Обемът на пирамида с триъгълна основа. Обем на правилна пирамида
Пирамидата е многостен с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да определите коя пирамида е пред вас, достатъчно е да преброите броя на ъглите в нейната основа. Определението за "височина на пирамидата" много често се среща в задачите по геометрия в училищна програма. В статията ще се опитаме да разгледаме различни начининейното местоположение.
Части от пирамидата
Всяка пирамида се състои от следните елементи:
- странични лица, които имат три ъгъла и се събират на върха;
- апотема представлява височината, която се спуска от върха му;
- върхът на пирамидата е точка, която свързва страничните ръбове, но не лежи в равнината на основата;
- основа е многоъгълник, който не съдържа връх;
- височината на пирамидата е сегмент, който пресича върха на пирамидата и образува прав ъгъл с нейната основа.
Как да намерите височината на пирамида, ако е известен нейният обем
Чрез формулата V \u003d (S * h) / 3 (във формулата V е обемът, S е основната площ, h е височината на пирамидата), намираме, че h \u003d (3 * V) / S . За да консолидираме материала, нека незабавно да решим проблема. AT триъгълна основае 50 cm 2, докато неговият обем е 125 cm 3. Не е известна височината на триъгълната пирамида, която трябва да намерим. Тук всичко е просто: вмъкваме данните в нашата формула. Получаваме h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Как да намерите височината на пирамида, ако са известни дължината на диагонала и нейния ръб
Както си спомняме, височината на пирамидата образува прав ъгъл с нейната основа. И това означава, че височината, ръбът и половината от диагонала заедно образуват Мнозина, разбира се, помнят теоремата на Питагор. Познавайки две измерения, няма да е трудно да намерите третата стойност. Спомнете си добре познатата теорема a² = b² + c², където a е хипотенузата, а в нашия случай ръбът на пирамидата; b - първият крак или половината от диагонала и c - съответно вторият крак или височината на пирамидата. От тази формула c² = a² - b².
Сега проблемът: в правилна пирамида диагоналът е 20 см, докато дължината на ръба е 30 см. Трябва да намерите височината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Следователно c = √ 500 = около 22,4.
Как да намерите височината на пресечена пирамида
Това е многоъгълник, който има сечение, успоредно на основата си. Височината на пресечена пирамида е сегментът, който свързва двете й основи. Височината може да се намери на правилна пирамида, ако са известни дължините на диагоналите на двете основи, както и на ръба на пирамидата. Нека диагоналът на по-голямата основа е d1, докато диагоналът на по-малката основа е d2, а ръбът е с дължина l. За да намерите височината, можете да намалите височините от двете горни срещуположни точки на диаграмата до нейната основа. Виждаме, че имаме два правоъгълни триъгълника, остава да намерим дължините на краката им. За да направите това, извадете по-малкия диагонал от по-големия диагонал и разделете на 2. Така ще намерим един крак: a \u003d (d1-d2) / 2. След това, според Питагоровата теорема, трябва само да намерим втория крак, който е височината на пирамидата.
Сега нека разгледаме цялото това нещо на практика. Предстои ни задача. Пресечената пирамида има квадрат в основата, дължината на диагонала на по-голямата основа е 10 см, а на по-малката е 6 см, а ръбът е 4 см. Необходимо е да се намери височината. Като начало намираме един крак: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 см. Единият крак е 2 см, а хипотенузата е 4 см. Оказва се, че вторият крак или височина ще бъде 16- 4 \u003d 12, тоест h \u003d √12 = около 3,5 cm.
Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).
Определение. Странични ребраса общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълник.
Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.
Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата до страната на основата.
Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамидата с равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.
Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.
Обем и повърхност на пирамидата
Формула. обем на пирамидатапрез основна площ и височина:
свойства на пирамидата
Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описан кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Освен това перпендикулярът, пуснат от върха, минава през центъра на основата (окръжност).
Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под същите ъгли.
Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.
Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.
Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.
