Граници според правилото на L'Hopital, примери за решения. Изчислете функционалните граници онлайн
Представете си стадо врабчета с изпъкнали очи. Не, това не е гръм, не е ураган или дори малко момче с прашка в ръце. Просто огромно, огромно гюле лети в самата гъстота на пилетата. Точно Правилата на L'Hopitalсправят се с границите, в които несигурността или .
Правилата на L'Hôpital са много мощен метод, който ви позволява бързо и ефективно да премахнете тези несигурности, неслучайно в сборниците със задачи, на тестове, в тестовете често има постоянен печат: „изчислете границата, без да използвате правилото на L'Hopital" Изискването с удебелен шрифт може да се приложи с чиста съвест към всеки лимит на урока Ограничения. Примери за решения, Прекрасни граници. Методи за решаване на граници, Забележителни еквивалентности, където възниква несигурността „нула до нула“ или „безкрайност до безкрайност“. Дори ако задачата е формулирана накратко - „изчислете границите“, мълчаливо се разбира, че ще използвате всичко, но не и правилата на L'Hopital.
Правилата са общо две и много си приличат както по същество, така и по начина на приложение. Освен директни примери по темата, ще учим и допълнителен материал, което ще бъде полезно при по-нататъшно проучване математически анализ.
Веднага ще направя резервация, че правилата ще бъдат представени в лаконична „практическа“ форма и ако трябва да вземете теоретичния тест, препоръчвам да се обърнете към учебника за по-строги изчисления.
Първото правило на L'Hopital
Нека разгледаме функциите, които безкрайно малъкв някакъв момент. Ако има граница на връзката им, тогава, за да премахнем несигурността, можем да вземем две производни- от числителя и от знаменателя. при което: 
, това е .
Забележка : Ограничението също трябва да съществува, в противен случай правилото не важи.
Какво следва от горното?
Първо, трябва да можете да намерите производни на функции, и колкото по-добре, толкова по-добре =)
Второ, производните се вземат ОТДЕЛНО от числителя и ОТДЕЛНО от знаменателя. Моля, не бъркайте с правилото за диференциране на коефициентите 
!!!
И трето, „X“ може да се стреми навсякъде, включително до безкрайност - стига да има несигурност.
Да се върнем към пример 5 от първата статия относно лимитите, което доведе до следния резултат: 
За несигурност 0:0 прилагаме първото правило на L'Hôpital:
Както можете да видите, диференцирането на числителя и знаменателя ни доведе до отговора за половин оборот: намерихме две прости производни, заменихме „двете“ в тях и се оказа, че несигурността изчезна безследно!
Не е необичайно правилата на L'Hôpital да се прилагат последователно към две или голямо количествопъти (това важи и за второто правило). Нека го извадим за една ретро вечер Пример за урок 2 за прекрасни граници:
Две франзели отново се охлаждат на двуетажното легло. Нека приложим правилото на L'Hopital: 
Моля, обърнете внимание, че в първата стъпка се взема знаменателят производна на сложна функция. След това извършваме редица междинни опростявания, по-специално се отърваваме от косинуса, което показва, че той клони към единица. Несигурността не е елиминирана, така че прилагаме отново правилото на L'Hopital (втори ред).
Нарочно избрах не толкова прост пример, за да можете да си направите малък самотест. Ако не е съвсем ясно как са открити производни, трябва да засилите техниката си на диференциране, ако трикът с косинуса не е ясен, моля, върнете се към забележителни граници. Не виждам много смисъл от коментари стъпка по стъпка, тъй като вече говорих за деривати и лимити достатъчно подробно. Новостта на статията се крие в самите правила и някои технически решения.
Както вече беше отбелязано, в повечето случаи не е необходимо да се използват правилата на L'Hopital, но често е препоръчително да се използват за груба проверка на решение. Често, но не винаги. Така например току-що разгледаният пример е много по-изгоден за проверка прекрасни еквиваленти.
Второто правило на L'Hopital
Брат-2 се бие с две спящи осмици. По същия начин:
Ако има граница на отношението безкрайно голямвъв функционалната точка: , тогава, за да елиминираме несигурността, можем да вземем две производни– ОТДЕЛНО от числителя и ОТДЕЛНО от знаменателя. при което: 
, това е при диференциране на числителя и знаменателя стойността на границата не се променя.
