• урок

Всеки добър ден. В тази статия искам да покажа един от графичните методи за конструиране на математически модели за динамични системи, който се нарича облигационна графика("бонд" - връзки, "граф" - графика). В руската литература намерих описание на този метод само в Учебното ръководство на Томски политехнически университет, А.В. Воронин "МОДЕЛИРАНЕ НА МЕХАТРОНИЧНИ СИСТЕМИ" 2008 г. Също така покажете класическия метод чрез уравнението на Лагранж от 2-ри род.

Метод на Лагранж

Няма да рисувам теорията, ще покажа етапите на изчисленията и с няколко коментара. Лично за мен е по-лесно да се уча от примери, отколкото да чета теорията 10 пъти. Струваше ми се, че в руската литература обяснението на този метод, както и математиката или физиката, е много пълно със сложни формули, което съответно изисква сериозна математическа подготовка. Докато изучавах метода на Лагранж (учих в Политехническия университет в Торино, Италия), изучавах руска литература, за да сравня методите на изчисление, и ми беше трудно да проследя напредъка на решаването на този метод. Дори да си спомня курсовете по моделиране в Харковския авиационен институт, извеждането на такива методи беше много тромаво и никой не си направи труда да разбере този въпрос. Това реших да напиша, ръководство за изграждане на мат модели според Лагранж, както се оказа, не е никак трудно, достатъчно е да знаете как да изчислявате времеви производни и частични производни. За по-сложни модели се добавят ротационни матрици, но и в тях няма нищо сложно.

Характеристики на методите за моделиране:

• Нютон Ойлер: векторни уравнения, базирани на динамично равновесие сили (сила)и моменти
• Лагранж: скаларни уравнения, базирани на функции на състоянието, свързани с кинетика и потенциал енергия
• облигационна графика: метод, базиран на потока мощност (мощност)между елементите на системата

Да започнем с прост пример. Тегло с пружина и демпфер. Пренебрегваме силата на гравитацията.

Фиг. 1. Тегло с пружина и демпфер

На първо място, ние определяме:

• начална координатна система(NSK) или фиксиран ск R0(i0,j0,k0). Където? Можете да бръкнете с пръст в небето, но чрез потрепване на върховете на невроните в мозъка преминава идеята за поставяне на NSC на линията на движение на тялото M1.
• координатни системи за всяко тяло с маса(имаме M1 R1(i1,j1,k1)), ориентацията може да бъде произволна, но защо да усложнявате живота си, ние го задаваме с минимална разлика от NSC
• обобщени координати q_i(минималният брой променливи, които могат да опишат движението), в този пример, една обобщена координата, движение само по оста j

Фиг. 2. Записване на координатни системи и обобщени координати

Фигура 3. Позиция и скорост на тялото M1

След като намерим кинетичната (C) и потенциалната (P) енергия и дисипативната функция (D) за амортисьора съгласно формулите:

Фигура 4. Пълна формулакинетична енергия

В нашия пример няма ротация, вторият компонент е 0.

Фигура 5. Изчисляване на кинетична, потенциална енергия и дисипативна функция

Уравнението на Лагранж има следната форма:

Фиг. 6. Уравнение на Лагранж и Лагранжиан

Делта W_iтова е виртуална работа, извършена от приложени сили и моменти. Нека го намерим:

Фигура 7. Изчисляване на виртуална работа

Където делта q_1виртуален ход.

Заместваме всичко в уравнението на Лагранж:

Фигура 8. Полученият масов модел с пружина и амортисьор

Това е мястото, където методът на Лагранж приключи. Както можете да видите, не е толкова трудно, но това все пак е много прост пример, за който методът на Нютон-Ойлер най-вероятно би бил дори по-прост. За по-сложни системи, където ще има няколко тела, завъртани едно спрямо друго под различни ъгли, методът на Лагранж ще бъде по-лесен.

Метод на графиката на облигациите

Веднага ще ви покажа как изглежда моделът в графиката на връзката за пример с маса на пружина и демпфер:

Фиг. 9. Bond-graph маса с пружина и демпфер

Тук трябва да разкажем малко теория, която е достатъчна за изграждане прости модели. Ако някой се интересува, може да прочете книгата ( Методология на Bond Graph) или ( Воронин А.В. Моделиране на мехатронни системи: урок. - Томск: Издателство на Томския политехнически университет, 2008 г).

Нека първо дефинираме, че сложните системи се състоят от няколко области. Например, електрическият двигател се състои от електрически и механични части или домейни.

