डमी उदाहरणों के लिए विभेदक समीकरण। अंतर समीकरण ऑनलाइन

विभेदक समीकरणों का समाधान। हमारे लिए धन्यवाद ऑनलाइन सेवाआप किसी भी प्रकार और जटिलता के अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं: अमानवीय, सजातीय, गैर-रैखिक, रैखिक, पहला, दूसरा क्रम, वियोज्य चर के साथ या बिना, आदि। आपको विश्लेषणात्मक रूप में अवकल समीकरणों का हल मिलता है विस्तृत विवरण. बहुत से लोग रुचि रखते हैं: अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करना क्यों आवश्यक है? इस प्रकार के समीकरण गणित और भौतिकी में बहुत आम हैं, जहाँ एक विभेदक समीकरण की गणना के बिना कई समस्याओं को हल करना असंभव होगा। इसके अलावा, अर्थशास्त्र, चिकित्सा, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में अंतर समीकरण आम हैं। इस तरह के समीकरण को ऑनलाइन हल करने से आपके कार्यों में बहुत सुविधा होती है, इससे सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करना और स्वयं का परीक्षण करना संभव हो जाता है। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ। एक आधुनिक गणितीय सेवा साइट आपको किसी भी जटिलता के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में अवकल समीकरण होते हैं, और उनमें से प्रत्येक के अपने समाधान होते हैं। हमारी सेवा पर आप किसी भी आदेश और प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन पा सकते हैं। समाधान प्राप्त करने के लिए, हमारा सुझाव है कि आप प्रारंभिक डेटा भरें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। सेवा के संचालन में त्रुटियों को बाहर रखा गया है, इसलिए आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि आपको सही उत्तर मिला है। हमारी सेवा के साथ अंतर समीकरणों को हल करें। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, ऐसे समीकरण में, y फ़ंक्शन x चर का एक फ़ंक्शन होता है। लेकिन आप अपना स्वयं का चर पदनाम भी निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप अंतर समीकरण में y(t) निर्दिष्ट करते हैं, तो हमारी सेवा स्वचालित रूप से निर्धारित करेगी कि y t चर का एक कार्य है। संपूर्ण अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में मौजूद फलन के अवकलज के अधिकतम क्रम पर निर्भर करेगा। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है वांछित फलन ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने में मदद करेगी। समीकरण को हल करने में आपकी ओर से अधिक प्रयास नहीं करना पड़ता है। आपको बस अपने समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को आवश्यक क्षेत्रों में दर्ज करना होगा और "समाधान" बटन पर क्लिक करना होगा। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में प्रवेश करते समय, इसे एक एस्ट्रोफ़े के साथ निरूपित करना आवश्यक है। कुछ ही सेकंड में आपके पास होगा विस्तृत समाधानअंतर समीकरण। हमारी सर्विस बिल्कुल फ्री है। विभेदक समीकरणसाझा चर के साथ। यदि एक अवकल समीकरण में बाईं ओर एक व्यंजक है जो y पर निर्भर करता है, और दाईं ओर एक व्यंजक है जो x पर निर्भर करता है, तो ऐसे अवकल समीकरण को वियोज्य चरों के साथ कहा जाता है। बायीं ओर y का अवकलज हो सकता है, इस प्रकार के अवकल समीकरणों का हल y के फलन के रूप में होगा, जिसे समीकरण के दाहिने पक्ष के समाकलन द्वारा व्यक्त किया जाएगा। यदि बाईं ओर y के किसी फलन का अंतर है, तो समीकरण के दोनों भाग एकीकृत हो जाते हैं। जब एक अवकल समीकरण में चरों को अलग नहीं किया जाता है, तो उन्हें एक अलग अंतर समीकरण प्राप्त करने के लिए विभाजित करने की आवश्यकता होगी। रैखिक अंतर समीकरण। एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि फलन और उसके सभी अवकलज प्रथम अंश में हों। सामान्य फ़ॉर्मसमीकरण: y'+a1(x)y=f(x)। f(x) और a1(x) हैं निरंतर कार्यएक्स से इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का समाधान अलग-अलग चर के साथ दो अंतर समीकरणों के एकीकरण के लिए कम हो जाता है। विभेदक समीकरण का क्रम। अवकल समीकरण पहले, दूसरे, n-वें क्रम का हो सकता है। अवकल समीकरण का क्रम उसमें निहित उच्चतम अवकलज का क्रम निर्धारित करता है। हमारी सेवा में आप अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं पहले ऑनलाइन, दूसरा, तीसरा, आदि। गण। समीकरण का हल कोई भी फलन y=f(x) होगा, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर आपको एक सर्वसमिका प्राप्त होगी। अवकल समीकरण का हल निकालने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। कॉची समस्या। यदि, अवकल समीकरण के अलावा, प्रारंभिक स्थिति y(x0)=y0 निर्दिष्ट की जाती है, तो इसे कौची समस्या कहा जाता है। संकेतक y0 और x0 को समीकरण के समाधान में जोड़ा जाता है और एक मनमाना स्थिरांक C का मान निर्धारित किया जाता है, और फिर C के इस मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान होता है। यह कॉची समस्या का समाधान है। कॉची समस्या को सीमा स्थितियों के साथ समस्या भी कहा जाता है, जो भौतिकी और यांत्रिकी में बहुत आम है। आपके पास कॉची समस्या को सेट करने का अवसर भी है, यानी समीकरण के सभी संभावित समाधानों से, एक विशेष चुनें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

