नोक और नोड नियम ढूँढना। तीन या अधिक संख्याओं के नोड ढूँढना

यह आलेख निम्न से संबंधित है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) ढूँढनादो या अधिक संख्याएँ। सबसे पहले, यूक्लिड एल्गोरिथम पर विचार करें, यह आपको दो संख्याओं के GCD को खोजने की अनुमति देता है। उसके बाद, हम एक ऐसी विधि पर ध्यान देंगे जो हमें संख्याओं के GCD को उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में परिकलित करने की अनुमति देती है। इसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर विचार करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के GCD की गणना के उदाहरण भी देंगे।

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जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिड का एल्गोरिदम

ध्यान दें कि यदि हम शुरू से ही अभाज्य संख्याओं की तालिका की ओर मुड़ते, तो हमें पता चलता कि संख्याएँ 661 और 113 अभाज्य हैं, जिससे हम तुरंत कह सकते हैं कि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 के बराबर।

उत्तर:

जीसीडी(661, 113)=1 ।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके GCD ज्ञात करना

जीसीडी को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जा सकता है। आइए नियम तैयार करें: दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का gcd, a और b के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनखंडों में सभी उभयनिष्ठ अभाज्य कारकों के गुणनफल के बराबर है.

आइए हम GCD ज्ञात करने के नियम की व्याख्या करने के लिए एक उदाहरण देते हैं। आइए जानते हैं संख्या 220 और 600 का अभाज्य गुणनखंडों में प्रसार, उनका रूप 220=2 2 5 11 और 600=2 2 2 3 5 5 है। संख्या 220 और 600 के प्रसार में शामिल सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। इसलिए gcd(220, 600)=2 2 5=20 ।

इस प्रकार, यदि हम संख्याओं a और b को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं और उनके सभी सामान्य कारकों का गुणनफल पाते हैं, तो यह संख्या a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक प्राप्त करेगा।

घोषित नियम के अनुसार जीसीडी खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

72 और 96 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 72 और 96 का गुणनखंड करें:

अर्थात्, 72=2 2 2 3 3 और 96=2 2 2 2 2 3 । सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 , 2 , 2 और 3 हैं। तो gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 ।

उत्तर:

जीसीडी (72, 96) = 24।

इस खंड के निष्कर्ष में, हम देखते हैं कि जीसीडी खोजने के लिए उपरोक्त नियम की वैधता सबसे बड़े सामान्य भाजक की संपत्ति से होती है, जिसमें कहा गया है कि GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है।

तीन या अधिक संख्याओं का GCD ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने से दो संख्याओं की gcd को क्रमिक रूप से खोजने के लिए घटाया जा सकता है। इसका जिक्र हमने जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय किया था। वहां हमने प्रमेय को सूत्रबद्ध और सिद्ध किया: कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1, a 2, …, a k संख्या d k के बराबर है, जो कि gcd(a 1 , a 2)=d 2 की क्रमिक गणना में पाया जाता है। , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k ।

आइए देखें कि उदाहरण के समाधान पर विचार करके कई संख्याओं का GCD खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।

उदाहरण।

चार संख्याओं 78 , 294 , 570 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 ।

सबसे पहले, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम पहली दो संख्याओं 78 और 294 में से सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 2 निर्धारित करते हैं। विभाजित करने पर, हमें 294=78 3+60 समानताएँ प्राप्त होती हैं; 78=60 1+18; 60=18 3+6 और 18=6 3 । अत: d 2 =GCD(78, 294)=6 ।

अब गणना करते हैं डी 3 \u003d जीसीडी (डी 2, ए 3) \u003d जीसीडी (6, 570). हम फिर से यूक्लिड एल्गोरिथम लागू करते हैं: 570=6·95 , इसलिए, d 3 =GCD(6, 570)=6 ।

गणना करना बाकी है डी 4 \u003d जीसीडी (डी 3, ए 4) \u003d जीसीडी (6, 36). चूँकि 36 6 से विभाज्य है, तो d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6।

इस प्रकार, दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 4 =6 है, अर्थात gcd(78, 294, 570, 36)=6 है।

उत्तर:

जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6 ।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं के GCD की गणना कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।

उदाहरण।

पिछले उदाहरण से संख्याओं के GCD की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।