облигационна графикасе основава на обмен на енергия между тези домейни, подсистеми. Обърнете внимание, че обменът на енергия, независимо от неговата форма, винаги се определя от две променливи ( променливи мощности), с помощта на които можем да изследваме взаимодействието на различни подсистеми като част от динамична система (виж таблицата).

Както се вижда от таблицата изразът на мощността е почти еднакъв навсякъде. В обобщение, Мощност- Тази работа " поток - f" на " усилия - e».

Усилие(Английски) усилие) в електрическата област това е напрежение (e), в механичната област е сила (F) или момент (T), в хидравликата е налягане (p).

Поток(Английски) поток) в електрическата област това е ток (i), в механичната област е скорост (v) или ъглова скорост (omega), в хидравликата това е потокът или флуидният поток (Q).

Като вземем тези обозначения, получаваме израз за мощност:

Фигура 10. Формула за мощност по отношение на променливи за мощност

В езика на графиката на връзката връзката между две подсистеми, които обменят мощност, е представена чрез връзка. връзка). Ето защо този метод се нарича облигационна графикаили ж raf-връзки, свързан граф. Обмисли блокова схемавръзки в модела с електродвигател (това все още не е графика на връзката):

Фигура 11. Блокова диаграма на потока на мощността между домейни

Ако имаме източник на напрежение, тогава той генерира напрежение и го дава на двигателя за пренавиване (следователно стрелката е насочена към двигателя), в зависимост от съпротивлението на намотката се появява ток според закона на Ом (насочен от двигателя към източника). Съответно една променлива е вход към подсистемата, а втората трябва да е необходима. изходот подсистемата. Тук напрежението ( усилие) – вход, ток ( поток) - изход.

Ако използвате източник на ток, как ще се промени диаграмата? Правилно. Токът ще бъде насочен към двигателя, а напрежението към източника. Тогава текущият ( поток) - входен волтаж ( усилие) - изход.

Помислете за пример в механиката. Сила, действаща върху маса.

Фигура 12. Сила, приложена към масата

Блоковата схема ще бъде както следва:

Фиг. 13. блокова схема

В този пример Сила ( усилие) е входната променлива за масата. (сила, приложена към маса)
Според втория закон на Нютон:

Масата отговаря бързо:

В този пример, ако една променлива ( сила - усилие) е входв механичната област, след това друга променлива на мощността ( скорост - поток) - автоматично става изход.

За да се разграничи къде е входът и къде е изходът, се използва вертикална линия в края на стрелката (връзката) между елементите, тази линия се нарича знак за причинност или причинно-следствена връзка (причинно-следствена връзка). Оказва се: приложената сила е причината, а скоростта е следствието. Този знак е много важен за правилното изграждане на системен модел, тъй като причинността е следствие от физическото поведение и обмен на мощност на две подсистеми, така че изборът на местоположението на знака за причинност не може да бъде произволен.

Фигура 14. Нотация на причинно-следствената връзка

Тази вертикална линия показва коя подсистема получава силата ( усилие) и като следствие създава поток ( поток). В масовия пример ще изглежда така:

Фигура 14. Причинност за силата, действаща върху масата

По стрелката е ясно, че входът за масата - сила, а изходът е скорост. Това се прави, за да не се претрупва схемата и систематизацията на моделната сграда със стрелки.

Следващата важна точка. Обобщен импулс(количество движение) и движещ се(енергийни променливи).

Таблица на променливите мощност и енергия в различни области

Таблицата по-горе въвежда две допълнителни физически величини, използвани в метода на графиката на връзката. Те се наричат обобщен импулс (Р) и генерализирано изместване (р) или енергийни променливи и те могат да бъдат получени чрез интегриране на мощностни променливи във времето:

Фигура 15. Връзка между променливите мощност и енергия

В електрическата област :

Според закона на Фарадей, волтажв краищата на проводника е равна на производната на магнитния поток през този проводник.

НО Текуща сила - физическо количество, равно на съотношението на количеството заряд Q, преминало за известно време t през напречното сечение на проводника, към стойността на този интервал от време.

Механична област:

От 2-ри закон на Нютон, Силае времевата производна на импулса

И съответно, скорост- времева производна на изместване:

Нека обобщим:

Основни елементи

Всички елементи в динамични системи, могат да бъдат разделени на двуполюсни и четириполюсни компоненти.
Обмисли биполярни компоненти:

Източници
Източниците са едновременно усилие и поток. Аналогия в електрическата област: източник на усилия – източник на напрежение, източник на поток – източник на ток. Причинните знаци за източниците трябва да бъдат само такива.

