Ограничена ос x, графика на интегрируема функция и отсечки x=a\,\!и x=b\,\!, където а\,\!и b\,\!- граници на интеграция (виж фигурата).

Необходимостта от прилагане на числено интегриране най-често може да бъде причинена от липсата на представяне в и, следователно, невъзможността за аналитично изчисляване на стойността определен интегралНа . Възможно е също формата на първоизводната да е толкова сложна, че да е по-бързо да се изчисли числено стойността на интеграла.

Едномерен случай

Основната идея на повечето методи за числено интегриране е да се замени интегралната функция с по-проста, чийто интеграл може лесно да се изчисли аналитично. В този случай, за да се оцени стойността на интеграла, формули на формата

I \приблизително \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

където н\,\!е броят на точките, при които се изчислява стойността на интегралната функция. точки x_i\,\!се наричат ​​възли на метода, числа w_i\,\!- тегла на възли. Когато подинтегралната функция се замени с полином от нула, първа и втора степен, се получават съответно методите , и (Симпсън). Често формулите за оценка на стойността на интеграла се наричат ​​квадратурни формули.

Правоъгълен метод

Правоъгълен методсе получава чрез заместване на интегралната функция с константа. Като константа можете да вземете стойността на функцията във всяка точка на сегмента \наляво\,\!. Най-често използваните стойности на функцията са в средата на сегмента и в неговите краища. Съответните модификации се наричат ​​методи средни правоъгълници, леви правоъгълниции прави правоъгълници. Формулата за приблизително изчисляване на стойността на определен интеграл по метода на правоъгълниците е

I \приблизително f(x) (b-a),

където x=\frac(\left(a+b\right))(2), а\,\!или b\,\!, съответно.

Трапецовиден метод

Ако начертаем права линия през краищата на интеграционния сегмент, получаваме трапецовиден метод. От геометрични съображения е лесно да се получи

I \приблизително \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Метод на парабола

Използвайки три точки от интегралния сегмент, можем да заменим интегранта с парабола. Обикновено като такива точки се използват краищата на сегмента и неговата среда. В този случай формулата е много проста

I \приблизително \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Повишаване на точността

Апроксимацията на функция с един полином през целия интервал на интегриране, като правило, води до голяма грешка при оценката на стойността на интеграла.

За да се намали грешката, интеграционният сегмент се разделя на части и се използва числен метод за оценка на интеграла на всяка от тях.

Тъй като броят на дяловете клони към безкрайност, оценката на интеграла клони към истинската му стойност за всеки числен метод.

Горните методи позволяват проста процедура за намаляване на стъпката наполовина, докато на всяка стъпка се изисква да се изчислят стойностите на функцията само в новодобавени възли. За оценка на грешката на изчислението се използва.

Метод на Гаус

Методите, описани по-горе, използват фиксирани точки от линейни сегменти (краища и средни точки) и са ниски (съответно 1, 1 и 3). Ако можем да изберем точките, в които изчисляваме стойностите на функцията f(x)\,\!, тогава е възможно със същия брой изчисления на интегранта да се получат повече методи висок редточност. Така че за две (както в метода на трапец) изчисления на стойностите на интегранд, можете да получите метод вече не от 1-ви, а от 3-ти ред на точност:

I \приблизително \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

AT общ случайизползвайки н\,\!точки, можете да получите метод с порядък на точност 2n-1\,\!. Стойностите на възлите на метода на Гаус от н\,\!точките са корените на полинома на Лежандро от степен н\,\!.

Стойностите на възлите на метода на Гаус и техните тегла са дадени в справочниците за специални функции. Най-известният е методът на пет точки на Гаус.

Метод на Гаус-Кронрод

Недостатъкът на метода на Гаус е, че той няма лесен (от изчислителна гледна точка) начин за оценка на грешката на получената стойност на интеграла. Използването на правилото на Runge изисква изчисляване на интегралната функция при приблизително същия брой точки, без да дава практически никаква печалба в точността, за разлика от прости методи, където точността се увеличава няколко пъти с всяко ново разделение. Кронрод предложи следния метод за оценка на стойността на интеграла

I \приблизително \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

където x_i\,\!- Метод на Гаус възли от н\,\!точки и 3n+2\,\!параметри a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!са избрани по такъв начин, че редът на точност на метода да е равен на 3n+1\,\!.

След това, за да се оцени грешката, може да се използва емпиричната формула

\Делта = \ляво(200 |I - I_G|\дясно)^(1,5),

където I_G\,\!- стойността на интеграла, оценена по метода на Гаус съгласно н\,\!точки. библиотеки [

програмиране на формула за числено интегриране

Въведение

2. Квадратурни формули

3. Автоматичен избор на стъпката на интегриране

Заключение

Библиографски списък

Въведение

Целта на резюмето е да проучи и сравнителен анализметоди за числено интегриране на функции; реализация на тези методи под формата на машинни програми на езика високо нивои практическо решаване на задачи за числено интегриране на компютър.

