आवर्तक संबंधों के सामान्य और विशेष समाधान। आवर्तक संबंध

एक पुनरावर्ती संबंध (समीकरण, आवर्तक सूत्र) प्रपत्र का संबंध है

जो आपको अनुक्रम की सभी शर्तों की गणना करने की अनुमति देता है एक 0 ,एक 1 , एक 2 ,.., अगर इसकी पहली क सदस्य।

कआवर्तक समीकरण का क्रम है।

उदाहरण. 1)एक एन +1 = एक एन + डी- अंकगणितीय प्रगति।

2) एक एन +1 = क्यू ∙ एक एन- ज्यामितीय अनुक्रम।

3) एक एन +2 = एक एन + एक एन +1 फाइबोनैचि संख्याओं का एक क्रम है।

1.4.2. एक रैखिक सजातीय आवर्तक समीकरण का हल

मामले में जब पुनरावर्ती समीकरण रैखिक और सजातीय है, अर्थात्, रूप का संबंध

परिणाम को एक 0 , एक 1 , एक 2 ,.. इस समीकरण को संतुष्ट करना कहलाता है वापस करने.

बहुपद

बुलाया विशेषता बहुपदवापसी अनुक्रम के लिए।

इस बहुपद के मूल गुण कहलाते हैं। आवर्तक समीकरण (1) को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों के समुच्चय को इसका व्यापक हल कहा जाता है।

एक सजातीय रैखिक आवर्तक समीकरण के सामान्य समाधान में एक रैखिक अंतर समीकरण के समाधान के साथ समानता होती है। अर्थात्, प्रमेय सत्य हैं।

प्रमेय 1. होने देना विशेषता बहुपद (2) की जड़ है, तो अनुक्रम
, कहाँ पे सीएक व्युत्पन्न स्थिरांक है, समीकरण (1) को संतुष्ट करता है।

प्रमेय 2. यदि एक
अभिलक्षणिक बहुपद (2) के सरल मूल हैं, तब सामान्य निर्णयआवर्तक समीकरण (1) का रूप है:

कहाँ पे सी 1 ,सी 2 ,..,सी कमनमानी स्थिरांक हैं।

प्रमेय 3. यदि एक - बहुलता जड़ (मैं = 1,2,..,एस) विशेषता बहुपद (2), तो आवर्तक समीकरण के सामान्य समाधान (1) का रूप है:

कहाँ पे सी आईजेयू मनमानी स्थिरांक हैं।

आवर्तक समीकरण (1) के सामान्य हल को प्रारंभिक स्थितियों के अनुसार जानना एक 0 ,एक 1 ,..,एक क -1 , कोई अपरिभाषित स्थिरांक पा सकता है सी आईजेयू, और इस प्रकार दी गई शर्तों के साथ एक विशेष समीकरण (1) प्राप्त करते हैं।

उदाहरण. अनुक्रम खोजें ( एक एन) पुनरावर्ती समीकरण को संतुष्ट करना

विशेषता बहुपद

1(2).4.3. एक रैखिक अमानवीय आवर्तक समीकरण का हल

रैखिक अमानवीय पुनरावर्ती समीकरण पर विचार करें

एक एन+के +पी 1 एक एन+के-1 +… + पी क एक एन = एफ (एन), (एन = 0, 1, 2,…)(3)

होने देना ( बी एन) सजातीय समीकरण (1) का सामान्य हल है। ( सी एन) अमानवीय समीकरण (3) का एक विशेष (ठोस) समाधान है।

फिर क्रम ( बी एन +सी एन) समीकरण (3) का एक सामान्य समाधान बनाता है। इस प्रकार, प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 4. एक रैखिक अमानवीय आवर्तक समीकरण के सामान्य समाधान को संबंधित रैखिक सजातीय आवर्तक समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय समीकरण के कुछ विशेष समाधान के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

नतीजतन, अमानवीय समीकरण (3) का एक सामान्य समाधान खोजने की समस्या इसके विशेष समाधान को खोजने के लिए कम हो जाती है। कुछ मामलों में, एक विशेष समाधान खोजने के लिए व्यंजन हैं।

1) अगर एफ(एन) = β एन, (कहाँ पे β विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है), तो एक विशेष समाधान के रूप में मांगा जाना चाहिए सी एन = सीβ एन . फिर, इसे (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

नतीजतन, विशेष समाधान सूत्र द्वारा दिया जाता है

2) चलो एफ(एन) - डिग्री बहुपद आर एक चर से एन, और संख्या 1 एक अभिलक्षणिक मूल नहीं है। फिर फॉर्म में विशेष समाधान भी मांगा जाना चाहिए

स्थानापन्न सी एन में (3) के बजाय एक एन, हम पाते हैं

परिणामी समानता के बाएँ और दाएँ भागों के गुणांकों की तुलना करने पर, हम संख्याओं के अनुपात पाते हैं डी मैंइन नंबरों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण. पुनरावर्ती समीकरण का हल खोजें

प्रारंभिक स्थिति के साथ।

समाधान।दिए गए आवर्तक समीकरण के अभिलक्षणिक बहुपद पर विचार कीजिए

इसकी जड़। फिर, प्रमेय 1 द्वारा, संगत समरूप आवर्तक समीकरण का व्यापक हल सूत्र द्वारा दिया गया है, जहां एक मनमाना स्थिरांक है।

चूंकि, यानी। एकता विशेषता बहुपद की जड़ नहीं है, और दाहिना पक्ष पहली डिग्री का बहुपद है, फिर अनिर्धारित गुणांक के साथ पहली डिग्री के बहुपद के रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान मांगा जाता है, जहां और अज्ञात हैं गुणांक। इसके बजाय मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें या मिलता है। अंतिम समानता के बाएँ और दाएँ भागों के गुणांकों की बराबरी करते हुए, हम अज्ञात और निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

व्याख्या: पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट। क्रमपरिवर्तन। संयोजन। आवर्तक संबंध। एक और प्रमाण विधि। क्रमिक विभाजन की प्रक्रिया। कार्य: "मजर्डडोमो की कठिनाई"।

दोहराव के बिना प्लेसमेंट

विभिन्न वस्तुएँ हैं। उनमें से कितने बनाए जा सकते हैं - नक्षत्र? इस मामले में, दो व्यवस्थाओं को अलग माना जाता है यदि वे या तो एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं, या एक ही तत्व से मिलकर होते हैं, लेकिन एक अलग क्रम में व्यवस्थित होते हैं। ऐसी व्यवस्थाओं को कहा जाता है दोहराव के बिना प्लेसमेंट, और उनकी संख्या द्वारा निरूपित किया जाता है। आइटम की पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट संकलित करते समय, हमें विकल्प बनाने की आवश्यकता होती है। पहले चरण में, आप उपलब्ध वस्तुओं में से कोई भी चुन सकते हैं। यदि यह चुनाव पहले ही किया जा चुका है तो दूसरे चरण में आपको शेष मदों में से चुनना होगा। ऑन-एम स्टेप आइटम। इसलिए, उत्पाद नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं कि वस्तुओं से पुनरावृत्ति के बिना -स्थानों की संख्या निम्नानुसार व्यक्त की जाती है:

क्रमपरिवर्तन

तत्वों के दोहराव के बिना व्यवस्थाओं को संकलित करते समय, हमने ऐसी व्यवस्थाएँ प्राप्त कीं जो संरचना और तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होती हैं। लेकिन अगर हम व्यवस्था लें, जिसमें सभी तत्व शामिल हैं, तो वे केवल उनमें शामिल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं। ऐसी व्यवस्थाओं को कहा जाता है n तत्वों का क्रमपरिवर्तन, या, संक्षेप में, क्रमपरिवर्तन द्वारा।