Фигура 16. Причинно-следствени връзки и обозначаване на източници

R компонент – дисипативен елемент

Компонент I – инерционен елемент

Компонент C – капацитивен елемент

Както се вижда от фигурите, различни елементи от същ тип R,C,Iописани със същите уравнения. Има разлика САМО в електрическия капацитет, просто трябва да я запомните!

Четириполюсни компоненти:

Помислете за два компонента трансформатор и жиратор.

Последните важни компоненти в метода на графиката на връзката са връзките. Има два вида възли:

Това е краят на компонентите.

Основните стъпки за записване на причинно-следствени връзки след изграждане на графика на връзка:

1. Поставете причинно-следствената връзка на всичко източници
2. Преминете през всички възли и запишете причинно-следствени връзки след точка 1
3. За компоненти Iзадайте входна причинно-следствена връзка (усилието е включено в този компонент), за компоненти Cзадайте изходна причинно-следствена връзка (усилието произлиза от този компонент)
4. Повторете точка 2
5. Начертайте причинно-следствени връзки за R компоненти

Това завършва мини-курса по теория. Сега имаме всичко необходимо за изграждане на модели.
Нека решим няколко примера. Нека започнем с електрическата верига, за да разберем по-добре аналогията с изграждането на графика на връзката.

Пример 1

Нека започнем да изграждаме графика на връзка от източник на напрежение. Просто напишете Se и поставете стрелка.

Виждате, че всичко е просто! Гледаме по-нататък, R и L са свързани последователно, което означава, че в тях тече един и същи ток, ако говорим по отношение на мощностните променливи - един и същ поток. Кой възел има същия поток? Правилният отговор е 1 възел. Прикрепяме източник, съпротивление (компонент - R) и индуктивност (компонент - I) към 1-възел.

След това имаме капацитет и съпротивление в паралел, което означава, че те имат същото напрежение или сила. 0-възел ще пасне като никой друг. Свързваме капацитета (компонент C) и съпротивлението (компонент R) към 0-възела.

Възли 1 и 0 също са свързани помежду си. Посоката на стрелките се избира произволно, посоката на връзката засяга само знака в уравненията.

Вземете следната графика на връзките:

Сега трябва да напишем причинно-следствените връзки. Следвайки инструкциите за последователността на тяхното поставяне, нека започнем с източника.

1. Имаме източник на стрес (усилие), такъв източник има само една опция за причинно-следствена връзка - изход. Ние поставяме.
2. След това има компонент I, разглеждаме какво се препоръчва. Ние поставяме
3. Поставяме за 1 възел. Има
4. 0-възел трябва да има един вход и всички изходни причинно-следствени връзки. Имаме един почивен ден. Търсим компоненти C или I. Намерени. Ние поставяме
5. Показва какво е останало

Това е всичко. Изградена графика на връзката. Ура, другари!

Единственото, което остава да направим, е да напишем уравненията, които описват нашата система. За целта ще създадем таблица с 3 колони. Първият ще съдържа всички компоненти на системата, вторият ще съдържа входната променлива за всеки елемент, а третият ще съдържа изходната променлива за същия компонент. Вече сме определили входа и изхода по причинно-следствена връзка. Така че не би трябвало да има проблеми.

Нека номерираме всяка връзка за удобство при записване на уравненията. Взимаме уравненията за всеки елемент от списъка с компоненти C, R, I.

След като съставихме таблицата, ние дефинираме променливите на състоянието, в този пример има 2, p3 и q5. След това трябва да напишете уравненията на състоянието:

Това е всичко, моделът е готов.

Пример 2. Просто искам да се извиня за качеството на снимката, основното е, че можете да четете

Нека решим друг пример за механична система, същата, която решихме по метода на Лагранж. Ще покажа решението без коментари. Нека да проверим кой от тези методи е по-прост, по-лесен.

