Нека анализираме как да изградим част от пирамида, като използваме конкретни примери. Тъй като в пирамидата няма успоредни равнини, изграждането на линията на пресичане (следа) на секущата равнина с равнината на лицето най-често включва изчертаване на права линия през две точки, лежащи в равнината на това лице.

В най-простите задачи се изисква да се построи сечение на пирамидата от равнина, минаваща през дадени точки, които вече лежат в едно лице.

Пример.

Конструиране на равнинно сечение (MNP)

Триъгълник MNP - Разрез на пирамида

Точките M и N лежат в една и съща равнина ABS, така че можем да начертаем права през тях. Следата на тази права е отсечката MN. Вижда се, така че свързваме M и N с плътна линия.

Точките M и P лежат в една и съща равнина ACS, така че начертаваме права линия през тях. Следата е отсечката MP. Ние не го виждаме, затова рисуваме сегмента MP с черта. По подобен начин конструираме следата PN.

Триъгълникът MNP е необходимото сечение.

Ако точката, през която се изисква да се начертае разрез, не лежи на ръб, а на лице, тогава това няма да е краят на следата-сегмент.

Пример. Построете сечение на пирамидата с равнина, минаваща през точките B, M и N, като точките M и N принадлежат съответно на лицата ABS и BCS.

Тук точки B и M лежат на едно и също лице на ABS, така че можем да начертаем права през тях.

По същия начин прекарваме права линия през точките B и P. Получихме съответно следите на BK и BL.

Точките K и L лежат на едно и също лице на ACS, така че можем да начертаем права през тях. Неговата следа е отсечката KL.

Триъгълникът BKL е необходимото сечение.

Въпреки това не винаги е възможно да се начертае права линия през данните в точковото състояние. В този случай трябва да намерите точка, лежаща на пресечната линия на равнините, съдържащи лицата.

Пример. Построете сечение на пирамидата с равнина, минаваща през точките M, N, P.

Точките M и N лежат в една и съща равнина ABS, така че през тях може да се прекара права линия. Получаваме следата MN. По същия начин - НП. И двете следи са видими, така че ги свързваме с плътна линия.

Точките M и P лежат в различни равнини. Следователно не можем да ги свържем директно.

Продължаваме линията NP.

Тя лежи в равнината на лицето на BCS. NP се пресича само с прави, лежащи в същата равнина. Имаме три такива линии: BS, CS и BC. Вече има пресечни точки с прави BS и CS - това са само N и P. И така, търсим пресечната точка на NP с правата BC.

Пресечната точка (да я наречем H) ​​се получава чрез продължаване на линиите NP и BC до пресичането.

Тази точка H принадлежи както на равнината (BCS), тъй като лежи на правата NP, така и на равнината (ABC), тъй като лежи на правата BC.

Така получихме още една точка от секущата, лежаща в равнината (ABC).

През H и точка M, лежаща в една равнина, можем да начертаем права линия.

Получаваме следата MT.

T е пресечната точка на правите MH и AC.

Тъй като T принадлежи на правата AC, можем да начертаем права през нея и точката P, тъй като и двете лежат в една и съща равнина (ACS).

Четворката MNPT е търсеното сечение на пирамидата от равнината, минаваща през дадените точки M,N,P.

Работихме с правата NP, като я удължихме, за да намерим пресечната точка на сечащата равнина с равнината (ABC). Ако работим с правата MN, стигаме до същия резултат.

Разсъждаваме по следния начин: правата MN лежи в равнината (ABS), така че може да се пресича само с прави, лежащи в същата равнина. Имаме три такива линии: AB, BS и AS. Но с линиите AB и BS вече има пресечни точки: M и N.

Следователно, продължавайки MN, търсим точката на пресичането му с правата AS. Нека наречем тази точка R.

Точката R лежи на правата AS, следователно тя лежи и в равнината (ACS), на която принадлежи правата AS.

Тъй като точката P лежи в равнината (ACS), можем да начертаем права през R и P. Получаваме следата на PT.

Точката T лежи в равнината (ABC), така че можем да начертаем права през нея и точката M.

Така получихме същото MNPT напречно сечение.

Нека разгледаме друг пример от този вид.

Построете сечение на пирамидата с равнина, минаваща през точките M, N, P.

Начертайте права през точки M и N, лежащи в една и съща равнина (BCS). Получаваме следата MN (видима).

