Всички лица на правилната пирамида са правилни многоъгълници. Какво ни позволява да считаме пирамидата за геометрично чудо

Учениците се натъкват на концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрия. Обвинете известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, започвайки изучаването на този прекрасен полиедър, повечето ученици вече ясно си го представят. Всички горепосочени забележителности са в правилна форма. Какво дясна пирамида, и какви свойства има и ще бъдат обсъдени допълнително.

Във връзка с

Определение

Има много определения за пирамида. От древни времена той е много популярен.

Например Евклид го определя като твърда фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Heron предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигура, която има основа и равнини под формата на триъгълници,събиращи се в една точка.

Въз основа на съвременната интерпретация пирамидата се представя като пространствен многостен, състоящ се от определен k-ъгълник и k плоски триъгълни фигури, имащи една обща точка.

Нека погледнем по-отблизо, От какви елементи се състои?

k-gon се счита за основа на фигурата;
Като страни на страничната част излизат 3-ъгълни фигури;
горната част, от която произхождат страничните елементи, се нарича връх;
всички сегменти, свързващи върха, се наричат ръбове;
ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
във всеки страничен елемент отстрани на нашия полиедър можете да начертаете перпендикуляр, наречен апотема.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи с израза k + 1.

важно!Пирамида правилна форманарича стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгълник с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много свойствакоито са уникални за нея. Нека ги изброим:

Основата е фигура с правилна форма.
Ръбовете на пирамидата, ограничаващи страничните елементи, имат равни числени стойности.
Странични елементи - равнобедрени триъгълници.
Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, като е едновременно централна точка на вписаното и описаното.
Всички странични ребра са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.
Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Благодарение на всички изброени свойства, изпълнението на изчисленията на елементите е значително опростено. Въз основа на горните свойства, обръщаме внимание на два знака:

В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните стени ще имат равни ъгли с основата.
Когато се описва окръжност около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължина и равни ъгли с основата.

Квадратът се основава

Правилна четириъгълна пирамида - многостен, базиран на квадрат.

Има четири странични лица, които изглеждат равнобедрени.

На равнина е изобразен квадрат, но те се основават на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако е необходимо да се свърже страната на квадрат с неговия диагонал, тогава се използва следната формула: диагоналът е равен на произведението на страната на квадрата и квадратния корен от две.

Въз основа на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е многостен, чиято основа е правилен 3-ъгълник.

Ако основата е правоъгълен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. В този случай трябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:

ъгълът на наклона на ребрата към всяка основа е 60 градуса;
стойността на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
всяко лице може да действа като основа;
начертани във фигурата са равни елементи.

Сечения на многостен

Във всеки полиедър има няколко вида секциисамолет. Често в училищен курс по геометрия те работят с двама:

аксиален;
паралелна основа.

Аксиално сечение се получава чрез пресичане на полиедър с равнина, която минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от линиите на пресичане с всички лица, което води до триъгълник.

внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина е успоредна на основата, тогава резултатът е втората опция. В този случай имаме в контекста фигура, подобна на основата.

Например, ако основата е квадрат, тогава сечението, успоредно на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малък размер.

При решаване на задачи при това условие се използват признаци и свойства на подобие на фигури, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на сходство.

Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя отрязва горната част на многостена, тогава в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че основите на пресечения многостен са подобни многоъгълници. В този случай страничните лица са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечен многостен, е необходимо да се начертае височината в аксиално сечение, тоест в трапец.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхността и обема на пирамида.

Има два типа повърхностна площ:

площ на страничните елементи;
цялата площ на повърхността.

От самото заглавие става ясно за какво става въпрос. Странична повърхноствключва само странични елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да изведем формулата за площта на страничните елементи:

Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотемата.
Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се сумират площите на четирите фигури Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Изразът е опростен по този начин, защото стойността 4a=POS, където POS е периметърът на основата. И изразът 1/2 * Rosn е неговият полупериметър.
И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилната пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата: Sside \u003d Rosn * L.

■ площ пълна повърхностпирамидата се състои от сумата от площите на страничните равнини и основата: Sp.p = Sстрана + Sоснова.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обем на правилна пирамидае равно на произведението от площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbase*H, където H е височината на полиедъра.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида

апотема- височината на страничната страна на правилна пирамида, която се изтегля от нейния връх (освен това апотема е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилен многоъгълник до 1 от страните му);
странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се събират на върха;
странични ребра ( КАТО , BS , CS , Д.С. ) - общи страни на страничните лица;
върха на пирамидата (срещу) - точка, която свързва страничните ръбове и която не лежи в равнината на основата;
височина ( ТАКА ) - сегмент от перпендикуляра, който се изтегля през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, което минава през върха и диагонала на основата;
база (ABCD) е многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи.

свойства на пирамидата.

1. Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава:

близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина;
освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато кръг може да бъде описан близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат еднакъв размер.

2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон към равнината на основата със същата стойност, тогава:

близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
височините на страничните лица са с еднаква дължина;
площта на страничната повърхност е ½ произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.

3. В близост до пирамидата може да се опише сфера, ако в основата на пирамидата лежи многоъгълник, около който може да се опише окръжност (необходимите и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.

4. Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.

Най-простата пирамида.

Според броя на ъглите на основата на пирамидата те се делят на триъгълни, четириъгълни и т.н.