समाधान।

हम संख्या 78 , 294 , 570 और 36 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, हमें 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 मिलता है। दी गई सभी चार संख्याओं के सार्व अभाज्य गुणनखंड संख्या 2 और 3 हैं। फलस्वरूप, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

कई भाजक

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: संख्या 140 का भाजक ज्ञात कीजिए। यह स्पष्ट है कि संख्या 140 में एक नहीं, बल्कि कई भाजक हैं। ऐसे मामलों में, कार्य कहा जाता है बहुत सारेसमाधान। आइए उन सभी को खोजें। सबसे पहले, हम इस संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

अब हम सभी भाजक आसानी से लिख सकते हैं। आइए सरल भाजक से शुरू करें, जो कि ऊपर के विस्तार में मौजूद हैं:

फिर हम उन्हें लिखते हैं जो अभाज्य भाजक के जोड़ीदार गुणन द्वारा प्राप्त होते हैं:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

तब - जिनमें तीन साधारण भाजक होते हैं:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

अंत में, आइए इकाई और अपघट्य संख्या को स्वयं न भूलें:

हमारे द्वारा पाए गए सभी भाजक बनते हैं बहुत सारे 140 की संख्या के भाजक, जो घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग करके लिखा गया है:

संख्या 140 = . के भाजक का समुच्चय

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

बोध की सुविधा के लिए, हमने यहाँ भाजक लिख दिए हैं ( तत्वों को सेट करें) आरोही क्रम में, लेकिन आम तौर पर बोलना, यह आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, हम एक संक्षिप्त परिचय देते हैं। "140 की संख्या के भाजक का समुच्चय" के स्थान पर हम "D (140)" लिखेंगे। इस तरह,

इसी प्रकार, किसी अन्य प्राकृत संख्या के लिए भाजक का समुच्चय ज्ञात किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विस्तार से

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

हम पाते हैं:

डी(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)।

सभी भाजक के समुच्चय से, अभाज्य भाजक के समुच्चय में अंतर करना चाहिए, जो क्रमशः 140 और 105 की संख्या के लिए समान हैं:

पीडी(140) = (2, 5, 7)।

पीडी(105) = (3, 5, 7)।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि संख्या 140 के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन में दो दो बार उपस्थित होते हैं, जबकि समुच्चय PD(140) में यह केवल एक होता है। पीडी (140) का सेट, संक्षेप में, समस्या के सभी उत्तर हैं: "संख्या 140 का एक प्रमुख कारक खोजें"। यह स्पष्ट है कि एक ही उत्तर को एक से अधिक बार नहीं दोहराया जाना चाहिए।

अंश में कमी। महत्तम सामान्य भाजक

एक अंश पर विचार करें

हम जानते हैं कि इस भिन्न को एक ऐसी संख्या से घटाया जा सकता है जो अंश (105) का भाजक और हर (140) का भाजक दोनों हो। आइए समुच्चय D(105) और D(140) को देखें और उनके उभयनिष्ठ तत्वों को लिखें।

डी(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

डी(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)।

समुच्चय D(105) और D(140) के सामान्य अवयव =

अंतिम समानता को छोटा लिखा जा सकता है, अर्थात्:

डी(105) डी(140) = (1, 5, 7, 35)।

यहां, विशेष आइकन "∩" ("छेद के साथ बैग") केवल यह इंगित करता है कि इसके विपरीत पक्षों पर लिखे गए दो सेटों में से केवल सामान्य तत्वों का चयन किया जाना चाहिए। प्रविष्टि "डी (105) ∩ डी (140)" पढ़ता है " चौराहा 105 से Te के सेट और 140 से Te के सेट।

[ध्यान दें कि आप सेट के साथ विभिन्न बाइनरी ऑपरेशन कर सकते हैं, लगभग संख्याओं की तरह। एक अन्य सामान्य बाइनरी ऑपरेशन है एक संस्था, जो "∪" ("छेद के साथ बैग") आइकन द्वारा इंगित किया गया है। दो समुच्चयों के मिलन में दोनों समुच्चयों के सभी अवयव शामिल होते हैं:

पीडी(105) = (3, 5, 7);

पीडी(140) = (2, 5, 7);

पीडी(105) पीडी(140) = (2, 3, 5, 7)। ]

तो, हमने पाया कि भिन्न

सेट से संबंधित किसी भी संख्या में घटाया जा सकता है

डी(105) ∩ डी(140) = (1, 5, 7, 35)

और किसी अन्य के लिए कम नहीं किया जा सकता प्राकृतिक संख्या. यहां कम करने के सभी संभावित तरीके दिए गए हैं (एक के बाद एक निर्बाध कमी को छोड़कर):

यह स्पष्ट है कि भिन्न को एक संख्या से कम करना सबसे व्यावहारिक है, यदि संभव हो तो, एक बड़ी संख्या। इस मामले में, यह संख्या 35 है, जिसे कहा जाता है महत्तम सामान्य भाजक (जीसीडी) संख्या 105 और 140। इसे इस प्रकार लिखा जाता है

जीसीडी(105, 140) = 35।

हालाँकि, व्यवहार में, यदि हमें दो संख्याएँ दी जाती हैं और उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता होती है, तो हमें कोई समुच्चय बनाने की आवश्यकता नहीं है। यह केवल दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने और इनमें से उन कारकों को रेखांकित करने के लिए पर्याप्त है जो दोनों गुणनखंडों के लिए सामान्य हैं, उदाहरण के लिए:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

रेखांकित संख्याओं (किसी भी विस्तार में) को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जीसीडी(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

बेशक, यह संभव है कि दो से अधिक रेखांकित कारक हों:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

यहाँ से यह स्पष्ट है कि

जीसीडी(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

विशेष उल्लेख उस स्थिति के योग्य है जब कोई सामान्य कारक नहीं हैं और जोर देने के लिए कुछ भी नहीं है, उदाहरण के लिए:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

इस मामले में,

जीसीडी (42, 55) = 1.

दो प्राकृत संख्याएँ जिनके लिए gcd एक के बराबर है, कहलाती हैं सह अभाज्य. उदाहरण के लिए, यदि आप ऐसी संख्याओं से भिन्न बनाते हैं,

तो ऐसा भिन्न है अलघुकरणीय.

सामान्यतया, भिन्नों को कम करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

		एक/ जीसीडी ( एक, बी)
		बी/ जीसीडी ( एक, बी)

यहाँ यह माना जाता है कि एकतथा बीप्राकृत संख्याएँ हैं, और सभी भिन्न धनात्मक हैं। यदि हम अब इस समानता के दोनों पक्षों को ऋण चिह्न प्रदान करते हैं, तो हमें ऋणात्मक भिन्नों के लिए संगत नियम प्राप्त होता है।

भिन्नों का जोड़ और घटाव। आम एकाधिक

मान लीजिए कि आप दो भिन्नों के योग की गणना करना चाहते हैं:

हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे भाजक अभाज्य कारकों में विघटित होते हैं:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

यह इस अपघटन से तुरंत अनुसरण करता है कि, अंशों को एक सामान्य हर में लाने के लिए, यह पहले अंश के अंश और हर को 2 2 (दूसरे हर के अस्थिर अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल) से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और दूसरे भिन्न का अंश और हर 3 से ("उत्पाद" पहले हर के अरेखांकित अभाज्य गुणनखंड)। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर उस संख्या के बराबर हो जाएंगे जिसे निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

यह देखना आसान है कि दोनों मूल हर (दोनों 105 और 140) संख्या 420 के भाजक हैं, और संख्या 420, बदले में, दोनों हरों का एक गुणज है - और न केवल एक बहु, यह है आम एकाधिक (अनापत्ति प्रमाण पत्र) संख्या 105 और 140। यह इस प्रकार लिखा गया है:

एलसीएम(105, 140) = 420।

संख्या 105 और 140 के विस्तार को और करीब से देखने पर, हम देखते हैं कि

105 140 = एलसीएम(105, 140) जीसीडी(105, 140)।

इसी तरह, मनमानी प्राकृतिक संख्याओं के लिए बीतथा डी:

बी ∙ डी= एलसीएम ( बी, डी) जीसीडी ( बी, डी).

अब हमारे भिन्नों का योग पूरा करते हैं:


3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

टिप्पणी।कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि किसी संख्या का वर्ग क्या होता है। संख्या वर्ग एकएक नंबर कहा जाता है एकअपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात् एक∙एक. (जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है एक).

दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

परिणाम:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd( एक,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( एक,बी)=468

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों के। चिह्नित gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) या hcf(a,b)।

आम एकाधिक(LCM) दो पूर्णांकों a और b का वह सबसे छोटा प्राकृत संख्या है जो a और b से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। चिह्नित एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्ययदि उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो धनात्मक संख्याएँ दी गई हैं एक 1 और एक 2 1) . इन संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है एक 1 और एक 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

होने देना एक 1 ≥ एक 2 और चलो

कहाँ पे एम 1 , एक 3 कुछ पूर्णांक हैं, एक 3 <एक 2 (डिवीजन से शेष .) एक 1 पर एक 2 कम होना चाहिए एक 2).

चलो दिखावा करते हैं कि λ विभाजित एक 1 और एक 2, फिर λ विभाजित एम 1 एक 2 और λ विभाजित एक 1 −एम 1 एक 2 =एक 3 (लेख का दावा 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का संकेत")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 एक सामान्य भाजक है एक 2 और एक 3. इसका विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य भाजक एक 2 और एक 3, फिर एम 1 एक 2 और एक 1 =एम 1 एक 2 +एक 3 को भी में विभाजित किया गया है λ . इसलिए सामान्य भाजक एक 2 और एक 3 भी एक सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2. इसलिये एक 3 <एक 2 ≤एक 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की समस्या का समाधान एक 1 और एक 2 संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की एक सरल समस्या में बदल गया एक 2 और एक 3 .

यदि एक एक 3 0, तब हम भाग कर सकते हैं एक 2 पर एक 3. फिर

कहाँ पे एम 1 और एक 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एकविभाजन के 4 शेष एक 2 पर एक 3 (एक 4 <एक 3))। इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एक 3 और एक 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है एक 2 और एक 3 , और सामान्य भाजक के साथ भी एक 1 और एक 2. इसलिये एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 , ... संख्याएं जो लगातार घट रही हैं, और चूंकि के बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है एक 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन के शेष एकएन ओन एक n+1 शून्य के बराबर होगा ( एकएन+2=0).

हर आम भाजक λ नंबर एक 1 और एक 2 भी संख्याओं का भाजक है एक 2 और एक 3 , एक 3 और एक 4 , .... एकएन और एकएन + 1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एकएन और एक n+1 भी संख्याओं के भाजक हैं एक n−1 और एकएन , .... , एक 2 और एक 3 , एक 1 और एक 2. लेकिन आम भाजक एकएन और एक n+1 एक संख्या है एक n+1 , क्योंकि एकएन और एक n+1 से विभाज्य हैं एक n+1 (याद रखें कि एकएन+2=0). फलस्वरूप एक n+1 भी संख्याओं का भाजक है एक 1 और एक 2 .

ध्यान दें कि संख्या एक n+1 सबसे बड़ी संख्या भाजक है एकएन और एक n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से एक n+1 स्वयं है एकएन + 1। यदि एक एक n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ भी संख्याओं के सामान्य भाजक हैं एक 1 और एक 2. संख्या एक n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर एक 1 और एक 2 .

नंबर एक 1 और एक 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेष 196 है।
चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेष 42 है।
चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेष 28 है।
चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेष 14 है।
चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, शेषफल 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्या 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 की भाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. माना संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक एक 1 और एक 2 एक के बराबर है। तब इन नंबरों को कहा जाता है सह अभाज्य संख्याजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. यदि एक एक 1 और एक 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएं, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक a 1 और एक 2 भी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है λ तथा एक 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें एक 1 और एक 2 (ऊपर देखें)।

यह प्रमेय की शर्तों से निम्नानुसार है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 , और इसलिए एकएन और एक n+1 है 1. यानी। एकएन+1=1.

आइए इन सभी समानताओं को से गुणा करें λ , फिर

चलो आम भाजक एक 1 λ तथा एक 2 is δ . फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 1 λ , एम 1 एक 2 λ और में एक 1 λ -एम 1 एक 2 λ =एक 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ तथा एम 2 एक 3 λ , और इसलिए में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ -एम 2 एक 3 λ =एक 4 λ .

इस प्रकार तर्क करने से हमें विश्वास हो जाता है कि δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक n-1 λ तथा एम n-1 एकएन λ , और इसलिए में एक n-1 λ −एम n-1 एकएन λ =एकएन+1 λ . इसलिये एकएन+1 = 1, फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ तथा एक 2 .

प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एकतथा सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

सचमुच। प्रमेय 1 . से एसीतथा बीके समान भाजक हैं सीतथा बी. लेकिन संख्या सीतथा बीकोप्राइम, यानी एक उभयनिष्ठ भाजक है 1. तब एसीतथा बीइसका एक उभयनिष्ठ भाजक भी है 1. अत: एसीतथा बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. होने देना एकतथा बीसहअभाज्य संख्याएँ और let बीविभाजित एके. फिर बीविभाजित करता है और क.

सचमुच। दावे की स्थिति से एकेतथा बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीतथा क. फलस्वरूप बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 , ..., एकमी संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. फिर एक 1 एक 2 , एक 1 एक 2 · एक 3 , ..., एक 1 एक 2 एक 3 · · · एक m , संख्या के संबंध में इन संख्याओं का गुणनफल अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

जैसे कि पहली पंक्ति में प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति में प्रत्येक संख्या के संबंध में अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है एक 1 , तो ऐसा लगता है एसए 1 , जहां एसकुछ संख्या। यदि एक क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2, फिर

कहाँ पे एस 1 कुछ पूर्णांक है। फिर

है संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक एक 1 और एक 2 .

एक 1 और एक 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज एक 1 और एक 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि संख्याओं का कोई भी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε तथा एक 3 और इसके विपरीत। मान लीजिए कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है ε तथा एक 3 is ε एक । इसके अलावा, संख्याओं की एक बहु एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और एकचार । मान लीजिए कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है ε 1 और एक 4 is ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी कुछ विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जिसे दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकएम कोप्राइम, फिर संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज एक 1 , एक 2 जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। इसके अलावा, चूंकि एक 3 अभाज्य संख्याओं के संबंध में एक 1 , एक 2, फिर एक 3 एक अभाज्य सापेक्ष संख्या है एकएक · एक 2 (उपदेश 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एक 1 ,एक 2 ,एक 3 एक संख्या है एकएक · एक 2 · एक 3. इसी तरह से तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. आम एकाधिक अभाज्य सँख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी उनके उत्पाद के बराबर है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एक m भी उनके गुणनफल से विभाज्य है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजकये नंबर। जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।

दो प्राकृतिक संख्याओं 18 और 60 के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें:

1 आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 पहली संख्या के विस्तार में से वे सभी गुणनखंड हटा दें जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं, हमें प्राप्त होता है 2×3×3 .

3 हम शेष अभाज्य गुणनखंडों को काटकर गुणा करते हैं और संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक प्राप्त करते हैं: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 ध्यान दें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहली या दूसरी संख्या से हम गुणनखंडों को काट देते हैं, परिणाम समान होगा:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 तथा 432

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

पहली संख्या से हटा दें, जिसके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें मिलता है:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

जीसीडी के परिणामस्वरूप ( 324 , 111 , 432 )=3

यूक्लिड के एल्गोरिदम के साथ जीसीडी ढूँढना

का उपयोग करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का दूसरा तरीका यूक्लिड का एल्गोरिथम. यूक्लिड का एल्गोरिथ्म खोजने का सबसे कारगर तरीका है जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको संख्याओं के शेष भाग को लगातार खोजने और लागू करने की आवश्यकता है आवर्तक सूत्र.

आवर्तक सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, एक मॉड बी), जहाँ a mod b, a को b से विभाजित करने का शेषफल है।

यूक्लिड का एल्गोरिथम

उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें 7920 तथा 594

आइए जीसीडी खोजें ( 7920 , 594 ) यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके शेष भाग की गणना करेंगे।

जीसीडी( 7920 , 594 )

जीसीडी( 594 , 7920 आधुनिक 594 ) = जीसीडी ( 594 , 198 )

जीसीडी( 198 , 594 आधुनिक 198 ) = जीसीडी ( 198 , 0 )

जीसीडी( 198 , 0 ) = 198

7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 मॉड 198 = 594 - 3 × 198 = 0

परिणामस्वरूप, हमें GCD ( 7920 , 594 ) = 198

आम एकाधिक

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय एक सामान्य भाजक को खोजने के लिए, आपको जानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है आम एकाधिक(एनओसी)।

संख्या "ए" का एक गुणक एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेष के संख्या "ए" से विभाजित होती है।

संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात, इन संख्याओं को बिना शेषफल के 8 से विभाजित किया जाएगा): ये संख्याएँ हैं 16, 24, 32 ...

9:18, 27, 36, 45 के गुणज…

किसी दी गई संख्या a के अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं, जो एक ही संख्या के भाजक के विपरीत होते हैं। भाजक - एक परिमित संख्या।

दो प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज वह संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है।.