युग्म

ऐसे मामलों में जहां हम संयोजन में तत्वों के क्रम में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल इसकी संरचना में रुचि रखते हैं, हम संयोजनों की बात करते हैं। तो, - तत्वों के सभी प्रकार के संयोजनों को कहा जाता है - इन तत्वों से बनी व्यवस्था और संरचना में एक दूसरे से भिन्न, लेकिन तत्वों के क्रम में नहीं। -संयोजनों की संख्या जो तत्वों से बनी हो सकती है, द्वारा निरूपित की जाती है।

संयोजनों की संख्या का सूत्र नियुक्तियों की संख्या के सूत्र से प्राप्त होता है। वास्तव में, पहले हम सब कुछ - तत्वों के संयोजन की रचना करेंगे, और फिर हम प्रत्येक संयोजन में शामिल तत्वों को सभी संभव तरीकों से पुनर्व्यवस्थित करेंगे। इस मामले में, यह पता चला है कि सभी -तत्वों के स्थान, और प्रत्येक केवल एक बार। लेकिन प्रत्येक से - संयोजन बनाया जा सकता है! क्रमपरिवर्तन, और इन संयोजनों की संख्या है। तो सूत्र मान्य है

इस सूत्र से हम पाते हैं कि

आवर्तक संबंध

कई संयोजक समस्याओं को हल करते समय, वे किसी समस्या को कम करने की विधि का उपयोग उस समस्या में करते हैं जो कम संख्या में वस्तुओं से संबंधित होती है। वस्तुओं की एक छोटी संख्या के लिए समान समस्या को कम करने की विधि कहलाती है पुनरावृत्ति संबंध विधि(लैटिन "पुनरावर्ती" से - "वापसी के लिए")।

आइए हम एक क्लासिक समस्या के साथ पुनरावृत्ति संबंधों की अवधारणा को स्पष्ट करते हैं जिसे 1202 के आसपास पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसे फिबोनाची के नाम से जाना जाता है। संयोजक एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए फाइबोनैचि संख्याओं का महत्व इस उदाहरण को बहुत उपयुक्त बनाता है।

फाइबोनैचि ने निम्नलिखित मान्यताओं के तहत खरगोश की आबादी की वृद्धि दर के बारे में एक कहानी के रूप में समस्या को प्रस्तुत किया। यह सब खरगोशों की एक जोड़ी से शुरू होता है। प्रत्येक जोड़ा एक महीने के बाद उपजाऊ हो जाता है, जिसके बाद प्रत्येक जोड़ा हर महीने खरगोशों की एक नई जोड़ी को जन्म देता है। खरगोश कभी नहीं मरते और उनका प्रजनन कभी नहीं रुकता।

चलो - महीनों के बाद आबादी में खरगोशों के जोड़े की संख्या, और इस आबादी में संतानों के जोड़े और "पुराने" जोड़े होते हैं, यानी। इस प्रकार, अगले महीने में निम्नलिखित घटनाएँ घटित होंगी: . समय पर जन्मों की संख्या से इस समय बूढ़ी जनसंख्या में वृद्धि होगी। . प्रत्येक पुराना जोड़ा समय पर संतान उत्पन्न करता है। अगले महीने, यह पैटर्न दोहराया जाता है:

इन समानताओं को मिलाकर, हमें निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है:

(7.1)

फाइबोनैचि अनुक्रम के लिए प्रारंभिक स्थितियों का चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है; इस अनुक्रम की आवश्यक संपत्ति पुनरावृत्ति संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है। हम मान लेंगे (कभी-कभी ).

आइए इस समस्या को थोड़ा अलग तरीके से देखें।.

महीने में एक बार खरगोशों का एक जोड़ा दो खरगोशों (मादा और नर) की संतान लाता है, और नवजात खरगोश, जन्म के दो महीने बाद, पहले से ही संतान पैदा करते हैं। यदि वर्ष की शुरुआत में एक जोड़ी खरगोश हो तो एक वर्ष में कितने खरगोश दिखाई देंगे?

समस्या की स्थिति से यह पता चलता है कि एक महीने में खरगोश के दो जोड़े होंगे। दो महीने के बाद, खरगोशों की पहली जोड़ी ही संतान देगी, और 3 जोड़े प्राप्त होंगे। और एक महीने में खरगोश की मूल जोड़ी और दो महीने पहले दिखाई देने वाले खरगोशों की जोड़ी दोनों संतान देगी। इसलिए, खरगोशों के कुल 5 जोड़े होंगे। वर्ष की शुरुआत के बाद के महीनों के बाद खरगोशों के जोड़े की संख्या से निरूपित करें। यह स्पष्ट है कि महीनों में ये जोड़े होंगे और खरगोशों के जितने नवजात जोड़े महीने के अंत में थे, यानी खरगोशों के अधिक जोड़े होंगे। दूसरे शब्दों में, एक पुनरावृत्ति संबंध है

(7.2)

चूंकि, शर्त के अनुसार, और , हम क्रमिक रूप से पाते हैं

विशेष रूप से, .

नंबर कहलाते हैं फाइबोनैचि संख्या. उनके पास कई अद्भुत गुण हैं। अब हम इन संख्याओं का व्यंजक व्युत्पन्न करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फाइबोनैचि संख्याओं और निम्नलिखित संयोजन समस्या के बीच एक संबंध स्थापित करते हैं।

0 और 1 के अनुक्रमों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कोई भी दो 1 क्रमागत नहीं हैं.

इस संबंध को स्थापित करने के लिए हम ऐसा कोई भी क्रम लेते हैं और उसके अनुसार खरगोशों के एक जोड़े के साथ उसका मिलान करते हैं अगला नियम: इकाइयाँ इस जोड़ी (मूल एक सहित) के "पूर्वजों" के जोड़े में से एक के जन्म के महीनों के अनुरूप हैं, और शून्य - अन्य सभी महीने। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 010010100010 निम्नलिखित "वंशावली" स्थापित करता है: युगल स्वयं 11 वें महीने के अंत में, उसके माता-पिता - 7 वें महीने के अंत में, "दादा" - 5 वें महीने के अंत में और "महान" दिखाई दिए। -दादा" - दूसरे महीने के अंत में। खरगोशों की मूल जोड़ी को 000000000000 अनुक्रम के साथ एन्क्रिप्ट किया गया है।

यह स्पष्ट है कि इस मामले में एक पंक्ति में दो इकाइयाँ किसी भी क्रम में नहीं हो सकती हैं - एक जोड़ी जो अभी-अभी दिखाई दी है, एक महीने में संतान पैदा नहीं कर सकती है। इसके अलावा, इस नियम के तहत, खरगोशों के अलग-अलग जोड़े अलग-अलग अनुक्रमों के अनुरूप होते हैं, और इसके विपरीत, खरगोशों के दो अलग-अलग जोड़े में हमेशा एक अलग "वंशावली" होती है, क्योंकि, शर्त के अनुसार, एक मादा खरगोश केवल एक जोड़ी से मिलकर जन्म देती है। खरगोशों की।

स्थापित संबंध से पता चलता है कि निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अनुक्रमों की संख्या के बराबर है।

आइए अब साबित करें कि

(7.3)

कहाँ , यदि विषम , और , यदि सम । दूसरे शब्दों में, - पूरा भागसंख्याएँ (इसके बाद हम संख्या के पूर्णांक भाग को इस प्रकार निरूपित करेंगे; ).