Свойства на правилната пирамида
1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.
2. Всички странични ръбове са равни.
3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.
4. Апотемите на всички странични лица са равни.
5. Площите на всички странични лица са равни.
6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.
7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.
8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.
9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.
Връзката на пирамидата със сферата
Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи многостен, около който може да се опише кръг (необходимите и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.
Около всяка триъгълна или правилна пирамида винаги може да се опише сфера.
Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.
Връзката на пирамидата с конуса
Конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.
В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни.
Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.
Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни помежду си.
Връзка на пирамида с цилиндър
Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.
Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описан кръг.
Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.
Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват тристенен ъгъл.
Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).
Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средите на противоположни ръбове, които не се допират (KL).
Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се разделят наполовина, а медианите в съотношение 3:1, като се започне от върха.
Определение. Остроъгълна пирамидае пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.
Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.
Определение. правилен тетраедър- тетраедър с четирите лица - равностранни триъгълници. Той е един от петимата правилни многоъгълници. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.
Определение. Правоъгълен тетраедъртетраедър се нарича, който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен тристенен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.
Определение. Изоедърен тетраедърТетраедър се нарича, в който страничните лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Лицата на такъв тетраедър са равнобедрени триъгълници.
Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.
Определение. звездна пирамидаПолиедър, чиято основа е звезда, се нарича.
Тук ще анализираме примери, свързани с понятието обем. За да решите такива задачи, трябва да знаете формулата за обема на пирамидата:
С
h - височината на пирамидата
Основата може да бъде произволен многоъгълник. Но в повечето задачи на изпита условието по правило е за правилните пирамиди. Нека ви припомня едно от свойствата му:
Върхът на правилната пирамида се проектира в центъра на нейната основа
Вижте проекцията на правилните триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди (ИЗГЛЕД ОТГОРЕ):
Можете в блога, където бяха разгледани задачите, свързани с намирането на обема на пирамидата.Помислете за задачите:
27087. Намерете обема на правилна триъгълна пирамида, чиято основа е равна на 1 и височината е равна на корен от три.
С- площ на основата на пирамидата
ч- височината на пирамидата
Намерете площта на основата на пирамидата, това е правилен триъгълник. Използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни по синуса на ъгъла между тях, което означава:
Отговор: 0,25
27088. Намерете височината на правилна триъгълна пирамида, чиито основни страни са 2 и чийто обем е равен на коренаот три.
Понятия като височината на пирамидата и характеристиките на нейната основа са свързани с формулата за обем:
С- площ на основата на пирамидата
ч- височината на пирамидата
Знаем самия обем, можем да намерим площта на основата, тъй като страните на триъгълника, който е основата, са известни. Познавайки тези стойности, можем лесно да намерим височината.
За да намерим площта на основата, използваме формулата - площта на триъгълника е равна на половината от произведението на съседните страни по синуса на ъгъла между тях, което означава:
По този начин, като заместим тези стойности във формулата за обем, можем да изчислим височината на пирамидата:
Височината е три.
Отговор: 3
27109. В правилния четириъгълна пирамидависочината е 6, страничният ръб е 10. Намерете неговия обем.
Обемът на пирамидата се изчислява по формулата:
С- площ на основата на пирамидата
ч- височината на пирамидата
Ние знаем височината. Трябва да намерите площта на основата. Нека ви напомня, че върхът на правилната пирамида е проектиран в центъра на нейната основа. Основата на правилната четириъгълна пирамида е квадрат. Можем да намерим неговия диагонал. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в синьо):
Отсечката, свързваща центъра на квадрата с точка В, е катет, който е равен на половината от диагонала на квадрата. Можем да изчислим този крак с помощта на Питагоровата теорема:
Така че BD = 16. Изчислете площта на квадрата, като използвате формулата за площта на четириъгълника:
Следователно:
Така обемът на пирамидата е:
Отговор: 256
27178. В правилна четириъгълна пирамида височината е 12, обемът е 200. Намерете страничния ръб на тази пирамида.
