चलो साथ काम करते हैं द्विघातीय समीकरण. ये बहुत लोकप्रिय समीकरण हैं! बहुत में सामान्य दृष्टि सेद्विघात समीकरण इस तरह दिखता है:

उदाहरण के लिए:

यहां एक =1; बी = 3; सी = -4

यहां एक =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां एक =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें?यदि आपके पास इस रूप में द्विघात समीकरण है, तो सब कुछ सरल है। हम याद रखते हैं जादुई शब्द विभेदक . हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विवेककर्ता के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से तरकीबों का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! यह उपयोग करने के लिए सरल और परेशानी मुक्त है। तो, द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने का सूत्र इस तरह दिखता है:

मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक वही है विभेदक. जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र में और विचार करें। स्थानापन्न अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, पहले समीकरण के लिए एक =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

बस इतना ही।

इस सूत्र का उपयोग करते समय कौन से मामले संभव हैं? केवल तीन मामले हैं।

1. विवेचक सकारात्मक है। इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। जड़ को अच्छी तरह से निकाला गया है या बुरी तरह से यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है। तो आपके पास एक ही उपाय है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान. लेकिन यह असमानताओं में एक भूमिका निभाता है, जहां हम इस मुद्दे का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

3. विवेचक ऋणात्मक है। ऋणात्मक संख्या से वर्गमूलनहीं निकाला जाता है। अच्छी तरह से ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

सब कुछ बहुत सरल है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...
सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (कहां भ्रमित होना है?), लेकिन नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ जड़ों की गणना के लिए सूत्र। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। यदि गणना में कोई समस्या है, तो इसे करो!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह सिर्फ सही निकलेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। Minuses के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंविवेचक के माध्यम से हमें याद आया। या सीखा, जो अच्छा भी है। क्या आप सही पहचान सकते हैं ए, बी और सी. आपको पता है कैसे सावधानी सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सावधानी सेपरिणाम गिनें। आपको समझ में आया कीवर्डयहां - सावधानी से?

हालाँकि, द्विघात समीकरण अक्सर थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

यह अपूर्ण द्विघात समीकरण . उन्हें विवेचक के माध्यम से भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;एक सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। सूत्र में के स्थान पर शून्य रखिए सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, एक बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी भेदभाव के। पहले पर विचार करें अधूरा समीकरण. बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप X को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ लेकर आएँ, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता है? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स = 0, या एक्स = 4

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की तुलना में समाधान बहुत सरल है।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। 9 को . में स्थानांतरित करना दाईं ओर. हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। प्राप्त:

भी दो जड़ें . एक्स = +3 और एक्स = -3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो एक्स को कोष्ठक से निकालकर, या बस संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके, उसके बाद रूट निकालकर।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं... जिसके लिए यह फिर दर्दनाक और अपमानजनक होता है...

पहला स्वागत. द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! x चुकता से पहले का माइनस आपको बहुत परेशान कर सकता है। इसे भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत।अपनी जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया। अगर (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले -2 में। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य आपके संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। एक त्रुटि की तलाश करें। यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब कुछ सही है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।

रिसेप्शन तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! पिछले अनुभाग में वर्णित सामान्य भाजक द्वारा समीकरण को गुणा करें। अंशों, त्रुटियों के साथ काम करते समय, किसी कारण से चढ़ना ...

वैसे, मैंने एक बुरे उदाहरण का वादा किया था जिसमें मिनिस के एक समूह को सरल बनाया गया था। कृप्या! वह यहाँ है।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से समझते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत कारक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसका गुणांक एक के बराबर है, विलयन को Vieta के प्रमेय द्वारा आसानी से जाँचा जा सकता है। इसे करें!

भिन्नात्मक समीकरण। ओडीजेड.

हम समीकरणों में महारत हासिल करना जारी रखते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि रैखिक और द्विघात समीकरणों के साथ कैसे काम करना है। अंतिम दृश्य रहता है भिन्नात्मक समीकरण. या उन्हें बहुत अधिक ठोस भी कहा जाता है - भिन्नात्मक परिमेय समीकरण. यह बिल्कुल वैसा है।

भिन्नात्मक समीकरण।

जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, इन समीकरणों में आवश्यक रूप से भिन्न होते हैं। लेकिन केवल भिन्न ही नहीं, बल्कि वे भिन्न जिनमें हर में अज्ञात. कम से कम एक में। उदाहरण के लिए:

मैं आपको याद दिला दूं, यदि केवल हरों में नंबर, ये रैखिक समीकरण हैं।

कैसे तय करें भिन्नात्मक समीकरण? सबसे पहले, अंशों से छुटकारा पाएं! उसके बाद, समीकरण, सबसे अधिक बार, एक रैखिक या द्विघात में बदल जाता है। और फिर हम जानते हैं कि क्या करना है... कुछ मामलों में, यह एक पहचान में बदल सकता है, जैसे 5=5 या गलत व्यंजक, जैसे 7=2। लेकिन ऐसा कम ही होता है। नीचे मैं इसका उल्लेख करूंगा।

लेकिन अंशों से कैसे छुटकारा पाएं !? बहुत आसान। सभी समान परिवर्तनों को लागू करना।

हमें पूरे समीकरण को उसी व्यंजक से गुणा करना होगा। ताकि सभी भाजक घटें! सब कुछ तुरंत आसान हो जाएगा। मैं एक उदाहरण से समझाता हूं। मान लें कि हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

प्राथमिक विद्यालय में उन्हें कैसे पढ़ाया जाता था? हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित करते हैं, इसे एक सामान्य भाजक में कम करते हैं, आदि। भूल जाओ कितना बुरा सपना! जब आप भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ते या घटाते हैं तो आपको यही करना होता है। या असमानताओं के साथ काम करें। और समीकरणों में, हम तुरंत दोनों भागों को एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो हमें सभी हरों को कम करने का अवसर देगा (अर्थात, संक्षेप में, एक सामान्य हर द्वारा)। और यह अभिव्यक्ति क्या है?

