Примери за правило на L'hopital. Онлайн калкулатор Решаване на граници
Оповестяване на несигурности под формата 0/0 или ∞/∞ и някои други несигурности, които възникват при изчислението лимитвръзката на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е значително опростена с помощта на правилото на L'Hospital (всъщност две правила и забележки към тях).
същност правилата на L'Hospital е, че в случая, когато изчисляването на границата на съотношенията на две безкрайно малки или безкрайно големи функции дава несигурност от формата 0/0 или ∞/∞, границата на съотношението на две функции може да бъде заменена с границата на съотношението на техните производнии по този начин да получите определен резултат.
Да преминем към формулирането на правилата на L'Hopital.
Правилото на L'Hopital за случай на граница на две безкрайно малки стойности. Ако функции f(х) и ж(х аа, и в този квартал ж"(х аравни един на друг и равни на нула
().
Правилото на L'Hôpital за случая на границата на две е безкрайно големи количества . Ако функции f(х) и ж(х) са диференцируеми в някаква околност на точката а, с възможното изключение на точката а, и в този квартал ж"(х)≠0 и ако и ако границите на тези функции като x клонят към стойността на функцията в точката аравни един на друг и равни до безкрайност
(),
тогава границата на отношението на тези функции е равна на границата на отношението на техните производни
().
С други думи, за несигурности от формата 0/0 или ∞/∞, границата на съотношението на две функции е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува (крайно или безкрайно).
Забележки.
1. Правилата на L'Hopital са приложими и когато функциите f(х) и ж(х) не са дефинирани в х = а.
2. Ако при изчисляване на границата на отношението на производните на функциите f(х) и ж(х) отново стигаме до несигурност от формата 0/0 или ∞/∞, тогава правилата на L'Hopital трябва да се прилагат многократно (поне два пъти).
3. Правилата на L'Hopital са приложими и когато аргументът на функциите (x) клони към некрайно число а, и до безкрайност ( х → ∞).
Несигурностите от други видове също могат да бъдат сведени до несигурности от типа 0/0 и ∞/∞.
Разкриване на несигурности от типа "нула, разделена на нула" и "безкрайност, разделена на безкрайност"
Пример 1
х=2 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно, производната на всяка функция и ние получаваме
В числителя се изчислява производната на полинома, а в знаменателя - производна на комплексна логаритмична функция. Преди последния знак за равенство, обичайното лимит, замествайки двойка вместо x.
Пример 2Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hopital:
Решение. Заместване във функция с дадена стойност х
Пример 3Изчислете границата на съотношението на две функции, като използвате правилото на L'Hopital:
Решение. Заместване във функция с дадена стойност х=0 води до неопределеност на формата 0/0. Следователно изчисляваме производните на функциите в числителя и знаменателя и получаваме:
Пример 4Изчисли
Решение. Заместването на стойността на x, равна на плюс безкрайност, в дадена функция води до неопределеност под формата ∞/∞. Затова прилагаме правилото на L'Hopital:
Коментирайте. Нека да преминем към примери, в които правилото на L'Hopital трябва да се приложи два пъти, тоест да се стигне до границата на съотношението на вторите производни, тъй като границата на съотношението на първите производни е несигурност на формата 0/0 или ∞/∞.
Приложете сами правилото на L'Hopital и след това вижте решението
Разкриване на несигурности от формата "нула, умножена по безкрайност"
Пример 12Изчисли
.
Решение. Получаваме
Този пример използва тригонометричната идентичност.
Разкриване на несигурности от типа "нула на степен нула", "безкрайност на степен нула" и "един на степен безкрайност"
Несигурностите на формата или обикновено се редуцират до формата 0/0 или ∞/∞, като се използва логаритъм на функция от формата
За да се изчисли границата на израза, трябва да се използва логаритмичното тъждество, чийто специален случай е свойството на логаритъма .
Като се използва логаритмичната идентичност и свойството за непрекъснатост на функцията (за преминаване отвъд знака на границата), границата трябва да се изчисли, както следва:
Отделно трябва да се намери границата на израза в експонента и да се изгради ддо намерената степен.
Пример 13
Решение. Получаваме
.
.
Пример 14Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital
Решение. Получаваме
Изчислете границата на израза в степента
.
.
Пример 15Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital
Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда изчисляване на границата на функцията. програма ограничителни решенияне само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва напредъка на изчисляването на лимита.
Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищапри подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.
Въведете функционален изразИзчислете лимита
Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...
Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Границата на функцията при x-> x 0
Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Вземете от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаващи се към x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се постави въпросът за съществуването на неговата граница.
Определение. Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката x \u003d x 0 (или в x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x която се свежда до x 0, различна от x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.
Има и друга дефиниция на границата на функция.
ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0 \) съществува число \(\delta > 0 \), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващ неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Първата дефиниция се основава на понятието за граница числова последователност, поради което често се нарича дефиниция на „езика на последователността“. Втората дефиниция се нарича дефиниция на "език \(\varepsilon - \delta \)".
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях, в зависимост от това коя е по-удобна за решаване на конкретен проблем.
Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)” се нарича още дефиниция на границата на функция според Коши.
Функционална граница при x->x 0 - и при x->x 0 +
В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.
ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки) от x 0 , съответната последователност (2) се сближава с A.
Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Може да се даде еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция "на езика \(\varepsilon - \delta \)":
Определениечислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0 \) съществува \(\delta > 0 \), така че за всички x, удовлетворяващи неравенствата \(x_0 Символни записи:
Представете си стадо врабчета с изпъкнали очи. Не, това не е гръм, не е ураган и дори не е малко момче с прашка в ръце. Просто огромно, огромно гюле лети в гъстотата на мацките. Точно лопитал правиласправят се с границите, в които има несигурност или .
Правилата на L'Hopital са много мощен метод, който ви позволява бързо и ефективно да премахнете тези несигурности, неслучайно в сборниците със задачи, на контролна работа, компенсации, често се среща стабилен печат: „изчислете границата, без да използвате правилото на L'Hopital". Изискването с удебелен шрифт може да се припише с чиста съвест на всяко ограничение на уроците Ограничения. Примери за решения, Забележителни граници. Методи за решаване на граници, Забележителни еквивалентности, където възниква несигурността "нула към нула" или "безкрайност към безкрайност". Дори ако задачата е формулирана накратко - "изчислете границите", тогава имплицитно се разбира, че ще използвате всичко, което искате, но не и правилата на L'Hospital.
Правилата са общо две и те много си приличат, както по същество, така и по начина, по който се прилагат. В допълнение към преките примери по темата, ще изучаваме и допълнителен материал, което ще бъде полезно в хода на по-нататъшно проучване математически анализ.
Веднага ще направя резервация, че правилата ще бъдат дадени в сбита „практическа“ форма и ако трябва да преминете теорията, препоръчвам ви да се обърнете към учебника за по-строги изчисления.
Първото правило на L'Hospital
Помислете за функциите, които безкрайно малъкв някакъв момент. Ако има граница на връзката им, тогава, за да премахнем несигурността, можем да вземем две производни- от числителя и от знаменателя. при което: , това е .
Забележка : ограничението също трябва да съществува, в противен случай правилото не важи.
Какво следва от горното?
Първо, трябва да можете да намерите производни на функцииИ колкото по-добре, толкова по-добре =)
Второ, производните се вземат ОТДЕЛНО от числителя и ОТДЕЛНО от знаменателя. Моля, не бъркайте с правилото за диференциране на частното !!!
И, трето, "x" може да се стреми навсякъде, включително до безкрайност - само ако имаше несигурност.
Да се върнем към пример 5 от първата статия относно границите, което доведе до следния резултат:
При несигурност 0:0 прилагаме първото правило на L'Hopital:
Както можете да видите, диференцирането на числителя и знаменателя ни доведе до отговора с половин оборот: намерихме две прости производни, заместихме „две“ в тях и се оказа, че несигурността изчезна безследно!
Не е необичайно правилата на L'Hopital да се прилагат последователно две или голямо количествопъти (това важи и за второто правило). Нека го извадим за една ретро вечер Пример 2 урока за прекрасни граници:
Две франзели се охлаждат отново на двуетажното легло. Нека приложим правилото на L'Hospital:
Моля, обърнете внимание, че в първата стъпка се взема знаменателят производна на сложна функция. След това извършваме редица междинни опростявания, по-специално се отърваваме от косинуса, което показва, че той клони към единица. Несигурността не е елиминирана, така че отново прилагаме правилото на L'Hopital (втори ред).