Височината на пирамидата и нейният обем са известни, така че можем да намерим площта на квадрата, който е основата. Познавайки площта на квадрат, можем да намерим неговия диагонал. Освен това, като разгледаме правоъгълен триъгълник, използвайки питагоровата теорема, изчисляваме страничния ръб:
Намерете площта на квадрата (основата на пирамидата):
Изчислете диагонала на квадрата. Тъй като площта му е 50, тогава страната ще бъде равна на корен от петдесет и според Питагоровата теорема:
Точка O разделя диагонала BD наполовина, което означава крака правоъгълен триъгълник RH = 5.
Така можем да изчислим на какво е равен страничният ръб на пирамидата:
Отговор: 13
245353. Намерете обема на пирамидата, показана на фигурата. Основата му е многоъгълник, чиито съседни страни са перпендикулярни, а един от страничните ръбове е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на 3.
Както многократно е казано - обемът на пирамидата се изчислява по формулата:
С- площ на основата на пирамидата
ч- височината на пирамидата
Страничният ръб, перпендикулярен на основата, е три, което означава, че височината на пирамидата е три. Основата на пирамидата е многоъгълник, чиято площ е:
По този начин:
Отговор: 27
27086. Основата на пирамидата е правоъгълник със страни 3 и 4. Обемът му е 16. Намерете височината на тази пирамида.
Назад напред
внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока.
Образователни: Изведете формула за изчисляване на обема на пирамида
Развитие: да развие познавателния интерес на учениците към учебните дисциплини, способността да прилагат знанията си на практика.
Образователни: култивиране на внимание, точност, разширяване на хоризонтите на учениците.
Оборудване и материали: компютър, екран, проектор, презентация „Обем на пирамидата“.
1. Фронтално проучване. Слайдове 2, 3
Какво се нарича пирамида, основа на пирамидата, ребра, височина, ос, апотема. Коя пирамида се нарича правилна, тетраедърна, пресечена пирамида?
Пирамида - многостен, състоящ се от плосък многоъгълник, точки, не лежи в равнината на този многоъгълник и всички сегменти, свързваща тази точка с точките на многоъгълника.
Тази точкаНаречен връхпирамиди, а плосък многоъгълник е основата на пирамидата. Сегменти, свързващи върха на пирамидата с върха на основата, се наричат ребра . Височинапирамиди - перпендикулярен, спусната от върха на пирамидата до равнината на основата. апотема - височина на страничния ръбправилна пирамида. Пирамидата, която в основаталъжи правилно n-ъгълник, а височина основасъвпада с фондация центърНаречен правилно n-ъгълна пирамида. ос Правилна пирамида се нарича права линия, съдържаща нейната височина. Правилната триъгълна пирамида се нарича тетраедър. Ако пирамидата се пресече от равнина, успоредна на равнината на основата, тогава тя ще отреже пирамидата, подобендадено. Останалото се нарича пресечена пирамида.
2. Извеждане на формулата за изчисляване на обема на пирамидата V=SH/3 Слайдове 4, 5, 6
1. Нека SABC е триъгълна пирамида с връх S и основа ABC.
2. Допълнете тази пирамида до триъгълна призма със същата основа и височина.
3. Тази призма е съставена от три пирамиди:
1) тази пирамида SABC.
2) пирамиди SCC 1 B 1 .
3) и пирамиди SCBB 1 .
4. Втората и третата пирамида имат равни основи CC 1 B 1 и B 1 BC и общата височина, прекарана от върха S до лицето на успоредника BB 1 C 1 C. Следователно те имат равни обеми.
5. Първата и третата пирамида също имат равни основи SAB и BB 1 S и съвпадащи височини, прекарани от върха C до лицето на успоредника ABB 1 S. Следователно те също имат равни обеми.
Това означава, че и трите пирамиди имат еднакъв обем. Тъй като сборът от тези обеми е равен на обема на призмата, обемите на пирамидите са равни на SH/3.
