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इस वीडियो में, हम एक ही एल्गोरिथम का उपयोग करके हल किए गए रैखिक समीकरणों के एक पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे - इसलिए उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।
आरंभ करने के लिए, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और उनमें से किसे सबसे सरल कहा जाना चाहिए?
एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री में होता है।
सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:
अन्य रेखीय समीकरणएल्गोरिथम का उपयोग करके सरलतम में घटाया जाता है:
- खुले कोष्ठक, यदि कोई हों;
- एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक तरफ और बिना चर के पदों को दूसरी तरफ ले जाएं;
- समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान पदों को लाएँ;
- परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।
बेशक, यह एल्गोरिथ्म हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी, इन सभी साजिशों के बाद, चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:
- समीकरण का कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, जब आपको $0\cdot x=8$ जैसा कुछ मिलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर एक गैर-शून्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में, हम कई कारणों को देखेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
- समाधान सभी संख्याएं हैं। यह केवल तभी संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ तक घटा दिया गया हो। यह काफी तार्किक है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी यह "शून्य बराबर शून्य" होगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता।
और अब देखते हैं कि वास्तविक समस्याओं के उदाहरण पर यह सब कैसे काम करता है।
समीकरण हल करने के उदाहरण
आज हम रैखिक समीकरणों से निपटते हैं, और केवल सबसे सरल। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का अर्थ है कोई भी समानता जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।
इस तरह के निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:
- सबसे पहले, आपको कोष्ठक खोलने की जरूरत है, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
- फिर समान लाओ
- अंत में, चर को अलग करें, अर्थात। सब कुछ जो चर के साथ जुड़ा हुआ है - जिन शर्तों में यह निहित है - एक तरफ स्थानांतरित कर दिया जाता है, और इसके बिना जो कुछ भी रहता है वह दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है।
फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद यह केवल "x" के गुणांक से विभाजित करने के लिए रहता है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।
सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आपत्तिजनक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, गलतियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय, या "प्लस" और "माइनस" की गिनती करते समय की जाती हैं।
इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता है, या इसलिए कि समाधान पूरी संख्या रेखा है, अर्थात। कोई संख्या। हम आज के पाठ में इन सूक्ष्मताओं का विश्लेषण करेंगे। लेकिन हम शुरू करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, सबसे सरल कार्यों के साथ।
सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना
आरंभ करने के लिए, मैं एक बार फिर सबसे सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखता हूं:
- कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
- एकांत चर, यानी। सब कुछ जिसमें "x" होता है, एक तरफ स्थानांतरित हो जाता है, और "x" के बिना - दूसरी तरफ।
- हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।
- हम गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करते हैं।
बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है, इसमें कुछ सूक्ष्मताएं और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।
सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना
कार्य 1
पहले चरण में, हमें कोष्ठकों को खोलना होगा। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में, हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शर्तों के बारे में बात कर रहे हैं। चलो लिखते है:
हम बाईं ओर और दाईं ओर समान शब्द देते हैं, लेकिन यह पहले ही यहां किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: एक कारक से विभाजित करें:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
यहां हमें जवाब मिला।
कार्य #2
इस कार्य में, हम कोष्ठकों का अवलोकन कर सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:
बाईं ओर और दाईं ओर, हम लगभग समान निर्माण देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। अनुक्रमक चर:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए। इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।