Специално избрах не най-лесния пример, за да направите малко самопроверка. Ако не е съвсем ясно как са открити производни, трябва да засилите техниката си на диференциране, ако не разбирате трика с косинуса, моля, върнете се на прекрасни граници. Не виждам много смисъл от коментари стъпка по стъпка, тъй като вече говорих за деривати и лимити достатъчно подробно. Новостта на статията се крие в самите правила и някои технически решения.
Както вече беше отбелязано, в повечето случаи не е необходимо да се използват правилата на L'Hopital, но често е препоръчително да ги използвате за груба проверка на решението. Често, но не винаги. Така например е много по-изгодно да проверите примера, който току-що смятате да използвате прекрасни еквиваленти.
Второто правило на L'Hospital
Брат-2 се бие с две спящи осмици. По същия начин:
Ако има граница на отношението безкрайно голямвъв функционалната точка: , тогава, за да елиминираме несигурността, можем да вземем две производни– ОТДЕЛЕН от числителя и ОТДЕЛЕН от знаменателя. при което: , това е при диференциране на числителя и знаменателя стойността на границата не се променя.
Забележка : ограничението трябва да съществува
Отново в различни практически примери стойността може да бъде различна, включително безкрайно. Важно е да има несигурност.
Нека проверим Пример №3 от първия урок: . Използваме второто правило на L'Hospital:
Тъй като говорим за гиганти, нека анализираме две канонични ограничения:
Пример 1
Изчислете лимита
Не е лесно да се получи отговор чрез „конвенционални“ методи, следователно, за да разкрием несигурността „безкрайност до безкрайност“, използваме правилото на L'Hopital:
По този начин, линейна функцияпо-висок ред на нарастване от логаритъм с основа, по-голяма от единица(и др.). Разбира се, "x" в по-високи степени също ще "дърпа" такива логаритми. Действително функцията расте доста бавно и нейната графике по-нежен спрямо същия "х".
Пример 2
Изчислете лимита
Още една избеляла рамка. За да елиминираме несигурността, ние използваме правилото на L'Hopital, освен това два пъти подред:
Експоненциална функция, с основа по-голяма от единица(и др.) по-висок ред на растеж от степенна функцияс положителна степен.
Подобни ограничения се срещат по време на пълно функционално изследване, а именно при намиране асимптота на графики. Виждат се и в някои задачи на теория на вероятностите. Съветвам ви да вземете под внимание двата разгледани примера, това е един от малкото случаи, когато няма нищо по-добро от разграничаването на числителя и знаменателя.
По-нататък в текста няма да правя разлика между първо и второ правило на L'Hopital, това е направено само с цел структуриране на статията. Като цяло, от моя гледна точка, е донякъде вредно да се преумножават математическите аксиоми, теореми, правила, свойства, тъй като фрази като „съгласно следствие 3 съгласно теорема 19 ...“ са информативни само в рамките на една или друг учебник. В друг източник на информация същото би било "следствие 2 и теорема 3". Такива твърдения са формални и удобни само за самите автори. В идеалния случай е по-добре да се обърнете към същността на даден математически факт. Изключение правят исторически установените термини, напр. първата прекрасна границаили втора прекрасна граница.
Продължаваме да развиваме темата, която ни подхвърли членът на Парижката академия на науките маркиз Гийом Франсоа дьо Лопитал. Артикулът придобива подчертано практично оцветяване и в доста често срещана задача се изисква:
За да се загреем, нека се справим с няколко малки врабчета:
Пример 3
Границата може да бъде предварително опростена, като се отървем от косинуса, но ние ще покажем уважение към условието и веднага ще разграничим числителя и знаменателя:
Няма нищо нестандартно в процеса на намиране на производни, например се използва обичайният знаменател правило за диференцираневърши работа .
Разглежданият пример е унищожен и чрез прекрасни граници, подобен случай е разгледан в края на статията Комплексни граници.
Пример 4
Изчислете границата според правилото на L'Hopital
Това е пример за „направи си сам“. Добра шега =)
Типична ситуация е, когато след диференциране се получават три- или четириетажни фракции:
Пример 5
Изчислете лимита, като използвате правилото на L'Hospital
Моли за кандидатстване забележителна еквивалентност, но пътят е твърдо кодиран от условие:
След диференциацията силно препоръчвам да се отървете от многоетажната фракция и да извършите максимални опростявания. Разбира се, по-напредналите могат да пропуснат последна стъпкаи веднага напишете: , но в някои граници дори отличниците ще се объркат.
