ऑनलाइन कैलकुलेटर। बहुपद सरलीकरण। बहुपद गुणन। मानक रूप zlp . में संक्रमण

एक बहुपद की अवधारणा

एक बहुपद की परिभाषा: एक बहुपद एकपदी का योग होता है। बहुपद उदाहरण:

यहाँ हम दो एकपदी का योग देखते हैं, और यह बहुपद है, अर्थात्। मोनोमियल का योग।

वे पद जो बहुपद का निर्माण करते हैं, बहुपद के सदस्य कहलाते हैं।

क्या एकपदी का अंतर एक बहुपद है? हां, ऐसा इसलिए है, क्योंकि अंतर आसानी से योग में कम हो जाता है, उदाहरण के लिए: 5a - 2b = 5a + (-2b)।

एकपदी को बहुपद भी माना जाता है। लेकिन एकपदी में कोई योग नहीं है, तो इसे बहुपद क्यों माना जाता है? और आप इसमें शून्य जोड़ सकते हैं और एक शून्य एकपदी के साथ इसका योग प्राप्त कर सकते हैं। तो, एक एकपदी एक बहुपद का एक विशेष मामला है, इसमें एक सदस्य होता है।

संख्या शून्य एक शून्य बहुपद है।

बहुपद का मानक रूप

एक मानक रूप बहुपद क्या है? एक बहुपद एकपदी का योग होता है, और यदि बहुपद बनाने वाले इन सभी एकपदी को मानक रूप में लिखा जाता है, इसके अलावा, उनके बीच कोई समान नहीं होना चाहिए, तो बहुपद को मानक रूप में लिखा जाता है।

मानक रूप में बहुपद का एक उदाहरण:

यहाँ बहुपद में 2 एकपदी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक मानक रूप होता है, एकपदी के बीच कोई समान नहीं होते हैं।

अब एक बहुपद का एक उदाहरण जिसका मानक रूप नहीं है:

यहाँ दो एकपदी हैं: 2a और 4a समान हैं। हमें उन्हें जोड़ने की जरूरत है, फिर बहुपद को एक मानक रूप मिलेगा:

एक और उदाहरण:

क्या यह बहुपद मानक रूप में कम हो गया है? नहीं, इसका दूसरा सदस्य मानक रूप में नहीं लिखा गया है। इसे मानक रूप में लिखने पर, हमें एक मानक रूप बहुपद प्राप्त होता है:

एक बहुपद की घात

बहुपद की घात क्या है?

बहुपद डिग्री परिभाषा:

एक बहुपद की डिग्री सबसे बड़ी डिग्री है जो मानक रूप के दिए गए बहुपद को बनाने वाले मोनोमियल के पास होती है।

उदाहरण। बहुपद 5h की घात क्या है? बहुपद 5h की घात एक के बराबर होती है, क्योंकि इस बहुपद में केवल एक एकपदी होती है और इसकी घात एक के बराबर होती है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5a 2 h 3 s 4 +1 की घात क्या है? बहुपद 5a 2 h 3 s 4 + 1 की घात नौ है, क्योंकि इस बहुपद में दो एकपदी शामिल हैं, पहली एकपदी 5a 2 h 3 s 4 की घात सबसे अधिक है, और इसकी घात 9 है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5 की घात क्या है? बहुपद 5 की घात शून्य होती है। अतः, केवल एक संख्या वाले बहुपद की घात, अर्थात्। अक्षरों के बिना, शून्य के बराबर है।

अंतिम उदाहरण। शून्य बहुपद की घात क्या है, अर्थात शून्य? शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।

एक बहुपद एकपदी का योग होता है। यदि बहुपद के सभी पदों को मानक रूप में लिखा जाता है (आइटम 51 देखें) और समान पदों की कमी की जाती है, तो मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होगा।

किसी भी पूर्णांक व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में रूपांतरित किया जा सकता है - यह पूर्णांक व्यंजकों के रूपांतरण (सरलीकरण) का उद्देश्य है।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें पूर्ण व्यंजक को बहुपद के मानक रूप में कम किया जाना चाहिए।

समाधान। सबसे पहले, हम बहुपद के पदों को मानक रूप में लाते हैं। हम समान पदों को कम करने के बाद प्राप्त करते हैं, हम मानक रूप का बहुपद प्राप्त करते हैं

