विभिन्न तरीकों से उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान। उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। प्राचीन काल से ही मनुष्य द्वारा समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। गणित में समीकरण काफी सामान्य हैं। उच्च डिग्रीपूर्णांक गुणांक के साथ। इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

समीकरण की तर्कसंगत जड़ें निर्धारित करें;

समीकरण के बाईं ओर स्थित बहुपद का गुणनखंड करें;

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित रूप का समीकरण दिया गया है:

आइए इसकी सभी वास्तविक जड़ों को खोजें। समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को \ से गुणा करें

चलो चर बदलते हैं \

इस प्रकार, हमने चौथी डिग्री का एक कम समीकरण प्राप्त किया है, जिसे मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार हल किया जाता है: हम भाजक की जांच करते हैं, विभाजन करते हैं, और परिणामस्वरूप हमें पता चलता है कि समीकरण में दो वास्तविक जड़ें \ और दो जटिल हैं वाले। हमें चौथी डिग्री के हमारे समीकरण का निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

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काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
पूर्ण संस्करणकार्य "कार्य की फ़ाइलें" टैब में PDF स्वरूप में उपलब्ध है

परिचय

एक अज्ञात के साथ उच्च डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान सबसे कठिन और प्राचीन में से एक है गणित की समस्याये. पुरातनता के सबसे उत्कृष्ट गणितज्ञों ने इन समस्याओं से निपटा।

nth डिग्री के समीकरणों को हल करना आधुनिक गणित के लिए भी एक महत्वपूर्ण कार्य है। उनमें रुचि काफी बड़ी है, क्योंकि ये समीकरण उन समीकरणों की जड़ों की खोज से निकटता से संबंधित हैं जिन पर गणित में स्कूली पाठ्यक्रम द्वारा विचार नहीं किया जाता है।

संकट:छात्रों के बीच विभिन्न तरीकों से उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने में कौशल की कमी उन्हें गणित में अंतिम प्रमाणीकरण के लिए सफलतापूर्वक तैयारी करने से रोकती है और गणितीय ओलंपियाड, एक विशेष गणितीय कक्षा में अध्यापन।

उपरोक्त तथ्य निर्धारित प्रासंगिकताहमारे काम का "उच्च डिग्री के समीकरणों का समाधान"।

nth डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए सबसे सरल तरीकों का कब्जा कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को कम करता है, जिस पर कार्य का परिणाम और सीखने की प्रक्रिया की गुणवत्ता निर्भर करती है।

उद्देश्य:द स्टडी ज्ञात तरीकेउच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना और उनमें से सबसे सुलभ की पहचान करना व्यावहारिक अनुप्रयोग.

इस लक्ष्य के आधार पर निम्नलिखित कार्य:

इस विषय पर साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन करना;

इस विषय से संबंधित ऐतिहासिक तथ्यों से परिचित हों;

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन करें

उनमें से प्रत्येक की कठिनाई की डिग्री की तुलना करें;

सहपाठियों को उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों से परिचित कराना;

प्रत्येक मानी गई विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए समीकरणों का एक सेट बनाएँ।

अध्ययन की वस्तु- एक चर के साथ उच्च डिग्री के समीकरण।

अध्ययन का विषय- उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीके।

परिकल्पना:कोई सामान्य तरीका नहीं है और एक एकल एल्गोरिथ्म है जो nth डिग्री के समीकरणों को चरणों की एक सीमित संख्या में हल करने की अनुमति देता है।

अनुसंधान की विधियां:

- ग्रंथ सूची ग्राफिक विधि(शोध विषय पर साहित्य का विश्लेषण);

- वर्गीकरण विधि;

- गुणात्मक विश्लेषण की विधि।

सैद्धांतिक महत्वअनुसंधान में उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने और उनके एल्गोरिदम का वर्णन करने के तरीकों को व्यवस्थित करना शामिल है।

व्यवहारिक महत्व- इस विषय पर प्रस्तुत सामग्री और इस विषय पर छात्रों के लिए शिक्षण सहायता का विकास।

1. उच्च शक्तियों के समीकरण

1.1 n वीं डिग्री के समीकरण की अवधारणा

परिभाषा 1. nवीं डिग्री का एक समीकरण रूप का समीकरण है

एक 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n = 0, जहां गुणांक एक 0, एक 1, एक 2…, एकएन -1, एक n - कोई भी वास्तविक संख्या, और ,एक 0 ≠ 0 .

बहुपद एक 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n को nवीं डिग्री का बहुपद कहा जाता है। गुणांक नामों से प्रतिष्ठित हैं: एक 0 - वरिष्ठ गुणांक; एक n एक स्वतंत्र सदस्य है।

परिभाषा 2. किसी दिए गए समीकरण के हल या मूलचर के सभी मान हैं एक्स, जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं या जिसके लिए बहुपद एक 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n शून्य हो जाता है। ऐसा परिवर्तनशील मान एक्सबहुपद का मूल भी कहा जाता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

यदि एक एक 0 = 1, तो ऐसे समीकरण को घटा हुआ पूर्णांक परिमेय समीकरण n . कहा जाता है वांडिग्री।

तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के लिए, कार्डानो और फेरारी सूत्र हैं जो इन समीकरणों की जड़ों को मूलांक के रूप में व्यक्त करते हैं। यह पता चला कि व्यवहार में उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। इस प्रकार, यदि n 3, और बहुपद के गुणांक स्वेच्छ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण के मूल ज्ञात करना कोई आसान कार्य नहीं है। हालांकि, कई विशेष मामलों में यह समस्या अंत तक हल हो जाती है। आइए उनमें से कुछ पर ध्यान दें।

1.2 ऐतिहासिक तथ्यउच्च डिग्री के समीकरणों के समाधान

पहले से ही प्राचीन समय में, लोगों ने महसूस किया कि बीजीय समीकरणों को हल करना सीखना कितना महत्वपूर्ण था। लगभग 4,000 साल पहले, बेबीलोन के वैज्ञानिकों के पास इस समाधान का स्वामित्व था द्विघात समीकरणऔर दो समीकरणों के हल किए गए सिस्टम, जिनमें से एक दूसरी डिग्री का है। उच्च डिग्री के समीकरणों की मदद से, भूमि सर्वेक्षण, वास्तुकला और सैन्य मामलों की विभिन्न समस्याओं को हल किया गया था, अभ्यास और प्राकृतिक विज्ञान के कई और विभिन्न मुद्दों को उनके लिए कम कर दिया गया था, क्योंकि गणित की सटीक भाषा केवल तथ्यों को व्यक्त करना संभव बनाती है और सामान्य भाषा में कहे जाने वाले रिश्ते भ्रमित करने वाले और जटिल लग सकते हैं।

जड़ों को खोजने के लिए सार्वभौमिक सूत्र बीजीय समीकरण एन-वेंकोई डिग्री। कई, निश्चित रूप से, n की किसी भी शक्ति के लिए सूत्र खोजने के लिए आकर्षक विचार के साथ आए, जो समीकरण की जड़ों को इसके गुणांक के रूप में व्यक्त करेगा, जो कि रेडिकल में समीकरण को हल करेगा।

केवल 16वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ आगे बढ़ने में कामयाब रहे - n = 3 और n = 4 के सूत्र खोजने के लिए। साथ ही, का प्रश्न सामान्य निर्णयतीसरी डिग्री के समीकरणों का अध्ययन स्किपियो, डाहल, फेरो और उनके छात्रों फियोरी और टार्टाग्लिया द्वारा किया गया था।

1545 में, इतालवी गणितज्ञ डी। कार्डानो की पुस्तक "ग्रेट आर्ट, या बीजगणित के नियमों पर" प्रकाशित हुई, जहाँ, बीजगणित के अन्य मुद्दों के साथ, सामान्य तरीकेक्यूबिक समीकरणों के समाधान, साथ ही उनके छात्र एल। फेरारी द्वारा खोजी गई चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने की एक विधि।