При решаването на инженерни проблеми често се налага да се изчислят стойностите на определен интеграл на формата

Ако функцията е непрекъсната на интервала [ а, b] и неговият антипроизводен може да се определи чрез известна функция, тогава изчисляването на такъв интеграл се извършва съгласно формулата на Нютон-Лайбниц:

.

В инженерните проблеми рядко е възможно да се получи стойността на интеграла в аналитична форма. Освен това функцията f(х) може да се даде, например, чрез таблица с експериментални данни. Ето защо на практика за изчисляване на определен интеграл се използват специални методи, които се основават на интерполационния апарат.

Идеята зад тези методи е следната. Вместо да се изчислява интегралът по формула (1), първо се изчисляват стойностите на функцията f(x i) = y iв някои възли x i Î[ а, b]. След това се избира интерполационният полином П(х), преминавайки през получените точки ( x i, y i), който се използва за изчисляване на приблизителната стойност на интеграла (1):

.

При прилагането на този подход формулите за числено интегриране приемат следното обща форма:

, (2)

къде са интерполационните възли, A iса някои коефициенти, Р– остатъчен член, характеризиращ грешката на формулата. Обърнете внимание, че формулите от вида (2) се наричат ​​квадратурни формули.

Геометричният смисъл на численото интегриране е да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията f(х), абсцисната ос и две прави линии х = аи x = b.Приблизителното изчисляване на площта води до отхвърляне на остатъчния член в квадратурните формули Рхарактеризираща грешката на метода, която допълнително се наслагва от изчислителната грешка.

Методи за числено интегриране

В приложните изследвания често се налага да се изчисли стойността на определен интеграл

Както е известно от курса по математика, аналитичното изчисляване на интеграла не може да се извърши във всички случаи. И дори в случай, че е възможно да се намери аналитичната форма на този интеграл, процедурата за изчисление дава приблизителен резултат, така че възниква проблемът с приблизителната стойност на този интеграл.

Същността на приближеното изчисление се състои в две операции: 1. в избора на крайно число вместо n; 2. при избора на точка в съответния сегмент.

В зависимост от избора получаваме различни формули за изчисляване на интеграла: Формули за левия и десния правоъгълник (5), (6)

(5)

(6)

Трапецова формула:

Формула на Симпсън

b, a - краища на разглеждания сегмент.

За да сравним резултатите от изчислението с горните формули за числено интегриране, изчисляваме следния интеграл по 3 начина, разделяйки сегмента на 6 равни сегмента:

Според формулата на левите правоъгълници:

Според формулата на трапеца:

Според формулата на Симпсън:

И резултатът, получен аналитично, е равен на

Следователно можем да заключим, че численият метод на интегриране по формулата на Симпсън е по-точен, но се използва в общия случай при разделянето на сегмента, който се разделя на четен брой интервали.

Квадратурни формули

Правоъгълни формулиса най-простите квадратурни формули. Нека разделим интеграционния сегмент [ а, б] на Пдълги равни части. Имайте предвид, че стойността чсе нарича стъпка на интегриране. В точки на разделяне х 0 = а,х 1 = a + h, ..., x n = bотбележете ординатите г 0 ,г 1 ,…,y nкрив f(х), т.е. изчисли i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 +ч(аз =). На всеки сегмент от дължината чконструирайте правоъгълник със страни чи y i, където аз =, т.е. по стойностите на ординатите, изчислени в левите краища на сегментите. Тогава площта на криволинейния трапец, която определя стойността на интеграла (1), може да бъде приблизително представена като сума от площите на правоъгълниците (фиг. 1). От тук получаваме формулата на правоъгълниците:

Ако, когато изчисляваме интегралната сума, вземем стойностите на функцията f(х) не в левия, а в десния край на сегментите от дължина ч, което е показано на фиг. един пунктирана линия, тогава получаваме втората версия на формулата на правоъгълника:

Третият вариант на формулата на правоъгълниците може да бъде получен чрез използване на стойностите на функцията f(х), изчислено в средата на всеки сегмент от дължината ч(фиг. 2):

. (5)

Формули (3), (4) и (4) се наричат ​​съответно формули на левия, десния и централния правоъгълник.

Ориз. 2

Трапецовидна формула.Тук на всеки елементарен интервал [ x i -1 , x i] дължина чточки с координати ( x i -1 , y i-1) и ( x i, y i) са свързани с сегмент (фиг. 3). Тогава площта на трапеца, изграден върху този интервал, се определя от продукта 0,5 ч(y i -1 + y i). Обобщаване на площите на елементарни трапеци за аз= получаваме приблизителната стойност на интеграла.