Забележка : трябва да има ограничение
Отново в различни практически примери значението може да е различно, включително безкрайно. Важно е да има несигурност.
Да проверим пример № 3 от първия урок: 
. Използваме второто правило на L'Hopital:
Тъй като говорим за гиганти, нека да разгледаме две канонични ограничения:
Пример 1
Изчислете лимита
Не е лесно да се получи отговор с помощта на „конвенционални“ методи, така че за да разкрием несигурността „безкрайност до безкрайност“, използваме правилото на L’Hopital: 
По този начин, линейна функцияпо-висок ред на нарастване от логаритъм с основа, по-голяма от единица( и т.н.). Разбира се, „X“ в по-високи степени също ще „дърпат“ такива логаритми. Действително функцията расте доста бавно и нейната графике по-плоска спрямо същото „X“.
Пример 2
Изчислете лимита
Още един познат кадър. За да елиминираме несигурността, ние използваме правилото на L'Hopital, освен това два пъти подред:
Експоненциална функция, с основа по-голяма от единица(и др.) по-висок ред на растеж от степенна функцияс положителна степен.
Подобни ограничения се срещат по време на пълно функционално изследване, а именно при намиране асимптоти на графики. Те също се забелязват в някои задачи теория на вероятностите. Съветвам ви да вземете под внимание двата разгледани примера; това е един от малкото случаи, когато няма нищо по-добро от разграничаването на числителя и знаменателя.
По-нататък в текста няма да правя разлика между първото и второто правило на L'Hôpital; това беше направено само с цел структуриране на статията. Като цяло, от моя гледна точка, е донякъде вредно прекомерното номериране на математически аксиоми, теореми, правила, свойства, тъй като фрази като „съгласно следствие 3 от теорема 19...“ са информативни само в рамките на конкретен учебник . В друг източник на информация същото ще бъде „Следствие 2 и теорема 3“. Такива твърдения са формални и удобни само за самите автори. В идеалния случай е по-добре да се обърнете към същността на математическия факт. Изключение правят исторически установените термини, напр. първата прекрасна границаили втора прекрасна граница.
Продължаваме да развиваме тема, която ни беше предложена от член на Парижката академия на науките, маркиз Гийом Франсоа дьо Л'Опитал. Артикулът придобива подчертан практичен вкус и в доста често срещана задача се изисква:
За да се загреем, нека се справим с няколко малки врабчета:
Пример 3
Границата може първо да бъде опростена, като се отървем от косинуса, но нека спазваме условието и незабавно разграничим числителя и знаменателя: 
В процеса на намиране на производни няма нищо нестандартно, например знаменателят използва обичайния правило за диференцираневърши работа 
.
Разглежданият пример е разрешен чрез прекрасни граници, подобен случай е разгледан в края на статията Комплексни граници.
Пример 4
Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital 
Това е пример, който можете да решите сами. Добра шега =)
Типична ситуация е, когато след диференциране се получават три- или четириетажни фракции:
Пример 5
Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital
Моли да се използва забележителна еквивалентност, но пътят е строго предопределен от условието:
След диференциацията силно препоръчвам да се отървете от многоетажната фракция и да извършите максимални опростявания. Разбира се, по-подготвените ученици могат да пропуснат последна стъпкаи веднага запишете: 
, но дори и отличниците ще се объркат в определени граници.
Пример 6
Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital
Пример 7
Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital
Това са примери, които можете да решите сами. В пример 7 не е нужно да опростявате нищо; дробта, получена след диференциране, е твърде проста. Но в пример 8, след прилагане на правилото на L'Hopital, е много желателно да се отървете от триетажната конструкция, тъй като изчисленията няма да бъдат най-удобните. Пълно решение и отговор в края на урока. Ако имате затруднения - тригонометрична таблицада помогна.
И опростяванията са абсолютно необходими, когато след диференциацията има несигурност не е разрешено.
Пример 8
Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital
Отивам: 
Интересно е, че първоначалната несигурност след първото диференциране се превърна в несигурност и правилото на L'Hôpital спокойно се прилага по-нататък. Също така забележете как след всеки „подход“ четириетажната част се елиминира и константите се преместват отвъд граничния знак. В повече прости примериПо-удобно е да не включваме константи, но когато границата е сложна, опростяваме всичко, всичко, всичко. Коварството на разгадания пример се състои и в това, че когато 
, и следователно, по време на елиминирането на синусите, не е изненадващо да се объркате в знаците. В предпоследния ред синусите не можеха да бъдат убити, но примерът е доста тежък, простимо.