बाईं ओर, हर को कम करने के लिए, आपको गुणा करना होगा एक्स+2. और दाईं ओर, 2 से गुणा करना आवश्यक है। इसलिए, समीकरण को से गुणा किया जाना चाहिए 2(x+2). हम गुणा करते हैं:

यह भिन्नों का सामान्य गुणन है, लेकिन मैं विस्तार से लिखूंगा:

कृपया ध्यान दें कि मैं अभी तक कोष्ठक नहीं खोल रहा हूँ। (एक्स + 2)! इसलिए, इसकी संपूर्णता में, मैं इसे लिखता हूं:

बाईं ओर, यह पूरी तरह से कम हो गया है (एक्स+2), और दाईं ओर 2. आवश्यकतानुसार! कमी के बाद हमें मिलता है रैखिकसमीकरण:

इस समीकरण को कोई भी हल कर सकता है! एक्स = 2.

आइए एक और उदाहरण हल करें, थोड़ा और जटिल:

अगर हमें याद है कि 3 = 3/1, और 2x = 2x/ 1 लिखा जा सकता है:

और फिर से हम उस चीज़ से छुटकारा पा लेते हैं जो हमें वास्तव में पसंद नहीं है - भिन्नों से।

हम देखते हैं कि हर को x से कम करने के लिए, भिन्न को से गुणा करना आवश्यक है (एक्स - 2). और इकाइयाँ हमारे लिए कोई बाधा नहीं हैं। अच्छा, चलो गुणा करें। सभीबाईं ओर और सबदाईं ओर:

ब्रैकेट फिर से (एक्स - 2)मैं प्रकट नहीं करता। मैं पूरी तरह से ब्रैकेट के साथ काम करता हूं, जैसे कि यह एक नंबर था! ऐसा हमेशा करना चाहिए, नहीं तो कुछ भी कम नहीं होगा।

गहरी संतुष्टि की भावना के साथ, हम काटते हैं (एक्स - 2)और हमें एक रूलर में बिना किसी भिन्न के समीकरण प्राप्त होता है!

और अब हम कोष्ठक खोलते हैं:

हम समान देते हैं, सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

शास्त्रीय द्विघात समीकरण। लेकिन आगे माइनस अच्छा नहीं है। आप इसे -1 से गुणा या भाग करके हमेशा छुटकारा पा सकते हैं। लेकिन अगर आप उदाहरण को करीब से देखें, तो आप देखेंगे कि इस समीकरण को -2 से विभाजित करना सबसे अच्छा है! एक झटके में, माइनस गायब हो जाएगा, और गुणांक सुंदर हो जाएंगे! हम -2 से विभाजित करते हैं। बाईं ओर - पद दर पद, और दाईं ओर - बस शून्य को -2, शून्य से विभाजित करें और प्राप्त करें:

हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं और वीटा प्रमेय के अनुसार जांच करते हैं। हम पाते हैं एक्स = 1 और एक्स = 3. दो जड़ें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में, परिवर्तन के बाद का समीकरण रैखिक हो गया, और यहाँ यह द्विघात है। ऐसा होता है कि भिन्नों से छुटकारा पाने के बाद, सभी x कम हो जाते हैं। कुछ बचा है, जैसे 5=5। इसका मतलब है कि x कुछ भी हो सकता है. जो भी हो, यह अभी भी कम किया जाएगा। और पावन सत्य, 5=5। लेकिन, भिन्नों से छुटकारा पाने के बाद, यह पूरी तरह से असत्य हो सकता है, जैसे कि 2=7। और इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं! किसी भी x के साथ, यह असत्य हो जाता है।

हल करने का मुख्य तरीका समझ में आया भिन्नात्मक समीकरण ? यह सरल और तार्किक है। हम मूल अभिव्यक्ति को बदल देते हैं ताकि वह सब कुछ गायब हो जाए जो हमें पसंद नहीं है। या हस्तक्षेप करें। इस मामले में, यह अंश है। हम सबके साथ ऐसा ही करेंगे जटिल उदाहरणलघुगणक, साइन और अन्य भयावहता के साथ। हम हमेशाहम इस सब से छुटकारा पायेंगे।

हालाँकि, हमें मूल अभिव्यक्ति को उस दिशा में बदलने की आवश्यकता है जिसकी हमें आवश्यकता है नियमों के अनुसार, हाँ ... जिसका विकास गणित में परीक्षा की तैयारी है। यहां हम सीख रहे हैं।

अब हम सीखेंगे कि इनमें से किसी एक को कैसे बायपास किया जाए परीक्षा पर मुख्य घात! लेकिन पहले, देखते हैं कि आप इसमें गिरते हैं या नहीं?

आइए एक साधारण उदाहरण लें:

मामला पहले से ही परिचित है, हम दोनों भागों को गुणा करते हैं (एक्स - 2), हम पाते हैं:

याद रखें, कोष्ठक के साथ (एक्स - 2)हम एक के रूप में काम करते हैं, अभिन्न अभिव्यक्ति!

यहाँ मैंने अब हर में एक नहीं लिखा है, अशोभनीय ... और मैंने हर में कोष्ठक नहीं खींचा, सिवाय इसके कि एक्स - 2कुछ भी नहीं है, आप आकर्षित नहीं कर सकते। हम छोटा करते हैं:

हम कोष्ठक खोलते हैं, सब कुछ बाईं ओर ले जाते हैं, हम समान देते हैं:

हम हल करते हैं, जांचते हैं, हमें दो जड़ें मिलती हैं। एक्स = 2तथा एक्स = 3. उत्कृष्ट।

मान लीजिए कि कार्य एक से अधिक जड़ होने पर मूल या उनका योग लिखने के लिए कहता है। हम क्या लिखेंगे?