दरअसल, 0 और 1 के सभी अनुक्रमों की संख्या है जिसमें कोई भी दो 1 आसन्न नहीं हैं। ऐसे अनुक्रमों की संख्या जिनमें ठीक 1s और 0s शामिल हैं, के बराबर है। चूंकि यह किया जाना चाहिए

सामान्य समाधानआवर्तक संबंध (1) इस संबंध को संतुष्ट करने वाले सभी अनुक्रमों का समुच्चय है।

निजी निर्णयसंबंध (1) इस संबंध को संतुष्ट करने वाले अनुक्रमों में से एक को कहा जाता है।

उदाहरण 1¢.परिणाम को एक=एक 0 +रा एक=एक - 1 +डी. यह सामान्य शब्द सूत्र है अंकगणितीय प्रगतिअंतर के साथ डीऔर प्रगति के प्रारंभिक सदस्य के साथ एक 0 .

उदाहरण 2¢.परिणाम को बी नहीं=बी 0 × क्यू नहींसंबंध का एक सामान्य समाधान है बी नहीं=बी नहीं - 1 ×क्यू. यह सामान्य शब्द सूत्र है ज्यामितीय अनुक्रमहर के साथ क्यू 0 और प्रगति के प्रारंभिक सदस्य के साथ बी 0 .

उदाहरण 3¢.तथाकथित बिनेट का सूत्रजे एन= संबंध का एक विशेष समाधान है j एन=जे एन-2+जे एन- 1 जे 0 = जे 1 = 1 के लिए।

3. रैखिक आवर्तक संबंध।अनुपात देखें

एक + क+पी 1 एक + क - 1 +…+पी के ए न=एच(एन) (2)

कहाँ पे एच(एन) संख्या का एक फलन है, और , कहा जाता है रैखिक पुनरावृत्ति संबंध.

रैखिक पुनरावर्तन संबंध कहलाता है सजातीय, यदि एफ(एन)=0:

एक + क+पी 1 एक + क - 1 +…+पी के ए न=0. (3)

बहुपद एक्स के+पी 1 एक्स के - 1 +…+पी के - 1 एक्स+पी केबुलाया विशेषतासंबंध के लिए (2)।

सरल, यदि से विभाज्य है लेकिन विभाज्य नहीं है।

बहुपद का मूल a कहलाता है विभिन्न, यदि से विभाज्य है लेकिन से विभाज्य नहीं है।

नंबर कहा जाता है बहुलताजड़ ।

बीजगणित की मौलिक प्रमेय: जटिल गुणांक वाले घात वाले बहुपद की बहुलता को देखते हुए जटिल जड़ें होती हैं।

प्रमेय 1 एनसरल मूल a 1 ,…, a एन

, (4)

कहाँ पे सी 1 ,…,सी केÎ सी.

सबूत. निम्नलिखित दो अभिकथनों की जाँच करना आसान है।

(एक) परवर्ती सीएक्स एन, कहाँ पे सीÎ सी, आवर्तक संबंध (3) का एक समाधान है।

(बी) यदि अनुक्रम एकतथा बी नहींसंबंध के समाधान हैं (3), फिर अनुक्रम एक+बी नहींसंबंध का समाधान भी है (3)।

से ( एक) तथा ( बी) यह इस प्रकार है कि फॉर्म (4) का कोई भी क्रम संबंध (3) का समाधान है।

इसके विपरीत, संबंध के किसी भी हल (3) का रूप (4) होता है।

पर एन=0,1,…,क-1, समानता से (4) हमें सिस्टम मिलता है रेखीय समीकरणअपेक्षाकृत सी 1 ,…,सी के:

(5)

प्रणाली का निर्धारक (5) बीजगणित में ज्ञात वांडरमोंडे निर्धारक है:

.

चूंकि साधारण जड़ें एक्स 1 ,…,एक्स केजोड़ीवार अलग, फिर D¹0। इसलिए, सिस्टम (5) का एक (अद्वितीय) समाधान है।

कार्य 1।सूत्र (4) का प्रयोग करते हुए एक गुणोत्तर श्रेणी का उभयनिष्ठ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान बी नहीं=क्यूबी एन- 1 जैसा दिखता है। इसीलिए ।

कार्य 2.फाइबोनैचि अनुपात का सामान्य हल ज्ञात कीजिए एक + 2 =एक+एक + 1 .

समाधान. पुनरावर्तन संबंध का अभिलक्षणिक बहुपद एक + 2 =एक+एक+ 1 का रूप है। इसीलिए .

हम बिना प्रमाण के प्रमेय 1 का निम्नलिखित सामान्यीकरण देते हैं।

प्रमेय 2. मान लीजिए कि समांगी रैखिक पुनरावर्तन संबंध (3) का अभिलक्षणिक बहुपद है कजड़ें: a 1 गुणन ,…, a कबहुलता , , . फिर पुनरावृत्ति संबंध (3) के सामान्य समाधान के निम्नलिखित रूप हैं:

कार्य 3.संबंध का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान।विशेषता बहुपद बहुलता का मूल 2 है। इसलिए .

टिप्पणी. अमानवीय रैखिक संबंध (2) का सामान्य समाधान सजातीय रैखिक संबंध (3) के सामान्य समाधान और अमानवीय रैखिक संबंध (2) के विशेष समाधान के योग के रूप में पाया जा सकता है।

4. निर्माण कार्य।औपचारिक श्रृंखला एक 0 +एक 1 एक्स+एक 2 एक्स 2 +…+एक के एक्स के+… कहा जाता है अनुक्रम का निर्माण कार्य a 0 ,एक 1 ,एक 2 ,…,एक को,…

जनक फलन या तो अभिसारी श्रेणी या अपसारी श्रेणी है। दो भिन्न श्रृंखला फलन के समान हो सकती हैं, लेकिन विभिन्न अनुक्रमों के उत्पन्न फलन हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, पंक्तियाँ 1+2 एक्स+2 2 एक्स 2 +…+2के एक्स के+… और 1+3 एक्स+3 2 एक्स 2 +…+3के एक्स के+… समान फ़ंक्शन को परिभाषित करें (बिंदु पर 1 के बराबर .) एक्स=1, बिंदुओं पर अनिश्चित एक्स> 1), लेकिन विभिन्न अनुक्रमों के कार्य उत्पन्न कर रहे हैं।

अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के गुण:

अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने का योग (अंतर) एकतथा बी नहींअनुक्रमों के योग (अंतर) के सृजन कार्य के बराबर है एक+बी नहीं;

अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने का उत्पाद एकतथा बी नहींअनुक्रम कनवल्शन का जनरेटिंग फंक्शन है एकतथा बी नहीं:

ग नहीं=एक 0 बी नहीं+एक 1 बी नहीं - 1 +…+एक - 1 बी 1 +एक एन बी 0 .

