Трапецовиден метод на числено интегриране c. Изчисляване на интеграли по формулите на правоъгълници и трапеци

Изчисляването на интеграли се среща доста често при моделирането. Числените методи обикновено се прилагат, когато се вземат достатъчно невзети интеграли сложни функции, които са предварително таблични или при интегриране в таблица задайте функции, което е много по-често срещано в икономически приложения.

Концепция числено интегриране.

всички числени методисе основават на факта, че интегралната функция се заменя приблизително с по-проста (хоризонтална или наклонена права линия, парабола от 2-ри, 3-ти или по-висок ред), от която лесно се взема интегралът. В резултат на това се получават формули за интегриране, наречени квадратурни, под формата на претеглена сума от ординатите на интегранта в отделни точки:

Колкото по-малки са интервалите, на които се извършва замяната, толкова по-точно се изчислява интегралът. Следователно началният сегмент [a, b] се разделя на няколко равни или неравни интервала за подобряване на точността, върху всеки от които се прилага формулата за интегриране и след това резултатите се сумират.

В повечето случаи грешката на численото интегриране се определя чрез двойно интегриране: с началната стъпка (стъпката се определя чрез равномерно разделяне сегмент b-aпо броя на сегментите n \ h \u003d (b-a) / n) u със стъпка, увеличена 2 пъти. Разликата между изчислените стойности на интегралите определя грешката.

Сравнение на ефективността различни методисе извършва според степента на полинома, който се интегрира точно, без грешка, по този метод. Колкото по-висока е степента на такъв полином, толкова по-висока е точността на метода, толкова по-ефективен е той.

Най-простите методи са методите правоъгълници(ляво и дясно) и трапец.В първия случай подинтегралната функция се заменя с хоризонтална линия (y = c0) със стойността на ординатата, т.е. стойности на функцията, съответно отляво или отдясно на секцията, във втория случай - наклонена права линия (y \u003d c 1 x + c 0). Формулите за интегриране, когато сегментът [a, b] е разделен съответно на n части с еднаква стъпка h, приемат формата:

За един раздел на интеграция:

за Пинтеграционни секции:

Лесно се вижда, че в метода на правоъгълниците интегралът може да се изчисли точно само когато f(x) = с(const), а при метода на трапеца - когато f(х) линейни или частично линейни.

На фиг. 4 за сравнение показва примери на правоъгълници с различен брой секции. Ясно се вижда, че площта на всички правоъгълници в дясната фигура се различава по-малко от площта под кривата f(x),отколкото отляво.

Ориз. 4. Илюстрация на метода на левия правоъгълник:

а- с 3 разделителни сегмента на интеграционния сегмент [a, b];

b- с 6 разделителни сегмента на интеграционния сегмент [a,b]

Методът Rectangle не намира практическо приложениепоради значителни грешки, което се вижда и от фиг. 4.

На фиг. 5 показва пример за изчисляване на интеграла по метода на трапеца. В сравнение с метода на правоъгълниците, методът на трапеца е по-точен, тъй като трапецът замества съответния криволинеен трапец по-точно от правоъгълника. Фигура 5.

Грешка Ризчисляването на интеграла по метода на трапеца с използване на двойно изчисление на практика може да се определи от следната връзка:

където I nи I p/2- съответно стойностите на интеграла с броя на дяловете Пи p/2.Има и аналитични изрази за определяне на грешката, но те изискват познаване на втората производна на интегранта, така че имат само теоретична стойност. С използването на двойно изчисление е възможно да се организира автоматичен избор на стъпката на интегриране (т.е. броя на дяловете n), за да се осигури дадена грешка на интегриране (последователно удвояване на стъпката и контролиране на грешката).

Получаваме метода на левите правоъгълници:

Получаваме метода на правилните правоъгълници:

Получаваме метода на трапеца:

Трапецовиден методе един от методите за числено интегриране. Позволява ви да изчислявате определени интеграли с предварително определена степен на точност.

Първо, ние описваме същността на метода на трапеца и извеждаме формулата на трапеца. След това пишем оценката абсолютна грешкаметод и анализирайте подробно решението на типични примери. В заключение, нека сравним метода на трапеца с метода на правоъгълника.

Навигация в страницата.

Същността на метода на трапеца.

Нека си поставим следната задача: нека трябва приблизително да изчислим определения интеграл , където интеграндът y=f(x) е непрекъснат на интервала .

Нека разделим отсечката на n равни интервала с дължина h с точки . В този случай стъпката на разделяне се намира, тъй като възлите се определят от равенството.

Разгледайте интегранта на елементарни интервали .

Възможни са четири случая (фигурата показва най-простия от тях, до който всичко се свежда при безкрайно нарастване на n):

На всеки сегмент нека заменим функцията y=f(x) с отсечка, минаваща през точките с координати и . Изобразяваме ги на фигурата със сини линии:

Като приблизителна стойност на интеграла приемаме израза , тоест да вземем .

Нека да разберем какво се има предвид под геометричен смисълписмено приблизително равенство. Това ще позволи да се разбере защо разглежданият метод на числено интегриране се нарича трапецовиден метод.

Знаем, че площта на трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите по височината. Следователно в първия случай площта на криволинейния трапец е приблизително равна на площта на трапец с основи и височина h, като в последния случай определеният интеграл е приблизително равна на площтрапец с основи и височина h, взета със знак минус. Във втория и третия случай приблизителната стойност определен интеграле равно на разликата между площите на червените и сините зони, показани на фигурата по-долу.

Така стигнахме до същността на метода на трапеца, който се състои в представяне на определен интеграл като сума от интеграли от вида на всеки елементарен интервал и в последващата приближена замяна .

Трапецовидна формула.

По силата на петото свойство на определения интеграл .

Ако заместим техните приблизителни стойности вместо интеграли, получаваме:

Оценка на абсолютната грешка на метода на трапеца.

Абсолютна грешка на метода на трапецаоценен като
.

Графична илюстрация на метода на трапец.

Да донесем графична илюстрация на трапецовиден метод:

Примери за приближено изчисляване на определени интеграли по метода на трапеца.

Нека използваме примери, за да анализираме приложението на метода на трапеца при приблизителното изчисляване на определени интеграли.

По принцип има два вида задачи:

• или изчислете определения интеграл по метода на трапеца за даден брой дялове на сегмента n,
• или намиране на приблизителна стойност на определен интеграл с необходимата точност.

Трябва да се отбележи, че за дадено n трябва да се извършват междинни изчисления с достатъчна степен на точност и колкото по-голямо е n, толкова по-висока трябва да бъде точността на изчисленията.

Ако е необходимо да се изчисли определен интеграл с определена точност, например до 0,01, тогава препоръчваме междинните изчисления да се извършват с два или три порядъка по-точно, т.е. до 0,0001 - 0,00001. Ако определената точност се постигне при голямо n, тогава междинните изчисления трябва да се извършват с още по-висока точност.

Например, нека вземем определен интеграл, чиято стойност можем да изчислим с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, така че да можем да сравним този резултат с приблизителна стойност, получена с помощта на метода на трапеца.

Така, .

Пример.

Изчислете определения интеграл, като използвате метода на трапеца за n = 10.

Решение.

Формулата за метода на трапеца е . Тоест, за да го приложим, за нас е достатъчно да изчислим стъпката h с помощта на формулата, да определим възлите и да изчислим съответните стойности на интегранта.

Нека изчислим стъпката на разделяне: .

Дефинираме възлите и изчисляваме стойностите на интегранта в тях (ще вземем четири знака след десетичната запетая):

За удобство резултатите от изчисленията са представени под формата на таблица:

Ние ги заместваме във формулата на метода на трапеца:

Получената стойност съвпада с точност до стотни със стойността, изчислена по формулата на Нютон-Лайбниц.

Пример.

Изчисляване на определен интеграл трапецовиден метод с точност 0,01 .

Решение.

Какво получаваме от условието: a = 1; b=2; .

В този случай, първо, намираме броя на точките на разделяне на интеграционния сегмент, т.е. n. Можем да направим това, като използваме неравенството за оценка на абсолютната грешка . Така, ако намерим n, за което неравенството ще е в сила , тогава формулата за трапец за дадено n ще ни даде приблизителна стойност на определен интеграл с необходимата точност.

Първо да намерим най-висока стойностмодул на втората производна на функцията върху отсечката .

Втората производна на функцията е квадратна парабола, ние знаем от неговите свойства, че е положителен и растящ на интервала, така че . Както можете да видите, в нашия пример процесът на намиране е доста прост. За по-сложни случаи вижте раздела. Ако е много трудно да се намери, тогава след този пример ще дадем алтернативен метод на действие.

Да се ​​върнем към нашето неравенство и заменете получената стойност в нея:

защото n е естествено число (n е броят на елементарните интервали, на които е разделен интеграционният сегмент), тогава можем да вземем n = 6, 7, 8, ... Да вземем n = 6 . Това ще ни позволи да постигнем необходимата точност на трапецовидния метод с минимални изчисления (въпреки че за нашия случай с n = 10 е по-удобно да се извършват ръчни изчисления).

Така, n намерени, сега продължете както в предишния пример.

Изчислете стъпката: .

Намерете възлите на мрежата и стойностите на интегранта в тях:

Нека поставим резултатите от изчисленията в таблицата:

Заместваме получените резултати във формулата на трапеца:

Изчисляваме първоначалния интеграл, като използваме формулата на Нютон-Лайбниц, за да сравним стойностите:

Така се постига необходимата точност.

Трябва да се отбележи, че намирането на числото n от неравенството за оценка на абсолютната грешка не е много проста процедура, особено за интегранти сложен тип. Ето защо е логично да се прибегне до следния метод.

Приблизителната стойност на определения интеграл, получена по метода на трапеца за n възли, ще бъде означена с .

Изберете произволно число n, например n = 10. Използвайки формулата на метода на трапеца, изчисляваме началния интеграл за n = 10 и за два пъти по-голям брой възли, т.е. за n = 20. Намираме абсолютната стойност на разликата между двете получени приблизителни стойности. Ако е по-малка от необходимата точност , тогава спираме изчисленията и приемаме стойността като приблизителна стойност на определения интеграл, като предварително сме го закръглили до необходимия ред на точност. В противен случай удвояваме броя на възлите (взимаме n = 40) и повтаряме стъпките.

Трапецовият метод е един от методите на числено интегриране. Позволява ви да изчислявате определени интеграли с предварително определена степен на точност.

Нека си поставим следния проблем: нека трябва приблизително да изчислим определен интеграл, където интеграндът е y=f(x)непрекъснато включено

сегмент .

Нека разделим сегмента На нинтервали с еднаква дължина чточки . В този случай се намира стъпката на разделяне, чиито възли се определят от равенството.

Разгледайте интегранта на елементарни интервали .

Има четири възможни случая (фигурата показва най-простия от тях, към който всичко се свежда с безкрайно нарастване н):

На всеки сегмент замени функцията y=f(x)отсечка, минаваща през точките с координати и. Изобразяваме ги на фигурата със сини линии:

Като приблизителна стойност на интеграла приемаме израза , тоест да вземем .

Нека разберем какво означава записаното приблизително равенство в геометричен смисъл. Това ще позволи да се разбере защо разглежданият метод на числено интегриране се нарича трапецовиден метод.

Знаем, че площта на трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите по височината. Следователно в първия случай площта на криволинейния трапец е приблизително равна на площта на трапец с основи и височина ч, в последния случай определеният интеграл е приблизително равен на площта на трапеца с основи и височина чвзети със знак минус. Във втория и третия случай приблизителната стойност на определения интеграл е равна на разликата между площите на червените и сините области, показани на фигурата по-долу.

Така стигнахме до същността на метода на трапеца, което се състои в представяне на определения интеграл като сума от интеграли, наблюдавани на всеки елементарен сегмент и в последващото приблизително заместване .

Трапецовидна формула.

По силата на петото свойство на определения интеграл .

Ако заместим техните приблизителни стойности вместо интеграли, получаваме трапецовидна формула:

Оценка на абсолютната грешка на метода на трапеца.

Абсолютна грешка на метода на трапецаоценени като.

Графична илюстрация на метода на трапец.

3. Метод на Симпсън (параболи)

Това е по-перфектен начин - графиката на интегранта се подхожда не с начупена линия, а с малки параболи. Колко междинни сегмента - толкова много малки параболи. Ако вземем същите три сегмента, тогава методът на Симпсън ще даде още по-точно приближение от метода на правоъгълника или метода на трапеца.

Нека функцията y = f(x)непрекъснат на сегмента и трябва да изчислим определения интеграл.

Нека разделим сегмента На нелементарни сегменти от точки с дължина. Нека точките са съответно средите на отсечките. В този случай всички "възли" се определят от равенството.

Същността на метода на параболата.

На всеки интервал интегрантът се апроксимира с квадратична парабола преминаващи през точките. Оттук и името на метода - метод на параболите.

Това се прави, за да се приеме като приблизителна стойност на определен интеграл , което можем да изчислим с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. Ето какво Същност на метода на параболата.

Геометрично изглежда така:

Графична илюстрация на метода на параболата (Симпсън).

Червената линия показва графиката на функцията y=f(x), синята линия показва апроксимацията на графиката на функцията y=f(x)квадратни параболи на всеки елементарен сегмент от дяла.

Извеждане на формулата на метода на Симпсън (параболи).

По силата на петото свойство на определения интеграл имаме .

За да получим формулата за метода на параболата (Симпсън), трябва да изчислим .

Нека (винаги можем да стигнем до това, като извършим съответната трансформация на геометрично изместване за всяко i = 1, 2, ..., n).

Да направим рисунка.

Нека покажем, че само една квадратна парабола минава през точките . С други думи, доказваме, че коефициентите са еднозначно определени.

Изчисляване на интеграли по формулите на правоъгълници, трапеци и формула на Симпсън. Оценка на грешките.

Насокипо тема 4.1:

Изчисляване на интеграли по формули на правоъгълници. Оценка на грешката:

Решаването на много технически проблеми се свежда до изчисляването на определени интеграли, чието точно изразяване е трудно, изисква дълги изчисления и не винаги е оправдано на практика. Тук тяхната приблизителна стойност е напълно достатъчна. Например, трябва да изчислите площта ограничена с линия, чието уравнение е неизвестно, оста хи две ординати. В този случай можете да замените тази линия с по-проста, за която уравнението е известно. Площта на така получения криволинеен трапец се приема като приблизителна стойност на желания интеграл. Геометрично, идеята зад метода за изчисляване на определения интеграл с помощта на формулата на правоъгълниците е, че площта на криволинейния трапец A 1 ABB 1се заменя с площта на правоъгълник с равна площ A 1 A 2 B 1 B 2, което според теоремата за средната стойност е равно на

Където е(в) --- височинаправоъгълник A 1 A 2 B 1 B 2,което е стойността на интегранта в някаква междинна точка c(a< c