यदि आप तय करते हैं कि उत्तर 5 है, तो आप घात लगाए हुए थे. और कार्य आपके लिए नहीं गिना जाएगा। उन्होंने व्यर्थ काम किया ... सही उत्तर 3 है।

क्या बात है?! और आप जांच करने की कोशिश करते हैं। अज्ञात के मानों को प्रतिस्थापित करें मूलउदाहरण। और अगर एक्स = 3सब कुछ एक साथ आश्चर्यजनक रूप से बढ़ता है, हमें 9 = 9 मिलता है, फिर साथ एक्स = 2शून्य से भाग दें! क्या बिल्कुल नहीं किया जा सकता है। माध्यम एक्स = 2समाधान नहीं है, और उत्तर में इस पर ध्यान नहीं दिया जाता है। यह तथाकथित बाहरी या अतिरिक्त जड़ है। हम बस इसे त्याग देते हैं। केवल एक अंतिम जड़ है। एक्स = 3.

ऐसा कैसे?! मैं आक्रोशित उद्गार सुनता हूं। हमें सिखाया गया था कि एक समीकरण को एक व्यंजक से गुणा किया जा सकता है! यह वही परिवर्तन है!

हाँ, समान। एक छोटी सी शर्त के तहत - वह व्यंजक जिससे हम गुणा (विभाजित) करते हैं - शून्य से अलग. लेकिन एक्स - 2पर एक्स = 2शून्य के बराबर! तो सब जायज है।

और अब मैं क्या कर सकता हूँ?! व्यंजक से गुणा न करें? क्या आप हर बार चेक करते हैं? फिर से अस्पष्ट!

शांति से! घबराए नहीं!

इस कठिन परिस्थिति में तीन जादुई अक्षर हमें बचाएंगे। मुझे पता है कि तुम क्या सोच रहे थे। सही ढंग से! यह ओडीजेड . मान्य मूल्यों का क्षेत्र।

इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- Vieta प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) इसके बजाय $$: \(x_1 = 0.247; \ क्वाड x_2 = -0.05 \)

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा स्कूलकी तैयारी में नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित करा लें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दर्ज कर सकते हैं दशमलवतो: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूरा भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

तय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

इसलिये बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
रूप है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 रूप का एक समीकरण कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b दूसरा गुणांक है और संख्या c अवरोधन है।

फार्म के प्रत्येक समीकरण में ax 2 +bx+c=0, जहां \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है कम द्विघात समीकरण. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण में ax 2 +bx+c=0 गुणांकों में से कम से कम एक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अधूरा द्विघात समीकरण. अतः, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 +c=0, जहां \(c \neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 +bx=0, जहां \(b \neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी = 0।

इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के रूप ax 2 +c=0 के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है और समीकरण के दोनों भागों को a से विभाजित किया जाता है:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूंकि \(c \neq 0 \), तब \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) के लिए इसके बाईं ओर का गुणनखंड करें और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \ left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \ left\( \ start (सरणी)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

इसलिए, \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक ही मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों गैर-शून्य होते हैं।

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मूलों का सूत्र प्राप्त होता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 +bx+c=0

इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

हम द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

मूल व्यंजक कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे अक्षर D से निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\(डी = बी^2-4ac\)

अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहां \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विवेचक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं (D के लिए इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय) , निम्नलिखित तरीके से करना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का प्रयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे निम्न के साथ लिया जाता है। विपरीत चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। कोई भी घटा हुआ द्विघात समीकरण जिसमें जड़ें होती हैं, में यह गुण होता है।

दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 की जड़ें x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\(\बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(सरणी) \दाएं। \)

ग्रंथ सूची विवरण:गैसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. समाधान द्विघातीय समीकरण// युवा वैज्ञानिक। 2016. 6.1. एस. 17-20..03.2019)।



हमारी परियोजना द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित है। परियोजना का उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को ऐसे तरीकों से हल करना सीखना जो स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं हैं। कार्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सभी संभव तरीके खोजें और स्वयं उनका उपयोग करना सीखें और सहपाठियों को इन विधियों से परिचित कराएं।

"द्विघात समीकरण" क्या हैं?

द्विघात समीकरण- फॉर्म का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ पे एक, बी, सी- कुछ नंबर ( एक 0), एक्स- अनजान।

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।

• a को प्रथम गुणांक कहा जाता है;
• बी को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुक्त सदस्य।

और द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाला पहला व्यक्ति कौन था?

रेखीय और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजीय तकनीकों को प्राचीन बेबीलोन में 4000 साल पहले के रूप में जाना जाता था। 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की गोलियां, द्विघात समीकरणों के अध्ययन के शुरुआती प्रमाण हैं। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही।

बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए। बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित का विकास, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की कोई अवधारणा नहीं है और सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों के समाधान।

लगभग चौथी शताब्दी ई.पू. के बेबीलोन के गणितज्ञ। सकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू. यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि के साथ आया। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरण का हल खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे। ब्रह्मगुप्त:(भारत, 7वीं शताब्दी ई.)

ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की:

ax2 + bx = c, a>0

इस समीकरण में, गुणांक ऋणात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: “जैसे सूरज अपनी चमक से सितारों को चमका देता है, वैसे ही वैज्ञानिक आदमीलोकप्रिय सभाओं में ग्रहण की महिमा, बीजगणितीय समस्याओं की पेशकश और समाधान। कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।

एक बीजीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग मूल के बराबर होते हैं", अर्थात ax2 = bx।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", यानी ax2 = c।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात ax2 + c = bx।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात ax2 + bx = c।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर होती हैं", अर्थात bx + c == ax2।

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाता है। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी, 17 वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य को ध्यान में नहीं रखते हैं। समाधान, शायद इसलिए कि विशिष्ट में व्यावहारिक कार्यकोई फर्क नहीं पड़ता कि। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करता है।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के रूपों को पहली बार "अबेकस की पुस्तक" में वर्णित किया गया था, जिसे 1202 में लिखा गया था। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फिबोनाची. लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इस पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक के कई कार्यों को 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में स्थानांतरित कर दिया गया था। सामान्य नियम 1544 में यूरोप में संकेतों और गुणांकों के सभी संभावित संयोजनों के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान को एकल विहित रूप x2 + bx = c में घटाया गया था। एम स्टीफेल।

Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेलि 16 वीं शताब्दी में पहली बार। सकारात्मक, और नकारात्मक जड़ों के अलावा, ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में। काम के लिए धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिक, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर विचार करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने के मानक तरीके स्कूल के पाठ्यक्रम:

1. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन।
2. पूर्ण वर्ग चयन विधि।
3. द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा हल।
4. ग्राफिक समाधानद्विघात समीकरण।
5. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

आइए हम विएटा प्रमेय का उपयोग करके कम और गैर-घटित द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

याद रखें कि दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, जिसका उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, और योग विपरीत चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर है।

उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0

आपको ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल 6 है और योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।

उत्तर: x 1 =2, एक्स 2 =3.

लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।

उदाहरण।3x 2 +2x-5=0

हम पहला गुणांक लेते हैं और इसे मुक्त पद से गुणा करते हैं: x 2 +2x-15=0

इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 और योग - 2 के बराबर है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम प्राप्त मूलों को पहले गुणांक से विभाजित करते हैं .

उत्तर: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "स्थानांतरण" की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहाँ a≠0।

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।

माना कुल्हाड़ी = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुँचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम वियत प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ें 1 और 2 पर पाते हैं।

अंत में हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a मिलता है।

इस पद्धति के साथ, गुणांक a को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, इसलिए इसे "स्थानांतरण" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.

आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "स्थानांतरित करें" और प्रतिस्थापन करने पर हमें समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त होता है।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3।

उत्तर: x 1 =2.5; एक्स 2 = 3.

7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0, a 0 दिया गया है।

1. यदि a + b + c \u003d 0 (अर्थात, समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 \u003d 1.

2. यदि a - b + c \u003d 0, या b \u003d a + c, तो x 1 \u003d - 1.

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.

चूंकि a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345।

उत्तर: x 1 = 1; एक्स 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0

इसलिये a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), फिर x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

उत्तर: x 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132

द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी होते हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है।

8. एक नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

अंजीर 1. नोमोग्राम

संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखे गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए यह एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।

तालिका XXII। समीकरण हल करने के लिए नामांकन z2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्रीय पैमाना सूत्रों (चित्र 1) के अनुसार बनाया गया है:

यह मानते हुए ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), अंजीर से। 1 त्रिभुजों की समानता सैनतथा सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडमतलब घुमावदार पैमाने पर किसी भी बिंदु का लेबल।

चावल। 2 एक नामांकित समीकरण का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 . देता है

उत्तर: 8.0; 1.0.

2) नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करें

2z 2 - 9z + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से भाग देने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।

नॉमोग्राम जड़ों को z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।

उत्तर - 4; 0.5.

9. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया गया है: "वर्ग और दस जड़ें 39 के बराबर हैं।"

एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा x है, इसके किनारों पर आयतें बनाई गई हैं ताकि उनमें से प्रत्येक की दूसरी भुजा 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति को फिर चार कोनों को पूरा करते हुए एक नए वर्ग ABCD के साथ पूरक किया जाता है बराबर वर्ग, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 . है

चावल। 3 ग्राफिकल तरीकासमीकरण x 2 + 10x = 39 . का हल

वर्ग ABCD के क्षेत्रफल S को क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4 2.5x = 10x) और चार संलग्न वर्ग (6.25 4 = 25), अर्थात। S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x को 39 की संख्या से बदलने पर, हमें वह S \u003d 39 + 25 \u003d 64 मिलता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग ABCD का पक्ष, अर्थात। खंड AB \u003d 8. मूल वर्ग के वांछित पक्ष x के लिए, हम प्राप्त करते हैं

10. Bezout के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का हल।

बेजआउट का प्रमेय। बहुपद P(x) को द्विपद x - α से भाग देने के बाद शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात x = α पर P(x) का मान)।

यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना शेषफल के x -α से विभाज्य है।

उदाहरण।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से भाग दें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

एक्स-1 = 0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: x1 =2, एक्स2 =3.

निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक हल करने के लिए आवश्यक है जटिल समीकरण, उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण, समीकरण उच्च डिग्री, द्विघात समीकरण, और हाई स्कूल त्रिकोणमितीय, घातीय और . में लघुगणक समीकरण. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाई गई सभी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम सहपाठियों को मानक विधियों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति द्वारा समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे समझने के लिए अधिक सुलभ हैं। .

साहित्य:

1. ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। - एम।, शिक्षा, 1990।
2. बीजगणित ग्रेड 8: कक्षा 8 के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान मकर्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस ए तेल्याकोवस्की 15 वां संस्करण, संशोधित। - एम .: ज्ञानोदय, 2015
3. https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास। शिक्षकों के लिए एक गाइड। / ईडी। वी.एन. छोटा। - एम .: ज्ञानोदय, 1964।

प्रथम स्तर

द्विघातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

शब्द "द्विघात समीकरण" में मुख्य शब्द "द्विघात" है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में वर्ग में एक चर (समान एक्स) होना चाहिए, और साथ ही तीसरी (या अधिक) डिग्री में एक्स नहीं होना चाहिए।

द्विघात समीकरणों के हल में अनेक समीकरणों के हल को घटाया जाता है।

आइए यह निर्धारित करना सीखें कि हमारे पास द्विघात समीकरण है, न कि कुछ अन्य।

उदाहरण 1

हर से छुटकारा पाएं और समीकरण के प्रत्येक पद को गुणा करें

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं और शर्तों को x . की शक्तियों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें

अब हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह समीकरण द्विघात है!