एफ. वियत ने तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के हल से संबंधित प्रश्नों की पूरी जानकारी दी।

19वीं सदी के 20 के दशक में, नॉर्वे के गणितज्ञ एन. हाबिल ने साबित किया कि पाँचवीं डिग्री के समीकरणों की जड़ों को रेडिकल के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अध्ययन के दौरान यह पाया गया कि आधुनिक विज्ञान nth डिग्री के समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों की खोज का नतीजा है कि जिन तरीकों पर विचार किया गया है, उन्हें हल नहीं किया जा सकता है स्कूल के पाठ्यक्रम, विएटा प्रमेय (डिग्री के समीकरणों के लिए) के आवेदन के आधार पर विधियां बन गई हैं एन> 2), बेज़ाउट के प्रमेय, हॉर्नर की योजनाएँ, साथ ही घन और चतुर्थक समीकरणों को हल करने के लिए कार्डानो और फेरारी सूत्र।

पेपर समीकरणों और उनके प्रकारों को हल करने के तरीकों को प्रस्तुत करता है, जो हमारे लिए एक खोज बन गए हैं। इनमें शामिल हैं - अनिश्चित गुणांक की विधि, पूर्ण डिग्री का आवंटन, सममित समीकरण।

2. एकीकृत गुणांक के साथ उच्च शक्तियों के एकीकृत समीकरणों का समाधान

2.1 तीसरी डिग्री के समीकरणों का समाधान। फॉर्मूला डी कार्डानो

फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें एक्स 3 +px+q=0.हम सामान्य समीकरण को रूप में बदलते हैं: एक्स 3 +px 2 +qx+r=0.आइए योग का घन सूत्र लिखें; आइए इसे मूल समानता में जोड़ें और इसे इसके साथ बदलें आप. हमें समीकरण मिलता है: आप 3 + (क्यू -) (वाई -) + (आर - = 0।परिवर्तनों के बाद, हमारे पास है: आप 2 +पीई + क्यू=0.अब, योग घन सूत्र को फिर से लिखते हैं:

(ए+बी) 3 =ए 3 + 3a 2 बी+3एबी 2 +बी 3 = ए 3 +बी 3 + 3ab (ए + बी),बदलने के ( ए+बी)पर एक्स, हमें समीकरण मिलता है एक्स 3 - 3abx - (ए 3 +बी 3) = 0. अब यह स्पष्ट है कि मूल समीकरण सिस्टम के बराबर है: और सिस्टम को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

हमने तीसरी डिग्री के उपरोक्त समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है। यह इतालवी गणितज्ञ कार्डानो के नाम पर है।

एक उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न हल करें: ।

हमारे पास है आर= 15 और क्यू= 124, फिर कार्डानो सूत्र का उपयोग करके हम समीकरण के मूल की गणना करते हैं

निष्कर्ष: यह सूत्र अच्छा है, लेकिन सभी घन समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। हालाँकि, यह भारी है। इसलिए, व्यवहार में इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

लेकिन जो इस फॉर्मूले में महारत हासिल करता है, वह परीक्षा में थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करते समय इसका इस्तेमाल कर सकता है।

2.2 विएटा का प्रमेय

गणित के पाठ्यक्रम से, हम इस प्रमेय को द्विघात समीकरण के लिए जानते हैं, लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि इसका उपयोग उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जाता है।

समीकरण पर विचार करें:

समीकरण के बाईं ओर गुणनखंड करें, 0 से विभाजित करें।

हम समीकरण के दाईं ओर को रूप में बदलते हैं

; इससे यह इस प्रकार है कि हम सिस्टम में निम्नलिखित समानताएं लिख सकते हैं:

द्विघात समीकरणों के लिए वियत द्वारा व्युत्पन्न सूत्र और तृतीय डिग्री के समीकरणों के लिए हमारे द्वारा प्रदर्शित उच्च डिग्री वाले बहुपदों के लिए भी सही हैं।

आइए घन समीकरण को हल करें:

निष्कर्ष: यह विधि सार्वभौमिक है और छात्रों के लिए समझने में काफी आसान है, क्योंकि विएटा की प्रमेय उन्हें n के लिए स्कूली पाठ्यक्रम से परिचित है। = 2. साथ ही, इस प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए, अच्छा कम्प्यूटेशनल कौशल होना आवश्यक है।

2.3 बेज़ौट का प्रमेय

इस प्रमेय का नाम 18वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ जे. बेज़ौट के नाम पर रखा गया है।

प्रमेय।अगर समीकरण एक 0 एक्सⁿ+ए 1 एक्सएन -1 +ए 2 xⁿ - +…+एएन -1 एक्स+ए n = 0, जिसमें सभी गुणांक पूर्णांक हैं, और मुक्त पद शून्य से भिन्न है, एक पूर्णांक मूल है, तो यह मूल मुक्त पद का भाजक है।

यह देखते हुए कि समीकरण के बाईं ओर बहुपद nth डिग्री, तो प्रमेय की एक और व्याख्या है।

प्रमेय। nवें घात वाले बहुपद को के संबंध में विभाजित करते समय एक्सद्विपद में एक्स-एशेषफल लाभांश के मूल्य के बराबर होता है जब एक्स = ए. (पत्र एककिसी भी वास्तविक या काल्पनिक संख्या को निरूपित कर सकते हैं, अर्थात कोई जटिल संख्या) .

सबूत:होने देना च (एक्स) चर x के संबंध में n वीं डिग्री के एक मनमाना बहुपद को दर्शाता है, और माना, जब इसे द्विपद से विभाजित किया जाता है ( एक्स-ए) निजी में हुआ क्यू (एक्स), और शेष में आर. जाहिर सी बात है क्यू (एक्स)कुछ बहुपद होंगे (n - 1)वीं डिग्री अपेक्षाकृत एक्स, और शेष आरएक स्थिर मूल्य होगा, अर्थात। स्वतंत्र एक्स.

यदि शेष आर x में पहली डिग्री का बहुपद था, तो इसका मतलब यह होगा कि विभाजन नहीं किया गया था। इसलिए, आरसे एक्सनिर्भर नहीं करता है। विभाजन की परिभाषा से, हमें पहचान मिलती है: f(x)=(x-a)q(x)+R.

x के किसी भी मान के लिए समानता सत्य है, इसलिए यह के लिए भी सत्य है एक्स = ए, हम पाते हैं: f(a)=(a-a)q(a)+R. चिन्ह, प्रतीक च (ए) बहुपद f . का मान दर्शाता है (एक्स) पर एक्स = ए, क्यू (ए)एक मूल्य को दर्शाता है क्यू (एक्स) पर एक्स = ए।शेष आरजैसा पहले था वैसा ही रहा आरसे एक्सनिर्भर नहीं करता है। काम ( एक्स-ए) क्यू (ए) = 0, गुणक के बाद से ( एक्स-ए) = 0,और गुणक क्यू (ए)वहाँ है निश्चित संख्या. इसलिए, समानता से हमें मिलता है: एफ (ए) = आर,एच.टी.डी.

उदाहरण 1एक बहुपद के विभाजन का शेषफल ज्ञात कीजिए एक्स 3 - 3एक्स 2 + 6एक्स- 5 प्रति द्विपद

एक्स- 2. बेज़ौट प्रमेय द्वारा : आर = एफ(2) = 23-322 + 62 -5=3। उत्तर: आर = 3.