Начертайте права линия през точки N и P, лежащи в една и съща равнина (ACS). Получаваме следата PN (невидима).

Не можем да начертаем права през точки M и P.

1) Правата MN лежи в равнината (BCS), където има още три прави: BC, SC и SB. Вече има пресечни точки с правите SB и SC: M и N. Следователно търсим пресечната точка на MN с BC. Продължавайки тези редове, получаваме точката L.

Точката L принадлежи на правата BC, което означава, че лежи в равнината (ABC). Следователно през L и P, която също лежи в равнината (ABC), можем да начертаем права линия. Нейният отпечатък е PF.

F лежи на правата AB, а оттам и в равнината (ABS). Следователно през F и точката M, която също лежи в равнината (ABS), прекарваме права. Нейната песен е FM. Четириъгълникът MNPF е търсеното сечение.

2) Друг начин е да продължите направо PN. Тя лежи в равнината (ACS) и пресича лежащите в тази равнина прави AC и CS в точки P и N.

И така, търсим пресечната точка на PN с третата права линия на тази равнина - с AS. Продължаваме AS и PN, при пресичането получаваме точка E. Тъй като точката E лежи на правата AS, която принадлежи на равнината (ABS), можем да начертаем права през E и точката M, която също лежи в ( КОРЕМНИ МУСКУЛИ). Нейната песен е FM. Точките P и F лежат на водната равнина (ABC), прекарваме права през тях и получаваме следата PF (невидима).

Правилна шестоъгълна пирамида, пресечена от фронтално изпъкнала равнина R,показано на фиг. 180.

Както и в предишните примери, фронталната проекция на сечението съвпада с фронталната

къща Pvсамолети. Хоризонталните и профилните проекции на разрезната фигура са построени върху точки, които са пресечните точки на равнината Рс пирамидални ребра.

Действителният външен вид на разрезната фигура в този пример се определя от метода на регистрация.

Развитие на страничната повърхност на пресечена пирамида с разрез и основна фигура е показано на фиг. 180, b.

Първо се изгражда развитие на непресечена пирамида, чиито лица, имащи формата на триъгълник, са еднакви. Маркирайте точка на равнината сл(върха на пирамидата) и от него, както от центъра, начертайте дъга от окръжност с радиус R,равна на действителната дължина на страничния ръб на пирамидата. Действителната дължина на реброто може да се определи от профилната проекция на пирамидата, например сегменти s"e"или s"b",тъй като тези ръбове са успоредни на равнината Уи са изобразени върху него с реална дължина. По-нататък по дъгата на окръжност от всяка точка, например 1, се полагат шест еднакви сегмента, равни на действителната дължина на страната на шестоъгълника - основата на пирамидата. Действителната дължина на страната на основата на пирамидата се получава върху хоризонтална проекция (сегмент аб).точки а 1 ...f1са свързани с прави линии с върха s 1 . След това отгоре а 1върху тези прави линии действителните дължини на сегментите на ребрата към секущата равнина са отложени настрани.

На профилната проекция на пресечена пирамида има реални дължини само на две

остър - s"5и s"2.Действителните дължини на останалите сегменти се определят чрез завъртането им около ос, перпендикулярна на равнината зи минаваща през върха s. Например завъртане на сегмента s"6"около оста до позиция, успоредна на равнината W,получаваме реалната му дължина на тази равнина. За това е достатъчно през точката 6" начертайте хоризонтална линия, докато се пресече с действителната дължина на ръба SEили SB.Линеен сегмент s"6 0"(виж фиг. 180).

Получени точки 1 1 2 1 , 3 1 и т.н. свържете с прави линии и прикрепете основата и сечението по метода на триангулацията. Линиите на сгъване на сканираната снимка са начертани с пунктирана линия с две точки.

Изграждането на изометрична проекция на пресечена пирамида започва с изграждането на изометрична проекция на основата на пирамидата според размерите, взети от хоризонталната проекция на сложния чертеж. След това върху основната равнина по координатите на точките 1...6 изградете хоризонтална проекция на сечението (вижте тънки сини линии на фиг. 180, а, в).От върховете на получения шестоъгълник се изчертават вертикални прави линии, върху които се нанасят координати, взети от фронталните или профилни проекции на призмата, например сегменти K (, K 2, K 3и т.н. Получени точки 1...6 свържете, получаваме разрезна фигура. Чрез свързване на точките 1...6 с върховете на шестоъгълника, основата на пирамидата, получаваме изометрична проекция на пресечена пирамида. Невидимите ръбове са показани с пунктирани линии.