उदाहरण 1समारोह अनुक्रम के लिए उत्पन्न कर रहा है

उदाहरण 2समारोह अनुक्रम 1, 1, 1, ... के लिए उत्पन्न कर रहा है

पुनरावृत्ति संबंध है आदेश को , अगर यह f(n+k) को f(n), f(n+1),…, f(n+k-1) के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

उदाहरण।

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 एक दूसरा क्रम पुनरावृत्ति संबंध है।

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) तीसरे क्रम का एक आवर्तक संबंध है।

यदि k-वें क्रम का पुनरावर्तन संबंध दिया जाता है, तो अपरिमित रूप से कई अनुक्रम इसे संतुष्ट कर सकते हैं, क्योंकि अनुक्रम के पहले k तत्वों को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है - उनके बीच कोई संबंध नहीं हैं। लेकिन अगर पहले k पद दिए गए हैं, तो अन्य सभी तत्व विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

पुनरावर्तन संबंध और प्रारंभिक शब्दों का उपयोग करके, अनुक्रम की शर्तों को एक-एक करके लिख सकते हैं, और देर-सबेर हमें इसका कोई भी सदस्य मिल जाएगा। हालांकि, यदि आपको अनुक्रम के केवल एक विशिष्ट सदस्य को जानना है, तो पिछले सभी की गणना करना तर्कसंगत नहीं है। इस मामले में, nवें पद की गणना के लिए एक सूत्र रखना अधिक सुविधाजनक है।

पुनरावृत्ति संबंध का समाधानकोई भी क्रम जिसके लिए दिया गया संबंध समान रूप से धारण करता है, कहलाता है।

उदाहरण. अनुक्रम 2, 4, 8,…, 2 n संबंध f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n) का समाधान है।

सबूत. अनुक्रम का सामान्य पद f(n)=2 n है। तो f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1 । किसी भी n के लिए, सर्वसमिका 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n धारण करती है। इसलिए, अनुक्रम 2 n को सूत्र f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) में प्रतिस्थापित करते समय, संबंध समान रूप से पूरा होता है। अतः, 2 n संकेतित संबंध का हल है।

पुनरावृत्ति संबंध का समाधान kth आदेश कहा जाता है सामान्य, यदि यह k स्वेच्छ अचर α 1, α 2 , … α k पर निर्भर करता है और इन अचरों को चुनकर कोई भी इस संबंध का कोई हल प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण. पुनरावृत्ति संबंध दिया गया है: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n)। आइए हम सिद्ध करें कि इसके व्यापक हल का रूप है: f(n)= α 2 n + β3 n ।

1. पहले हम सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम f(n)=α 2 n + β3 n पुनरावर्तन संबंध का एक हल है। इस क्रम को पुनरावर्ती संबंध में प्रतिस्थापित करें।

f(n)= α 2 n + β 3 n , इसलिए f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 एन +2 , फिर

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 -6 2 n)+ β (5 3 n +1 -6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 - 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( एन+2)।

पुनरावृत्ति संबंध मानता है, इसलिए, α 2 n + β 3 n इस पुनरावृत्ति संबंध का समाधान है।

2. आइए हम सिद्ध करें कि संबंध f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) के किसी भी हल को f(n)= α 2 n + β 3 n के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन दूसरे क्रम के पुनरावृत्ति संबंध का कोई भी समाधान विशिष्ट रूप से अनुक्रम के पहले दो पदों के मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि किसी भी a=f(1) और b=f(2) के लिए α और β ऐसे हैं कि 2 α +3 β =a और 4 α +9 β =b। यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली में a और b के किसी भी मान का हल होता है।

इस प्रकार, f(n)= α 2 n + β 3 n, आवर्तक संबंध f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) का सामान्य हल है।

निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति संबंध

आवर्तक संबंधों को हल करने के लिए सामान्य नियमनहीं, लेकिन पुनरावृत्ति संबंधों का एक अक्सर सामना किया जाने वाला वर्ग होता है जिसके लिए उन्हें हल करने के लिए एक एल्गोरिदम ज्ञात होता है। ये निरंतर गुणांक वाले रैखिक आवर्तक संबंध हैं, अर्थात। प्रकार अनुपात:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+…+c k f(n)।

आइए हम पहले कोटि के अचर गुणांकों के साथ सामान्य रैखिक पुनरावर्तन संबंध का हल ज्ञात करें।

पहले क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध का रूप है: f(n+1)=c f(n)।

चलो f(1)=a, फिर f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, f(4)=c के समान 3 a और इसी तरह, ध्यान दें कि f(n)=c n -1 ∙f(1).

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम c n -1 ∙f(1) प्रथम कोटि के पुनरावर्तन संबंध का हल है। f(n)=c n -1 ∙f(1), तो f(n+1)=c n f(1). इस व्यंजक को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हम सर्वसमिका c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1) प्राप्त करते हैं।

आइए अब और अधिक विस्तार से विचार करें दूसरे क्रम के निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति संबंध , अर्थात्, रूप के संबंध

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n)। (*)।

ध्यान दें कि सभी विचार उच्च-क्रम संबंधों के लिए भी सही हैं।

समाधान गुण:

1) यदि अनुक्रम x n एक हल (*) है, तो अनुक्रम a∙x n भी एक हल है।

सबूत।

x n (*) का एक हल है, इसलिए x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n । हम समानता के दोनों पक्षों को a से गुणा करते हैं। हमें a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि कुल्हाड़ी n समाधान (*) है।

2) यदि अनुक्रम x n और y n समाधान (*) हैं, तो अनुक्रम x n +y n भी एक समाधान है।

सबूत।

x n और y n समाधान हैं, इसलिए निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ धारण करती हैं:

एक्स एन +2 \u003d सी 1 एक्स एन +1 + सी 2 एक्स एन।

वाई एन +2 =सी 1 वाई एन +1 +सी 2 वाई एन।

आइए दो समानता पदों को पद के अनुसार जोड़ें:

x n +2 + y n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n + C 1 y n +1 + C 2 y n \u003d C 1 ∙ (x n +1 + y n + 1) + C 2 (एक्स एन + वाईएन)। इसका अर्थ है कि x n +y n (*) का हल है।

3) यदि r 1 द्विघात समीकरण r 2 =С 1 r+С 2 का हल है, तो अनुक्रम (r 1) n संबंध (*) का समाधान है।

r 1 द्विघात समीकरण r 2 =C 1 r+C 2 का हल है, इसलिए (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2। आइए समानता के दोनों पक्षों को (r 1) n से गुणा करें। प्राप्त

आर 1 2 आर 1 एन = (सी 1 आर 1 + सी 2) आर एन।

आर 1 एन +2 \u003d सी 1 आर 1 एन +1 + सी 2 आर 1 एन।

इसका अर्थ है कि अनुक्रम (r 1) n (*) का हल है।

इन गुणों से यह निम्नानुसार है समाधान रास्तादूसरे क्रम के निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति संबंध:

1. विशेषता (द्विघात) समीकरण r 2 =C 1 r+C 2 लिखें। आइए इसके मूल r 1, r 2 ज्ञात करें। यदि मूल भिन्न हैं, तो सामान्य समाधान f(n)= ar 1 n +βr 2 n है।

2. गुणांक a और β ज्ञात कीजिए। चलो f(0)=a, f(1)=b. समीकरणों की प्रणाली

किसी भी ए और बी के लिए एक समाधान है। ये समाधान हैं

एक कार्य . आइए फाइबोनैचि अनुक्रम के सामान्य पद के लिए एक सूत्र खोजें।

समाधान . विशेषता समीकरण का रूप x 2 \u003d x + 1 या x 2 -x-1 \u003d 0 है, इसकी जड़ें संख्याएं हैं, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान का रूप f (n) \u003d है . जैसा कि यह देखना आसान है, प्रारंभिक स्थितियों से f(0)=0, f(1)=1 यह इस प्रकार है कि a=-b=1/Ö5, और, परिणामस्वरूप, फाइबोनैचि अनुक्रम के सामान्य समाधान का रूप है :

.

