रैखिक असमानताओं की प्रणाली। बुनियादी अवधारणाएं, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों का समाधान

असमानताओं की व्यवस्थाअज्ञात मात्रा वाले दो या दो से अधिक असमानताओं के किसी भी सेट को कॉल करने की प्रथा है।

इस फॉर्मूलेशन को स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए, इस तरह से असमानताओं की प्रणाली:

असमानताओं की प्रणाली को हल करें - अज्ञात चर के सभी मूल्यों को खोजने का मतलब है जिसके लिए सिस्टम की प्रत्येक असमानता का एहसास होता है, या यह साबित करने के लिए कि ऐसा कोई नहीं है .

तो, प्रत्येक व्यक्ति के लिए प्रणाली असमानताअज्ञात चर की गणना करें। इसके अलावा, परिणामी मूल्यों में से, केवल उन का चयन करता है जो पहली और दूसरी असमानताओं दोनों के लिए सही हैं। इसलिए, चुने हुए मूल्य को प्रतिस्थापित करते समय, सिस्टम की दोनों असमानताएं सही हो जाती हैं।

आइए कई असमानताओं के समाधान का विश्लेषण करें:

एक को संख्या रेखाओं के दूसरे युग्म के नीचे रखें; मूल्य को शीर्ष पर रखें एक्स, जिसके तहत पहली असमानता ओ ( एक्स> 1) सच हो, और तल पर, मूल्य एक्स, जो दूसरी असमानता का समाधान हैं ( एक्स> 4).

पर डेटा की तुलना करके संख्या रेखा, ध्यान दें कि दोनों के लिए समाधान असमानताओंहोगा एक्स> 4. उत्तर, एक्स> 4.

उदाहरण 2

पहले की गणना असमानताहमें -3 ​​. मिलता है एक्स< -6, или एक्स> 2, दूसरा - एक्स> -8, या एक्स < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения एक्स, जिसके तहत प्रथम प्रणाली असमानता, और निचली संख्या रेखा पर, वे सभी मान एक्स, जिसके तहत व्यवस्था की दूसरी असमानता का एहसास होता है।

आंकड़ों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि दोनों असमानताओंसभी मूल्यों के लिए लागू किया जाएगा एक्स 2 से 8 तक रखा गया है। मूल्यों के समूह एक्सनिरूपित दोहरी असमानता 2 < एक्स< 8.

उदाहरण 3हमे पता करने दें

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन यूनानी दार्शनिकएलिया के ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह चर्चा बन गई है तार्किक झटकासभी के लिए बाद की पीढ़ी. अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय पर आने के लिए वैज्ञानिक समुदायअभी तक सफल नहीं हुआ है... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है पूरा समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर टिकी हुई है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको दो तस्वीरें लेनी होंगी विभिन्न बिंदुएक समय में अंतरिक्ष, लेकिन उनसे आंदोलन के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है (स्वाभाविक रूप से, गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की अभी भी आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह स्तर है बात कर रहे तोतेऔर प्रशिक्षित बंदर, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्य के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, हम हमें आश्वस्त करना शुरू करेंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर हैं अलग संख्याबिल, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे ब्याज पूछो: वह सीमा कहाँ है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व समुच्चय के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएं हैं ग्राफिक प्रतीक, जिसकी मदद से हम संख्याएँ लिखते हैं और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात कीजिए।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँगणना करने पर एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। से एक बड़ी संख्या में 12345 मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निकालने पर आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह एक "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है हेक्साडेसिमल सिस्टमगणना जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

असमानताओं और असमानताओं की व्यवस्था में शामिल विषयों में से एक है उच्च विद्यालयबीजगणित में। कठिनाई के संदर्भ में, यह सबसे कठिन नहीं है, क्योंकि इसके सरल नियम हैं (उनके बारे में थोड़ी देर बाद)। एक नियम के रूप में, स्कूली बच्चे असमानताओं की प्रणालियों का समाधान काफी आसानी से सीखते हैं। यह इस तथ्य के कारण भी है कि शिक्षक इस विषय पर अपने छात्रों को केवल "प्रशिक्षित" करते हैं। और वे ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि भविष्य में इसका अध्ययन अन्य गणितीय मात्राओं के उपयोग से किया जाता है, और OGE और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के लिए भी जाँच की जाती है। पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंअसमानताओं और प्रणालियों की असमानताओं के विषय पर बहुत विस्तार से कवर किया गया है, इसलिए यदि आप इसका अध्ययन करने जा रहे हैं, तो उनका सहारा लेना सबसे अच्छा है। यह लेख केवल बड़ी सामग्री को फिर से बताता है, और इसमें कुछ चूक हो सकती है।

असमानताओं की प्रणाली की अवधारणा

यदि हम वैज्ञानिक भाषा की ओर मुड़ें, तो हम "असमानताओं की प्रणाली" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह एक ऐसा गणितीय मॉडल है, जो कई असमानताओं का प्रतिनिधित्व करता है। इस मॉडल को, निश्चित रूप से, एक समाधान की आवश्यकता है, और यह कार्य में प्रस्तावित प्रणाली की सभी असमानताओं के लिए सामान्य उत्तर होगा (आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है, उदाहरण के लिए: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4 x + 1> 2 और 30 - x > 6...")। हालांकि, समाधान के प्रकारों और विधियों पर आगे बढ़ने से पहले, आपको कुछ और समझने की जरूरत है।

