Условна крайност.

Екстремуми на функция на няколко променливи

Метод на най-малките квадрати.

Локален екстремум FNP

Нека функцията и= f(P), RÎDÌR ни нека точката Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) –вътрешниточка на множество D.

Определение 9.4.

1) Точката P 0 се нарича максимална точка функции и= f(P), ако съществува околност на тази точка U(P 0) Ì D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , условието f(P) £ f(P0) . Значение f(P 0) функции в максималната точка се извиква максимална функция и означено f(P 0) = макс f(P) .

2) Точката P 0 се нарича минимална точка функции и= f(P), ако съществува околност на тази точка U(P 0)Ì D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , условието f(P)³ f(P0) . Значение f(P 0) функции в минималната точка се извиква функционален минимум и означено f(P 0) = мин f(P).

Точките на минимум и максимум на функция се наричат крайни точки, се извикват стойностите на функцията в екстремалните точки екстремуми на функцията.

Както следва от определението, неравенствата f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) трябва да се изпълнява само в определена околност на точката Р 0, а не в цялата област на функцията, което означава, че функцията може да има няколко екстремума от един и същи тип (няколко минимума, няколко максимума). Следователно дефинираните по-горе екстремуми се наричат местен(локални) крайности.

Теорема 9.1 (необходимо условие за екстремума на FNP)

Ако функцията и= f(х 1 , х 2 , ..., x n) има екстремум в точката P 0 , тогава неговите частни производни от първи ред в тази точка са или равни на нула, или не съществуват.

Доказателство.Нека в точката Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) функция и= f(P) има екстремум, като максимум. Нека оправим аргументите х 2 , ..., x n, поставяне х 2 =а 2 ,..., x n = a p. Тогава и= f(P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., a p) е функция на една променлива хедин . Тъй като тази функция има х 1 = а 1 екстремум (максимум), тогава f 1 ¢=0 или не съществува, когато х 1 =а 1 (необходимо условие за съществуването на екстремум на функция на една променлива). Но , тогава или не съществува в точката P 0 - точката на екстремума. По подобен начин можем да разгледаме частични производни по отношение на други променливи. CHTD.

Точките от областта на функцията, в които частните производни от първи ред са равни на нула или не съществуват, се наричат критични точки тази функция.

Както следва от теорема 9.1, екстремалните точки на FNP трябва да се търсят сред критичните точки на функцията. Но що се отнася до функция на една променлива, не всяка критична точкае екстремната точка.

Теорема 9.2

Нека Р 0 е критична точка на функцията и= f(P) и е диференциал от втори ред на тази функция. Тогава

какво ако д 2 u(P 0) > 0 за , то Р 0 е точка минимумфункции и= f(P);

б) ако д 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумфункции и= f(P);

в) ако д 2 u(P 0) не е дефиниран със знак, тогава P 0 не е точка на екстремум;

Разглеждаме тази теорема без доказателство.

Имайте предвид, че теоремата не разглежда случая, когато д 2 u(P 0) = 0 или не съществува. Това означава, че въпросът за наличието на екстремум в точка P 0 при такива условия остава отворен - необходими са допълнителни изследвания, например изследване на увеличението на функцията в тази точка.

В по-подробни курсове по математика е доказано, че по-специално за функцията z = f(х,г) на две променливи, чийто диференциал от втори ред е сбор от формата

изследването на наличието на екстремум в критичната точка Р 0 може да бъде опростено.

Означаваме , , . Съставете определителя

.

Оказа се:

д 2 z> 0 в точката P 0 , т.е. P 0 - минимална точка, ако А(P 0) > 0 и D(P 0) > 0;

д 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ако D(P 0)< 0, то д 2 zв близост до точката Р 0 сменя знака и в точката Р 0 няма екстремум;

ако D(Р 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания на функцията в близост до критичната точка Р 0.

По този начин, за функцията z = f(х,г) две променливи, имаме следния алгоритъм (да го наречем "алгоритъм D") за намиране на екстремума:

1) Намерете областта на дефиницията D( f) функции.

2) Намерете критични точки, т.е. точки от D( f), за които и са равни на нула или не съществуват.