В матбола и двата модела на мат бяха компилирани с едни и същи параметри, получени по метода на Лагранж и графа на връзката. Резултатът по-долу: Добавете етикети

умножителен методЛагранж(в английската литература "LaGrange" s method of undetermined multipliers") ˗ това е числен метод за решаване на оптимизационни проблеми, който ви позволява да определите "условния" екстремум на целевата функция (минимална или максимална стойност)

при наличие на дадени ограничения върху неговите променливи под формата на равенства (т.е. определен е обхватът на допустимите стойности)

˗ това са стойностите на аргумента на функцията (контролирани параметри) върху реалната област, при която стойността на функцията клони към екстремум. Използването на наименованието "условен" екстремум се дължи на факта, че върху променливите се налага допълнително условие, което ограничава областта на допустимите стойности при търсене на екстремума на функцията.

Методът на множителя на Лагранж позволява проблемът за намиране на условен екстремум на целевата функция върху множеството от допустими стойности да бъде преобразуван в проблем без условна оптимизацияфункции.

Ако функциите и са непрекъснати заедно с техните частни производни, тогава има променливи λ, които не са едновременно равни на нула, при които е изпълнено следното условие:

Така, в съответствие с метода на множителите на Лагранж за търсене на екстремума на целевата функция върху множеството от допустими стойности, съставям функцията на Лагранж L(x, λ), която е допълнително оптимизирана:

където λ ˗ е вектор от допълнителни променливи, наречени неопределени множители на Лагранж.

Така проблемът за намиране на условния екстремум на функцията f(x) се свежда до проблема за намиране на безусловния екстремум на функцията L(x, λ).

и

Необходимото условие за екстремума на функцията на Лагранж се дава от система от уравнения (системата се състои от "n + m" уравнения):

Решението на тази система от уравнения позволява да се определят аргументите на функцията (X), при които стойността на функцията L(x, λ), както и стойността на целевата функция f(x) съответстват на екстремума.

Стойността на множителите на Лагранж (λ) представлява практически интерес, ако ограниченията са представени във вид със свободен член на уравнението (константа). В този случай можем да разгледаме допълнително (увеличаване/намаляване) стойността на целевата функция чрез промяна на стойността на константата в системата от уравнения. По този начин множителят на Лагранж характеризира скоростта на промяна на максимума на целевата функция с промяна на ограничаващата константа.

Има няколко начина да се определи естеството на екстремума на получената функция:

Първият начин: Нека - координатите на екстремалната точка и - съответната стойност на целевата функция. Взема се точка, която е близо до точката и се изчислява стойността на целевата функция:

Ако , тогава има максимум в точката.

Ако , тогава има минимум в точката.

Вторият начин: Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът на втория диференциал на функцията на Лагранж. Вторият диференциал на функцията на Лагранж се дефинира, както следва:

Ако в даден момент минимум, ако , тогава целевата функция f(x) е условна максимум.

Третият начин: Също така, природата на екстремума на функцията може да бъде открита чрез разглеждане на Хесиана на функцията на Лагранж. Хесианската матрица е симетрична квадратна матрица на вторите частични производни на функцията в точката, където матричните елементи са симетрични спрямо главния диагонал.

За да определите вида на екстремума (максимум или минимум на функция), можете да използвате правилото на Силвестър:

1. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж с положителен знак необходимо е ъгловите минори на функцията да са положителни. При такива условия функцията има минимум в тази точка.

2. За да бъде вторият диференциал на функцията на Лагранж знакоотрицателен , необходимо е ъгловите минори на функцията да се редуват, като първият елемент на матрицата трябва да е отрицателен sv . При такива условия функцията има максимум в тази точка.

Ъглов минор е минор, разположен в първите k реда и k колони на оригиналната матрица.

Основното практическо значение на метода на Лагранж е, че ви позволява да преминете от условна оптимизация към безусловна и съответно да разширите арсенала от налични методи за решаване на проблема. Въпреки това, проблемът за решаване на системата от уравнения, до която се свежда този метод, в общ случайне е по-прост от първоначалния проблем за намиране на екстремум. Такива методи се наричат ​​индиректни. Използването им се обяснява с необходимостта да се получи решение на екстремален проблем в аналитична форма (например за определени теоретични изчисления). При адресиране на конкретни практически задачиОбикновено се използват директни методи, базирани на итеративни процеси на изчисляване и сравняване на стойностите на функциите, които се оптимизират.

Метод на изчисление

1 стъпка: Определяме функцията на Лагранж от дадената целева функция и системата от ограничения:

Напред

За да добавите коментар към статията, моля, регистрирайте се на сайта.

Метод на множителите на Лагранж.

Методът на умножителя на Лагранж е един от методите, които позволяват решаване на проблеми не линейно програмиране.