असमानताओं की प्रणाली और समीकरणों की प्रणाली

अध्ययन की प्रक्रिया में नया विषयबहुत बार गलतफहमी होती है। एक ओर, सब कुछ स्पष्ट है और मैं कार्यों को हल करना शुरू कर दूंगा, लेकिन दूसरी ओर, कुछ क्षण "छाया" में रहते हैं, उन्हें अच्छी तरह से समझा नहीं जाता है। साथ ही, पहले से अर्जित ज्ञान के कुछ तत्वों को नए के साथ जोड़ा जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप "ओवरले" त्रुटियां अक्सर होती हैं।

इसलिए, हमारे विषय के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें समीकरणों और असमानताओं, उनकी प्रणालियों के बीच के अंतरों को याद करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक बार फिर यह समझाने की जरूरत है कि ये गणितीय अवधारणाएं क्या हैं। एक समीकरण हमेशा एक समानता होती है, और यह हमेशा किसी चीज़ के बराबर होती है (गणित में, इस शब्द को "=" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है)। असमानता एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक मान दूसरे से अधिक या कम होता है, या यह दावा करता है कि वे समान नहीं हैं। इस प्रकार, पहले मामले में, समानता के बारे में बात करना उचित है, और दूसरे में, प्रारंभिक डेटा की असमानता के बारे में, यह नाम से ही कितना स्पष्ट लग सकता है। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली व्यावहारिक रूप से एक दूसरे से भिन्न नहीं होती है और उनके समाधान के तरीके समान होते हैं। अंतर केवल इतना है कि पूर्व समानता का उपयोग करता है, जबकि बाद वाला असमानताओं का उपयोग करता है।

असमानताओं के प्रकार

दो प्रकार की असमानताएँ हैं: संख्यात्मक और अज्ञात चर के साथ। पहला प्रकार प्रदान किया जाता है मान (संख्या) जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, उदाहरण के लिए, 8 > 10. दूसरा प्रकार असमानताएं हैं जिनमें एक अज्ञात चर होता है (लैटिन वर्णमाला के कुछ अक्षर द्वारा इंगित किया जाता है, अक्सर एक्स)। इस चर को खोजने की जरूरत है। कितने हैं, इस पर निर्भर करते हुए, गणितीय मॉडल एक के साथ असमानताओं के बीच अंतर करता है (वे एक चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) या कई चर (वे कई चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं)।

अंतिम दो प्रकार, उनके निर्माण की डिग्री और समाधान की जटिलता के स्तर के अनुसार, सरल और जटिल में विभाजित हैं। सरल को रैखिक असमानताएँ भी कहा जाता है। बदले में, वे सख्त और गैर-सख्त में विभाजित हैं। कड़ाई से विशेष रूप से "कहना" कि एक मान या तो कम या अधिक होना चाहिए, इसलिए यह शुद्ध असमानता है। कई उदाहरण हैं: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, आदि। गैर-सख्त लोगों में समानता भी शामिल है। अर्थात्, एक मान दूसरे मान से अधिक या उसके बराबर हो सकता है (चिह्न "≥") या किसी अन्य मान से कम या बराबर (चिह्न "≤")। मे भी रैखिक असमानताएंआह चर मूल, वर्ग, किसी भी चीज़ से विभाज्य नहीं है, इसलिए उन्हें "सरल" कहा जाता है। जटिल लोगों में अज्ञात चर शामिल होते हैं, जिन्हें खोजने के लिए निष्पादन की आवश्यकता होती है अधिकगणितीय संचालन। वे अक्सर एक वर्ग, घन या जड़ के नीचे होते हैं, वे मॉड्यूलर, लॉगरिदमिक, भिन्नात्मक आदि हो सकते हैं। लेकिन चूंकि हमारा काम असमानताओं की प्रणालियों के समाधान को समझना है, हम रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, उससे पहले, उनके गुणों के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए।

असमानताओं के गुण

असमानताओं के गुणों में निम्नलिखित प्रावधान शामिल हैं:

1. यदि पक्षों के अनुक्रम को बदलने की क्रिया को लागू किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, तो t 2 t 1)।
2. असमानता के दोनों भाग आपको अपने आप में एक ही संख्या जोड़ने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, तो t 1 + संख्या t 2 + संख्या)।
3. एक ही दिशा के चिन्ह वाली दो या दो से अधिक असमानताएँ आपको उनके बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ने की अनुमति देती हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, t 3 t 4, तो t 1 + t 3 t 2 + t 4 )
4. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 और संख्या ≤ 0, तो संख्या t 1 संख्या t 2)।
5. दो या दो से अधिक असमानताएँ जिनके सकारात्मक पद हैं और एक ही दिशा का चिन्ह है, वे स्वयं को एक दूसरे से गुणा करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 , t 3 t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 0 फिर टी 1 टी 3 ≤ टी 2 टी 4)।
6. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं, लेकिन असमानता चिह्न बदल जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 और संख्या ≤ 0, तो संख्या t 1 संख्या t 2)।
7. सभी असमानताओं में ट्रांजिटिविटी का गुण होता है (उदाहरण के लिए, यदि टी 1 टी 2 और टी 2 ≤ टी 3, तो टी 1 ≤ टी 3)।

अब, असमानताओं से संबंधित सिद्धांत के मुख्य प्रावधानों का अध्ययन करने के बाद, हम सीधे उनकी प्रणालियों को हल करने के नियमों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