उदाहरण 2

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

यह समीकरण, हालांकि मूल रूप से इसमें था, एक वर्ग नहीं है!

उदाहरण 3

आइए सब कुछ गुणा करें:

डरावना? चौथी और दूसरी डिग्री ... हालांकि, अगर हम एक प्रतिस्थापन करते हैं, तो हम देखेंगे कि हमारे पास एक साधारण द्विघात समीकरण है:

उदाहरण 4

ऐसा लगता है, लेकिन आइए करीब से देखें। आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं:

देखें, सिकुड़ा हुआ - और अब यह आसान है रेखीय समीकरण!

अब आप स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि निम्नलिखित में से कौन-से समीकरण द्विघात हैं और कौन-से नहीं:

उदाहरण:

उत्तर:

1. वर्ग;
2. वर्ग;
3. चौकोर नहीं;
4. चौकोर नहीं;
5. चौकोर नहीं;
6. वर्ग;
7. चौकोर नहीं;
8. वर्ग।

गणितज्ञ सशर्त रूप से सभी द्विघात समीकरणों को निम्न प्रकारों में विभाजित करते हैं:

• पूर्ण द्विघात समीकरण- समीकरण जिनमें गुणांक और, साथ ही मुक्त पद c, शून्य के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए)। इसके अलावा, पूर्ण द्विघात समीकरणों में से हैं दिया गयावे समीकरण हैं जिनमें गुणांक (उदाहरण एक से समीकरण न केवल पूर्ण है, बल्कि कम भी है!)

• अपूर्ण द्विघात समीकरण- वे समीकरण जिनमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

  वे अधूरे हैं क्योंकि उनमें से कुछ तत्व गायब है। लेकिन समीकरण में हमेशा x चुकता होना चाहिए !!! अन्यथा, यह अब द्विघात नहीं होगा, बल्कि कुछ अन्य समीकरण होगा।

वे इस तरह के विभाजन के साथ क्यों आए? ऐसा लगता है कि एक एक्स वर्ग है, और ठीक है। ऐसा विभाजन समाधान के तरीकों के कारण होता है। आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

सबसे पहले, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने पर ध्यान दें - वे बहुत सरल हैं!

अपूर्ण द्विघात समीकरण प्रकार के होते हैं:

1. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।
2. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।
3. , इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

1. मैं। चूँकि हम जानते हैं कि वर्गमूल कैसे लिया जाता है, आइए इस समीकरण से व्यक्त करें

अभिव्यक्ति या तो नकारात्मक या सकारात्मक हो सकती है। एक वर्ग संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी, इसलिए: यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है।

और अगर, तो हमें दो जड़ें मिलती हैं। इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। मुख्य बात यह है कि आपको हमेशा यह जानना और याद रखना चाहिए कि यह कम नहीं हो सकता।

आइए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5:

प्रश्न हल करें

अब बाएँ और दाएँ भाग से जड़ निकालना बाकी है। आखिरकार, क्या आपको याद है कि जड़ों को कैसे निकालना है?

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें !!!

उदाहरण 6:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7:

प्रश्न हल करें

आउच! किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं!

ऐसे समीकरणों के लिए जिनमें कोई जड़ नहीं है, गणितज्ञ एक विशेष चिह्न के साथ आए - (खाली सेट)। और उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। यहां कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि हमने जड़ नहीं निकाली है।
उदाहरण 8:

प्रश्न हल करें

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

इस तरह,

इस समीकरण की दो जड़ें हैं।

उत्तर:

अधूरे द्विघात समीकरणों का सबसे सरल प्रकार (हालाँकि वे सभी सरल हैं, है ना?) जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

यहां हम बिना उदाहरणों के करेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

हम आपको याद दिलाते हैं कि पूर्ण द्विघात समीकरण, समीकरण के रूप का एक समीकरण है जहाँ

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना दिए गए समीकरणों की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल (बस थोड़ा सा) है।

याद है, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

बाकी विधियां आपको इसे तेजी से करने में मदद करेंगी, लेकिन अगर आपको द्विघात समीकरणों में समस्या है, तो पहले विवेचक का उपयोग करके समाधान में महारत हासिल करें।

1. विवेचक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना बहुत सरल है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है।

अगर, तो समीकरण की जड़ है कदम पर विशेष ध्यान देना चाहिए। विवेचक () हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो चरण पर सूत्र को घटाकर कर दिया जाएगा। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल होगा।
• अगर, तो हम कदम पर विवेचक की जड़ नहीं निकाल पाएंगे। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

आइए अपने समीकरणों पर वापस जाएं और कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 9:

प्रश्न हल करें

स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की दो जड़ें हैं।

चरण 3

उत्तर:

उदाहरण 10:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

तो समीकरण की एक जड़ है।

उत्तर:

उदाहरण 11:

प्रश्न हल करें

समीकरण मानक रूप में है, इसलिए स्टेप 1छोड़ें।

चरण दो

विभेदक ढूँढना:

इसका मतलब है कि हम विवेचक से जड़ नहीं निकाल पाएंगे। समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

अब हम जानते हैं कि ऐसे उत्तरों को सही तरीके से कैसे लिखा जाता है।

उत्तर:कोई जड़ नहीं

2. वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान।

यदि आपको याद हो, तो इस प्रकार के समीकरण होते हैं जिन्हें कम कहा जाता है (जब गुणांक a के बराबर होता है):

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके ऐसे समीकरणों को हल करना बहुत आसान है:

जड़ों का योग दिया गयाद्विघात समीकरण समान है, और मूलों का गुणनफल समान है।

उदाहरण 12:

प्रश्न हल करें

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि .

समीकरण के मूलों का योग है, अर्थात्। हमें पहला समीकरण मिलता है:

और उत्पाद है:

आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

• तथा। राशि है;
• तथा। राशि है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

उत्तर: ; .

उदाहरण 13:

प्रश्न हल करें

उत्तर:

उदाहरण 14:

प्रश्न हल करें

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

उत्तर:

द्विघातीय समीकरण। औसत स्तर

द्विघात समीकरण क्या है?

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है, जहाँ - अज्ञात, - कुछ संख्याएँ, इसके अलावा।

संख्या को उच्चतम कहा जाता है या पहला गुणांकद्विघात समीकरण, - दूसरा गुणांक, एक - स्वतंत्र सदस्य.

क्यों? क्योंकि अगर, समीकरण तुरंत रैखिक हो जाएगा, क्योंकि गायब हो जाएगा।

इस मामले में, और शून्य के बराबर हो सकता है। इसमें मल समीकरण अपूर्ण कहलाता है। यदि सभी शर्तें जगह में हैं, यानी समीकरण पूरा हो गया है।

विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

आरंभ करने के लिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण करेंगे - वे सरल हैं।

निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

I., इस समीकरण में गुणांक और मुक्त पद बराबर हैं।

द्वितीय. , इस समीकरण में गुणांक बराबर है।

III. , इस समीकरण में मुक्त पद के बराबर है।

अब इनमें से प्रत्येक उपप्रकार के हल पर विचार करें।

जाहिर है, इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है:

एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जब दो ऋणात्मक या दो धनात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होगी। इसीलिए:

यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है;

अगर हमारे पास दो जड़ें हैं

इन सूत्रों को याद रखने की जरूरत नहीं है। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि यह कम नहीं हो सकता।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

नकारात्मक चिन्ह वाली जड़ों के बारे में कभी न भूलें!

किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है कि समीकरण

कोई जड़ नहीं।

संक्षेप में यह लिखने के लिए कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, हम खाली सेट आइकन का उपयोग करते हैं।

उत्तर:

तो, इस समीकरण की दो जड़ें हैं: और।

उत्तर:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि समीकरण का एक हल है जब:

तो, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: और।

उदाहरण:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

हम समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करते हैं और मूल पाते हैं:

उत्तर:

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ:

1. विभेदक

इस तरह से द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है, मुख्य बात क्रियाओं के क्रम और कुछ सूत्रों को याद रखना है। याद रखें, किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक का उपयोग करके हल किया जा सकता है! अधूरा भी।

क्या आपने मूल सूत्र में विवेचक की जड़ पर ध्यान दिया? लेकिन विभेदक नकारात्मक हो सकता है। क्या करें? हमें चरण 2 पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है। विवेचक हमें समीकरण के मूलों की संख्या बताता है।

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है:
• यदि, तो समीकरण का एक ही मूल है, लेकिन वास्तव में, एक मूल:

  ऐसी जड़ों को दोहरी जड़ कहा जाता है।

• यदि, तो विवेचक की जड़ नहीं निकाली जाती है। यह इंगित करता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जड़ों की संख्या अलग-अलग क्यों होती है? आइए की ओर मुड़ें ज्यामितीय अर्थद्विघात समीकरण। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है:

एक विशेष मामले में, जो एक द्विघात समीकरण है, . और इसका मतलब है कि द्विघात समीकरण की जड़ें x-अक्ष (अक्ष) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। परवलय अक्ष को बिल्कुल भी पार नहीं कर सकता है, या यह इसे एक (जब परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित है) या दो बिंदुओं पर काट सकता है।

इसके अलावा, गुणांक परवलय की शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार है। यदि, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि - तो नीचे की ओर।

उदाहरण:

समाधान:

उत्तर:

उत्तर: ।

उत्तर:

इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

उत्तर: ।

2. विएटा की प्रमेय

विएटा प्रमेय का उपयोग करना बहुत आसान है: आपको केवल संख्याओं की एक जोड़ी चुनने की आवश्यकता है जिसका उत्पाद समीकरण के मुक्त पद के बराबर है, और योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि विएटा का प्रमेय केवल पर लागू किया जा सकता है दिए गए द्विघात समीकरण ()।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

यह समीकरण विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान के लिए उपयुक्त है, क्योंकि . अन्य गुणांक: ; .

समीकरण की जड़ों का योग है:

और उत्पाद है:

आइए संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करें, जिनका गुणनफल बराबर है, और जांचें कि क्या उनका योग बराबर है:

• तथा। राशि है;
• तथा। राशि है;
• तथा। राशि बराबर है।

और सिस्टम का समाधान हैं:

इस प्रकार, और हमारे समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: ; .

उदाहरण #2:

समाधान:

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और फिर जाँचते हैं कि उनका योग बराबर है या नहीं:

और: कुल देना।

और: कुल देना। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको बस कथित जड़ों के संकेतों को बदलने की जरूरत है: और, आखिरकार, काम।

उत्तर:

उदाहरण #3:

समाधान:

समीकरण का मुक्त पद ऋणात्मक है, और इसलिए मूलों का गुणनफल एक ऋणात्मक संख्या है। यह तभी संभव है जब एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो। तो जड़ों का योग है उनके मॉड्यूल के अंतर.