3) Във всяка критична точка Р 0 проверете достатъчните условия за екстремума. За да направите това, намерете , където , , и се изчислява D(Р 0) и НО(P 0). Тогава:

ако D(Р 0) >0, тогава има екстремум в точката Р 0, освен това, ако НО(P 0) > 0 - тогава това е минимум и ако НО(P 0)< 0 – максимум;

ако D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ако D(Р 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания.

4) Изчислете стойността на функцията в намерените точки на екстремум.

Пример1.

Намерете екстремума на функция z = х 3 + 8г 3 – 3xy .

Решение.Обхватът на тази функция е цялото координатна равнина. Нека намерим критичните точки.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Да проверим изпълнението достатъчни условияекстремум. Да намерим

6х, = -3, = 48прии = 288ху – 9.

Тогава D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - има екстремум в точката Р 1, а тъй като НО(P 1) = 3 >0, тогава този екстремум е минимум. Значи мин z=z(P1) = .

Пример 2

Намерете екстремума на функция .

Решение: D( f) = R 2 . Критични точки: ; не съществува при при= 0, така че P 0 (0,0) е критичната точка на тази функция.

2, = 0, = , = , но D(Р 0) не е дефиниран, така че е невъзможно да се изследва знакът му.

По същата причина е невъзможно теорема 9.2 да се приложи директно − д 2 zне съществува в този момент.

Помислете за нарастването на функцията f(х, г) в точка Р 0 . Ако Д f =f(P)- f(P 0)>0 "P, тогава P 0 е минималната точка, ако D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Имаме в нашия случай

д f = f(х, г) – f(0, 0) = f(0+D х,0+D г) – f(0, 0) = .

В Д х= 0,1 и D г= -0,008 получаваме D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dх= 0,1 и D г= 0,001D f= 0,01 + 0,1 > 0, т.е. в близост до точката Р 0 нито условието D f <0 (т.е. f(х, г) < f(0, 0) и следователно P 0 не е максимална точка), нито условието D f>0 (т.е. f(х, г) > f(0, 0) и тогава Р 0 не е минимална точка). И така, по дефиниция на екстремум, дадена функцияняма крайности.

Условна крайност.

Разглежданият екстремум на функцията се нарича безусловен, тъй като не се налагат ограничения (условия) върху аргументите на функцията.

Определение 9.2.Функция екстремум и = f(х 1 , х 2 , ... , x n), намерени при условие, че неговите аргументи х 1 , х 2 , ... , x nудовлетворяват уравненията j 1 ( х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, …, j T(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, където P ( х 1 , х 2 , ... , x n) О D( f), е наречен условен екстремум .

Уравнения j к(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, са наречени уравнения на връзката.

Помислете за функциите z = f(х,г) от две променливи. Ако има само едно ограничително уравнение, т.е. , тогава намирането на условен екстремум означава, че екстремумът се търси не в цялата област на функцията, а върху някаква крива, лежаща в D( f) (т.е. не най-високата или най-високата ниски точкиповърхности z = f(х,г), и най-високите или най-ниските точки сред точките на пресичане на тази повърхност с цилиндъра , фиг. 5).

Условен екстремум на функцията z = f(х,г) от две променливи може да се намери по следния начин( метод на елиминиране). От уравнението изразете една от променливите като функция на другата (например напишете ) и, замествайки тази стойност на променливата във функцията , напишете последната като функция на една променлива (в разглеждания случай ). Намерете екстремума на получената функция на една променлива.

Нека първо разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функцията $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, достигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка удовлетворяват уравнението на ограничението $\ varphi(x,y)=0$.

Името "условен" екстремум се дължи на факта, че допълнителното условие $\varphi(x,y)=0$ е наложено върху променливите. Ако е възможно да се изрази една променлива по отношение на друга от уравнението на връзката, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако $y=\psi(x)$ следва от уравнението на ограничението, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $ z=f\ляво (x,\psi(x)\дясно)$. AT общ случай, обаче, този метод е малко полезен, така че е необходим нов алгоритъм.