असमानताओं की प्रणालियों का समाधान। सामान्य जानकारी। समाधान

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समाधान चर के मान हैं जो दिए गए सिस्टम की सभी असमानताओं को फिट करते हैं। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान गणितीय संक्रियाओं का कार्यान्वयन है जो अंततः संपूर्ण प्रणाली के समाधान की ओर ले जाता है या यह साबित करता है कि इसका कोई समाधान नहीं है। इस मामले में, चर को खाली संख्यात्मक सेट (इस तरह लिखा गया है) को संदर्भित करने के लिए कहा जाता है: एक चर को दर्शाने वाला पत्र(चिह्न "संबंधित") ø (चिह्न "खाली सेट"), उदाहरण के लिए, x (यह पढ़ता है: "चर "x" खाली सेट से संबंधित है")। असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं: ग्राफिकल, बीजीय, प्रतिस्थापन विधि। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे हैं गणितीय मॉडल, जिसमें कई अज्ञात चर हैं। उस मामले में जहां केवल एक ही है, अंतराल विधि उपयुक्त है।

ग्राफिकल तरीका

आपको कई अज्ञात (दो या अधिक से) के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। इस पद्धति के लिए धन्यवाद, रैखिक असमानताओं की प्रणाली काफी आसानी से और जल्दी से हल हो जाती है, इसलिए यह सबसे आम तरीका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्लॉटिंग से गणितीय संक्रियाओं को लिखने की मात्रा कम हो जाती है। यह विशेष रूप से सुखद हो जाता है कि कलम से थोड़ा ब्रेक लें, एक शासक के साथ एक पेंसिल उठाएं और उनकी मदद से आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ें जब बहुत काम किया गया हो और आप थोड़ी विविधता चाहते हैं। हालांकि यह विधिकुछ इसे नापसंद करते हैं क्योंकि आपको कार्य से अलग होना पड़ता है और अपनी मानसिक गतिविधि को ड्राइंग में बदलना पड़ता है। हालाँकि, यह एक बहुत ही प्रभावी तरीका है।

असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिक तरीका, प्रत्येक असमानता की सभी शर्तों को उनके बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। चिन्हों को उलट दिया जाएगा, दाईं ओर शून्य लिखा जाना चाहिए, फिर प्रत्येक असमानता को अलग से लिखा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, असमानताओं से कार्य प्राप्त होंगे। उसके बाद, आप एक पेंसिल और एक शासक प्राप्त कर सकते हैं: अब आपको प्राप्त प्रत्येक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है। संख्याओं का पूरा सेट जो उनके प्रतिच्छेदन के अंतराल में होगा, असमानताओं की प्रणाली का समाधान होगा।

बीजीय तरीका

आपको दो अज्ञात चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। साथ ही, असमानताओं में समान असमानता चिह्न होना चाहिए (अर्थात, उनमें या तो केवल "से बड़ा" चिह्न होना चाहिए, या केवल "से कम" चिह्न, आदि होना चाहिए) इसकी सीमाओं के बावजूद, यह विधि अधिक जटिल भी है। इसे दो चरणों में लागू किया जाता है।

पहले में अज्ञात चरों में से एक से छुटकारा पाने के लिए क्रियाएं शामिल हैं। पहले आपको इसे चुनने की जरूरत है, फिर इस चर के सामने संख्याओं की उपस्थिति की जांच करें। यदि कोई नहीं है (तब चर एक अक्षर की तरह दिखेगा), तो हम कुछ भी नहीं बदलते हैं, यदि वहाँ है (चर का प्रकार होगा, उदाहरण के लिए, 5y या 12y), तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रत्येक असमानता में चयनित चर के सामने की संख्या समान होती है। ऐसा करने के लिए, आपको असमानताओं के प्रत्येक सदस्य को एक सामान्य कारक से गुणा करना होगा, उदाहरण के लिए, यदि पहली असमानता में 3y लिखा है, और दूसरी में 5y है, तो आपको पहली असमानता के सभी सदस्यों को 5 से गुणा करना होगा। , और दूसरा 3 से। यह क्रमशः 15y और 15y निकलेगा।

निर्णय का दूसरा चरण। प्रत्येक विषमता के बाएँ पक्ष को उनके दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करना आवश्यक है, प्रत्येक पद के चिह्न को विपरीत में परिवर्तन के साथ, दाईं ओर शून्य लिखें। फिर मजेदार हिस्सा आता है: असमानताओं को जोड़ते हुए चुने हुए चर (अन्यथा "कमी" के रूप में जाना जाता है) से छुटकारा पाना। आपको एक चर के साथ असमानता मिलेगी जिसे हल करने की आवश्यकता है। उसके बाद, आपको वही करना चाहिए, केवल किसी अन्य अज्ञात चर के साथ। प्राप्त परिणाम प्रणाली का समाधान होगा।

प्रतिस्थापन विधि

जब आप एक नया चर पेश करना संभव हो तो आपको असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। आमतौर पर इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब असमानता के एक पद में अज्ञात चर को चौथी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और दूसरे पद में इसे चुकता कर दिया जाता है। इस प्रकार, इस पद्धति का उद्देश्य प्रणाली में असमानताओं की डिग्री को कम करना है। प्रतिदर्श असमानता x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 को इस प्रकार हल किया जाता है। एक नया चर पेश किया गया है, उदाहरण के लिए t. वे लिखते हैं: "चलो t = x 2", फिर मॉडल को एक नए रूप में फिर से लिखा जाता है। हमारे मामले में, हमें t 2 - t - 1 0 मिलता है। इस असमानता को अंतराल विधि (इसके बारे में थोड़ी देर बाद) द्वारा हल करने की आवश्यकता है, फिर चर X पर वापस लौटें, फिर दूसरी असमानता के साथ भी ऐसा ही करें। प्राप्त उत्तर प्रणाली का निर्णय होगा।

रिक्ति विधि

यह असमानताओं की प्रणालियों को हल करने का सबसे आसान तरीका है, और साथ ही यह सार्वभौमिक और व्यापक है। इसका उपयोग हाई स्कूल और यहां तक ​​कि हाई स्कूल में भी किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि छात्र संख्या रेखा पर असमानता के अंतराल की तलाश कर रहा है, जिसे एक नोटबुक में खींचा गया है (यह एक ग्राफ नहीं है, बल्कि संख्याओं के साथ एक साधारण सीधी रेखा है)। जहाँ असमानताओं के अंतराल प्रतिच्छेद करते हैं, वहाँ व्यवस्था का समाधान पाया जाता है। रिक्ति विधि का उपयोग करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करना होगा:

1. प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, एक संकेत परिवर्तन के साथ विपरीत (शून्य दाईं ओर लिखा होता है)।
2. असमानताओं को अलग से लिखा जाता है, उनमें से प्रत्येक का समाधान निर्धारित किया जाता है।
3. वास्तविक रेखा पर असमानताओं के प्रतिच्छेदन पाए जाते हैं। इन चौराहों पर सभी नंबर हल होंगे।

उपयोग करने का कौन सा तरीका?

जाहिर है वह सबसे आसान और सुविधाजनक लगता है, लेकिन ऐसे समय होते हैं जब कार्यों को एक निश्चित विधि की आवश्यकता होती है। अक्सर, वे कहते हैं कि आपको या तो ग्राफ का उपयोग करके या अंतराल विधि का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है। बीजगणितीय पद्धति और प्रतिस्थापन का उपयोग बहुत कम होता है या बिल्कुल भी नहीं किया जाता है, क्योंकि वे काफी जटिल और भ्रमित करने वाले होते हैं, और इसके अलावा, वे असमानताओं के बजाय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अधिक उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको रेखांकन और अंतराल का सहारा लेना चाहिए। वे दृश्यता लाते हैं, जो गणितीय कार्यों के कुशल और तेज संचालन में योगदान नहीं कर सकता है।

अगर कुछ काम नहीं करता है

बीजगणित में किसी विशेष विषय के अध्ययन के दौरान, निश्चित रूप से, इसकी समझ में समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। और यह सामान्य है, क्योंकि हमारे मस्तिष्क को इस तरह से डिजाइन किया गया है कि वह एक बार में जटिल सामग्री को समझने में सक्षम नहीं है। अक्सर आपको एक पैराग्राफ को फिर से पढ़ने, शिक्षक की मदद लेने या सामान्य समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में, उदाहरण के लिए, वे इस तरह दिखते हैं: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3 x + 1 0 और 2 x - 1> 3"। इस प्रकार, व्यक्तिगत प्रयास, तीसरे पक्ष के लोगों की मदद और अभ्यास किसी भी जटिल विषय को समझने में मदद करते हैं।

रेशेबनिक?

और समाधान पुस्तक भी बहुत अच्छी तरह से अनुकूल है, लेकिन होमवर्क को धोखा देने के लिए नहीं, बल्कि स्वयं सहायता के लिए। उनमें, आप समाधान के साथ असमानताओं की प्रणाली पा सकते हैं, उन्हें (पैटर्न के रूप में) देखें, यह समझने की कोशिश करें कि समाधान के लेखक ने कार्य के साथ कैसे मुकाबला किया, और फिर इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

निष्कर्ष

बीजगणित स्कूल में सबसे कठिन विषयों में से एक है। अच्छा, तुम क्या कर सकते हो? गणित हमेशा से ऐसा ही रहा है: कुछ के लिए यह आसानी से आता है, और दूसरों के लिए यह मुश्किल है। लेकिन किसी भी मामले में, यह याद रखना चाहिए कि सामान्य शिक्षा कार्यक्रम इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि कोई भी छात्र इसका सामना कर सके। इसके अलावा, आपको बड़ी संख्या में सहायकों को ध्यान में रखना होगा। उनमें से कुछ का उल्लेख ऊपर किया गया है।

उन विषयों में से एक जिसमें छात्रों से अधिकतम ध्यान और दृढ़ता की आवश्यकता होती है, वह है असमानताओं का समाधान। तो समीकरणों के समान और एक ही समय में उनसे बहुत अलग। क्योंकि उनके समाधान के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

उत्तर खोजने के लिए आवश्यक गुण

उन सभी का उपयोग मौजूदा प्रविष्टि को समकक्ष के साथ बदलने के लिए किया जाता है। उनमें से ज्यादातर वही हैं जो समीकरणों में थे। लेकिन मतभेद भी हैं।

• एक फ़ंक्शन जिसे डीपीवी, या किसी भी संख्या में परिभाषित किया गया है, को मूल असमानता के दोनों भागों में जोड़ा जा सकता है।
• इसी तरह, गुणन संभव है, लेकिन केवल एक सकारात्मक कार्य या संख्या से।
• यदि यह क्रिया ऋणात्मक कार्य या संख्या के साथ की जाती है, तो असमानता चिह्न को उलट देना चाहिए।
• गैर-नकारात्मक कार्यों को सकारात्मक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।

कभी-कभी असमानताओं का समाधान उन कार्यों के साथ होता है जो बाहरी उत्तर देते हैं। ODZ क्षेत्र और समाधानों के सेट की तुलना करके उन्हें समाप्त करने की आवश्यकता है।

रिक्ति विधि का उपयोग करना

इसका सार असमानता को एक समीकरण में कम करना है जिसमें शून्य दाईं ओर है।

1. उस क्षेत्र का निर्धारण करें जहां चर के स्वीकार्य मान हैं, यानी ओडीजेड।
2. गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके असमानता को रूपांतरित करें ताकि इसका दाहिना भाग शून्य हो।
3. असमानता चिह्न को "=" से बदलें और संबंधित समीकरण को हल करें।
4. संख्यात्मक अक्ष पर, उन सभी उत्तरों को चिह्नित करें जो समाधान के दौरान प्राप्त हुए थे, साथ ही ODZ के अंतराल भी। सख्त असमानता के मामले में, बिंदुओं को पंचर किया जाना चाहिए। यदि एक समान चिन्ह है, तो उन्हें चित्रित किया जाना चाहिए।
5. ODZ के बिंदुओं और इसे विभाजित करने वाले उत्तरों के परिणामस्वरूप प्रत्येक अंतराल पर मूल फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें। यदि किसी बिंदु से गुजरते समय फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है, तो यह उत्तर में प्रवेश करता है। अन्यथा, यह बहिष्कृत है।
6. ODZ के लिए सीमा बिंदुओं को अतिरिक्त रूप से जाँचने की आवश्यकता होती है और उसके बाद ही प्रतिक्रिया में शामिल किया जाता है या नहीं।
7. जो उत्तर प्राप्त होता है उसे संयुक्त समुच्चयों के रूप में लिखा जाना चाहिए।

दोहरी असमानताओं के बारे में थोड़ा सा

वे एक ही बार में रिकॉर्ड में दो असमानता चिह्नों का उपयोग करते हैं। अर्थात्, कुछ फ़ंक्शन एक बार में दो बार शर्तों द्वारा सीमित होते हैं। इस तरह की असमानताओं को दो की एक प्रणाली के रूप में हल किया जाता है, जब मूल को भागों में विभाजित किया जाता है। तथा अन्तराल विधि में दोनों समीकरणों के हल से उत्तरों का संकेत मिलता है।

उन्हें हल करने के लिए, ऊपर बताए गए गुणों का उपयोग करने की भी अनुमति है। उनकी मदद से असमानता को शून्य तक कम करना सुविधाजनक है।

उन असमानताओं के बारे में क्या जिनमें एक मापांक है?

इस मामले में, असमानताओं का समाधान निम्नलिखित गुणों का उपयोग करता है, और वे "ए" के सकारात्मक मान के लिए मान्य हैं।

यदि "x" एक बीजीय व्यंजक लेता है, तो निम्नलिखित प्रतिस्थापन मान्य हैं:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > एक पर एक्स< -a или х >एक।

यदि असमानताएँ सख्त नहीं हैं, तो सूत्र भी सत्य हैं, केवल उनमें अधिक या कम चिह्न के अलावा, "=" प्रकट होता है।

असमानताओं की व्यवस्था कैसे हल होती है?

इस ज्ञान की आवश्यकता उन मामलों में होगी जब ऐसा कार्य दिया जाता है या दोहरी असमानता का रिकॉर्ड होता है या रिकॉर्ड में एक मॉड्यूल दिखाई देता है। ऐसी स्थिति में, समाधान वेरिएबल्स के ऐसे मान होंगे जो रिकॉर्ड में सभी असमानताओं को संतुष्ट करेंगे। यदि ऐसी कोई संख्या नहीं है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

वह योजना जिसके अनुसार असमानताओं की प्रणाली का समाधान किया जाता है:

• उनमें से प्रत्येक को अलग से हल करें;
• संख्यात्मक अक्ष पर सभी अंतरालों को चित्रित करें और उनके प्रतिच्छेदन का निर्धारण करें;
• सिस्टम की प्रतिक्रिया लिखिए, जो दूसरे पैराग्राफ में जो हुआ उसका मिलन होगा।

भिन्नात्मक असमानताओं के बारे में क्या?

चूंकि उनके समाधान के दौरान असमानता के संकेत को बदलना आवश्यक हो सकता है, इसलिए योजना के सभी बिंदुओं का बहुत सावधानी और सावधानी से पालन करना आवश्यक है। अन्यथा, आपको विपरीत उत्तर मिल सकता है।

समाधान भिन्नात्मक असमानताएँअंतराल विधि का भी उपयोग करता है। और कार्य योजना होगी:

• वर्णित गुणों का उपयोग करते हुए, भिन्न को ऐसा रूप दें कि चिह्न के दाईं ओर केवल शून्य शेष रहे।
• असमानता को "=" से बदलें और उन बिंदुओं को निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर होगा।
• उन्हें समन्वय अक्ष पर चिह्नित करें। इस मामले में, हर में परिकलन के परिणामस्वरूप आने वाली संख्याओं को हमेशा पंच आउट किया जाएगा। अन्य सभी असमानता की स्थिति पर आधारित हैं।
• स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें।
• जवाब में, उन अंतरालों के संघ को लिखिए जिनका चिन्ह उस से मेल खाता है जो मूल असमानता में था।

स्थितियाँ जब अतार्किकता असमानता में प्रकट होती है

दूसरे शब्दों में, रिकॉर्ड में एक गणितीय जड़ है। चूंकि स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अधिकांश कार्य वर्गमूल के लिए होते हैं, यह वह है जिस पर विचार किया जाएगा।

तर्कहीन असमानताओं का समाधान दो या तीन की एक प्रणाली प्राप्त करने के लिए नीचे आता है जो मूल के बराबर होगा।

प्रारंभिक असमानता	स्थि‍ति	समकक्ष प्रणाली
एन (एक्स)< m(х)	m(x) 0 . से कम या उसके बराबर है	कोई समाधान नहीं
	एम (एक्स) 0 . से बड़ा है	n(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एन (एक्स)< (m(х)) 2
√ एन (एक्स) > एम (एक्स)		m(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एन (एक्स)> (एम (एक्स)) 2
		n(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एम (एक्स) 0 . से कम है
n(х) ≤ एम(х)	एम (एक्स) 0 . से कम है	कोई समाधान नहीं
	m(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है	n(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एन (х) (एम (х)) 2
एन (एक्स) ≥ एम (एक्स)		m(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एन (एक्स) (एम (एक्स)) 2
		n(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है एम (एक्स) 0 . से कम है
एन (एक्स)< √ m(х)		n(x) 0 . से बड़ा या उसके बराबर है n(x) m(x) से कम है
एन (एक्स) * एम (एक्स)< 0		n(x) 0 . से बड़ा है एम (एक्स) 0 . से कम है
एन (एक्स) * एम (एक्स) > 0		n(x) 0 . से बड़ा है एम (एक्स) 0 . से बड़ा है
n(х) * एम(х) 0		n(x) 0 . से बड़ा है
		एन (एक्स) 0 . है एम (एक्स) -कोई भी
एन (एक्स) * एम (एक्स) 0		n(x) 0 . से बड़ा है
		एन (एक्स) 0 . है एम (एक्स) -कोई भी

विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने के उदाहरण

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत में स्पष्टता जोड़ने के लिए, उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

पहला उदाहरण। 2x - 4 > 1 + x

समाधान: डीएचएस निर्धारित करने के लिए, केवल असमानता को करीब से देखने की जरूरत है। यह से बनता है रैखिक कार्य, इसलिए इसे वेरिएबल के सभी मानों के लिए परिभाषित किया गया है।

अब असमानता के दोनों पक्षों से आपको (1 + x) घटाना होगा। यह पता चला है: 2x - 4 - (1 + x)> 0. कोष्ठक खोले जाने और समान शब्द दिए जाने के बाद, असमानता निम्नलिखित रूप लेगी: x - 5> 0।

इसे शून्य के बराबर करने पर, इसका हल खोजना आसान है: x = 5।

अब 5 अंक वाले इस बिंदु को निर्देशांक बीम पर अंकित किया जाना चाहिए। फिर मूल कार्य के संकेतों की जाँच करें। माइनस इनफिनिटी से 5 तक के पहले अंतराल पर, आप संख्या 0 ले सकते हैं और इसे परिवर्तनों के बाद प्राप्त असमानता में बदल सकते हैं। गणना के बाद यह -7>0 निकलता है। अंतराल के चाप के नीचे आपको ऋण चिह्न पर हस्ताक्षर करने की आवश्यकता है।

अगले अंतराल पर 5 से अनंत तक, आप संख्या 6 चुन सकते हैं। फिर यह पता चलता है कि 1 > 0. चाप के नीचे "+" चिह्न हस्ताक्षरित है। यह दूसरा अंतराल असमानता का जवाब होगा।

उत्तर: x अंतराल (5; ) में स्थित है।

दूसरा उदाहरण। दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है: 3x + 3 ≤ 2x + 1 और 3x - 2 4x + 2.

समाधान। इन असमानताओं का ODZ भी किसी भी संख्या के क्षेत्र में निहित है, क्योंकि रैखिक कार्य दिए गए हैं।

दूसरी असमानता निम्नलिखित समीकरण का रूप लेगी: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. परिवर्तन के बाद: -x - 4 = 0। यह -4 के बराबर चर के लिए एक मान उत्पन्न करता है।

इन दो नंबरों को अंतराल दिखाते हुए अक्ष पर चिह्नित किया जाना चाहिए। चूंकि असमानता सख्त नहीं है, इसलिए सभी बिंदुओं को छायांकित किया जाना चाहिए। पहला अंतराल माइनस इनफिनिटी से -4 तक है। संख्या -5 को चुना जाए। पहली असमानता मान -3 देगी, और दूसरी 1. तो यह अंतराल उत्तर में शामिल नहीं है।

दूसरा अंतराल -4 से -2 तक है। आप संख्या -3 चुन सकते हैं और इसे दोनों असमानताओं में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। पहले और दूसरे में मान -1 प्राप्त होता है। तो, चाप के नीचे "-"।

अंतिम अंतराल -2 से अनंत तक, शून्य सबसे अच्छी संख्या है। आपको इसे प्रतिस्थापित करने और असमानताओं के मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है। उनमें से पहले में एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है, और दूसरे में शून्य। इस अंतराल को भी उत्तर से बाहर रखा जाना चाहिए।

तीन अंतरालों में से केवल एक ही असमानता का समाधान है।

उत्तर: x का संबंध [-4] से है; -2]।

तीसरा उदाहरण। |1 - एक्स| > 2 |x - 1|।

समाधान। पहला कदम उन बिंदुओं को निर्धारित करना है जिन पर फ़ंक्शन गायब हो जाते हैं। बाएं के लिए, यह संख्या 2 होगी, दाएं के लिए - 1. उन्हें बीम पर चिह्नित किया जाना चाहिए और स्थिरता के अंतराल निर्धारित किए जाने चाहिए।

पहले अंतराल पर, माइनस इनफिनिटी से 1 तक, असमानता के बाईं ओर से फ़ंक्शन लेता है सकारात्मक मूल्य, और दाईं ओर से - नकारात्मक। चाप के नीचे, आपको एक दूसरे के आगे दो चिह्न "+" और "-" लिखने होंगे।

अगला अंतराल 1 से 2 तक है। इस पर दोनों फलन सकारात्मक मान लेते हैं। तो, चाप के नीचे दो प्लस हैं।

2 से अनंत तक का तीसरा अंतराल निम्नलिखित परिणाम देगा: बायाँ फलन ऋणात्मक है, दायाँ फलन सकारात्मक है।

परिणामी संकेतों को ध्यान में रखते हुए, सभी अंतरालों के लिए असमानता मूल्यों की गणना करना आवश्यक है।

पहले पर, निम्नलिखित असमानता प्राप्त होती है: 2 - x\u003e - 2 (x - 1)। दूसरी असमानता में दो से पहले का माइनस इस तथ्य के कारण है कि यह फ़ंक्शन नकारात्मक है।

परिवर्तन के बाद, असमानता इस तरह दिखती है: x> 0. यह तुरंत चर के मान देता है। यानी इस अंतराल से प्रत्युत्तर में 0 से 1 तक का अंतराल ही जाएगा।

दूसरे पर: 2 - x\u003e 2 (x - 1)। परिवर्तन ऐसी असमानता देंगे: -3x + 4 शून्य से बड़ा है। इसका शून्य मान x = 4/3 होगा। असमानता के संकेत को देखते हुए, यह पता चलता है कि x इस संख्या से कम होना चाहिए। इसका मतलब है कि यह अंतराल 1 से 4/3 के अंतराल तक घट जाता है।

उत्तरार्द्ध असमानता का निम्नलिखित रिकॉर्ड देता है: - (2 - x)> 2 (x - 1)। इसका रूपांतरण इस ओर ले जाता है: -x > 0. अर्थात्, शून्य से कम x के लिए समीकरण सत्य है। इसका मतलब है कि असमानता आवश्यक अंतराल पर समाधान नहीं देती है।

पहले दो अंतरालों पर, सीमा संख्या 1 थी। इसे अलग से जांचना चाहिए। यही है, मूल असमानता में स्थानापन्न करें। यह पता चला: |2 - 1| > 2 |1 - 1|। गिनने से पता चलता है कि 1 0 से बड़ा है। यह एक सत्य कथन है, इसलिए उत्तर में एक को शामिल किया जाता है।

उत्तर: x अंतराल (0; 4/3) में स्थित है।

इस लेख ने असमानताओं की प्रणालियों के बारे में प्रारंभिक जानकारी एकत्र की है। यहां हम असमानताओं की प्रणाली की परिभाषा देते हैं और असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा देते हैं। यह उन मुख्य प्रकार की प्रणालियों को भी सूचीबद्ध करता है जिनके साथ आपको अक्सर स्कूल में बीजगणित पाठों में काम करना पड़ता है, और उदाहरण दिए गए हैं।

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असमानताओं की एक प्रणाली क्या है?

असमानताओं की प्रणालियों को उसी तरह परिभाषित करना सुविधाजनक है जैसे हमने समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा पेश की, यानी रिकॉर्ड के प्रकार और उसमें निहित अर्थ के अनुसार।

परिभाषा।

असमानताओं की प्रणालीएक रिकॉर्ड है जो एक के नीचे एक लिखी गई असमानताओं की एक निश्चित संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा बाईं ओर एकजुट होता है, और सभी समाधानों के सेट को दर्शाता है जो एक साथ सिस्टम की प्रत्येक असमानता के समाधान हैं।

आइए हम असमानताओं की एक प्रणाली का एक उदाहरण दें। दो मनमाना लें, उदाहरण के लिए, 2 x−3>0 और 5−x≥4 x−11, उन्हें एक दूसरे के नीचे लिखें
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
और सिस्टम के संकेत के साथ एकजुट हों - एक घुंघराले ब्रैकेट, परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित रूप की असमानताओं की एक प्रणाली मिलती है:

इसी तरह, स्कूली पाठ्यपुस्तकों में असमानताओं की प्रणालियों के बारे में एक विचार दिया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि उनमें परिभाषाएँ अधिक संकीर्ण रूप से दी गई हैं: एक चर के साथ असमानताओं के लिए या दो चर के साथ।

असमानताओं की मुख्य प्रकार की प्रणालियाँ

यह स्पष्ट है कि असीम रूप से कई हैं विभिन्न प्रणालियाँअसमानताएं इस विविधता में खो जाने के क्रम में, उन समूहों द्वारा उन पर विचार करने की सलाह दी जाती है जिनके अपने हैं विशेषताएँ. असमानताओं की सभी प्रणालियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

• प्रणाली में असमानताओं की संख्या से;
• रिकॉर्डिंग में शामिल चर की संख्या से;
• असमानताओं की प्रकृति से।

रिकॉर्ड में शामिल असमानताओं की संख्या के अनुसार, दो, तीन, चार, आदि की प्रणालियों को प्रतिष्ठित किया जाता है। असमानताएं पिछले पैराग्राफ में, हमने एक ऐसी प्रणाली का उदाहरण दिया जो दो असमानताओं की प्रणाली है। आइए हम चार असमानताओं की प्रणाली का एक और उदाहरण दिखाते हैं .

