Ако в правилна четириъгълна пирамида. Какво ни позволява да считаме пирамидата за геометрично чудо

Първо ниво

Пирамида. визуално ръководство (2019)

Какво е пирамида?

Как изглежда тя?

Виждате ли: при пирамидата отдолу (казват " в основата"") някакъв многоъгълник и всички върхове на този многоъгълник са свързани с някаква точка в пространството (тази точка се нарича " връх»).

Цялата тази структура има странични лица, странични ребраи базови ребра. Още веднъж, нека начертаем пирамида заедно с всички тези имена:

Някои пирамиди може да изглеждат много странни, но все пак са пирамиди.

Ето, например, доста "наклонено" пирамида.

И още малко за имената: ако в основата на пирамидата има триъгълник, тогава пирамидата се нарича триъгълна;

В същото време точката, в която падна височина, е наречен височина основа. Имайте предвид, че в "кривите" пирамиди височинаможе дори да е извън пирамидата. Като този:

И в това няма нищо ужасно. Прилича на тъп триъгълник.

Правилна пирамида.

Много трудни думи? Нека дешифрираме: " В основата - правилно"- това е разбираемо. А сега не забравяйте, че правилният многоъгълник има център - точка, която е центърът на и , и .

Е, и думите „върхът е проектиран в центъра на основата“ означават, че основата на височината попада точно в центъра на основата. Вижте колко гладко и сладко изглежда дясна пирамида.

Шестоъгълна: в основата - правилен шестоъгълник, върхът е проектиран в центъра на основата.

четириъгълна: в основата - квадрат, върхът се проектира в пресечната точка на диагоналите на този квадрат.

триъгълна: в основата е правилен триъгълник, върхът се проектира в пресечната точка на височините (те също са медиани и ъглополовящи) на този триъгълник.

Силно важни свойства правилна пирамида:

В дясната пирамида

всички странични ръбове са равни.
всички странични ръбове равнобедрени триъгълниции всички тези триъгълници са равни.

Обем на пирамидата

Основната формула за обема на пирамидата:

Откъде точно дойде? Това не е толкова просто и в началото просто трябва да запомните, че пирамидата и конусът имат обем във формулата, но цилиндърът не.

Сега нека изчислим обема на най-популярните пирамиди.

Нека страната на основата е равна, а страничният ръб равен. Трябва да намеря и.

Това е площта на правоъгълен триъгълник.

Нека си припомним как да търсим тази област. Използваме формулата за площ:

Имаме "" - това и "" - също това, а.

Сега да намерим.

Според Питагоровата теорема за

Какво значение има? Това е радиусът на описаната окръжност в, защото пирамидаправилноа оттам и центъра.

Тъй като - точката на пресичане и медианата също.

(Питагоровата теорема за)

Заместител във формулата за.

Нека включим всичко във формулата за обем:

Внимание:ако имате правилен тетраедър (т.е.), тогава формулата е:

Нека страната на основата е равна, а страничният ръб равен.

Няма нужда да търсите тук; тъй като в основата е квадрат, и следователно.

Да намерим. Според Питагоровата теорема за

знаем ли почти. Виж:

(видяхме това чрез преглед).

Заместете във формулата:

И сега заместваме и във формулата за обем.

Нека страната на основата да е равна, а страничният ръб.

Как да намеря? Вижте, шестоъгълникът се състои от точно шест еднакви правилни триъгълника. Вече търсихме площта на правилен триъгълник, когато изчислявахме обема на правилен триъгълник. триъгълна пирамида, тук използваме намерената формула.

Сега нека намерим (това).

Според Питагоровата теорема за

Но какво значение има? Това е просто, защото (и всички останали също) е правилно.

Заменяме:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИДА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Пирамидата е многостен, който се състои от всеки плосък многоъгълник (), точка, която не лежи в равнината на основата (върхът на пирамидата) и всички сегменти, свързващи върха на пирамидата с основните точки (странични ръбове).

Перпендикуляр, пуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Правилна пирамида- пирамида, която има правилен многоъгълник в основата, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

Свойство на правилна пирамида:

В правилната пирамида всички странични ръбове са равни.
Всички странични лица са равнобедрени триъгълници и всички тези триъгълници са равни.

