Решаваме хомогенно диференциално уравнение:

(9)
Търся решение във формата. Съставяме характеристичното уравнение:

Това уравнение има сложни корени:
.
Фундаменталната система от решения, съответстваща на тези корени, има формата:
(10) .
Общото решение на хомогенното уравнение (9):
(11) .

Стъпка 2. Вариация на константи - Замяна на константи с функции

Сега променяме константите C 1 и С 2 . Тоест заместваме константите в (11) с функции:
.
Търсим решение на първоначалното уравнение (8) във формата:
(12) .

По-нататък ходът на решението е същият като в пример 1. Стигаме до следната система от уравнения за определяне на функциите и :
(13) :
(14) .
Тук .

Решаване на система от уравнения

Нека решим тази система. Нека напишем изразите на функциите и :
.
От таблицата на производните намираме:
;
.

Решаваме системата от уравнения (13-14) по метода на Крамер. Детерминанта на системната матрица:

.
По формулите на Крамер намираме:
;
.

.
Тъй като , тогава знакът за модул под знака за логаритъм може да бъде пропуснат. Умножете числителя и знаменателя по:
.
Тогава
.

Общо решение на първоначалното уравнение:


.

В този раздел ще разгледаме специален случай линейни уравнениявтори ред, когато коефициентите на уравнението са постоянни, тоест те са числа. Такива уравнения се наричат ​​уравнения с постоянни коефициенти. Този тип уравнение намира особено широко приложение.

1. Линейни хомогенни диференциални уравнения

Помислете за уравнението

където коефициентите са постоянни. Ако приемем, че разделяйки всички членове на уравнението с и обозначавайки

записваме това уравнение във формата

Както е известно, за да се намери общото решение на линейно хомогенно уравнение от втори ред, е достатъчно да се знае неговото фундаментална системачастни решения. Нека да покажем как се намира фундаменталната система от конкретни решения за хомогенно линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Ще търсим конкретно решение на това уравнение във формата

Диференцирайки тази функция два пъти и замествайки изразите за в уравнение (59), получаваме

Тъй като , тогава, намаляване на получаваме уравнението

От това уравнение се определят онези стойности на k, за които функцията ще бъде решение на уравнение (59).

Алгебричното уравнение (61) за определяне на коефициента k се нарича характеристично уравнение на даденото диференциално уравнение (59).

Характеристичното уравнение е уравнение от втора степен и следователно има два корена. Тези корени могат да бъдат или реално различни, или реални и равни, или комплексно спрегнати.

Нека разгледаме формата на фундаменталната система от частични решения във всеки от тези случаи.

1. Корени характеристично уравнениевалидни и различни: . В този случай, съгласно формула (60), намираме две конкретни решения:

Тези две конкретни решения образуват фундаментална система от решения на цялата числова ос, тъй като детерминантата на Wronsky никога не изчезва:

Следователно общото решение на уравнението по формула (48) има вида

2. Корените на характеристичното уравнение са равни: . В този случай и двата корена ще бъдат истински. По формула (60) получаваме само едно конкретно решение

Нека покажем, че второто конкретно решение, което заедно с първото образува фундаментална система, има формата

Първо, проверяваме дали функцията е решение на уравнение (59). Наистина ли,

Но тъй като е коренът на характеристичното уравнение (61). Освен това, съгласно теоремата на Виета, следователно . Следователно, , т.е. функцията наистина е решение на уравнение (59).

Нека сега покажем, че намерените частни решения образуват фундаментална система от решения. Наистина ли,

Така в този случай общото решение на хомогенното линейно уравнение има формата

3. Корените на характеристичното уравнение са комплексни. Както знаете, сложни корени квадратно уравнениес реални коефициенти са спрегнати комплексни числа, т.е. имат формата: . В този случай частните решения на уравнение (59), съгласно формула (60), ще имат формата:

Използвайки формулите на Ойлер (виж гл. XI, § 5, стр. 3), изразите за могат да бъдат записани във формата:

Тези решения са комплексни. За да получите реални решения, помислете за новите функции

Те са линейни комбинации от решения и следователно самите те са решения на уравнение (59) (виж § 3, т. 2, теорема 1).

Лесно е да се покаже, че детерминантът на Вронски за тези решения е различен от нула и следователно решенията образуват фундаментална система от решения.

По този начин общото решение на хомогенно линейно диференциално уравнение в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение има формата

В заключение даваме таблица с формули за общото решение на уравнение (59) в зависимост от формата на корените на характеристичното уравнение.

Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)

CLDE от втори ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left( x \right)$ е непрекъсната функция.

Следните две твърдения са верни по отношение на 2-ри LNDE с компютър.

Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частно решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общо решение (OR) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава ИЛИ на LNDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.

Ако дясна част LDE от 2-ри ред е сумата от функции, т.е. $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+...+ f_ (r) \left(x\right)$, тогава първо можете да намерите PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, които съответстват на всяка от функциите $f_(1 ) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ и след това запишете LNDE-2 PD като $U = U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Решение на LNDE от 2-ри ред с компютър

Очевидно формата на един или друг PD $U$ на даден LNDE-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD на LNDE-2 са формулирани като следните четири правила.

Правило номер 1.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тоест се нарича a полином от степен $n$. Тогава неговият PR $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (NC).

Правило номер 2.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Правило номер 3.

Дясната част на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta $ са известни числа. След това неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират по метода NDT.

Правило номер 4.

Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right) $ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равни на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.