Пример за разрез на триъгълник не правилна пирамидаравнината на предната проекция е показана на фиг. 181.

Всички ръбове на три проекционни равнини са показани с изкривяване. Хоризонтална проекция

основата представлява нейната действителна форма, тъй като основата на пирамидата е разположена върху равнина з.

Валиден изглед 1 0 , 2 0 , 3 0 сечения, получени чрез промяна на проекционните равнини. В този пример хоризонталната проекционна равнина ззаменен с нова равнина, която е успоредна на равнината R;нова ос х 1подравнен със следата Р В(фиг. 181, а).

Развитието на повърхността на пирамидата се изгражда по следния начин. Методът на въртене се използва за намиране на действителната дължина на ръбовете на пирамидата и техните сегменти от основата до режещата равнина Р.

Например действителните дължини на ръбовете SCи неговия сегмент NWравна съответно на дължината на фронталната проекция с "в"ръб и сегмент c 1 ′ 3 1 след завоя.

След това изграждат развитие на триъгълна неправилна пирамида (фиг. 181, в). За да направите това, от произволна точка Сначертайте права линия, върху котката, поставете действителната дължина на ръба SA.От точка снаправете прорез с радиус R1,равна на действителната дължина на реброто SB,а от точка прорез с радиус R2,равна на страната на основата на пирамидата AB,което води до точка b 1и ръба s 1 b 1 a 1 .След това от точки си b 1тъй като от центровете се правят серифи с радиуси, равни на действителната дължина на ръба SCи страна слънцевземете предимство s 1 b 1 s 1пирамиди. Ръбът също е изграден s 1 c 1 a 1.

От точки a 1 b 1и от 1отложете действителните дължини на сегментите на ребрата, които са взети на предната проекция (сегменти a 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′, c 1 ′3 1 ′). По метода на триангулацията се закрепват основата и фигурата на сечението.

За да се изгради изометрична проекция на пресечена пирамида (фиг. 181, b), се изчертава изометрична ос Х.По координати ти Пизградете основата на пирамидата ABC.Основна страна ACуспоредна на оста хили съвпада с оста Х.Както в предишния пример, изградена е изометрична проекция на хоризонталната проекция на секционната фигура 1 2 2 2 3 2 (използване на точки I, III и IV). От тези точки се изчертават вертикални прави линии, върху които се полагат сегменти, взети от фронталната или профилната проекция на призмата. К 1, К 2и К 3 .Получени точки 1 , 2, 3 свързани с прави линии помежду си и с върховете на основата.

Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, докоснахме темата "Пирамида". Харесахме тази тема, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашите бъдеща професияархитект, вдъхновени от тази фигура, смятаме, че тя ще може да ни тласне към страхотни проекти.

Силата на архитектурните конструкции, най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, говорим за геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометричната форма определя и здравината на архитектурната конструкция.

Египетските пирамиди отдавна се смятат за най-издръжливата архитектурна структура. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамидата гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Цел на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията и намерете практически приложения.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

Научете историческа информация за пирамидата

Помислете за пирамидата геометрична фигура

Намерете приложение в бита и архитектурата

Открийте приликите и разликите между пирамидите, разположени в различни частиСвета

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата е положено в древен Египет и Вавилон, но активно се развива през Древна Гърция. Първият, който установява на какво е равен обемът на пирамидата е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своето "Начала", а също така извежда първото определение на пирамидата: телесна фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробниците на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Издигането на пирамидата, в която гърците и римляните вече са виждали паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, която обрича целия народ на Египет на безсмислено строителство, е най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистичната идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата в свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известно е и за специалните култови почести, които се оказват самата пирамида.

Основни понятия

ПирамидаНарича се полиедър, основата на който е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх.

апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх;

Странични лица- триъгълници, събиращи се на върха;

Странични ребра- общи страни на страничните лица;

върха на пирамидата- точка, свързваща страничните ръбове и не лежаща в равнината на основата;

Височина- сегмент от перпендикуляр, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основните свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Странична зона и пълна повърхностпирамиди.

Площта на страничната повърхност на пирамидата (пълна и пресечена) е сумата от площите на всички нейни странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всички нейни лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- периметър на основата;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

p1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща площ на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S1 + S2- основна площ

Обем на пирамидата

форма Обемната скала се използва за пирамиди от всякакъв вид.