विभेदक समीकरण (DE) समीकरण है,
जहाँ स्वतंत्र चर हैं, y एक फलन है और आंशिक अवकलज हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

"साधारण" और "आंशिक व्युत्पन्न" शब्दों को छोड़ा जा सकता है यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है। निम्नलिखित में, साधारण अंतर समीकरणों पर विचार किया जाता है।

अंतर समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

यहाँ पहले क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहाँ चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को विभेदों के रूप में लिखा जाता है:

इस मामले में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहले मामले में, y x का एक फलन है। दूसरे मामले में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को एक ऐसे रूप में ला सकते हैं जिसमें व्युत्पन्न y′ स्पष्ट रूप से प्रवेश करता है।
इस समीकरण को dx से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.
चूँकि और , यह इस प्रकार है
.

अवकल समीकरणों का हल

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। अंतर समीकरणों के साथ, स्थिति और भी खराब है। समाधान के परिणामस्वरूप, आप प्राप्त कर सकते हैं:

• एक चर पर एक समारोह की स्पष्ट निर्भरता;

  एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन है y = u (एक्स), जिसे परिभाषित किया गया है, n गुना भिन्न है, और .

• . प्रकार के समीकरण के रूप में निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;

  अवकल समीकरण का समाकलन एक अंतर समीकरण का एक समाधान है जिसका एक निहित रूप है।

• प्रारंभिक कार्यों और उनसे अभिन्न के माध्यम से व्यक्त निर्भरता;

  द्विघात समीकरण का हल - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न के संयोजन के रूप में समाधान ढूंढ रहा है।

• समाधान को प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि अवकल समीकरणों के हल को समाकलों की गणना में घटा दिया जाता है, समाधान में स्थिरांकों का एक समुच्चय C 1, C 2, C 3, ... C n शामिल है। स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। अवकल समीकरण का आंशिक समाकलन स्थिरांक C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य समाकलन है।

सन्दर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, कोर्स ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन, एलकेआई, 2015।
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।

या तो पहले से ही व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया है, या उन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है .

सामान्य निर्णय विभेदक समीकरणअंतराल पर टाइप करें एक्स, जो दिया गया है, इस समानता के दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेकर पाया जा सकता है।

प्राप्त .