कार्य #3
तीसरा रैखिक समीकरण पहले से ही अधिक दिलचस्प है:
\[\बाएं(6-x \दाएं)+\बाएं(12+x \दाएं)-\बाएं(3-2x \दाएं)=15\]
यहां कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज से गुणा नहीं किया जाता है, उनके सामने बस अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें:
हम पहले से ज्ञात दूसरा चरण करते हैं:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
आइए गणना करें:
हम निभाते हैं अंतिम चरण- गुणांक द्वारा "x" पर सब कुछ विभाजित करें:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें
यदि हम बहुत सरल कार्यों को अनदेखा करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:
- जैसा कि मैंने ऊपर कहा, हर रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल नहीं होता है;
- जड़ें हों तो भी उनमें शून्य प्रवेश कर सकता है - इसमें कोई बुराई नहीं है।
जीरो बाकी के समान ही संख्या है, आप इसमें किसी तरह का भेदभाव न करें या यह मान लें कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।
एक अन्य विशेषता कोष्ठक के विस्तार से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम के अनुसार खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।
इसे समझना साधारण तथ्यहाई स्कूल में आपको बेवकूफी भरी और हानिकारक गलतियाँ करने से रोकेगा, जब ऐसी चीजें करना हल्के में लिया जाता है।
जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
आइए आगे बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात कार्य दिखाई देगा। हालाँकि, आपको इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक के इरादे के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल करते हैं, तो परिवर्तन की प्रक्रिया में एक द्विघात फ़ंक्शन वाले सभी मोनोमियल अनिवार्य रूप से कम हो जाएंगे।
उदाहरण 1
जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:
आइए अब गोपनीयता लेते हैं:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
जाहिर है, इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए उत्तर में हम इस प्रकार लिखते हैं:
\[\विविधता \]
या कोई जड़ नहीं।
उदाहरण #2
हम एक ही कदम उठाते हैं। पहला कदम:
आइए एक चर के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस तरह लिखते हैं:
\[\varnothing\],
या कोई जड़ नहीं।
समाधान की बारीकियां
दोनों समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं। इन दो अभिव्यक्तियों के उदाहरण पर, हमने एक बार फिर सुनिश्चित किया कि सरलतम रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक हो सकता है, या कोई नहीं, या असीम रूप से कई हो सकते हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, दोनों में बस कोई जड़ नहीं है।
लेकिन मैं आपका ध्यान एक और तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठक के साथ कैसे काम किया जाए और उनके सामने ऋण चिह्न होने पर उनका विस्तार कैसे किया जाए। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:
खोलने से पहले, आपको सब कुछ "x" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करें प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा किया जाता है।
और इन प्राथमिक प्रतीत होने वाले, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, ब्रैकेट को इस दृष्टिकोण से खोला जा सकता है कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हां, हां: केवल अब, जब परिवर्तन किए जाते हैं, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ सिर्फ संकेत बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।
हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:
यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, प्रतीत होने वाले महत्वहीन तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा एक क्रम होता है प्राथमिक परिवर्तन, जहां सरल क्रियाओं को स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से सीखते हैं कि ऐसे सरल समीकरणों को कैसे हल किया जाए।
बेशक, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता में बदल देंगे। अब आपको हर बार इतने ट्रांसफॉर्मेशन नहीं करने हैं, आप सब कुछ एक लाइन में लिख देंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।
और भी जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
अब हम जो हल करने जा रहे हैं, उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।
कार्य 1
\[\बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(3x-1 \दाएं)-21((x)^(2))=3\]
आइए पहले भाग में सभी तत्वों को गुणा करें:
आइए एक रिट्रीट करें:
यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:
आइए अंतिम चरण करें:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है। और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फ़ंक्शन के साथ गुणांक थे, हालांकि, उन्होंने पारस्परिक रूप से रद्द कर दिया, जो समीकरण को बिल्कुल रैखिक बनाता है, वर्ग नहीं।
कार्य #2