зе височината на пирамидата.

Ъгли на пирамидата

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат ​​двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Наричат ​​се ъглите, образувани от страничен ръб и неговата проекция върху равнината на основата ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от две странични лица, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, който се образува от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Раздели на пирамидата

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, така че сечението на пирамидата, дадено от секущата равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонално сечение

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамидапирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата се проектира в центъра на основата.

В правилната пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенните ъгли в основата са равни

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица

Пресечена пирамида- частта от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечената пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е център на основата, SO=8 см, BD=30 см. Намерете страничния ръб SA.

Решаване на проблеми

номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.

Да разгледаме OSB: OSB-правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамида - монументална структура под формата на обикновен правилен геометрична пирамида, при което страните се събират в една точка. Според функционалното предназначение пирамидите в древността са били място за погребение или поклонение. Основата на пирамидата може да бъде триъгълна, четириъгълна или многоъгълна с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Значителен брой пирамиди са известни, построени различни култури древен святпредимно като храмове или паметници. Най-големите пирамиди са египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Пирамидалните сгради напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетски пирамидинай велик архитектурни паметници древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м.

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. Освен офиси и сервизни помещения, вътре в обема има доста просторен концертна зала, който има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който „е мълчалив и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-големият музеймир. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.

Въведение. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Концепцията за полиедър. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . четири

свойства на пирамидата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Пресечена пирамида. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Построяване на пирамида и нейните равнинни сечения. . . .девет

3. Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . единадесет

3.1. Изображение на призма и нейната конструкция

секции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Паралелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Някои свойства на паралелепипед. . . . . . . шестнадесет

5. Теорема на Ойлер за полиедрите. . . . . . . . . . . . . . . осемнадесет

6. Подобие на многостени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правилни многостени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Обобщена таблица на многостените. . . . . . . . . . . 22

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Библиография. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Въведение

Блез Паскал веднъж каза: „Математиката е толкова сериозна, че е добре да не пропускате възможност да я направите малко по-забавна.“ От тази позиция нека се опитаме да разгледаме стереометрията, която е един от разделите на геометрията. Стереометрията изучава свойствата на фигурите в пространството. Например течни капки в безтегловност приемат формата геометрично тялонаречена топка. Същата форма има малка топка за тенис и по-големи обекти - нашата планета и много други космически обекти. Тенекиената кутия е цилиндър.

Стереометрията около нас: в ежедневието и в професионална дейност. Ние, разбира се, не можем да „видим“ науката, но можем ежедневно да виждаме триизмерните тела в космоса, които тя изучава. Не е ли интересно да се погледнете в огледалото от всички страни? Но човешка фигураТова също е насипен артикул.

За решаването на много геометрични проблеми, свързани с тетраедър и паралелепипед, е необходимо да можете да изграждате техните секции във фигурата от различни равнини. Нека наречем сечна равнина всяка равнина, от двете страни на която има точки на тази фигура. Режещата равнина пресича лицата на фигурата по сегменти. Многоъгълник, чиито страни са тези сегменти, се нарича разрез на фигурата. Тъй като тетраедърът има четири лица, само триъгълници и четириъгълници могат да бъдат негови секции. Паралелепипедът има шест лица. Сеченията му могат да бъдат триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и шестоъгълници.

1. Концепцията за полиедър

Многостен- геометрично пространствено тяло, ограничено от всички страни от краен брой плоски многоъгълници. Фасети полиедър се наричат ​​многоъгълници, които ограничават полиедъра (лица - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). ребра полиедър се наричат ​​общите страни на съседни лица (ръбове - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). върхове полиедър се наричат ​​върхове на многостенни ъгли, образувани от лицата му, събиращи се в една точка . Диагонал Полиедърът е линеен сегмент, свързващ два върха, които не лежат на едно и също лице (BN). диагонална равнина полиедър се нарича равнина, минаваща през три върха на многостена, които не лежат на едно и също лице (равнина BEN).

Полиедърът се нарича изпъкнал , ако се намира от едната страна на равнината на всеки многоъгълник от повърхността му. Лицата на изпъкнал многостен могат да бъдат само изпъкнали многоъгълници (пример за изпъкнал многостен е куб, фиг. 1).

