Доказателство:

Нека първо докажем теоремата за случая на последователността

Според биномната формула на Нютон:

Ако приемем, че получим

От това равенство (1) следва, че с нарастването на n броят на положителните членове от дясната страна се увеличава. Освен това, когато n нараства, числото намалява, така че количествата нараства. Следователно последователността нараства, докато (2)* Нека покажем, че е ограничен. Нека заменим всяка скоба от дясната страна на равенството с една, дясна частнараства, получаваме неравенството

Засилваме полученото неравенство, заместваме 3,4,5, ..., стоящи в знаменателите на дробите, с числото 2: Намираме сумата в скоби по формулата за сумата на членовете геометрична прогресия: Ето защо (3)*

Така последователността е ограничена отгоре, а неравенствата (2) и (3) са в сила: Следователно, въз основа на теоремата на Вайерщрас (критерий за сходимост на последователност), последователността нараства монотонно и е ограничено, което означава, че има граница, означена с буквата e. Тези.

Знаейки, че втората забележителна граница е вярна за естествените стойности на x, ние доказваме втората забележителна граница за реално x, тоест доказваме, че . Разгледайте два случая:

1. Нека всяка стойност на x е затворена между две положителни цели числа: , където е цяла частх. => =>

Ако , тогава Следователно, според ограничението Ние имаме

По знак (за границата междинна функция) наличието на ограничения

2. Нека . Тогава нека направим заместване − x = t

От тези два случая следва, че за реално х.

Последствия:

9 .) Сравнение на безкрайно малки. Теоремата за замяната на безкрайно малките с еквивалентни в предела и теоремата за главната част на безкрайно малките.

Нека функциите a( х) и b( х) – б.м. при х ® х 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1) а( х) Наречен безкрайно малко повече висок редкак b (х) ако

Запишете: a( х) = o(b( х)) .

2) а( х) и b( х)Наречен безкрайно малки от същия порядък, ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

Запишете: a( х) = О(б( х)) .

3) а( х) и b( х) Наречен еквивалентен , ако

Запишете: a( х) ~ b( х).

4) а( х) се нарича безкрайно малък ред k по отношение на
много безкрайно малък b( х), ако е безкрайно малъка( х)и(б( х)) к имат същия ред, т.е. ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (относно замяната на безкрайно малки с еквивалентни).

Позволявама( х), b( х), а 1 ( х), b 1 ( х)– б.м. при х ® х 0 . Акоа( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х),

тогава

Доказателство: Нека a( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х), тогава

ТЕОРЕМА 7 (за основната част от безкрайно малкия).

Позволявама( х)и b( х)– б.м. при х ® х 0 , и b( х)– б.м. по-висок порядък ота( х).

= , a тъй като b( х) – по-висок ред от a( х), тогава , т.е. от ясно е, че а( х) + b( х) ~ a( х)

10) Непрекъснатост на функцията в точка (на езика на границите епсилон-делта, геометрична) Едностранна непрекъснатост. Непрекъснатост на интервал, на отсечка. Свойства на непрекъснатите функции.

1. Основни определения

Позволявам f(х) е дефинирана в някаква околност на точката х 0 .

ДЕФИНИЦИЯ 1. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако равенството е вярно

Забележки.

1) Съгласно теорема 5 от §3, равенството (1) може да бъде записано като

Условие (2) - дефиниция на непрекъснатостта на функция в точка на езика на едностранните граници.

2) Равенство (1) може да се запише и като:

Те казват: „ако една функция е непрекъсната в точка х 0 , тогава знакът на границата и функцията могат да бъдат разменени.

ДЕФИНИЦИЯ 2 (на език e-d).

функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако"e>0 $d>0 такива, Какво

ако хОU( х 0 , d) (т.е. | х – х 0 | < d),

след това f(х)ОU( f(х 0), e) (т.е. | f(х) – f(х 0) | < e).

Позволявам х, х 0 Î д(f) (х 0 - фиксиран, х-произволен)

Обозначете: D х= х-х 0 – увеличение на аргумента

д f(х 0) = f(х) – f(х 0) – нарастване на функцията в точка x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрично).

функция f(х) на Наречен непрекъснато в точка х 0 ако в този момент безкрайно малко увеличение на аргумента съответства на безкрайно малко увеличение на функцията, т.е.

Нека функцията f(х) е дефинирана на интервала [ х 0 ; х 0 + d) (на интервала ( х 0 - d; х 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 на дясно (наляво ), ако равенството е вярно

Очевидно е, че f(х) е непрекъсната в точката х 0 Û f(х) е непрекъсната в точката х 0 дясно и ляво.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато на интервал д ( а; b) ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

функция f(х) се нарича непрекъснат на сегмента [а; b] ако е непрекъснат на интервала (а; b) и има едностранна непрекъснатост в граничните точки(т.е. непрекъснато в точката анадясно, точка b- наляво).

11) Точки на прекъсване, тяхната класификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ако функцията f(х) е определена в някаква околност на точката x 0 , но не е непрекъснат в тази точка, тогава f(х) се нарича прекъснат в точката x 0 , но точката х 0 наречена точка на пречупване функции f(х) .

Забележки.

1) f(х) могат да бъдат определени в непълна околност на точката х 0 .

След това разгледайте съответната едностранна непрекъснатост на функцията.

2) От дефиницията на z, точката х 0 е точката на прекъсване на функцията f(х) в два случая:

а) U( х 0 , г)н д(f) , но за f(х) равенството не е спазено

б) U * ( х 0 , г)н д(f) .

За елементарни функции е възможен само случай b).

Позволявам х 0 - точка на прекъсване на функцията f(х) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване аз мил ако функцията f(х)има крайни граници в тази точка отляво и отдясно.

Ако освен това тези граници са равни, тогава точката x 0 Наречен точка на пречупване , в противен случай - точка на скок .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване II мил ако поне една от едностранните граници на функцията f(х)в този момент е равно на¥ или не съществува.

12) Свойства на функции, непрекъснати на отсечка (теореми на Вайерщрас (без доказателство) и Коши

Теорема на Вайерщрас

Нека функцията f(x) е непрекъсната на отсечката , тогава

1)f(x) е ограничено до

2)f(x) приема най-малката си стойност в интервала и най-висока стойност

Определение: Стойността на функцията m=f се нарича най-малка, ако m≤f(x) за всеки x € D(f).

Стойността на функцията m=f се нарича най-голяма, ако m≥f(x) за всеки x € D(f).

Функцията може да приема най-малката \ най-голямата стойност в няколко точки от сегмента.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцията f(x) е непрекъсната на сегмента и x е числото, затворено между f(a) и f(b), тогава има поне една точка x 0 € такава, че f(x 0)= g

Тази статия: „Втората забележителна граница“ е посветена на разкриването в рамките на несигурността на вида:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Също така такива несигурности могат да бъдат разкрити с помощта на логаритъма на експоненциалната степенна функция, но това е друг метод за решение, който ще бъде разгледан в друга статия.

Формула и последствия

Формулавторо прекрасен лимитсе записва по следния начин: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( където ) e \приблизително 2,718 $$

От формулата следват последствия, които са много удобни за решаване на примери с граници: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( където ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Трябва да се отбележи, че втората забележителна граница не винаги може да се приложи към експоненциална степенна функция, а само в случаите, когато основата клони към единица. За да направите това, първо изчислете границата на основата в ума и след това направете изводи. Всичко това ще бъде обсъдено в примерните решения.

Примери за решения

Разгледайте примери за решения, използващи директната формула и нейните последствия. Ще анализираме и случаите, в които формулата не е необходима. Достатъчно е да запишете само готовия отговор.

Пример 1

Намерете лимит $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Решение

Заместете безкрайността в границата и погледнете несигурността: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Намерете границата на основата: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Имаме основа, равна на едно, което означава, че вече можете да приложите втората чудесна граница. За да направим това, ще съобразим основата на функцията с формулата, като извадим и добавим едно: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Разглеждаме второто следствие и записваме отговора: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете го до нас. Ние ще осигурим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!

Отговор

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Пример 4

Граница на решаване $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Решение

Намираме границата на основата и виждаме, че $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, така че можем да приложим втората чудесна граница. Като стандарт, според плана, добавяме и изваждаме едно от основата на степента: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Коригираме фракцията по формулата на 2-ра нота. ограничение: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Сега регулирайте степента. Показателят трябва да съдържа дроб, равен на знаменателя на основата $ \frac(3x^2-2)(6) $. За да направите това, умножете и разделете степента на нея и продължете да решавате: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Границата, намираща се в степента при $ e $, е: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Следователно, продължавайки решението, имаме:

Отговор

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Нека анализираме случаите, когато проблемът е подобен на второто забележително ограничение, но се решава без него.

В статията: „Втората забележителна граница: Примери за решения“ бяха анализирани формулата, нейните последствия и бяха дадени често срещани типове задачи по тази тема.