ध्यान दें कि बेज़ाउट का प्रमेय अपने आप में इतना महत्वपूर्ण नहीं है, बल्कि इसके परिणामों के कारण है। (अनुलग्नक 1)

आइए हम समाधान के लिए बेज़ाउट के प्रमेय को लागू करने के कुछ तरीकों पर विचार करें व्यावहारिक कार्य. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि Bezout प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, यह आवश्यक है:

मुक्त पद के सभी पूर्णांक भाजक ज्ञात कीजिए;

इन भाजक में से, समीकरण का कम से कम एक मूल ज्ञात कीजिए;

समीकरण के बाएँ पक्ष को से विभाजित करें (हा);

समीकरण के बाईं ओर भाजक और भागफल का गुणनफल लिखिए;

परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण x . को हल करने के उदाहरण पर विचार करें 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = 0 .

हल: मुक्त पद ±1 . के भाजक ज्ञात कीजिए ; ± 2; ± 3; ± 6. के लिए मूल्यों की गणना करें एक्स = 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0। समीकरण के बाएँ पक्ष को द्वारा विभाजित करें ( एक्स- 1). हम एक "कोने" के साथ विभाजन करते हैं, हमें मिलता है:

निष्कर्ष: Bezout की प्रमेय, उन तरीकों में से एक जिसे हम अपने काम में मानते हैं, का अध्ययन पाठ्येतर गतिविधियों के कार्यक्रम में किया जाता है। इसे समझना मुश्किल है, क्योंकि इसमें महारत हासिल करने के लिए, आपको इसके सभी परिणामों को जानना होगा, लेकिन साथ ही, बेज़आउट का प्रमेय परीक्षा में छात्रों के मुख्य सहायकों में से एक है।

2.4 हॉर्नर योजना

एक बहुपद को एक द्विपद से भाग देना एक्स-αआप 17वीं शताब्दी के अंग्रेजी गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत एक विशेष सरल चाल का उपयोग कर सकते हैं, जिसे बाद में हॉर्नर योजना कहा गया। समीकरणों की जड़ों को खोजने के अलावा, हॉर्नर की योजना उनके मूल्यों की गणना करना आसान बनाती है। ऐसा करने के लिए, चर के मान को बहुपद Pn . में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है (एक्स) = ए 0 एक्सएन+ए 1 एक्स एन-1 +ए 2 xⁿ - +…++ एएन -1 एक्स+एएन। (एक)

बहुपद (1) को द्विपद से विभाजित करने पर विचार करें एक्स-α.

हम अपूर्ण भागफल b . के गुणांकों को व्यक्त करते हैं 0 xⁿ - ¹+ बी 1 xⁿ - ²+ बी 2 xⁿ - ³+…+ अरब -1 और शेष आरबहुपद Pn के गुणांकों के संदर्भ में ( एक्स) और संख्या α. बी 0 =ए 0 , बी 1 = α बी 0 +ए 1 , बी 2 = α बी 1 +ए 2 …, अरब -1 =

= α अरब -2 +एएन -1 = α अरब -1 +एएन .

हॉर्नर योजना के अनुसार गणना निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत की जाती है:

	एक 0	एक 1	एक 2 ,
	बी 0 =ए 0	बी 1 = α बी 0 +ए 1	बी 2 = α बी 1 +ए 2		आर = αबी एन-1 +एएन

क्यों कि आर = पीएन (α),तब α समीकरण का मूल है। यह जांचने के लिए कि क्या α एक बहुमूल है, हॉर्नर की योजना पहले से ही भागफल b . पर लागू की जा सकती है 0 एक्स+बी 1 एक्स+…+अरब -1 तालिका के अनुसार। यदि bn . के अंतर्गत कॉलम में -1 हमें फिर से 0 मिलता है, इसलिए α एक बहुमूल है।

एक उदाहरण पर विचार करें: समीकरण हल करें एक्स 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = 0.

आइए हम समीकरण के बाईं ओर समीकरण के बाईं ओर बहुपद के गुणनखंड, हॉर्नर की योजना को लागू करें।

हल: मुक्त पद के भाजक ज्ञात कीजिए ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

				6 ∙ 1 + (-6) = 0

भागफल के गुणांक संख्या 1, 5, 6 हैं, और शेषफल r = 0 है।

माध्यम, एक्स 3 + 4एक्स 2 + एक्स - 6 = (एक्स - 1) (एक्स 2 + 5एक्स + 6) = 0.

यहाँ से: एक्स- 1 = 0 या एक्स 2 + 5एक्स + 6 = 0.

एक्स = 1, एक्स 1 = -2; एक्स 2 = -3. उत्तर: 1,- 2, - 3.

निष्कर्ष: इस प्रकार, एक समीकरण पर, हमने दो . का उपयोग दिखाया है विभिन्न तरीकेबहुपदों के गुणनखंड। हमारी राय में, हॉर्नर की योजना सबसे व्यावहारिक और किफायती है।

2.5 चतुर्थ अंश के समीकरणों का हल। फेरारी विधि

कार्डानो के छात्र लुडोविक फेरारी ने चौथी डिग्री के समीकरण को हल करने का एक तरीका खोजा। फेरारी विधि में दो चरण होते हैं।

स्टेज I: फॉर्म के समीकरण को दो वर्ग ट्रिनोमियल्स के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है; यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समीकरण 3 डिग्री और कम से कम एक समाधान का है।

चरण II: परिणामी समीकरणों को गुणनखंड का उपयोग करके हल किया जाता है, हालांकि, आवश्यक गुणनखंड को खोजने के लिए, घन समीकरणों को हल करना होगा।

विचार समीकरणों को ए 2 = बी 2 के रूप में प्रस्तुत करना है जहां ए = एक्स 2+एस,

बी-रैखिक कार्य एक्स. फिर यह समीकरणों ए = ± बी को हल करने के लिए बनी हुई है।

स्पष्टता के लिए, समीकरण पर विचार करें: हम चौथी डिग्री को अलग करते हैं, हमें मिलता है: किसी के लिए डीअभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग होगी। हमें प्राप्त होने वाले समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग है, आप उठा सकते हैं डीताकि (2) का दाहिना भाग एक पूर्ण वर्ग बन जाए। कल्पना कीजिए कि हमने इसे हासिल कर लिया है। तब हमारा समीकरण इस तरह दिखता है:

बाद में जड़ खोजना मुश्किल नहीं होगा। सही चुनने के लिए डीयह आवश्यक है कि (3) के दाईं ओर का विवेचक गायब हो जाए, अर्थात।

तो खोजने के लिए डी, तीसरी डिग्री के इस समीकरण को हल करना आवश्यक है। इस सहायक समीकरण को कहा जाता है विश्लेषक.

हम आसानी से रिज़ॉल्वेंट का पूर्णांक मूल ढूंढ सकते हैं: डी = 1

समीकरण को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

निष्कर्ष: फेरारी पद्धति सार्वभौमिक है, लेकिन जटिल और बोझिल है। वहीं, अगर सॉल्यूशन एल्गोरिथम स्पष्ट है, तो इस विधि से चौथी डिग्री के समीकरणों को हल किया जा सकता है।

2.6 अनिर्धारित गुणांकों की विधि

फेरारी विधि द्वारा चौथी डिग्री के समीकरण को हल करने की सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि क्या हम रिज़ॉल्वेंट को हल करते हैं - तीसरी डिग्री का समीकरण, जैसा कि हम जानते हैं, हमेशा संभव नहीं होता है।

अनिश्चित गुणांक की विधि का सार यह है कि किसी दिए गए बहुपद के विघटित होने वाले कारकों के प्रकार का अनुमान लगाया जाता है, और इन कारकों (बहुपद भी) के गुणांक कारकों को गुणा करके और गुणांक को समान शक्तियों पर समीकरण करके निर्धारित किया जाता है। चर।

उदाहरण: समीकरण हल करें:

मान लीजिए कि हमारे समीकरण के बाईं ओर पूर्णांक गुणांक के साथ दो वर्ग त्रिपदों में विघटित किया जा सकता है जैसे कि समान समानता

यह स्पष्ट है कि उनके सामने गुणांक 1 के बराबर होना चाहिए, और मुक्त शर्तें एक के बराबर होनी चाहिए + 1, दूसरे के पास 1 है।

गुणांक का सामना करना पड़ रहा है एक्स. आइए उन्हें द्वारा निरूपित करें एकऔर उन्हें निर्धारित करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर दोनों त्रिपदों को गुणा करते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

समान घातों पर गुणांकों की बराबरी करना एक्सबाईं ओर और सही भागसमानता (1), हम खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त करते हैं और

इस प्रणाली को हल करने पर, हमारे पास होगा

तो हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है

इसे हल करने पर हमें निम्नलिखित मूल प्राप्त होते हैं।

अनिश्चित गुणांक की विधि निम्नलिखित कथनों पर आधारित है: समीकरण में चौथी डिग्री के किसी भी बहुपद को दूसरी डिग्री के दो बहुपदों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है; दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक समान शक्तियों पर समान हों एक्स।

2.7 सममित समीकरण

परिभाषा।फॉर्म के एक समीकरण को सममित कहा जाता है यदि समीकरण के बाईं ओर पहला गुणांक दाईं ओर पहले गुणांक के बराबर हो।

हम देखते हैं कि बाईं ओर पहला गुणांक दाईं ओर पहले गुणांक के बराबर है।

यदि इस तरह के समीकरण में एक विषम डिग्री है, तो इसका एक मूल है एक्स= - 1. इसके बाद, हम समीकरण की डिग्री को इससे विभाजित करके कम कर सकते हैं ( एक्स+एक)। यह पता चला है कि सममित समीकरण को विभाजित करते समय ( एक्स+ 1) सम घात का सममित समीकरण प्राप्त होता है। गुणांकों की समरूपता का प्रमाण नीचे प्रस्तुत किया गया है। (परिशिष्ट 6) हमारा कार्य यह सीखना है कि सम कोटि के सममित समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए: (1)

हम समीकरण (1) को हल करते हैं, से विभाजित करते हैं एक्स 2 (मध्य डिग्री तक) = 0.

हम शब्दों को सममित के साथ समूहित करते हैं

) + 3(एक्स+। निरूपित पर= एक्स+ , आइए दोनों भागों का वर्ग करें, इसलिए = पर 2 तो 2( पर 2 या 2 पर 2 +3 समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं पर = , पर= 3. अगला, हम प्रतिस्थापन पर लौटते हैं एक्स+ = और एक्स+ = 3. हमें समीकरण मिलते हैं और पहले का कोई हल नहीं है, और दूसरे के दो मूल हैं। उत्तर:।

निष्कर्ष: इस प्रकार का समीकरण अक्सर सामने नहीं आता है, लेकिन यदि आप इसका सामना करते हैं, तो इसे आसानी से और आसानी से बिना बोझिल गणनाओं का सहारा लिए हल किया जा सकता है।

2.8 पूर्ण डिग्री का निष्कर्षण

समीकरण पर विचार करें।

बाईं ओर योग (x + 1) का घन है, अर्थात।

हम दोनों भागों से तृतीय अंश का मूल निकालते हैं: , तब हमें प्राप्त होता है

एकमात्र जड़ कहाँ है।

अध्ययन के परिणाम

काम के परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे:

अध्ययन किए गए सिद्धांत के लिए धन्यवाद, हम उच्च डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों से परिचित हुए;

D. कार्डानो के सूत्र का उपयोग करना कठिन है और गणना में त्रुटि होने की उच्च संभावना देता है;

- एल। फेरारी की विधि चौथी डिग्री के समीकरण के समाधान को घन एक तक कम करने की अनुमति देती है;

- Bezout के प्रमेय का उपयोग घन समीकरणों और चतुर्थ अंश के समीकरणों दोनों के लिए किया जा सकता है; समीकरणों को हल करने के लिए लागू होने पर यह अधिक समझ में आता है और उदाहरण देता है;

हॉर्नर की योजना समीकरणों को हल करने में गणना को काफी कम करने और सरल बनाने में मदद करती है। जड़ों को खोजने के अलावा, हॉर्नर की योजना समीकरण के बाईं ओर बहुपदों के मूल्यों की गणना करना आसान बनाती है;

विशेष रूप से ब्याज अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान, सममित समीकरणों का समाधान था।

दौरान अनुसंधान कार्ययह पाया गया कि छात्र 9वीं या 10वीं कक्षा से शुरू होने वाली गणित की ऐच्छिक कक्षाओं में उच्चतम डिग्री के समीकरणों को हल करने के सबसे सरल तरीकों के साथ-साथ गणितीय स्कूलों में जाने के विशेष पाठ्यक्रमों से परिचित होते हैं। यह तथ्य MBOU "माध्यमिक विद्यालय नंबर 9" में गणित के शिक्षकों और "गणित" के विषय में बढ़ी हुई रुचि दिखाने वाले छात्रों के सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए सबसे लोकप्रिय तरीके, जो ओलंपियाड को हल करने, प्रतिस्पर्धी समस्याओं और छात्रों द्वारा परीक्षा की तैयारी के परिणामस्वरूप सामने आते हैं, वे बेज़आउट के प्रमेय, हॉर्नर की योजना और एक नए चर की शुरूआत के आधार पर विधियां हैं। .

शोध कार्य के परिणामों का प्रदर्शन, अर्थात्। गणित, रुचि रखने वाले सहपाठियों में स्कूली पाठ्यक्रम में अध्ययन नहीं किए गए समीकरणों को हल करने के तरीके।

निष्कर्ष

शैक्षिक और का अध्ययन करने के बाद वैज्ञानिक साहित्य, युवा शैक्षिक मंचों में इंटरनेट संसाधन

विचार करना दूसरे से अधिक डिग्री के एक चर के साथ समीकरणों को हल करना।

समीकरण P(x) = 0 की घात बहुपद P(x) की घात है, अर्थात। एक गैर-शून्य गुणांक के साथ इसकी शर्तों की सबसे बड़ी शक्ति।

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 की पाँचवीं डिग्री है, क्योंकि कोष्ठक खोलने और समान लाने के संचालन के बाद, हम पांचवीं डिग्री के बराबर समीकरण x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 प्राप्त करते हैं।

दूसरे से अधिक डिग्री वाले समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक नियमों को याद करें।

एक बहुपद और उसके भाजक की जड़ों के बारे में कथन:

1. बहुपद nthडिग्री में कई जड़ें होती हैं जो संख्या n से अधिक नहीं होती हैं, और गुणन m की जड़ें ठीक m बार होती हैं।

2. विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

3. यदि α Р(х) का मूल है, तो n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), जहां Q n – 1 (x) डिग्री (n – 1) का एक बहुपद है .

4.

5. पूर्णांक गुणांक वाले कम किए गए बहुपद में भिन्नात्मक परिमेय मूल नहीं हो सकते हैं।

6. तीसरी डिग्री बहुपद के लिए

पी 3 (एक्स) \u003d कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी दो चीजों में से एक संभव है: या तो यह तीन द्विपदों के उत्पाद में विघटित हो जाता है

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - ), या द्विपद और वर्ग त्रिपद P 3 (x) \u003d a (x - α) के गुणनफल में विघटित होता है ( एक्स 2 + βx + )।

7. चौथी डिग्री का कोई भी बहुपद दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल में फैलता है।

8. एक बहुपद f(x) एक बहुपद g(x) से बिना शेषफल के विभाज्य होता है यदि एक बहुपद q(x) मौजूद हो जिससे कि f(x) = g(x) q(x)। बहुपदों को विभाजित करने के लिए, "एक कोने से भाग" का नियम लागू होता है।

9. बहुपद P(x) के द्विपद (x - c) से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि संख्या c, P(x) का मूल हो (बेज़ौट के प्रमेय का परिणाम)।

10. विएटा की प्रमेय: यदि x 1, x 2, ..., x n बहुपद के वास्तविक मूल हैं

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, तो निम्नलिखित समानताएँ होती हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन = -ए 1 / ए 0,

एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 1 एक्स 3 + ... + एक्स एन - 1 एक्स एन \u003d ए 2 / ए 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 एक्स एन \u003d (-1) एन ए एन / ए 0।

उदाहरणों का समाधान

उदाहरण 1

P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 को (x - 1/3) से विभाजित करने के बाद शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम के अनुसार: "एक बहुपद को एक द्विपद (x - c) से विभाजित करने का शेष भाग c में बहुपद के मान के बराबर होता है।" आइए, P(1/3) = 0 ज्ञात करें। इसलिए, शेषफल 0 है और संख्या 1/3 बहुपद का मूल है।

उत्तर: आर = 0।

उदाहरण 2

"कोने" को 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 को (x + 2) से भाग दें। शेष और अपूर्ण भागफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3| एक्स + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

एक्स 2 - 2 एक्स

उत्तर: आर = 3; भागफल: 2x 2 - x।

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

1. एक नए चर का परिचय

एक नए चर को पेश करने की विधि द्विघात समीकरणों के उदाहरण से पहले से ही परिचित है। यह इस तथ्य में समाहित है कि समीकरण f (x) \u003d 0 को हल करने के लिए, एक नया चर (प्रतिस्थापन) t \u003d x n या t \u003d g (x) पेश किया जाता है और f (x) को t के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, a प्राप्त करना नया समीकरण आर (टी)। फिर समीकरण r(t) को हल करते हुए, मूल ज्ञात कीजिए:

(टी 1, टी 2,…, टीएन)। उसके बाद, n समीकरणों का एक सेट q(x) = t 1, q(x) = t 2 , ..., q(x) = t n प्राप्त होता है, जिससे मूल समीकरण के मूल ज्ञात होते हैं।

उदाहरण 1

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0।

समाधान:

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 - 3 (एक्स 2 + एक्स) - 1 = 0।

(एक्स 2 + एक्स + 1) 2 - 3 (एक्स 2 + एक्स + 1) + 3 - 1 = 0।

प्रतिस्थापन (x 2 + x + 1) = t.

टी 2 - 3टी + 2 = 0.

टी 1 \u003d 2, टी 2 \u003d 1. रिवर्स रिप्लेसमेंट:

x 2 + x + 1 = 2 या x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 या x 2 + x = 0;

उत्तर: पहले समीकरण से: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, दूसरे से: 0 और -1।

2. समूहीकरण की विधि द्वारा गुणनखंडन और संक्षिप्त गुणन सूत्र

बुनियाद यह विधियह भी नया नहीं है और इसमें समूहीकरण शब्द इस प्रकार हैं कि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको कुछ कृत्रिम तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

समाधान।

कल्पना कीजिए - 3x 2 = -2x 2 - x 2 और समूह:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(एक्स 2 - 1) 2 - 1 - (एक्स - 2) 2 + 1 = 0।

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(एक्स 2 - 1 - एक्स + 2) (एक्स 2 - 1 + एक्स - 2) = 0।

(एक्स 2 - एक्स + 1) (एक्स 2 + एक्स - 3) = 0।

x 2 - x + 1 \u003d 0 या x 2 + x - 3 \u003d 0।

उत्तर: पहले समीकरण में कोई जड़ें नहीं हैं, दूसरे से: x 1, 2 \u003d (-1 ± 13) / 2।

3. अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा गुणनखंडन

विधि का सार यह है कि मूल बहुपद अज्ञात गुणांक वाले कारकों में विघटित हो जाता है। इस गुण का उपयोग करना कि बहुपद समान हैं यदि उनके गुणांक समान घातों पर समान हैं, तो अज्ञात विस्तार गुणांक पाए जाते हैं।

उदाहरण 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

समाधान।

तीसरी डिग्री के बहुपद को रैखिक और वर्ग कारकों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।

एक्स 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (एक्स - ए) (एक्स 2 + बीएक्स + सी),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac।

सिस्टम को हल करना:

(बी - ए = 4,
(सी - एबी = 5,
(-एसी=2,

(ए = -1,
(बी = 3,
(सी = 2, यानी।

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2)।

समीकरण (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 के मूल आसानी से खोजे जा सकते हैं।

उत्तर 1; -2।

4. उच्चतम और मुक्त गुणांक द्वारा मूल का चयन करने की विधि

विधि प्रमेयों के अनुप्रयोग पर आधारित है:

1) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का कोई भी पूर्णांक मूल मुक्त पद का भाजक होता है।

2) अपरिवर्तनीय अंश p / q (p एक पूर्णांक है, q एक प्राकृतिक है) के लिए पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण की जड़ होने के लिए, यह आवश्यक है कि संख्या p मुक्त पद a 0 का पूर्णांक भाजक हो, और q उच्चतम गुणांक का एक प्राकृतिक भाजक है।

उदाहरण 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

समाधान:

6: क्यू = 1, 2, 3, 6।

इसलिए p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

एक मूल प्राप्त करने के बाद, उदाहरण के लिए - 2, हम एक कोने से विभाजन, अनिश्चित गुणांक की विधि या हॉर्नर की योजना का उपयोग करके अन्य जड़ें पाएंगे।

उत्तर: -2; 1/2; 1/3.

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समीकरणों को हल करने की विधियाँ: n n n समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) गुणनखंड से बदलना। एक नए चर का परिचय। कार्यात्मक - चित्रमय विधि। जड़ चयन। Vieta सूत्रों का अनुप्रयोग।

समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से बदलना। विधि केवल तभी लागू की जा सकती है जब y = h(x) एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है जो इसके प्रत्येक मान को एक बार लेता है। यदि फ़ंक्शन गैर-एकरूप है, तो जड़ों का नुकसान संभव है।

समीकरण को हल करें (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x बढ़ते फलन, इसलिए समीकरण (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ से आप समीकरण पर जा सकते हैं 3 x + 2 \u003d 5 x - 9, जहाँ से हम x \u003d 5.5 पाते हैं। उत्तर: 5.5।

गुणनखंडन। समीकरण f(x)g(x)h(x) = 0 को समीकरणों के समुच्चय f(x) = 0 से बदला जा सकता है; जी (एक्स) = 0; h(x) = 0. इस समुच्चय के समीकरणों को हल करने के बाद, आपको उन मूलों को लेने की आवश्यकता है जो मूल समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और शेष को बाह्य के रूप में त्याग दें।

समीकरण x³ - 7 x + 6 = 0 को हल करें, 7 x पद को x + 6 x के रूप में निरूपित करते हुए, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 अब समस्या समीकरणों के एक सेट को हल करने के लिए कम हो गई है x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. उत्तर: 1, 2, - 3।

एक नए चर का परिचय। यदि समीकरण y(x) = 0 को p(g(x)) = 0 के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, तो आपको एक नया चर u = g(x) पेश करने की आवश्यकता है, समीकरण p(u) = 0 को हल करें, और फिर समीकरणों के सेट को हल करें g( x) = u 1; जी (एक्स) = यू 2; … ; g(x) = un , जहाँ u 1, u 2, … , un समीकरण p(u) = 0 के मूल हैं।

समीकरण को हल करें इस समीकरण की एक विशेषता इसके बाईं ओर के गुणांकों की समानता है, जो इसके सिरों से समान दूरी पर है। ऐसे समीकरणों को पारस्परिक कहा जाता है। चूँकि 0 इस समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए x² से भाग देने पर . मिलता है

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है इसलिए मूल y 1 = - 1 को अनदेखा किया जा सकता है। हमें उत्तर मिलता है: 2, 0, 5।

समीकरण को हल करें 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 इस समीकरण को समांगी के रूप में हल किया जा सकता है। समीकरण के दोनों पक्षों को (x² - 7 x +12)² से विभाजित करें (यह स्पष्ट है कि x मान ऐसे हैं कि x² - 7 x +12=0 समाधान नहीं हैं)। अब हम निरूपित करते हैं कि हमारे पास यहाँ से है उत्तर:

कार्यात्मक - चित्रमय विधि। यदि कार्यों में से एक y \u003d f (x), y \u003d g (x) बढ़ता है, और दूसरा घटता है, तो समीकरण f (x) \u003d g (x) की या तो कोई जड़ नहीं है या एक जड़ है।

समीकरण को हल करें यह बिल्कुल स्पष्ट है कि x = 2 समीकरण का मूल है। आइए हम सिद्ध करें कि यही एकमात्र जड़ है। हम समीकरण को रूप में बदलते हैं हम देखते हैं कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन घट रहा है। अतः समीकरण का केवल एक मूल है। उत्तर : 2.

मूलों का चयन n n n प्रमेय 1: यदि एक पूर्णांक m पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का मूल है, तो बहुपद का अचर पद m से विभाज्य होता है। प्रमेय 2: पूर्णांक गुणांकों वाले कम किए गए बहुपद का कोई भिन्नात्मक मूल नहीं होता है। प्रमेय 3 : - पूर्णांक के साथ समीकरण मान लीजिए गुणांक। यदि संख्या और भिन्न जहां p और q पूर्णांक हैं, समीकरण का मूल है, तो p मुक्त पद a का भाजक है, और q उच्चतम पद a 0 पर गुणांक का भाजक है।

बेजआउट का प्रमेय। किसी बहुपद को द्विपद (x - a) से विभाजित करने पर शेषफल x = a पर विभाज्य बहुपद के मान के बराबर होता है। बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम n n n दो संख्याओं की समरूप घातों का अंतर समान संख्याओं के अंतर से शेषफल के बिना विभाज्य है; दो संख्याओं की सम घातों का अंतर इन संख्याओं के अंतर और उनके योग से दोनों के बिना शेषफल के विभाज्य है; दो संख्याओं के समरूप विषम घातों का अंतर इन संख्याओं के योग से विभाज्य नहीं है; दो असंख्याओं की समान घातों का योग इन संख्याओं के अंतर से विभाज्य होता है; दो संख्याओं की समरूप विषम घातों का योग इन संख्याओं के योग से शेषफल के बिना विभाज्य होता है; दो संख्याओं की सम घातों का योग या तो इन संख्याओं के अंतर से या उनके योग से विभाज्य नहीं होता है; बहुपद द्विपद (x - a) से विभाज्य होता है यदि और केवल यदि संख्या a इस बहुपद का मूल है; एक शून्येतर बहुपद के भिन्न मूलों की संख्या उसकी घात से अधिक नहीं होती है।

समीकरण को हल करें x³ - 5 x² - x + 21 = 0 बहुपद x³ - 5 x² - x + 21 में पूर्णांक गुणांक होते हैं। प्रमेय 1 के अनुसार, इसके पूर्णांक मूल, यदि कोई हों, मुक्त पद के विभाजकों में से हैं: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21। जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि संख्या 3 एक मूल है। बेज़ौट प्रमेय के उपफल से, बहुपद (x - 3) से विभाज्य होता है। इस प्रकार, x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7)। उत्तर:

समीकरण को हल करें 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 प्रमेय 1 के अनुसार, केवल संख्या ± 1 ही समीकरण के पूर्णांक मूल हो सकते हैं। जाँच से पता चलता है कि ये संख्याएँ मूल नहीं हैं। चूंकि समीकरण कम नहीं होता है, इसमें भिन्नात्मक परिमेय जड़ें हो सकती हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 से गुणा करें, 2 x = t को प्रतिस्थापित करने पर, हमें t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 प्राप्त होता है। इस घटे हुए समीकरण के सभी परिमेय मूल पूर्ण होने चाहिए। वे अचर पद के भाजक के बीच पाए जा सकते हैं: ± 1, ± 2, ± 4। इस मामले में, t = - 1 उपयुक्त है। इसलिए, बहुपद 2 x³ - 5 x² - x + 1 (x) से विभाज्य है + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) द्विघात समीकरण 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0 को हल करते हुए, हम पाते हैं शेष जड़ें: उत्तर:

समीकरण को हल करें 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 प्रमेय 3 के अनुसार, संख्याओं के बीच इस समीकरण के परिमेय मूल ज्ञात करने चाहिए। उन्हें एक-एक करके समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं। वे समीकरण की सभी जड़ों को समाप्त कर देते हैं। उत्तर:

वियत प्रमेय द्वारा समीकरण x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 के मूलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

वह विधि निर्दिष्ट करें जिसके द्वारा इनमें से प्रत्येक समीकरण को हल किया जा सकता है। समीकरण #1, 4, 15, 17 को हल करें।

उत्तर और निर्देश: 1. एक नए चर का परिचय। 2. कार्यात्मक - चित्रमय विधि। 3. समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से बदलना। 4. गुणनखंडन। 5. जड़ों का चयन। 6 कार्यात्मक रूप से - चित्रमय विधि। 7. वीटा सूत्रों का अनुप्रयोग। 8. जड़ों का चयन। 9. समीकरण h(f(x)) = h(g(x)) को समीकरण f(x) = g(x) से बदलना। 10. एक नए चर का परिचय। 11. गुणनखंडन। 12. एक नए चर का परिचय। 13. जड़ों का चयन। 14. वीटा सूत्रों का अनुप्रयोग। 15. कार्यात्मक - चित्रमय विधि। 16. गुणनखंडन। 17. एक नए चर का परिचय। 18. गुणनखंडन।

1. निर्देश। समीकरण को 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² के रूप में लिखें, दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें। चर उत्तर दर्ज करें: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. संकेत। समीकरण के बाईं ओर 6 y और - 6 y जोड़ें और इसे (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² -) के रूप में लिखें। 3 वाई - आठ)। उत्तर:

14. निर्देश। विएटा की प्रमेय के अनुसार चूँकि - पूर्णांक हैं, तो केवल संख्याएँ - 1, - 2, - 3 ही समीकरण के मूल हो सकती हैं। उत्तर: 15. उत्तर: - 1. 17. संकेत। समीकरण के दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें और इसे एक चर दर्ज करें के रूप में लिखें उत्तर: 1; पंद्रह; 2; 3.

ग्रंथ सूची। एन एन एन कोलमोगोरोव ए एन "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम .: प्रोस्वेशचेनी, 2003)। बश्माकोव एम। आई। "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम .: शिक्षा, 1993)। मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम .: मेनेमोज़िना, 2003)। अलीमोव एसएच ए, कोल्यागिन यू। एम। एट अल। "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम .: प्रोवेशचेनी, 2000)। गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़्वाविच एल.आई. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह, 8 - 9" (एम।: शिक्षा, 1997)। कार्प ए.पी. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम।: शिक्षा, 1999)। Sharygin I. F. "गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम, समस्या समाधान, 10" (एम .: शिक्षा। 1989)। स्कोपेट्स जेड ए। "गणित के पाठ्यक्रम में अतिरिक्त अध्याय, 10" (एम।: शिक्षा, 1974)। लिटिंस्की जी.आई. "गणित में पाठ" (मास्को: असलान, 1994)। मुराविन जी.के. "समीकरण, असमानताएं और उनके सिस्टम" (गणित, "सितंबर का पहला", नंबर 2, 3, 2003 अखबार के पूरक)। कोल्यागिन यू। एम। "बहुपद और उच्च डिग्री के समीकरण" (गणित, समाचार पत्र "पहले सितंबर", नंबर 3, 2005 के पूरक)।

बुनियादी लक्ष्य:

1. वें डिग्री के एक पूर्णांक तर्कसंगत समीकरण की अवधारणा को समेकित करने के लिए।
2. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधियों को तैयार करें (एन .) > 3).
3. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीकों को पढ़ाने के लिए।
4. सबसे अधिक निर्धारित करने के लिए समीकरण के रूप से सिखाने के लिए प्रभावी तरीकाउसके फैसले।

कक्षा में शिक्षक द्वारा उपयोग किए जाने वाले रूप, तरीके और शैक्षणिक तकनीकें:

• व्याख्यान-संगोष्ठी प्रशिक्षण प्रणाली (व्याख्यान - नई सामग्री की व्याख्या, संगोष्ठी - समस्या समाधान)।
• सूचना और संचार प्रौद्योगिकियां (ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य)।
• विभेदित प्रशिक्षण, समूह और व्यक्तिगत रूप।
• प्रयोग शोध विधिप्रत्येक छात्र के गणितीय तंत्र और मानसिक क्षमताओं को विकसित करने के उद्देश्य से प्रशिक्षण में।
• मुद्रित सामग्री - पाठ का एक व्यक्तिगत सारांश (मूल अवधारणाएं, सूत्र, कथन, व्याख्यान सामग्री आरेख या तालिकाओं के रूप में संकुचित होती है)।

शिक्षण योजना:

1. आयोजन का समय।
   मंच का उद्देश्य: छात्रों को शामिल करना शिक्षण गतिविधियांपाठ की सामग्री को परिभाषित करें।
2. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।
   मंच का उद्देश्य: पहले से अध्ययन किए गए संबंधित विषयों पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना
3. द स्टडी नया विषय(भाषण)। मंच का उद्देश्य: उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य तरीकों को तैयार करना (एन .) > 3)
4. संक्षेप।
   मंच का उद्देश्य: पाठ में पढ़ी गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं को एक बार फिर से उजागर करना।
5. गृहकार्य।
   मंच का उद्देश्य: तैयार करना गृहकार्यछात्रों के लिए।

पाठ सारांश

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय का शब्दांकन: “उच्च डिग्री के समीकरण। उनके समाधान के तरीके ”।

2. छात्रों के ज्ञान की प्राप्ति।

सैद्धांतिक सर्वेक्षण - बातचीत। सिद्धांत से कुछ पहले अध्ययन की गई जानकारी की पुनरावृत्ति। छात्र बुनियादी परिभाषाएँ बनाते हैं और आवश्यक प्रमेयों के कथन देते हैं। उदाहरण दिए गए हैं, जो पहले अर्जित ज्ञान के स्तर को प्रदर्शित करते हैं।

• एक चर के साथ समीकरण की अवधारणा।
• समीकरण की जड़ की अवधारणा, समीकरण का समाधान।
• संकल्पना रेखीय समीकरणएक चर के साथ, एक चर के साथ द्विघात समीकरण की अवधारणा।
• समीकरणों की तुल्यता की अवधारणा, समीकरण-परिणाम (बाहरी जड़ों की अवधारणा), परिणाम से संक्रमण नहीं (मूलों के नुकसान का मामला)।
• एक चर के साथ एक संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति की अवधारणा।
• एक संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण की अवधारणा एनवें डिग्री। एक संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण का मानक रूप। घटा हुआ पूर्णांक तर्कसंगत समीकरण.
• मूल समीकरण को फ़ैक्टर करके निम्न डिग्री के समीकरणों के एक सेट में संक्रमण।
• एक बहुपद की अवधारणा एनसे th डिग्री एक्स. बेजआउट का प्रमेय। Bezout के प्रमेय से परिणाम। मूल प्रमेय ( जेड-जड़ें और क्यू-रूट) पूर्णांक गुणांक (क्रमशः कम और गैर-घटित) के साथ एक संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण के।
• हॉर्नर की योजना।

3. एक नया विषय सीखना।

हम संपूर्ण परिमेय समीकरण पर विचार करेंगे एनएक अज्ञात चर के साथ मानक रूप की शक्ति एक्स: पीएन (एक्स)= 0 , जहाँ पी एन (एक्स) = ए एन एक्स एन + ए एन -1 एक्स एन -1 + ए 1 एक्स + ए 0- बहुपद एनसे th डिग्री एक्स, एकएन 0। यदि एक एक n = 1 तो ऐसे समीकरण को छोटा पूर्ण परिमेय समीकरण कहा जाता है एनवें डिग्री। आइए हम के लिए ऐसे समीकरणों पर विचार करें विभिन्न मूल्य एनऔर उनके समाधान की मुख्य विधियों की सूची बनाइए।

एन= 1 एक रैखिक समीकरण है।

एन= 2 एक द्विघात समीकरण है।विभेदक सूत्र। जड़ों की गणना के लिए सूत्र। विएटा का प्रमेय। एक पूर्ण वर्ग का चयन।

एन= 3 एक घन समीकरण है।

समूहन विधि।

उदाहरण: x 3 - 4x 2 - x+ 4 = 0 (एक्स - 4) (एक्स 2– 1) = 0 एक्स 1 = 4 , x2 = 1,एक्स 3 = -1.

प्रपत्र का पारस्परिक घन समीकरण कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + बीएक्स + एक= 0. हम समान गुणांक वाले पदों को मिलाकर हल करते हैं।

उदाहरण: एक्स 3 – 5एक्स 2 – 5एक्स + 1 = 0 (एक्स + 1)(एक्स 2 – 6एक्स + 1) = 0 एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 3 + 2, एक्स 3 = 3 – 2.

प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना। इस पद्धति को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में गणना परिमित है, और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिथ्म के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं जेड-पूर्णांक गुणांकों के साथ घटे हुए संपूर्ण परिमेय समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: एक्स 3 – 9एक्स 2 + 23एक्स- 15 = 0. समीकरण कम हो गया है। हम मुक्त पद के भाजक लिखते हैं ( + 1; + 3; + 5; + पंद्रह)। आइए हॉर्नर योजना लागू करें:

	एक्स 3	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0	निष्कर्ष
	1	-9	23	-15
1	1	1 एक्स 1 - 9 = -8	1 एक्स (-8) + 23 = 15	1 एक्स 15 - 15 = 0	1 - जड़
	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – 1)(एक्स 2 – 8एक्स + 15) = 0 एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 3, एक्स 3 = 5.

पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण। प्रमेय के आधार पर Q-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना। इस पद्धति को लागू करते समय, इस बात पर जोर देना आवश्यक है कि इस मामले में गणना परिमित है और हम प्रमेय के अनुसार एक निश्चित एल्गोरिथ्म के अनुसार जड़ों का चयन करते हैं क्यूपूर्णांक गुणांकों के साथ एक असंबद्ध संपूर्ण परिमेय समीकरण की जड़ें।

उदाहरण: 9 एक्स 3 + 27एक्स 2 – एक्स- 3 = 0. समीकरण कम नहीं हुआ है। हम मुक्त पद के भाजक लिखते हैं ( + 1; + 3))। आइए हम अज्ञात की उच्चतम शक्ति पर गुणांक के भाजक को लिखें। ( + 1; + 3; + 9) इसलिए, हम मूल्यों के बीच जड़ों की तलाश करेंगे ( + 1; + ; + ; + 3))। आइए हॉर्नर योजना लागू करें:

	एक्स 3	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0	निष्कर्ष
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 0	1 जड़ नहीं है
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 एक्स (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 जड़ नहीं है
	9	x9 + 27 = 30	एक्स 30 - 1 = 9	एक्स 9 - 3 = 0	जड़
	एक्स 2	एक्स 1	एक्स 0

हम पाते हैं ( एक्स – )(9एक्स 2 + 30एक्स + 9) = 0 एक्स 1 = , एक्स 2 = - , एक्स 3 = -3.