यदि हम अनिश्चित समाकल के गुणों को देखें, तो हमें वांछित सामान्य हल प्राप्त होता है:

वाई = एफ (एक्स) + सी,

कहाँ पे एफ (एक्स)- में से एक व्युत्पन्न कार्य एफ (एक्स)के बीच में एक्स, एक सेएक मनमाना स्थिरांक है।

कृपया ध्यान दें कि अधिकांश कार्यों में अंतराल एक्सइंगित न करें। इसका मतलब है कि सभी के लिए एक समाधान खोजना होगा। एक्स, जिसके लिए और वांछित कार्य आप, और मूल समीकरण समझ में आता है।

यदि आपको प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करने वाले अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान की गणना करने की आवश्यकता है y(x0) = y0, फिर सामान्य अभिन्न की गणना के बाद वाई = एफ (एक्स) + सी, स्थिरांक का मान निर्धारित करना अभी भी आवश्यक है सी = सी0प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करना। यानी एक स्थिरांक सी = सी0समीकरण से निर्धारित एफ (एक्स 0) + सी = वाई 0, और अवकल समीकरण का वांछित विशेष समाधान रूप लेगा:

वाई = एफ (एक्स) + सी0.

एक उदाहरण पर विचार करें:

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए, परिणाम की शुद्धता की जाँच कीजिए। आइए हम इस समीकरण का एक विशेष हल खोजें जो प्रारंभिक शर्त को पूरा करेगा।

समाधान:

दिए गए अवकल समीकरण को एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

.

हम इस अभिन्न को भागों द्वारा एकीकरण की विधि से लेते हैं:

उस।, अवकल समीकरण का एक सामान्य हल है।

आइए यह सुनिश्चित करने के लिए जांचें कि परिणाम सही है। ऐसा करने के लिए, हम उस समाधान को प्रतिस्थापित करते हैं जो हमें दिए गए समीकरण में मिला है:

.

अर्थात्, अत मूल समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:

इसलिए, अवकल समीकरण का सामान्य हल सही ढंग से निर्धारित किया गया था।

हमने जो हल खोजा है, वह प्रत्येक के लिए अवकल समीकरण का सामान्य हल है वैधतर्क मान एक्स.

यह ओडीई के एक विशेष समाधान की गणना करने के लिए बनी हुई है जो प्रारंभिक स्थिति को पूरा करेगी। दूसरे शब्दों में, स्थिरांक के मान की गणना करना आवश्यक है से, जिस पर समानता सत्य होगी:

.

.

फिर, प्रतिस्थापित करना सी = 2ओडीई के सामान्य समाधान में, हम अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है:

.

साधारण अंतर समीकरण समीकरण के 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है एफ (एक्स). यह परिवर्तन समतुल्य होगा यदि एफ (एक्स)किसी के लिए शून्य पर नहीं जाता एक्सअंतर समीकरण के एकीकरण के अंतराल से एक्स.

तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्थितियाँ होने की संभावना है एक्स ∈ एक्सकार्यों एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)एक साथ शून्य हो जाते हैं। समान मूल्यों के लिए एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल कोई फलन होता है आप, जो उनमें परिभाषित है, क्योंकि .

अगर तर्क के कुछ मूल्यों के लिए एक्स ∈ एक्सशर्त संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि इस मामले में ODE के पास कोई समाधान नहीं है।

अन्य सभी के लिए एक्सअंतराल से एक्सअवकल समीकरण का सामान्य हल रूपांतरित समीकरण से निर्धारित होता है।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

आइए हम ODE का सामान्य हल खोजें: .

समाधान।

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से यह स्पष्ट है कि कार्य प्राकृतिकगैर-ऋणात्मक तर्क मानों के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए व्यंजक का दायरा लॉग (एक्स+3)एक अंतराल है एक्स > -3 . इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण समझ में आता है एक्स > -3 . तर्क के इन मूल्यों के साथ, अभिव्यक्ति एक्स + 3गायब नहीं होता है, इसलिए कोई भी 2 भागों को विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में ओडीई को हल कर सकता है एक्स + 3.

