При решаването на задача C2 с помощта на координатния метод много ученици се сблъскват със същия проблем. Те не могат да пресметнат координати на точкивключени във формулата точков продукт. Най-големите трудности са пирамиди. И ако базовите точки се считат за повече или по-малко нормални, тогава върховете са истински ад.

Днес ще се занимаваме с правилна четириъгълна пирамида. Има и триъгълна пирамида (известна още като тетраедър). Това е по-сложен дизайн, така че ще му бъде посветен отделен урок.

Да започнем с определението:

Правилна пирамида е тази, в която:

1. В основата лежи правилен многоъгълник: триъгълник, квадрат и др.;
2. Височината, начертана към основата, минава през нейния център.

По-специално основата четириъгълна пирамидае квадрат. Точно като Хеопс, само че малко по-малък.

По-долу са изчисленията за пирамида с всички ръбове, равни на 1. Ако случаят във вашия проблем не е такъв, изчисленията не се променят - просто числата ще бъдат различни.

Върхове на четириъгълна пирамида

И така, нека е дадена правилна четириъгълна пирамида SABCD, където S е върха, основата на ABCD е квадрат. Всички ребра са равни на 1. Необходимо е да се въведе координатна система и да се намерят координатите на всички точки. Ние имаме:

Въвеждаме координатна система с начало в точка А:

1. Оста OX е насочена успоредно на ръба AB ;
2. Оста OY - успоредна на AD . Тъй като ABCD е квадрат, AB ⊥ AD ;
3. Накрая, оста OZ е насочена нагоре, перпендикулярна на равнината ABCD.

Сега разглеждаме координатите. Допълнителна конструкция: SH - височина изтеглена към основата. За удобство ще извадим основата на пирамидата в отделна фигура. Тъй като точките A , B , C и D лежат в равнината OXY, тяхната координата е z = 0. Имаме:

1. A = (0; 0; 0) - съвпада с началото;
2. B = (1; 0; 0) - стъпка по 1 по оста OX от началото;
3. C = (1; 1; 0) - стъпка с 1 по оста OX и с 1 по оста OY;
4. D = (0; 1; 0) - стъпка само по оста OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - центърът на квадрата, средата на сегмента AC.

Остава да намерим координатите на точка S. Обърнете внимание, че координатите x и y на точките S и H са еднакви, защото лежат на права линия, успоредна на оста OZ. Остава да намерим координатата z за точка S .

Помислете за триъгълници ASH и ABH:

1. AS = AB = 1 по условие;
2. Ъгъл AHS = AHB = 90°, тъй като SH е височината и AH ⊥ HB като диагонали на квадрат;
3. Страна АХ - общ.

Следователно правоъгълни триъгълници ASH и ABH равенедин катет и една хипотенуза. Така че SH = BH = 0,5 BD. Но BD е диагоналът на квадрат със страна 1. Следователно имаме:

Общи координати на точка S:

В заключение, записваме координатите на всички върхове на правилна правоъгълна пирамида:

Какво да правите, когато ребрата са различни

Но какво ще стане, ако страничните ръбове на пирамидата не са равни на ръбовете на основата? В този случай разгледайте триъгълника AHS:

Триъгълник AHS- правоъгълен, а хипотенузата AS също е страничен ръб на оригиналната пирамида SABCD . Кракът AH се разглежда лесно: AH = 0,5 AC. Намерете оставащия крак SH според Питагоровата теорема. Това ще бъде z координатата за точка S.

Задача. Дадена е правилна четириъгълна пирамида SABCD , в основата на която лежи квадрат със страна 1. Страничен ръб BS = 3. Намерете координатите на точката S .

Вече знаем координатите x и y на тази точка: x = y = 0,5. Това следва от два факта:

1. Проекцията на точка S върху равнината OXY е точката H;
2. В същото време точката H е центърът на квадрата ABCD, всички страни на който са равни на 1.

Остава да се намери координатата на точка S. Да разгледаме триъгълника AHS. Той е правоъгълен, като хипотенузата AS = BS = 3, катетът AH е половината от диагонала. За по-нататъшни изчисления се нуждаем от неговата дължина:

Питагорова теорема за триъгълник AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Ние имаме:

И така, координатите на точката S:

Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребраса общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълник.

Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата до страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамидата с равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност, а центърът на основата съвпада с центъра на окръжността. Освен това перпендикулярът, пуснат от върха, минава през центъра на основата (окръжност).

Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под същите ъгли.

Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако около основата на пирамидата може да се опише кръг.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилната пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката на пирамидата със сферата

Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи многостен, около който може да се опише кръг (необходимите и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Около всякакви триъгълни или правилна пирамидавинаги може да се опише сфера.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Връзката на пирамидата с конуса

Конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни помежду си.

Връзка на пирамида с цилиндър

Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност.

Определение. Пресечена пирамида (пирамидална призма)- Това е многостен, който се намира между основата на пирамидата и секционна равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните лица са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)- това е пирамида, в която три лица и основа са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват тристенен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средите на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се разделят наполовина, а медианите в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която едно от страничните лица е перпендикулярно на основата.

Определение. Остроъгълна пирамидае пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. правилен тетраедърТетраедър, чиито четири лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилен тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (при връх) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедъртетраедър се нарича, който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен тристенен ъгъли ръбовете са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърнаречен тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правоъгълен триъгълник. Такъв тетраедър има лица равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. звездна пирамидаПолиедър, чиято основа е звезда, се нарича.

Определение. Бипирамида- многостен, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отрязани), имащи обща основа, а върховете лежат на противоположните страни на основната равнина.

Концепция за пирамида

Определение 1

Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).

Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните стени на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.

Видове пирамиди

В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да бъде наречена триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).

Фигура 2.

Друг вид пирамида е правилната пирамида.

Нека въведем и докажем свойството на правилната пирамида.

Теорема 1

Всички странични лица на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си.

Доказателство.

Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ с височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).

Фигура 4

Да разгледаме триъгълника $SOA$. По Питагоровата теорема получаваме

Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Сега въвеждаме следното определение, свързано с концепцията за правилна пирамида.

Определение 3

Апотемата на правилната пирамида е височината на страничната й страна.

Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.

Теорема 2

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида с $a$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като според теорема 1 всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Друг вид пирамида е пресечената пирамида.

Определение 4

Ако през обикновена пирамида се прекара равнина, успоредна на нейната основа, то фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Фигура 5. Пресечена пирамида

Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида се определя като произведението на сумата от полупериметрите на основите и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако тя е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.

Решение.

По теоремата за средната линия получаваме това горна основана пресечената пирамида е $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тогава, съгласно теорема 3, получаваме

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едно от лицата на което е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Сечение на пирамидата се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сумата от площите на всички странични лица. ■ площ пълна повърхност е сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За изчисляване на обема на произволна пирамида е правилна формулата:

където V- сила на звука;

S основен- основна площ;

зе височината на пирамидата.

За правилна пирамида са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

з а- апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S основен- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданаречена част от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. диагонално сечение Сечение на пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни формулите:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долни бази;

S пълене общата площ на повърхността;

S странае площта на страничната повърхност;

з- височина;

Vе обемът на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - базови периметри;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В дясно триъгълна пирамидадвустенният ъгъл при основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Правилна е пирамидата, значи в основата равностранен триъгълники всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи ОВ. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Олинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на квадратите на основата, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 cm3.

Пример 3Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Базите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го откъде НО 1 дперпендикулярно от точка НО 1 на равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от НО 1 на AC. НО 1 д\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). Точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDе равна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Според теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка Ое център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или По Питагоровата теорема имаме