किसी फ़ंक्शन का सामान्य अंतर। 24

व्याख्यान 10. समारोह अंतर। फर्मेट, रोल, लैग्रेंज और कॉची के प्रमेय।

1. समारोह अंतर

1.1. किसी फ़ंक्शन के अंतर की परिभाषा

से व्युत्पन्न की अवधारणा एक अन्य मौलिक अवधारणा से निकटता से संबंधित है गणितीय विश्लेषणफ़ंक्शन अंतर है।

परिभाषा 1. एक फ़ंक्शन y \u003d f (x), एक बिंदु x के कुछ पड़ोस में परिभाषित, एक बिंदु x पर अवकलनीय कहलाता है, यदि इस बिंदु पर इसकी वृद्धि होती है

वाई = एफ (एक्स + एक्स) - एफ (एक्स)

रूप है

वाई = ए एक्स + α(Δx) एक्स,

जहाँ A एक स्थिरांक है और फलन α(Δx) → 0 x → 0 के रूप में है।

मान लीजिए y = f (x) एक अवकलनीय फलन है, तो हम निम्नलिखित परिभाषा देते हैं।

परिभाषा 2. मुख्य रैखिक		भाग ए x	वेतन वृद्धि	फलन f(x)
बिंदु x पर फलन का अवकलन कहलाता है और इसे dy द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
इस तरह,
वाई = डाई + α(Δx) एक्स।
टिप्पणी 1. मान dy =		एक्स कहा जाता है	मुख्य लाइन भाग
वेतन वृद्धि y इस तथ्य के कारण कि वेतन वृद्धि का दूसरा भाग α(Δx)				छोटे के लिए x
x, A . से बहुत छोटा हो जाता है

कथन 1. एक फलन y = f (x) के लिए एक बिंदु x पर अवकलनीय होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न हो।

सबूत। जरुरत। मान लीजिए फलन f (x) एक बिंदु पर अवकलनीय है

एक्स + α(Δx) एक्स, के लिए

एक्स → 0. तब

ए + लिमα(Δx) = ए।

इसलिए, व्युत्पन्न f (x) मौजूद है और A के बराबर है।

पर्याप्तता। इसे अस्तित्व में रहने दें

एफ (एक्स), यानी, एक सीमा सीमा है

एफ '(एक्स)।

एफ (एक्स) + α(Δx),

वाई = एफ′ (एक्स)Δx + α(Δx) एक्स।

अंतिम समानता का अर्थ है कि फलन y = f (x) अवकलनीय है।

1.2. अंतर का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f (x) के बिंदु M (x, f (x)) (चित्र 1) के ग्राफ की स्पर्शरेखा l है। आइए हम दिखाते हैं कि dy खंड P Q का मान है। वास्तव में,

डाई = एफ ′ (एक्स)Δx = टीजी α एक्स =

"" ली

"" " "

" α

तो, बिंदु x पर फ़ंक्शन f (x) का अंतर डाई उस बिंदु पर स्पर्शरेखा l की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

1.3. डिफरेंशियल शेप इनवेरिएंस

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो

डीई = एफ′ (एक्स) डीएक्स।

आइए मान लें कि x = (t), जहां t एक स्वतंत्र चर है, y = f (ϕ(t))। फिर

डीई = (एफ (ϕ(टी))′ डीटी = एफ′ (एक्स)ϕ′ (टी) डीटी = एफ′ (एक्स) डीएक्स (ϕ′ (टी) डीटी = डीएक्स)।

इसलिए, इस तथ्य के बावजूद कि x एक स्वतंत्र चर नहीं है, अंतर का रूप नहीं बदला है। इस गुण को अवकलन के रूप का व्युत्क्रमण कहते हैं।

1.4. अनुमानित गणनाओं में अंतर का अनुप्रयोग

सूत्र y = dy + α(Δx) x से, α(Δx) x को छोड़कर, यह स्पष्ट है कि छोटे के लिए

वाई डाई = एफ ′ (एक्स)Δएक्स।

यहाँ से हमें मिलता है

एफ (एक्स + एक्स) - एफ (एक्स) ≈ एफ′ (एक्स)Δx,

एफ (एक्स + एक्स) ≈ एफ (एक्स) + एफ′ (एक्स)Δएक्स। (1) सूत्र (1) का प्रयोग अनुमानित गणनाओं में किया जाता है।

1.5. उच्च क्रम अंतर

परिभाषा के अनुसार, एक बिंदु x पर एक फ़ंक्शन y = f (x) का दूसरा अंतर उस बिंदु पर पहले अंतर का अंतर है, जिसे निरूपित किया जाता है

d2 y = d (dy).

आइए दूसरे अंतर की गणना करें:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(व्युत्पन्न (f (x)dx)′ की गणना करते समय, हमने ध्यान में रखा कि मान dx x पर निर्भर नहीं है और इसलिए, भेदभाव के दौरान स्थिर है)।

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन y = f (x) के क्रम n का अंतर पहला है

अंतर

अंतर से

यह समारोह, जो

द्वारा चिह्नित

dn y = d(dn−1 y)

डीएन वाई = एफ (एन) (एक्स) डीएक्सएन।

फलन y = arctg x का अंतर ज्ञात कीजिए।

समाधान। डाई = (आर्कटजी एक्स)′ डीएक्स =

1+x2

फलन v = e2t के प्रथम और द्वितीय कोटि के अंतर ज्ञात कीजिए।

समाधान। डीवी = 2e2t डीटी, डी 2 वी = 4e2t डीटी 2।

फलन y = 2x3 + 5x2 के इंक्रीमेंट और डिफरेंशियल की तुलना करें।

समाधान। हम देखतें है

5x2 =

10x)∆x + (6x + 5)∆x

डाई = (6x2 + 10x) डीएक्स।

वेतन वृद्धि के बीच अंतर

y और डिफरेंशियल डाई एक अपरिमित उच्चतर है

की तुलना में आदेश

x बराबर (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 ।

उदाहरण 4. एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमानित मान परिकलित करें जिसकी त्रिज्या 3.02 m है।