Ако лицата на многоъгълник се пресичат, тогава се нарича такъв многостен неизпъкнал (фиг. 2).

Сечение на полиедър с равнина е част от тази равнина, ограничена с линияпресечна точка на повърхността на многостена с тази равнина.

.

2. Пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едното лице на който е произволен многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх.

Основата на пирамидата се нарича полиедър, получен в секуща равнина (ABCDE). Страничните стени на пирамидата се наричат ​​триъгълници ASB, BSC, ... с общ връх S, който се нарича връх на пирамидата. Страничните ръбове на пирамидата са ръбовете, по които се пресичат страничните лица. Височината на пирамидата е перпендикулярът, прекаран от върховете на пирамидата към равнината на нейната основа. Апотемата на пирамидата е височината на страничната повърхност, спусната от върха на пирамидата.

Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Нека докажем това всички странични ръбове на правилна пирамида са равни, а страничните стени са равни равнобедрени триъгълници

Да разгледаме правилна пирамида PA 1 A 2 …A n . Първо доказваме, че всички странични ръбове на тази пирамида са равни. Всеки страничен ръб е хипотенуза правоъгълен триъгълник, чийто един ръб е височината PO на пирамидата, а другият е радиусът на окръжността, описана близо до основата (например страничният ръб PA 1 е хипотенузата на триъгълника OPA 1, в който OP=h, OA 1 =R). Според Питагоровата теорема всеки страничен ръб е равен на √(h 2 +R 2), така че PA 1 =PA 2 =…= PA n .

Доказахме, че страничните ръбове на правилна пирамида PA 1 A 2 …A n са равни помежду си, така че страничните стени са равнобедрени триъгълници. Основите на тези триъгълници също са равни една на друга, тъй като A 1 A 2 …A n е правилен многоъгълник. Следователно страните са равни по третия критерий за равенство на триъгълниците, който трябваше да се докаже.

Сечението на пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата, се нарича напречно сечение на пирамида .

свойства на пирамидата

Свойства на напречните сечения на пирамидата.

1. Ако пресечете пирамидата с равнина, успоредна на основата, тогава:

· страничните ръбове и височината на пирамидата ще бъдат разделени от тази равнина на пропорционални сегменти;

в секцията получавате многоъгълник, подобен на многоъгълника, лежащ в основата;

Площта на напречното сечение и основата ще се отнасят една към друга като квадратите на техните разстояния от върха на пирамидата:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. Ако две пирамиди с еднаква височина се пресекат от равнини, успоредни на основите, на еднакво разстояние от върха, тогава площите на сеченията ще бъдат пропорционални на площите на основите.

Площта на страничната повърхност (или просто страничната повърхност) на пирамида е сумата от площите на нейните странични лица.

Обща площ(или просто общата повърхност) на пирамида е сумата от площта на нейната странична повърхност и площта на нейната основа.

Свойства на височината на пирамидата

1. Ако страничната страна на пирамидата е перпендикулярна на равнината на основата, тогава височината на пирамидата преминава в равнината на тази страна.

2. Ако два съседни странични ръба на пирамидата са равни, тогава основата на височината на пирамидата е върху перпендикуляр, прекаран през средата на тази страна на основата, от краищата на която излизат тези странични ръбове.

3. Ако две съседни странични стени на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава основата на височината на пирамидата лежи върху ъглополовящата на ъгъла, образуван от страните на основата, през които минават тези страни.

4. Ако страничният ръб на пирамидата образува равни ъгли с две съседни страни на основата, тогава основата на височината на пирамидата лежи върху ъглополовящата на ъгъла, образуван от тези страни на основата.

5. Ако страничният ръб на пирамидата е перпендикулярен на страната на пресичащата се с него основа, тогава основата на височината на пирамидата е върху перпендикуляра, възстановен (в равнината на основата на пирамидата) към тази страна от точката на неговото пресичане с този страничен ръб.

ЗАБЕЛЕЖКА: ако пирамидата има две от тези характеристики, тогава е възможно уникално да се посочи точката, която е основата на височината на пирамидата.

Фигурата показва фрагмент от правилна n-въглищна пирамида SABCD…, където SH е височината на пирамидата; SK е апотема. Нека въведем следната нотация: ъгъл алфа ( ά ) е ъгълът между страничния ръб на пирамидата и равнината на основата; бета (β) е ъгълът между страничната повърхност и основната равнина; ъгъл y (γ) е ъгълът между съседни странични ребра; ъгъл фи (φ) - ъгълът между съседни странични лица.