Обемът на всяка триъгълна пирамида е равен на една трета от площта на основата, умножена по височината.
3. Затвърдяване на нов материал. Решение на упражнения.
1) Задача № 33 от учебника A.N. Погорелов. Слайдове 7, 8, 9
От страната на основата? и страничен ръб b намерете обема на правилна пирамида, в основата на която лежи:
1) триъгълник,
2) четириъгълник,
3) шестоъгълник.
В правилната пирамида височината минава през центъра на окръжност, описана близо до основата. Тогава: (Приложение)
4. Исторически сведения за пирамидите. Слайдове 15, 16, 17
Първият наш съвременник, който установи редица необичайни явления, свързани с пирамидата, беше френският учен Антоан Бови. Изследвайки пирамидата на Хеопс през 30-те години на ХХ век, той открива, че телата на малки животни, случайно попаднали в кралската стая, са мумифицирани. Бови обясни причината за това за себе си с формата на пирамидата и, както се оказа, не сбърка. Неговата работа е в основата съвременни изследвания, в резултат на което през последните 20 години се появиха много книги и публикации, потвърждаващи, че енергията на пирамидите може да има практическо значение.
Мистерията на пирамидите
Някои изследователи твърдят, че пирамидата съдържа огромно количество информация за структурата на Вселената, Слънчевата система и човека, кодирана в нейната геометрична форма, или по-скоро под формата на октаедър, половината от който е пирамидата. Пирамидата отгоре символизира живота, отгоре надолу - смъртта, другия свят. Точно като компонентите на звездата на Давид (Magen David), където триъгълникът, насочен нагоре, символизира изкачването към Висшия разум, Бог, а триъгълникът, спуснат с върха надолу, символизира слизането на душата на Земята, материалното съществуване ...
Цифровата стойност на кода, с който е шифрована информацията за Вселената в пирамидата, числото 365, не е избрана случайно. На първо място, това е годишният жизнен цикъл на нашата планета. Освен това числото 365 се състои от три числа 3, 6 и 5. Какво означават те? Ако в слънчева системаСлънцето минава под номер 1, Меркурий - 2, Венера - 3, Земя - 4, Марс - 5, Юпитер - 6, Сатурн - 7, Уран - 8, Нептун - 9, Плутон - 10, тогава 3 е Венера, 6 - Юпитер и 5 - Марс. Следователно Земята е свързана по особен начин с тези планети. Като съберем числата 3, 6 и 5, получаваме 14, от които 1 е Слънцето, а 4 е Земята.
Числото 14 като цяло има глобално значение: по-специално структурата на човешките ръце се основава на него, общ бройфалангите на пръстите на всяка от които също са 14. Този код също е свързан със съзвездието Голяма мечка, което включва нашето Слънце и в което някога е имало друга звезда, която е унищожила Фаетон, планета, разположена между Марс и Юпитер, след което се появи в слънчевата система Плутон, а характеристиките на другите планети са се променили.
Много езотерични източници твърдят, че човечеството на Земята вече четири пъти е преживявало световна катастрофа. Третата лемурийска раса познаваше Божествената наука за Вселената, след това тази тайна доктрина беше предадена само на посветените. В началото на циклите и полуциклите на звездната година те построиха пирамидите. Бяха близо до откриването на кода на живота. Цивилизацията на Атлантида успя в много неща, но на някакво ниво на познание те бяха спрени от друга планетарна катастрофа, придружена от смяна на расите. Вероятно посветените са искали да ни предадат, че знанието за космическите закони е заложено в пирамидите...
Специални устройства под формата на пирамиди неутрализират отрицателното електромагнитно излъчване на човек от компютър, телевизор, хладилник и други домакински уреди.
В една от книгите е описан случай, когато пирамида, монтирана в интериора на автомобила, намалява разхода на гориво и намалява съдържанието на CO в отработените газове.