\[\बाएं(1-4x \दाएं)\बाएं(1-3x \दाएं)=6x\बाएं(2x-1 \दाएं)\]
आइए पहले चरण को ध्यान से करें: पहले ब्रैकेट में प्रत्येक तत्व को दूसरे में प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल मिलाकर चार नई शर्तें प्राप्त की जानी चाहिए:
और अब ध्यान से प्रत्येक पद में गुणा करें:
आइए शब्दों को "x" के साथ बाईं ओर ले जाएं, और बिना - दाईं ओर:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
यहाँ समान शब्द हैं:
हमें एक निश्चित उत्तर मिला है।
समाधान की बारीकियां
इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण टिप्पणी निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें इससे बड़ा एक पद है, तो यह इस प्रकार किया जाता है अगला नियम: हम पहले पद से पहला पद लेते हैं और दूसरे से प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे से प्रत्येक तत्व के साथ गुणा करते हैं। नतीजतन, हमें चार शब्द मिलते हैं।
बीजगणितीय योग पर
अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा मतलब एक साधारण निर्माण से है: हम एक से सात घटाते हैं। बीजगणित में, हमारा मतलब निम्न से है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम "माइनस सात" है। यह बीजीय योग सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।
जैसे ही सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणा करते समय, आप ऊपर वर्णित लोगों के समान निर्माण देखना शुरू करते हैं, बहुपद और समीकरणों के साथ काम करते समय आपको बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।
अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा देखे गए उदाहरणों से भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए, हमें अपने मानक एल्गोरिथम का थोड़ा विस्तार करना होगा।
भिन्न के साथ समीकरण हल करना
ऐसे कार्यों को हल करने के लिए, हमारे एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं अपने एल्गोरिथ्म को याद दिलाऊंगा:
- कोष्ठक खोलें।
- अलग चर।
- समान लाओ।
- एक कारक से विभाजित करें।
काश, यह अद्भुत एल्गोरिथ्म, इसकी सभी दक्षता के लिए, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं होता जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, दोनों समीकरणों में हमारे पास बाईं ओर और दाईं ओर एक भिन्न है।
इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिथ्म में एक और कदम जोड़ने की जरूरत है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:
- अंशों से छुटकारा पाएं।
- कोष्ठक खोलें।
- अलग चर।
- समान लाओ।
- एक कारक से विभाजित करें।
"अंशों से छुटकारा पाने" का क्या अर्थ है? और पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों में ऐसा करना क्यों संभव है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न हर के संदर्भ में संख्यात्मक होते हैं, अर्थात। हर जगह भाजक सिर्फ एक संख्या है। इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों भागों को इस संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिलेगा।
उदाहरण 1
\[\frac(\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं))(4)=((x)^(2))-1\]
आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:
\[\frac(\बाएं(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot चार\]
कृपया ध्यान दें: सब कुछ एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो ब्रैकेट हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उनमें से प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। चलो लिखते है:
\[\बाएं(2x+1 \दाएं)\बाएं(2x-3 \दाएं)=\बाएं(((x)^(2))-1 \दाएं)\cdot 4\]
अब इसे खोलते हैं:
हम एक चर का एकांतीकरण करते हैं:
हम समान शर्तों को कम करते हैं:
\[-4x=-1\बाएं| :\बाएं(-4 \दाएं) \दाएं।\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
हमें अंतिम समाधान मिल गया है, हम दूसरे समीकरण को पास करते हैं।
उदाहरण #2
\[\frac(\बाएं(1-x \दाएं)\बाएं(1+5x \दाएं))(5)+((x)^(2))=1\]
यहां हम सभी समान क्रियाएं करते हैं:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
समस्या हल हो गई।
वास्तव में, मैं आज यही बताना चाहता था।
प्रमुख बिंदु
प्रमुख निष्कर्ष इस प्रकार हैं:
- रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
- कोष्ठक खोलने की क्षमता।
- अगर आपके पास कहीं है तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में, वे कम हो जाएंगे।
- रैखिक समीकरणों में जड़ें, यहां तक कि सबसे सरल, तीन प्रकार की होती हैं: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, कोई जड़ें नहीं होती हैं।
मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सभी गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय में महारत हासिल करने में मदद करेगा। अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर जाएं, वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, और भी कई दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!
समीकरण
समीकरण कैसे हल करें?