Нелинейното програмиране е клон на математическото програмиране, който изучава методи за решаване на екстремни проблеми с нелинейна целева функция и област от възможни решения, определени от нелинейни ограничения. В икономиката това съответства на факта, че резултатите (ефективността) се увеличават или намаляват непропорционално на промените в мащаба на използване на ресурсите (или, еквивалентно, мащаба на производството): например поради разделянето на производствените разходи в предприятията на променливи и условно константи; поради насищане на търсенето на стоки, когато всяка следваща единица е по-трудна за продажба от предишната и др.

Проблемът на нелинейното програмиране се поставя като проблем за намиране на оптимума на определена целева функция

F(x 1 ,…x n), Е (х) → макс

при условия

g j (x 1 ,…x n)≥0, ж (х) ≤ b , х ≥ 0

където х-вектор на търсените променливи;

Е (х) -обективна функция;

ж (х) е функцията на ограничение (непрекъснато диференцируема);

b - вектор на константите на ограниченията.

Решението на задача на нелинейно програмиране (глобален максимум или минимум) може да принадлежи или към границата, или към вътрешността на допустимото множество.

За разлика от проблема с линейното програмиране, при проблем с нелинейно програмиране оптимумът не лежи непременно на границата на областта, дефинирана от ограниченията. С други думи, проблемът е да се изберат такива неотрицателни стойности на променливи, подчинени на система от ограничения под формата на неравенства, при които се постига максимумът (или минимумът) на дадената функция. В този случай не са посочени формите нито на целевата функция, нито на неравенствата. Може да има различни случаи: целевата функция е нелинейна, а ограниченията са линейни; целевата функция е линейна, а ограниченията (поне едно от тях) са нелинейни; както целевата функция, така и ограниченията са нелинейни.

Проблемът с нелинейното програмиране възниква в природни науки, технологии, икономика, математика, в областта на бизнес отношенията и в науката за управление.

Нелинейното програмиране, например, е свързано с основен икономически проблем. Така че в проблема с разпределението на ограничените ресурси или ефективността се максимизира, или, ако се изследва потребителят, потреблението при наличието на ограничения, които изразяват условия на недостиг на ресурси. При такава обща формулировка математическата формулировка на проблема може да се окаже невъзможна, но в конкретни приложения количествената форма на всички функции може да се определи директно. Например, индустриално предприятиепроизвежда пластмасови изделия. Производствената ефективност тук се измерва с печалбата, а ограниченията се интерпретират като налична работна ръка, производствено пространство, производителност на оборудването и т.н.

Методът „ценова ефективност” също се вписва в схемата на нелинейното програмиране. Този методе предназначен за използване при вземане на решения в правителството. Обща функцияефективността е благосъстояние. Тук възникват два проблема с нелинейното програмиране: първият е максимизирането на ефекта с ограничени разходи, вторият е минимизирането на разходите, при условие че ефектът е над определено минимално ниво. Този проблем обикновено се моделира добре с помощта на нелинейно програмиране.

Резултатите от решаването на проблема с нелинейното програмиране са полезни при вземането на държавни решения. Полученото решение, разбира се, се препоръчва, така че е необходимо да се проучат допусканията и точността на формулирането на проблема с нелинейното програмиране, преди да се вземе окончателно решение.

Нелинейните проблеми са сложни, често се опростяват, като водят до линейни. За да направите това, условно се приема, че в определена област целевата функция нараства или намалява пропорционално на промяната на независимите променливи. Този подход се нарича метод на частично линейни приближения, но той е приложим само за определени типове нелинейни проблеми.

Нелинейните проблеми при определени условия се решават с помощта на функцията на Лагранж: след като са намерили нейната седлова точка, те намират и решението на проблема. Сред изчислителните алгоритми на N. p. голямо място заемат градиентни методи. Няма универсален метод за нелинейни проблеми и, очевидно, може и да няма, тъй като те са изключително разнообразни. Многоекстремалните проблеми са особено трудни за решаване.

Един от методите, които позволяват намаляване на проблема с нелинейното програмиране до решаване на система от уравнения, е методът неопределени множителиЛагранж.

Използвайки метода на множителите на Лагранж, по същество се установяват необходимите условия, които позволяват да се идентифицират оптимални точки в задачите за оптимизация с ограничения под формата на равенства. В този случай проблемът с ограниченията се трансформира в еквивалентен проблем на неограничена оптимизация, в който се появяват някои неизвестни параметри, наречени множители на Лагранж.