आश्चर्यजनक रूप से, यह अभिव्यक्ति n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए पूर्णांक मान लेती है।

प्रतिलिपि

1 आवर्तक समीकरणों का समाधान किसी व्यंजक के मान से निरूपित करें जब एक पूर्णांक को उसमें प्रतिस्थापित किया जाता है। तब अनुक्रम सदस्य की अनुक्रम F F के सदस्यों पर तर्क के छोटे मानों के साथ निर्भरता को आवर्तक समीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण फॉर्म का एक समीकरण हो सकता है: एफ एक पुनरावर्ती समीकरण में एक क्रम होता है यदि यह सदस्यों के माध्यम से अनुक्रम एफ के सदस्य को व्यक्त करने की अनुमति देता है एफ इस प्रकार, समीकरण में क्रम है और समीकरण एफ 3 6 में क्रम 3 है जो आवर्तक समीकरण का समाधान है चित्र में दिखाया गया है। ध्यान दें कि समीकरण फाइबोनैचि संख्याओं के तथाकथित अनुक्रम का वर्णन करता है: 3 एफ 4 3 एफ 5 5 एफ एफ 8 दिया गया समीकरणहम अनुक्रम के अगले पद की गणना इस तरह से करते हैं, हम जल्दी या बाद में अनुक्रम के किसी भी शब्द को प्राप्त करेंगे हालांकि, इस मामले में, हमें सभी पिछले शब्दों की गणना करनी होगी कई मामलों में स्पष्ट होना अधिक सुविधाजनक है अनुक्रम के वें पद के लिए सूत्र इसका अंतिम समीकरण एक पहचान में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 4 8 आवर्तक समीकरण के समाधानों में से एक है। वास्तव में, इस अनुक्रम के सामान्य शब्द का रूप है लेकिन किसी के लिए, पहचान धारण करता है। तो 3 इस प्रकार, यह आवर्तक समीकरण का एक समाधान है। आवर्तक समीकरण के समाधान को सामान्य कहा जाता है यदि यह मनमाने स्थिरांक C C पर निर्भर करता है और इन स्थिरांकों को चुनकर, आप इस समीकरण का कोई भी हल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 5 6 के लिए, सामान्य समाधान होगा एफ सी सी 3 3 यह जांचना आसान है कि अनुक्रम 3 एक पहचान में बदल जाता है मुकाबला समाधान 3 के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है लेकिन कोई भी

2 समाधान विशिष्ट रूप से मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसलिए, यह दिखाना आवश्यक है कि किसी भी संख्या के लिए और ऐसे और सी हैं जो एफ सी सी 3 सी सी 3 सी सिस्टम का निर्धारक किसी के लिए है और सिस्टम के पास एक समाधान है इसलिए , 3 वास्तव में F का एक हल है; एफ; मैं: एफएफएफ; एफएफ; एफएफ; फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए एफ अंजीर एल्गोरिदम

3 रैखिक आवर्तक समीकरण स्वेच्छ आवर्ती समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं हैं। हालाँकि, समीकरणों का एक बहुत ही सामान्य वर्ग है जिसे एक समान विधि द्वारा हल किया जा सकता है। ये फॉर्म f 4 के आवर्तक समीकरण हैं जहाँ कुछ संख्याएँ हैं स्थिर गुणांकऔर f इस तरह के समीकरणों का कुछ कार्य है ऐसे समीकरणों को रैखिक कहा जाता है क्योंकि अनुक्रम F के तत्व एक रैखिक निर्भरता से जुड़े होते हैं यदि, इसके अलावा, फ़ंक्शन f, तो इस रूप के समीकरणों को निरंतर गुणांक वाले सजातीय या सजातीय समीकरण कहा जाता है अन्यथा , समीकरणों को अमानवीय रैखिक समरूप आवर्तक समीकरण कहा जाता है स्थिर गुणांक वाले रैखिक समरूप आवर्तक समीकरणों का रूप F 5 होता है जहां - कुछ संख्याएं जाहिर है, अनुक्रम हमेशा किसी भी सजातीय समीकरण का समाधान होगा। इस तरह के समाधान को एक तुच्छ समाधान कहा जाता है। पहला , विचार करें कि इस तरह के समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, अर्थात, हम फॉर्म एफ 6 के समीकरणों का अध्ययन करते हैं इन समीकरणों का समाधान निम्नलिखित दो कथनों पर आधारित है: यदि एफ और एफ पुनरावर्ती समीकरण 6 के समाधान हैं तो किसी भी संख्या ए और बी अनुक्रम एफ एएफ बीएफ भी इस समीकरण का एक समाधान है वास्तव में शर्त एफ एफ एफ एफ इन समानता को पहचान से गुणा करें नतीजतन, हमें मिलता है: ए और एफ एफ बी क्रमशः और प्राप्त [एएफ बीएफ] [एएफ बीएफ] एएफ बीएफ जोड़ें और इसका मतलब है कि एफ एएफ बीएफ समीकरण 6 का समाधान है यदि संख्या समीकरण की जड़ है

4 तो अनुक्रम पुनरावर्ती समीकरण का एक समाधान है एफ आइए इस कथन को साबित करें चलो फिर और इन मूल्यों को 6 में प्रतिस्थापित करने पर हमें समानता मिलती है या यह मान्य है क्योंकि शर्त के अनुसार हमारे पास एक तुच्छ समाधान है जहां फॉर्म का कोई भी क्रम है जहां ध्यान दें कि अनुक्रम के साथ-साथ ( ) भी समीकरण 6 का एक हल है इस तथ्य को साबित करने के लिए, इसमें ए बी सेट करके कथन का उपयोग करना पर्याप्त है। दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय आवर्तक समीकरणों को हल करने के लिए बयानों से और निम्नलिखित नियम का पालन करता है मान लीजिए कि एक आवर्तक समीकरण 6 F दिया गया है। एक द्विघात समीकरण 7 की रचना कीजिए, जो इस आवर्तक समीकरण का अभिलक्षणिक समीकरण कहलाता है। समीकरण 6 का रूप C C है। आइए हम इस कथन को सिद्ध करें हम पहले ध्यान दें कि अनुक्रम के कथन के अनुसार और दिए गए आवर्तक F F समीकरण A का हल है तो कथन द्वारा और C C इसका हल है हमें केवल यह दिखाने की आवश्यकता है कि कोई हल हो गया है समीकरण 6 को इस रूप में लिखा जा सकता है लेकिन दूसरे क्रम के समीकरण का कोई भी हल मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसलिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि समीकरणों की प्रणाली C C C C में किसी के लिए एक समाधान है और जाहिर है, ये समाधान हैं जब सी एफ सी प्रणाली में हमेशा एक समाधान होता है एक उदाहरण पर विचार करें जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, फाइबोनैचि संख्या 3583 का अनुक्रम पुनरावर्ती समीकरण एफ 8 का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, इसके लिए, विशेषता समीकरण का रूप है इस द्विघात समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