Пирамидата ще триъгълна, четириъгълна, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълник - петоъгълник и така нататък.

Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, докоснахме темата "Пирамида". Харесахме тази тема, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашите бъдеща професияархитект, вдъхновени от тази фигура, смятаме, че тя ще може да ни тласне към страхотни проекти.

Силата на архитектурните конструкции, най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, говорим сиза онази геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометричната форма определя и здравината на архитектурната конструкция.

Египетските пирамиди отдавна се смятат за най-издръжливата архитектурна структура. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамидата гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Цел на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията и намерете практически приложения.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

Научете историческа информация за пирамидата

Разгледайте пирамидата като геометрична фигура

Намерете приложение в бита и архитектурата

Открийте приликите и разликите между пирамидите, разположени в различни частиСвета

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата е положено в древен Египет и Вавилон, но активно се развива през Древна Гърция. Първият, който установява на какво е равен обемът на пирамидата е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своето "Начала", а също така извежда първото определение на пирамидата: телесна фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробниците на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Издигането на пирамидата, в която гърците и римляните вече са виждали паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, която обрича целия народ на Египет на безсмислено строителство, е най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистичната идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата в свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известно е и за специалните култови почести, които се оказват самата пирамида.

Основни понятия

ПирамидаНарича се полиедър, основата на който е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх.

апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх;

Странични лица- триъгълници, събиращи се на върха;

Странични ребра- общи страни на страничните лица;

върха на пирамидата- точка, свързваща страничните ръбове и не лежаща в равнината на основата;

Височина- сегмент от перпендикуляр, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основните свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Площта на страничната и пълната повърхност на пирамидата.

Площта на страничната повърхност на пирамидата (пълна и пресечена) е сумата от площите на всички нейни странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всички нейни лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- периметър на основата;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

p1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща площ на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S1 + S2- основна площ

Обем на пирамидата

форма Обемната скала се използва за пирамиди от всякакъв вид.

зе височината на пирамидата.

Ъгли на пирамидата

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Наричат се ъглите, образувани от страничен ръб и неговата проекция върху равнината на основата ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от две странични лица, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, който се образува от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Раздели на пирамидата

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, така че сечението на пирамидата, дадено от секущата равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонално сечение

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамида- пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

В правилната пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенните ъгли в основата са равни

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица

Пресечена пирамида- частта от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечената пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е център на основата, SO=8 см, BD=30 см. Намерете страничния ръб SA.

Решаване на проблеми

номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.

Да разгледаме OSB: OSB-правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамида - монументална структура под формата на обикновен правилен геометрична пирамида, при което страните се събират в една точка. Според функционалното предназначение пирамидите в древността са били място за погребение или поклонение. Основата на пирамидата може да бъде триъгълна, четириъгълна или многоъгълна с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Значителен брой пирамиди са известни, построени различни култури древен святпредимно като храмове или паметници. Най-големите пирамиди са египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Пирамидалните сгради напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетски пирамидинай велик архитектурни паметници древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м.

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. Освен офиси и сервизни помещения, вътре в обема има доста просторен концертна зала, който има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който „е мълчалив и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-големият музеймир. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.

Тук е събрана основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за изпита.

Помислете за равнина, многоъгълник лежаща в нея и точка S, която не лежи в нея. Свържете S към всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат странични ръбове. Многоъгълникът се нарича основа, а точката S се нарича връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълната пирамида - тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, прекаран от нейния връх към основната равнина.

Пирамидата се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на височината на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на преподавателя:
Не бъркайте понятието "правилна пирамида" и "правилен тетраедър". В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба на ръбовете са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага, че центърът P на многоъгълника с основа на височина, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.

Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Преподавател по математика за неговата терминология: работата с пирамиди е 80% изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA

За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да назове първия от тях апотема, и второ крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формула за обем на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера и е общата повърхност на пирамидата.
3) , където MN е разстоянието на всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.

Основно свойство на височината на пирамидата:

Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени

Коментар на учителя по математика: имайте предвид, че всички елементи са обединени от един обща собственост: по един или друг начин страничните лица участват навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна формулировка за запаметяване: точката P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични лица. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички апотемични триъгълници са равни.

Точката P съвпада с центъра на описаната окръжност близо до основата на пирамидата, ако е вярно едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината

Концепция за пирамида

Определение 1

Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).

Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните стени на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.

Видове пирамиди

В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да бъде наречена триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).

Фигура 2.

Друг вид пирамида е правилната пирамида.

Нека въведем и докажем свойството на правилната пирамида.

Теорема 1

Всички странични лица на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си.

Доказателство.

Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ с височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).

Фигура 4

Да разгледаме триъгълника $SOA$. По Питагоровата теорема получаваме

Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Сега въвеждаме следното определение, свързано с концепцията за правилна пирамида.

Определение 3

Апотемата на правилната пирамида е височината на страничната й страна.

Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.

Теорема 2

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида с $a$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като според теорема 1 всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Друг вид пирамида е пресечената пирамида.

Определение 4

Ако през обикновена пирамида се прекара равнина, успоредна на нейната основа, то фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Фигура 5. Пресечена пирамида

Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида се определя като произведението на сумата от полупериметрите на основите и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако тя е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.

Решение.

По теоремата за средната линия получаваме това горна основана пресечената пирамида е $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тогава по теорема 3 получаваме