Онзи ден попаднах на интересна задача:
Пример 9
Честно казано, малко се съмнявах на какво ще бъде равен този лимит. Както беше показано по-горе, "x" е повече висок редвисочина от логаритъма, но ще „претегли ли“ кубичния логаритъм? Опитайте се сами да разберете кой ще спечели.
Да, правилата на L'Hopital са не само стрелба по врабчета с оръдие, но и усърдна работа...
За да се приложат правилата на L'Hopital към гевреци или уморени осмици, несигурността на формата е намалена.
Справянето с несигурността е разгледано подробно в примери № 9-13 от урока. Методи за решаване на граници. Нека вземем друг за формалност:
Пример 10
Изчислете границата на функция, като използвате правилото на L'Hopital 
На първата стъпка привеждаме израза към общ знаменател, като по този начин превръщаме несигурността в несигурност. И тогава зареждаме правилото на L'Hopital: 
Тук, между другото, е случаят, когато докосването на четириетажния израз е безсмислено.
Несигурността също не се съпротивлява да се превърне в или:
Пример 11
Изчислете границата на функция, като използвате правилото на L'Hopital
Ограничението тук е едностранно и такива ограничения вече са обсъдени в ръководството Графики и свойства на функциите. Както си спомняте, графиката на „класическия“ логаритъм не съществува отляво на оста, така че можем да се доближим до нулата само отдясно.
Правилата на L'Hopital за едностранни ограничения работят, но първо трябва да се преодолее несигурността. На първата стъпка правим триетажна фракция, получавайки несигурност, след което решението следва шаблонна схема: 
След като диференцираме числителя и знаменателя, ние се отърваваме от четириетажната дроб, за да извършим опростявания. В резултат на това се появи несигурност. Повтаряме трика: отново правим дробта триетажна и отново прилагаме правилото на L'Hopital към получената несигурност:
Готов.
Човек може да се опита да намали първоначалния лимит до две понички: 
Но, първо, производната в знаменателя е по-трудна и второ, нищо добро няма да излезе от това.
По този начин, Преди да решите подобни примери, трябва да анализирате(устно или на чернова), КОЯ несигурност е по-изгодно да се намали до - до „нула до нула” или до „безкрайност до безкрайност”.
На свой ред към огъня се присъединяват приятели по пиене и по-екзотични другари. Методът на трансформация е прост и стандартен.
Решение ограничения на онлайн функциите. Намерете граничната стойност на функция или функционална последователност в точка, изчислете крайнастойността на функцията в безкрайност. определяне на сходимостта на редица от числа и много повече може да се направи благодарение на нашата онлайн услуга -. Позволяваме ви да намерите функционални ограничения онлайн бързо и точно. Вие сами въвеждате функционалната променлива и границата, към която тя клони, а нашата услуга извършва всички изчисления вместо вас, като дава точен и прост отговор. И за намиране на лимита онлайнможете да въвеждате както числови серии, така и аналитични функции, съдържащи константи в буквален израз. В този случай намерената граница на функцията ще съдържа тези константи като постоянни аргументи в израза. Нашата услуга решава всякакви сложни проблеми с намирането лимити онлайн, достатъчно е да посочите функцията и точката, в която е необходимо да се изчисли гранична стойност на функцията. Изчисляване онлайн ограничения, можеш да използваш различни методии правилата за тяхното решаване, при проверка на получения резултат с решаване на лимити онлайнна www.site, което ще доведе до успешно изпълнение на задачата - ще избегнете собствените си грешки и технически грешки. Или можете напълно да ни се доверите и да използвате нашия резултат в работата си, без да харчите допълнителни усилия и време за самостоятелно изчисляване на границата на функцията. Разрешаваме въвеждане на гранични стойности като безкрайност. Трябва да въведете общ термин числова последователностИ www.сайтще изчисли стойността лимит онлайндо плюс или минус безкрайност.
Една от основните концепции на математическия анализ е ограничение на функциятаИ ограничение на последователносттав точка и в безкрайност е важно да можете да решавате правилно граници. С нашата услуга това няма да е трудно. Взема се решение лимити онлайнслед няколко секунди отговорът е точен и пълен. Изучаването на математическия анализ започва с преход към границата, границисе използват в почти всички области на висшата математика, така че е полезно да имате под ръка сървър за онлайн решения за лимити, който е сайтът.