समाधान। आइए सूत्र S = πr2 का प्रयोग करें। r = 3, r = 0.02 सेट करना, हमारे पास है

एस डीएस = 2πr आर = 2π 3 0.02 = 0.12π।

इसलिए, एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुमानित मान 9π + 0, 12π = 9, 12π . है

28, 66 (एम 2)।

उदाहरण 5. 0.001 की सटीकता के साथ आर्क्सिन 0.51 के अनुमानित मूल्य की गणना करें। समाधान। फलन y = arcsin x पर विचार करें। माना x = 0.5 , x = 0.01 और

फॉर्मूला लागू करना (1)

x) ≈ आर्कसिन x + (आर्कसिन x)′

(आर्कसिनक्स)′

आर्कसिन 0.5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

उदाहरण 6. लगभग 3 . की गणना करें

0.0001 की सटीकता के साथ।

समाधान। फलन पर विचार करें y = 3

और x = 8 लगाएं,

एक्स = 0, 01. इसी तरह

सूत्र द्वारा (1)

(√ 3x)′ =

√3

एक्स + एक्स ≈√ 3 एक्स + (√ 3 एक्स)′ एक्स,

3√ 3 64

0.01 = 2 + 3 4 0.01 2.0008।

पी 8, 01 ≈√ 8 +

2. फ़र्मेट, रोले, लैग्रेंज और कॉची के प्रमेय

परिभाषा 3. यह कहा जाता है कि फलन y = f (x) का बिंदु α . पर है (या पहुँचता है) स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम) यदि बिंदु α का पड़ोस U (α) इस प्रकार हो कि सभी x U (α) के लिए:

एफ (α) ≥ एफ (एक्स) (एफ (α) ≤ एफ (एक्स))।

स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम सामान्य नाम से एकजुट होते हैं

स्थानीय चरम।

वह फलन जिसका ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 4 का स्थानीय अधिकतम बिंदु β, β1 और स्थानीय न्यूनतम बिंदु α, α1 पर है।

कथन 2. (Fermat) मान लें कि फलन y = f (x) एक बिंदु α पर अवकलनीय है और इस बिंदु पर एक स्थानीय चरम है। फिर च (α) = 0।

फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण के पीछे का विचार इस प्रकार है। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, f (x) का बिंदु α पर स्थानीय न्यूनतम है। परिभाषा के अनुसार, f (α) संबंध के x → 0 के रूप में सीमा है

	एफ (α + एक्स) - एफ (α)
लेकिन पर्याप्त रूप से छोटे (पूर्ण मान में) x . के लिए
	एफ (α + एक्स) - एफ (α) ≥ 0।
इसलिए, ऐसे . के साथ	एक्स हमें मिलता है
इसलिए यह इस प्रकार है कि
	f (α) = lim g(Δx) = 0.
पूरा सबूत खुद करो।
विवरण 3. (रोल)	अगर y = f(x) निरंतर है			द्वारा अवकलनीय
(ए, बी) और एफ (ए) = एफ (बी), तो एक बिंदु α (ए, बी) मौजूद है				कि एफ (α) = 0।

सबूत। एक खंड पर निरंतर होने वाले कार्यों की संपत्ति से, ऐसे बिंदु हैं x1, x2 जैसे कि

चरम प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार, f (x) बिंदु α पर अवकलनीय है। Fermat के प्रमेय से, f (α) = 0. प्रमेय सिद्ध होता है।

रोले के प्रमेय का एक सरल है ज्यामितीय अर्थ(चित्र 5): यदि वक्र y = f (x) की चरम कोटि बराबर हैं, तो वक्र y = f (x) पर एक बिंदु होता है जिस पर वक्र की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

सबूत। ध्यान दें कि जी (ए) = 6 जी (बी)। वास्तव में, अन्यथा फलन g(x) रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करेगा। इसलिए, एक बिंदु β (a, b) ऐसा होगा कि g′ (β) = 0. लेकिन यह प्रमेय की परिकल्पना का खंडन करता है।

निम्नलिखित सहायक कार्य पर विचार करें:

एफ (एक्स) = एफ (एक्स) - एफ (ए) - एफ (बी) - एफ (ए) (जी (एक्स) - जी (ए))। जी (बी) - जी (ए)

फलन F (x) निरंतर है,				(ए, बी) पर अवकलनीय है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है
क्या'	एफ (ए) = एफ (बी) = 0। इसलिए, रोले के प्रमेय द्वारा, एक बिंदु α (ए, बी) ऐसा है कि
एफ (α) = 0, यानी।
	f′(α)								जी′ (α) = 0।
			- जी (बी)
यह संकेत करता है
								f′(α)
								जी′ (α)

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कथन 5. (लैग्रेंज) यदि y = f (x) निरंतर है, (a, b) पर अवकलनीय है, तो α (a, b) ऐसा है कि

एफए (α)।

सबूत। लैग्रेंज प्रमेय सीधे कॉची प्रमेय से g(x) = . के लिए अनुसरण करता है

ज्यामितीय रूप से, लैग्रेंज के प्रमेय का अर्थ है कि वक्र पर y = f (x) बिंदुओं के बीच