समाधान। यदि कोष्ठक के सामने धन का चिह्न है, तो कोष्ठकों में संलग्न सभी पदों के चिह्नों को बनाए रखते हुए कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। कोष्ठक खोलने के लिए इस नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

समाधान। यदि कोष्ठक के सामने एक ziak "ऋण" है, तो कोष्ठक में संलग्न सभी पदों के संकेतों को बदलकर कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है। इस कोष्ठक से बचने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

समाधान। एक एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल, वितरण नियम के अनुसार, इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक सदस्य के योग के बराबर होता है। हम पाते हैं

समाधान। हमारे पास है

समाधान। हमारे पास है

यह समान शर्तें देना बाकी है (वे रेखांकित हैं)। हम पाते हैं:

53. संक्षिप्त गुणन के सूत्र।

कुछ मामलों में, बहुपद के मानक रूप में संपूर्ण अभिव्यक्ति की कमी को पहचान का उपयोग करके किया जाता है:

इन सर्वसमिकाओं को संक्षिप्त गुणन सूत्र कहा जाता है,

आइए उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें दिए गए व्यंजक को मानक रूप myogles में बदलना आवश्यक है।

उदाहरण 1। ।

समाधान। सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2.

समाधान।

उदाहरण 3.

समाधान। सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4

समाधान। सूत्र (4) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

54. बहुपदों का गुणनखंडन।

कभी-कभी आप बहुपद को कई कारकों के गुणनफल में बदल सकते हैं - बहुपद या उपपद। इस तरह के एक पहचान परिवर्तन को बहुपद का गुणनखंडन कहा जाता है। इस मामले में, बहुपद को इनमें से प्रत्येक कारक से विभाज्य कहा जाता है।

बहुपदों के गुणनखंडन के कुछ तरीकों पर विचार करें,

1) सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना। यह परिवर्तन वितरण कानून का प्रत्यक्ष परिणाम है (स्पष्टता के लिए, इस कानून को "दाएं से बाएं" फिर से लिखना आवश्यक है):

उदाहरण 1. एक बहुपद का गुणनखंडन करना

समाधान। .

आमतौर पर, कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते समय, बहुपद के सभी सदस्यों में शामिल प्रत्येक चर को इस बहुपद में सबसे छोटे घातांक के साथ निकाला जाता है। यदि बहुपद के सभी गुणांक पूर्णांक हैं, तो सबसे बड़ा मॉड्यूल सामान्य कारक के गुणांक के रूप में लिया जाता है सामान्य भाजकबहुपद के सभी गुणांक।

2) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग। सूत्र (1) - (7) आइटम 53 से, "दाएं से बाएं पढ़ा जा रहा है, कई मामलों में बहुपदों को फैक्टरिंग के लिए उपयोगी साबित होता है।

उदाहरण 2. गुणनखंडित करना ।

समाधान। हमारे पास है । सूत्र (1) (वर्गों का अंतर) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। को लागू करने

अब सूत्र (4) और (5) (घन का योग, घनों का अंतर), हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3.

समाधान। आइए पहले सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर निकालें। ऐसा करने के लिए, हम गुणांक 4, 16, 16 और सबसे छोटे घातांक का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पाते हैं, जिसके साथ चर a और b इस बहुपद को बनाने वाले एकपदी में शामिल होते हैं। हम पाते हैं:

3) समूहन विधि। यह इस तथ्य पर आधारित है कि जोड़ के कम्यूटेटिव और सहयोगी कानून आपको बहुपद की शर्तों को समूहबद्ध करने की अनुमति देते हैं विभिन्न तरीके. कभी-कभी ऐसा समूहीकरण संभव है कि प्रत्येक समूह में सामान्य कारकों को ब्रैकेट करने के बाद, एक और एक ही बहुपद कोष्ठक में रहता है, जो बदले में, एक सामान्य कारक के रूप में ब्रैकेट किया जा सकता है। एक बहुपद के गुणनखंड के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 4.

समाधान। आइए इसे इस तरह समूहित करें:

पहले समूह में हम दूसरे समूह में उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं - उभयनिष्ठ गुणनखंड 5. अब हमें बहुपद एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में मिलता है जिसे हम कोष्ठक से निकालते हैं: इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 5

समाधान। .

उदाहरण 6

समाधान। यहाँ, किसी भी समूहन से सभी समूहों में एक ही बहुपद का आभास नहीं होगा। ऐसे मामलों में, कभी-कभी बहुपद के किसी भी पद को योग के रूप में निरूपित करना उपयोगी साबित होता है, और फिर समूहीकरण पद्धति को लागू करने के लिए पुन: प्रयास करें। हमारे उदाहरण में, हमें प्राप्त होने वाली राशि के रूप में प्रतिनिधित्व करना उचित है

उदाहरण 7

समाधान। हम एकपदी को जोड़ते और घटाते हैं, हमें मिलता है

55. एक चर में बहुपद।

बहुपद, जहाँ a, b चर संख्याएँ हैं, प्रथम घात का बहुपद कहलाता है; एक बहुपद जहाँ a, b, c चर संख्याएँ हैं, दूसरी डिग्री का बहुपद या वर्ग त्रिपद कहलाता है; एक बहुपद जहाँ a, b, c, d संख्याएँ हैं, एक चर को तृतीय श्रेणी का बहुपद कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, यदि o एक चर है, तो एक बहुपद

lshomogeneal डिग्री (x के संबंध में) कहा जाता है; , बहुपद के m-पद, गुणांक, बहुपद का प्रमुख पद और प्रमुख पद का गुणांक है, बहुपद का मुक्त पद। आमतौर पर, बहुपद को चर की घटती शक्तियों में लिखा जाता है, अर्थात, चर की डिग्री धीरे-धीरे कम हो जाती है, विशेष रूप से, वरिष्ठ पद पहले स्थान पर है, और मुक्त शब्द अंतिम में है। बहुपद की घात प्रमुख पद की घात है।

उदाहरण के लिए, एक पाँचवाँ-डिग्री बहुपद जिसमें प्रमुख पद, 1, बहुपद का मुक्त पद है।

बहुपद का मूल वह मान है जिस पर बहुपद लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 बहुपद का मूल है क्योंकि

एसजेडएलपी- ax b या ax b के रूप की एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या। जहां ए गुणांक मैट्रिक्स है, बी बाधा वेक्टर है।
ZLP के गणितीय मॉडल को मानक कहा जाता है, यदि इसमें बाधाओं को रूप में दर्शाया गया है रैखिक असमानताएं, एक वस्तुनिष्ठ कार्यन्यूनतम या अधिकतम किया जाता है।

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर को मैट्रिक्स a को पहचान एक में परिवर्तित करके QZLP को SZLP में बदलने के लिए डिज़ाइन किया गया है। दो मानक रूप उपलब्ध हैं:

1. प्रथम मानक रूप कुल्हाड़ी b , F(X) → min.
2. दूसरा मानक रूप कुल्हाड़ी b , F(X) → अधिकतम।

निर्देश। चरों की संख्या और पंक्तियों की संख्या (प्रतिबंधों की संख्या) का चयन करें। परिणामी समाधान किसी Word फ़ाइल में सहेजा जाता है।

एक विहित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को मानक रूप में कैसे लाया जाए
विहित रूप में कनवर्ट करें

उदाहरण। रैखिक प्रोग्रामिंग की मुख्य समस्या दी गई है। मदद से प्राथमिक परिवर्तनबाधा प्रणाली के गुणांकों का मैट्रिक्स समस्या को एक मानक रूप में लाता है और इसे एक ज्यामितीय विधि द्वारा हल करता है या साबित करता है कि इसकी कोई इष्टतम योजना नहीं है।

इस समस्या की बाधाओं-समानताओं की प्रणाली का विस्तारित मैट्रिक्स:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

आइए हम जॉर्डन के परिवर्तनों की विधि द्वारा सिस्टम को पहचान मैट्रिक्स में कम करें।
1. हम x 1 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व RE=1.
चर x 1 की संगत रेखा रेखा x 1 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE=1 . से विभाजित करके प्राप्त की जाती है

कॉलम x 1 की शेष कोशिकाओं में हम शून्य लिखते हैं।

ऐसा करने के लिए, पुराने प्लान से चार नंबर चुनें, जो आयत के शीर्षों पर स्थित हों और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।
एनई \u003d एसई - (ए * बी) / आरई
एसटीई - पुरानी योजना का तत्व, आरई - संकल्प तत्व (1), ए और बी - पुरानी योजना के तत्व, एसटीई और आरई के तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. हम x 2 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व RE=-42.
चर x 2 की संगत रेखा रेखा x 2 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE=-42 से विभाजित करके प्राप्त की जाती है
सक्षम करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 प्राप्त होता है।
कॉलम x 2 की शेष कोशिकाओं में हम शून्य लिखते हैं।
अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित होते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