इस खंड में, हम सबसे प्राथमिक समीकरणों को याद करेंगे (या अध्ययन करेंगे - जैसा कि कोई भी पसंद करता है)। तो समीकरण क्या है? मानव भाषा में बोलते हुए, यह कुछ है गणितीय अभिव्यक्ति, जहां एक समान चिह्न और एक अज्ञात है। जिसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है "एक्स". प्रश्न हल करेंऐसे x-मानों को खोजना है, जिन्हें प्रतिस्थापित करते समय मूलअभिव्यक्ति, हमें सही पहचान देगी। मैं आपको याद दिला दूं कि पहचान एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो उस व्यक्ति के लिए भी संदेह पैदा नहीं करती है जो गणितीय ज्ञान से बिल्कुल भी बोझिल नहीं है। जैसे 2=2, 0=0, ab=ab आदि। तो आप समीकरण कैसे हल करते हैं?आइए इसका पता लगाते हैं।
सभी प्रकार के समीकरण हैं (मैं हैरान था, है ना?) लेकिन उनकी सभी अनंत विविधता को केवल चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।
4. अन्य।)
बाकी सब, ज़ाहिर है, सबसे बढ़कर, हाँ ...) इसमें क्यूबिक, और एक्सपोनेंशियल, और लॉगरिदमिक, और त्रिकोणमितीय, और अन्य सभी प्रकार शामिल हैं। हम संबंधित वर्गों में उनके साथ मिलकर काम करेंगे।
मुझे तुरंत कहना होगा कि कभी-कभी पहले के समीकरण तीन प्रकारवे इसे इतना हवा देंगे कि आप उन्हें पहचान नहीं पाएंगे ... कुछ भी नहीं। हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोलना है।
और हमें इन चार प्रकारों की आवश्यकता क्यों है? और फिर क्या रेखीय समीकरणएक तरह से हल वर्गअन्य भिन्नात्मक परिमेय - तीसरा,एक विश्रामबिल्कुल हल नहीं! ठीक है, ऐसा नहीं है कि वे बिल्कुल भी निर्णय नहीं लेते हैं, मैंने व्यर्थ में गणित को नाराज कर दिया।) यह सिर्फ इतना है कि उनकी अपनी विशेष तकनीक और तरीके हैं।
लेकिन किसी के लिए (मैं दोहराता हूं - के लिए कोई!) समीकरण हल करने का एक विश्वसनीय और परेशानी मुक्त आधार है। हर जगह और हमेशा काम करता है। यह आधार - डरावना लगता है, लेकिन बात बहुत आसान है। और बहुत (बहुत!)महत्वपूर्ण।
दरअसल, समीकरण के समाधान में इन्हीं परिवर्तनों का समावेश होता है। 99% पर। सवाल का जवाब है: " समीकरण कैसे हल करें?" झूठ, बस इन परिवर्तनों में। क्या संकेत स्पष्ट है?)
समीकरणों की पहचान परिवर्तन।
पर कोई समीकरणअज्ञात को खोजने के लिए, मूल उदाहरण को बदलना और सरल बनाना आवश्यक है। इसके अलावा, ताकि बदलते समय दिखावट समीकरण का सार नहीं बदला है।ऐसे परिवर्तनों को कहा जाता है सदृशया उसके बराबर।
ध्यान दें कि ये परिवर्तन हैं सिर्फ समीकरणों के लिए।गणित में, अभी भी समान परिवर्तन हैं भाव।यह एक और विषय है।
अब हम सब-ऑल-ऑल बेसिक दोहराएंगे समीकरणों के समान परिवर्तन।
बुनियादी क्योंकि उन्हें लागू किया जा सकता है कोईसमीकरण - रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक, आदि। आदि।
पहला समान परिवर्तन: किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ा (घटाया) जा सकता है कोई(लेकिन वही!) एक संख्या या एक अभिव्यक्ति (अज्ञात के साथ अभिव्यक्ति सहित!)। समीकरण का सार नहीं बदलता है।
वैसे, आपने लगातार इस परिवर्तन का उपयोग किया, आपने केवल यह सोचा था कि आप कुछ शर्तों को समीकरण के एक भाग से दूसरे में एक संकेत परिवर्तन के साथ स्थानांतरित कर रहे थे। टाइप:
मामला परिचित है, हम ड्यूस को दाईं ओर ले जाते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:
असल में आप दूर ले जाया गयासमीकरण ड्यूस के दोनों ओर से। नतीजा वही है:
एक्स+2 - 2 = 3 - 2
संकेत के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं शब्दों का स्थानांतरण पहले समान परिवर्तन का एक संक्षिप्त संस्करण है। और हमें इतने गहरे ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? - आप पूछना। समीकरणों में कुछ भी नहीं। इसे स्थानांतरित करें, भगवान के लिए। बस साइन बदलना न भूलें। लेकिन असमानताओं में स्थानान्तरण की आदत एक मृत अंत की ओर ले जा सकती है....