ए और बी, एक ऐसा बिंदु सी है, जिस पर टेंगेंट जीवा एबी के समानांतर है। आप

इस खंड पर रोले का प्रमेय

प्रदर्शन किया। सी मान

ठानना

समीकरण

एफ ′ (एक्स) = 2x - 6 = 0, यानी सी = 3।

एक बिंदु खोजें

एम, जिसमें

उदाहरण 8. एक चाप पर

AB वक्र y = 2x - x

जीवा के समानांतर स्पर्शरेखा

समाधान। फलन y = 2x - x

सभी मूल्यों के लिए सतत और अवकलनीय है

एक्स। लैग्रेंज की प्रमेय के अनुसार, दो मानों के बीच a = 1

बी = 3 मान मौजूद है

x = c समानता को संतुष्ट करता है y(b) - y(a) = (b - a) y′ (c), जहां y′ = 2 − 2x। संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

y(3) - y(1) = (3 - 1) y (सी),

(2 3 - 32) - (2 1 - 12) = (3 - 1) (2 - 2c),

इसलिए सी = 2, वाई (2) = 0।

इस प्रकार, बिंदु M के निर्देशांक (2; 0) हैं।

उदाहरण 9. पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिए गए वक्र के चाप AB पर

x = t2 , y = t3 , बिंदु ज्ञात करें

M जिसमें स्पर्शरेखा जीवा AB के समांतर है यदि

अंक ए और बी टी = 1 और टी = 3 के मूल्यों के अनुरूप हैं।

समाधान। जीवा AB का ढाल है

और ढलान कारक

बिंदु M पर स्पर्शरेखा (के लिए

टी = सी) is

वाई'

(सी) / एक्स′

x′ = 2t,

y′ = 3t2। के लिये

कॉची प्रमेय द्वारा c की परिभाषा से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

yt′ (सी)

xt′ (सी)

यानी सी = 13/6।

पाया गया मान c असमानता को संतुष्ट करता है 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

अटूट रूप से जुड़े होने के कारण, मानव वैज्ञानिक और तकनीकी गतिविधि की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी समस्याओं को हल करने में दोनों का सक्रिय रूप से कई शताब्दियों तक उपयोग किया गया है।

अंतर की अवधारणा का उद्भव

पहली बार उन्होंने समझाया कि अंतर क्या है, अंतर कैलकुलस के संस्थापकों में से एक (आइजैक न्यूटन के साथ), प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़। इससे पहले, गणितज्ञ 17 कला। किसी भी ज्ञात फ़ंक्शन के कुछ इनफिनिटिमल "अविभाज्य" भाग के एक बहुत ही अस्पष्ट और अस्पष्ट विचार का उपयोग किया, जो एक बहुत ही छोटे स्थिर मान का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन शून्य के बराबर नहीं है, जिससे कम फ़ंक्शन के मान बस नहीं हो सकते। यहां से फ़ंक्शन के तर्कों के अनंतिम वेतन वृद्धि की अवधारणा की शुरूआत के लिए केवल एक कदम था और बाद के डेरिवेटिव के माध्यम से व्यक्त किए गए कार्यों के संबंधित वृद्धि। और यह कदम उपरोक्त दो महान वैज्ञानिकों द्वारा लगभग एक साथ उठाया गया था।

तत्काल हल करने की आवश्यकता के आधार पर व्यावहारिक कार्ययांत्रिकी, जिसे तेजी से विकासशील उद्योग और प्रौद्योगिकी ने विज्ञान के सामने रखा, न्यूटन और लाइबनिज ने बनाया सामान्य तरीकेकार्यों के परिवर्तन की दर का पता लगाना (मुख्य रूप से एक ज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ चलने वाले शरीर की यांत्रिक गति के संबंध में), जिसके कारण इस तरह की अवधारणाओं को एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और अंतर के रूप में पेश किया गया, और इसे हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी मिला। व्युत्क्रम समस्या, ज्ञात (चर) गति से तय की गई दूरी का पता कैसे लगाया जाए, जिसके कारण एक अभिन्न की अवधारणा हुई।

लाइबनिज़ और न्यूटन के कार्यों में, पहली बार, यह विचार सामने आया कि अंतर y के कार्यों की वृद्धि के मुख्य भाग हैं, जो तर्क x के वेतन वृद्धि के समानुपाती हैं, जिन्हें मूल्यों की गणना के लिए सफलतापूर्वक लागू किया जा सकता है बाद वाला। दूसरे शब्दों में, उन्होंने पाया कि किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को किसी भी बिंदु पर (इसकी परिभाषा के डोमेन के भीतर) व्युत्पन्न के रूप में 0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि Δx से बहुत तेज है।

गणितीय विश्लेषण के संस्थापकों के अनुसार, किसी भी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए अभिव्यक्ति में अंतर केवल पहला शब्द है। अभी भी अनुक्रमों की सीमा की स्पष्ट रूप से तैयार की गई अवधारणा नहीं होने के कारण, वे सहज रूप से समझ गए थे कि अंतर का मान →0 - Δу/Δх→ y"(x) के रूप में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए जाता है।

न्यूटन के विपरीत, जो मुख्य रूप से एक भौतिक विज्ञानी थे, और गणितीय उपकरण को मानते थे सहायक उपकरणभौतिक समस्याओं के अध्ययन के लिए, लीबनिज़ ने स्वयं इस टूलकिट पर अधिक ध्यान दिया, जिसमें गणितीय मात्राओं के लिए दृश्य और समझने योग्य संकेतन की एक प्रणाली शामिल है। यह वह था जिसने फ़ंक्शन dy \u003d y "(x) dx, तर्क dx और उनके अनुपात y" (x) \u003d dy / dx के रूप में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अंतर के लिए आम तौर पर स्वीकृत संकेतन का प्रस्ताव दिया था। .