5 5 5 और इसलिए, फाइबोनैचि समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है 5 5 सी सी 9 प्रारंभिक स्थितियां एफ एफ के मान हैं इन प्रारंभिक शर्तों के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं और सी समीकरणों की प्रणाली सी सी सी 5 सी सी हल करना समीकरणों की यह प्रणाली, हम पाते हैं कि सी सी और इसलिए एफ 5 इस प्रकार, यह अभिव्यक्ति सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए पूर्णांक मान लेती है विशेषता समीकरण के समान जड़ों का मामला उस मामले पर विचार करें जब जड़ें विशेषता समीकरणसंयोग: इस मामले में, अभिव्यक्ति C C अब एक सामान्य समाधान नहीं होगा। क्योंकि यह समाधान C C C के रूप में लिखा जा सकता है, परिणामस्वरूप, केवल एक स्थिर C रहता है और इसे चुनें ताकि समीकरण दो प्रारंभिक स्थितियों को संतुष्ट करे और, आम तौर पर बोलना, असंभव है इसलिए, इस तरह के समाधान से अलग कोई अन्य समाधान खोजना आवश्यक है वास्तव में, यदि एक द्विघात समीकरण F के दो संपाती मूल हैं, तो Vieta के प्रमेय द्वारा a इसलिए, समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: और फिर आवर्तक आइए देखें कि एफ पहचान एफ एफ वास्तव में इसका समाधान है समीकरण में एफ के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने से हमें स्पष्ट मिलता है तो - यह हमारे आवर्तक समीकरण का समाधान है इस प्रकार, हम पहले से ही इस आवर्तक समीकरण के दो समाधान जानते हैं: और फिर सामान्य समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है: एफ एफ सी सी सी सी अब गुणांक सी और सी को चुना जा सकता है ताकि एफ के लिए कोई भी दो प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों

6 सी सी सी सी दो से अधिक क्रम के रैखिक आवर्तक समीकरणों को उसी तरह हल किया जाता है। समीकरण को एफ का रूप दें। विशेषता समीकरण की रचना करें यदि वें डिग्री के इस बीजीय समीकरण की सभी जड़ें अलग हैं, तो इसका सामान्य समाधान समीकरण का रूप है एफ सी सी सी समीकरण सामान्य समाधान में, यह मूल भाग सी सी सी से मेल खाता है सभी जड़ों के लिए ऐसे अभिव्यक्तियों की रचना करना और उन्हें जोड़ना, हम समीकरण एस पी का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं जहां रूट की बहुलता संख्या है विभिन्न मूलों का P, डिग्री का एक बहुपद है, उदाहरण के रूप में C C C C हम खोजने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं और C: C C C C 4 सिस्टम को हल करने पर हमें C और C मिलता है। इस प्रकार, आवर्तक समीकरण के समाधान का रूप है

7 एक बहुपद के मूलों की खोज करना जब किसी अभिलक्षणिक समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं, तो प्राय: अधिक घात वाले समीकरणों को हल करना आवश्यक होता है। इस समस्या को हल करने के लिए, आप चयन विधि का उपयोग कर सकते हैं और एक यादृच्छिक संख्या ले सकते हैं और जांच सकते हैं कि क्या यह है किसी दिए गए बहुपद का मूल। इस मामले में, आप बहुत जल्दी एक जड़ पर आ सकते हैं और आप कभी नहीं पा सकते हैं। आखिरकार, सभी संख्याओं की जांच करना असंभव है, क्योंकि उनमें से कई अनंत हैं। दूसरी बात यह है कि अगर हम प्रबंधित करते हैं खोज क्षेत्र को संकीर्ण करने के लिए, उदाहरण के लिए, यह जानने के लिए कि वांछित जड़ें हैं, उदाहरण के लिए, तीस निर्दिष्ट संख्याओं में से तीस संख्याओं के लिए, हम इस संबंध में ए की जांच कर सकते हैं, कथन महत्वपूर्ण है। प्रमेय यदि एक अपरिवर्तनीय अंश / पूर्णांक, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद F x का मूल है, तो इस बहुपद का प्रमुख गुणांक विभाज्य है और मुक्त पद वास्तव में, यदि x x x x पूर्णांक हैं और / इसका मूल है, तो F / वे // / दोनों को गुणा करें समानता के पक्षों को हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं कि यह स्पष्ट है कि एक पूर्णांक द्वारा विभाज्य है लेकिन / एक अपरिमेय अंश है, वे संख्याएँ और सहअभाज्य हैं, और फिर, जैसा कि पूर्णांकों की विभाज्यता के सिद्धांत से जाना जाता है, संख्याएँ और सहअभाज्य भी हैं, इसलिए, यह द्वारा विभाज्य है और इसके साथ सहअभाज्य है, इसलिए यह इसके द्वारा विभाज्य है, यह सिद्ध किया गया है कि यह सिद्ध प्रमेय द्वारा विभाज्य है, हमें पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की तर्कसंगत जड़ों के लिए खोज क्षेत्र को काफी कम करने की अनुमति देता है आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण के साथ प्रदर्शित करें। बहुपद की तर्कसंगत जड़ें खोजें 4 3 एफ x 6x 3x 4x 8x 8 सिद्ध प्रमेय के अनुसार, इस बहुपद के परिमेय मूल रूप/ऋणात्मक के अपरिमेय भिन्नों में से हैं, तो चिह्न - हम इसके अंश का उल्लेख करेंगे। उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है कि हम कह सकते हैं कि संख्या का भाजक 8 a संख्या 6 का धनात्मक भाजक है क्योंकि संख्या 8 के भाजक ± 48 हैं और संख्या 6 के धनात्मक भाजक 36 होंगे, तो विचाराधीन बहुपद के परिमेय मूल संख्याओं में से हैं ± / / 3 / 6/344/388/3 संभावित भिन्न इस प्रकार, हमारे पास बीस संख्याएँ हैं जो जड़ों के लिए "उम्मीदवार" हैं। यह केवल उनमें से प्रत्येक की जाँच करने और उन लोगों का चयन करने के लिए बनी हुई है जो वास्तव में मूल हैं। लेकिन फिर से, काफी जाँच करनी होगी। निम्नलिखित प्रमेय सरल करता है इस काम

8 प्रमेय यदि इरेड्यूसबल भिन्न / पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद F x का मूल है, तो F किसी भी पूर्णांक के लिए विभाज्य है, बशर्ते कि इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम F x को x से विभाजित करके शेषफल प्राप्त करते हैं। पूर्णांक गुणांकों वाला एक बहुपद है, तो वही है और s x a एक पूर्णांक है मान लीजिए s x b x b x b x b तब x x b x b x b x b हम इस समानता x में डालते हैं / यह ध्यान में रखते हुए कि F / हमें / b b b b मिलता है, अंतिम समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें: b b b b और इसलिए F प्रमेय द्वारा विभाज्य है सिद्ध किया गया है आइए अपने उदाहरण पर वापस आते हैं और इस प्रमेय का उपयोग करके हम तर्कसंगत जड़ों की खोज को और कम कर देंगे आइए प्रमेय को मूल्यों के लिए लागू करें और यदि इरेड्यूसिबल अंश बहुपद x की जड़ है तो यह विभाज्य है द्वारा और एफ से विभाज्य है स्पष्ट रूप से हमारे मामले में एफ 5 ए 5 ध्यान दें कि साथ ही हमने इकाई को विचार से बाहर रखा है। इसलिए, पर्यावरण में हमारे बहुपद की तर्कसंगत जड़ों की तलाश की जानी चाहिए di संख्याएँ / / 3 / 6 / / 3 8 8/3 पर विचार करें // फिर F 5 भी इस संख्या से विभाज्य है अगला, 3 और 5 भी 3 से विभाज्य हैं इसलिए मूल के लिए उम्मीदवारों के बीच अंश / अवशेष अब / / इस स्थिति में 3 और F 5 -3 से विभाज्य नहीं है इसका अर्थ है कि भिन्न / इस बहुपद का मूल नहीं हो सकता है। ऊपर लिखे गए प्रत्येक भिन्न की जाँच करने के बाद, हम पाते हैं कि वांछित जड़ें संख्याओं में से हैं / / 3 4 इस प्रकार, एक काफी सरल चाल का उपयोग करते हुए, हमने माना बहुपद की तर्कसंगत जड़ों के लिए खोज क्षेत्र को काफी कम करने में कामयाब रहे 4 3 शेष उम्मीदवारों की जांच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि बहुपद x 6x 3x 4x 8x 8 में दो तर्कसंगत जड़ें हैं / और / 3 ऊपर वर्णित विधि आपको पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के केवल परिमेय मूल खोजने की अनुमति देती है। इस बीच, एक बहुपद में अपरिमेय मूल भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, उदाहरण में माना गया बहुपद के दो और मूल हैं: ± 5 ये मूल हैं बहुपद का x x 4 ध्यान दें कि अंतिम प्रमेय का उपयोग करके मूल के लिए उम्मीदवारों का परीक्षण करते समय, ± का मामला दूसरे शब्दों में अगर / जड़ों के लिए एक उम्मीदवार है, तो वे जांचते हैं कि क्या और एफ क्रमशः और से विभाज्य हैं। लेकिन ऐसा हो सकता है कि, उदाहरण के लिए, वह इकाई मूल है और फिर यह किसी भी संख्या से विभाज्य है और हमारा चेक अपना अर्थ खो देता है इस मामले में, हमें x को x से विभाजित करना चाहिए और x x s x प्राप्त करना चाहिए और बहुपद sx के लिए परीक्षण तैयार करना चाहिए। इस मामले में, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि एक रूट x रूट x पहले ही मिल चुका है

