ज्यामितीय आंकड़ों के क्षेत्र को मापना।

§ 58. पाइथागोरस प्रमेय 1 .

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1 पाइथागोरस एक यूनानी वैज्ञानिक हैं जो लगभग 2500 साल पहले (564-473 ईसा पूर्व) रहते थे।
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मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज दिया गया है जिसकी भुजाएँ एक, बीतथा साथ(देव 267)।

आइए इसके किनारों पर वर्ग बनाएं। इन वर्गों के क्षेत्रफल क्रमशः हैं एक 2 , बी 2 और साथ 2. आइए साबित करें कि साथ 2 = ए 2 +बी 2 .

आइए दो वर्ग MKOR और M"K"O"R" (चित्र 268, 269) बनाएं, उनमें से प्रत्येक की भुजा के लिए एक समकोण त्रिभुज ABC के पैरों के योग के बराबर एक खंड लें।

इन वर्गों में चित्र 268 और 269 में दिखाए गए निर्माणों को पूरा करने के बाद, हम देखेंगे कि एमकेओआर वर्ग क्षेत्रों के साथ दो वर्गों में विभाजित है एक 2 और बी 2 और चार समान समकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक समकोण त्रिभुज ABC के बराबर है। वर्ग M"K"O"R" एक चतुर्भुज (यह चित्र 269 में छायांकित है) और चार समकोण त्रिभुजों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज ABC के बराबर है। छायांकित चतुर्भुज एक वर्ग है, क्योंकि इसकी भुजाएँ बराबर हैं (प्रत्येक त्रिभुज ABC के कर्ण के बराबर है, अर्थात। साथ) और कोण समकोण हैं / 1 + / 2 = 90°, जहां से / 3 = 90°)।

इस प्रकार, पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग (चित्र 268 में ये वर्ग छायांकित हैं) चार समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बिना MKOR वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और का क्षेत्रफल कर्ण पर बना वर्ग (चित्र 269 में यह वर्ग भी छायांकित है) वर्ग M "K" O "R" के क्षेत्रफल के बराबर है, वर्ग के बराबर MKOR, चार समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बिना। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।

हमें सूत्र मिलता है साथ 2 = ए 2 +बी 2, जहां साथ- कर्ण, एकतथा बी- एक समकोण त्रिभुज के पैर।

पाइथागोरस प्रमेय को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है:

एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

सूत्र से साथ 2 = ए 2 +बी 2 आप निम्न सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

एक 2 = साथ 2 - बी 2 ;
बी 2 = साथ 2 - एक 2 .

इन सूत्रों का उपयोग किसी समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं को देखते हुए उसकी अज्ञात भुजा ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए:

ए) यदि पैर दिए गए हैं एक= 4 सेमी, बी\u003d 3 सेमी, फिर आप कर्ण पा सकते हैं ( साथ):
साथ 2 = ए 2 +बी 2, अर्थात् साथ 2 = 4 2 + 3 2; 2 = 25 के साथ, जहां से साथ= √25 = 5 (सेमी);

बी) यदि कर्ण दिया गया है साथ= 17 सेमी और पैर एक= 8 सेमी, तो आप दूसरा पैर पा सकते हैं ( बी):

बी 2 = साथ 2 - एक 2, अर्थात् बी 2 = 17 2 - 8 2 ; बी 2 = 225, कहाँ से बी= 225 = 15 (सेमी)।

परिणाम: यदि दो समकोण त्रिभुजों में ABC और A 1 B 1 C 1 कर्ण है साथतथा साथ 1 बराबर हैं, और पैर बीत्रिभुज ABC टाँग से बड़ा है बी 1 त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 1,
फिर पैर एकत्रिभुज ABC टाँग से छोटा है एक 1 त्रिकोण ए 1 बी 1 सी 1। (इस परिणाम को दर्शाते हुए एक चित्र बनाएं।)

वास्तव में, पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक 2 = साथ 2 - बी 2 ,
एक 1 2 = साथ 1 2 - बी 1 2

लिखित फ़ार्मुलों में, minuends बराबर होते हैं, और पहले सूत्र में subtrahend दूसरे सूत्र में subtrahend से बड़ा होता है, इसलिए, पहला अंतर दूसरे से कम होता है,
अर्थात। एक 2 < एक 12. कहाँ पे एक< एक 1 .

व्यायाम।

1. आरेखण 270 का प्रयोग करते हुए समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध कीजिए।

2. एक समकोण त्रिभुज का एक पैर 12 सेमी, दूसरा 5 सेमी है। इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई की गणना करें।

3. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 10 सेमी है, एक पैर 8 सेमी है। इस त्रिभुज के दूसरे पैर की लंबाई की गणना करें।

4. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 37 सेमी है, इसका एक पैर 35 सेमी है। इस त्रिभुज के दूसरे पैर की लंबाई की गणना करें।

5. दिए गए क्षेत्रफल के दोगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग की रचना कीजिए।

6. एक वर्ग की रचना कीजिए, जो दिए गए क्षेत्रफल का दोगुना है। निर्देश।नियंत्रण में रखना दिया गया वर्गविकर्ण। इन विकर्णों के आधे भाग पर बने वर्ग वांछित होंगे।

7. एक समकोण त्रिभुज के पैर क्रमशः 12 सेमी और 15 सेमी हैं। इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 0.1 सेमी की सटीकता के साथ परिकलित करें।

8. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 20 सेमी है, उसका एक पैर 15 सेमी है। दूसरे पैर की लंबाई को निकटतम 0.1 सेमी तक परिकलित करें।

9. यदि सीढ़ी का निचला सिरा भवन से 2.5 मीटर की दूरी पर होना चाहिए, तो सीढ़ी कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि इसे 6 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक खिड़की से जोड़ा जा सके? (धिक्कार है। 271.)

एक बात जो आप सौ प्रतिशत सुनिश्चित कर सकते हैं, यह पूछे जाने पर कि कर्ण का वर्ग क्या है, कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह सिद्धांत सभी के मन में मजबूती से बैठा है। शिक्षित व्यक्ति, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही काफी है, और फिर मुश्किलें खड़ी हो सकती हैं। तो आइए याद करते हैं और विचार करते हैं विभिन्न तरीकेपाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज के इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित की गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपने महान सिद्धांत का निर्माण किया। यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक साथ। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक समकोण त्रिभुज से एक वर्ग खींचा जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शीर्ष ac और sv से, आपको c के बराबर दो समानांतर खंड खींचने होंगे। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + में 2

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर तैयार किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लम्बवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना चाहिए।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

परिणाम यह निकला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसीलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण और विभिन्न तरीकेइसके समाधान के लिए इस समस्या के लिए एक बहुआयामी दृष्टिकोण की आवश्यकता है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, विमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​​​है कि इस पद्धति का इस्तेमाल सबसे पहले प्रमेय को वापस साबित करने के लिए किया गया था प्राचीन ग्रीस. यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले एक से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

एबी और सीबी के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी तस्वीर को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को दर्शाता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक साधारण शिक्षक थे पब्लिक स्कूल, लेकिन जल्द ही उच्चतम में से एक के निदेशक बन गए शिक्षण संस्थानों. आत्म-विकास की इच्छा और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के एक नए सिद्धांत की पेशकश करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इसके बारे में एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं अध्ययन गाइड. लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम इस प्रमेय के उपयोग के लिए केवल ज्यामितीय समस्याओं में ही प्रदान करता है। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, अपने में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें रोजमर्रा की जिंदगीहर कोई यह कर सकते हैं। और न केवल में व्यावसायिक गतिविधिलेकिन सामान्य घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. परिणाम यह निकला: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो निकायों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

अगर हम कल्पना करें कि प्रकाश सी और बी के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, शिखर हैं समद्विबाहु त्रिकोण, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

ओएस (ग्लोब की त्रिज्या) = 6380 किमी;

OB=OA+ABOB=r+x

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक किए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि एक अलमारी है जिसकी गहराई 800 मिमी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।

औसत स्तर

सही त्रिकोण. पूरा सचित्र गाइड (2019)

सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।

समस्याओं में, एक समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ वाला, इसलिए आपको यह सीखने की ज़रूरत है कि इस रूप में एक समकोण त्रिभुज को कैसे पहचाना जाए,

और ऐसे में

और ऐसे में

एक समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले, विशेष हैं सुंदर नामउसके पक्षों के लिए।

ड्राइंग पर ध्यान दें!

याद रखें और भ्रमित न हों: पैर - दो, और कर्ण - केवल एक(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!

खैर, हमने नामों पर चर्चा की, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय।

यह प्रमेय एक समकोण त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। पाइथागोरस ने इसे पूरी तरह से अनादि काल में सिद्ध किया था और तब से यह जानने वालों के लिए कई फायदे लेकर आया है। और उसकी सबसे अच्छी बात यह है कि वह सिंपल है।

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:

क्या आपको मजाक याद है: "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं!"?

आइए इन पाइथागोरस पैंटों को ड्रा करें और इन्हें देखें।

क्या यह वास्तव में शॉर्ट्स की तरह दिखता है? खैर, किस तरफ और कहां बराबर हैं? मजाक क्यों और कहां से आया? और यह मजाक पाइथागोरस प्रमेय के साथ सटीक रूप से जुड़ा हुआ है, अधिक सटीक रूप से जिस तरह से पाइथागोरस ने अपना प्रमेय तैयार किया था। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:

"जोड़ चौकों का क्षेत्रफल, पैरों पर निर्मित, के बराबर है वर्ग क्षेत्रकर्ण पर निर्मित।

क्या यह थोड़ा अलग नहीं लगता, है ना? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का बयान दिया, तो बस एक ऐसी तस्वीर निकली।

इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसलिए कि बच्चे बेहतर याद रखें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी ने पाइथागोरस पैंट के बारे में इस मजाक का आविष्कार किया।

अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?

क्या पाइथागोरस पीड़ित थे और उन्होंने वर्गों के बारे में बात की थी?

आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! आदि कोई लक्षण नहीं थे। कोई शिलालेख नहीं थे। क्या आप सोच सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था ??! और हमें खुशी हो सकती है कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए इसे फिर से दोहराएं:

अब यह आसान होना चाहिए:

खैर, एक समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई। यदि आप रुचि रखते हैं कि यह कैसे साबित होता है, तो सिद्धांत के अगले स्तरों को पढ़ें, और अब चलते हैं ... अंधेरे जंगल में ... त्रिकोणमिति के! भयानक शब्दों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।

एक समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।

वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन तुम सच में नहीं चाहते, है ना? हम आनंदित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:

यह सब कोने के बारे में क्यों है? कोने कहाँ है? इसे समझने के लिए आपको यह जानना होगा कि कथन 1 - 4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद करो!

1.
यह वास्तव में ऐसा लगता है:

कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत पैर (कोने के लिए)? बेशक है! यह एक कैथेट है!

लेकिन कोण का क्या? नज़दीक से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, बिल्ली। तो, कोण के लिए, पैर आसन्न है, और

और अब, ध्यान! देखो हमें क्या मिला:

देखें कि यह कितना शानदार है:

अब चलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।

अब इसे शब्दों में कैसे बयां करें? कोने के संबंध में पैर क्या है? विपरीत, निश्चित रूप से - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। और कैथेट? कोने के पास। तो हमें क्या मिला?

देखें कि अंश और हर को कैसे उलट दिया जाता है?

और अब फिर से कोनों और विनिमय किया:

सारांश

आइए संक्षेप में लिखें कि हमने क्या सीखा है।

पाइथागोरस प्रमेय:

मुख्य समकोण त्रिभुज प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।

पाइथागोरस प्रमेय

वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर नहीं तो तस्वीर देखिये - ताज़ा कीजिये अपना ज्ञान

हो सकता है कि आपने पहले भी कई बार पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया हो, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है। आप इसे कैसे साबित करेंगे? चलो प्राचीन यूनानियों की तरह करते हैं। आइए एक भुजा के साथ एक वर्ग बनाएं।

आप देखते हैं कि हमने कितनी चतुराई से इसके पक्षों को लंबाई के खंडों में विभाजित किया है और!

अब चिह्नित बिंदुओं को जोड़ते हैं

हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि क्यों।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही ढंग से, . छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? बेशक, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है। कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को लिया और कर्ण के साथ एक दूसरे के खिलाफ झुक गए। क्या हुआ? दो आयताकार। तो, "कटिंग" का क्षेत्रफल बराबर है।

आइए अब यह सब एक साथ करें।

आइए रूपांतरित करें:

इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।

समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात के बराबर होती है

एक न्यून कोण की कोज्या आसन्न टांग और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होता है।

और एक बार फिर, यह सब एक प्लेट के रूप में:

यह बहुत आरामदायक है!

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. दो पैरों पर

द्वितीय. पैर और कर्ण से

III. कर्ण और न्यून कोण से

चतुर्थ। पैर और तीव्र कोण के साथ

एक)

बी)

ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "संबंधित" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह जाता है:

तब त्रिभुज समान नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।

करने की जरूरत है दोनों त्रिभुजों में पैर आसन्न था, या दोनों में - विपरीत.

क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिन्ह त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से कैसे भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि "साधारण" त्रिभुजों की समानता के लिए, आपको उनके तीन तत्वों की समानता की आवश्यकता है: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। यह बढ़िया है, है ना?

समकोण त्रिभुजों की समानता के संकेतों के साथ लगभग समान स्थिति।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. एक्यूट कॉर्नर

द्वितीय. दो पैरों पर

III. पैर और कर्ण से

एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका

ऐसा क्यों है?

एक समकोण त्रिभुज के बजाय एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।

आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं?

और इससे क्या होता है?

तो हुआ यह कि

1. - माध्यिका:

इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!

इससे भी ज्यादा हैरान करने वाली बात यह है कि इसका उल्टा भी सच है।

इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए देखते हैं तस्वीर

नज़दीक से देखें। हमारे पास है: , अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन एक त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु होता है, जिसकी दूरियाँ त्रिभुज के लगभग तीनों शीर्षों के बराबर होती हैं, और यह वर्णित चक्र का केंद्र है। तो क्या हुआ?

तो चलिए इसे "इसके अलावा ..." से शुरू करते हैं।

आइए देखें आई.

लेकिन समरूप त्रिभुजों में सभी कोण बराबर होते हैं!

और . के बारे में भी यही कहा जा सकता है

अब इसे एक साथ ड्रा करें:

इस "ट्रिपल" समानता से क्या फायदा हो सकता है।

खैर, उदाहरण के लिए - एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के लिए दो सूत्र।

हम संबंधित पक्षों के संबंध लिखते हैं:

ऊंचाई खोजने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":

तो, आइए समानता लागू करें: ।

अब क्या होगा?

फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:

इन दोनों फ़ार्मुलों को बहुत अच्छी तरह से याद रखना चाहिए और जो लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। आइए उन्हें फिर से लिखें।

पाइथागोरस प्रमेय:

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• दो पैरों पर:
• पैर और कर्ण के साथ: or
• पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
• पैर और विपरीत तीव्र कोण के साथ: or
• कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• एक नुकीला कोना: or
• दो पैरों की आनुपातिकता से:
• पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।

एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटांगेंट

• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत :. का अनुपात होता है।

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।

एक समकोण त्रिभुज में, शीर्ष से खींची गई माध्यिका समकोण, कर्ण के आधे के बराबर है: .

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:

• कैथेटर के माध्यम से:

पाइथागोरस प्रमेय का एक एनिमेटेड सबूत इनमें से एक है मौलिकयूक्लिडियन ज्यामिति के प्रमेय, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। यह माना जाता है कि यह ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा सिद्ध किया गया था, जिसके नाम पर इसका नाम रखा गया है (अन्य संस्करण हैं, विशेष रूप से, एक वैकल्पिक राय है कि यह प्रमेय में है सामान्य दृष्टि सेपाइथागोरस गणितज्ञ हिप्पासस द्वारा तैयार किया गया था)।
प्रमेय कहता है:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।

त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को निरूपित करना सी,और पैरों की लंबाई के रूप में एकतथा बी,हमें निम्नलिखित सूत्र मिलता है:

इस प्रकार, पायथागॉरियन प्रमेय एक संबंध स्थापित करता है जो आपको अन्य दो की लंबाई जानने के लिए एक समकोण त्रिभुज की भुजा निर्धारित करने की अनुमति देता है। पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो एक मनमाना त्रिभुज के पक्षों के बीच संबंध को निर्धारित करता है।
विलोम कथन भी सिद्ध होता है (इसे व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है):

किन्हीं तीन धनात्मक संख्याओं a, b और c के लिए जैसे कि a ? +ख? = c?, पैरों a और b और कर्ण c के साथ एक समकोण त्रिभुज है।

चु पेई 500-200 ईसा पूर्व से त्रिभुज (3, 4, 5) के दृश्य प्रमाण। प्रमेय के इतिहास को चार भागों में विभाजित किया जा सकता है: के बारे में ज्ञान पाइथागोरस संख्या, समकोण त्रिभुज में भुजाओं के अनुपात के बारे में ज्ञान, आसन्न कोणों के अनुपात के बारे में ज्ञान और प्रमेय का प्रमाण।
लगभग 2500 ईसा पूर्व मेगालिथिक संरचनाएं मिस्र और उत्तरी यूरोप में, पूर्णांक पक्षों वाले समकोण त्रिभुज होते हैं। बार्थेल लिएन्डर्ट वैन डेर वेर्डन ने अनुमान लगाया कि उन दिनों पाइथागोरस संख्याएं बीजगणितीय रूप से पाई जाती थीं।
2000 और 1876 ईसा पूर्व के बीच लिखा गया मिस्र के मध्य साम्राज्य से पपीरस बर्लिन 6619एक समस्या है जिसका समाधान पाइथागोरस संख्याएँ हैं।
हम्मुराबी द ग्रेट के शासनकाल के दौरान, एक विबिलोनियन टैबलेट प्लिम्प्टन 322, 1790 और 1750 ईसा पूर्व के बीच लिखी गई कई प्रविष्टियाँ पाइथागोरस संख्याओं से निकटता से संबंधित हैं।
बुधायण सूत्रों में किस तिथि से विभिन्न संस्करण 8वीं या दूसरी शताब्दी ई.पू भारत में, बीजगणितीय रूप से व्युत्पन्न पाइथागोरस संख्याएँ शामिल हैं, पाइथागोरस प्रमेय का एक सूत्रीकरण, और समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए एक ज्यामितीय प्रमाण।
आपस्तंबा के सूत्र (लगभग 600 ईसा पूर्व) में क्षेत्र की गणना का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय का एक संख्यात्मक प्रमाण है। वैन डेर वेर्डन का मानना ​​​​है कि यह अपने पूर्ववर्तियों की परंपराओं पर आधारित था। अल्बर्ट बर्को के अनुसार, यह प्रमेय का मूल प्रमाण है और उनका सुझाव है कि पाइथागोरस ने अरकोनी का दौरा किया और इसकी नकल की।
पाइथागोरस, जिनके जीवन के वर्षों को आमतौर पर 569 - 475 ईसा पूर्व दर्शाया गया है। उपयोग बीजगणितीय तरीकेयूक्लिड पर प्रोक्लोव की टिप्पणियों के अनुसार पाइथागोरस संख्याओं की गणना। प्रोक्लस, हालांकि, 410 और 485 ईस्वी के बीच रहता था। थॉमस गिसे के अनुसार, पाइथागोरस के बाद पांच शताब्दियों तक प्रमेय के लेखक होने का कोई संकेत नहीं है। हालांकि, जब प्लूटार्क या सिसेरो जैसे लेखक पाइथागोरस को प्रमेय का श्रेय देते हैं, तो वे ऐसा करते हैं जैसे कि लेखकत्व व्यापक रूप से जाना जाता है और निश्चित है।
लगभग 400 ई.पू प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने बीजगणित और ज्यामिति को मिलाकर पाइथागोरस संख्याओं की गणना के लिए एक विधि दी। लगभग 300 ईसा पूर्व, in शुरुआतयूक्लिड, हमारे पास सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण है जो आज तक जीवित है।
500 ईसा पूर्व के बीच कभी लिखा गया। और 200 ई.पू., चीनी गणितीय पुस्तक "चू पेई" (? ? ? ?), पाइथागोरस प्रमेय का एक दृश्य प्रमाण देता है, जिसे चीन में गुगु प्रमेय (????) कहा जाता है, भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए (????), , 4, 5)। हान राजवंश के शासनकाल के दौरान, 202 ईसा पूर्व से। 220 ई. से पहले पाइथागोरस संख्याएँ "गणितीय कला के नौ खंड" पुस्तक में समकोण त्रिभुजों के उल्लेख के साथ दिखाई देती हैं।
प्रमेय का उपयोग सबसे पहले चीन में प्रलेखित किया गया है, जहां इसे गुगु प्रमेय (????) के रूप में जाना जाता है और भारत में, जहां इसे भास्कर के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
कई लोग बहस कर रहे हैं कि क्या पाइथागोरस प्रमेय की खोज एक बार या बार-बार की गई थी। बॉयर (1991) का मानना ​​है कि शुलबा सूत्र में पाया गया ज्ञान मेसोपोटामिया मूल का हो सकता है।
बीजीय प्रमाण
वर्ग चार समकोण त्रिभुजों से बनते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के सौ से अधिक प्रमाण ज्ञात हैं। यहाँ साक्ष्य एक आकृति के क्षेत्रफल के लिए अस्तित्व प्रमेय पर आधारित है:

चार समरूप समकोण त्रिभुजों को रखें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है क्योंकि दो का योग है तेज मोड, और विकसित कोण है .
पूरी आकृति का क्षेत्रफल एक तरफ, "a + b" भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल और आंतरिक वर्ग के योग के बराबर है .

जिसे साबित करने की जरूरत है।
त्रिभुजों की समानता से
समरूप त्रिभुजों का प्रयोग। होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण सीसीधे, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। आइए एक बिंदु से ऊंचाई बनाएं सी,और बुलाओ एचएक पक्ष के साथ चौराहे का बिंदु एबी.त्रिभुज का गठन आकत्रिकोण की तरह एबीसी,चूंकि वे दोनों आयताकार हैं (ऊंचाई की परिभाषा के अनुसार) और वे एक कोण साझा करते हैं ए,स्पष्ट है कि इन त्रिभुजों में भी तीसरा कोण समान होगा। इसी तरह mirkuyuyuchy, त्रिकोण सीबीएचत्रिभुज के समान एबीसी.त्रिभुजों की समरूपता से: यदि

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

यदि हम इन दोनों समानताओं को जोड़ दें, तो हमें प्राप्त होता है

एचबी + सी गुना एएच = सी गुना (एचबी + एएच) = सी ^ 2,! एसआरसी = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

दूसरे शब्दों में, पाइथागोरस प्रमेय:

यूक्लिड का प्रमाण
यूक्लिडियन "सिद्धांतों" में यूक्लिड का प्रमाण, पाइथागोरस प्रमेय समांतर चतुर्भुज की विधि से सिद्ध होता है। होने देना ए, बी, सीएक समकोण त्रिभुज के शीर्ष, एक समकोण के साथ ए।एक बिंदु से लंबवत गिराएं एकर्ण पर बने एक वर्ग में कर्ण के विपरीत की ओर। रेखा वर्ग को दो आयतों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के समान होता है। मुख्य विचारसबूत में ऊपरी वर्गों को एक ही क्षेत्र के समांतर चतुर्भुज में बदलना, और फिर वापस आना और निचले वर्ग में आयतों में बदलना और फिर उसी क्षेत्र के साथ बदलना शामिल है।

आइए सेगमेंट बनाएं सीएफ़तथा एडी,हमें त्रिभुज मिलते हैं बीसीएफतथा बीडीए।
कोने कैबतथा थैला- सीधा; अंक सीएतथा जीसमरेखीय हैं। इसी तरह बी ० एतथा एच।
कोने सीबीडीतथा एफ बी ए- दोनों सीधे हैं, फिर कोण अब्दकोण के बराबर एफबीसी,चूँकि दोनों एक समकोण और एक कोण का योग हैं एबीसी.
त्रिकोण अब्दतथा एफबीसीदो पक्षों पर स्तर और उनके बीच का कोण।
क्योंकि डॉट्स ए, केतथा ली- समरेख, आयत BDLK का क्षेत्रफल त्रिभुज के दो क्षेत्रफलों के बराबर होता है एबीडी (बीडीएलके) = बैगफ = AB2)
इसी प्रकार, हमें मिलता है CKLE = एसीआईएच = एसी 2
एक तरफ क्षेत्र सीबीडीईआयतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर बीडीएलकेतथा सीकेएलई,दूसरी ओर, वर्ग का क्षेत्रफल ईसा पूर्व 2,या एबी 2 + एसी 2 = ईसा पूर्व 2.

डिफरेंशियल का उपयोग करना
विभेदकों का उपयोग। पाइथागोरस प्रमेय का अध्ययन यह अध्ययन करके किया जा सकता है कि कैसे एक पक्ष की वृद्धि कर्ण की लंबाई को प्रभावित करती है जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है और थोड़ी गणना लागू कर रहा है।
पक्ष की वृद्धि के परिणामस्वरूप एक,अनंतिम वेतन वृद्धि के लिए समान त्रिभुजों से

एकीकृत करना हमें मिलता है

यदि एक एक= 0 तब सी = बी,तो "स्थिर" है ख 2.फिर

जैसा कि देखा जा सकता है, वर्ग वृद्धि और पक्षों के बीच के अनुपात के कारण होते हैं, जबकि योग पक्षों के वेतन वृद्धि के स्वतंत्र योगदान का परिणाम है, ज्यामितीय साक्ष्य से स्पष्ट नहीं है। इन समीकरणों में दासतथा डीसीहैं, क्रमशः, पक्षों की अनंतिम वृद्धि एकतथा सी।लेकिन उनके बजाय हम उपयोग करते हैं? एकतथा? सी,तो अनुपात की सीमा यदि वे शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं है दास / डीसी,व्युत्पन्न, और के बराबर भी है सी / एक,त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का अनुपात, परिणामस्वरूप हम एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं।
वैक्टर की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली के मामले में, एक समानता होती है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है:

यदि - ये निर्देशांक अक्षों पर एक वेक्टर के अनुमान हैं, तो यह सूत्र यूक्लिडियन दूरी के साथ मेल खाता है और इसका मतलब है कि वेक्टर की लंबाई इसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।
मामले में इस समानता का एक एनालॉग अंतहीन प्रणालीसदिशों को पारसेवल समता कहते हैं।

प्राकृतिक वैज्ञानिक विश्लेषण, व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की शुष्क भाषा को छोड़कर, रचनात्मकता की क्षमता आमतौर पर मानविकी को जिम्मेदार ठहराया जाता है। गणित को मानविकी विषय के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप दूर नहीं जाएंगे - लोग इस बारे में लंबे समय से जानते हैं। पाइथागोरस के समय से, उदाहरण के लिए।

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें, दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और सूत्रों को रटना महत्वपूर्ण है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और साथ ही, अपने दिमाग को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में ही सभी महान खोजें पैदा होती हैं।

ऐसी खोजों में वह शामिल है जिसे आज हम पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल मजेदार हो सकता है, बल्कि मजेदार भी होना चाहिए। और यह कि यह साहसिक कार्य न केवल मोटे चश्मे वाले नर्ड के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए उपयुक्त है जो दिमाग से मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

कड़ाई से बोलते हुए, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने स्वयं इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और उसके विशेष गुणों का अध्ययन इससे बहुत पहले किया जा चुका है। इस मुद्दे पर दो ध्रुवीय दृष्टिकोण हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूर्ण प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। दूसरे के अनुसार, सबूत पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि वह कभी अस्तित्व में था, नहीं बच पाया है। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के तत्वों का प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकता है, और यूक्लिड ने केवल इसे दर्ज किया है।

आज यह भी ज्ञात है कि मिस्र के स्रोतों में फिरौन अमेनेमेट I के समय से, राजा हम्मुराबी के शासनकाल से बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर, प्राचीन भारतीय ग्रंथ सुल्वा सूत्र और प्राचीन चीनी काम झोउ में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। -बी सुआन जिन.

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 विभिन्न साक्ष्य जो आज मौजूद हैं, पुष्टि के रूप में कार्य करते हैं। इस संबंध में कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता है। उल्लेखनीय साक्ष्य लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के 20 वें राष्ट्रपति, जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे प्राप्त होते हैं या, एक तरह से या किसी अन्य, इससे जुड़े होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

पर स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंमुख्य रूप से बीजीय प्रमाण देते हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, तो आइए सबसे पहले प्रसिद्ध प्रमेय के उन प्रमाणों पर विचार करें जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

सबूत 1

एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सरलतम प्रमाण के लिए, आपको सेट करने की आवश्यकता है आदर्श स्थितियां: माना त्रिभुज न केवल आयताकार, बल्कि समद्विबाहु भी है। यह मानने का कारण है कि यह एक ऐसा त्रिभुज था जिसे मूल रूप से प्राचीन गणितज्ञों द्वारा माना जाता था।

कथन "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग उसके पैरों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है"निम्नलिखित चित्र के साथ सचित्र किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण AC पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुजों से मिलकर बना एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों पर AB और BC एक वर्ग पर बने हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिभुज हैं।

वैसे, इस ड्राइंग ने पाइथागोरस प्रमेय को समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टूनों का आधार बनाया। शायद सबसे प्रसिद्ध is "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

सबूत 2

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्करी के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाइए ए, बी और सी(चित्र एक)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्ग बनाएं - (ए+बी). प्रत्येक वर्ग में, आकृति 2 और 3 के अनुसार रचनाएँ करें।

पहले वर्ग में, समान त्रिभुजों में से चार का निर्माण करें जैसा कि चित्र 1 में है। परिणामस्वरूप, दो वर्ग प्राप्त होते हैं: एक भुजा a के साथ, दूसरा भुजा वाला बी.

दूसरे वर्ग में, चार समरूप त्रिभुजों का निर्माण एक वर्ग बनाता है जिसकी भुजा कर्ण के बराबर होती है सी.

चित्र 2 में निर्मित वर्गों के क्षेत्रफलों का योग उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने चित्र 3 में भुजा c से बनाया है। इसे अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र के अनुसार। और चित्र 3 में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल वर्ग में अंकित चार समान समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को एक भुजा वाले बड़े वर्ग के क्षेत्रफल से घटाकर (ए+बी).

यह सब नीचे रखकर, हमारे पास है: ए 2 + बी 2 \u003d (ए + बी) 2 - 2ab. कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजगणितीय गणना करें और प्राप्त करें ए 2 + बी 2 = ए 2 + बी 2. इसी समय, Fig.3 में खुदा हुआ क्षेत्र। वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है एस=सी2. वे। a2+b2=c2आपने पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

सबूत 3

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन 12वीं शताब्दी में "ज्ञान का मुकुट" ("सिद्धांत शिरोमणि") ग्रंथ में किया गया है, और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभा और छात्रों के अवलोकन की शक्तियों को संबोधित अपील का उपयोग करता है और अनुयायी: "देखो!"।

लेकिन हम इस प्रमाण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, चार समकोण त्रिभुज बनाएं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। बड़े वर्ग की भुजा, जो कर्ण भी है, निरूपित की जाती है साथ. आइए त्रिभुज के पैरों को कॉल करें एकतथा बी. चित्र के अनुसार, भीतरी वर्ग की भुजा है (ए-बी).

वर्ग क्षेत्र सूत्र का प्रयोग करें एस=सी2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और साथ ही आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल और सभी चार समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल को जोड़कर समान मान की गणना करें: (ए-बी) 2 2+4*1\2*ए*बी.

आप यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक ही परिणाम देते हैं, वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और यह आपको यह लिखने का अधिकार देता है कि सी 2 =(ए-बी) 2 +4*1\2*ए*बी. समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा c2=a2+b2. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सबूत 4

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी साक्ष्य को "दुल्हन की कुर्सी" कहा जाता था - कुर्सी जैसी आकृति के कारण जो सभी निर्माणों से उत्पन्न होती है:

यह उस चित्र का उपयोग करता है जिसे हम दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में पहले ही देख चुके हैं। और साइड c वाला भीतरी वर्ग उसी तरह बनाया गया है जैसे ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप मानसिक रूप से चित्र 1 में चित्र से दो हरे समकोण त्रिभुजों को काटते हैं, तो उन्हें वर्ग के विपरीत पक्षों में स्थानांतरित करें और कर्ण को बकाइन त्रिभुजों के कर्ण से जोड़ दें, आपको एक आकृति मिलेगी जिसे "दुल्हन का" कहा जाता है। कुर्सी" (चित्र 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर वर्गों और त्रिकोणों के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्गों द्वारा बनाई गई है: एक तरफ छोटे वाले बीऔर एक पक्ष के साथ बड़ा एक.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और उनका अनुसरण करने वाले हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचने की अनुमति दी कि c2=a2+b2.

सबूत 5

यह ज्यामिति पर आधारित पाइथागोरस प्रमेय का हल खोजने का एक और तरीका है। इसे गारफील्ड विधि कहते हैं।

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए एबीसी. हमें यह साबित करना होगा कि बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, लेग जारी रखें एसीऔर एक खंड बनाएँ सीडी, जो पैर के बराबर है अब. निचला लंबवत विज्ञापनरेखा खंड ईडी. सेगमेंट ईडीतथा एसीबराबर हैं। बिंदुओ को जोडो इतथा पर, साथ ही इतथा सेऔर नीचे दी गई तस्वीर की तरह एक चित्र प्राप्त करें:

टॉवर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं जिसका हमने पहले ही परीक्षण कर लिया है: हम परिणामी आकृति का क्षेत्रफल दो तरह से पाते हैं और भावों को एक दूसरे से बराबरी करते हैं।

बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तरइसे बनाने वाले तीन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़कर किया जा सकता है। और उनमें से एक ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। चलो यह भी न भूलें एबी = सीडी, एसी = ईडीतथा ईसा पूर्व = सीई- यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने और इसे अधिभारित करने की अनुमति नहीं देगा। इसलिए, एस एबीईडी \u003d 2 * 1/2 (एबी * एसी) + 1/2बीसी 2.

साथ ही, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तरएक समलम्बाकार है। इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं: सबेड=(डीई+एबी)*1/2एडी. हमारी गणना के लिए, खंड का प्रतिनिधित्व करना अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापनखंडों के योग के रूप में एसीतथा सीडी.

आइए उनके बीच एक समान चिन्ह लगाकर किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के दोनों तरीके लिखें: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =(डीई+एबी)*1/2(एसी+सीडी). हम पहले से ज्ञात और ऊपर वर्णित खंडों की समानता का उपयोग सरल बनाने के लिए करते हैं दाईं ओररिकॉर्ड: एबी*एसी+1/2बीसी 2 = 1/2(एबी+एसी) 2. और अब हम कोष्ठक खोलते हैं और समानता को रूपांतरित करते हैं: एबी*एसी+1/2बीसी 2 =1/2एसी 2 +2*1/2(एबी*एसी)+1/2एबी 2. सभी परिवर्तनों को समाप्त करने के बाद, हमें वही मिलता है जो हमें चाहिए: बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2. हमने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पाइथागोरस प्रमेय को सदिशों का प्रयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है, जटिल आंकड़े, विभेदक समीकरण, स्टीरियोमेट्री, आदि। और यहां तक ​​​​कि भौतिक विज्ञानी: यदि, उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए समान वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में तरल डाला जाता है। तरल डालने से, परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित करना संभव है।

पाइथागोरस ट्रिपलेट्स के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम पढ़ाया जाता है या नहीं पढ़ा जाता है। इस बीच, यह बहुत दिलचस्प है और है बहुत महत्वज्यामिति में। पाइथागोरस त्रिक का उपयोग कई को हल करने के लिए किया जाता है गणित की समस्याये. उनका विचार आगे की शिक्षा में आपके काम आ सकता है।

तो पाइथागोरस ट्रिपल क्या हैं? इसे ही कहते हैं पूर्णांकों, तीन में एकत्र किया जाता है, जिनमें से दो के वर्गों का योग वर्ग में तीसरी संख्या के बराबर होता है।

पाइथागोरस ट्रिपल हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं);
• गैर-आदिम (यदि एक ट्रिपल की प्रत्येक संख्या को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है जो आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरस ट्रिपल की संख्या के लिए उन्माद से मोहित थे: कार्यों में उन्होंने 3.4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज माना। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस ट्रिपल से संख्याओं के बराबर होती हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार होता है।

पाइथागोरस त्रिक के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि साहित्य में भी लागू होता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: पाइथागोरस प्रमेय समस्याओं में इसका व्यापक अनुप्रयोग पाता है अलग - अलग स्तरकठिनाइयाँ। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो देखें:

आइए विंडो की चौड़ाई को इस प्रकार निरूपित करें बी, तो महान अर्धवृत्त की त्रिज्या को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है आरऔर व्यक्त करें बी: आर = बी / 2. छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या को के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है बी: आर = बी / 4. इस समस्या में, हम विंडो के आंतरिक वृत्त की त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कहते हैं पी).

पाइथागोरस प्रमेय गणना करने के काम आता है आर. ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। एक त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्याएँ होती हैं: बी/4+पी. एक पैर त्रिज्या है बी 4, दूसरा बी/2-पी. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (बी/4+पी) 2 =(बी/4) 2 +(बी/2-पी) 2. अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं बी 2/16+ बीपी / 2 + पी 2 \u003d बी 2/16 + बी 2 / 4-बीपी + पी 2. आइए इस अभिव्यक्ति को . में बदलें बीपी/2=बी 2/4-बीपी. और फिर हम सभी पदों को में विभाजित करते हैं बी, हम प्राप्त करने के लिए समान देते हैं 3/2*पी=बी/4. और अंत में हम पाते हैं कि पी=बी/6- जो हमें चाहिए था।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए छत की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि सिग्नल को एक निश्चित तक पहुंचने के लिए मोबाइल टावर को कितना ऊंचा होना चाहिए इलाका. और यहां तक ​​कि स्थिर रूप से स्थापित करें क्रिसमस वृक्षशहर के चौक में। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पन्नों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

जहां तक ​​साहित्य का संबंध है, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और आज भी जारी है। उदाहरण के लिए, जर्मन लेखकउन्नीसवीं सदी के एडेलबर्ट वॉन चामिसो, उन्होंने एक सॉनेट के लेखन को प्रेरित किया:

सत्य का प्रकाश शीघ्र नहीं बुझेगा,
लेकिन, चमकने के बाद, इसके विलुप्त होने की संभावना नहीं है
और हजारों साल पहले की तरह,
संदेह और विवाद का कारण नहीं बनेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं का धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा घोंपा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस की वापसी का उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह दहाड़ रहे हैं:
बैल जनजाति को हमेशा के लिए जगाया
यहाँ उल्लेखित घटना।

उन्हें लगता है कि यह समय के बारे में है
और फिर उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवादित)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और दो-आयामी दुनिया के बारे में कहानी का आधा अध्याय जो मौजूद हो सकता है यदि पाइथागोरस प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक ​​​​कि धर्म भी बन जाता है। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी होगा: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों का अर्थ नहीं समझता है।

और "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" पुस्तक में, लेखक, गणित शिक्षक तारातारा के मुंह के माध्यम से कहते हैं: "गणित में मुख्य बात विचार, नए विचारों की गति है।" यह विचार की रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय उत्पन्न करती है - यह व्यर्थ नहीं है कि इसके इतने विविध प्रमाण हैं। यह सामान्य से परे जाने और परिचित चीजों को नए तरीके से देखने में मदद करता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया है ताकि आप आगे देख सकें स्कूल के पाठ्यक्रमगणित में और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के उन प्रमाणों को सीखें जो पाठ्यपुस्तकों "ज्यामिति 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) और "ज्योमेट्री 7-11" (A.V. Pogorelov) में दिए गए हैं, लेकिन और अन्य जिज्ञासु तरीके साबित करने के लिए प्रसिद्ध प्रमेय। और यह भी देखें कि पाइथागोरस प्रमेय को दैनिक जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित की कक्षाओं में उच्च स्कोर का दावा करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से विषय पर जानकारी की हमेशा सराहना की जाती है।

दूसरे, हम आपको यह समझने में मदद करना चाहते हैं कि गणित कैसा है दिलचस्प विज्ञान. विशिष्ट उदाहरणों से आश्वस्त होना कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा जगह होती है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख आपको गणित और अन्य विज्ञानों में अपने स्वयं के शोध और रोमांचक खोजों को करने के लिए प्रेरित करेगा।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि क्या आपको लेख में प्रस्तुत साक्ष्य दिलचस्प लगे। क्या आपको यह जानकारी अपनी पढ़ाई में मददगार लगी? हमें बताएं कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हमें आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में खुशी होगी।

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