आधुनिक परिभाषा

आधुनिक गणित के संदर्भ में अंतर क्या है? यह वेतन वृद्धि की अवधारणा से निकटता से संबंधित है चर. यदि चर y पहले मान y = y 1 और फिर y = y 2 लेता है, तो अंतर y 2 y 1 को y की वृद्धि कहा जाता है।

वृद्धि सकारात्मक हो सकती है। नकारात्मक और शून्य के बराबर। शब्द "वृद्धि" Δ द्वारा निरूपित किया जाता है, संकेतन y ("डेल्टा y" पढ़ें) y की वृद्धि को दर्शाता है। तो у = y 2 y 1 ।

यदि एक मनमाना फलन y = f (x) के मान Δу को Δу = A + α के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ A की Δх पर कोई निर्भरता नहीं है, अर्थात दिए गए x के लिए A = const, और पद α इसका झुकाव है x से भी तेज़, फिर x के समानुपाती पहला ("मुख्य") शब्द y \u003d f (x) के लिए अंतर है, जिसे dy या df (x) द्वारा दर्शाया गया है (पढ़ें "de y", "de ef from x ")। इसलिए, अंतर x के संबंध में कार्यों की वृद्धि के "मुख्य" रैखिक घटक हैं।

यांत्रिक व्याख्या

चलो s \u003d f (t) - एक सीधी रेखा से चलने की दूरी प्रारंभिक स्थिति(टी - यात्रा का समय)। वृद्धि s समय अंतराल t में बिंदु का पथ है, और अंतर ds = f "(t) t वह पथ है जिस पर बिंदु उसी समय t में यात्रा करता, यदि वह गति f" (t) रखता। ) समय t तक पहुंच गया। एक अपरिमित रूप से छोटे t के लिए, काल्पनिक पथ ds वास्तविक s से एक अपरिमित मान से भिन्न होता है, जिसका Δt के संबंध में उच्च क्रम होता है। यदि समय t पर गति शून्य के बराबर नहीं है, तो ds बिंदु के छोटे विस्थापन का अनुमानित मान देता है।

ज्यामितीय व्याख्या

मान लीजिए कि रेखा L आलेख y = f(x) है। फिर x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(नीचे चित्र देखें)। स्पर्शरेखा MN खंड Δy को दो भागों, QN और NM में विभाजित करती है"। पहला Δх के समानुपाती है और QN = MQ∙tg (कोण QMN) = Δх f "(x) के बराबर है, अर्थात QN अंतर डाई है।

दूसरा भाग NM" у dy का अंतर देता है, →0 NM की लंबाई" तर्क की वृद्धि से भी तेजी से घटती है, अर्थात इसके छोटेपन का क्रम Δх की तुलना में अधिक है। विचाराधीन मामले में, f "(x) 0 (स्पर्शरेखा OX के समानांतर नहीं है) के लिए, खंड QM" और QN समतुल्य हैं; दूसरे शब्दों में, NM" कुल वृद्धि у = QM की तुलना में तेजी से घटता है (इसकी छोटीता का क्रम अधिक है)। यह आंकड़े में देखा जा सकता है (जैसा कि एम "एम के करीब पहुंचता है, खंड एनएम" खंड क्यूएम का एक छोटा प्रतिशत बनाता है)।

अतः, आलेखीय रूप से, एक स्वेच्छ फलन का अवकलन उसकी स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि के परिमाण के बराबर होता है।

व्युत्पन्न और अंतर

फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए अभिव्यक्ति के पहले पद में गुणांक ए इसके व्युत्पन्न f "(x) के मूल्य के बराबर है। इस प्रकार, निम्नलिखित संबंध होता है - dy \u003d f" (x) x, या df (एक्स) \u003d एफ "(एक्स) x।

यह ज्ञात है कि स्वतंत्र तर्क की वृद्धि इसके अंतर Δх = dx के बराबर है। तदनुसार, आप लिख सकते हैं: f "(x) dx \u003d dy.

ढूँढना (कभी-कभी "समाधान" कहा जाता है) अंतर को उसी नियमों के अनुसार किया जाता है जैसे डेरिवेटिव के लिए। उनकी सूची नीचे दी गई है।

क्या अधिक सार्वभौमिक है: तर्क की वृद्धि या उसके अंतर

यहां कुछ स्पष्टीकरण देना आवश्यक है। मान f "(x) Δx द्वारा प्रतिनिधित्व संभव है जब x को एक तर्क के रूप में माना जाता है। लेकिन फ़ंक्शन जटिल हो सकता है, जिसमें x कुछ तर्क t का कार्य हो सकता है। फिर अभिव्यक्ति द्वारा अंतर का प्रतिनिधित्व f "(x) x, एक नियम के रूप में, असंभव है; एक रैखिक निर्भरता x = at + b के मामले को छोड़कर।

सूत्र f "(x) dx \u003d dy के लिए, फिर एक स्वतंत्र तर्क x (तब dx \u003d Δx) के मामले में, और t पर x की पैरामीट्रिक निर्भरता के मामले में, यह एक अंतर का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 x x, y = x 2 के लिए इसके अंतर को दर्शाता है जब x एक तर्क है। आइए अब x= t 2 सेट करें और t को एक तर्क के रूप में लें। तब y = x 2 = t 4 ।

यह व्यंजक t के समानुपाती नहीं है और इसलिए अब 2xΔх अंतर नहीं है। यह समीकरण y = x 2 = t 4 से ज्ञात किया जा सकता है। यह dy=4t 3 Δt के बराबर हो जाता है।

