प्रयोगात्मक डेटा के रैखिककरण की विधि। सामान्य रैखिककरण विधि

हार्मोनिक रैखिककरण की विधि, अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ, की स्थिरता और सटीकता की जांच करने की अनुमति देती है रैखिक प्रणाली, रैखिक प्रणालियों के लिए विकसित विधियों का उपयोग करना। विधि आत्म-दोलनों की उपस्थिति, साथ ही साथ उनकी आवृत्ति और आयाम को निर्धारित करना संभव बनाती है।

एक गैर-रेखीय प्रणाली को एक रैखिक और एक गैर-रैखिक भाग के संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है (चित्र 5)।

चावल। 5 एक गैर-रैखिक प्रणाली का आरेख

सिस्टम के गैर-रैखिक भाग का आउटपुट सिग्नल सामान्य मामलाअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

के रूप में निरूपित करें स्थानांतरण प्रकार्यरैखिक भाग। समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है

आइए हम उन स्थितियों का पता लगाएं जिनके तहत सिस्टम के रैखिक भाग के आउटपुट पर रूप के हार्मोनिक दोलन उत्पन्न होते हैं

इस मामले में, संकेत वाई (टी)गैर-रैखिक भाग भी एक आवधिक कार्य होगा, लेकिन एक साइनसॉइड से अलग होगा। इस फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है

इस अभिव्यक्ति में एक मैंतथा बी मैं- फूरियर गुणांक। सममित अरैखिकताओं के लिए एफ 0 =0.

सिस्टम के रैखिक भाग पर विधि द्वारा लागू की जाने वाली मुख्य शर्त निम्न-पास फ़िल्टर की स्थिति है। ऐसा माना जाता है कि रैखिक भागदोलनों का केवल पहला हार्मोनिक पास करता है। यह धारणा हमें (7.19) में उच्च हार्मोनिक्स को महत्वहीन मानने और सिग्नल के केवल पहले हार्मोनिक पर विचार करने के लिए खुद को प्रतिबंधित करने की अनुमति देती है। वाई (टी)।

तब व्यंजक (7.20) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

सिस्टम का पहला समीकरण (7.17) रूप लेता है

इस अभिव्यक्ति में

गैर-रैखिकता को बदलने का परिणाम एफ (एक्स, एसएक्स)अभिव्यक्ति

और हार्मोनिक रैखिकरण कहा जाता है। मात्रा क्यूतथा क्यू 1 हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक या केवल हार्मोनिक गुणांक कहलाते हैं। एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकताओं के लिए, आमतौर पर क्यू 1 =0 . विशिष्ट अरैखिकताओं के संगत हार्मोनिक गुणांकों के सूत्र परिशिष्टों में दिए गए हैं।

हार्मोनिक रेखीयकरण और साधारण रेखीयकरण के बीच मूलभूत अंतर यह है कि साधारण रैखिककरण के साथ, गैर-रेखीय विशेषता को एक निश्चित स्थिर ढलान के साथ एक सीधी रेखा से बदल दिया जाता है, और हार्मोनिक रैखिककरण के साथ, एक सीधी रेखा द्वारा, जिसका ढलान के आयाम पर निर्भर करता है अरेखीय तत्व का इनपुट संकेत।

स्व-दोलनों के आयाम और आवृत्ति को निर्धारित करने की विधि पर विचार करें।

एक)। (7.22) से प्राप्त निकाय के अभिलक्षणिक समीकरण में हम परिवर्तन करते हैं एस = जेऔर पाओ

2))। परिणामी अभिव्यक्ति से, हम वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर करते हैं, जो मिखाइलोव मानदंड के अनुसार, सिस्टम के दोलन स्थिरता सीमा पर होने से मेल खाती है।

• 3) इस प्रणाली का समाधान हार्मोनिक गुणांक की आवृत्ति और मान देता है। यदि ये मान वास्तविक और सकारात्मक हैं, तो सिस्टम का एक सीमा चक्र होता है। सीमा चक्र के आयाम को निर्धारित करने के लिए हार्मोनिक गुणांक के मूल्यों का उपयोग किया जा सकता है।
• 4). आम लक्षणसीमा चक्र की स्थिरता, अर्थात्। आत्म-दोलन का अस्तित्व, सीमा चक्र के आयाम और आवृत्ति के प्राप्त मूल्यों के लिए अंतिम हर्विट्ज़ निर्धारक के शून्य की समानता है। मिखाइलोव की स्थिरता मानदंड के आधार पर सीमा चक्र स्थिरता स्थिति का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

यदि यह असमानता संतुष्ट है, तो सीमा चक्र स्थिर है और ऊपर परिभाषित आयाम और आवृत्ति के साथ सिस्टम में आत्म-दोलन होते हैं। सूचकांक "*" का अर्थ है कि डेरिवेटिव की गणना पहले से ही की जाती है ज्ञात मूल्यहार्मोनिक गुणांक, आयाम और आवृत्ति।

उदाहरण। आइए मान लें कि विमान पिच कोण स्थिरीकरण प्रणाली में पहले से ही ऊपर माना जाता है, स्टीयरिंग गियर गैर-रैखिक है और इसके ब्लॉक आरेख में अंजीर में दिखाया गया रूप है। 7.6.

चित्र 6 एक गैर-रेखीय स्टीयरिंग ड्राइव का आरेख

आइए स्टीयरिंग ड्राइव की गति विशेषताओं की गैर-रैखिकता के निम्नलिखित पैरामीटर सेट करें: बी = 0.12, के 1 = टीजी = सी/बी = 6.7।इस गैर-रैखिकता के हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

सर्किट में गैर-रेखीय विशेषता को हार्मोनिक गुणांक के साथ बदलकर, हम स्टीयरिंग गियर का स्थानांतरण फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं

हम इस स्थानांतरण फ़ंक्शन को पिच कोण स्थिरीकरण प्रणाली के ब्लॉक आरेख में प्रतिस्थापित करते हैं और बंद सिस्टम के स्थानांतरण फ़ंक्शन को निर्धारित करते हैं

एक बंद प्रणाली के अभिलक्षणिक समीकरण में, हम परिवर्तन करते हैं एस = जेऔर वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करें।

सिस्टम के दूसरे समीकरण से, हम आवृत्ति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

गुणांकों के लिए पहले से परिभाषित व्यंजकों को यहाँ प्रतिस्थापित करना विशेषता समीकरण, उपलब्ध द्विघात समीकरणहार्मोनिक गुणांक के सापेक्ष, जिसे हल करते हुए, हम पाते हैं

इन मूल्यों से दो मामलों के लिए विशेषता समीकरण के सभी गुणांक की गणना करना और प्रत्येक मान के अनुरूप आवृत्तियों का निर्धारण करना संभव है क्यू (ए)।हम पाते हैं:

हार्मोनिक गुणांक और संबंधित आवृत्तियों के दोनों मान वास्तविक और सकारात्मक हैं। इसलिए, सिस्टम में दो सीमा चक्र हैं। सीमा चक्र आयाम के मान संख्यात्मक रूप से ऐसे मान का चयन करके निर्धारित किए जाते हैं जिस पर हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक का सूत्र पहले परिकलित एक के बराबर मान देता है। विचाराधीन मामले में, हम प्राप्त करते हैं

आइए अब हम सीमा चक्रों की स्थिरता का अनुमान लगाते हैं। हम मिखाइलोव मानदंड से प्राप्त असमानता का उपयोग करते हैं, जिसके लिए हम परिभाषित करते हैं

प्राप्त अभिव्यक्तियों में शामिल हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके गणना दर्शाती है कि पहली सीमा चक्र स्थिर नहीं है और यह तब होता है जब (0) 0.1166(6.7 0 ). यदि प्रारंभिक विचलन निर्दिष्ट एक से कम है, तो गैर-रेखीय तत्व के इनपुट पर प्रक्रिया कम हो जाती है (चित्र। 7. 7) और सिस्टम स्थिर है।

यदि पिच कोण का प्रारंभिक मान निर्दिष्ट मान से अधिक है, तो प्रक्रियाएं दूसरी सीमा चक्र में परिवर्तित हो जाती हैं, जो स्थिर है और इस प्रकार, सिस्टम में आत्म-दोलन होते हैं (चित्र 8)।

चावल। आठ

मॉडलिंग द्वारा यह निर्धारित किया जाता है कि स्थिर सीमा चक्र के आकर्षण का क्षेत्र लगभग भीतर होता है (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

एमएम की जटिलता को कम करने के लिए रैखिककरण सबसे आम तरीका है और यह आवेदन का आधार है रैखिक सिद्धांत.

किसी भी रैखिकरण का सार है अनुमानिततुल्यता की एक निश्चित स्थिति (मानदंड) के अनुसार कुछ रैखिक निर्भरता के साथ मूल गैर-रेखीय निर्भरता (गैर-रैखिकता) का प्रतिस्थापन। संभावित तरीकों में, सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला स्पर्शरेखा विधि(किसी दिए गए बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में रैखिककरण)। यह विधि परिवर्तित किए जा रहे संकेतों के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है और इसे समान रूप से सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है विभिन्नगैर-रैखिकता के प्रकार, जो एक-आयामी और बहुआयामी हो सकते हैं; जड़ताहीन (स्थिर) और गतिशील।

जड़त्वीय गैर-रैखिकताइनपुट मूल्यों के बीच एक कार्यात्मक संबंध स्थापित करें तुम(टी) और बाहर निकलें आप(टी) उसी वर्तमान समय में टीऔर या तो सेट किया जा सकता है स्पष्ट रूप से(सूत्र, ग्राफ, टेबल), या उलझाव से(बीजीय समीकरण)। ब्लॉक आरेखों पर वे मेल खाते हैं जड़त्वहीन(स्मृति के बिना) गैर-रैखिक लिंक.

गतिशील अरैखिकतागैर-रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा गणितीय रूप से वर्णित हैं और ब्लॉक आरेखों पर उनके अनुरूप हैं अरेखीय गतिशील लिंक. इस मामले में, आउटपुट मान आप(टी) वर्तमान समय में टीन केवल एक ही समय में इनपुट के मूल्यों पर निर्भर करते हैं, बल्कि डेरिवेटिव, इंटीग्रल या किसी अन्य मूल्य पर भी निर्भर करते हैं।

स्पर्शरेखा पद्धति का गणितीय आधार कुछ "रैखिककरण बिंदु" के एक छोटे से पड़ोस में टेलर श्रृंखला में एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन का विस्तार है, इसके बाद गैर-रैखिक शब्दों को अस्वीकार कर दिया जाता है जिसमें चर के विचलन की डिग्री (वृद्धि) होती है। पहले के ऊपर।

आइए हम बाद के सामान्यीकरणों के साथ विशेष मामलों में विधि के सार पर विचार करें।

1) चलो आप= एफ(तुम) - स्पष्ट रूप से दिया गया एक आयामीजड़त्वीय गैर-रैखिकता, किसी बिंदु के पड़ोस में चिकनी और निरंतर तुम=तुम*. यह मानते हुए तुम=तुम** डी तुम;आप=आप** डी आप, कहाँ पे आप*=एफ(तुम*), हम इस फ़ंक्शन के लिए टेलर श्रृंखला को फॉर्म में लिखते हैं:

छोटेपन के उच्च क्रम की शर्तों को छोड़ना, और केवल D . वाले शब्दों को छोड़ना तुमपहली डिग्री तक, हम लगभग समानता प्राप्त करते हैं

. (2)

यह अभिव्यक्ति लगभग संबंध का वर्णन करती है छोटावेतन वृद्धि डी आपऔर डी तुमजैसा रैखिकनिर्भरता और विचाराधीन मामले में रैखिकरण का परिणाम है। यहां प्रतियह है ज्यामितीय अर्थनिर्देशांक के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान का ढलान तुम=तुम*.

कब बहुआयामीगैर linearity आप=एफ(तुम), जब आप={यी}, एफ={एफ आई) तथा तुम={आप जी) सदिश हैं, इसी प्रकार हम प्राप्त करते हैं कि D आप=कडी तुम. यहां क={कश्मीर) एक मैट्रिक्स गुणांक है जिसके तत्व कश्मीरकार्यों के आंशिक व्युत्पन्न के मूल्यों के रूप में परिभाषित किया गया है एफ आईचर द्वारा आप जी"बिंदु" पर गणना तुम=आप*.

2. मान लीजिए जड़त्वहीन अरैखिकता दी गई है उलझाव सेका उपयोग करके बीजीय समीकरण एफ(आप,तुम)=0 . कुछ ज्ञात विशेष समाधान के एक छोटे से पड़ोस में इस गैर-रैखिकता को रैखिक करना आवश्यक है ( तुम*, आप*) इस धारणा के तहत कि सभी गैर-रैखिक कार्य एफ आईके हिस्से के रूप में एफइस पड़ोस में निरंतर और अलग-अलग हैं। इस वेक्टर फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने और लघुता के दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को त्यागने के बाद, हम प्राप्त करते हैं रैखिकपहला सन्निकटन समीकरण:

, (3)

जहां घ आप=आप–आप*; डी तुम=तुम–तुम*; - रैखिकरण बिंदु पर गणना किए गए आंशिक डेरिवेटिव के मैट्रिक्स।

3. चलो एक आयामी गतिशीलगैर-रैखिकता अंतर समीकरण "इनपुट-आउटपुट" द्वारा दी गई है एन-वें क्रम:

एफ(आप, आप (1) , …, आप (एन) , तुम, तुम (1) , …तुम (एम))=0. (4)

हम ज्ञात . के एक छोटे से पड़ोस में स्पर्शरेखा विधि द्वारा इस अरैखिकता को रैखिक करते हैं निजीइस समीकरण के समाधान आप*(टी) तदनुसार दिया गयाप्रवेश तुम*(टी) के संबंधित आदेशों का समय व्युत्पन्न आप*(टी) तथा तुम*(टी) भी जाना जाता है।

मान लेना फंक्शन एफअपने सभी तर्कों में निरंतर भिन्नता और ऊपर मानी गई सामान्य तकनीक का पालन करते हुए (एक श्रृंखला में विस्तार और केवल उन शब्दों को ध्यान में रखते हुए जो तर्कों की वृद्धि के संबंध में रैखिक हैं), हम लिखते हैं रैखिकएक गैर-रैखिक समीकरण के लिए पहला सन्निकटन समीकरण:

(5)

यहां प्रतीक (*) का अर्थ है कि आंशिक व्युत्पन्न चर के मूल्यों और विशेष समाधान के अनुरूप उनके डेरिवेटिव के लिए परिभाषित किए गए हैं ( आप*(टी), तुम*(टी))। सामान्य स्थिति में, उनके मान (समीकरण का गुणांक) समय पर निर्भर करेगा और रैखिक मॉडल होगा गैर स्थिर. लेकिन अगर विशेष समाधान मेल खाता है स्थिर मोड, तो ये गुणांक होंगे स्थायी.

संकेतन की सुविधा और संक्षिप्तता के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय देते हैं:

= एक मैं; = -बी मैं; डी आप (मैं) =डी मैंडी आप; डी तुम (मैं) =डी मैंडी तुम; डी=डी/डीटी.

फिर रेखीयकृतसमीकरण (5) एक संक्षिप्त ऑपरेटर रूप में लिखा गया है:

ए(डी)डी आप(टी)=बी(डी)डी तुम(टी),

कहाँ पे ए(डी) एक घात बहुपद है एनभेदभाव ऑपरेटर के संबंध में डी;

बी(डी) एक समान संकारक बहुपद है एम-वीं डिग्री।

4. चलो बहुआयामी गतिशीलगैर-रैखिकता फॉर्म की स्थिति के गैर-रेखीय समीकरणों द्वारा दी जाती है

(6)

इसी तरह पिछले मामलों के लिए, हम ज्ञात के एक छोटे से पड़ोस में स्पर्शरेखा विधि द्वारा इस गैर-रैखिकता को रैखिक करते हैं निजीसमाधान ( एक्स*, वाई*) तदनुसार दिया गयाप्रवेश आप*(टी) इस मामले में, पहले सन्निकटन के समीकरणों का निम्न रूप होगा:

(7)

कहाँ पे - उपयुक्त आकार के मैट्रिक्स। सामान्य स्थिति में उनके तत्व समय के कार्य होंगे, लेकिन यदि कोई विशेष समाधान से मेल खाता है स्थिरशासन, वे स्थायी होंगे।

आइए हम संपूर्ण एसीएस के एमएम के रेखीयकरण में स्पर्शरेखा की विधि के आवेदन पर समापन टिप्पणी करें, जो इंटरैक्टिंग बिल्डिंग ब्लॉक्स के विवरण का एक सेट है।

1) "संदर्भ मोड" (*), जिसके सापेक्ष रैखिककरण किया जाता है, की गणना पूरे सिस्टम के लिए इसकी पूर्ण (गैर-रैखिक) एमएम से की जाती है। गणना के लिए ग्राफिकल और न्यूमेरिकल (कंप्यूटर) दोनों तरीकों का इस्तेमाल किया जा सकता है। इस मामले में, सभी रैखिक समीकरणों और कार्यात्मक निर्भरता के गुणांक चुने हुए रैखिककरण बिंदुओं पर निर्भर करेंगे;

2) एमएम की सभी गैर-रेखीय निर्भरताएं शासन के एक छोटे से पड़ोस (*) में निरंतर और लगातार अलग-अलग (चिकनी) होनी चाहिए;

3) संदर्भ मोड में उनके मूल्यों से चर का विचलन पर्याप्त रूप से छोटा होना चाहिए; एसएआर और वाई के लिए, यह आवश्यकता नियंत्रण के लक्ष्य के अनुरूप है - उनके परिवर्तन के निर्धारित कानूनों के अनुसार नियंत्रित चर के मूल्यों का विनियमन;

4) के लिए रेखीय समीकरण MM के भाग के रूप में, रैखिकरण में सभी चरों के उनके विचलन (वृद्धि) द्वारा औपचारिक प्रतिस्थापन शामिल है;

5) एक मानक रूप में पूरे सिस्टम का एक रैखिक एमएम प्राप्त करने के लिए, उदाहरण के लिए, राज्य के समीकरणों के रूप में, पहले एमएम में प्रत्येक समीकरण को रैखिक करना चाहिए। यह एक गैर-रैखिक एमएम प्रणाली को इसके बाद के रैखिकरण के साथ एक मानक रूप में प्राप्त करने की कोशिश करने से कहीं अधिक सरल और तेज़ होगा;

6) स्पर्शरेखा विधि को लागू करने के लिए सभी शर्तों के अधीन, एक रैखिक एमएम के गुण एक गैर-रेखीय एमएम के स्थानीय गुणों का एक उद्देश्य विचार देते हैं छोटा पड़ोससंदर्भ मोड। इस तथ्य का ल्यपुनोव के प्रमेयों (पहली विधि) के रूप में एक कठोर गणितीय औचित्य है और इसके लिए सैद्धांतिक आधार है व्यावहारिक अनुप्रयोगरैखिक नियंत्रण सिद्धांत।

निर्भरता

अप्रत्यक्ष माप के परिणामों को गैर-रेखीय के साथ संसाधित करना

माप परिणामों की प्रस्तुति

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि प्रत्येक तर्क में गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों के लिए समान विश्वास सीमा हो सकती है, इन मामलों में अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि को निर्धारित करने का कार्य तीन चरणों में बांटा गया है:

ए) तर्कों की आंशिक गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटियों का योग;

बी) तर्कों की विशेष यादृच्छिक त्रुटियों का योग;

ग) त्रुटि के व्यवस्थित और यादृच्छिक घटकों को जोड़ना।

उसी की शर्त के तहत अप्रत्यक्ष माप की गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटि की विश्वास सीमा आत्मविश्वास का स्तरआंशिक त्रुटियां और उनके वर्दी वितरणदी गई सीमाओं के अंदर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (चिह्न की अनदेखी):

जहां आपऔसत मूल्य की गैर-बहिष्कृत व्यवस्थित त्रुटि की विश्वास सीमा है Xj-वें तर्क। तर्कों के बीच एक सहसंबंध की अनुपस्थिति में, अप्रत्यक्ष माप की यादृच्छिक त्रुटि के आरएमएस अनुमान की गणना की जाती है

कहाँ पे एस एक्स जे- माप परिणाम की यादृच्छिक त्रुटि का आरएमएस अनुमान Xj-वें तर्क।

पर सामान्य वितरणअप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की, त्रुटि के यादृच्छिक घटक की आत्मविश्वास सीमा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ पे टीपी- आत्मविश्वास की संभावना के साथ छात्र की मात्रा पीसाथ प्रभावी संख्यास्वतंत्रता का दर्जा के एफईएफ, सूत्र द्वारा छोटे नमूना आकारों के लिए निर्धारित:

बड़े संस्करणों के लिए, सूत्र द्वारा स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पाई जाती है

अप्रत्यक्ष के परिणाम की कुल त्रुटि की विश्वास सीमा

माप ऊपर उल्लिखित नियमों के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं।

अप्रत्यक्ष माप और उसकी त्रुटि के परिणाम के बिंदु अनुमान को निर्धारित करने के लिए दो तरीके हैं: रैखिककरण और कमी।

गैर-रैखिक निर्भरता और तर्कों की असंबद्ध माप त्रुटियों के साथ अप्रत्यक्ष माप के लिए, रैखिककरण विधि का उपयोग किया जाता है। रैखिककरण विधि इस तथ्य पर आधारित है कि माप त्रुटि मापा मूल्य से बहुत कम है, और इसलिए, औसत मूल्यों के करीब है क्सीतर्क, गैर-रेखीय कार्यात्मक निर्भरता को एक टेलर श्रृंखला में रैखिक और विस्तारित किया जाता है (उच्च क्रम की शर्तों को ध्यान में नहीं रखा जाता है)। कई यादृच्छिक तर्कों (जो माप और उनकी त्रुटियों के परिणाम हैं) के कार्य को रैखिक करके, कोई आमतौर पर माध्य के अनुमानों की गणना के लिए काफी सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है

फ़ंक्शन का मान और मानक विचलन। टेलर श्रृंखला में एक अरेखीय फलन के विस्तार का रूप है:

यदि शेष पद की उपेक्षा की जा सकती है तो रैखिककरण विधि स्वीकार्य है आर. अवशिष्ट सदस्य

उपेक्षित अगर

कहाँ पे एक्स एस- औसत मानक विचलनमाप परिणाम की यादृच्छिक त्रुटियां एक्स मैं-वें तर्क। समीकरण के दायीं ओर पहला पद है बिंदु लागतअप्रत्यक्ष मात्रा का सही मूल्य, जो प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त किया जाता है

अंकगणितीय साधनों की कार्यात्मक निर्भरता एक्स मैं, तर्क मान:

दूसरी पारी

अप्रत्यक्ष माप त्रुटि के घटकों का योग है, जिसे आंशिक त्रुटियां और आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है

प्रभाव गुणांक।

विचलन क्सीप्राप्त त्रुटि मानों से लिया जाना चाहिए और ऐसा है कि वे शेष अवधि के लिए अभिव्यक्ति को अधिकतम करते हैं आर. यदि अप्रत्यक्ष माप की आंशिक त्रुटियां एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, अर्थात, वे असंबंधित हैं, और तर्कों की त्रुटि की आत्मविश्वास सीमा समान संभावना के लिए जानी जाती है, तो सीमांत त्रुटि (चिह्न को ध्यान में रखे बिना) अप्रत्यक्ष माप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कार्यात्मक निर्भरता के आंशिक व्युत्पन्न के मान तर्कों के औसत मूल्यों पर निर्धारित होते हैं

यह विधि, जिसे अधिकतम-न्यूनतम कहा जाता है, अप्रत्यक्ष माप की त्रुटि के लिए काफी अधिक मूल्य देता है। अप्रत्यक्ष माप त्रुटि का अपेक्षाकृत सही अनुमान द्विघात योग की विधि द्वारा प्राप्त किया जाता है

कई मामलों में, अप्रत्यक्ष माप त्रुटि की गणना को पास करके बहुत सरल किया जाता है सापेक्ष त्रुटियां. ऐसा करने के लिए, लघुगणक लेने की तकनीक और कार्यात्मक निर्भरता के बाद के भेदभाव का उपयोग करें। जब अप्रत्यक्ष माप की सीमांत त्रुटि, अधिकतम-न्यूनतम विधि द्वारा प्राप्त की जाती है।

मूल गैर-रेखीय मॉडल का रैखिककरण एक विशिष्ट शोध समस्या के समाधान की सुविधा प्रदान करता है। इसलिए, जब भी संभव हो, मॉडलिंग और अनुसंधान को सरल बनाने के लिए, इसे प्रतिस्थापित करना वांछनीय है अरेखीय समीकरणअनुमानित रैखिक, जिसका समाधान पर्याप्त सटीकता के साथ मूल गैर-रेखीय प्रणाली की संपत्ति का वर्णन करता है। एक गैर-रैखिक मॉडल को एक रेखीय मॉडल से बदलने की प्रक्रिया को रेखीयकरण कहा जाता है।

यदि एक अंतर समीकरणवस्तु अपनी स्थिर विशेषता की गैर-रैखिकता के कारण गैर-रैखिक है, फिर समीकरण को रैखिक करने के लिए गैर-स्थिर स्थिर विशेषता को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है।

सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला छोटी विचलन विधि .

रैखिक समीकरणों को संकलित करने की तकनीक मौलिक रूप से सरल है। इस प्रक्रिया की गणितीय पुष्टि फ़ंक्शन की गैर-रैखिकता के प्रकार के लिए आवश्यकताओं में निहित है। रैखिककरण की स्वीकार्यता के लिए, यह पर्याप्त है कि, और मौजूद हैं और बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर हैं ( एक्स 0 , आप 0 , तुम 0)। फिर बिंदु के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला में विस्तार का उपयोग करके रैखिककरण किया जाता है ( एक्स 0 , आप 0 , तुम 0) और इस श्रृंखला के सभी गैर-रैखिक शब्दों को त्यागना। यह सहज रूप से स्पष्ट है कि टेलर श्रृंखला में विस्तार करके प्राप्त रैखिक मॉडल एक गैर-रेखीय संयंत्र में प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हो सकता है जो बिंदु के आसपास के चर में बड़े परिवर्तन से जुड़े नहीं हैं ( एक्स 0 , आप 0)। मॉडलिंग त्रुटि जितनी छोटी होती है, चर के विचलन उतने ही छोटे होते हैं।

इस प्रकार, गैर-रैखिक मॉडल के रैखिककरण का विचार यह है कि (4.42) के बजाय सरलीकृत गणितीय मॉडल, इस तथ्य के आधार पर कि सिस्टम में प्रक्रियाएं कुछ तथाकथित संदर्भ प्रक्षेपवक्र से थोड़ा विचलित होती हैं ( एक्स 0 ,तुम 0 ,आप 0) समीकरणों को संतुष्ट करना:

. (4.43)

तब हम एक सन्निकटन लिख सकते हैं रैखिक मॉडलइस व्यवस्था से विचलन में:

, (4.44)

उदाहरण 1.1. राज्य के समीकरण को रैखिक करें।

समाधान।हम इसके अनुरूप प्रक्षेपवक्र के पास राज्य के समीकरण को रैखिक करते हैं। इस समीकरण को हल करने से हमें प्राप्त होता है कि या तो (के लिए) या .

दूसरे मामले पर विचार करें (चूंकि पहला छोटा है):

.

.

विचलन में , रैखिक समीकरण का रूप है:

. (4.45)

यदि डिज़ाइन मोड स्थिर है, अर्थात। समय पर निर्भर नहीं करता है, तो (4.44) में गुणांक भी समय पर निर्भर नहीं करते हैं। ऐसी प्रणालियों को कहा जाता है स्थावर।विशेष रूप से अक्सर व्यवहार में समीकरणों द्वारा वर्णित स्थिर रैखिक निरंतर प्रणाली होती है:

यदि रेखीयकरण बड़ी त्रुटियों की ओर जाता है, तो एक ऐसा मॉडल चुनना आवश्यक है जो मापदंडों में रैखिक हो:

कहाँ पे एक- ऑर्डर मैट्रिक्स एन´ एन; यूएक अरेखीय वेक्टर फ़ंक्शन है।

इस वर्ग में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, बिलिनियर ऑब्जेक्ट:

एक्स"=एक 1 एक्स+एक 2 ग्यारहवीं+एक 3 तुम, कहाँ पे एक= (एक 1 , एक 2 , एक 3), यू= (एक्स, जू, यू).

यह उन प्रणालियों पर भी लागू होता है जो समय में असतत हैं।

पर

चावल। 2.2. एटीएस लिंक

ज्यादातर मामलों में, छोटे विचलन या विविधताओं की विधि का उपयोग करके गैर-रैखिक निर्भरताओं को रैखिक बनाना संभव है। इस पर विचार करने के लिए, आइए स्वचालित नियंत्रण प्रणाली (चित्र। 2.2) में एक निश्चित लिंक की ओर मुड़ें। इनपुट और आउटपुट मात्रा को एक्स 1 और एक्स 2 द्वारा दर्शाया जाता है, और बाहरी गड़बड़ी को एफ (टी) द्वारा दर्शाया जाता है।

आइए मान लें कि लिंक को फॉर्म के कुछ गैर-रैखिक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

इस तरह के एक समीकरण को संकलित करने के लिए, आपको तकनीकी विज्ञान की उपयुक्त शाखा (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, यांत्रिकी, हाइड्रोलिक्स, आदि) का उपयोग करने की आवश्यकता है जो इस विशेष प्रकार के उपकरण का अध्ययन करती है।

रैखिककरण का आधार यह धारणा है कि लिंक डायनेमिक्स समीकरण में शामिल सभी चर के विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हैं, क्योंकि यह पर्याप्त रूप से छोटे खंड पर है कि वक्रतापूर्ण विशेषता को एक सीधी रेखा खंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस मामले में चर के विचलन को उनके मूल्यों से स्थिर प्रक्रिया में या सिस्टम की एक निश्चित संतुलन स्थिति में मापा जाता है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, एक स्थिर प्रक्रिया को चर X 1 के एक स्थिर मान की विशेषता है, जिसे हम X 10 के रूप में निरूपित करते हैं। नियमन की प्रक्रिया में (चित्र। 2.3), चर X 1 में वे मान होंगे जहाँ
X 10 के स्थिर मान से चर X 1 के विचलन को दर्शाता है।

लेकिन

चावल। 2.3. लिंक विनियमन प्रक्रिया

अन्य चर के लिए कर अनुपात पेश किए जाते हैं। विचाराधीन मामले के लिए, हमारे पास: और
.

आगे, आप लिख सकते हैं:
;
तथा
, इसलिये
तथा

सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे माने जाते हैं। यह गणितीय धारणा समस्या के भौतिक अर्थ का खंडन नहीं करती है, क्योंकि स्वचालित नियंत्रण के विचार के लिए आवश्यक है कि नियंत्रण प्रक्रिया के दौरान नियंत्रित चर के सभी विचलन पर्याप्त रूप से छोटे हों।

लिंक की स्थिर स्थिति X 10 , X 20 और F 0 के मानों से निर्धारित होती है। तब स्थिर अवस्था के लिए समीकरण (2.1) को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

आइए टेलर श्रृंखला में समीकरण (2.1) के बाईं ओर का विस्तार करें

जहां सदस्य हैं उच्च आदेश. आंशिक व्युत्पन्न के लिए सूचकांक 0 का अर्थ है कि व्युत्पन्न लेने के बाद, सभी चरों के स्थिर मान को इसके व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए
.

सूत्र (2.3) में उच्च क्रम की शर्तों में वर्गों, घनों और विचलन की उच्च डिग्री के साथ-साथ विचलन के उत्पादों द्वारा गुणा किए गए उच्च आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। वे स्वयं विचलन की तुलना में एक उच्च क्रम से छोटे होंगे, जो पहले क्रम से छोटे हैं।

समीकरण (2.3) एक लिंक डायनेमिक्स समीकरण है, ठीक (2.1) की तरह, लेकिन एक अलग रूप में लिखा गया है। आइए हम इस समीकरण में उच्च क्रम के छोटे को छोड़ दें, जिसके बाद हम स्थिर अवस्था समीकरण (2.2) को समीकरण (2.3) से घटाते हैं। परिणामस्वरूप, हम छोटे विचलनों में निम्नलिखित अनुमानित लिंक गतिकी समीकरण प्राप्त करते हैं:

इस समीकरण में, सभी चर और उनके व्युत्पन्न रैखिक रूप से, यानी पहली डिग्री में प्रवेश करते हैं। सभी आंशिक व्युत्पन्न कुछ स्थिर गुणांक हैं, इस घटना में कि निरंतर मापदंडों वाले सिस्टम की जांच की जा रही है। यदि सिस्टम में चर पैरामीटर हैं, तो समीकरण (2.4) में चर गुणांक होंगे। आइए हम केवल अचर गुणांकों के मामले पर विचार करें।

समीकरण प्राप्त करना (2.4) किया गया रैखिककरण का लक्ष्य है। स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत में, सभी लिंक के समीकरणों को लिखने की प्रथा है ताकि आउटपुट मान समीकरण के बाईं ओर हो, और अन्य सभी शर्तें दाईं ओर स्थानांतरित हो जाएं। इस मामले में, समीकरण के सभी पदों को आउटपुट मान पर गुणांक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामस्वरूप, समीकरण (2.4) का रूप लेता है

जहां निम्नलिखित संकेतन पेश किया गया है

. (2.6)

इसके अलावा, सुविधा के लिए, सभी अंतर समीकरणों को अंकन के साथ ऑपरेटर रूप में लिखने की प्रथा है

तब अवकल समीकरण (2.5) को रूप में लिखा जा सकता है

इस रिकॉर्ड को लिंक डायनेमिक्स समीकरण का मानक रूप कहा जाएगा।

गुणांक टी 1 और टी 2 में समय - सेकंड का आयाम है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समीकरण (2.8) के सभी पदों का आयाम समान होना चाहिए, और उदाहरण के लिए, आयाम (या px 2) x 2 प्रति सेकंड के आयाम से ऋणात्मक प्रथम शक्ति तक भिन्न होता है (
) इसलिए, गुणांक T 1 और T 2 कहलाते हैं समय स्थिरांक .

गुणांक k 1 में इनपुट के आयाम से विभाजित आउटपुट मान का आयाम होता है। यह कहा जाता है संचरण अनुपात संपर्क। उन लिंक के लिए जिनके आउटपुट और इनपुट मानों का आयाम समान है, निम्नलिखित शब्दों का भी उपयोग किया जाता है: लाभ - एक लिंक के लिए जो एक एम्पलीफायर है या इसकी संरचना में एक एम्पलीफायर है; गियर अनुपात - गियरबॉक्स, वोल्टेज डिवाइडर, स्केलिंग डिवाइस आदि के लिए।

स्थानांतरण गुणांक लिंक के स्थिर गुणों की विशेषता है, क्योंकि स्थिर अवस्था में
. इसलिए, यह छोटे विचलन पर स्थिर विशेषता की स्थिरता को निर्धारित करता है। यदि हम लिंक की संपूर्ण वास्तविक स्थिर विशेषता को चित्रित करते हैं
, तो रैखिककरण देता है
या
. संचरण गुणांक k 1 ढलान की स्पर्शरेखा होगी उस बिंदु C पर स्पर्शरेखा (चित्र 2.3 देखें), जिससे छोटे विचलन x 1 और x 2 मापा जाता है।

यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि समीकरण का उपरोक्त रैखिककरण नियंत्रण प्रक्रियाओं के लिए मान्य है जो एबी विशेषता के ऐसे खंड को कैप्चर करता है, जिस पर टेंगेंट वक्र से थोड़ा अलग होता है।

इसके अलावा, रैखिककरण की एक और, चित्रमय विधि इस से अनुसरण करती है। यदि स्थिर विशेषता और बिंदु सी ज्ञात हैं, जो स्थिर स्थिति को निर्धारित करता है जिसके चारों ओर विनियमन प्रक्रिया होती है, तो लिंक समीकरण में स्थानांतरण गुणांक निर्भरता के अनुसार ड्राइंग से ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जाता है k 1 = tg ड्राइंग के पैमाने और आयाम x 2 को ध्यान में रखते हुए। कई मामलों में ग्राफिकल रेखीयकरण विधि अधिक सुविधाजनक हो जाता है और तेजी से लक्ष्य की ओर जाता है।

गुणांक k 2 का आयाम लाभ k के 1 गुना समय के आयाम के बराबर है। इसलिए, समीकरण (2.8) को प्राय: के रूप में लिखा जाता है

कहाँ पे
समय स्थिर है।

पी

चावल। 2.4. स्वतंत्र उत्तेजना मोटर

समय स्थिरांक टी 1, टी 2 और टी 3 लिंक के गतिशील गुणों को निर्धारित करते हैं। इस मुद्दे पर नीचे विस्तार से विचार किया जाएगा।

कारक k 3 बाह्य विक्षोभ के लिए लाभ है।

रैखिककरण के एक उदाहरण के रूप में, उत्तेजना सर्किट की तरफ से नियंत्रित एक इलेक्ट्रिक मोटर पर विचार करें (चित्र। 2.4)।

एक अंतर समीकरण खोजने के लिए जो उत्तेजना घुमावदार पर वोल्टेज वृद्धि के लिए गति वृद्धि से संबंधित है, हम उत्तेजना सर्किट में इलेक्ट्रोमोटिव बलों (ईएमएफ) के संतुलन के कानून, आर्मेचर सर्किट में ईएमएफ के संतुलन के कानून और कानून को लिखते हैं। मोटर शाफ्ट पर क्षणों का संतुलन:

;

.

दूसरे समीकरण में, सरलता के लिए, आर्मेचर परिपथ में स्व-प्रेरण ईएमएफ के संगत पद को छोड़ दिया जाता है।

इन सूत्रों में, आर बी और आर आई उत्तेजना सर्किट और आर्मेचर सर्किट के प्रतिरोध हैं; और - इन सर्किटों में धाराएं; यू वी और यू मैं इन सर्किटों पर लागू वोल्टेज हैं; वी उत्तेजना घुमाव के घुमावों की संख्या है; - चुंबकीय प्रवाह; Ω मोटर शाफ्ट के घूर्णन की कोणीय गति है; एम बाहरी ताकतों से प्रतिरोध का क्षण है, जे इंजन की जड़ता का कम क्षण है; सी ई और सी एम - आनुपातिकता के गुणांक।

आइए मान लें कि उत्तेजना वाइंडिंग पर लागू वोल्टेज में वृद्धि की उपस्थिति से पहले, एक स्थिर स्थिति थी, जिसके लिए समीकरण (2.10) निम्नानुसार लिखे जाएंगे:

(2.11)

यदि अब उत्तेजना वोल्टेज में वृद्धि होगी यू बी = यू बी0 + Δयू बी, फिर सिस्टम की स्थिति निर्धारित करने वाले सभी चर भी वृद्धि प्राप्त करेंगे। नतीजतन, हमारे पास होगा: = І В0 + ; = 0 + ; मैं मैं \u003d मैं I0 + मैं; = 0 + ।

हम इन मानों को (2.10) में प्रतिस्थापित करते हैं, उच्च-क्रम वाले छोटे को त्याग देते हैं और प्राप्त करते हैं:

(2.12)

समीकरणों (2.11) को समीकरणों (2.12) से घटाकर, हम विचलन के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

(2.13)

पर

चावल। 2.5. चुंबकीयकरण वक्र

इन समीकरणों ने प्रवाह वृद्धि और उत्तेजना वर्तमान वृद्धि के बीच आनुपातिकता का गुणांक पेश किया
विद्युत मोटर के चुंबकीयकरण वक्र से निर्धारित होता है (चित्र 2.5)।

सिस्टम का संयुक्त समाधान (2.13) देता है

स्थानांतरण गुणांक कहां है, ,

; (2.15)

उत्तेजना सर्किट का विद्युत चुम्बकीय समय स्थिरांक, s,

(2.16)

जहां एल बी = ए बी उत्तेजना सर्किट के आत्म-प्रेरण का गतिशील गुणांक है; इंजन का विद्युत चुम्बकीय समय स्थिरांक, s,

. (2.17)

यह अभिव्यक्तियों (2.15) - (2.17) से देखा जा सकता है कि विचाराधीन प्रणाली अनिवार्य रूप से गैर-रैखिक है, क्योंकि स्थानांतरण गुणांक और समय "स्थिर" वास्तव में स्थिर नहीं हैं। उन्हें केवल एक निश्चित मोड के लिए स्थिर माना जा सकता है, बशर्ते कि स्थिर-अवस्था के मूल्यों से सभी चर के विचलन छोटे हों।

एक दिलचस्प विशेष मामला है जब स्थिर अवस्था में U B0 = 0; मैं बी0 = 0; 0 = 0 और Ω 0 = 0. तब सूत्र (2.14) रूप लेता है

. (2.18)

इस मामले में, स्थैतिक विशेषता इंजन त्वरण में वृद्धि से संबंधित होगी
और उत्तेजना सर्किट में वोल्टेज वृद्धि।