9 कुछ मामलों में, जब विशेषता समीकरण समीकरणों को संदर्भित करता है विशेष प्रकारइसकी जड़ों को प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है। इस तरह के समीकरणों में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, सममित और पारस्परिक समीकरण। सममित डिग्री का एक समीकरण है - यहां तक ​​कि फॉर्म का x bx cx cx bx 3 सममित समीकरण पारस्परिक समीकरणों का एक विशेष मामला है। पारस्परिक समीकरणों में समीकरण शामिल हैं x bx cx / c x // b x के रूप में जहां - कुछ गुणांक उदाहरण के लिए, चौथी डिग्री के सममित और पारस्परिक समीकरणों के समाधान पर विचार करें। सममित समीकरण 4 x 3 bx cx bx दिया जाए। पहले, हम इसे कम करते हैं दोनों भागों को x से विभाजित करके डिग्री। यह देखते हुए कि t x / x व्यंजक 4 को t bt c 6 के रूप में लिखा जा सकता है, समीकरण 6 को एक साधारण द्विघात समीकरण के रूप में हल करने पर हमें दो मूल t और t प्राप्त होते हैं। दो द्विघात समीकरण प्राप्त करें x tx x t x 7 समीकरणों को हल करने से हमें मूल समीकरण 3 के सभी चार मूल मिलते हैं। इस प्रकार, चौथी डिग्री के सममित समीकरण का समाधान कम हो जाता है तीन को हल करने के लिए द्विघातीय समीकरणविपरीत समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है। यदि चौथी डिग्री के समीकरण को 4 x 3 बीएक्स सीएक्स बीएक्स 8 के रूप में दर्शाया जा सकता है तो इसका समाधान टी एक्स / एक्स 9 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है जैसा कि पिछले मामले में, हम समीकरण की डिग्री को कम करते हैं दोनों भागों को x से विभाजित करना परिणामी समीकरण x bx c b / x / x के लिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं 9 फिर समीकरण को t bt c के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जैसे पिछले उदाहरण में, हम समीकरण को हल करते हैं और दो जड़ें t और t प्राप्त करते हैं अब, समीकरण 9 में मूल t और t को बारी-बारी से रखने पर, हमें दो द्विघात समीकरण x tx x t x प्राप्त होते हैं।

10 गैर-समरूप रैखिक आवर्तक समीकरणों का समाधान एक रैखिक पुनरावर्ती समीकरण को अमानवीय कहा जाता है यदि इसे निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है: f 3 जहाँ f का कुछ कार्य है हम एक सजातीय रैखिक आवर्तक समीकरण OLRU का परिचय देते हैं जो एक अमानवीय रैखिक आवर्तक समीकरण NLRU 3 F के अनुरूप है। 4 और एफओ द्वारा इसके सामान्य समाधान को निरूपित करें अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों के अनुरूप, हम पहले प्रारंभिक स्थितियों की उपेक्षा करते हैं और मानते हैं कि समीकरण 3 का एक समाधान पहले ही मिल चुका है आइए इस समाधान को विशेष कहते हैं और इसे निरूपित करते हैं हम सामान्य की तलाश करेंगे सीएलआरएस का समाधान इसके विशेष समाधान के योग एफ के रूप में और संबंधित ओएलआरएस एफ 5 3 ओ के सामान्य समाधान के रूप में आइए दिखाते हैं कि 5 वास्तव में आरएलएसआर का समाधान है 3 आइए हम 5 को एफ एफ एफ एफ ओ ओ एफ एफ एफ एफ एफ ओ ओ में प्रतिस्थापित करें लेकिन यह समीकरण एफओ एफओ एफ ओ एफ एफ एफ एफ एफ के बाद से एक पहचान है जहां बी एक पूर्णांक है संख्या स्थिरांक हम समीकरण 6 के एक विशेष हल को एक अचर F c 7 के रूप में देखेंगे अर्थात् c भी एक पूर्णांक है। 6 c c c c b b c 8 में 7 को प्रतिस्थापित करें। शून्य के बराबर नहीं है कि समीकरण 6 का एक विशेष हल है

बी एफ एच बी एफ एच एच उदाहरण समीकरण 5 को एफ 35 के साथ हल करें ओएलआरएस एफ लिखें विशेषता समीकरण लिखें एच 3 विशेषता समीकरण को हल करें 4 आरएलआरएस एफ सी सी सी सी 5 का सामान्य समाधान लिखें आरएलआरएस का विशेष समाधान खोजें 5 एफ 5 एच चूंकि एच 6 आरएलआरएस एफ एफ सी सी 5 7 का सामान्य समाधान लिखें प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हम एनएलआरयू समाधान में गुणांक पाते हैं

12 सी सी 5 सी सी 5 35 हमें मिलता है सी सी 8 हम एनएलआरयू एफ 5 का समाधान लिखते हैं इसलिए हमने अनुक्रम के -वें पद की गणना के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त किया है निष्कर्ष में, हम अनुक्रम की गणना स्वयं करते हैं: दाईं ओर डिग्री भुजा F c 34 34 को 33 में प्रतिस्थापित करने पर हम बहुपद के गुणांकों की गणना के लिए नियम प्राप्त करते हैं j c j b 35 j बाईं और दाईं ओर के गुणांकों को युक्त पदों के साथ जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं शेष गुणांक c c b b c h h को समान करके समान रूप से पाए जाते हैं 35 पर गुणांक यदि बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण h का मूल है, तो घातांक फलन के अंतर्गत NLRT के F c समाधान के रूप में NLRT का एक विशेष समाधान खोजा जाना चाहिए। हम NLRT F के एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे। bα 37 फॉर्म 36 में 38 को 37 में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है

13 bα F h α यदि α अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है h यदि α अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण का मूल है, तो F dα के रूप में एक विशेष समाधान 37 की तलाश की जानी चाहिए जहां d कुछ स्थिरांक है जिसमें पुनरावृत्तियों की संख्या है एम 7 के लिए कोड एम एम 4 3 के चेक मैट्रिक्स का निर्माण इसलिए, प्रस्तावित विशेष समाधान को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है, क्योंकि विशेषता समीकरण की जड़ अब हम विशेष समाधान के रूप को एम डी ई में बदलते हैं इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं जो हमारे पास है ई 3 डी इस प्रकार एम सी 3 और प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए सी 3 तो मूल समीकरण का समाधान एम 3 3 रैखिक आवर्तक समीकरणों के अलावा अन्य समीकरण निरंतर गुणांक के साथ एक सामान्य समाधान विधि नहीं है उन्हें हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, परीक्षण और त्रुटि द्वारा एफ एफ बी बी बी पर;