Методът на умножителя на Лагранж се състои в свеждане на задачите за условен екстремум до задачи за безусловен екстремум на спомагателна функция – т.нар. Функции на Лагранж.

За задачата за екстремума на функцията f(x 1 , x 2 ,..., x n) при условия (уравнения на свързване) φ аз(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, аз= 1, 2,..., м, функцията на Лагранж има формата

L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Множители λ 1 , λ 2 , ..., λmНаречен Множители на Лагранж.

Ако количествата x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmса решенията на уравненията, които определят стационарните точки на функцията на Лагранж, а именно за диференцируемите функции те са решения на системата от уравнения

тогава при достатъчно общи предположения x 1 , x 2 , ..., x n доставят екстремум на функцията f.

Разгледайте проблема за минимизиране на функция от n променливи, като вземете предвид едно ограничение под формата на равенство:

Минимизиране на f(x 1, x 2… x n) (1)

с ограничения h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

В съответствие с метода на умножителя на Лагранж този проблем се трансформира в следния проблем за неограничена оптимизация:

минимизиране на L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

където функцията L(х;λ) се нарича функция на Лагранж,

λ е неизвестна константа, която се нарича множител на Лагранж. Не се налагат изисквания към знака на λ.

Нека за дадена стойност λ=λ 0 безусловният минимум на функцията L(x,λ) по отношение на x се достига в точката x=x 0 и x 0 удовлетворява уравнението h 1 (x 0)=0 . Тогава, както е лесно да се види, x 0 минимизира (1), като взема предвид (2), тъй като за всички стойности на x, удовлетворяващи (2), h 1 (x)=0 и L(x,λ)= min f(x).

Разбира се, необходимо е да се избере стойността λ=λ 0 по такъв начин, че координатата на безусловната минимална точка x 0 да удовлетворява равенството (2). Това може да стане, ако, разглеждайки λ като променлива, намерим безусловния минимум на функцията (3) под формата на функция λ и след това изберем стойността на λ, при която е изпълнено равенство (2). Нека илюстрираме това с конкретен пример.

Минимизирайте f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

с ограничението h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Съответният неограничен оптимизационен проблем се записва по следния начин:

минимизиране на L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Решение. Приравнявайки двата компонента на градиента L към нула, получаваме

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

За да проверим дали стационарната точка x° съответства на минимума, изчисляваме елементите на матрицата на Хесиан на функцията L(x; u), разглеждана като функция от x,

което се оказва положително определено.

Това означава, че L(x, u) е изпъкнала функция на x. Следователно координатите x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 определят глобалната минимална точка. Оптимална стойностλ се намира чрез заместване на стойностите x 1 0 и x 2 0 в уравнението 2x 1 +x 2 =2, откъдето 2λ+λ/2=2 или λ 0 =4/5. Така условният минимум се достига при x 1 0 =4/5 и x 2 0 =2/5 и е равен на min f(x)=4/5.

При решаването на задачата от примера разгледахме L(x; λ) като функция на две променливи x 1 и x 2 и освен това приехме, че стойността на параметъра λ е избрана така, че ограничението да е изпълнено. Ако решението на системата

J=1,2,3,…,n

не могат да бъдат получени под формата на изрични функции на λ, тогава стойностите на x и λ се намират чрез решаване на следната система, състояща се от n + 1 уравнения с n + 1 неизвестни:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Методите за числено търсене (например методът на Нютон) могат да се използват за намиране на всички възможни решения на дадена система. За всяко от решенията () трябва да се изчислят елементите на хесианската матрица на функцията L, разглеждана като функция от x, и да се установи дали тази матрица е положително определена (локален минимум) или отрицателно определена (локален максимум ).

Методът на умножителите на Лагранж може да бъде разширен до случая, когато проблемът има няколко ограничения под формата на равенства. Помислете за общ проблем, който изисква

Минимизиране на f(x)

при ограничения h k =0, k=1, 2, ..., K.

Функцията на Лагранж приема следната форма:

Тук λ 1 , λ 2 , ..., λk-Множители на Лагранж, т.е. неизвестни параметри, чиито стойности трябва да бъдат определени. Приравнявайки частните производни на L по отношение на x на нула, получаваме следната система от n уравнения с n неизвестни:

Ако се окаже трудно да се намери решение на горната система под формата на функции на вектора λ, тогава е възможно системата да се разшири чрез включване на ограничения под формата на равенства

Решението на разширената система, състояща се от n + K уравнения с n + K неизвестни, определя стационарната точка на функцията L. След това се изпълнява процедурата за проверка за минимум или максимум, която се извършва на базата на изчисляване елементите на матрицата на Хесиан на функцията L, разглеждана като функция на x, подобно на това, което беше направено в случай на задача с едно ограничение. За някои проблеми разширена система от n+K уравнения с n+K неизвестни може да няма решения и методът на умножителя на Лагранж се оказва неприложим. Все пак трябва да се отбележи, че подобни задачи са доста редки на практика.

Нека разгледаме частен случай на общата задача на нелинейното програмиране, като приемем, че системата от ограничения съдържа само уравнения, няма условия за неотрицателност на променливите и и са непрекъснати функции заедно с техните частни производни. Следователно, след решаване на системата от уравнения (7), се получават всички точки, в които функция (6) може да има екстремни стойности.

Алгоритъм на метода на множителите на Лагранж

1. Съставяме функцията на Лагранж.

2. Намираме частните производни на функцията на Лагранж по отношение на променливите x J ,λ i и ги приравняваме към нула.

3. Решаваме системата от уравнения (7), намираме точките, в които целевата функция на задачата може да има екстремум.

4. Сред точките, подозрителни за екстремум, намираме тези, в които е достигнат екстремумът, и изчисляваме стойностите на функция (6) в тези точки.

Пример.

Първоначални данни:Според производствения план предприятието трябва да произвежда 180 продукта. Тези продукти могат да бъдат произведени по два технологични начина. При производството на x 1 продукта по метод 1 разходите са 4x 1 + x 1 2 рубли, а при производството на x 2 продукта по метод 2 те са 8x 2 + x 2 2 рубли. Определете колко продукта трябва да бъдат направени от всеки от методите, така че производствените разходи да са минимални.

Целевата функция за проблема има формата
® минпри условията x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Съставете функцията на Лагранж
.
2. Изчисляваме частните производни по отношение на x 1, x 2, λ и ги приравняваме към нула:

3. Решавайки получената система от уравнения, намираме x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89

4. След като направихме замяна в целевата функция x 2 \u003d 180-x 1, получаваме функция на една променлива, а именно f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- х 1) 2

Изчислете или 4x 1 -364=0 ,

откъдето имаме x 1 * =91, x 2 * =89.

Отговор: Броят на продуктите, произведени по първия метод, е x 1 \u003d 91, по втория метод x 2 \u003d 89, докато стойността на целевата функция е 17278 рубли.

Нека първо разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функцията $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, достигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка удовлетворяват уравнението на ограничението $\ varphi(x,y)=0$.

Името "условен" екстремум се дължи на факта, че допълнителното условие $\varphi(x,y)=0$ е наложено върху променливите. Ако е възможно да се изрази една променлива по отношение на друга от уравнението на връзката, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако $y=\psi(x)$ следва от уравнението на ограничението, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $ z=f\ляво (x,\psi(x)\дясно)$. В общия случай обаче този метод е малко полезен, така че е необходим нов алгоритъм.

Метод на множителите на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителите на Лагранж е, че за да се намери условният екстремум, функцията на Лагранж се съставя: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda $ се нарича множител на Лагранж). Необходимите екстремални условия се дават чрез система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на ограничението получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, така че във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементи на $\left| \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив) \right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Забележка относно формата на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, се променя, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и за $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

1. Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решете система $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
   • Съставете определителя $H$ и намерете неговия знак
   • Като вземете предвид уравнението на ограничението, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да предположим, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за ограничаване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Възможно е да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, чрез знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава изследваната стационарна точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример #1

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на този проблем е следната: необходимо е да се намери най-големият и най-малка стойностприлага на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y^2=10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива по отношение на друга от ограничителното уравнение и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека запишем системата от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие казва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, изчисляваме детерминантата $H$ във всяка от точките.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точката $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че в точката $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точката $M_2(-1;-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се разшири в общ изглед. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Детерминант $H$ нотация в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно кой знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете също да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Намерете знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Отбелязвам, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx\right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, така че за $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точката $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точката $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример #2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първият начин (методът на умножителите на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0;\\&x+y=0.\край (подравнено)\вдясно.$$

Решавайки системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, така че в този момент функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка от точките по различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на ограничението $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на ограничението $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Има точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Изследвайки знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверявайки промяната на знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както в първото решение , Например знак за отметка $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$, докато $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ при даденото условие за връзка съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са желаните условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме още един пример, в който откриваме природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример #3

Намерете максималната и минималната стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват ограничителното уравнение $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Съставете функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Намерете стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(подравнено) \right.$$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в условието на задачата). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Естеството на екстремума в точката $(2;1)$ се определя от знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, като по този начин получавате:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи за условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точката $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част разглеждаме приложението на метода на Лагранж за функции Повече ▼променливи.