यदि हम व्यंजक 2xdx लेते हैं, तो यह किसी भी तर्क t के लिए अंतर y = x 2 का प्रतिनिधित्व करता है। वास्तव में, x= t 2 पर हमें dx = 2tΔt प्राप्त होता है।

इसका अर्थ यह है कि 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 t, अर्थात्, दो भिन्न चरों के पदों में लिखे गए अवकलनों के व्यंजक संपाती होते हैं।

वेतन वृद्धि को विभेदकों से बदलना

यदि f "(x) 0, तो у और dy समतुल्य हैं (Δх→0 के लिए); यदि f "(x) = 0 (जिसका अर्थ है dy = 0), वे समतुल्य नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, यदि y \u003d x 2, तो y \u003d (x + Δx) 2 x 2 \u003d 2xΔx + x 2, और डाई \u003d 2xΔx। यदि x=3, तो हमारे पास Δу = 6Δх + Δх 2 और dy = 6Δх है, जो 2 →0 के कारण समतुल्य हैं, x=0 पर मान Δу = Δх 2 और dy=0 समतुल्य नहीं हैं।

यह तथ्य, अंतर की सरल संरचना (यानी x के संबंध में रैखिकता) के साथ, अक्सर अनुमानित गणना में उपयोग किया जाता है, यह मानते हुए कि y dy छोटे Δx के लिए है। किसी फ़ंक्शन का अंतर ढूँढना आमतौर पर गणना करने से आसान होता है सही मूल्यवेतन वृद्धि।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक धातु घन है जिसका किनारा x = 10.00 सेमी है। गर्म होने पर, किनारे Δx = 0.001 सेमी लंबा हो जाता है। घन का आयतन V कितना बढ़ गया? हमारे पास वी \u003d x 2 है, ताकि dV \u003d 3x 2 x \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (सेमी 3)। आयतन ΔV में वृद्धि अंतर dV के बराबर है, इसलिए ΔV = 3 सेमी 3। एक पूर्ण गणना ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 देगी। लेकिन इस परिणाम में, पहले को छोड़कर सभी आंकड़े अविश्वसनीय हैं; तो, वैसे भी, आपको इसे 3 सेमी 3 तक गोल करने की आवश्यकता है।

यह स्पष्ट है कि ऐसा दृष्टिकोण तभी उपयोगी होता है जब शुरू की गई त्रुटि की भयावहता का अनुमान लगाना संभव हो।

फंक्शन डिफरेंशियल: उदाहरण

आइए व्युत्पन्न ज्ञात किए बिना फ़ंक्शन y = x 3 के अंतर को खोजने का प्रयास करें। आइए तर्क को बढ़ाते हैं और у को परिभाषित करते हैं।

y \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3)।

यहाँ गुणांक A= 3x 2 Δх पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए पहला पद Δх के समानुपाती है, जबकि दूसरा पद 3xΔх 2 + 3 Δх→0 पर तर्क के बढ़ने की तुलना में तेजी से घटता है। इसलिए, पद 3x 2 x अंतर y = x 3 है:

डाई \u003d 3x 2 x \u003d 3x 2 dx या d (x 3) \u003d 3x 2 dx।

इस मामले में, डी(एक्स 3) / डीएक्स \u003d 3x 2।

आइए अब हम फलन y = 1/x का व्युत्पन्न उसके अवकलज के रूप में ज्ञात करें। तब d(1/x) / dx = 1/x 2 । इसलिए, dy = /х 2 ।

मूल बीजीय फलनों के अंतर नीचे दिए गए हैं।

अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना

x=a के लिए फलन f (x), साथ ही इसके व्युत्पन्न f "(x) की गणना करना अक्सर मुश्किल नहीं होता है, लेकिन बिंदु x=a के आसपास के क्षेत्र में ऐसा करना आसान नहीं होता है। तब अनुमानित अभिव्यक्ति बचाव के लिए आती है

एफ (ए + Δх) ≈ एफ "(ए) Δх + एफ (ए)।

यह छोटे वेतन वृद्धि पर फ़ंक्शन का अनुमानित मान देता है इसके अंतर f "(a)Δх के माध्यम से।

इसलिए, यह सूत्र लंबाई के एक निश्चित खंड के अंत बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए अनुमानित अभिव्यक्ति देता है x इस खंड के शुरुआती बिंदु पर इसके मूल्य के योग के रूप में (x=a) और एक ही प्रारंभिक बिंदु पर अंतर। फ़ंक्शन के मान को निर्धारित करने की इस पद्धति की त्रुटि को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

हालांकि, एक्स = ए + Δх के लिए फ़ंक्शन के मान के लिए सटीक अभिव्यक्ति भी ज्ञात है, परिमित वृद्धि के लिए सूत्र द्वारा दिया गया है (या, दूसरे शब्दों में, लैग्रेंज फॉर्मूला)

एफ (ए + Δх) ≈ एफ "(ξ) Δх + एफ (ए),

जहां बिंदु x = a + x = a से x = a + x तक के खंड पर है, हालांकि इसकी सटीक स्थिति अज्ञात है। सटीक सूत्र अनुमानित सूत्र की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव बनाता है। यदि हम लैग्रेंज सूत्र में ξ = / 2 डालते हैं, तो हालांकि यह सटीक होना बंद कर देता है, यह आमतौर पर अंतर के माध्यम से मूल अभिव्यक्ति की तुलना में बहुत बेहतर सन्निकटन देता है।

डिफरेंशियल लागू करके सूत्रों की त्रुटि का अनुमान लगाना

सिद्धांत रूप में, वे गलत हैं, और माप डेटा में संबंधित त्रुटियों का परिचय देते हैं। उन्हें सीमांत या, संक्षेप में, सीमांत त्रुटि की विशेषता है - एक सकारात्मक संख्या, स्पष्ट रूप से निरपेक्ष मूल्य में इस त्रुटि से अधिक (या कम से कम इसके बराबर)। मापे गए मान के निरपेक्ष मान द्वारा सीमा को इसके विभाजन का भागफल कहा जाता है।

मान लें कि फ़ंक्शन y की गणना के लिए सटीक सूत्र y= f (x) का उपयोग किया जाता है, लेकिन x का मान माप का परिणाम है और इसलिए y में एक त्रुटि का परिचय देता है। फिर, सीमा ज्ञात करने के लिए पूर्ण त्रुटिकार्य y, सूत्र का उपयोग करें

‌‌‌‌Δу│≈│‌‌‌डी│=│ f "(x)││Δх│,

जहां तर्क की सीमांत त्रुटि है। मान ‌‌Δ‌Δу│ को पूर्णांकित किया जाना चाहिए, क्योंकि अंतर की गणना द्वारा वेतन वृद्धि की गणना का बहुत प्रतिस्थापन गलत है।

डिफरेंशियल ... कुछ के लिए यह एक खूबसूरत दूर है, और दूसरों के लिए - गणित से जुड़ा एक समझ से बाहर का शब्द। लेकिन अगर यह आपका कठोर वर्तमान है, तो हमारा लेख आपको यह सीखने में मदद करेगा कि अंतर को "तैयार" कैसे करें और इसके साथ "सेवा" कैसे करें।

गणित में अंतर का अर्थ है रैखिक भागसमारोह वृद्धि। अवकलन की अवधारणा लाइबनिज़ f′(x 0) = df/dx·x 0 के अनुसार अवकलज लिखने से अटूट रूप से जुड़ी हुई है। इसके आधार पर, सेट X पर परिभाषित फ़ंक्शन f के लिए प्रथम-क्रम अंतर का निम्न रूप है: d x0 f = f (x 0) d x0 x। जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर प्राप्त करने के लिए, आपको स्वतंत्र रूप से डेरिवेटिव खोजने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, भविष्य में क्या होगा, यह समझने के लिए डेरिवेटिव की गणना के नियमों को दोहराना उपयोगी होगा। तो, आइए उदाहरणों के साथ भेदभाव पर करीब से नज़र डालें। इस रूप में दिए गए फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है: y = x 3 -x 4। सबसे पहले, हम फलन का अवकलज पाते हैं: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 । खैर, अब अंतर प्राप्त करना नाशपाती के गोले जितना आसान है: df = (3x 3 -4x 3) dx। अब हमें एक सूत्र के रूप में अंतर प्राप्त हुआ है; व्यवहार में, हम अक्सर दिए गए विशिष्ट मापदंडों x और x के अंतर के डिजिटल मूल्य में भी रुचि रखते हैं। ऐसे मामले हैं जब कोई फ़ंक्शन x के संदर्भ में परोक्ष रूप से व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, y = x²-y x । फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस तरह दिखता है: 2x-(y x)′। लेकिन (y x)′ कैसे प्राप्त करें? इस तरह के एक फ़ंक्शन को जटिल कहा जाता है और इसे संबंधित नियम के अनुसार विभेदित किया जाता है: df/dx = df/dy·dy/dx. इस मामले में: df/dy = x·y x-1 और dy/dx = y′। अब हम सब कुछ एक साथ रखते हैं: y′ = 2x-(x y x-1 y′)। हम सभी खिलाड़ियों को एक दिशा में समूहित करते हैं: (1+x y x-1) y′ = 2x, और परिणामस्वरूप हमें मिलता है: y′ = 2x/(1+x y x-1) = dy/dx। इसके आधार पर, डाई = 2x dx/(1+x y x-1)। बेशक, यह अच्छा है कि ऐसे कार्य दुर्लभ हैं। लेकिन अब आप उनके लिए तैयार हैं। पहले क्रम के माने गए अंतरों के अलावा, अंतर भी हैं उच्च आदेश. आइए फ़ंक्शन d . के लिए अंतर खोजने का प्रयास करें /डी(एक्स 3 )· (एक्स 3 – 2 x6 – एक्स 9 ), जो f(x) के लिए दूसरे क्रम का अंतर होगा. सूत्र f′(u) = d/du f(u) के आधार पर, जहां u = f(x), हम u = x 3 लेते हैं। हम पाते हैं: d/d(u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2। हम प्रतिस्थापन लौटाते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं - 1 – एक्स 3 – एक्स 6, एक्स≠0। एक ऑनलाइन सेवा भी अंतर खोजने में सहायक बन सकती है। स्वाभाविक रूप से, आप इसे नियंत्रण या परीक्षा में उपयोग नहीं करेंगे। लेकिन पर स्वयं सत्यापननिर्णय की शुद्धता, इसकी भूमिका को कम करना मुश्किल है। परिणाम के अलावा, यह मध्यवर्ती समाधान, रेखांकन और एक अंतर फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न के साथ-साथ एक अंतर समीकरण की जड़ों को भी दिखाता है। एकमात्र दोष यह है कि जब आप इसे दर्ज करते हैं तो यह फ़ंक्शन को एक पंक्ति पर लिखता है, लेकिन आप समय के साथ इसके अभ्यस्त हो सकते हैं। ठीक है, निश्चित रूप से, ऐसी सेवा जटिल कार्यों का सामना नहीं कर सकती है, लेकिन जो कुछ भी सरल है वह उसके लिए बहुत कठिन है। प्रायोगिक उपयोगअंतर मुख्य रूप से भौतिकी और अर्थशास्त्र में पाया जाता है। तो, भौतिकी में, गति और उसके व्युत्पन्न, त्वरण को निर्धारित करने से संबंधित समस्याओं को अक्सर भेदभाव द्वारा हल किया जाता है। और अर्थशास्त्र में, अंतर एक उद्यम की दक्षता और राज्य की राजकोषीय नीति की गणना का एक अभिन्न अंग है, उदाहरण के लिए, वित्तीय उत्तोलन का प्रभाव।