हम पाते हैं .

अगला, हम व्युत्पन्न के संबंध में हल किए गए परिणामी अंतर समीकरण को एकीकृत करते हैं: . इस समाकल को लेने के लिए, हम अवकलन के चिह्न के नीचे समाकलन की विधि का प्रयोग करते हैं।

6.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर एक सूत्र को जोड़ने के रूप में एक कार्यात्मक निर्भरता को तुरंत स्थापित करना संभव नहीं होता है चरजो अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करता है। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और विभिन्न कोटि के इसके व्युत्पन्न से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर।

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई (एक्स)या केवल वाई,और इसके डेरिवेटिव हैं वाई", वाई"आदि।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: if आप= एक्स (टी), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके डेरिवेटिव हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है।

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्यों एफतथा एफहो सकता है कि इसमें कुछ तर्क न हों, लेकिन समीकरणों के विभेदक होने के लिए, एक व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।अवकल समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, एक्स 2 वाई"- आप= 0, वाई" + पाप एक्स= 0 प्रथम-क्रम समीकरण हैं, और वाई"+ 2 वाई"+ 5 आप= एक्सद्वितीय कोटि का समीकरण है।

अंतर समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। अगर एकीकरण कार्रवाई लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक।

6.2. पहला आदेश विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म पहला क्रम अंतर समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सतथा वाई,लेकिन आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को के रूप में लिखा जा सकता है

तब हमें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया पहला-क्रम अंतर समीकरण मिलता है।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य हल हलों का समुच्चय है , कहाँ पे सेएक मनमाना स्थिरांक है।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए ग्राफ को कहा जाता है अभिन्न वक्र।

एक मनमाना स्थिरांक देना सेविभिन्न मूल्यों, विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (एक्स 0, वाई 0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र पारित होना चाहिए, फिर, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का वह हल होता है जिसमें स्वेच्छ अचर नहीं होते हैं।

यदि एक एक सामान्य समाधान है, तो स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं से।हालत कहा जाता है आरंभिक दशा।

एक अवकल समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है पर बुलाया कॉची समस्या।क्या इस समस्या का हमेशा समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अवकल समीकरण में वाई"= एफ (एक्स, वाई)समारोह एफ (एक्स, वाई)और उसकी

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

केवल निर्णयसमीकरण जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है आप= एफ (एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियों को कहा जाता है विशेष।इन बिंदुओं पर टूटता है एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एकवचन बिंदु से गुजरते हैं, या कोई नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= 0 y के संबंध में अनुमत नहीं है, तो इसे कहा जाता है सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल इस बात की गारंटी देता है कि एक समाधान मौजूद है। चूँकि हल खोजने की कोई एकल विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि समाकलनीय हैं। वर्ग

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुज में एकीकृत,यदि इसके समाधान की खोज को कार्यों के एकीकरण तक सीमित कर दिया जाए।

6.2.1. वियोज्य चर के साथ पहले क्रम के अंतर समीकरण

परिभाषा।पहले क्रम के अंतर समीकरण को के साथ एक समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण का दायाँ पक्ष (6.5) दो फलनों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

पासिंग वेरिएबल्स
और समीकरण

फॉर्म (6.5) में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

मान लें कि , हम (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हम अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

टर्म को टर्म से इंटीग्रेट करते हुए, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। व्यंजक (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य समाकल है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से भाग देने पर, हम उन हलों को खो सकते हैं जिनके लिए, दरअसल, अगर पर

फिर स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1संतोषजनक समीकरण का हल खोजें

स्थि‍ति: आप= 6 पर एक्स= 2 (y(2) = 6).

समाधान।आइए बदलें पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को से गुणा करें

डीएक्स,चूंकि आगे एकीकरण में छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करके हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। हम एकीकृत करते हैं:

फिर ; पोटेंशियेटिंग करने पर हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

समाधान।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंत में हमें मिलता है आप= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चरों वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल खोजें

समाधान।मान लें कि , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

कहाँ पे

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें समाधान।हम समीकरण के दोनों भागों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें। तब हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।यह जानकर कि हमें क्या मिलेगा। खंड-

लिम चर। फिर

एकीकृत करना, हमें मिलता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित फलन आपस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - परोक्ष रूप से (सामान्य समाकलन)। भविष्य में, निर्णय का रूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें संतुष्टि देने वाला

स्थि‍ति वाई (ई)= 1.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करना डीएक्सऔर पर, हमें मिलता है

समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलित करने पर (दाईं ओर का समाकल भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त आप= 1 पर एक्स= इ. फिर

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें सेएक सामान्य समाधान में:

परिणामी व्यंजक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।

6.2.2 प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीययदि इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

हम एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय आपफिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2. कार्य के संदर्भ में तुमसमीकरण (6.7) रूप लेता है

यानी प्रतिस्थापन कम हो जाता है सजातीय समीकरणवियोज्य चर के साथ एक समीकरण के लिए।

3. समीकरण (6.8) को हल करने पर हम पहले u पाते हैं, और फिर आप= ux.

उदाहरण 1प्रश्न हल करें समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
फिर

आइए बदलें

डीएक्स से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर फिर

समीकरण के दोनों पक्षों को संगत चरों के संबंध में एकीकृत करने पर, हमारे पास है

या, पुराने चरों पर लौटने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें समाधान।होने देना फिर

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर चलते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें इस शर्त पर

समाधान।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का रूप है उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरणों का हल खोजें (1-9).

सजातीय अंतर समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर इसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पता लगाएं यदि यह ज्ञात है कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

समाधान।इस समय द्रव्यमान रा होने दें एक्स= एक्स (टी)जी, और तब रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ पे क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ पे

निर्धारण के लिए सीहम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं: .

फिर और इसीलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहाँ से और वांछित सूत्र

बैक्टीरिया के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के भीतर उनकी संख्या दोगुनी हो गई। समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या कितनी गुना बढ़ जाएगी?

समाधान।होने देना एक्स- इस समय बैक्टीरिया की संख्या टी।फिर शर्त के मुताबिक,

कहाँ पे क- आनुपातिकता का गुणांक।

यहाँ से इस शर्त से पता चलता है कि . माध्यम,

अतिरिक्त शर्त से . फिर

आवश्यक कार्य:

तो, अत टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का कार्य

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एकएक घंटे के भीतर दोगुना हो गया। निर्भरता खोजें

एक्स (टी)।

समाधान।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के अंतर समीकरण का रूप होता है

यहाँ से

परंतु . माध्यम, सी= एकऔर फिर

यह भी ज्ञात है कि

फलस्वरूप,

6.3. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

6.3.1. मूल अवधारणा

परिभाषा।दूसरा क्रम अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके प्रथम और द्वितीय अवकलज को जोड़ने वाला संबंध है।

विशेष मामलों में, समीकरण में x अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालांकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y होना चाहिए"। पर सामान्य मामलादूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत प्रपत्र में:

जैसा कि पहले क्रम के समीकरण के मामले में होता है, दूसरे क्रम के समीकरण का एक सामान्य और एक विशेष समाधान हो सकता है। सामान्य समाधान इस तरह दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर) कहा जाता है कॉची समस्या।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि अभिन्न वक्र खोजने की आवश्यकता है पर= वाई (एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग . है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ कांटे बैलदिया गया कोण। इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है यदि दाहिना भागसमीकरण (6.10), पूर्व-

असंतत है और के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है तुम तुम"शुरुआती बिंदु के कुछ पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए किसी विशेष समाधान में शामिल, सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र