14 b b b F F 3 पर अब हम मान सकते हैं कि समीकरण 39 का हल 4 og b F है जहाँ 4 को 39 में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास og og og b b b b b b F F og og j j b b है तो 4 वास्तव में समीकरण 39 का समाधान है।

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बीजगणित में छठे छात्र ओलंपियाड की समस्याओं का समाधान समस्या 1 सिद्ध कीजिए कि यदि दो से अधिक कोटि के वास्तविक वर्ग आव्यूह के सभी अवयव अशून्य हैं, तो उन्हें धनात्मक से गुणा किया जा सकता है

विषय 1 वास्तविक संख्याएँ और उन पर क्रियाएँ 4 घंटे 11 संख्या 1 की अवधारणा का विकास प्रारंभ में, संख्याओं को केवल प्राकृतिक संख्याओं के रूप में समझा जाता था, जो व्यक्तिगत वस्तुओं को गिनने के लिए पर्याप्त हैं।

कज़ान फेडरल यूनिवर्सिटी इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स एंड मैकेनिक्स आईएम। N.I.LOBACHEVSKY गणित और सूचना विज्ञान शिक्षण के सिद्धांत और प्रौद्योगिकी विभाग Falileeva M.V. समीकरणों को हल करने में पहला कदम और

95 बिलिनियर और द्विघात कार्यद्विरेखीय फलन परिभाषा एक रैखिक स्थान L पर एक द्विरेखीय फलन (द्विरेखीय रूप) L से दो सदिशों का एक फलन है जो इसके प्रत्येक में रैखिक होता है।

उच्च के संघीय राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान व्यावसायिक शिक्षा"नोवोसिबिर्स्क नेशनल रिसर्च स्टेट यूनिवर्सिटी" लीनियर डिफरेंशियल की प्रणाली

हैंडबुक विभाज्यता के कुछ संकेत प्राकृतिक संख्याप्राकृतिक संख्याएँ गिनती के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याएँ हैं: प्राकृत संख्याएँ एक समुच्चय बनाती हैं जिसे प्राकृत संख्याओं का समुच्चय कहा जाता है।

57 चौथे प्रकार (M N) d () p q p के सरलतम परिमेय भिन्न के एकीकरण पर विचार करें आइए d सेट करके चर का परिवर्तन करें। जहां एक पी क्यू। तब समाकलन M N d p p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

1 यूडीसी 517 96 1. रिकाटी समीकरण का समाधान और दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों के लिए इसके आवेदन चोचिव टिमोफे ज़खारोविच, भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, वरिष्ठ शोधकर्ता

अवकल समीकरणों की प्रणालियाँ परिचय साधारण अवकल समीकरणों के साथ-साथ, अवकल समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग वास्तविक जीवन में कई प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी का नाम एन.ई. मौलिक विज्ञान के बौमन संकाय गणितीय मॉडलिंग विभाग .Н. कनात्निकोव,

उच्च गणित के पाठ्यक्रम पर गणना कार्यों के लिए पद्धति संबंधी निर्देश "मल्टीपल इंटीग्रल की साधारण अंतर समीकरण श्रृंखला" भाग III विषय साधारण अंतर समीकरण सामग्री

रूसी संघ के सामान्य और व्यावसायिक शिक्षा मंत्रालय रोस्तोव राज्य विश्वविद्यालय ई। हां फाइन

व्याख्यान 2 छोटे क्रमों के रेखीय समीकरण निर्धारकों की प्रणालियाँ 1 रैखिक प्रणालियों की तुल्यता आइए एक और रैखिक प्रणालीसमान आकार a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

{ सामान्य अवधारणाएं- कॉची की प्रमेय - रैखिक अंतर ऑपरेटर - मूल प्रमेय - समाधानों की रैखिक स्वतंत्रता - व्रोन्स्की निर्धारक - एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के व्रोनस्कियन

गणितीय विश्लेषणखंड: अनिश्चितकालीन अभिन्न विषय: तर्कसंगत अंशों का एकीकरण व्याख्याता पखोमोवा ई.जी. 0 5. परिमेय भिन्नों का एकीकरण परिभाषा। परिमेय भिन्न कहलाता है

अध्याय अंतर समीकरण बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं एक अंतर समीकरण एक समीकरण है जो स्वतंत्र चर x को वांछित फ़ंक्शन (y f (x और वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न) से जोड़ता है।

चरों के पृथक्करण की विधि (फूरियर विधि) चरों के पृथक्करण की विधि के सामान्य सिद्धांत सरलतम आंशिक अवकल समीकरण के लिए, चरों का पृथक्करण केवल t से प्रपत्र के समाधान की खोज है। आप (एक्स, टी

विषय: रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का सामान्य सिद्धांत ए। हां। ओवेस्याननिकोव यूराल संघीय विश्वविद्यालय गणित और कंप्यूटर विज्ञान संस्थान बीजगणित और असतत गणित बीजगणित और ज्यामिति के लिए विभाग

फॉर्म के समीकरणों की प्राकृतिक संख्या में समाधान पर डायोफैंटाइन विश्लेषण में, फॉर्म के समीकरण उन लोगों में से हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है। वर्तमान में अज्ञात सामान्य विधि पूरा समाधानइसका सबसे सरल समीकरण भी

बीजगणित: ग्रेड 7. पाठ 2. संख्यात्मक भाव। चर के साथ भाव शुभ दोपहर, दोस्तों! पिछले पाठ में, हमने छठी कक्षा में सीखे गए विषयों की समीक्षा की। साधारण और के साथ क्रियाओं को करने का तरीका याद किया

अध्याय 2 सदिश स्थान 9 एक क्षेत्र के ऊपर सदिश स्थान 91 स्वयंसिद्ध मान लीजिए कि एक क्षेत्र P दिया गया है, जिसके तत्वों को हम अदिश कहेंगे, और कुछ समुच्चय V, जिसके तत्वों को हम कहेंगे

निरंतर भिन्न परिमित सतत भिन्न परिभाषा एक 0 + a + a + + a m के रूप का एक व्यंजक जहाँ a 0 Z a m N a m N/() को एक सतत भिन्न कहा जाता है और m निरंतर भिन्न की लंबाई है a 0 a m होगा निरंतर भिन्न के गुणांक कहलाते हैं

सामग्री त्रुटियों का प्राथमिक सिद्धांत। SLAU समाधान। 4. परिमित-आयामी रिक्त स्थान में मानदंड... 4. एसएलएई की सशर्तता .... 5.3 रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए पुनरावृत्त तरीके ......... ...

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय यूराल स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ इकोनॉमिक्स यू। बी। मेलनिकोव फील्ड। फ़ील्ड एक्सटेंशन अनुभाग इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तकव्याख्यान में साथ देने के लिए एड. चौथा, रेव. और अतिरिक्त

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अध्याय 7 स्पर्शोन्मुख विधियों की अवधारणा व्याख्यान नियमित रूप से और विलक्षण रूप से परेशान समस्याएं अंतरिक्ष में विभिन्न पैमानों द्वारा विशेषता भौतिक वस्तुओं के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय,