कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना: एलसीएम खोजने के तरीके, उदाहरण। सबसे बड़ा सामान्य भाजक और कम से कम सामान्य गुणक

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृतिक संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, फिर $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा एक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है, और इसे दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ ​​या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

अब $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या में नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से तब तक घटा सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

आइए एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण अनुभाग में शुरू किए गए कम से कम सामान्य गुणक के बारे में चर्चा जारी रखें। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM खोजने के तरीकों पर विचार करेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का LCM कैसे ज्ञात किया जाए।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

हम पहले ही सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाए। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से अल्पतम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

70 और 126 की संख्या का GCD ज्ञात करता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

68 और 34 की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांकों a और b का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

अब आइए एलसीएम को खोजने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें LCM ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को समाप्त करने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल होते हैं। इस स्थिति में, दो संख्याओं का GCD उन सभी अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद होते हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस तरह से निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको प्राप्त होता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के सामान्य गुणनखंडों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का गुणनफल प्राप्त होता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 तथा 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का गुणनफल इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है। आइए इसे इससे बाहर करें आम उत्पाद: 2 2 3 3 5 5 7 7. यह पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके LCM ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हमें वह गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित LCM होगा।

उदाहरण 5

आइए 75 और 210 की संख्या पर वापस जाएं, जिसके लिए हम पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. गुणनखंड 3 , 5 और . के गुणनफल के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें 2 तथा 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का LCM है।

उदाहरण 6

84 और 648 संख्याओं के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7तथा 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनखंड 2 , 2 , 3 और . के गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का अल्पतम समापवर्तक है।

उत्तर:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

चाहे हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथ्म हमेशा समान रहेगा: हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 ,… , एक के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम कोइन संख्याओं में से अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) में पाई जाती है।

अब आइए देखें कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और . के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। आइए 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें। हम प्राप्त करते हैं: जीसीडी (140, 9) = 1, एलसीएम (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

आइए अब उसी एल्गोरिथम के अनुसार गणना करें m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) । गणना के क्रम में, हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

यह हमारे लिए m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) की गणना करना बाकी है। हम एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण शर्त से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• तीसरे नंबर के लापता कारकों को पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में जोड़ें, आदि;
• परिणामी उत्पाद स्थिति से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

पांच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13। अभाज्य सँख्या, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया है। ये कारक पहले से ही पहले नंबर के उत्पाद में हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से, जिनमें से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का एक साधारण गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम(54, −34) = एलसीएम(54, 34) और एलसीएम(−622,−46, −54,−888) = एलसीएम(622, 46, 54, 888)।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है कि एकतथा - ए- विपरीत संख्या
फिर गुणकों का समुच्चय एककिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय के साथ मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 तथा − 45 .

समाधान

चलो नंबर बदलते हैं − 145 तथा − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 तथा 45 . अब, एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एलसीएम (145, 45) = 145 45: जीसीडी (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का एलसीएम - 145 और − 45 बराबरी 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145 , - 45) = 1 305।

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दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

परिणाम:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd( एक,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( एक,बी)=468

वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों के। चिह्नित gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) या hcf(a,b)।

आम एकाधिक(LCM) दो पूर्णांकों a और b का वह सबसे छोटा प्राकृत संख्या है जो a और b से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। चिह्नित एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्ययदि उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो धनात्मक संख्याएँ दी गई हैं एक 1 और एक 2 1) . इन संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है एक 1 और एक 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

होने देना एक 1 ≥ एक 2 और चलो

कहाँ पे एम 1 , एक 3 कुछ पूर्णांक हैं, एक 3 <एक 2 (डिवीजन से शेष .) एक 1 पर एक 2 कम होना चाहिए एक 2).

चलो दिखावा करते हैं कि λ विभाजित एक 1 और एक 2, फिर λ विभाजित एम 1 एक 2 और λ विभाजित एक 1 −एम 1 एक 2 =एक 3 (लेख का दावा 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का संकेत")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 एक सामान्य भाजक है एक 2 और एक 3. इसका विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य भाजक एक 2 और एक 3, फिर एम 1 एक 2 और एक 1 =एम 1 एक 2 +एक 3 को भी में विभाजित किया गया है λ . इसलिए सामान्य भाजक एक 2 और एक 3 भी एक सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2. इसलिये एक 3 <एक 2 ≤एक 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की समस्या का समाधान एक 1 और एक 2 संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की एक सरल समस्या में बदल गया एक 2 और एक 3 .

यदि एक एक 3 0, तब हम भाग कर सकते हैं एक 2 पर एक 3. फिर

,

कहाँ पे एम 1 और एक 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एकविभाजन के 4 शेष एक 2 पर एक 3 (एक 4 <एक 3))। इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एक 3 और एक 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है एक 2 और एक 3 , और सामान्य भाजक के साथ भी एक 1 और एक 2. इसलिये एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 , ... संख्याएं जो लगातार घट रही हैं, और चूंकि के बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है एक 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन के शेष एकएन ओन एक n+1 शून्य के बराबर होगा ( एकएन+2=0).

.

हर आम भाजक λ नंबर एक 1 और एक 2 भी संख्याओं का भाजक है एक 2 और एक 3 , एक 3 और एक 4 , .... एकएन और एकएन + 1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एकएन और एक n+1 भी संख्याओं के भाजक हैं एक n−1 और एकएन , .... , एक 2 और एक 3 , एक 1 और एक 2. लेकिन आम भाजक एकएन और एक n+1 एक संख्या है एक n+1 , क्योंकि एकएन और एक n+1 से विभाज्य हैं एक n+1 (याद रखें कि एकएन+2=0). फलस्वरूप एक n+1 भी संख्याओं का भाजक है एक 1 और एक 2 .

ध्यान दें कि संख्या एक n+1 सबसे बड़ी संख्या भाजक है एकएन और एक n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से एक n+1 स्वयं है एकएन + 1। यदि एक एक n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ भी संख्याओं के सामान्य भाजक हैं एक 1 और एक 2. संख्या एक n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर एक 1 और एक 2 .

नंबर एक 1 और एक 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेष 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेष 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेष 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेष 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, शेष भाग 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्याएं 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 की भाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. माना संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक एक 1 और एक 2 एक के बराबर है। तब इन नंबरों को कहा जाता है सह अभाज्य संख्याजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. यदि एक एक 1 और एक 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक a 1 और एक 2 भी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है λ तथा एक 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें एक 1 और एक 2 (ऊपर देखें)।

.

यह प्रमेय की शर्तों से निम्नानुसार है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 , और इसलिए एकएन और एक n+1 है 1. यानी। एकएन+1=1.

आइए इन सभी समानताओं को से गुणा करें λ , फिर

.

चलो आम भाजक एक 1 λ तथा एक 2 is δ . फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 1 λ , एम 1 एक 2 λ और में एक 1 λ -एम 1 एक 2 λ =एक 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ तथा एम 2 एक 3 λ , और इसलिए में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ -एम 2 एक 3 λ =एक 4 λ .

इस प्रकार तर्क करने से हमें विश्वास हो जाता है कि δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक n-1 λ तथा एम n-1 एकएन λ , और इसलिए में एक n-1 λ −एम n-1 एकएन λ =एकएन+1 λ . इसलिये एकएन+1 = 1, फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ तथा एक 2 .

प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एकतथा सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

सचमुच। प्रमेय 1 . से एसीतथा बीके समान भाजक हैं सीतथा बी. लेकिन संख्या सीतथा बीकोप्राइम, यानी एक उभयनिष्ठ भाजक है 1. तब एसीतथा बीएक ही उभयनिष्ठ भाजक भी है 1. इसलिए एसीतथा बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. होने देना एकतथा बीसहअभाज्य संख्याएँ और let बीविभाजित एके. फिर बीविभाजित करता है और क.

सचमुच। दावे की स्थिति से एकेतथा बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीतथा क. फलस्वरूप बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 , ..., एकमी संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. फिर एक 1 एक 2 , एक 1 एक 2 · एक 3 , ..., एक 1 एक 2 एक 3 · · · एक m , संख्या के संबंध में इन संख्याओं का गुणनफल अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

जैसे कि पहली पंक्ति में प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति में प्रत्येक संख्या के संबंध में अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है एक 1 , तो ऐसा लगता है एसए 1 , जहां एसकुछ संख्या। यदि एक क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2, फिर

कहाँ पे एस 1 कुछ पूर्णांक है। फिर

है संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक एक 1 और एक 2 .

एक 1 और एक 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज एक 1 और एक 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि संख्याओं का कोई भी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε तथा एक 3 और इसके विपरीत। मान लीजिए संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ε तथा एक 3 is ε एक । इसके अलावा, संख्याओं की एक बहु एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और एकचार । मान लीजिए कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है ε 1 और एक 4 is ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी कुछ विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जिसे दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकएम कोप्राइम, फिर संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज एक 1 , एक 2 जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। इसके अलावा, चूंकि एक 3 अभाज्य संख्याओं के संबंध में एक 1 , एक 2, फिर एक 3 एक अभाज्य सापेक्ष संख्या है एकएक · एक 2 (उपदेश 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एक 1 ,एक 2 ,एक 3 एक संख्या है एकएक · एक 2 · एक 3. इसी तरह से तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सह अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी उनके उत्पाद के बराबर है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एक m भी उनके गुणनफल से विभाज्य है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और नॉक क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर से।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका उन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले यह दिखाएं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके कम से कम सामान्य गुणक खोजने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन का एलसीएम खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे और अधिकसंख्याएँ, और ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना पर भी ध्यान दें।

पृष्ठ नेविगेशन।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM निकाल सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

समाधान।

इसलिये 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

उत्तर:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात्, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस तरह, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या बी के विस्तार से लापता कारकों को संख्या ए के अपघटन से कारकों में जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्पाद का मूल्य संख्याओं ए और बी के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर होगा.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।