दूसरा पहचान परिवर्तन: समीकरण के दोनों पक्षों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है गैर-शून्यसंख्या या अभिव्यक्ति। एक समझने योग्य सीमा पहले से ही यहां दिखाई देती है: शून्य से गुणा करना बेवकूफी है, लेकिन इसे विभाजित करना बिल्कुल भी असंभव है। यह वह परिवर्तन है जिसका उपयोग आप तब करते हैं जब आप कुछ अच्छा निर्णय लेते हैं
समझा जा सकता है, एक्स= 2. लेकिन आपको यह कैसे मिला? चयन? या सिर्फ जलाया? अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा न करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप न्यायी हैं समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5. बाईं ओर (5x) को विभाजित करते समय, शुद्ध X को छोड़कर, पांच को घटा दिया गया था। जिसकी हमें जरूरत थी। और जब दाईं ओर (10) को पांच से विभाजित किया गया, तो यह निश्चित रूप से एक ड्यूस निकला।
बस इतना ही।
यह मज़ेदार है, लेकिन ये दो (केवल दो!) समान परिवर्तन समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।कैसे! क्या और कैसे के उदाहरणों को देखना समझ में आता है, है ना?)
समीकरणों के समान परिवर्तनों के उदाहरण। मुख्य समस्याएं।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं पहलासमान परिवर्तन। बाएं-दाएं ले जाएं।
छोटों के लिए एक उदाहरण।)
मान लें कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:
3-2x=5-3x
आइए याद करते हैं मंत्र: "X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर!"यह वर्तनी पहले पहचान परिवर्तन को लागू करने के लिए एक निर्देश है।) दाईं ओर x के साथ अभिव्यक्ति क्या है? 3x? जवाब गलत है! हमारे दाहिनी ओर - 3x! ऋणतीन एक्स! इसलिए, जब बाईं ओर शिफ्ट किया जाता है, तो चिन्ह प्लस में बदल जाएगा। प्राप्त:
3-2x+3x=5
तो, एक्स को एक साथ रखा गया था। चलो नंबर करते हैं। बाईं ओर तीन। क्या संकेत? उत्तर "बिना किसी के" स्वीकार नहीं किया जाता है!) ट्रिपल के सामने, वास्तव में, कुछ भी नहीं खींचा जाता है। और इसका मतलब है कि ट्रिपल के सामने है एक से अधिक।तो गणितज्ञ सहमत हो गए। कुछ भी नहीं लिखा है, तो एक से अधिक।इसलिए, में दाईं ओरतीनों का तबादला कर दिया जाएगा एक माइनस के साथ।हम पाते हैं:
-2x+3x=5-3
खाली जगह बाकी हैं। बाईं ओर - समान दें, दाईं ओर - गिनें। जवाब तुरंत है:
इस उदाहरण में, एक समान परिवर्तन पर्याप्त था। दूसरे की जरूरत नहीं थी। अच्छी तरह से ठीक है।)
बड़ों के लिए एक उदाहरण।)
अगर आपको यह साइट पसंद है...
वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)
आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)
आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।
मैं कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 – अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0, सी = 0 ) हल: एक्स = 0। उत्तर : 0.
समीकरण हल करें।
2x·(x+3)=6x-x 2 ।
समाधान।गुणा करके कोष्ठक का विस्तार करें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:
2x2 +6x=6x-x2 ; शर्तों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाना:
2x2 +6x-6x+x2=0; यहाँ समान शब्द हैं:
3x 2 = 0, इसलिए x = 0।
उत्तर: 0.
द्वितीय. ax2+bx=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (एस = 0 ) हल: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a। उत्तर: 0; -बी ० ए।
5x2 -26x=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के लिए:
एक्स(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य हो सकता है:
एक्स = 0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x \u003d 5.2।
उत्तर: 0; 5,2.