यह लेख विशिष्ट विभेदन समस्याओं पर चर्चा करता है। विश्वविद्यालय के छात्रों के उच्च गणित के पाठ्यक्रम में अक्सर अनुमानित गणना में अंतर के उपयोग के साथ-साथ समाधान की खोज पर भी कार्य होते हैं। विभेदक समीकरण. लेकिन मुख्य बात यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के साथ, आप सभी नए कार्यों को आसानी से कर सकते हैं।

लघुगणक अंतर

कई कार्यों के अंतर को सरल बनाया जाता है यदि उन्हें प्रारंभिक रूप से लघुगणक किया जाता है। ऐसा करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें। यदि आपको खोजने की आवश्यकता है आप"समीकरण से वाई = एफ (एक्स), तब आप कर सकते हो:

उदाहरण।

एक्सपोनेंशियल-पावर फंक्शन और इसका अंतर

घातीयएक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन है वाई = यू वी, कहाँ पे यू = यू (एक्स), वी = वी (एक्स).

लॉगरिदमिक भेदभाव का उपयोग घातीय-शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है।

उदाहरण।

व्युत्पन्नों की तालिका

आइए एक तालिका में पहले प्राप्त सभी बुनियादी सूत्रों और विभेदन नियमों को मिला दें। हर जगह हम मान लेंगे यू = यू (एक्स), वी = वी (एक्स), = स्थिरांक। बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न के लिए, हम व्युत्पन्न प्रमेय का उपयोग करेंगे जटिल कार्य.

उदाहरण।

एक समारोह अंतर की अवधारणा। विभेदक और व्युत्पन्न के बीच संबंध

चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)अंतराल पर अवकलनीय है [ एक; बी]. किसी बिंदु पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक्स 0 Î [ एक; बी] समानता द्वारा परिभाषित किया गया है

.

इसलिए, सीमा की संपत्ति द्वारा

परिणामी समानता के सभी पदों को . से गुणा करना एक्स, हम पाते हैं:

Δ आप = एफ"(एक्स 0)·Δ एक्स+ एक एक्स।

तो, एक अतिसूक्ष्म वृद्धि आपअवकलनीय कार्य वाई = एफ (एक्स)दो पदों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला है (के लिए एफ"(एक्स 0) ≠ 0) वेतन वृद्धि का मुख्य भाग, . के संबंध में रैखिक एक्स, और दूसरा . से उच्च कोटि का एक अतिसूक्ष्म मान है एक्स. फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य भाग, अर्थात। एफ"(एक्स 0)·Δ एक्सकिसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलन कहलाता है एक्स 0 और द्वारा निरूपित किया जाता है डीवाई.

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन वाई = एफ (एक्स)एक व्युत्पन्न है एफ"(एक्स) बिंदु पर एक्स, फिर व्युत्पन्न का उत्पाद एफ"(एक्स) प्रति वेतन वृद्धि एक्सतर्क कहा जाता है समारोह अंतरऔर निरूपित करें:

आइए फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करें वाई = एक्स. इस मामले में आप" = (एक्स)" = 1 और इसलिए, डीवाई=डीएक्स=Δ एक्स. तो अंतर डीएक्सस्वतंत्र चर एक्सइसकी वृद्धि के साथ मेल खाता है एक्स. इसलिए, हम सूत्र (1) को इस प्रकार लिख सकते हैं:

डीवाई = एफ "(एक्स)डीएक्स

लेकिन इस संबंध से यह इस प्रकार है। इसलिए, व्युत्पन्न एफ "(एक्स) को फ़ंक्शन के अंतर और स्वतंत्र चर के अंतर के अनुपात के रूप में देखा जा सकता है।

पहले हमने दिखाया था कि किसी बिंदु पर किसी फलन की अवकलनीयता उस बिंदु पर एक अंतर के अस्तित्व को दर्शाती है।

इसका उलटा भी सच है।

यदि किसी दिए गए मान के लिए एक्सफंक्शन इंक्रीमेंट आप = एफ(एक्स+Δ एक्स) – एफ (एक्स)के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है आप = ए·Δ एक्स+ α, जहाँ α एक अतिसूक्ष्म मात्रा है जो इस स्थिति को संतुष्ट करती है, अर्थात, अगर समारोह के लिए वाई = एफ (एक्स)एक अंतर है डाई = एक डीएक्सकिन्हीं बिंदुओं पर एक्स, तो इस फ़ंक्शन के बिंदु पर एक व्युत्पन्न है एक्सतथा एफ "(एक्स)=लेकिन.