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जो गुणनफल में देते हैं, और जिनका अंतर इसके बराबर है:

और: उनका अंतर है - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त नहीं;

और: - उपयुक्त। यह केवल याद रखना है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। चूँकि उनका योग बराबर होना चाहिए, तो मूल, जो निरपेक्ष मान में छोटा है, ऋणात्मक होना चाहिए: . हम जाँच:

उत्तर:

उदाहरण #4:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

मुक्त पद ऋणात्मक होता है, और इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। और यह तभी संभव है जब समीकरण का एक मूल ऋणात्मक हो और दूसरा धनात्मक हो।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं जिनका गुणनफल बराबर होता है, और फिर यह निर्धारित करते हैं कि किन मूलों में ऋणात्मक चिह्न होना चाहिए:

जाहिर है, केवल जड़ें और पहली शर्त के लिए उपयुक्त हैं:

उत्तर:

उदाहरण #5:

प्रश्न हल करें।

समाधान:

समीकरण कम हो गया है, जिसका अर्थ है:

जड़ों का योग ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कम से कम, जड़ों में से एक नकारात्मक है। लेकिन चूँकि उनका गुणनफल धनात्मक है, इसका अर्थ है कि दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

हम संख्याओं के ऐसे युग्मों का चयन करते हैं, जिनका गुणनफल इसके बराबर होता है:

जाहिर है, जड़ें संख्याएं हैं और।

उत्तर:

सहमत हूं, यह बहुत सुविधाजनक है - जड़ों का आविष्कार मौखिक रूप से करने के लिए, इस गंदे भेदभाव को गिनने के बजाय। जितनी बार संभव हो Vieta के प्रमेय का उपयोग करने का प्रयास करें।

लेकिन जड़ों को खोजने में सुविधा और तेजी लाने के लिए वियत प्रमेय की आवश्यकता है। आपके लिए इसका उपयोग करना लाभदायक बनाने के लिए, आपको क्रियाओं को स्वचालितता में लाना होगा। और इसके लिए पांच और उदाहरण हल करें। लेकिन धोखा मत दो: आप विवेचक का उपयोग नहीं कर सकते! केवल विएटा का प्रमेय:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्यों के समाधान:

कार्य 1. ((x)^(2))-8x+12=0

विएटा के प्रमेय के अनुसार:

हमेशा की तरह, हम उत्पाद के साथ चयन शुरू करते हैं:

उपयुक्त नहीं है क्योंकि राशि;

: राशि वह है जो आपको चाहिए।

उत्तर: ; .

कार्य 2.

और फिर, हमारा पसंदीदा वीटा प्रमेय: योग को काम करना चाहिए, लेकिन उत्पाद बराबर है।

लेकिन चूंकि ऐसा नहीं होना चाहिए, लेकिन, हम जड़ों के संकेतों को बदलते हैं: और (कुल मिलाकर)।

उत्तर: ; .

कार्य 3.

हम्म... कहाँ है?

सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है:

जड़ों का योग उत्पाद के बराबर होता है।

हाँ रुको! समीकरण नहीं दिया गया है। लेकिन विएटा की प्रमेय दिए गए समीकरणों में ही लागू होती है। तो पहले आपको समीकरण लाने की जरूरत है। यदि आप इसे सामने नहीं ला सकते हैं, तो इस विचार को छोड़ दें और इसे दूसरे तरीके से हल करें (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)। मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण लाने का अर्थ है अग्रणी गुणांक को इसके बराबर बनाना:

उत्कृष्ट। फिर जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद।

यहां चुनना आसान है: आखिरकार - एक प्रमुख संख्या (टॉटोलॉजी के लिए खेद है)।

उत्तर: ; .

कार्य 4.

मुक्त शब्द ऋणात्मक है। इसमें ऐसा क्या खास है? और यह तथ्य कि जड़ें अलग-अलग संकेतों की होंगी। और अब, चयन के दौरान, हम जड़ों के योग की नहीं, बल्कि उनके मॉड्यूल के बीच के अंतर की जांच करते हैं: यह अंतर बराबर है, लेकिन उत्पाद।

तो, जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक माइनस के साथ है। विएटा की प्रमेय हमें बताती है कि मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, अर्थात्। इसका मतलब है कि छोटी जड़ में एक ऋण होगा: और, चूंकि।

उत्तर: ; .

कार्य 5.

पहले क्या करने की जरूरत है? यह सही है, समीकरण दीजिए:

दोबारा: हम संख्या के कारकों का चयन करते हैं, और उनका अंतर बराबर होना चाहिए:

जड़ें बराबर हैं और, लेकिन उनमें से एक ऋणात्मक है। कौन सा? उनका योग बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि माइनस के साथ एक बड़ा रूट होगा।

उत्तर: ; .

मुझे संक्षेप में बताएं:

1. Vieta के प्रमेय का प्रयोग केवल दिए गए द्विघात समीकरणों में किया जाता है।
2. विएटा प्रमेय का उपयोग करके, आप मौखिक रूप से चयन द्वारा जड़ों का पता लगा सकते हैं।
3. यदि समीकरण नहीं दिया गया है या मुक्त पद के कारकों की कोई उपयुक्त जोड़ी नहीं मिली है, तो कोई पूर्णांक जड़ें नहीं हैं, और आपको इसे दूसरे तरीके से हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, विवेचक के माध्यम से)।

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

यदि अज्ञात वाले सभी पदों को संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के पदों के रूप में दर्शाया गया है - योग या अंतर का वर्ग - तो चर के परिवर्तन के बाद, समीकरण को प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

उदाहरण 1:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

उदाहरण 2:

प्रश्न हल करें: ।

समाधान:

उत्तर:

सामान्य तौर पर, परिवर्तन इस तरह दिखेगा:

यह संकेत करता है: ।

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? यह भेदभाव करने वाला है! ठीक इसी तरह से विभेदक सूत्र प्राप्त किया गया था।

द्विघातीय समीकरण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है, जहां अज्ञात है, द्विघात समीकरण के गुणांक हैं, मुक्त पद है।

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं।

घटा हुआ द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक, वह है: .