उदाहरण 3 64x+4x2=0.
समाधान।सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के लिए:
4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स = 0या 16+x= 0। अंतिम समानता से हमें x=-16 प्राप्त होता है।
उत्तर: -16; 0.
उदाहरण 4(x-3) 2 +5x=9.
समाधान।दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्र लागू करते हुए, कोष्ठक खोलें:
x 2 -6x+9+5x=9; रूप में बदलना: x 2 -6x+9+5x-9=0; यहाँ समान शब्द हैं:
x2-x=0; सहना एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स = 0या एक्स-1 = 0→ एक्स = 1।
उत्तर: 0; 1.
III. ax2+c=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (बी = 0 ); समाधान: कुल्हाड़ी 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a।
यदि एक (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। यदि एक (-एस/ए)>0
उदाहरण 5एक्स 2 -49 = 0।
समाधान।
x 2 \u003d 49, यहाँ से एक्स = ± 7। उत्तर:-7; 7.
उदाहरण 6 9x2-4 = 0।
समाधान।
अक्सर आपको द्विघात समीकरण की जड़ों के वर्गों का योग (x 1 2 + x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 + x 2 3) खोजने की आवश्यकता होती है, कम अक्सर - के व्युत्क्रमों का योग जड़ों का वर्ग या अंकगणित का योग वर्गमूलद्विघात समीकरण की जड़ों से:
Vieta का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:
x 2 +px+q=0
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
अभिव्यक्त करना के माध्यम से पीतथा क्यू:
1) समीकरण की जड़ों के वर्गों का योग x2+px+q=0;
2) समीकरण की जड़ों के घनों का योग x2+px+q=0.
समाधान।
1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 + एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-पी) 2; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; हम वांछित राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q। हमारे पास एक उपयोगी समीकरण है: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 + एक्स 2 3घनों के योग के सूत्र द्वारा निरूपित करें:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q )
एक और उपयोगी समीकरण: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q)।
उदाहरण।
3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक के मान की गणना करें एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 3,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003dउदाहरण 1 . में) समानता:
एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।हमारे पास है -पी=x 1 +x 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू =एक्स 1 एक्स 2 = -4. फिर x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।
समाधान।
विएटा के प्रमेय द्वारा, इस कम किए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी \u003d 2,और काम एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-चार। हमें जो मिला है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 . में) समानता: x 1 3 +x 2 3 \u003d-पी (पी 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
उत्तर: एक्स 1 3 + एक्स 2 3 = 32।
प्रश्न: क्या होगा यदि हमें एक गैर-घटित द्विघात समीकरण दिया जाए? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद से पद को विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।
5) 2x2 -5x-7=0.हल किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 + एक्स 2 2.
समाधान।हमें एक पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग है 2,5 ; जड़ों का उत्पाद है -3,5 .
हम एक उदाहरण के रूप में उसी तरह हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.पाना:
आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और, वियत प्रमेय के संदर्भ में जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करके, -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता का उपयोग किया 1): एक्स 1 2 +x 2 2 \u003d पी 2 -2q।
हमारे उदाहरण में एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 5; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d-2. इन मानों को परिणामी सूत्र में बदलें:
7) x 2 -13x+36=0.पाना:
आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसके द्वारा द्विघात समीकरण के मूलों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करना संभव होगा।
हमारे पास है एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -पी \u003d 13; एक्स 1 x 2 \u003d क्यू \u003d 36. इन मानों को व्युत्पन्न सूत्र में रखें:
सलाह : हमेशा एक द्विघात समीकरण के मूल को उपयुक्त तरीके से खोजने की संभावना की जाँच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा की उपयोगी सूत्रआपको कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, सबसे पहले, उन मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ों को खोजें और उन पर कार्य करें। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण में, हम वियत प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? बेशक, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात कीजिए: 2+3=5. इतना ही!