Ако един от тези ъгли е известен в правилна пирамида, тогава другите три могат да бъдат намерени. В таблицата са показани шест връзки:

Обем на пирамидатасе намира по формулата:

V=1/3S основен H,

където Sbase е основната площ, H е височината.

Площ на страничната повърхностправилната пирамида се изразява по следния начин:

S страна \u003d 1 / 2Ph,

където P е периметърът на основата, h е височината на страничната повърхност

2.2. Пресечена пирамида.

пресечена пирамидачастта от пирамидата се нарича, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата, например пирамидата ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Основите на пресечена пирамида се наричат ​​успоредни лица ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD е долната основа, а A 1 B 1 C 1 D 1 е горната основа).

Височинапресечена пирамида - сегмент от права линия, перпендикулярен на основите и затворен между техните равнини.

Пресечена пирамида правилно , ако основите му са правилни многоъгълници, а правата, свързваща центровете на основите, е перпендикулярна на равнината на основите.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на страничната й страна.

Странична повърхностпресечена пирамида е сумата от площите на нейните странични лица. Общата повърхност на пресечена пирамида е равна на сумата от страничната повърхност и площите на основите.

Пресечена пирамида се получава от пирамида чрез отрязване на горната част от нея с равнина, успоредна на основата. Основите на пресечената пирамида са подобни многоъгълници, страничните лица са трапецовидни.

Сила на звукапресечена пирамида се намира по формулата:

V=1/3 H(S+ √ SS1+S1),

където S и S1 са площите на основите, а H е височината.

Площ на страничната повърхностправилна пресечена пирамида се изразява по следния начин:

S страна \u003d 1/2 (P + P 1) h,

където P и P1 са периметрите на основите, h е височината на страничната повърхност (или апотема на правилна пресечена пирамида).

2.3. Построяване на пирамида и нейните равнинни сечения

В съответствие с правилата за паралелна проекция, изображението на пирамидата се изгражда по следния начин. Първо се изгражда основата. Това ще бъде някакъв плосък многоъгълник. След това се маркира върхът на пирамидата, който е свързан чрез странични ребра с върховете на основата.

Сеченията на пирамидата с равнини, минаващи през върха й, са триъгълници (фиг. а). По-специално, диагоналните секции също са триъгълници. Това са сечения с равнини, минаващи през два несъседни странични ръба на пирамидата (фиг. б).

Сечението на пирамида с равнина с дадена следа g върху равнината на основата се построява по същия начин като сечението на призма.

За да се построи сечение на пирамида от равнина, е достатъчно да се построят пресечните точки на нейните странични стени с режещата равнина.

Ако някаква точка A, принадлежаща на сечението, е известна на лице, което не е успоредно на следата g, тогава първо се конструира пресечната точка на следата g на секущата равнина с равнината на това лице - точка D на фигурата ( в). Точка D е свързана с точка A с права линия. Тогава сегментът от тази права, принадлежащ на лицето, е пресечната точка на това лице със сечащата равнина. Ако точката A лежи на лице, успоредно на линията g, тогава секущата равнина пресича това лице по отсечка, успоредна на правата g. Отивайки до съседната странична повърхност, те изграждат нейната пресечна точка с режещата равнина и т.н. В резултат на това се получава необходимото сечение на пирамидата.

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едно от лицата на което е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Сечение на пирамидата се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сумата от площите на всички странични лица. Пълна площ е сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За изчисляване на обема на произволна пирамида е правилна формулата:

където V- сила на звука;

S основен- основна площ;

зе височината на пирамидата.

За правилна пирамида са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

з а- апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S основен- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданаречена част от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. диагонално сечение Сечение на пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни формулите:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долни бази;

S пълене общата площ на повърхността;

S странае площта на страничната повърхност;

з- височина;

Vе обемът на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - базови периметри;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В дясно триъгълна пирамидадвустенният ъгъл при основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Правилна е пирамидата, значи в основата равностранен триъгълники всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи ОВ. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Олинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилен пресечен четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите му са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на квадратите на основата, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 cm3.

Пример 3Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Базите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го откъде И 1 дперпендикулярно от точка И 1 на равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от И 1 на AC. И 1 д\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). Точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDе равна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Според теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка Ое център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или По Питагоровата теорема имаме