От горната статия можете да разберете каква е границата и с какво се яде - това е МНОГО важно. Защо? Може да не разбирате какви са детерминантите и да ги решавате успешно, може изобщо да не разбирате какво е производна и да ги намирате на "петицата". Но ако не разбирате какво е лимит, тогава ще бъде трудно да решите практически задачи. Също така няма да е излишно да се запознаете с образците на дизайна на решенията и моите препоръки за дизайн. Цялата информация е представена по прост и достъпен начин.

А за целите на този урок са ни необходими следните методически материали: Забележителни границии Тригонометрични формули. Те могат да бъдат намерени на страницата. Най-добре е да отпечатате ръководствата - това е много по-удобно, освен това те често трябва да бъдат достъпни офлайн.

Какво е забележителното в прекрасните граници? Забележителността на тези граници се крие във факта, че те са доказани от най-големите умове на известни математици и благодарните потомци не трябва да страдат от ужасни граници с купчина тригонометрични функции, логаритми и степени. Тоест при намирането на границите ще използваме готови резултати, които са доказани теоретично.

Има няколко забележителни ограничения, но на практика задочниците в 95% от случаите имат две забележителни ограничения: Първият прекрасен лимит, Втората прекрасна граница. Трябва да се отбележи, че това са исторически установени имена и когато например говорят за „първата прекрасна граница“, те имат предвид под това много специфично нещо, а не някаква произволна граница, взета от тавана.

Първият прекрасен лимит

Помислете за следното ограничение: (вместо родната буква „той“ ще използвам гръцка буква"алфа", той е по-удобен по отношение на представянето на материала).

Според нашето правило за намиране на граници (вижте статията Ограничения. Примери за решения) се опитваме да заместим нула във функцията: в числителя получаваме нула (синусът на нулата е нула), в знаменателя, очевидно, също нула. Така се сблъскваме с неопределеност на формата, която, за щастие, не е необходимо да се разкрива. Знам математически анализ, се доказва, че:

Този математически факт се нарича Първият прекрасен лимит. Няма да давам аналитично доказателство за лимита, но ето го геометричен смисълНека да разгледаме урока безкрайно малки функции.

Често в практическите задачи функциите могат да бъдат подредени по различен начин, това не променя нищо:

– същата първа прекрасна граница.

Но не можете сами да пренаредите числителя и знаменателя! Ако границата е дадена във формата, тогава тя трябва да бъде решена в същата форма, без да се пренарежда нищо.

На практика не само променлива може да действа като параметър, но и елементарна функция, сложна функция. Важно е само да клони към нула.

Примери:
, , ,

Тук , , , , и всичко бръмчи - приложимо е първото прекрасно ограничение.

И ето следващият запис - ерес:

Защо? Тъй като полиномът не клони към нула, той клони към пет.

Между другото въпросът е за насипване, но каква е границата ? Отговорът може да бъде намерен в края на урока.

На практика не всичко е толкова гладко, почти никога на ученик няма да бъде предложено да реши безплатен лимит и да получи лесен кредит. Хммм... Пиша тези редове и ми хрумна една много важна мисъл - все пак май е по-добре да помним "свободните" математически дефиниции и формули наизуст, това може да бъде от безценна помощ в теста, когато проблемът ще бъде решен между „две“ и „три“ и учителят решава да зададе на ученика някакъв прост въпрос или да предложи да реши най-простият пример(„може би той (а) все още знае какво ?!“).

Да преминем към разглеждането практически примери:

Пример 1

Намерете границата

Ако забележим синус в границата, това веднага трябва да ни накара да мислим за възможността за прилагане на първата забележителна граница.

Първо се опитваме да заменим 0 в израза под знака за граница (правим това мислено или на чернова):

И така, имаме неопределеност на формата, нейната не забравяйте да посочитепри вземане на решение. Изразът под знака за граница изглежда като първата прекрасна граница, но това не е съвсем, това е под синуса, но в знаменателя.

В такива случаи трябва сами да организираме първия прекрасен лимит, използвайки изкуствено устройство. Линията на разсъждение може да бъде следната: „под синуса имаме, което означава, че трябва да влезем и в знаменателя“.
И това се прави много просто:

Тоест, в този случай знаменателят е изкуствено умножен по 7 и разделен на същите седем. Сега записът придоби позната форма.
Когато задачата се съставя на ръка, препоръчително е да се отбележи първата забележителна граница с обикновен молив:

Какво стана? Всъщност ограденият израз се превърна в единица и изчезна в продукта:

Сега остава само да се отървем от триетажната фракция:

Който е забравил опростяването на многоетажните дроби, моля, опреснете материала в справочника Горещи училищни математически формули .

Готов. Окончателен отговор:

Ако не искате да използвате маркировки с молив, тогава решението може да бъде форматирано по следния начин:

“

Използваме първата забележителна граница

“

Пример 2

Намерете границата

Отново виждаме дроб и синус в границата. Опитваме се да заменим нула в числителя и знаменателя:

Наистина имаме несигурност и следователно трябва да се опитаме да организираме първата забележителна граница. На урока Ограничения. Примери за решенияразгледахме правилото, че когато имаме несигурност, тогава трябва да разложим числителя и знаменателя на фактори. Тук - същото, ще представим степените като произведение (множители):

Подобно на предишния пример, очертаваме с молив прекрасните граници (тук има две от тях) и показваме, че те клонят към една:

Всъщност отговорът е готов:

В следващите примери няма да правя изкуство в Paint, мисля как правилно да съставя решение в тетрадка - вече разбирате.

Пример 3

Намерете границата

Заменяме нула в израза под знака за граница:

Получена е несигурност, която трябва да бъде разкрита. Ако в границата има тангенс, тогава той почти винаги се преобразува в синус и косинус според добре известната тригонометрична формула (между другото, те правят приблизително същото с котангенса, вижте по-долу). методически материал Горещи тригонометрични формулиНа страницата Математически формули, таблици и справочни материали).

В такъв случай:

Косинусът от нула е равен на едно и е лесно да се отървете от него (не забравяйте да отбележите, че клони към едно):

Така, ако в границата косинусът е МНОЖИТЕЛ, тогава, грубо казано, той трябва да се превърне в единица, която изчезва в произведението.

Тук всичко се оказа по-просто, без никакви умножения и деления. Първата забележителна граница също се превръща в единство и изчезва в продукта:

В резултат на това се получава безкрайност, случва се.

Пример 4

Намерете границата

Опитваме се да заменим нула в числителя и знаменателя:

Получена несигурност (косинус от нула, както помним, е равен на едно)

Ние използваме тригонометрична формула. Да вземат под внимание! По някаква причина ограниченията, използващи тази формула, са много често срещани.

Изваждаме постоянните множители отвъд иконата за ограничение:

Нека организираме първия забележителен лимит:

Тук имаме само едно прекрасно ограничение, което се превръща в едно и изчезва в продукта:

Да се ​​отървем от триетажния:

Границата всъщност е решена, показваме, че оставащият синус клони към нула:

Пример 5

Намерете границата

Този пример е по-сложен, опитайте се да го разберете сами:

Някои граници могат да бъдат намалени до първата забележителна граница чрез промяна на променливата, можете да прочетете за това малко по-късно в статията Методи за решаване на граници.

Втората прекрасна граница

В теорията на математическия анализ е доказано, че:

Този факт се нарича второ забележително ограничение.

Справка: е ирационално число.

Не само променлива може да действа като параметър, но и сложна функция. Важно е само да се стреми към безкрайност.

Пример 6

Намерете границата

Когато изразът под знака за граница е в сила - това е първият знак, че трябва да се опитате да приложите втората прекрасна граница.

Но първо, както винаги, се опитваме да заместваме безкрайно голямо числов израза, по какъв принцип се прави това, беше анализирано в урока Ограничения. Примери за решения.

Лесно е да се види, че когато основата на степента и показателят - , тоест има несигурност на формата:

Тази несигурност се разкрива само с помощта на втората забележителна граница. Но, както често се случва, втората прекрасна граница не лежи на сребърен поднос и трябва да бъде изкуствено организирана. Можете да разсъждавате по следния начин: в този пример параметърът означава, че трябва да организираме и индикатора. За да направим това, повдигаме основата на степен и за да не се промени изразът, го повдигаме на степен:

Когато задачата е съставена на ръка, отбелязваме с молив:

Почти всичко е готово, ужасната степен се е превърнала в красиво писмо:

В същото време самата икона на лимита се премества в индикатора:

Пример 7

Намерете границата

внимание! Този тип лимит е много често срещан, моля, проучете внимателно този пример.

Опитваме се да заменим безкрайно голямо число в израза под знака за граница:

Резултатът е несигурност. Но второто забележително ограничение се отнася до несигурността на формата. Какво да правя? Трябва да конвертирате основата на степента. Ние разсъждаваме така: в знаменателя имаме , което означава, че трябва да организираме и в числителя.