वास्तव में, हमारे पास , और चूंकि . के लिए है एक्स→0, फिर।

इस प्रकार, एक फ़ंक्शन की भिन्नता और एक अंतर के अस्तित्व के बीच बहुत करीबी संबंध है; दोनों अवधारणाएं समकक्ष हैं।

उदाहरण।फ़ंक्शन अंतर खोजें:

अंतर का ज्यामितीय अर्थ

समारोह पर विचार करें वाई = एफ (एक्स)और संबंधित वक्र। वक्र पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स; वाई),इस बिंदु पर वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा खींचें और α से उस कोण को निरूपित करें जो स्पर्शरेखा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनती है बैल. हम एक स्वतंत्र चर देते हैं एक्सवेतन वृद्धि एक्स, तो फ़ंक्शन को एक वेतन वृद्धि प्राप्त होगी आप = समुद्री मील दूरएक । मूल्यों एक्स+Δ एक्सतथा आप+Δ आपवक्र के वाई = एफ (एक्स)बिंदी का मिलान होगा

एम 1 (एक्स+Δ एक्स; आप+Δ आप).

. से एमएनटीपाना एन टी=एम.एन. tgα. इसलिये tgα = एफ "(एक्स), एक एम.एन. = Δ एक्स, फिर एन टी = एफ "(एक्स)·Δ एक्स. लेकिन अंतर की परिभाषा के अनुसार डीवाई=एफ "(एक्स)·Δ एक्स, इसीलिए डीवाई = एन टी.

इस प्रकार, x और x के दिए गए मानों के संगत फलन f(x) का अंतर वक्र y=f(x) पर दिए गए बिंदु x पर स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि के बराबर है।

डिफरेंशियल इनवेरिएंस प्रमेय

हमने पहले देखा था कि यदि तुमएक स्वतंत्र चर है, तो फ़ंक्शन का अंतर आप=एफ "(तुम) का रूप है डीवाई = एफ "(तुम)ड्यू.

आइए हम दिखाते हैं कि यह फॉर्म उस स्थिति में भी संरक्षित है जब तुमएक स्वतंत्र चर नहीं है, बल्कि एक फ़ंक्शन है, अर्थात। किसी जटिल फलन के अवकलन के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए। होने देना वाई = एफ (यू), यू = जी (एक्स)या वाई = एफ (जी (एक्स)). फिर, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:

.

इसलिए, परिभाषा के अनुसार

परंतु जी"(एक्स)डीएक्स= ड्यू, इसीलिए डाई = एफ"(यू)डु.

हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध किया है।

प्रमेय।कॉम्प्लेक्स फंक्शन डिफरेंशियल वाई = एफ (यू), जिसके लिए यू = जी (एक्स), एक ही रूप है डाई = एफ"(यू)डु, जो यह होगा अगर मध्यवर्ती तर्क तुमस्वतंत्र चर था।

दूसरे शब्दों में, अवकलन का रूप इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि स्वतंत्र चर के फलन का तर्क किसी अन्य तर्क का फलन है या नहीं। अंतर के इस गुण को कहा जाता है डिफरेंशियल फॉर्म इनवेरिएंस.

उदाहरण।. पाना डीवाई.

अंतर की अपरिवर्तनीय संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं

.

अनुमानित गणना के लिए अंतर लागू करना

आइए जानते हैं फंक्शन की वैल्यू आप 0 = एफ (एक्स 0 ) और इसके व्युत्पन्न आप 0 " = एफ "(X 0) बिंदु पर X 0. आइए दिखाते हैं कि किसी निकट बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान कैसे ज्ञात करें एक्स.

जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, फ़ंक्शन की वृद्धि Δ आपयोग . के रूप में दर्शाया जा सकता है आप=डीवाई+α·Δ एक्स, अर्थात। फ़ंक्शन की वृद्धि अंतर से एक अन्तराल राशि से भिन्न होती है। इसलिए छोटे के लिए उपेक्षा एक्सअनुमानित गणना में दूसरा शब्द, कभी-कभी वे अनुमानित समानता का उपयोग करते हैं आप≈डीवाईया आप» एफ"(X 0)·Δ एक्स.

क्योंकि, परिभाषा के अनुसार, आप = एफ(एक्स) – एफ(X 0), फिर एफ (एक्स) - एफ (एक्स 0)≈एफ"(X 0)·Δ एक्स.

उदाहरण।

उच्च आदेश संजात

चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)कुछ अंतराल पर अवकलनीय है [ एक; बी]. व्युत्पन्न मूल्य एफ"(एक्स), आम तौर पर बोलना, पर निर्भर करता है एक्स, अर्थात। यौगिक एफ"(एक्स) भी चर का एक कार्य है एक्स. बता दें कि इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न भी है। इसे विभेदित करने पर, हम फलन f(x) का तथाकथित द्वितीय अवकलज प्राप्त करते हैं।

पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को कहा जाता है दूसरा क्रम व्युत्पन्नया दूसरा व्युत्पन्नइस समारोह से वाई = एफ (एक्स)और निरूपित आप""या एफ""(एक्स) इसलिए, आप"" = (आप")".

उदाहरण के लिए, यदि पर = एक्स 5, फिर आप"= 5एक्स 4, और आप""= 20एक्स 4 .

इसी तरह, बदले में, दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को भी विभेदित किया जा सकता है। दूसरे व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को कहा जाता है तीसरा क्रम व्युत्पन्नया तीसरा व्युत्पन्नऔर y"""या f"""( एक्स).

सामान्यतया, nवां क्रम व्युत्पन्नसमारोह से एफ (एक्स)व्युत्पन्न का व्युत्पन्न (प्रथम) कहा जाता है ( एन- 1)वां क्रम और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है आप(न एफ(एन) ( एक्स): आप(एन) = ( आप(एन-1))"।

इस प्रकार, किसी दिए गए फ़ंक्शन के उच्च-क्रम व्युत्पन्न को खोजने के लिए, इसके सभी निचले क्रम के डेरिवेटिव क्रमिक रूप से पाए जाते हैं।