Семената от градински култури, отлежали в пирамиди, имаха най-добра кълняемост и добив. Публикациите дори препоръчват накисване на семената преди сеитба в пирамидална вода.
Установено е, че пирамидите имат благоприятен ефект върху екологична ситуация. Елиминирайте патогенните зони в апартаменти, офиси и крайградски зони, създавайки положителна аура.
Холандският изследовател Пол Дикенс в своята книга дава примери за лечебните свойства на пирамидите. Той забеляза, че могат да се използват за облекчаване на главоболие, болки в ставите, спиране на кървене при малки порязвания и че енергията на пирамидите стимулира метаболизма и укрепва имунната система.
В някои съвременни публикации се отбелязва, че лекарствата, съхранявани в пирамидата, съкращават курса на лечение, а превръзката, наситена с положителна енергия, насърчава заздравяването на рани.
Козметичните кремове и мехлеми подобряват ефекта си.
Напитките, включително алкохолът, подобряват вкуса си, а водата, съдържаща се в 40% водка, става лековита. Вярно е, че за да заредите стандартна бутилка от 0,5 литра с положителна енергия, ви е необходима висока пирамида.
Една вестникарска статия казва, че ако съхранявате бижута под пирамида, те се самопочистват и придобиват особен блясък, докато скъпоценните и полускъпоценните камъни натрупват положителна биоенергия и след това постепенно я предават.
Според американски учени хранителните продукти, като зърнени храни, брашно, сол, захар, кафе, чай, след като са в пирамидата, подобряват вкуса си, а евтините цигари стават като своите благородни двойници.
Може би това няма да е от значение за мнозина, но в малка пирамида старите бръснарски ножчета се самонаточват, а в голяма пирамида водата не замръзва при -40 градуса по Целзий.
Според повечето изследователи всичко това е доказателство за съществуването на енергията на пирамидите.
За 5000 години от своето съществуване пирамидите са се превърнали в своеобразен символ, който олицетворява желанието на човека да достигне върха на знанието.
5. Обобщаване на урока.
Библиография.
1) http://schools.techno.ru
2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издателство „Просвещение“.
3) Енциклопедия "Дървото на знанието" Маршал К.
Теорема.
Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината..
Доказателство:
Първо доказваме теоремата за триъгълна пирамида, след това за произволна.1. Помислете за триъгълна пирамидаOABCс обем V, оснСи височина ч. Начертайте ос о (OM2- височина), помислете за секциятаA1 B1 C1пирамиди с равнина, перпендикулярна на остаохи следователно успоредна на равнината на основата. Означаваме схточка на абсцисата М1 пресечна точка на тази равнина с оста x и презС(х)- площ на напречното сечение. Експрес С(х)през С, чи х. Обърнете внимание, че триъгълници A1 AT1 ОТ1 и ABC са подобни. Наистина А1 AT1 II AB, значи триъгълникОА 1 AT 1 подобен на триъгълник OAB. ОТследователно, НО1 AT1 : НОB=ОА 1: ОА .
правоъгълни триъгълнициОА 1 AT 1 и OAB също са сходни (имат общо остър ъгългоре O). Следователно ОА 1: ОА = О 1 М1 : OM = x: ч. По този начинНО 1 AT 1 : A B = x: ч.По същия начин е доказано, чеB1 C1:слънце = Х: чи A1 C1:AC =Х: ч.Така че триъгълникътA1 B1 C1и ABCподобни с коефициент на подобиеХ: ч.Следователно S(x): S = (x: з)² или S(x) = S x²/ ч².
Нека сега приложим основната формула за изчисляване на обемите на телата приа= 0, b=чполучаваме
Така обемът на оригиналната пирамида е 1/3Sh. Теоремата е доказана.
Последица:
Обем V на пресечена пирамида с височина h и основни площи S и S1 , се изчисляват по формулата
h - височината на пирамидата
Спри се - площ на горната основа
S по-ниско - площ на долната основа
Зареждане...