Метод на умножителите на Лагранже класически метод за решаване на проблеми на математическото програмиране (по-специално, изпъкнало). За съжаление при практическо приложениеМетодът може да срещне значителни изчислителни затруднения, стесняващи обхвата на неговото използване. Тук разглеждаме метода на Лагранж главно защото той е апарат, който се използва активно за обосноваване на различни съвременни числени методишироко използвани в практиката. Що се отнася до функцията на Лагранж и множителите на Лагранж, те играят независима и изключително важна роля в теорията и приложенията не само на математическото програмиране.

Помислете за проблема с класическата оптимизация

макс. (мин.) z=f(x) (7.20)

Тази задача се отличава от задачата (7.18), (7.19) по това, че сред ограниченията (7.21) няма неравенства, няма условия за неотрицателност на променливите, тяхната дискретност и функциите f(x ) са едновременно непрекъснати и имат частични производни по отношение на поневтора поръчка.

Класическият подход за решаване на задача (7.20), (7.21) дава система от уравнения (необходими условия), на която трябва да отговаря точката x*, което осигурява на функцията f(x) локален екстремум върху множеството от точки удовлетворяващи ограниченията (7.21) (за задачата на изпъкналото програмиране, намерената точка x*, съгласно теорема 7.6, също ще бъде глобална точка на екстремум).

Да предположим, че в точката x* функцията (7.20) има локален условен екстремум и рангът на матрицата е. Тогава необходимите условия могат да бъдат записани като:

(7.22)

е функцията на Лагранж; са множителите на Лагранж.

Съществуват и достатъчни условия, при които решението на системата от уравнения (7.22) определя точката на екстремума на функцията f(x). Този въпрос се решава въз основа на изследването на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж. Достатъчните условия обаче представляват предимно теоретичен интерес.

Може да се посочи следната процедура за решаване на задача (7.20), (7.21) чрез метода на умножителя на Лагранж:

1) съставете функцията на Лагранж (7.23);

2) намерете частните производни на функцията на Лагранж по отношение на всички променливи и ги приравнете към нула. Така ще се получи системата (7.22), състояща се от уравнения. Решете получената система (ако се окаже възможно!) и по този начин намерете всички стационарни точки на функцията на Лагранж;

3) от стационарните точки, взети без координати, се избират точките, в които функцията f(x) има условни локални екстремуми при наличие на ограничения (7.21). Този избор се прави, например, с помощта достатъчни условия локален екстремум. Често изследването се опростява, ако се използват специфични условия на проблема.

Пример 7.3. намирам оптимално разпределениеограничен ресурс в единици. между n потребители, ако печалбата, получена при разпределяне на x j единици от ресурса на j-тия потребител, се изчислява по формулата .

Решение.Математическият модел на задачата има следния вид:

Съставяме функцията на Лагранж:

.

Намираме частични производни на функцията на Лагранж и ги приравняваме към нула:

Решавайки тази система от уравнения, получаваме:

По този начин, ако на j-тия потребител е разпределена единица. ресурс, тогава общата печалба ще достигне максимална стойност и ще възлиза на ден. единици

Разгледахме метода на Лагранж, приложен към класическия оптимизационен проблем. Възможно е този метод да се обобщи за случая, когато променливите са неотрицателни и някои ограничения са дадени под формата на неравенства. Това обобщение обаче е предимно теоретично и не води до конкретни изчислителни алгоритми.

В заключение даваме икономическа интерпретация на множителите на Лагранж. За да направим това, се обръщаме към най-простия класически проблем за оптимизация

макс. (мин.) z=f(х 1 , х 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

Да приемем, че условният екстремум е достигнат в точката . Съответната екстремна стойност на функцията f(х)

Да приемем, че в ограниченията (7.25) количеството bмогат да се променят, тогава координатите на екстремалната точка, а оттам и екстремната стойност е*функции f(х) ще станат количества в зависимост от b, т.е. ,и следователно производната на функцията (7.24)