हमें एक नया मैट्रिक्स मिलता है:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. हम x 3 को आधार चर के रूप में चुनते हैं।
अनुमेय तत्व आरई = -17/21।
चर x 3 के संगत रेखा रेखा x 3 के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व RE=-17 / 21 से विभाजित करके प्राप्त की जाती है
सक्षम करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 प्राप्त होता है।
कॉलम x 3 के शेष कक्षों में हम शून्य लिखते हैं।
अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित होते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

हमें एक नया मैट्रिक्स मिलता है:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

चूंकि सिस्टम में एक पहचान मैट्रिक्स है, हम X = (1,2,3) को मूल चर के रूप में लेते हैं।
संबंधित समीकरण हैं:
x 1 + 3/34 x 4 - 5/34 x 5 = 3 9/17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7/34 x 4 + 11/34 x 5 = 8 4/17
हम बाकी के संदर्भ में बुनियादी चर व्यक्त करते हैं:
x 1 = - 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17
x 2 = 5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17
x 3 \u003d - 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17
उन्हें उद्देश्य समारोह में बदलें:
एफ (एक्स) = - 3 (- 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17) + 13(5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17) + (- 7 / 34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17) - 2x 4
या

असमानताओं की प्रणाली:
- 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17 0
5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17 0
- 7/34 x 4 - 11/34 x 5 +8 4/17 0
हम असमानताओं की प्रणाली को निम्नलिखित रूप में लाते हैं:
3/34 x 4 - 5/34 x 5 3 9/17
- 5/34 x 4 - 3/34 x 5 1 2/17
7/34 x 4 + 11/34 x 5 8 4/17
एफ(एक्स) = - 1/34 x 4 + 13/34 x 5 +12 3/17 → अधिकतम
आइए सिस्टम को सरल बनाएं।
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
एफ (एक्स) = - एक्स 1 + 13x 2 +414 → अधिकतम

बहुपदों के विषय का अध्ययन करते समय, यह अलग से ध्यान देने योग्य है कि बहुपद मानक और गैर-मानक दोनों रूपों में पाए जाते हैं। इसी समय, बहुपद गैर मानक देखोमानक रूप में लाया जा सकता है। दरअसल, इस प्रश्न का विश्लेषण इस लेख में किया जाएगा। हम विस्तृत चरण-दर-चरण विवरण के साथ उदाहरणों के साथ स्पष्टीकरण को ठीक करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बहुपद को मानक रूप में लाने का अर्थ

आइए अवधारणा में ही थोड़ा तल्लीन करें, क्रिया - "एक बहुपद को एक मानक रूप में कम करना।"

बहुपद, किसी भी अन्य व्यंजक की तरह, समान रूप से रूपांतरित किए जा सकते हैं। नतीजतन, इस मामले में हमें ऐसे भाव मिलते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान रूप से समान होते हैं।

परिभाषा 1

बहुपद को मानक रूप में लाएं- का अर्थ है मूल बहुपद को उसके बराबर मानक रूप के बहुपद से बदलना, जो समान परिवर्तनों का उपयोग करके मूल बहुपद से प्राप्त होता है।

बहुपद को मानक रूप में कम करने की विधि

आइए इस विषय पर चर्चा करें कि कौन से समान परिवर्तन बहुपद को मानक रूप में लाएंगे।

परिभाषा 2

परिभाषा के अनुसार, मानक रूप के प्रत्येक बहुपद में मानक रूप के एकपदी होते हैं और इसमें ऐसे पद नहीं होते हैं। एक गैर-मानक रूप के बहुपद में एक गैर-मानक रूप के मोनोमियल और समान शब्द शामिल हो सकते हैं। पूर्वगामी से, एक नियम स्वाभाविक रूप से निकाला जाता है जो बताता है कि बहुपद को मानक रूप में कैसे लाया जाए:

• सबसे पहले, दिए गए बहुपद को बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में लाया जाता है;
• फिर समान शर्तें कम कर दी जाती हैं।

उदाहरण और समाधान

आइए हम उन उदाहरणों की विस्तार से जाँच करें जिनमें हम बहुपद को मानक रूप में लाते हैं। हम उपरोक्त नियम का पालन करेंगे।

ध्यान दें कि कभी-कभी प्रारंभिक अवस्था में बहुपद की शर्तों का पहले से ही एक मानक रूप होता है, और यह केवल समान शब्दों को लाने के लिए रहता है। ऐसा होता है कि क्रियाओं के पहले चरण के बाद ऐसे कोई सदस्य नहीं होते हैं, तो हम दूसरे चरण को छोड़ देते हैं। पर सामान्य मामलेआपको उपरोक्त नियम से दोनों क्रियाएं करनी होंगी।

उदाहरण 1

बहुपद दिए गए हैं:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 - b a b 4 b 5 ,

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8।

उन्हें मानक रूप में लाना आवश्यक है।

समाधान

पहले बहुपद 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 . पर विचार करें : इसके सदस्यों का एक मानक रूप है, कोई समान सदस्य नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद एक मानक रूप में दिया गया है, और किसी अतिरिक्त क्रिया की आवश्यकता नहीं है।

आइए अब बहुपद 0 , 8 + 2 · a 3 · 0 , 6 - b · a · b 4 · b 5 का विश्लेषण करें। इसमें गैर-मानक मोनोमियल शामिल हैं: 2 · ए 3 · 0, 6 और - बी · ए · बी 4 · बी 5, यानी। हमें बहुपद को मानक रूप में लाने की आवश्यकता है, जिसके लिए पहली क्रिया एकपदी को मानक रूप में बदलना है:

2 ए 3 0, 6 = 1, 2 ए 3;

− b a b 4 b 5 = − a b 1 + 4 + 5 = − a b 10, इसलिए हमें निम्नलिखित बहुपद प्राप्त होता है:

0 , 8 + 2 a 3 0 , 6 - b a b 4 b 5 = 0 8 + 1 2 a 3 - a b 10।

परिणामी बहुपद में, सभी सदस्य मानक हैं, ऐसे कोई सदस्य नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद को मानक रूप में लाने के हमारे कार्य पूरे हो गए हैं।

तीसरे दिए गए बहुपद पर विचार करें: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

हम इसके सदस्यों को मानक रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8।

हम देखते हैं कि बहुपद में समान पद हैं, हम समान पदों को कम करेंगे:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x y + (9 - 8) = = x 2 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x y + 1 = = x 2 17 7 - 13 7 - 4 7 - x y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

इस प्रकार, दिया गया बहुपद 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 ने मानक रूप - x y + 1 ले लिया है।

उत्तर:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- बहुपद को मानक के रूप में दिया गया है;

0 8 + 2 ए 3 0 6 - बी ए बी 4 बी 5 = 0 8 + 1 2 ए 3 - ए बी 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 = - x y + 1 ।

कई समस्याओं में, एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने की क्रिया एक मध्यवर्ती होती है, जब एक उत्तर की तलाश होती है सवाल पूछा. आइए एक ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

एक बहुपद 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 दिया गया है। 5 जेड 2 + जेड 3। इसे मानक रूप में लाना, इसकी डिग्री इंगित करना और दिए गए बहुपद के पदों को चर के अवरोही घातों में व्यवस्थित करना आवश्यक है।

समाधान

हम दिए गए बहुपद की शर्तों को मानक रूप में लाते हैं:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 जेड 2 + जेड 3।

अगला कदम समान सदस्यों को सूचीबद्ध करना है:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 \u003d 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 \u003d \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

हमने मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त किया है, जिससे हमारे लिए बहुपद की डिग्री (इसके घटक एकपदी की सबसे बड़ी डिग्री के बराबर) को निरूपित करना संभव हो जाता है। जाहिर है, वांछित डिग्री 5 है।

यह केवल चर की अवरोही शक्तियों में पदों को व्यवस्थित करने के लिए बनी हुई है। इसके लिए, हम आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए, मानक रूप के परिणामी बहुपद में केवल शर्तों को स्वैप करते हैं। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

जेड 5 + 1 3 जेड 3 - 0, 5 जेड 2 + 11।

उत्तर:

11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0, 5 z 2 + z 3 \u003d 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2, जबकि बहुपद की घात - 5 ; चरों की घटती घातों में बहुपद के पदों की व्यवस्था के परिणामस्वरूप, बहुपद का रूप लेगा: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 ।

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