Пример 6
Изчислете лимита, като използвате правилото на L'Hospital
Пример 7
Изчислете лимита, като използвате правилото на L'Hospital
Това са примери за самопомощ. В пример 7 не можете да опростите нищо, оказва се твърде просто след диференциране на дробта. Но в пример 8, след прилагане на правилото на L'Hopital, е много желателно да се отървете от триетажната конструкция, тъй като изчисленията няма да бъдат най-удобните. Пълно решение и отговор в края на урока. Ако има проблеми - тригонометрична таблицада помогна.
И опростяванията са абсолютно необходими, когато след диференциацията несигурността не е елиминиран.
Пример 8
Изчислете лимита, като използвате правилото на L'Hospital
Отивам:
Интересното е, че първоначалната несигурност след първото диференциране се превърна в несигурност и правилото на L'Hôpital спокойно се прилага по-нататък. Също така забележете как след всеки "подход" четириетажната част се елиминира и константите се изваждат от знака за граница. В повече прости примерипо-удобно е да не изваждаме константи, но когато границата е сложна, опростяваме всичко-всичко-всичко. Коварството на разгадания пример се състои и в това, че когато , но следователно, в хода на елиминирането на синусите, не е изненадващо да се объркате в знаците. В предпоследния ред синусите не можеха да бъдат убити, но примерът е доста тежък, простимо.
Онзи ден попаднах на интересна задача:
Пример 9
Честно казано, малко се съмнявах на какво ще бъде равен този лимит. Както беше показано по-горе, "x" е повече висок редрастеж от логаритъма, но ще превъзхожда ли кубичния логаритъм? Опитайте се сами да разберете кой ще спечели.
Да, правилата на L'Hopital са не само стрелба по врабчета от оръдие, но и усърдна работа....
За да се приложат правилата на L'Hôpital към гевреци или уморени осмици, несигурността на формата е намалена.
Справянето с несигурността е обсъдено подробно в Примери #9-13 от урока. Методи за решаване на граници. Нека да вземем още един само заради това:
Пример 10
Изчислете границата на функция, като използвате правилото на L'Hopital
На първата стъпка привеждаме израза към общ знаменател, като по този начин превръщаме несигурността в несигурност. И тогава зареждаме правилото на L'Hopital:
Тук, между другото, е случаят, когато е безсмислено да се докосваме до четириетажния израз.
Несигурността също не се съпротивлява да се превърне в или:
Пример 11
Изчислете границата на функция, като използвате правилото на L'Hopital
Ограничението тук е едностранно и такива ограничения вече са обсъдени в ръководството Графики и свойства на функциите. Както си спомняте, графиката на "класическия" логаритъм не съществува отляво на оста, така че можем да се доближим до нулата само отдясно.
Правилата на L'Hôpital за едностранни ограничения работят, но първо трябва да се справим с несигурността. На първата стъпка правим фракцията триетажна, получавайки несигурността, след което решението следва схемата на шаблона:
След диференциране на числителя и знаменателя, ние се отърваваме от четириетажната дроб, за да направим опростения. В резултат на това се появи несигурност. Повтаряме трика: отново правим фракцията триетажна и отново прилагаме правилото на L'Hopital към получената несигурност:
Готов.
Човек може да се опита да намали първоначалния лимит до две понички:
Но, първо, производната в знаменателя е по-трудна и второ, нищо добро няма да излезе от това.
По този начин, преди да решите подобни примери, трябва да анализирате(устно или на чернова) ДО КАКВО несигурността е по-изгодно да се намали - до „нула до нула“ или до „безкрайност до безкрайност“.
На свой ред другарите по пиене и по-екзотичните другари се изтеглят към светлината. Методът на трансформация е прост и стандартен.
Правилото казва, че ако функциите f(х) и ж(х) имат следния набор от условия:
тогава има . Освен това теоремата е вярна и за други основи (доказателството ще бъде дадено за посочения).
История
Метод за разкриване на този вид несигурност е публикуван от Лопитал в неговия труд „Анализ на безкрайно малките“, публикуван през годината. В предговора към този труд Лопитал посочва, че е използвал откритията на Лайбниц и братя Бернули без никакво колебание и „няма нищо против те да показват авторските си права върху каквото си искат“. Йохан Бернули предявява претенции към цялата работа на L'Hospital и по-специално, след смъртта на L'Hospital, той публикува работа под забележителното заглавие „Подобряване на моя метод, публикуван в Infinitesimal Analysis за определяне на стойността на дроб, числител и знаменател от които понякога изчезват", .