Учениците се натъкват на концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрия. Обвинете известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, започвайки изучаването на този прекрасен полиедър, повечето ученици вече ясно си го представят. Всички горепосочени забележителности са в правилна форма. Какво дясна пирамида, и какви свойства има и ще бъдат обсъдени допълнително.

Във връзка с

Определение

Има много определения за пирамида. От древни времена той е много популярен.

Например Евклид го определя като твърда фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Heron предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигура, която има основа и равнини под формата на триъгълници,събиращи се в една точка.

Въз основа на съвременната интерпретация пирамидата се представя като пространствен многостен, състоящ се от определен k-ъгълник и k плоски триъгълни фигури, имащи една обща точка.

Нека погледнем по-отблизо, От какви елементи се състои?

k-gon се счита за основа на фигурата;
Като страни на страничната част излизат 3-ъгълни фигури;
горната част, от която произхождат страничните елементи, се нарича връх;
всички сегменти, свързващи върха, се наричат ръбове;
ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
във всеки страничен елемент отстрани на нашия полиедър можете да начертаете перпендикуляр, наречен апотема.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи с израза k + 1.

важно!Пирамида правилна форманарича стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгълник с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много свойствакоито са уникални за нея. Нека ги изброим:

Основата е фигура с правилна форма.
Ръбовете на пирамидата, ограничаващи страничните елементи, имат равни числени стойности.
Страничните елементи са равнобедрени триъгълници.
Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, като е едновременно централна точка на вписаното и описаното.
Всички странични ребра са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.
Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Благодарение на всички изброени свойства, изпълнението на изчисленията на елементите е значително опростено. Въз основа на горните свойства, обръщаме внимание на два знака:

В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните стени ще имат равни ъгли с основата.
Когато се описва окръжност около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължина и равни ъгли с основата.

Квадратът се основава

Правилна четириъгълна пирамида - многостен, базиран на квадрат.

Има четири странични лица, които изглеждат равнобедрени.

На равнина е изобразен квадрат, но те се основават на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако е необходимо да се свърже страната на квадрат с неговия диагонал, тогава се използва следната формула: диагоналът е равен на произведението на страната на квадрата и квадратния корен от две.

Въз основа на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е многостен, чиято основа е правилен 3-ъгълник.

Ако основата е правоъгълен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. В този случай трябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:

ъгълът на наклона на ребрата към всяка основа е 60 градуса;
стойността на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
всяко лице може да действа като основа;
начертани във фигурата са равни елементи.

Сечения на многостен

Във всеки полиедър има няколко вида секциисамолет. Често в училищен курс по геометрия те работят с двама:

аксиален;
паралелна основа.

Аксиално сечение се получава чрез пресичане на полиедър с равнина, която минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от линиите на пресичане с всички лица, което води до триъгълник.

внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина е успоредна на основата, тогава резултатът е втората опция. В този случай имаме в контекста фигура, подобна на основата.

Например, ако основата е квадрат, тогава сечението, успоредно на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малък размер.

При решаване на задачи при това условие се използват признаци и свойства на подобие на фигури, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на сходство.

Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя отрязва горната част на многостена, тогава в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че основите на пресечения многостен са подобни многоъгълници. В този случай страничните лица са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечен многостен, е необходимо да се начертае височината в аксиално сечение, тоест в трапец.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхността и обема на пирамида.

Има два типа повърхностна площ:

площ на страничните елементи;
цялата площ на повърхността.

От самото заглавие става ясно за какво става въпрос. Странична повърхноствключва само странични елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да изведем формулата за площта на страничните елементи:

Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотемата.
Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се сумират площите на четирите фигури Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Изразът е опростен по този начин, защото стойността 4a=POS, където POS е периметърът на основата. И изразът 1/2 * Rosn е неговият полупериметър.
И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилната пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата: Sside \u003d Rosn * L.

Квадрат пълна повърхностпирамидата се състои от сумата от площите на страничните равнини и основата: Sp.p = Sстрана + Sоснова.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обем на правилна пирамидае равно на произведението от площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbase*H, където H е височината на полиедъра.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едно от лицата на което е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Сечение на пирамидата се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сумата от площите на всички странични лица. Пълна площ е сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За изчисляване на обема на произволна пирамида е правилна формулата:

където V- сила на звука;

S основен- основна площ;

зе височината на пирамидата.