Метод на множителите на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителите на Лагранж е, че за да се намери условният екстремум, функцията на Лагранж се съставя: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda $ се нарича множител на Лагранж). Необходимите екстремални условия се дават чрез система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на ограничението получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, така че във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементи на $\left| \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив) \right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Забележка относно формата на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, се променя, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и за $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

1. Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решете система $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
   • Съставете определителя $H$ и намерете неговия знак
   • Като вземете предвид уравнението на ограничението, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да предположим, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за ограничаване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Възможно е да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, чрез знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава изследваната стационарна точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример #1

намирам условен екстремумфункции $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на този проблем е следната: необходимо е да се намери най-големият и най-малка стойностприлага на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y^2=10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива по отношение на друга от ограничителното уравнение и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека запишем системата от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие казва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, изчисляваме детерминантата $H$ във всяка от точките.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точката $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че в точката $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точката $M_2(-1;-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се разшири в общ изглед. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Детерминант $H$ нотация в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно кой знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете също да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Намерете знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Отбелязвам, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx\right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, така че за $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точката $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точката $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример #2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първият начин (методът на умножителите на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0;\\&x+y=0.\край (подравнено)\вдясно.$$

Решавайки системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, така че в този момент функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка от точките по различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на ограничението $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на ограничението $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Има точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Изследвайки знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверявайки промяната на знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както в първото решение , Например знак за отметка $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$, докато $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ при даденото условие за връзка съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са желаните условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме още един пример, в който откриваме природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример #3

Намерете максималната и минималната стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват ограничителното уравнение $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Съставете функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Намерете стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(подравнено) \right.$$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в условието на задачата). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Естеството на екстремума в точката $(2;1)$ се определя от знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, като по този начин получавате:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи за условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точката $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част разглеждаме приложението на метода на Лагранж за функции Повече ▼променливи.

УСЛОВЕН ЕКСТРЕМ

Минималната или максималната стойност, постигната от дадена функция (или функционал), при условие че някои други функции (функционали) приемат стойности от даден допустим набор. Ако няма условия, които ограничават промените в независимите променливи (функции) в посочения смисъл, тогава се говори за безусловен екстремум.
Класически задача за W. e. е проблемът за определяне на минимума на функция на няколко променливи

При условие, че някои други функции приемат дадените стойности:

В тази задача G, на която стойностите на векторната функция g=(g 1, ...,g m), включено в допълнителни условия (2) е фиксирана точка c=(c 1, ..., с т) в m-мерно евклидово пространство
Ако в (2) заедно със знака за равенство се допускат знаци за неравенство

Това води до проблема нелинейно програмиране(13). В задача (1), (3) множеството G от допустимите стойности на векторната функция g е определена криволинейна , принадлежаща към (n-m 1)-мерната хиперповърхност, определена от m 1 , м 1 условия от тип равенство (3). Границите на посочения криволинеен полиедър са конструирани, като се вземат предвид p-m 1 неравенства, включени в (3).
Специален случай на задача (1), (3) на U.v. е задачата линейно програмиране,в който всички разглеждани функции f и giса линейни по x l , ... , x p.В задача за линейно програмиране, наборът G от възможни стойности на векторна функция g,включени в условията, ограничаващи обхвата на променливите x 1, .....x n,е , което принадлежи на (n-t 1)-мерната хиперравнина, дефинирана от m 1 условия от тип равенство в (3).
По същия начин, повечето оптимизационни проблеми за функционали, които представляват практически интерес, се свежда до задачи по U. e. (см. Изопериметричен проблем, проблем на пръстена, проблем на Лагранж, проблем на Манер). Точно като в математиката. програмиране, основните проблеми на вариационното смятане и теорията на оптималното управление са проблеми на изпъкналата e.
При решаване на проблеми в U. e., особено когато се разглеждат теоретичните. въпроси, свързани с проблеми на C. e., се оказва много полезно да се използва indefinite Лагранжови множители,което позволява да се намали проблемът до U. e. към проблема за безусловното и опростете необходимите условия за оптималност. Използването на множители на Лагранж е в основата на повечето класически методи за решаване на проблеми в U. e.

Лит.: Hadley J., Нелинейни и , прев. от англ., М., 1967; Bliss G.A., Лекции по вариационното смятане, прев. от англ., М., 1950; Понтрягин Л. С. [и др.], Математически оптимални процеси, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярски.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.