Има няколко прекрасни граници, но най-известните са първата и втората чудесни граници. Забележителното при тези лимити е, че те се използват широко и могат да се използват за намиране на други лимити, срещани при множество проблеми. Това е, което ще правим в практическата част на този урок. За да се решат проблемите чрез намаляване до първата или втората забележителна граница, не е необходимо да се разкриват съдържащите се в тях несигурности, тъй като стойностите на тези граници отдавна са изведени от велики математици.

Първата забележителна границанаречена граница на съотношението на синуса на безкрайно малка дъга към същата дъга, изразено в радианова мярка:

Нека да преминем към решаването на задачи на първата забележителна граница. Забележка: ако една тригонометрична функция е под знака за граница, това е почти сигурен знак, че този израз може да бъде намален до първата забележителна граница.

Пример 1Намерете границата.

Решение. Вместо това заместване хнула води до несигурност:

.

Знаменателят е синус, следователно изразът може да бъде намален до първата забележителна граница. Да започнем трансформацията:

.

В знаменателя - синус от три x, а в числителя има само едно x, което означава, че трябва да получите три x в числителя. За какво? Да представя 3 х = аи вземете израза.

И стигаме до вариант на първата забележителна граница:

защото няма значение коя буква (променлива) в тази формула е вместо x.

Умножаваме x по три и веднага разделяме:

.

В съответствие с отбелязаното първо забележително ограничение, заместваме дробния израз:

Сега най-накрая можем да решим тази граница:

.

Пример 2Намерете границата.

Решение. Директното заместване отново води до несигурността „нула, делене на нула“:

.

За да получим първата забележителна граница, е необходимо х под знака синус в числителя и само х в знаменателя да са с еднакъв коефициент. Нека този коефициент е равен на 2. За да направите това, нека си представим текущия коефициент при x, както е показано по-долу, изпълнявайки действия с дроби, получаваме:

.

Пример 3Намерете границата.

Решение. При заместване отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Вероятно вече разбирате, че от оригиналния израз можете да получите първата прекрасна граница, умножена по първата прекрасна граница. За да направим това, разлагаме квадратите на х в числителя и синуса в знаменателя на едни и същи множители и за да получим еднакви коефициенти за х и синуса, разделяме х в числителя на 3 и веднага умножете по 3. Получаваме:

.

Пример 4Намерете границата.

Решение. Отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Можем да получим съотношението на първите две забележителни граници. Разделяме и числителя, и знаменателя на x. След това, за да съвпаднат коефициентите при синуси и при x, умножаваме горното x по 2 и веднага делим на 2, а долното x умножаваме по 3 и веднага делим на 3. Получаваме:

Пример 5Намерете границата.

Решение. И отново, несигурността на "нула, разделена на нула":

Спомняме си от тригонометрията, че тангенсът е съотношението на синуса към косинуса, а косинусът на нулата е равен на едно. Правим трансформации и получаваме:

.

Пример 6Намерете границата.

Решение. Тригонометричната функция под знака за граница отново подсказва идеята за прилагане на първата забележителна граница. Представяме го като отношение на синус към косинус.

Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда изчисляване на границата на функцията. програма ограничителни решенияне само дава отговор на проблема, той води подробно решение с обяснения, т.е. показва напредъка на изчисляването на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищав подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпита, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Въведете функционален израз

Изчислете лимита

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са се заредили и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Границата на функцията при x-> x 0

Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Вземете от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаващи се към x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се постави въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката x \u003d x 0 (или в x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x която се свежда до x 0, различна от x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.

Има и друга дефиниция на границата на функция.

ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0 \) съществува число \(\delta > 0 \), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващ неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Първата дефиниция се основава на понятието за граница числова последователност, поради което често се нарича дефиниция на „езика на последователността“. Втората дефиниция се нарича дефиниция на "език \(\varepsilon - \delta \)".
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях, в зависимост от това коя е по-удобна за решаване на определен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)" също се нарича дефиниция на границата на функция според Коши.

Функционална граница при x->x 0 - и при x->x 0 +

В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки) от x 0 , съответната последователност (2) се сближава с A.

Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Може да се даде еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция "на езика \(\varepsilon - \delta \)":

Определениечислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0 \) съществува \(\delta > 0 \), така че за всички x, удовлетворяващи неравенствата \(x_0 Символни записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0