Числено интегриране

Основните въпроси, дискутирани на лекцията:

2. Квадратурни формули на Нютон-Котс

3. Формули на правоъгълници

4. Формула на трапец

5. Формула на Симпсън

6. Квадратурни формули на Гаус

7. Метод Монте Карло

1. Постановка на проблема за численото интегриране

Изисква се да се изчисли определен интеграл от вида , като функцията може да бъде дадена както под формата на формула, така и под формата на таблица.

Квадратурни формули на Нютон-Котс

,
където - Коефициенти на Котес.
Тези формули дават различни представяния за различен брой n разделителни сегменти на един и същи интеграционен сегмент.

Правоъгълни формули

Нека се изисква да се изчисли интегралът.
Ако интеграционният сегмент е достатъчно голям, тогава трябва да го разделите на по-малки сегменти с еднаква дължина, където n е броят на сегментите, и като замените криволинейния трапец с правоъгълник на всеки от сегментите, изчислете площите на тези правоъгълници. След това получените площи трябва да се сумират и тази сума ще бъде приета като приблизителна стойност на желания интеграл.
Що се отнася до конструкцията на правоъгълници, те могат да бъдат построени по различни начини: можете да начертаете перпендикуляр на пресечната точка с кривата f (x) от десния край на всеки сегмент (фиг. 1), можете - от левия край (фиг. 2)

Ориз. един

Ориз. 2

В зависимост от това формулите за изчисление са малко по-различни и се наричат ​​формули на правоъгълници съответно с дясна или лява ордината:

(формула на "десните" правоъгълници)

(формула на "левите" правоъгълници)
Има и формула за "средни" правоъгълници: , за които конструкцията на правоъгълници се извършва през средните точки на всеки от сегментите на дяла:

· Трапецовидна формула

· Формула на Симпсън

Замяна на всеки сегмент от дяла на част от кривата y = f(x)върху параболична крива, изчислявайки площите на получените фигури и сумирайки ги, получаваме формулата на Симпсън:

·

· Квадратурни формули на Гаус

Традиционно, когато се получават квадратурни формули на Гаус в оригиналния интеграл, се извършва промяна на променлива, превеждайки интеграла върху сегмента в интеграл върху сегмента [-1; едно]:

.
Тогава .
Ще използваме линейна интерполация на интегранта.
Ако вместо сегмента [-1; 1], за да вземете движещи се възли t1, t2 като интерполационни възли, тогава трябва да изберете тези стойности така, че площта на трапеца да е ограничена отгоре от правата линия, минаваща през точките A1 (t1, φ(t1) ) и A2 (t2, φ(t2)) е равно на интеграла на всеки полином на някои най-високата степен.
Приемайки, че това е полином от трета степен, изчисляваме t1, t2, които се оказват равни на и , като се различават само в номерирането на стойностите.
Освен това, разделяйки интеграционния сегмент на n части, прилагайки описаната по-горе идея към всяка от тях, можем да получим формулата на Гаус:

Идеята за численото интегриране е изключително проста и следва от геометричния смисъл на определения интеграл - стойността на определения интеграл е числено равна на площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията y=f(x), абсцисната ос и правите линии x=a, x=b. Намирайки приблизително площта на криволинейния трапец, получаваме стойността на интеграла. Формално, процедурата за числено интегриране се състои в това, че сегментът [a, b] се разделя на n частични сегмента, след което подинтегралната функция се заменя върху него с лесно интегрируема функция, която според определена зависимост интерполира стойностите ​​на интегранта в точките на разделяне. Помислете сега за най-простия от числени методиинтеграция.

Така че функцията y=f(x)е интегрируема на отсечка и е необходимо да се изчисли нейният интеграл. Нека направим интегрална сума за f(x)на сегмента. За да направим това, разделяме сегмента на n равни части с помощта на точки: x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1.

Ако означим дължината на всяка част с х, така че , тогава за всяка точка x kще има: (k=0, 1, 2, …, n).

Нека сега обозначим с y kстойността на интегранта f(x)тоест да сложим (k=0, 1, …, n).

След това сумите ще бъде интегрална за функцията f(x)на сегмента . (Когато съставяме първата сума, ние вземаме предвид стойностите на функцията y=f(x)в точките, които са левите краища на частичните отсечки, и при компилирането на втората сума, в точките, които са десните краища на тези отсечки.)

По дефиниция на интеграла имаме:

и

Следователно като приблизителна стойност е естествено да се вземе интегралната сума ,тези. слагам:

тези (1)

и (1")

Тези приблизителни равенства се наричат ​​формули на правоъгълник.