आम एकाधिकदो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का (LCM) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो स्वयं इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

एनओसी कैसे पता करें

LCM को दो तरह से पाया और लिखा जा सकता है।

एलसीएम खोजने का पहला तरीका

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।

हम प्रत्येक संख्या के गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखते हैं जब तक कि दोनों संख्याओं के लिए समान गुणज न हो।
संख्या "ए" का एक गुणक एक बड़े अक्षर "के" द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।

एलसीएम खोजने का दूसरा तरीका

तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

संख्याओं के प्रसार में समान गुणनखंडों की संख्या भिन्न हो सकती है।

छोटी संख्या (छोटी संख्या) के विस्तार में, उन कारकों को रेखांकित करें जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे (हमारे उदाहरण में, यह 2 है) और इन कारकों को बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ें।
एलसीएम (24, 60) = 2 2 3 5 2

प्रतिक्रिया में परिणामी कार्य को रिकॉर्ड करें।
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120

आप निम्न प्रकार से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने को औपचारिक रूप दे सकते हैं। आइए एलसीएम खोजें (12, 16, 24)।

24 = 2 2 2 3

जैसा कि हम संख्याओं के विस्तार से देख सकते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ा) के विस्तार में शामिल हैं, इसलिए हम संख्या 16 के विस्तार से LCM में केवल एक 2 जोड़ते हैं।

एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48

एनओसी खोजने के विशेष मामले

यदि संख्याओं में से एक संख्या अन्य से समान रूप से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक इस संख्या के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

हमारी साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए ऑनलाइन कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।

कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालाँकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में, आप 997 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

संख्या 12, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के भाजक कहलाते हैं।

एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।

वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।

दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाजित होती हैं।

महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" की सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा दोनों संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाज्य हैं।

संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस प्रकार लिखा गया है:

उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।

समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।

संख्या 7 और 9 में केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य संख्या.

कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका जीसीडी 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें

दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

64 = 2 2 2 2 2 2
हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4

आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।

जीसीडी लिखने का पहला तरीका

जीसीडी 48 और 36 खोजें।

जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12

जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका

अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।

हमारी सूचना साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए हेल्पर प्रोग्राम का उपयोग करके ऑनलाइन सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी ढूंढ सकते हैं।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना, विधियाँ, LCM ज्ञात करने के उदाहरण।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

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gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए GCD के साथ LCM के लिंक का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यानी सबसे पहले हमें 70 और 126 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक अल्पतम समापवर्तक प्राप्त करते हैं: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 ।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

चूँकि 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, तो gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 ।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए LCM खोजने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी) से अनुसरण करता है। वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस उत्पाद का मान 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य गुणज के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । तो एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 ।

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार के गुणनखंडों में जोड़ दें, तो परिणामी गुणनफल का मान संख्याओं a और b के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 ,…, a k दिया गया है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

पहले हम m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , जहां से LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

एम 4 = एलसीएम (एम 3, ए 4) = एलसीएम (3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , इसलिए LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 । यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94500।

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ मेल खाता है) और 143=11 13.

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि 2 और 3 दोनों पहले संख्या 84 के विस्तार में पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।

इसलिए, एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48048।

एलसीएम(84, 6, 48, 7,143)=48048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको कम से कम सामान्य संख्याएँ खोजने की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक, कई या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी ऋणात्मक संख्याओं को उनकी विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसके बाद सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का यह तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)।

हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएं हैं)। वास्तव में, चलो b a का कुछ गुणज है, फिर b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की धारणा ऐसे पूर्णांक q के अस्तित्व पर जोर देती है कि b=a q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो, विभाज्यता की समान अवधारणा के आधार पर, का अर्थ है कि b −a से विभाज्य है, अर्थात b, −a का गुणज है। विलोम कथन भी सत्य है: यदि b −a का कुछ गुणज है, तो b भी a का गुणज है।

ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से बदलें। हमारे पास LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) है। gcd(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांकों −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक 1,305 है।

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हम डिवीजन का अध्ययन जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अवधारणाओं को देखेंगे जैसे जीसीडीतथा अनापत्ति प्रमाण पत्र.

जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

अनापत्ति प्रमाण पत्रकम से कम सामान्य गुणक है।

विषय थोड़ा उबाऊ है, लेकिन इसे समझना जरूरी है। इस विषय को समझे बिना आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एकतथा बी एकतथा बीशेष के बिना विभाजित।

इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, हम चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एकतथा बीकोई दो संख्याएँ, उदाहरण के लिए, चर के स्थान पर एकसंख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीसंख्या 9. अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 तथा 9 सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा 12 तथा 9 शेष के बिना विभाजित।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के एक सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) पाया जाना चाहिए।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी समय लेने वाली है, लेकिन यह आपको विषय के सार को अच्छी तरह से समझने और उसके पूरे अर्थ को महसूस करने की अनुमति देती है।

दूसरी और तीसरी विधियां काफी सरल हैं और जीसीडी को जल्दी से ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों विधियों पर विचार करेंगे। और व्यवहार में क्या लागू करना है - आप चुनते हैं।

पहला तरीका यह है कि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा चुनें। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करें: संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.

सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा में सभी भाजक में विभाजित करते हैं। यदि भाजक हमें 12 को बिना शेष के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे नीले रंग में हाइलाइट करेंगे और कोष्ठक में उचित व्याख्या कीजिए।

12: 1 = 12
(12) बिना शेषफल के 1 से भाग देने पर, 1, 12 का भाजक होता है।

12: 2 = 6
(12 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, अतः 2, 12 का भाजक है)

12: 3 = 4
(12 को 3 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 12 का भाजक है)

12: 4 = 3
(12) बिना शेषफल के 4 से विभाजित, इसलिए 4, 12 का भाजक है।

12:5 = 2 (2 बाएँ)
(12 बिना शेष बचे 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 12 का भाजक नहीं है)

12: 6 = 2
(12) बिना शेषफल के 6 से भाग दिया जाता है, इसलिए 6, 12 का भाजक है।

12:7 = 1 (5 बाएँ)
(12, बिना शेष बचे 7 से विभाजित नहीं है, इसलिए 7, 12 का भाजक नहीं है)

12: 8 = 1 (4 बाएँ)
(12 बिना शेषफल के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 12 का भाजक नहीं है)

12:9 = 1 (3 बाएँ)
(12 को 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 9, 12 का भाजक नहीं है)

12: 10 = 1 (2 बाएँ)
(12 को 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 10, 12 का भाजक नहीं है)

12:11 = 1 (1 बाएँ)
(12 बिना शेष के 11 से विभाजित नहीं है, इसलिए 11, 12 का भाजक नहीं है)

12: 12 = 1
(12 को 12 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 12, 12 का भाजक है)

अब संख्या 9 के भाजक ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें।

9: 1 = 9
(9 को 1 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 1 9 का भाजक है)

9: 2 = 4 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 2 से विभाजित नहीं है, इसलिए 2 9 का भाजक नहीं है)

9: 3 = 3
(9 को 3 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 9 का भाजक है)

9: 4 = 2 (1 बाएँ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 4, 9 का भाजक नहीं है)

9:5 = 1 (4 बाएँ)
(9 बिना शेष के 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 9 का भाजक नहीं है)

9: 6 = 1 (3 बाएँ)
(9 शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए 6 9 का भाजक नहीं है)

9:7 = 1 (2 बाएँ)
(9 को बिना शेष के 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 7, 9 का भाजक नहीं है)

9:8 = 1 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 9 का भाजक नहीं है)

9: 9 = 1
(9 को 9 से बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, इसलिए 9, 9 का भाजक है)

अब दोनों संख्याओं के भाजक लिखिए। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ भाजक हैं। आइए उन्हें लिखते हैं:

भाजक लिखने के बाद, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।

परिभाषा के अनुसार, 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे 12 और 9 समान रूप से विभाज्य हैं। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 . है

संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना शेष के 3 से विभाज्य हैं:

तो जीसीडी (12 और 9) = 3

जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।

उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 . की GCD ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

अब हम उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करते हैं। भ्रमित न होने के लिए, सामान्य कारकों को रेखांकित किया जा सकता है।

हम संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका पहला गुणनखंड 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों दो को रेखांकित करते हैं:

हम फिर से संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका दूसरा गुणनखंड भी 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह दूसरी बार नहीं है। तब हम कुछ भी हाइलाइट नहीं करते हैं।

संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में गायब हैं।

हम संख्या 24 के अपघटन में अंतिम कारक को पास करते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों तीनों पर जोर देते हैं:

तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। GCD प्राप्त करने के लिए, इन कारकों को गुणा करना होगा:

तो जीसीडी (24 और 18) = 6

जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका

अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के तीसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित कर दिया जाता है। फिर, पहली संख्या के अपघटन से, दूसरी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं किए गए कारकों को हटा दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और GCD प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, आइए 28 और 16 की संख्या के लिए जीसीडी इस तरह से खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

हमें दो विस्तार मिले: और

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में सात शामिल नहीं है। हम इसे पहले विस्तार से हटा देंगे:

अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और GCD प्राप्त करते हैं:

संख्या 4 संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ शेष के बिना 4 से विभाज्य हैं:

उदाहरण 2संख्या 100 और 40 . की GCD ज्ञात कीजिए

संख्या 100 . का गुणनखंड करना

संख्या 40 . का गुणनखंड करना

हमें दो विस्तार मिले:

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। हम इसे पहले अपघटन से हटाते हैं

शेष संख्याओं को गुणा करें:

हमें उत्तर 20 मिला। तो संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ शेष के बिना 20 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (100 और 40) = 20।

उदाहरण 3 72 और 128 . की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए

संख्या 72 . का गुणनखंड करना

संख्या 128 . का गुणनखंड करना

2×2×2×2×2×2×2

अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक शामिल नहीं हैं (बिल्कुल भी नहीं हैं)। हम उन्हें पहले अपघटन से हटाते हैं:

हमें उत्तर 8 मिल गया। तो संख्या 8, संख्या 72 और 128 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना शेष के 8 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (72 और 128) = 8

एकाधिक संख्याओं के लिए GCD ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है।

उदाहरण के लिए, आइए 18, 24 और 36 . की संख्याओं के लिए GCD ज्ञात करें

संख्या 18 . का गुणनखंड करना

संख्या 24 . का गुणनखंड करना

संख्या 36 . का गुणनखंड

हमें तीन विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को तीनों संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि 18, 24 और 36 की संख्या के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला है। तो संख्या 6, 18, 24 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ शेष के बिना 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी (18, 24 और 36) = 6

उदाहरण 2संख्या 12, 24, 36 और 42 . के लिए gcd ज्ञात कीजिए

आइए प्रत्येक संख्या का गुणनखंड करें। तब हम इन संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं।

संख्या 12 का गुणन

संख्या 42 . का गुणनखंड

हमें चार विस्तार मिले:

अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को सभी चार संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:

हम देखते हैं कि संख्या 12, 24, 36 और 42 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:

हमें 6 का उत्तर मिला। तो संख्या 6, 12, 24, 36 और 42 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये संख्याएँ बिना शेष के 6 से विभाज्य हैं:

जीसीडी(12, 24, 36 और 42) = 6

पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को शेषफल के बिना दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो वह इस संख्या का गुणज कहलाती है।

यह पता चला है कि एक बहु कई संख्याओं के लिए सामान्य हो सकता है। और अब हम दो संख्याओं के गुणज में रुचि लेंगे, जबकि यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।

परिभाषा। संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) एकतथा बी- एकतथा बी एकऔर संख्या बी.

परिभाषा में दो चर शामिल हैं एकतथा बी. आइए इन चरों के लिए किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक चर के बजाय एकसंख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब आइए परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) 9 तथा 12 - सबसे छोटी संख्या है जो का गुणज है 9 तथा 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के विभाज्य है 9 और नंबर पर 12 .

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो 9 और 12 से शेष के बिना विभाज्य है। इस एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है।

कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणकों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणकों में से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं और छोटी दोनों के लिए समान हो। आइए इस विधि को लागू करें।

सबसे पहले, आइए संख्या 9 के लिए पहला गुणज खोजें। 9 के गुणज खोजने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से बारी-बारी से गुणा करना होगा। आपको जो उत्तर मिलेंगे, वे संख्या 9 के गुणज होंगे। तो, चलो शुरू करो। गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा:

अब हम संख्या 12 के गुणज पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को सभी संख्याओं 1 से 12 को बारी-बारी से गुणा करते हैं।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 की संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
आइए इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें, और दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 को जोड़ें (अर्थात, हम कारकों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

प्रति कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ, एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।