За правилна пирамида са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

з а- апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S основен- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданаречена част от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. диагонално сечение Сечение на пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни формулите:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долни бази;

S пълене общата площ на повърхността;

S странае площта на страничната повърхност;

з- височина;

Vе обемът на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - базови периметри;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Правилна е пирамидата, значи в основата равностранен триъгълники всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи ОВ. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Олинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на квадратите на основата, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 cm3.

Пример 3Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Базите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го откъде НО 1 дперпендикулярно от точка НО 1 на равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от НО 1 на AC. НО 1 д\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). Точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDе равна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Според теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка Ое център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или По Питагоровата теорема имаме

Концепция за пирамида

Определение 1

Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).

Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните стени на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.

Видове пирамиди

В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да бъде наречена триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).

Фигура 2.

Друг вид пирамида е правилната пирамида.

Нека въведем и докажем свойството на правилната пирамида.

Теорема 1

Всички странични лица на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си.

Доказателство.

Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ с височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).

Фигура 4

Да разгледаме триъгълника $SOA$. По Питагоровата теорема получаваме

Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Сега въвеждаме следното определение, свързано с концепцията за правилна пирамида.

Определение 3

Апотемата на правилната пирамида е височината на страничната й страна.

Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.

Теорема 2

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида с $a$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като според теорема 1 всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Друг вид пирамида е пресечената пирамида.

Определение 4

Ако през обикновена пирамида се прекара равнина, успоредна на нейната основа, то фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Фигура 5. Пресечена пирамида

Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида се определя като произведението на сумата от полупериметрите на основите и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако тя е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.

Решение.

Съгласно теоремата за средната линия получаваме, че горната основа на пресечената пирамида е равна на $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е равна на $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Тогава, съгласно теорема 3, получаваме

Определение

Пирамидае полиедър, съставен от многоъгълник $A_1A_2...A_n$ и $n$ триъгълници с общ връх $P$ (не лежащ в равнината на многоъгълника) и противоположни страни, съвпадащи със страните на полигона.
Обозначение: $PA_1A_2...A_n$ .
Пример: петоъгълна пирамида $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Триъгълници $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ и т.н. Наречен странични лицапирамиди, сегменти $PA_1, PA_2$ и др. - странични ребра, многоъгълник $A_1A_2A_3A_4A_5$ – база, точка $P$ – връх.

ВисочинаПирамидите са перпендикуляр, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Нарича се пирамида с триъгълник в основата тетраедър.

Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и е изпълнено едно от следните условия:

$(a)$ страничните ръбове на пирамидата са равни;

$(b)$ височината на пирамидата минава през центъра на описаната окръжност близо до основата;

$(c)$ страничните ребра са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.

$(d)$ страничните стени са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.

правилен тетраедъре триъгълна пирамида, всички лица на която са равни равностранни триъгълници.

Теорема

Условията $(a), (b), (c), (d)$ са еквивалентни.

Доказателство

Начертайте височината на пирамидата $PH$ . Нека $\alpha$ е равнината на основата на пирамидата.

1) Нека докажем, че $(a)$ предполага $(b)$ . Нека $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

защото $PH\perp \alpha$ , тогава $PH$ е перпендикулярен на всяка права, лежаща в тази равнина, така че триъгълниците са правоъгълни. Така че тези триъгълници са равни по общ катет $PH$ и хипотенуза $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Така че $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Това означава, че точките $A_1, A_2, ..., A_n$ са на едно и също разстояние от точката $H$ , следователно лежат на една и съща окръжност с радиус $A_1H$ . Тази окръжност, по дефиниция, е описана около многоъгълника $A_1A_2...A_n$ .

2) Нека докажем, че $(b)$ предполага $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$правоъгълна и равна на два крака. Следователно техните ъгли също са равни, следователно, $\ъгъл PA_1H=\ъгъл PA_2H=...=\ъгъл PA_nH$.

3) Нека докажем, че $(c)$ предполага $(a)$ .