अलग से, हम कहते हैं कि एक असमानता की व्यवस्था के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, इस मामले में, वास्तव में हम बात कर रहे हेअसमानता के बारे में ही, व्यवस्था के बारे में नहीं।

यदि आप चरों की संख्या को देखें, तो एक, दो, तीन आदि के साथ असमानताओं की प्रणालियाँ हैं। चर (या, जैसा कि वे कहते हैं, अज्ञात)। ऊपर दो अनुच्छेदों में लिखी गई असमानताओं की अंतिम प्रणाली को देखें। यह तीन चरों x , y और z के साथ एक प्रणाली है। ध्यान दें कि उसकी पहली दो असमानताओं में सभी तीन चर नहीं हैं, लेकिन उनमें से केवल एक है। इस प्रणाली के संदर्भ में, उन्हें क्रमशः x+0 y+0 z≥−2 और 0 x+y+0 z≤5 रूप के तीन चर के साथ असमानताओं के रूप में समझा जाना चाहिए। ध्यान दें कि स्कूल एक चर के साथ असमानताओं पर केंद्रित है।

यह चर्चा करना बाकी है कि लेखन प्रणालियों में किस प्रकार की असमानताएँ शामिल हैं। स्कूल में, वे मुख्य रूप से एक या दो चर के साथ दो असमानताओं (कम अक्सर - तीन, और भी अधिक दुर्लभ - चार या अधिक) की प्रणालियों पर विचार करते हैं, और असमानताएं स्वयं आमतौर पर होती हैं पूर्णांक असमानताएंपहली या दूसरी डिग्री (शायद ही कभी - से अधिक उच्च डिग्रीया आंशिक रूप से तर्कसंगत)। लेकिन अगर OGE के लिए तैयारी सामग्री में आप तर्कहीन, लघुगणक, घातीय और अन्य असमानताओं वाली असमानताओं की प्रणालियों में आते हैं तो आश्चर्यचकित न हों। एक उदाहरण के रूप में, हम असमानताओं की प्रणाली प्रस्तुत करते हैं , से लिया गया है।

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान क्या है?

हम असमानताओं की प्रणाली से संबंधित एक और परिभाषा पेश करते हैं - असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा:

परिभाषा।

एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली को हल करनाएक चर के ऐसे मान को कहा जाता है जो सिस्टम की प्रत्येक असमानता को सत्य में बदल देता है, दूसरे शब्दों में, सिस्टम की प्रत्येक असमानता का समाधान है।

आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। आइए एक चर के साथ दो असमानताओं की एक प्रणाली लें। आइए चर x का मान 8 के बराबर लें, यह परिभाषा के अनुसार असमानताओं की हमारी प्रणाली का समाधान है, क्योंकि सिस्टम की असमानताओं में इसका प्रतिस्थापन दो सही संख्यात्मक असमानताएं 8>7 और 2−3 8≤0 देता है। इसके विपरीत, इकाई प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि जब इसे चर x के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो पहली असमानता गलत संख्यात्मक असमानता 1>7 में बदल जाएगी।

इसी तरह, हम दो, तीन या अधिक चर वाली असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा पेश कर सकते हैं:

परिभाषा।

दो, तीन, आदि के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना। चरएक जोड़ी, ट्रिपल, आदि कहा जाता है। इन चरों के मूल्य, जो एक साथ प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान है, अर्थात यह प्रणाली की प्रत्येक असमानता को एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है।

उदाहरण के लिए, मानों की एक जोड़ी x=1 , y=2 , या किसी अन्य संकेतन (1, 2) में दो चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान है, क्योंकि 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

असमानताओं की प्रणालियों का कोई समाधान नहीं हो सकता है, उनके पास सीमित संख्या में समाधान हो सकते हैं, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। हम अक्सर असमानताओं की व्यवस्था के समाधान के बारे में बात करते हैं। जब किसी सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होता है, तो उसके समाधानों का एक खाली सेट होता है। जब समाधान की एक सीमित संख्या होती है, तो समाधान के सेट में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, और जब असीमित कई समाधान होते हैं, तो समाधान के सेट में अनंत संख्या में तत्व होते हैं।

कुछ स्रोत असमानताओं की एक प्रणाली के लिए एक विशेष और सामान्य समाधान की परिभाषा पेश करते हैं, उदाहरण के लिए, मोर्दकोविच की पाठ्यपुस्तकों में। नीचे असमानताओं की प्रणाली का एक विशेष समाधानइसका एक ही उपाय समझें। इसकी बारी में असमानताओं की प्रणाली का सामान्य समाधान- ये सब उसके निजी फैसले हैं। हालाँकि, ये शब्द तभी समझ में आते हैं जब इस बात पर जोर देना आवश्यक हो कि किस समाधान पर चर्चा की जा रही है, लेकिन आमतौर पर यह संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है, इसलिए केवल "असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान" कहना अधिक सामान्य है।

इस लेख में पेश की गई असमानताओं की प्रणाली और उसके समाधानों की परिभाषाओं से, यह इस प्रकार है कि असमानताओं की प्रणाली का समाधान इस प्रणाली की सभी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है।

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