Методът NDT се състои в прилагане следващото правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от частното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDE-2, е необходимо:

• заменете записаното PD $U$ общ изглед, от лявата страна на LNDU-2;
• от лявата страна на LNDE-2 извършете опростявания и групирайте термини със същите степени $x$;
• в получената идентичност приравнете коефициентите на членовете с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
• решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.

Пример 1

Задача: намерете ИЛИ LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Също така намерете PR , удовлетворяващ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.

Напишете съответния LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са реални и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Дясната част на този LNDE-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PR на този LNDE-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Ще търсим коефициентите $A$, $B$ по метода NK.

Намираме първата производна на CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Намираме втората производна на CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ В същото време, тъй като експонентата $e^(3\cdot x) $ е включена като фактор във всички компоненти, тогава той може да бъде пропуснат.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Извършваме действия от лявата страна на полученото равенство:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Използваме метода NC. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.

За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ ИЛИ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Имаме система от уравнения:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Ние го решаваме. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Крамър, а $C_(2) $ се определя от първото уравнение:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Така PD на това диференциално уравнение е: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентиима общо решение
, където и линейно независими отделни решения на това уравнение.

Общ вид на решения на хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти
, зависи от корените на характеристичното уравнение
.

Пример

Намерете общото решение на линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти:

1)

Решение:
.

След като го решим, ще намерим корените
,
валидни и различни. Следователно общото решение е:
.

2)

Решение: Нека съставим характеристичното уравнение:
.

След като го решим, ще намерим корените

валидни и идентични. Следователно общото решение е:
.

3)

Решение: Нека съставим характеристичното уравнение:
.

След като го решим, ще намерим корените
комплекс. Следователно общото решение е:

Линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентиима формата

Където
. (1)

Общото решение на линейно нееднородно диференциално уравнение от втори ред има формата
, където
е частно решение на това уравнение, е общо решение на съответното хомогенно уравнение, т.е. уравнения.

Вид частно решение
нехомогенно уравнение(1) в зависимост от дясната страна
:

Разгледайте различни видове десни части на линейно нехомогенно диференциално уравнение:

1.
, където е полином от степен . След това конкретно решение
може да се търси във формата
, където

, а е броят на корените на характеристичното уравнение равен на нула.

Пример

Намерете общо решение
.

Решение:

.

B) Тъй като дясната страна на уравнението е полином от първа степен и нито един от корените на характеристичното уравнение
не е равно на нула (
), тогава търсим конкретно решение във формата where и са неизвестни коефициенти. Разграничаване два пъти
и заместване
,
и
в първоначалното уравнение, намираме.

Приравняване на коефициентите при едни и същи степени от двете страни на уравнението
,
, намираме
,
. И така, конкретно решение на това уравнение има формата
, и неговото общо решение.

2. Нека дясната страна изглежда така
, където е полином от степен . След това конкретно решение
може да се търси във формата
, където
е полином от същата степен като
, а - число, показващо колко пъти е коренът на характеристичното уравнение.

Пример

Намерете общо решение
.

Решение:

А) Намерете общото решение на съответното хомогенно уравнение
. За да направим това, ние пишем характеристичното уравнение
. Нека намерим корените на последното уравнение
. Следователно общото решение на хомогенното уравнение има вида
.

характеристично уравнение

, където е неизвестен коефициент. Разграничаване два пъти
и заместване
,
и
в първоначалното уравнение, намираме. Където
, това е
или
.

И така, конкретно решение на това уравнение има формата
, и неговото общо решение
.

3. Нека дясната страна изглежда като , където
и - дадени числа. След това конкретно решение
може да се търси във формата where и са неизвестни коефициенти и е число, равно на броя на корените на характеристичното уравнение, съвпадащо с
. Ако в израз на функция
включват поне една от функциите
или
, след това в
винаги трябва да се въвежда и дветефункции.

Пример

Намерете общо решение.

Решение:

А) Намерете общото решение на съответното хомогенно уравнение
. За да направим това, ние пишем характеристичното уравнение
. Нека намерим корените на последното уравнение
. Следователно общото решение на хомогенното уравнение има вида
.

B) Тъй като дясната страна на уравнението е функция
, тогава контролното число на това уравнение, то не съвпада с корените
характеристично уравнение
. След това търсим конкретно решение във формата

Където и са неизвестни коефициенти. Диференцирайки два пъти, получаваме. Заместване
,
и
в първоначалното уравнение, намираме

.

Обединявайки подобни условия, получаваме

.

Приравняваме коефициентите при
и
съответно от дясната и лявата страна на уравнението. Получаваме системата
. Решавайки го, намираме
,
.

И така, конкретно решение на първоначалното диференциално уравнение има формата .

Общото решение на първоначалното диференциално уравнение има формата .

В някои задачи на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За успешно решаване на диференциални уравнения ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо, разглеждаме типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това преминаваме към ODE от втори ред, след това се спираме на уравнения от по-висок ред и завършваме със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x .

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата .

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на първоначалното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решенияуравнения дадено x са всички функции, дефинирани за стойностите на тези аргументи. Примери за такива диференциални уравнения са.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x), стояща от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, представяме


Разберете теорията и се запознайте с нея подробни решенияпримери ви предлагаме на страницата на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE).

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал е представено от линейна комбинация от две линейно независими отделни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE, а е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок ред.

Диференциални уравнения, допускащи редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай и първоначалното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната става разделимо уравнение и редът му се намалява от третото към първото.