I. वियत का प्रमेयकम द्विघात समीकरण के लिए।
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d-पी; एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी = -1, और मुक्त अवधि क्यू = -30।सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि दिए गए समीकरण के मूल हैं और मूल (यदि कोई हो) को पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किया जाएगा। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विभेदक का पता लगाना डी=बी 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है, अर्थात। ( क्यू) फिर:
एक्स 1 + एक्स 2 = 1; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -30।हमें ऐसी दो संख्याओं को चुनने की आवश्यकता है ताकि उनका गुणनफल के बराबर हो -30 , और योग है इकाई. ये हैं नंबर -5 तथा 6 . उत्तर: -5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ कम द्विघात समीकरण है पी=6और मुक्त सदस्य क्यू = 8. सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए जानें विवेचक डी1 डी1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विवेचक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , इसलिए इस समीकरण के मूल पूर्णांक हैं। हम वियत प्रमेय के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होता है -पी=-6, और जड़ों का उत्पाद है क्यू = 8. ये हैं नंबर -4 तथा -2 .
असल में: -4-2=-6=-पी; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2।
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी = 2, और मुक्त अवधि क्यू = -4. आइए जानें विवेचक डी1, क्योंकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक किसी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसलिए, हम इस समीकरण को हमेशा की तरह, सूत्रों के अनुसार (इस मामले में, सूत्रों के अनुसार) हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
समाधान।वांछित समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, इसके अलावा, Vieta प्रमेय पर आधारित है -p=x1 +x2=-7+4=-3 →पी=3; क्यू = एक्स 1 x 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण रूप लेगा: x2 +3x-28=0.
उदाहरण 5)।इसके मूलों का प्रयोग करते हुए एक द्विघात समीकरण लिखिए यदि :
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए ax2+bx+c=0.
जड़ों का योग शून्य है बीद्वारा विभाजित एक, जड़ों का उत्पाद है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -बी / ए; एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी / ए।
उदाहरण 6)।द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x2 -7x-11=0.
समाधान।
हमें विश्वास है कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक व्यंजक लिखना पर्याप्त है, और इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . और अब उपयोग करते हैं प्रमेय वियतनामपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए।
एक्स 1 + एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.
उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x2 +8x-21=0.
समाधान।
आइए जानें विवेचक डी1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है। डी1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, वियत प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 एक्स 2 \u003d सी: ए=-21:3=-7.
I. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0एक सामान्य द्विघात समीकरण है
विभेदक डी = बी 2 - 4 एसी।
यदि एक डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक मूल हैं:
यदि एक डी = 0, तो हमारे पास एक ही मूल है (या दो बराबर जड़) एक्स=-बी/(2ए).
अगर डी<0, то действительных корней нет.
उदाहरण 1) 2x2 +5x-3=0.
समाधान। एक=2; बी=5; सी=-3.
डी = बी 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें।
4x2 +21x+5=0.
समाधान। एक=4; बी=21; सी=5.
डी = बी 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें।
द्वितीय. ax2+bx+c=0 – विशेष द्विघात समीकरण एक सेकंड के लिए भी
गुणक बी
उदाहरण 3) 3x2 -10x+3=0.
समाधान। एक=3; बी\u003d -10 (सम संख्या); सी=3.
उदाहरण 4) 5x2-14x-3=0.
समाधान। एक=5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.
उदाहरण 5) 71x2 +144x+4=0.
समाधान। एक=71; बी= 144 (सम संख्या); सी=4.
उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.
समाधान। एक=9; बी\u003d -30 (सम संख्या); सी=25.
III. ax2+bx+c=0 – द्विघात समीकरण निजी प्रकार, प्रदान किया गया: ए-बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा माइनस वन होती है, और दूसरी रूट माइनस होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d -1, एक्स 2 \u003d - सी / ए।
उदाहरण 7) 2x2+9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5।उत्तर: -1; -3,5.
चतुर्थ। ax2+bx+c=0 – शर्त के तहत एक विशेष रूप का द्विघात समीकरण : ए+बी+सी=0.
पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ के बराबर होती है साथद्वारा विभाजित एक:
एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d सी / ए.
उदाहरण 8) 2x2 -9x+7=0.
समाधान। एक=2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
फिर x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5।उत्तर: 1; 3,5.
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