Q . चुनते समय गणना की सुविधा के लिए -जड़ेंचर का परिवर्तन करना सुविधाजनक हो सकता है, उपरोक्त समीकरण पर जाएं और Z . को समायोजित करें -जड़ें.

• यदि अवरोधन 1 . है

.

• यदि फॉर्म के प्रतिस्थापन का उपयोग करना संभव है वाई = केएक्स

.

फॉर्मूला कार्डानो। मौजूद सार्वभौमिक विधिघन समीकरणों का हल कार्डानो का सूत्र है। यह सूत्र इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो (1501-1576), निकोलो टार्टाग्लिया (1500-1557), स्किपियो डेल फेरो (1465-1526) के नामों से जुड़ा है। यह सूत्र हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है।

एन= 4 चौथी डिग्री का समीकरण है।

समूहन विधि।

उदाहरण: एक्स 4 + 2एक्स 3 + 5एक्स 2 + 4एक्स – 12 = 0 (एक्स 4 + 2एक्स 3) + (5एक्स 2 + 10एक्स) – (6एक्स + 12) = 0 (एक्स + 2)(एक्स 3 + 5एक्स- 6) = 0 (एक्स + 2)(एक्स– 1)(एक्स 2 + एक्स + 6) = 0 एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 1.

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि।

• फॉर्म का द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2+एस = 0 .

उदाहरण: एक्स 4 + 5एक्स 2 - 36 = 0. प्रतिस्थापन आप = एक्स 2. यहाँ से आप 1 = 4, आप 2 = -9। इसीलिए एक्स 1,2 = + 2 .

• फॉर्म की चौथी डिग्री का पारस्परिक समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3+सी एक्स 2 + बीएक्स + एक = 0.

हम फॉर्म को बदलकर समान गुणांक वाले शब्दों को जोड़कर हल करते हैं

• कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 – बीएक्स + एक = 0.

• फॉर्म की चौथी डिग्री का सामान्यीकृत पिछड़ा समीकरण कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + केबीएक्स + k2ए = 0.

• सामान्य प्रतिस्थापन। कुछ मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 3 . सामान्य दृश्य प्रतिस्थापन(एक विशेष समीकरण के रूप से अनुसरण करता है)।

एन = 3.

पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण। क्यू-जड़ों का चयन एन = 3.

सामान्य सूत्र। चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने की एक सार्वभौमिक विधि है। यह सूत्र लुडोविको फेरारी (1522-1565) के नाम से जुड़ा है। यह सूत्र हमारे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है।

एन > 5 - पाँचवीं और उच्चतर डिग्री के समीकरण।

पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण। प्रमेय के आधार पर Z-मूलों का चयन। हॉर्नर की योजना। एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा किए गए के समान है एन = 3.

पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण। क्यू-जड़ों का चयनप्रमेय के आधार पर। हॉर्नर की योजना। एल्गोरिथ्म ऊपर चर्चा किए गए के समान है एन = 3.

सममितीय समीकरण। विषम घात वाले किसी भी व्युत्क्रम समीकरण का एक मूल होता है एक्स= -1 और इसे कारकों में विघटित करने के बाद, हम पाते हैं कि एक कारक का रूप होता है ( एक्स+ 1), और दूसरा गुणनखंड सम घात का एक व्युत्क्रम समीकरण है (इसकी घात मूल समीकरण की घात से एक कम है)। सम घात का कोई भी व्युत्क्रम समीकरण, साथ ही रूप के मूल का एक्स =फॉर्म की जड़ भी शामिल है। इन कथनों का उपयोग करते हुए, हम अध्ययन के तहत समीकरण की डिग्री को कम करके समस्या का समाधान करते हैं।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि। समरूपता का उपयोग।

पूरे पांचवीं डिग्री समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है (यह इतालवी गणितज्ञ पाओलो रफिनी (1765-1822) और नार्वेजियन गणितज्ञ निल्स हेनरिक एबेल (1802-1829) द्वारा दिखाया गया था) और उच्च शक्तियों (यह फ्रांसीसी द्वारा दिखाया गया था) गणितज्ञ एवरिस्टे गैलोइस (1811-1832))।

• फिर से याद करें कि व्यवहार में इसका उपयोग करना संभव है संयोजनोंऊपर सूचीबद्ध तरीके। निम्न डिग्री के समीकरणों के एक सेट को पास करना सुविधाजनक है मूल समीकरण का गुणनखंडन.
• हमारी आज की चर्चा के दायरे से बाहर, व्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ग्राफिक तरीकेसमीकरणों को हल करना और अनुमानित समाधान के तरीकेउच्च डिग्री के समीकरण।
• ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब समीकरण में R-मूल नहीं होते हैं।
फिर समाधान यह दिखाने के लिए नीचे आता है कि समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं। इसे साबित करने के लिए, हम एकरसता के अंतराल पर विचार किए गए कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। उदाहरण: समीकरण एक्स 8 – एक्स 3 + 1 = 0 की कोई जड़ नहीं है।
• कार्यों की एकरसता संपत्ति का उपयोग करना
. ऐसी स्थितियां हैं जब कार्यों के विभिन्न गुणों का उपयोग हमें कार्य को सरल बनाने की अनुमति देता है।
उदाहरण 1: समीकरण एक्स 5 + 3एक्स- 4 = 0 का एक मूल है एक्स= 1. विश्लेषण किए गए कार्यों की एकरसता की संपत्ति से, कोई अन्य जड़ें नहीं हैं।
उदाहरण 2: समीकरण एक्स 4 + (एक्स- 1) 4 = 97 के मूल हैं एक्स 1 = -2 और एक्स 2 = 3. एकरसता के अंतराल पर संबंधित कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करने के बाद, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कोई अन्य जड़ें नहीं हैं।

4. संक्षेप करना।

सारांश: अब हमने उच्च डिग्री के विभिन्न समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों में महारत हासिल कर ली है (n . के लिए) > 3))। हमारा काम उपरोक्त एल्गोरिदम का प्रभावी ढंग से उपयोग करना सीखना है। समीकरण के प्रकार के आधार पर, हमें यह निर्धारित करना होगा कि इस मामले में कौन सी समाधान विधि सबसे प्रभावी है, साथ ही साथ चुनी गई विधि को सही ढंग से लागू करना है।

5. गृहकार्य।

: आइटम 7, पीपी. 164–174, संख्या 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

इस विषय पर रिपोर्ट या सार के संभावित विषय:

• फॉर्मूला कार्डानो
• समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय विधि। समाधान उदाहरण।
• समीकरणों के सन्निकट हल की विधियाँ।

विषय में सामग्री और छात्रों की रुचि को आत्मसात करने का विश्लेषण:

अनुभव से पता चलता है कि छात्रों की रुचि सबसे पहले चुनने की संभावना है जेड-जड़ें और क्यू-हॉर्नर योजना का उपयोग करते हुए काफी सरल एल्गोरिथम का उपयोग करके समीकरणों की जड़ें। छात्र विभिन्न मानक प्रकार के चर प्रतिस्थापन में भी रुचि रखते हैं, जो समस्या के प्रकार को काफी सरल बना सकते हैं। समाधान के चित्रमय तरीके आमतौर पर विशेष रुचि के होते हैं। इस मामले में, आप अतिरिक्त रूप से समीकरणों को हल करने के लिए कार्यों को एक ग्राफिकल विधि में पार्स कर सकते हैं; चर्चा करें सामान्य फ़ॉर्म 3, 4, 5 डिग्री के बहुपद के लिए ग्राफिक्स; विश्लेषण करें कि 3, 4, 5 डिग्री के समीकरणों की जड़ों की संख्या संबंधित ग्राफ के प्रकार से कैसे संबंधित है। नीचे उन पुस्तकों की सूची दी गई है जहां आप इस विषय पर अतिरिक्त जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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