अधूरा द्विघात समीकरण- एक समीकरण जिसमें गुणांक और या मुक्त पद c शून्य के बराबर हैं:

• यदि गुणांक, समीकरण का रूप है: ,
• यदि एक मुक्त पद है, तो समीकरण का रूप है: ,
• अगर और, समीकरण का रूप है:।

1. अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1.1. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) अज्ञात को व्यक्त करें: ,

2) अभिव्यक्ति के संकेत की जाँच करें:

• यदि, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
• यदि, तो समीकरण के दो मूल हैं।

1.2. प्रपत्र का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण, जहाँ, :

1) आइए कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालें: ,

2) गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इसलिए, समीकरण की दो जड़ें हैं:

1.3. फॉर्म का अधूरा द्विघात समीकरण, जहां:

इस समीकरण का हमेशा एक ही मूल होता है: .

2. फॉर्म के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम जहां

2.1. विवेचक का उपयोग करके समाधान

1) आइए समीकरण को मानक रूप में लाएं: ,

2) सूत्र का उपयोग करके विभेदक की गणना करें: , जो समीकरण की जड़ों की संख्या को इंगित करता है:

3) समीकरण की जड़ें खोजें:

• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है:
• यदि, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है।

2.2. Vieta के प्रमेय का उपयोग कर समाधान

घटे हुए द्विघात समीकरण (रूप का एक समीकरण, जहाँ) के मूलों का योग बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल बराबर होता है, अर्थात्। , एक।

2.3. पूर्ण वर्ग समाधान

यदि रूप के द्विघात समीकरण के मूल हैं, तो इसे इस रूप में लिखा जा सकता है: .

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

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बीजगणित के स्कूली पाठ्यक्रम के पूरे पाठ्यक्रम में, सबसे अधिक चमकदार विषयों में से एक द्विघात समीकरणों का विषय है। इस मामले में, एक द्विघात समीकरण को कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 के रूप के समीकरण के रूप में समझा जाता है, जहां एक 0 (यह पढ़ता है: एक्स वर्ग से गुणा करें प्लस एक्स प्लस सीई शून्य के बराबर है, जहां ए शून्य के बराबर नहीं है)। इस मामले में, द्विघात समीकरण के विवेचक को खोजने के लिए सूत्रों द्वारा मुख्य स्थान पर कब्जा कर लिया गया है निर्दिष्ट प्रकार, जिसे एक व्यंजक के रूप में समझा जाता है जो आपको द्विघात समीकरण में जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के साथ-साथ उनकी संख्या (यदि कोई हो) निर्धारित करने की अनुमति देता है।

द्विघात समीकरण के विवेचक का सूत्र (समीकरण)

द्विघात समीकरण के विवेचक के लिए आम तौर पर स्वीकृत सूत्र इस प्रकार है: D \u003d b 2 - 4ac। संकेतित सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करके, कोई न केवल द्विघात समीकरण की उपस्थिति और जड़ों की संख्या निर्धारित कर सकता है, बल्कि इन जड़ों को खोजने के लिए एक विधि भी चुन सकता है, जिनमें से द्विघात समीकरण के प्रकार के आधार पर कई हैं।

इसका क्या अर्थ है यदि विवेचक शून्य है \ द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र यदि विवेचक शून्य है

विवेचक, सूत्र से निम्नानुसार दर्शाया गया है लैटिन अक्षरडी। उस मामले में जब भेदभाव शून्य के बराबर होता है, यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 के द्विघात समीकरण, जहां एक 0, केवल एक जड़ है, जिसे सरलीकृत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है . यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब विवेचक शून्य होता है और इस तरह दिखता है: x = –b/2a, जहां x द्विघात समीकरण का मूल है, b और a द्विघात समीकरण के संगत चर हैं। द्विघात समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए यह आवश्यक है नकारात्मक अर्थचर b को चर a के मान के दोगुने से विभाजित किया जाता है। परिणामी व्यंजक द्विघात समीकरण का हल होगा।

विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल करना

यदि, उपरोक्त सूत्र के अनुसार विवेचक की गणना करते समय, यह पता चलता है सकारात्मक मूल्य(D शून्य से बड़ा है), तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं, जिनकी गणना निम्न सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: x 1 = (-b + vD) / 2a, x 2 = (-b - vD) / 2a। सबसे अधिक बार, विवेचक की गणना अलग से नहीं की जाती है, लेकिन एक विभेदक सूत्र के रूप में मूल अभिव्यक्ति को केवल मान D में प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे मूल निकाला जाता है। यदि चर b का एक सम मान है, तो ax 2 + bx + c = 0 के रूप में द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए, जहाँ a 0 है, आप निम्न सूत्रों का भी उपयोग कर सकते हैं: x 1 = (-k + v(k2 - ac))/a , x 2 = (-k + v(k2 - ac))/a, जहां k = b/2.

कुछ मामलों में, द्विघात समीकरणों के व्यावहारिक समाधान के लिए, आप विएटा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, जो कहता है कि x 2 + px + q \u003d 0 के रूप के द्विघात समीकरण की जड़ों के योग के लिए, मान x 1 + x 2 \u003d -p सत्य होगा, और निर्दिष्ट समीकरण की जड़ों के गुणनफल के लिए - व्यंजक x 1 x x 2 = q।

क्या विवेचक शून्य से कम हो सकता है?

विवेचक के मूल्य की गणना करते समय, कोई ऐसी स्थिति का सामना कर सकता है जो वर्णित किसी भी मामले के अंतर्गत नहीं आती है - जब विवेचक का ऋणात्मक मान होता है (अर्थात शून्य से कम)। इस मामले में, यह माना जाता है कि फॉर्म का द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, जहां एक 0, की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, इसलिए, इसका समाधान विवेचक की गणना तक सीमित होगा, और उपरोक्त सूत्रों के लिए इस मामले में द्विघात समीकरण की जड़ें लागू नहीं होंगी। वहीं, द्विघात समीकरण के उत्तर में लिखा है कि "समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।"

व्याख्यात्मक वीडियो: