गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल। सामान्य आबादी की गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण
बता दें कि CB X सामान्य जनसंख्या बनाता है और β एक अज्ञात पैरामीटर CB X है। यदि * में सांख्यिकीय अनुमान संगत है, तो नमूना आकार जितना बड़ा होगा, β का मान उतना ही सटीक होगा। हालाँकि, व्यवहार में, हमारे पास बहुत बड़े नमूने नहीं हैं, इसलिए हम अधिक सटीकता की गारंटी नहीं दे सकते।
चलो एस * एस के लिए एक सांख्यिकीय अनुमान हो। मात्रा |में* -में| अनुमान सटीकता कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि शुद्धता CB है, क्योंकि s* एक यादृच्छिक चर है। आइए हम एक छोटी सकारात्मक संख्या 8 सेट करें और आवश्यकता है कि अनुमान की सटीकता |in* - in| 8 से कम था, यानी | में* - में |< 8.
विश्वसनीयता जी या आत्मविश्वास का स्तरद्वारा अनुमान में * प्रायिकता g है जिसके साथ असमानता |in * - in| है< 8, т. е.
आमतौर पर, जी की विश्वसनीयता पहले से निर्धारित की जाती है, और, जी के लिए, वे 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) के करीब एक संख्या लेते हैं।
असमानता के बाद से |* में - में|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:
अंतराल (* - 8 में, * + 5 में) को विश्वास अंतराल कहा जाता है, अर्थात। विश्वास अंतरालप्रायिकता y के साथ अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है। ध्यान दें कि विश्वास अंतराल के अंत यादृच्छिक होते हैं और नमूने से नमूने में भिन्न होते हैं, इसलिए यह कहना अधिक सटीक है कि अंतराल (* - 8 पर, * + 8 पर) अज्ञात पैरामीटर β को कवर करता है बजाय β इस अंतराल से संबंधित है .
होने देना आबादीपर वितरित एक यादृच्छिक चर एक्स द्वारा दिया गया सामान्य कानून, इसके अलावा, औसत मानक विचलनलेकिन यह ज्ञात है। अज्ञात है अपेक्षित मूल्यए = एम (एक्स)। दी गई विश्वसनीयता y के लिए a के लिए विश्वास्यता अंतराल ज्ञात करना आवश्यक है।
नमूना माध्य
है सांख्यिकीय मूल्यांकनएक्सआर = ए के लिए।
प्रमेय। यादृच्छिक मूल्यएक्सबी है सामान्य वितरणयदि X का सामान्य वितरण है, और M(XB) = a,
ए (एक्सबी) \u003d ए, जहां ए \u003d वाई / बी (एक्स), ए \u003d एम (एक्स)। मैं / मैं
a के लिए विश्वास अंतराल का रूप है:
हम 8 पाते हैं।
अनुपात का प्रयोग करना
जहां एफ (जी) लैपलेस फ़ंक्शन है, हमारे पास है:
पी (| एक्सबी - ए |<8} = 2Ф
हम लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका में t का मान पाते हैं।
दर्शाने
टी, हमें एफ (टी) = जी मिलता है
समानता से खोजें - अनुमान की सटीकता।
इसलिए a के लिए कॉन्फ़िडेंस इंटरवल का रूप है:
यदि सामान्य जनसंख्या X से एक नमूना दिया जाता है
| एनजी | प्रति" | X2 | एक्सएम |
| एन। | एन 1 | एन 2 | एनएम |
n = U1 + ... + nm, तो विश्वास अंतराल होगा:
उदाहरण 6.35। नमूना माध्य Xb = 10.43, नमूना आकार n = 100, और मानक विचलन s = 5 जानते हुए, 0.95 की विश्वसनीयता के साथ एक सामान्य वितरण की अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल का पता लगाएं।
आइए सूत्र का उपयोग करें
सेवा कार्य. यह सेवा परिभाषित करती है:
- सामान्य माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल, विचरण के लिए विश्वास्यता अंतराल;
- मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल;
उदाहरण 1। एक सामूहिक खेत पर, 1,000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण के अधीन किया गया था। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ 4.2 किलोग्राम की औसत ऊन कतरनी स्थापित की गई। 0.99 की प्रायिकता के साथ निर्धारित करें कि प्रति भेड़ औसत ऊन कतरनी का निर्धारण करने में नमूने की मानक त्रुटि और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है।
उदाहरण #2। मास्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक पुन: नमूने के क्रम में लिए गए थे। जाँच के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी की मात्रा स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी की मात्रा की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण #3। 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला है कि प्रति शैक्षणिक वर्ष में उनके द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 हो गई। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, ज्ञात कीजिए। : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) किस संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति सेमेस्टर में एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या, इस नमूने के लिए गणना की गई, गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं है।
विश्वास अंतराल का वर्गीकरण
मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार से:
नमूना प्रकार से:
- अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
- अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
यादृच्छिक चयन के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना
नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संबंधित मापदंडों के बीच विसंगति को कहा जाता है प्रतिनिधित्व त्रुटि.सामान्य और नमूना जनसंख्या के मुख्य मापदंडों का पदनाम।
| नमूना माध्य त्रुटि सूत्र | |||
| पुनर्चयन | गैर-दोहराव चयन | ||
| मध्य के लिए | शेयर के लिए | मध्य के लिए | शेयर के लिए |
 |
|||
उचित यादृच्छिक चयन पद्धति के साथ नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र
उम्मीद के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल
1. बता दें कि एसएल। मात्रा x अज्ञात माध्य μ और ज्ञात σ 2 के साथ सामान्य कानून का पालन करता है: X~N(μ,σ 2), σ 2 दिया गया है, μ ज्ञात नहीं है। दिया गया है। नमूना x 1, x 2, … , x n के आधार पर I β (θ) (अब θ=μ) संतोषजनक (13) बनाना आवश्यक है
नमूना माध्य (वे नमूना माध्य भी कहते हैं) समान केंद्र μ के साथ सामान्य नियम का पालन करता है, लेकिन एक छोटा विचरण X~N (μ , D ), जहां विचरण D =σ 2 =σ 2 /n है।
हमें शर्त के अनुसार ξ~N(0,1) के लिए परिभाषित संख्या K β की आवश्यकता है
शब्दों में: एक्स-अक्ष के अंक -के β और के β के बीच मानक सामान्य कानून के घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र है, जो β के बराबर है
उदाहरण के लिए, K 0.90 \u003d 1.645 मात्रा का स्तर 0.95 का मान ξ
के 0.95 = 1.96। ; के 0.997 \u003d 3।
विशेष रूप से, किसी भी सामान्य कानून के केंद्र से दाईं ओर 1.96 मानक विचलन और बाईं ओर समान राशि सेट करके, हम 0.95 के बराबर घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र पर कब्जा कर लेंगे, जिसके कारण K 0 95 की मात्रा है इस कानून के लिए स्तर 0.95 + 1/2 * 0.005 = 0.975।
सामान्य औसत μ के लिए वांछित आत्मविश्वास अंतराल I A (μ) = (x-σ, x + σ) है,
जहां δ = 
(15)
आइए औचित्य दें:
जो कहा गया है उसके अनुसार, मान प्रायिकता β (चित्र 9) के साथ अंतराल J=μ±σ में आता है। इस स्थिति में, मान δ से कम केंद्र μ और यादृच्छिक अंतराल से विचलित होता है ± δ (एक यादृच्छिक केंद्र और J के समान चौड़ाई के साथ) बिंदु μ को कवर करेगा। वह है एफ जे<=> μ Є मैं बीटा,और इसलिए Р(μЄІ β ) = Р( Є J )=β.
तो, नमूना-निरंतर अंतराल I β में संभाव्यता β के साथ माध्य μ होता है।
स्पष्ट रूप से, अधिक एन, कम σ और अंतराल संकरा होता है, और जितना बड़ा हम गारंटी लेते हैं, विश्वास अंतराल उतना ही व्यापक होता है।
उदाहरण 21।
n=16 वाले नमूने के लिए सामान्य मान के लिए एक ज्ञात विचरण के साथ σ 2 =64 x=200 पाया गया। सामान्य माध्य (दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा के लिए) μ के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करें, β=0.95 मानकर।
समाधान। I β (μ)= ± δ, जहां δ = К β σ/ -> К β σ/ =1.96*8/ = 4
मैं 0.95 (μ)=200 4=(196;204).
यह निष्कर्ष निकालते हुए कि, β=0.95 की गारंटी के साथ, सही माध्य अंतराल (196.204) से संबंधित है, हम समझते हैं कि एक त्रुटि संभव है।
100 विश्वास अंतराल I 0.95 (μ) में से औसतन 5 में μ नहीं होता है।
उदाहरण 22।
पिछले उदाहरण 21 की शर्तों में, आत्मविश्वास अंतराल को आधा करने के लिए क्या लिया जाना चाहिए? 2δ=4 प्राप्त करने के लिए, एक को लेना होगा 
व्यवहार में, एक तरफा विश्वास अंतराल अक्सर उपयोग किया जाता है। इसलिए, यदि μ के उच्च मूल्य उपयोगी हैं या भयानक नहीं हैं, लेकिन कम वाले सुखद नहीं हैं, जैसा कि ताकत या विश्वसनीयता के मामले में है, तो एकतरफा अंतराल का निर्माण करना उचित है। ऐसा करने के लिए, आपको इसकी ऊपरी सीमा को यथासंभव बढ़ाना चाहिए। उदाहरण 21 की तरह, यदि हम दिए गए β के लिए दो तरफा विश्वास अंतराल का निर्माण करते हैं, और फिर सीमाओं में से किसी एक के कारण जितना संभव हो उतना विस्तार करते हैं, तो हमें अधिक गारंटी के साथ एक तरफा अंतराल मिलता है β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, उदाहरण के लिए, यदि β = 0.90, तो β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95।
उदाहरण के लिए, हम मान लेंगे कि हम उत्पाद की ताकत के बारे में बात कर रहे हैं और अंतराल की ऊपरी सीमा को बढ़ा देंगे। फिर उदाहरण 21 में μ के लिए हमें 196 की निचली सीमा के साथ एक तरफा विश्वास अंतराल (196,°°) और एक विश्वास संभावना β"=0.95+0.05/2=0.975 मिलती है।
सूत्र (15) का व्यावहारिक नुकसान यह है कि यह इस धारणा के तहत निकाला गया है कि फैलाव = σ 2 (इसलिए = σ 2 /n) ज्ञात है; और वास्तविक जीवन में ऐसा कम ही होता है। अपवाद तब होता है जब नमूना आकार बड़ा होता है, कहते हैं, n को सैकड़ों या हजारों में मापा जाता है, और फिर σ 2 के लिए हम व्यावहारिक रूप से इसका अनुमान s 2 या ले सकते हैं।
उदाहरण 23।
मान लीजिए, किसी बड़े शहर में, निवासियों की रहने की स्थिति के एक नमूना सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित डेटा तालिका प्राप्त की गई (उदाहरण काम से)।
तालिका 8
उदाहरण के लिए स्रोत डेटा
ऐसा मानना स्वाभाविक है मूल्य एक्स - कुल (उपयोगी) क्षेत्र (एम 2 में) प्रति व्यक्ति सामान्य कानून का पालन करता है। माध्य μ और प्रसरण σ 2 ज्ञात नहीं हैं। μ के लिए, 95% विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है। समूहीकृत डेटा से नमूना माध्य और प्रसरण खोजने के लिए, हम गणना की निम्न तालिका (तालिका 9) संकलित करेंगे।
तालिका 9
समूहीकृत डेटा पर एक्स और 5 गणना
| एन ग्रुप एच | प्रति व्यक्ति कुल क्षेत्रफल, मी 2 | समूह आर जे में निवासियों की संख्या | अंतराल एक्स जे | आर जे एक्स जे | आरजेएक्सजे 2 |
| 5.0 तक | 2.5 | 20.0 | 50.0 | ||
| 5.0-10.0 | 7.5 | 712.5 | 5343.75 | ||
| 10.0-15.0 | 12.5 | 2550.0 | 31875.0 | ||
| 15.0-20.0 | 17.5 | 4725.0 | 82687.5 | ||
| 20.0-25.0 | 22.5 | 4725.0 | 106312.5 | ||
| 25.0-30.0 | 27.5 | 3575.0 | 98312.5 | ||
| 30.0 से अधिक | 32.5 * | 2697.5 | 87668.75 | ||
| - | 19005.0 | 412250.0 |
इस सहायक तालिका में, सूत्र (2) के अनुसार, पहले और दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षणों की गणना की जाती है एक 1तथा एक 2
यद्यपि प्रसरण σ 2 यहाँ अज्ञात है, बड़े नमूने के आकार के कारण, सूत्र (15) को व्यवहार में लागू किया जा सकता है, इसमें σ= =7.16 की स्थापना की जा सकती है।
तब δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46।
β = 0.95 पर सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) है।
इसलिए, इस शहर में प्रति व्यक्ति क्षेत्र का औसत मूल्य 0.95 की गारंटी के साथ अंतराल (18.54; 19.46) में है।
2. सामान्य मान के अज्ञात विचरण σ 2 के मामले में गणितीय अपेक्षा μ के लिए विश्वास अंतराल। दी गई गारंटी β के लिए यह अंतराल सूत्र के अनुसार बनाया गया है, जहां ν = n-1,
(16)
गुणांक t β, ν का t के लिए समान अर्थ है - स्वतंत्रता की ν डिग्री के साथ वितरण, वितरण N (0,1) के लिए β के लिए, अर्थात्:
.
दूसरे शब्दों में, क्र.सं. मान tν प्रायिकता β के साथ अंतराल (-t β, ν ; + t β, ν) में आता है। β=0.95 और β=0.99 के लिए tβ,ν के मान तालिका 10 में दिए गए हैं।
तालिका 10
मान टी β, ν
उदाहरण 23 पर लौटते हुए, हम देखते हैं कि इसमें विश्वास अंतराल सूत्र (16) के अनुसार गुणांक t β,υ =k 0..95 =1.96 के साथ बनाया गया था, क्योंकि n=1000।
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विश्वास अंतराल: समस्या समाधान की सूची
विश्वास अंतराल: सिद्धांत और समस्याएं
विश्वास अंतराल को समझना
आइए संक्षेप में कॉन्फिडेंस इंटरवल की अवधारणा का परिचय दें, जो
1) नमूने के डेटा से सीधे एक संख्यात्मक नमूने के कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाता है,
2) प्रायिकता γ के साथ इस पैरामीटर के मान को कवर करता है।
विश्वास अंतरालपैरामीटर के लिए एक्स(संभाव्यता के साथ γ) रूप का एक अंतराल कहा जाता है, जैसे कि 
, और मूल्यों की गणना किसी तरह नमूने से की जाती है।
आमतौर पर, लागू समस्याओं में, विश्वास की संभावना को γ = 0.9 के बराबर लिया जाता है; 0.95; 0.99।
सामान्य आबादी से बने आकार एन के कुछ नमूने पर विचार करें, सामान्य वितरण कानून के अनुसार संभवतः वितरित किया गया। आइए दिखाते हैं कि कौन से फॉर्मूले पाए जाते हैं वितरण मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल- गणितीय अपेक्षा और फैलाव (मानक विचलन)।
गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल
मामला एकवितरण विचरण ज्ञात और के बराबर है। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एककी तरह लगता है: 
टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है
मामला 2वितरण भिन्नता अज्ञात है; नमूना से भिन्नता का एक बिंदु अनुमान लगाया गया था। फिर पैरामीटर के लिए विश्वास अंतराल एककी तरह लगता है: 
, जहां नमूना मतलब नमूना, पैरामीटर से गणना की जाती है टीछात्र की वितरण तालिका से निर्धारित
उदाहरण।एक निश्चित मूल्य के 7 मापों के डेटा के आधार पर, माप परिणामों का औसत 30 के बराबर और नमूना विचरण 36 के बराबर पाया गया। उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें मापा मूल्य का सही मूल्य 0.99 की विश्वसनीयता के साथ निहित है। .
समाधान।हमे पता करने दें 
. फिर अंतराल के लिए आत्मविश्वास सीमा मापा मूल्य का सही मान सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: , जहां नमूना माध्य है, नमूना प्रसरण है। सभी मूल्यों में प्लगिंग, हम प्राप्त करते हैं: 
विचरण के लिए विश्वास अंतराल
हम मानते हैं कि, आम तौर पर बोलना, गणितीय अपेक्षा अज्ञात है, और केवल भिन्नता का एक बिंदु निष्पक्ष अनुमान ज्ञात है। तब विश्वास अंतराल ऐसा दिखता है: 
, कहाँ पे 
- तालिका से निर्धारित वितरण मात्राएँ।
उदाहरण। 7 परीक्षणों के आंकड़ों के आधार पर मानक विचलन के लिए अनुमान का मान पाया गया एस = 12. प्रसरण का अनुमान लगाने के लिए बनाए गए विश्वास अंतराल की चौड़ाई 0.9 की प्रायिकता के साथ ज्ञात करें।
समाधान।अज्ञात जनसंख्या विचरण के लिए विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
स्थानापन्न करें और प्राप्त करें: 
फिर कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की चौड़ाई 465.589-71.708=393.881 है।
संभाव्यता के लिए विश्वास अंतराल (प्रतिशत)
मामला एकसमस्या में नमूना आकार और नमूना अंश (सापेक्ष आवृत्ति) ज्ञात होने दें। फिर सामान्य अंश (सच्ची संभावना) के लिए विश्वास अंतराल है: 
, जहां पैरामीटर टीलाप्लास वितरण तालिका से अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है।
मामला 2यदि समस्या अतिरिक्त रूप से उस जनसंख्या के कुल आकार को जानती है जिससे नमूना लिया गया था, तो सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल (सच्ची संभावना) को समायोजित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: 
.
उदाहरण।यह ज्ञात है कि उन सीमाओं का पता लगाएं जिनमें सामान्य शेयर संभाव्यता के साथ संपन्न होता है।
समाधान।हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
आइए स्थिति से पैरामीटर खोजें 
, हमें सूत्र में स्थानापन्न मिलता है:
आप पृष्ठ पर गणितीय आँकड़ों में समस्याओं के अन्य उदाहरण पा सकते हैं
सबसे पहले, आइए निम्नलिखित परिभाषा को याद करें:
आइए निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें। बता दें कि सामान्य आबादी के वेरिएंट में गणितीय अपेक्षा $a$ और मानक विचलन $\sigma $ के साथ एक सामान्य वितरण है। इस मामले में नमूना माध्य को एक यादृच्छिक चर माना जाएगा। जब $X$ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो नमूना माध्य में पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण भी होगा
आइए एक विश्वास अंतराल खोजें जो $a$ को विश्वसनीयता $\gamma $ के साथ कवर करता है।
ऐसा करने के लिए, हमें समानता की आवश्यकता है
इससे हमें मिलता है
यहां से हम फ़ंक्शन $Ф\left(t\right)$ के मूल्यों की तालिका से आसानी से $t$ पा सकते हैं और परिणामस्वरूप, $\delta $ ढूंढ सकते हैं।
फ़ंक्शन के मानों की तालिका को याद करें $Ф\बाएं(टी\दाएं)$:
चित्रा 1. फ़ंक्शन के मानों की तालिका $Ф\बाएं(टी\दाएं).$
$(\mathbf \sigma )$ अज्ञात होने पर अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अभिन्न
इस स्थिति में, हम सही किए गए प्रसरण $S^2$ के मान का उपयोग करेंगे। उपरोक्त सूत्र में $\sigma $ को $S$ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:
विश्वास अंतराल खोजने के लिए कार्यों का एक उदाहरण
उदाहरण 1
मान लें कि मात्रा $X$ का प्रसरण $\sigma =4$ के साथ एक सामान्य वितरण है। बता दें कि सैंपल का आकार $n=64$ है और विश्वसनीयता $\gamma =0.95$ के बराबर है। दिए गए बंटन की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का पता लगाएं।
हमें अंतराल ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ खोजने की जरूरत है।
जैसा कि हमने ऊपर देखा
\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]
हम सूत्र से पैरामीटर $t$ पाते हैं
\[Ф\बाएं(टी\दाएं)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]
तालिका 1 से हमें $t=1.96$ मिलता है।
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