Вече започнахме да разбираме границите и тяхното решение. Нека продължим по горещо преследване и да разберем как да решим ограниченията според правилото на L'Hopital. Това просто правилов състояние да ви помогне да се измъкнете от коварните и сложни капани, които учителите обичат да използват в примери на тестове по висша математика и смятане. Решението с помощта на правилото на L'Hopital е просто и бързо. Основното е да можете да разграничите.
Правилото на L'Hopital: история и дефиниция
Всъщност това не е точно правило на L'Hopital, а правило Хопитал-Бернули. Формулирана е от швейцарски математик Йохан Бернули, и французинът Гийом Л'Опиталпубликувани за първи път в своя учебник безкрайно малки в славния 1696 година. Можете ли да си представите как хората трябваше да решават границите с разкриването на несигурности, преди това да се случи? Ние не сме.
Преди да започнете да анализирате правилото на L'Hopital, препоръчваме да прочетете уводната статия за методите за решаването им. Често в задачите има формулировка: намерете границата, без да използвате правилото на L'Hopital. Прочетете за техниките, които ще ви помогнат в това, в нашата статия.
Ако имате работа с фракционни граници на две функции, бъдете подготвени: скоро ще срещнете несигурност от формата 0/0 или безкрайност/безкрайност. Какво означава? Числителят и знаменателят на израза клонят към нула или безкрайност. Какво да правим с такъв лимит, на пръв поглед е напълно неясно. Ако обаче приложите правилото на L'Hopital и помислите малко, всичко си идва на мястото.
Но нека формулираме правилото на Лопитал-Бернули. За да бъдем абсолютно точни, тя се изразява с теорема. Правило на L'Hopital, определение:
Ако две функции са диференцируеми в околност на точка х=а изчезват в тази точка и има ограничение на съотношението на производните на тези функции, когато тогава х стремеж към А има граница на отношението на самите функции, равна на границата на отношението на производните.
Нека запишем формулата и всичко веднага ще стане по-просто. Правилото на L'Hopital, формула:
Тъй като се интересуваме от практическата страна на въпроса, тук няма да даваме доказателството на тази теорема. Ще трябва или да ни повярвате на думата, или да го намерите във всеки учебник по математически анализ и да се уверите, че теоремата е вярна.
Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от
Разкриване на несигурност с помощта на правилото на L'Hopital
Какви несигурности може да помогне за разрешаването на правилото на L'Hopital? Преди говорихме основно за несигурност 0/0 . Това обаче далеч не е единствената несигурност, която може да се срещне. Ето и други видове несигурност:
Нека разгледаме трансформациите, които могат да бъдат използвани, за да приведат тези несигурности във формата 0/0 или безкрайност/безкрайност. След трансформацията можете да приложите правилото на L'Hopital-Bernoulli и да щракнете върху примери като ядки.
Видова несигурност безкрайност/безкрайност се свежда до несигурност на формата 0/0 проста трансформация:
Нека има произведение на две функции, едната от които първата клони към нула, а втората - към безкрайност. Прилагаме трансформация и произведението от нула и безкрайност се превръща в несигурност 0/0 :
За намиране на граници с несигурности като безкрайност минус безкрайност използваме следната трансформация, водеща до несигурност 0/0 :
За да използвате правилото на L'Hopital, трябва да можете да приемате производни. По-долу е дадена таблица с производни на елементарни функции, които можете да използвате при решаване на примери, както и правила за изчисляване на производни на сложни функции:
Сега да преминем към примерите.
Пример 1
Намерете границата, като използвате правилото на L'Hopital:
Пример 2
Изчислете с помощта на правилото на L'Hopital:
Важен момент! Ако границата на втората и следващите производни функции съществува при х стремеж към А , тогава правилото на L'Hopital може да се приложи няколко пъти.
Да намерим границата ( н – естествено число). За целта прилагаме правилото на L'Hopital н веднъж:
Желаем ви успех в овладяването на математическия анализ. И ако трябва да намерите границата с помощта на правилото на L'Hopital, напишете есе с помощта на правилото на L'Hopital, изчислете корените диференциално уравнениеили дори да изчислите тензора на инерцията на тяло, свържете се с нашите автори. Те ще се радват да ви помогнат да разберете тънкостите на решението.
Зареждане...