Доказателство
Съотношението на безкрайно малките
Нека докажем теоремата за случая, когато границите на функциите са равни на нула (така наречената несигурност на формата ).
Тъй като разглеждаме функциите fи жсамо в дясната пунктирана полуоколност на точката а, можем непрекъснато да ги предефинираме в този момент: нека f(а) = ж(а) = 0 . Да вземем малко хот разглежданата полуоколност и приложете теоремата на Коши към отсечката. По тази теорема получаваме:
![](https://i2.wp.com/dic.academic.ru/pictures/wiki/files/57/9ca452ab9c181d7cc25cfee718cbd4f9.png)
но f(а) = ж(а) = 0
, Ето защо .
src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> за крайна граница и src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d4d1be40366d4.png" border="0"> за безкрайност ,
което е дефиницията на границата на съотношението на функциите.
Съотношението на безкрайно
Нека докажем теоремата за несигурности от формата .
Нека като за начало границата на съотношението на производните е крайна и равна на А. Тогава, докато се стремите хда се аотдясно тази връзка може да бъде записана като А+ α , където α - (1). Нека напишем това условие:
.Да се оправим Tот сегмента и приложете теоремата на Коши към всички хот сегмента:
, което може да се доведе до следната форма:![](https://i2.wp.com/dic.academic.ru/pictures/wiki/files/55/7f8de6d8d1b44ba9f9d65aef6b3d00e1.png)
За х, достатъчно близо до а, изразът има смисъл; границата на първия фактор от дясната страна е равна на едно (тъй като f(T) и ж(T) са константи и f(х) и ж(х) отидете до безкрайност). Следователно този фактор е равен на 1 + β, където β е безкрайно малка функция като хда се ана дясно. Записваме дефиницията на този факт, използвайки същата стойност като в дефиницията за α:
.Установихме, че съотношението на функциите може да бъде представено във формата (1 + β)( А+ α) и . За всеки даден може да се намери такъв, че модулът на разликата между съотношенията на функциите и Абеше по-малко, което означава, че границата на съотношението на функциите наистина е равна на А
.
Ако границата Ае безкрайно (да кажем, че е равно на плюс безкрайност), тогава
(x))(g"(x))>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.
В дефиницията на β ще вземем ; първият фактор от дясната страна ще бъде по-голям от 1/2, когато х, достатъчно близо до а, а след това src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.
За други бази доказателствата са подобни на дадените.
Примери
![](https://i0.wp.com/dic.academic.ru/pictures/wiki/files/48/0c4f4ba690b5619ba0894853c057261b.png)
(Само ако числителят и знаменателят И ДВАТА клонят към 0 ; или ; или .)
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е "правилото на L'Hopital" в други речници:
Исторически неправилно наименование на едно от основните правила за разкриване на несигурности. L. p. е открит от I. Bernoulli и докладван от него на G. L'Hopital (вижте L'Hopital), който публикува това правило през 1696 г. Вижте Неопределени изрази ... Велика съветска енциклопедия
Разкриване на неопределеността на формата чрез намаляване на границата на съотношението на функциите до границата на съотношението на производните на разглежданите функции. И така, за случая, когато реалните функции f и g са дефинирани в пунктиран десен квартал на числова точка ... ... Математическа енциклопедия
Правилото на Бернули Л'Хоспитал е метод за намиране на границите на функциите, разкриващи несигурности на формата u. Теоремата, обосноваваща метода, гласи, че при определени условия границата на съотношението на функциите е равна на границата на съотношението на техните производни. ... ... Wikipedia
В математическия анализ правилото на L'Hopital е метод за намиране на границите на функции, разкриващи несигурности от формата 0 / 0 и. Теоремата, обосноваваща метода, гласи, че при определени условия границата на съотношението на функциите е равна на границата ... ... Wikipedia
В математическия анализ правилото на L'Hopital е метод за намиране на границите на функции, разкриващи несигурности от формата 0 / 0 и. Теоремата, обосноваваща метода, гласи, че при определени условия границата на съотношението на функциите е равна на границата ... ... Wikipedia