गणित और सूचना विज्ञान। पूरे पाठ्यक्रम में अध्ययन मार्गदर्शिका

सही कार्य खोजने के लिए आप इस खोज फ़ॉर्म का उपयोग कर सकते हैं। यदि आप इसे जानते हैं तो एक शब्द, कार्य से एक वाक्यांश या उसकी संख्या दर्ज करें।

विश्वास अंतराल: समस्या समाधान की सूची

विश्वास अंतराल: सिद्धांत और समस्याएं

कॉन्फिडेंस इंटरवल को समझना

आइए हम संक्षेप में एक विश्वास अंतराल की अवधारणा का परिचय दें, जो
1) एक संख्यात्मक नमूने के कुछ पैरामीटर का अनुमान सीधे नमूने के डेटा से ही लगाया जाता है,
2) इस पैरामीटर के मान को प्रायिकता के साथ कवर करता है।

विश्वास अंतरालपैरामीटर के लिए एक्स(प्रायिकता γ के साथ) को फॉर्म का अंतराल कहा जाता है, जैसे कि , और मानों की गणना नमूने से किसी तरह से की जाती है।

आमतौर पर, लागू समस्याओं में, आत्मविश्वास की संभावना = 0.9 के बराबर ली जाती है; 0.95; 0.99.

आकार n के कुछ नमूने पर विचार करें, जो से बना है आबादी, सामान्य वितरण कानून के अनुसार संभावित रूप से वितरित। आइए दिखाते हैं कि कौन से सूत्र पाए जाते हैं वितरण मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल - गणितीय अपेक्षाऔर फैलाव (मानक विचलन)।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

मामला एकवितरण प्रसरण ज्ञात और के बराबर है। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एककी तरह लगता है:
टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है

केस 2वितरण विचरण अज्ञात है; नमूने से विचरण के एक बिंदु अनुमान की गणना की गई थी। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एककी तरह लगता है:
, नमूना, पैरामीटर से गणना की गई नमूना माध्य कहां है टीछात्र वितरण तालिका से निर्धारित

उदाहरण।एक निश्चित मान के 7 मापों के डेटा के आधार पर, माप परिणामों का औसत 30 के बराबर और नमूना विचरण 36 के बराबर पाया गया। उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें मापा मूल्य का सही मूल्य 0.99 की विश्वसनीयता के साथ निहित है। .

समाधान।हमे पता करने दें . फिर मापा मूल्य के सही मूल्य वाले अंतराल के लिए आत्मविश्वास की सीमा सूत्र द्वारा पाई जा सकती है:
, जहां नमूना माध्य है, नमूना विचरण है। सभी मानों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

विचरण के लिए विश्वास अंतराल

हम मानते हैं कि, सामान्यतया, गणितीय अपेक्षा अज्ञात है, और विचरण का केवल एक बिंदु निष्पक्ष अनुमान ज्ञात है। तब विश्वास अंतराल ऐसा दिखता है:
, कहाँ पे - तालिकाओं से निर्धारित वितरण मात्रा।

उदाहरण। 7 परीक्षणों के आंकड़ों के आधार पर, मानक विचलन के अनुमान का मूल्य पाया गया एस = 12. विचरण का अनुमान लगाने के लिए बनाए गए विश्वास अंतराल की चौड़ाई 0.9 की प्रायिकता के साथ ज्ञात कीजिए।

समाधान।अज्ञात जनसंख्या विचरण के लिए विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:


फिर कॉन्फिडेंस इंटरवल की चौड़ाई 465.589-71.708=393.881 है।

प्रायिकता के लिए विश्वास अंतराल (प्रतिशत)

मामला एकसमस्या में नमूना आकार और नमूना अंश (सापेक्ष आवृत्ति) ज्ञात होने दें। फिर सामान्य अंश (सच्ची संभावना) के लिए विश्वास अंतराल है:
, जहां पैरामीटर टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है।

केस 2यदि समस्या अतिरिक्त रूप से उस जनसंख्या के कुल आकार को जानती है जिससे नमूना लिया गया था, तो समायोजित सूत्र का उपयोग करके सामान्य अंश (सच्ची संभावना) के लिए विश्वास अंतराल पाया जा सकता है:
.

उदाहरण।यह ज्ञात है कि उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें सामान्य हिस्सा संभाव्यता के साथ समाप्त होता है।

समाधान।हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

आइए शर्त से पैरामीटर खोजें , हम सूत्र में स्थानापन्न प्राप्त करते हैं:

कार्यों के अन्य उदाहरण गणितीय सांख्यिकीआप पेज पर पाएंगे

आँकड़ों में, अनुमान दो प्रकार के होते हैं: बिंदु और अंतराल। बिंदु अनुमानएक एकल नमूना आँकड़ा है जिसका उपयोग जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक बिंदु अनुमान है, और नमूना विचरण एस 2- जनसंख्या विचरण का बिंदु अनुमान 2. यह दिखाया गया कि नमूना माध्य जनसंख्या अपेक्षा का एक निष्पक्ष अनुमान है। नमूना माध्य को निष्पक्ष कहा जाता है क्योंकि सभी नमूने का मतलब (समान नमूना आकार के साथ) एन) सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

नमूना विचरण के क्रम में एस 2जनसंख्या भिन्नता का एक निष्पक्ष अनुमानक बन गया 2, नमूना विचरण के हर के बराबर सेट किया जाना चाहिए एन – 1 , लेकिन नहीं एन. दूसरे शब्दों में, जनसंख्या विचरण सभी संभावित नमूना प्रसरणों का औसत है।

जनसंख्या मापदंडों का आकलन करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि नमूना आँकड़े जैसे , विशिष्ट नमूनों पर निर्भर करते हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, प्राप्त करने के लिए अंतराल अनुमानसामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा नमूना साधनों के वितरण का विश्लेषण करती है (अधिक विवरण के लिए, देखें)। निर्मित अंतराल एक निश्चित आत्मविश्वास स्तर की विशेषता है, जो कि संभावना है कि सामान्य आबादी के सही पैरामीटर का सही अनुमान लगाया गया है। किसी विशेषता के अनुपात का अनुमान लगाने के लिए समान विश्वास अंतराल का उपयोग किया जा सकता है आरऔर सामान्य आबादी का मुख्य वितरित द्रव्यमान।

नोट या प्रारूप में डाउनलोड करें, प्रारूप में उदाहरण

एक ज्ञात मानक विचलन के साथ सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण

सामान्य जनसंख्या में एक विशेषता के अनुपात के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण

इस खंड में, एक विश्वास अंतराल की अवधारणा को श्रेणीबद्ध डेटा तक बढ़ाया गया है। यह आपको सामान्य आबादी में विशेषता के हिस्से का अनुमान लगाने की अनुमति देता है आरएक नमूना शेयर के साथ आरएस= एक्स/एन. जैसा कि उल्लेख किया गया है, यदि मान एनआरतथा एन(1 - पी)संख्या 5 से अधिक, द्विपद वितरणसामान्य के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इसलिए, सामान्य जनसंख्या में एक विशेषता के हिस्से का अनुमान लगाने के लिए आरएक अंतराल का निर्माण करना संभव है जिसका आत्मविश्वास स्तर बराबर है (1 - α)x100%.

कहाँ पे पीएस- सुविधा का नमूना हिस्सा, के बराबर एक्स/एन, अर्थात। नमूना आकार से विभाजित सफलताओं की संख्या, आर- सामान्य आबादी में विशेषता का हिस्सा, जेडमानकीकृत का महत्वपूर्ण मूल्य है सामान्य वितरण, एन- नमूने का आकार।

उदाहरण 3आइए मान लें कि . से सूचना प्रणालीपिछले महीने के भीतर पूरे किए गए 100 चालानों का एक नमूना प्राप्त किया। बता दें कि इनमें से 10 चालान गलत हैं। इस तरह, आर= 10/100 = 0.1. 95% आत्मविश्वास का स्तर महत्वपूर्ण मान Z = 1.96 से मेल खाता है।

इस प्रकार, 95% संभावना है कि 4.12% और 15.88% के बीच चालान में त्रुटियां हैं।

किसी दिए गए नमूने के आकार के लिए, सामान्य जनसंख्या में विशेषता के अनुपात वाले विश्वास अंतराल एक सतत यादृच्छिक चर की तुलना में व्यापक प्रतीत होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक सतत यादृच्छिक चर के माप में श्रेणीबद्ध डेटा के मापन की तुलना में अधिक जानकारी होती है। दूसरे शब्दों में, केवल दो मान लेने वाले श्रेणीबद्ध डेटा में उनके वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए अपर्याप्त जानकारी होती है।

परपरिमित जनसंख्या से प्राप्त अनुमानों की गणना

गणितीय अपेक्षा का अनुमान।अंतिम जनसंख्या के लिए सुधार कारक ( पांचवें वेतन आयोग) का उपयोग मानक त्रुटि को एक कारक द्वारा कम करने के लिए किया गया था। जनसंख्या पैरामीटर अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल की गणना करते समय, उन स्थितियों में एक सुधार कारक लागू किया जाता है जहां नमूने बिना प्रतिस्थापन के लिए जाते हैं। इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल, जिसका कॉन्फिडेंस लेवल के बराबर होता है (1 - α)x100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 4एक सीमित आबादी के लिए एक सुधार कारक के आवेदन को स्पष्ट करने के लिए, आइए हम ऊपर उदाहरण 3 में चर्चा की गई चालानों की औसत राशि के लिए विश्वास अंतराल की गणना करने की समस्या पर लौटते हैं। मान लीजिए कि एक कंपनी प्रति माह 5,000 चालान जारी करती है, और एक्स=110.27 अमरीकी डालर, एस= $28.95 एन = 5000, एन = 100, α = 0.05, t99 = 1.9842। सूत्र (6) के अनुसार हम प्राप्त करते हैं:

सुविधा के हिस्से का अनुमान।नो रिटर्न चुनते समय, कॉन्फिडेंस इंटरवल उस फीचर के अनुपात के लिए होता है जिसका कॉन्फिडेंस लेवल के बराबर होता है (1 - α)x100%, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

विश्वास अंतरालऔर नैतिक मुद्दे

जनसंख्या का नमूना लेते समय और सांख्यिकीय निष्कर्ष तैयार करते समय, नैतिक समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं। मुख्य बात यह है कि विश्वास अंतराल और बिंदु अनुमान कैसे सहमत होते हैं। नमूना आँकड़े. उचित विश्वास अंतराल (आमतौर पर 95% आत्मविश्वास के स्तर पर) निर्दिष्ट किए बिना प्रकाशन बिंदु अनुमान और जिस नमूना आकार से वे प्राप्त किए गए हैं, वे भ्रामक हो सकते हैं। इससे उपयोगकर्ता को यह आभास हो सकता है कि एक बिंदु अनुमान ठीक वही है जो उसे पूरी आबादी के गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए चाहिए। इस प्रकार यह समझना आवश्यक है कि किसी भी शोध में बिंदु नहीं, बल्कि अंतराल अनुमानों को सबसे आगे रखा जाना चाहिए। इसके अलावा, विशेष ध्यान देना चाहिए सही पसंदनमूना आकार।

सबसे अधिक बार, सांख्यिकीय जोड़तोड़ की वस्तुएं विभिन्न राजनीतिक मुद्दों पर जनसंख्या के समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण के परिणाम हैं। साथ ही सर्वेक्षण के परिणामों को समाचार पत्रों के पहले पन्ने पर रखा जाता है, और नमूना त्रुटि और सांख्यिकीय विश्लेषण की पद्धति बीच में कहीं छपी होती है। प्राप्त बिंदु अनुमानों की वैधता को साबित करने के लिए, नमूना आकार को इंगित करना आवश्यक है जिसके आधार पर उन्हें प्राप्त किया गया था, विश्वास अंतराल की सीमाएं और इसका महत्व स्तर।

अगला नोट

लेविन एट अल पुस्तक से सामग्री प्रबंधकों के लिए सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है। - एम .: विलियम्स, 2004. - पी। 448-462

केंद्रीय सीमा प्रमेययह बताता है कि, पर्याप्त रूप से बड़े नमूना आकार को देखते हुए, साधनों के नमूना वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह संपत्ति जनसंख्या वितरण के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है।

अक्सर मूल्यांकक को उस खंड के अचल संपत्ति बाजार का विश्लेषण करना पड़ता है जिसमें मूल्यांकन वस्तु स्थित होती है। यदि बाजार विकसित होता है, तो प्रस्तुत वस्तुओं के पूरे सेट का विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए विश्लेषण के लिए वस्तुओं के नमूने का उपयोग किया जाता है। यह नमूना हमेशा सजातीय नहीं होता है, कभी-कभी इसे चरम सीमाओं से मुक्त करने की आवश्यकता होती है - बहुत अधिक या बहुत कम बाजार की पेशकश। इस उद्देश्य के लिए, इसे लागू किया जाता है विश्वास अंतराल. लक्ष्य ये पढाई- कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना के लिए दो तरीकों का तुलनात्मक विश्लेषण करें और एस्टिमेटिका.प्रो सिस्टम में विभिन्न नमूनों के साथ काम करते समय सबसे अच्छा गणना विकल्प चुनें।

विश्वास अंतराल - नमूने के आधार पर गणना की जाती है, विशेषता के मूल्यों का अंतराल, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या का अनुमानित पैरामीटर होता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना का मतलब सैंपल डेटा से एक ऐसा इंटरवल बनाना है, जिससे इसे के साथ जोड़ा जा सके दी गई संभावनाकि अनुमानित पैरामीटर का मान इस अंतराल में है। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित संभावना वाले विश्वास अंतराल में अनुमानित मात्रा का अज्ञात मान होता है। अंतराल जितना व्यापक होगा, अशुद्धि उतनी ही अधिक होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल को निर्धारित करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं। इस लेख में, हम 2 तरीकों पर विचार करेंगे:

• माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से;
• टी-सांख्यिकी (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से।

चरणों तुलनात्मक विश्लेषण विभिन्न तरीकेसीआई गणना:

1. एक डेटा नमूना बनाएं;

2. इसे संसाधित करें सांख्यिकीय पद्धतियां: माध्य, माध्यिका, विचरण, आदि की गणना करें;

3. हम विश्वास अंतराल की गणना दो तरीकों से करते हैं;

4. साफ किए गए नमूनों और प्राप्त विश्वास अंतराल का विश्लेषण करें।

चरण 1. डेटा नमूनाकरण

नमूना estimatica.pro प्रणाली का उपयोग करके बनाया गया था। नमूने में "ख्रुश्चेव" योजना के प्रकार के साथ तीसरे मूल्य क्षेत्र में 1-कमरे वाले अपार्टमेंट की बिक्री के लिए 91 ऑफ़र शामिल थे।

तालिका 1. प्रारंभिक नमूना

चित्र एक। प्रारंभिक नमूना

चरण 2. प्रारंभिक नमूने का प्रसंस्करण

सांख्यिकीय विधियों द्वारा नमूना प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित मूल्यों की गणना की आवश्यकता होती है:

1. अंकगणित माध्य

2. माध्यिका - एक संख्या जो नमूने की विशेषता बताती है: नमूना तत्वों का ठीक आधा माध्यिका से बड़ा होता है, दूसरा आधा माध्यिका से कम होता है

(एक विषम संख्या के मानों वाले नमूने के लिए)

3. रेंज - नमूने में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर

4. भिन्नता - डेटा में भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है

5. नमूने के लिए मानक विचलन (बाद में आरएमएस के रूप में संदर्भित) अंकगणितीय माध्य के आसपास समायोजन मूल्यों के फैलाव का सबसे सामान्य संकेतक है।

6. भिन्नता का गुणांक - समायोजन मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है

7. दोलन गुणांक - औसत के आसपास के नमूने में कीमतों के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है

तालिका 2. मूल नमूने के सांख्यिकीय संकेतक

भिन्नता का गुणांक, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, 12.29% है, लेकिन दोलन का गुणांक बहुत बड़ा है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मूल नमूना सजातीय नहीं है, तो चलिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं।

चरण 3. विश्वास अंतराल की गणना

विधि 1. माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना।

विश्वास अंतराल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: न्यूनतम मान - मानक विचलन माध्यिका से घटाया जाता है; अधिकतम मान - मानक विचलन को माध्यिका में जोड़ा जाता है।

इस प्रकार, कॉन्फिडेंस इंटरवल (47179 सीयू; 60689 सीयू)

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 1.

विधि 2. टी-सांख्यिकी के महत्वपूर्ण मूल्य (छात्र गुणांक) के माध्यम से एक आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण

एस.वी. पुस्तक में ग्रिबोव्स्की " गणितीय तरीकेसंपत्ति मूल्य मूल्यांकन" यह बताता है कि छात्र के गुणांक के माध्यम से आत्मविश्वास अंतराल की गणना कैसे करें। इस पद्धति द्वारा गणना करते समय, अनुमानक को स्वयं महत्व स्तर ∝ निर्धारित करना चाहिए, जो उस संभावना को निर्धारित करता है जिसके साथ विश्वास अंतराल बनाया जाएगा। 0.1 के महत्व के स्तर आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं; 0.05 और 0.01। वे पत्राचार आत्मविश्वास की संभावनाएं 0.9; 0.95 और 0.99। इस पद्धति के साथ, गणितीय अपेक्षा और विचरण के वास्तविक मूल्यों को व्यावहारिक रूप से अज्ञात माना जाता है (जो हल करते समय लगभग हमेशा सत्य होता है व्यावहारिक कार्यरेटिंग)।

कॉन्फिडेंस इंटरवल फॉर्मूला:

एन - नमूना आकार;

महत्व स्तर ∝ के साथ टी-सांख्यिकी (छात्र का वितरण) का महत्वपूर्ण मूल्य, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n-1, जो विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं या एमएस एक्सेल (→ "सांख्यिकीय" → STUDRASPOBR) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है;

- महत्व स्तर, हम ∝=0.01 लेते हैं।

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 2.

चरण 4. विश्वास अंतराल की गणना करने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण

विश्वास अंतराल की गणना करने के दो तरीके - माध्यिका और छात्र के गुणांक के माध्यम से - के कारण विभिन्न मूल्यअंतराल। तदनुसार, दो अलग-अलग शुद्ध नमूने प्राप्त किए गए थे।

तालिका 3. तीन नमूनों के लिए सांख्यिकीय संकेतक।

प्रदर्शन की गई गणनाओं के आधार पर, हम कह सकते हैं कि विभिन्न तरीकों से प्राप्त विश्वास अंतराल के मान प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए आप मूल्यांकक के विवेक पर गणना के किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, हम मानते हैं कि एस्टिमेटिका.प्रो सिस्टम में काम करते समय, बाजार के विकास की डिग्री के आधार पर, विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि चुनना उचित है:

• यदि बाजार विकसित नहीं है, तो माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना की विधि लागू करें, क्योंकि इस मामले में सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या कम है;
• यदि बाजार विकसित है, तो टी-सांख्यिकी (छात्र गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से गणना लागू करें, क्योंकि एक बड़ा प्रारंभिक नमूना बनाना संभव है।

लेख तैयार करने में उपयोग किया गया था:

1. ग्रिबोव्स्की एस.वी., सिवेट्स एस.ए., लेविकिना आई.ए. संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके। मॉस्को, 2014

2. estimatica.pro सिस्टम से डेटा

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह एक ऐसा अंतराल है जिसकी गणना डेटा से की जाती है, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए प्राकृतिक अनुमान इसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, आगे पाठ के दौरान हम "औसत", "औसत मूल्य" शब्दों का प्रयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना की समस्याओं में, सबसे अधिक बार आवश्यक उत्तर है "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [एक विशिष्ट समस्या में मूल्य] [निम्न मूल्य] से [उच्च मूल्य] तक है"। विश्वास अंतराल की सहायता से, न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन करना संभव है, बल्कि सामान्य जनसंख्या की एक या दूसरी विशेषता का हिस्सा भी है। औसत, भिन्नता, मानक विचलनऔर जिस त्रुटि के माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों पर आएंगे, उसका पाठ में विश्लेषण किया गया है नमूना और जनसंख्या लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि सामान्य जनसंख्या का औसत मूल्य एक संख्या (बिंदु) से अनुमानित किया जाता है, तो अज्ञात के अनुमान के लिए मध्यम आकारसामान्य जनसंख्या का, एक विशिष्ट माध्य लिया जाता है, जिसकी गणना प्रेक्षणों के नमूने से की जाती है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूने के औसत मूल्य को इंगित करते समय, उसी समय नमूना त्रुटि को इंगित करना भी आवश्यक है। मानक त्रुटि का उपयोग नमूना त्रुटि के माप के रूप में किया जाता है, जिसे समान इकाइयों में माध्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन अक्सर प्रयोग किया जाता है:।

यदि माध्य के अनुमान को एक निश्चित संभाव्यता के साथ जोड़ा जाना आवश्यक है, तो ब्याज की सामान्य आबादी के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से होना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक अंतराल है जिसमें एक निश्चित संभावना के साथ, पीसामान्य जनसंख्या के अनुमानित संकेतक का मूल्य पाया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें प्रायिकता के साथ पी = 1 - α एक यादृच्छिक चर है, इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो आँकड़ों पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और जनसंख्या माध्य नमूना माध्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि

• सामान्य जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र में जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, नमूना आकार है एनके साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1एक निश्चित शहर में बेतरतीब ढंग से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की जाती है कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या का 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 और 11.4 के बीच था।

उदाहरण 2 64 अवलोकनों की सामान्य आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

मानक विचलन की गणना करें:

,

औसत मूल्य की गणना करें:

.

विश्वास अंतराल के लिए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3 100 प्रेक्षणों की सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए 15.2 के माध्य मान और 3.2 के मानक विचलन की गणना की गई। अपेक्षित मान के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की गणना करें। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता समान रहती है, लेकिन विश्वास कारक बढ़ता है, तो क्या विश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

फिर से, हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे आत्मविश्वास कारक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और इसलिए, अंतराल के प्रारंभ और अंत बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास अंतराल बढ़ती है।

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

नमूने की कुछ विशेषता के विशिष्ट भार की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है बिंदु लागतविशिष्ट गुरुत्व पीसामान्य आबादी में एक ही विशेषता। यदि इस मान को किसी प्रायिकता से संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभावना के साथ सामान्य आबादी में सुविधा पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4एक निश्चित शहर में दो उम्मीदवार हैं एतथा बीमहापौर के लिए चल रहा है। शहर के 200 निवासियों को बेतरतीब ढंग से मतदान किया गया, जिनमें से 46% ने उत्तर दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर के निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

कानून के अधीन एक सामान्य आबादी से एक नमूना बनाया जाए सामान्यवितरण एक्सएन( एम;  ) गणितीय आँकड़ों की यह मूल धारणा केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित है। सामान्य मानक विचलन ज्ञात होने दें  , लेकिन सैद्धांतिक वितरण की गणितीय अपेक्षा अज्ञात है एम(अर्थ )।

इस मामले में, नमूना मतलब , प्रयोग के दौरान प्राप्त किया गया (खंड 3.4.2), एक यादृच्छिक चर भी होगा एम;
) फिर "सामान्यीकृत" विचलन
N(0;1) एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर है।

समस्या के लिए एक अंतराल अनुमान खोजने के लिए है एम. आइए हम इसके लिए दो-तरफा विश्वास अंतराल का निर्माण करें एम ताकि वास्तविक गणितीय अपेक्षा दी गई संभावना (विश्वसनीयता) के साथ उससे संबंधित हो  .

मान के लिए ऐसा अंतराल सेट करें
का अर्थ है इस मात्रा का अधिकतम मूल्य ज्ञात करना
और न्यूनतम
, जो महत्वपूर्ण क्षेत्र की सीमाएँ हैं:
.

इसलिये यह संभावना है
, तो इस समीकरण की जड़
लैपलेस फ़ंक्शन की तालिकाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है (तालिका 3, परिशिष्ट 1)।

फिर संभावना के साथ  यह तर्क दिया जा सकता है कि यादृच्छिक चर
, अर्थात्, वांछित सामान्य माध्य अंतराल के अंतर्गत आता है
. (3.13)

मूल्य
(3.14)

बुलाया शुद्धताअनुमान।

संख्या
– मात्रासामान्य वितरण - 2Ф के अनुपात को देखते हुए, लैपलेस फ़ंक्शन (तालिका 3, परिशिष्ट 1) के तर्क के रूप में पाया जा सकता है। तुम)=, अर्थात। एफ( तुम)=
.

इसके विपरीत, निर्दिष्ट विचलन मान के अनुसार  यह ज्ञात करना संभव है कि अज्ञात सामान्य माध्य किस प्रायिकता के साथ अंतराल से संबंधित है
. ऐसा करने के लिए, आपको गणना करने की आवश्यकता है

. (3.15)

मान लीजिए कि पुन: चयन की विधि द्वारा सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूना लिया जाता है। समीकरण से
पाया जा सकता है न्यूनतमपुन: नमूनाकरण मात्रा एनयह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि दी गई विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं था  . आवश्यक नमूना आकार का अनुमान सूत्र का उपयोग करके लगाया जाता है:

. (3.16)

तलाश अनुमान सटीकता
:

1) नमूना आकार बढ़ाने के साथ एनआकार  कम हो जाती है, और इसलिए अनुमान की सटीकता बढ़ती है.

2) सी बढ़ोतरीअनुमानों की विश्वसनीयता तर्क का मूल्य बढ़ा हुआ है तुम(इसलिये एफ(तुम) नीरस रूप से बढ़ता है) और इसलिए बढ़ती है  . इस मामले में, विश्वसनीयता में वृद्धि कम कर देता हैइसके मूल्यांकन की सटीकता  .

आकलन
(3.17)

बुलाया क्लासिक(कहाँ पे टीएक पैरामीटर है जो निर्भर करता है तथा एन), इसलिये यह सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले वितरण कानूनों की विशेषता है।

3.5.3 अज्ञात मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल

बता दें कि सामान्य जनसंख्या सामान्य वितरण के कानून के अधीन है एक्सएन( एम; ), जहां मूल्य वर्गमूल औसत का वर्गविचलन अनजान।

सामान्य माध्य का अनुमान लगाने के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने के लिए, इस मामले में, आँकड़ों का उपयोग किया जाता है
, जिसमें एक छात्र का वितरण है क= एन-1 डिग्री स्वतंत्रता। यह इस तथ्य से होता है कि N(0;1) (आइटम 3.5.2 देखें), और
(खंड 3.5.3 देखें) और छात्र के वितरण की परिभाषा से (भाग 1.खंड 2.11.2)।

आइए हम विद्यार्थी के वितरण के शास्त्रीय अनुमान की सटीकता का पता लगाएं: अर्थात। पाना टीसूत्र (3.17) से। माना असमानता को पूरा करने की प्रायिकता
विश्वसनीयता द्वारा दिया गया  :

. (3.18)

क्यों कि टीसेंट( एन-1), यह स्पष्ट है कि टीनिर्भर करता है  तथा एन, इसलिए हम आम तौर पर लिखते हैं
.

(3.19)

कहाँ पे
के साथ विद्यार्थी का वितरण फलन है एन-1 डिग्री स्वतंत्रता।

के लिए इस समीकरण को हल करना एम, हमें अंतराल मिलता है
जो विश्वसनीयता के साथ  अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है एम.

मूल्य टी  , एन-1, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है टी(एन-1), के साथ छात्र द्वारा वितरित एन-1 डिग्री की स्वतंत्रता कहलाती है छात्र का गुणांक. इसे दिए गए मानों द्वारा पाया जाना चाहिए एनऔर  टेबल से " महत्वपूर्ण बिंदुछात्र वितरण। (सारणी 6, परिशिष्ट 1), जो समीकरण (3.19) के हल हैं।

नतीजतन, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: शुद्धतागणितीय अपेक्षा (सामान्य माध्य) का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल, यदि विचरण अज्ञात है:

(3.20)

इस प्रकार, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक सामान्य सूत्र है:

विश्वास अंतराल की सटीकता कहाँ है  ज्ञात या अज्ञात विचरण के आधार पर क्रमशः सूत्रों के अनुसार 3.16 पाया जाता है। और 3.20.

कार्य 10.कुछ परीक्षण किए गए, जिनके परिणाम तालिका में सूचीबद्ध हैं:

यह ज्ञात है कि वे सामान्य वितरण कानून का पालन करते हैं
. एक अनुमान खोजें एम*गणितीय अपेक्षा के लिए एम, इसके लिए 90% कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाएं।

समाधान:

इसलिए, एम(2.53;5.47).

टास्क 11.समुद्र की गहराई को एक उपकरण द्वारा मापा जाता है जिसकी व्यवस्थित त्रुटि 0 है, और यादृच्छिक त्रुटियों को मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।  =15मी. 90% के आत्मविश्वास स्तर के साथ 5 मीटर से अधिक की त्रुटियों के साथ गहराई निर्धारित करने के लिए कितने स्वतंत्र माप किए जाने चाहिए?

समाधान:

समस्या की स्थिति से, हमारे पास है एक्सएन( एम;  ), कहाँ पे  =15मी,  = 5 मी,  =0.9. आइए जानते हैं वॉल्यूम एन.

1) दी गई विश्वसनीयता = 0.9 के साथ, हम टेबल 3 (परिशिष्ट 1) से लैपलेस फ़ंक्शन का तर्क पाते हैं तुम  = 1.65.

2) दी गई अनुमान सटीकता को जानना  =तुम  = 5, खोजें
. हमारे पास है

. इसलिए, परीक्षणों की संख्या एन 25.

कार्य 12.तापमान नमूनाकरण टीजनवरी के पहले 6 दिनों के लिए तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

उम्मीद के लिए विश्वास अंतराल खोजें एमविश्वास संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या
और सामान्य मानक विचलन का अनुमान लगाएं एस.

समाधान:

तथा
.

2) निष्पक्ष अनुमान सूत्र द्वारा खोजें
:

;
;

.

3) चूँकि सामान्य प्रसरण अज्ञात है, लेकिन इसका अनुमान ज्ञात है, तो गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए एमहम विद्यार्थी के बंटन (तालिका 6, अनुबंध 1) और सूत्र (3.20) का उपयोग करते हैं।

इसलिये एन 1 =एन 2 = 6, तब ,
, एस 1 = 6.85 हमारे पास है:
, इसलिए -29.2-4.1<एम 1 < -29.2+4.1.

इसलिए -33.3<एम 1 <-25.1.

इसी तरह, हमारे पास है
, एस 2 = 4.8, तो

–34.9< एम 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: एम 1 (-33.3;-25.1) और एम 2 (-34.9;-29.1).

अनुप्रयुक्त विज्ञान में, उदाहरण के लिए, निर्माण विषयों में, वस्तुओं की सटीकता का आकलन करने के लिए आत्मविश्वास अंतराल की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, जो प्रासंगिक संदर्भ साहित्य में दिए गए हैं।