В този случай, когато f(x) 0, формули (1) и (1’) от геометрична гледна точка означават, че площта на криволинейния трапец aABb, ограничена от дъгата на кривата y=f(x),ос ои директно х=аи x=b, се взема приблизително равна площстъпаловидна фигура, образувана от n правоъгълника с основи и височини: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1– в случай на формула (1) (фиг. 8) и y 1, y 2, y 3, …, y n– в случай на формула (1") (фиг. 9).

Въз основа на горното геометрично значение на формулите (1) и (1"), методът за приблизително изчисляване на определен интеграл с помощта на тези формули обикновено се нарича правоъгълен метод.

Всяко приблизително изчисление има определена стойност само когато е придружено от оценка на включената грешка. Следователно, формулите на правоъгълника ще бъдат практически подходящи за приблизителното изчисляване на интеграли само ако има удобен метод за оценка на получената грешка (за дадено n), което също позволява да се намери броят на частите n на дяла на сегмента, който гарантира необходимата степен на точност на приблизителното изчисление.

Ще приемем, че функцията f(x)има ограничена производна на сегмента, така че има число M>0, че за всички стойности на x от неравенството |f"(x)|M. Качественият смисъл на това неравенство е, че скоростта на изменение на стойността на функцията е ограничена. В реалните природни системи това изискване е почти винаги изпълнено. При тези условия абсолютната стойност на грешката R n, която допускаме при изчисляване на интеграла, използвайки формулата на правоъгълниците, може да бъде оценена по формулата:

|R n | M(b-a) 2 /2n (2)

При неограничено увеличение на n, изразът M(b-a) 2 /2n, а оттам и абсолютната стойност на грешката R nще клони към нула, т.е. точността на приближението ще бъде толкова по-голяма, колкото по-равни части е разделен сегментът. Абсолютна грешкарезултатът със сигурност ще бъде по-малък от даденото число >0 ако вземете

n > M(b-a) 2/2 .

Следователно, за да изчислите интеграла с определената степен на точност, достатъчно е да разделите сегмента на броя части, Повече ▼ M(b-a) 2/2 . .

Методът на правоъгълниците е най-простият и в същото време най-грубият метод за приблизително интегриране. Забележимо по-малка грешка дава друг метод - методът на трапеца.

Очевидно е, че колкото по-голям е броят n на сегментите на дяла, толкова по-точен резултат ще бъде даден от формулите (3a) и (3b). Въпреки това, не винаги е възможно да се увеличи броят на разделителните сегменти на интеграционния интервал. Следователно формулите, които дават по-точни резултати за същия брой точки на разделяне, са от голям интерес.

Най-простата от тези формули се получава като средноаритметично от десните части на формули (1) и (1"):

(4)

Лесно се вижда геометричен смисълтази формула. Ако на всеки сегмент от дяла дъгата на графиката на интегранта y=f(x) се замени с хорда, която го изважда ( линейна интерполация), тогава получаваме трапец, чиято площ е равна на и следователно формула (4) е площта на фигура, състояща се от такива трапеци (фиг. 10) . От геометрични съображения е ясно, че площта на такава фигура, най-общо казано, ще изрази по-точно площта на криволинейния трапец, отколкото площта на стъпаловидна фигура, разглеждана в метода на правоъгълниците.

Внасяйки подобни членове във формула (4), накрая получаваме

Формула (5) се нарича трапецовидна формула.

Формулата на трапеца често се използва за практически изчисления. Що се отнася до оценката на грешката R nвъзникваща, когато лявата страна на (5) се замени с дясната страна, тогава се доказва, че нейната абсолютна стойност удовлетворява неравенството:

(6)

където М 2е максималният модул на втората производна на подинтегралната функция върху сегмента , т.е.

.

Следователно, R nнамалява поне толкова бързо, колкото .

Абсолютна грешка R nще бъде по-малко от предварително определено число > 0 ако вземете .

Значително повишаване на точността на приблизителните формули може да се постигне чрез увеличаване на реда на интерполация. Един от тези методи за приблизително интегриране е методът на параболата. Идеята на метода се основава на факта, че на частичен интервал дъгата на определена парабола в общия случай е по-близо до кривата y=f(x),отколкото хордата, свързваща краищата на дъгата на тази крива, и следователно стойностите на площите на съответните елементарни трапеци, ограничени „отгоре“ от дъгите на параболите, са по-близки до стойностите на площите на съответните частични криволинейни трапеци, ограничени отгоре от дъгата на кривата y=f(x),отколкото стойностите на площите на съответните праволинейни трапеци. Същността на метода е следната. Сегментът е разделен на 2nравни части. Нека разделителните точки са

x 0 \u003d a, x 1, x 2, ... x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b, а за формулата на параболите - пропорционално на стойността, т.е. методът на параболата се сближава много по-бързо от метода на трапеца, докато от гледна точка на изчислителната техника и двата метода са еднакви.