Подобно на първата точка, триъгълници $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$правоъгълна и по крака и остър ъгъл. Това означава, че техните хипотенузи също са равни, тоест $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Нека докажем, че $(b)$ предполага $(d)$ .

защото в правилен многоъгълник центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат (най-общо казано, тази точка се нарича център на правилен многоъгълник), тогава $H$ е центърът на вписаната окръжност. Нека начертаем перпендикуляри от точката $H$ към страните на основата: $HK_1, HK_2$ и т.н. Това са радиусите на вписаната окръжност (по дефиниция). След това, според TTP, ($PH$ е перпендикуляр на равнината, $HK_1, HK_2$ и т.н. са проекции, перпендикулярни на страните) наклонени $PK_1, PK_2$ и т.н. перпендикулярно на страните $A_1A_2, A_2A_3$ и т.н. съответно. И така, по дефиниция $\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H$равни на ъглите между страничните стени и основата. защото триъгълници $PK_1H, PK_2H, ...$ са равни (като правоъгълни на два крака), тогава ъглите $\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H, ...$са равни.

5) Нека докажем, че $(d)$ предполага $(b)$ .

Подобно на четвъртата точка, триъгълниците $PK_1H, PK_2H, ...$ са равни (като правоъгълник по крака и остър ъгъл), което означава, че сегментите $HK_1=HK_2=...=HK_n$ са равни. Следователно по дефиниция $H$ е центърът на окръжност, вписана в основата. Но тъй като при правилни многоъгълницицентровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат, тогава $H$ е центърът на описаната окръжност. Chtd

Последица

Страничните стени на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници.

Определение

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотема.
Апотемите на всички странични стени на правилната пирамида са равни една на друга и също са медиани и ъглополовящи.

Важни бележки

1. Височината на правилна триъгълна пирамида пада до пресечната точка на височините (или ъглополовящите, или медианите) на основата (основата е правилен триъгълник).

2. Височината на правилна четириъгълна пирамида пада до пресечната точка на диагоналите на основата (основата е квадрат).

3. Височината на правилна шестоъгълна пирамида пада до точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е правилен шестоъгълник).

4. Височината на пирамидата е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в основата.

Определение

Пирамидата се нарича правоъгъленако единият му страничен ръб е перпендикулярен на равнината на основата.

Важни бележки

1. За правоъгълна пирамида ръбът, перпендикулярен на основата, е височината на пирамидата. Тоест $SR$ е височината.

2. Защото $SR$ перпендикулярно на която и да е права от основата, тогава $\триъгълник SRM, \триъгълник SRP$са правоъгълни триъгълници.

3. Триъгълници $\триъгълник SRN, \триъгълник SRK$също са правоъгълни.
Тоест всеки триъгълник, образуван от този ръб и диагоналът, излизащ от върха на този ръб, който лежи в основата, ще бъде правоъгълен.

\[(\Large(\text(Обем и повърхност на пирамидата)))\]

Теорема

Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината на пирамидата: \

Последствия

Нека $a$ е страната на основата, $h$ е височината на пирамидата.

1. Обемът на правилна триъгълна пирамида е $V_(\text(десен триъгълник pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Обемът на правилна четириъгълна пирамида е $V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h$.

3. Обемът на правилна шестоъгълна пирамида е $V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Обемът на правилния тетраедър е $V_(\текст(дясна тетра.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Теорема

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата.

\[(\Large(\text(Пресечена пирамида)))\]

Определение

Да разгледаме произволна пирамида $PA_1A_2A_3...A_n$ . Нека начертаем равнина, успоредна на основата на пирамидата през определена точка, разположена на страничния ръб на пирамидата. Тази равнина ще раздели пирамидата на два многостена, единият от които е пирамида ($PB_1B_2...B_n$), а другият се нарича пресечена пирамида($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Пресечената пирамида има две основи - многоъгълници $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$ , които са подобни един на друг.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, прекаран от някаква точка горна основакъм долната равнина.

Важни бележки

1. Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецовидни.

2. Сегментът, свързващ центровете на основите на правилна пресечена пирамида (т.е. пирамида, получена от сечение на правилна пирамида), е височината.