अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

1. बता दें कि क्रमांक मात्रा x का पालन करता है सामान्य कानूनअज्ञात माध्य μ और ज्ञात σ 2: X~N(μ,σ 2 .) के साथ), 2 दिया गया है, μ ज्ञात नहीं है। दिया गया β. नमूने x 1, x 2,… , x n के आधार पर, I β (θ) (अब θ=μ) संतोषजनक (13) का निर्माण करना आवश्यक है।

नमूना माध्य (वे यह भी कहते हैं कि नमूना माध्य) समान केंद्र μ के साथ सामान्य कानून का पालन करता है, लेकिन एक छोटा विचरण X~N (μ , D ), जहां विचरण D =σ 2 =σ 2 /n है।

हमें शर्त द्वारा ξ~N(0,1) के लिए परिभाषित संख्या K β की आवश्यकता है

शब्दों में: x-अक्ष के बिंदुओं -K β और K β के बीच, मानक सामान्य कानून के घनत्व वक्र के नीचे का क्षेत्र होता है, जो β के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, K 0.90 \u003d 1.645 मात्रा 0.95 मान के स्तर का

कश्मीर 0.95 = 1.96। ; के 0.997 \u003d 3.

विशेष रूप से, किसी भी सामान्य कानून के केंद्र से दाईं ओर 1.96 मानक विचलन और बाईं ओर समान मात्रा को अलग करते हुए, हम 0.95 के बराबर घनत्व वक्र के तहत क्षेत्र पर कब्जा कर लेंगे, जिसके कारण K 0 95 की मात्रा है इस कानून के लिए स्तर 0.95 + 1/2 * 0.005 = 0.975।

खोजे गए विश्वास अंतरालसामान्य औसत के लिए μ I A (μ) = (x-σ, x+σ) है,

जहां = (15)

आइए औचित्य दें:

जो कहा गया है उसके अनुसार, मान प्रायिकता β (चित्र 9) के साथ अंतराल J=μ±σ में आता है। इस मामले में, मान से कम केंद्र μ से विचलित होता है, और यादृच्छिक अंतराल ± (एक यादृच्छिक केंद्र और J के समान चौड़ाई के साथ) बिंदु μ को कवर करेगा। वह है जू<=> μ Є मैं β,और इसलिए Р(μЄІ β ) = Р( J )=β.

तो, नमूना-स्थिर अंतराल I β में प्रायिकता β के साथ माध्य μ होता है।

स्पष्ट रूप से, अधिक n, कम σ और अंतराल संकरा होता है, और जितना बड़ा हम गारंटी β लेते हैं, विश्वास अंतराल उतना ही व्यापक होता है।

उदाहरण 21.

के साथ सामान्य मूल्य के लिए n=16 के साथ नमूने के अनुसार ज्ञात विचरणσ 2 =64 x=200 मिला। β=0.95 मानकर सामान्य माध्य (दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा के लिए) μ के लिए एक विश्वास अंतराल की रचना करें।

समाधान। मैं β (μ)= ± , जहां = β σ/ -> β σ/ =1.96*8/ = 4

मैं 0.95 (μ)=200 4=(196;204)।

यह निष्कर्ष निकालते हुए कि, β=0.95 की गारंटी के साथ, सही माध्य अंतराल (196.204) से संबंधित है, हम समझते हैं कि एक त्रुटि संभव है।

100 विश्वास अंतरालों में से I 0.95 (μ), औसतन 5 में μ नहीं होता है।

उदाहरण 22.

पिछले उदाहरण 21 की स्थितियों में, विश्वास अंतराल को आधा करने के लिए n क्या लिया जाना चाहिए? 2δ=4 प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को अवश्य ही लेना चाहिए

व्यवहार में, एकतरफा आत्मविश्वास अंतराल का अक्सर उपयोग किया जाता है। इसलिए, यदि μ के उच्च मूल्य उपयोगी हैं या भयानक नहीं हैं, लेकिन कम वाले सुखद नहीं हैं, जैसा कि ताकत या विश्वसनीयता के मामले में है, तो एकतरफा अंतराल का निर्माण करना उचित है। ऐसा करने के लिए, आपको इसकी ऊपरी सीमा को जितना हो सके बढ़ा देना चाहिए। यदि हम, उदाहरण 21 में, किसी दिए गए β के लिए दो-तरफा विश्वास अंतराल का निर्माण करते हैं, और फिर सीमाओं में से एक के कारण जितना संभव हो इसका विस्तार करते हैं, तो हमें अधिक गारंटी के साथ एक तरफा अंतराल मिलता है β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, उदाहरण के लिए, यदि β = 0.90, तो β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95।

उदाहरण के लिए, हम मान लेंगे कि हम उत्पाद की ताकत के बारे में बात कर रहे हैं और अंतराल की ऊपरी सीमा को . फिर उदाहरण 21 में μ के लिए हमें 196 की निचली सीमा के साथ एकतरफा विश्वास अंतराल (196,°°) प्राप्त होता है और आत्मविश्वास का स्तरβ" = 0.95+0.05/2=0.975।

सूत्र (15) का व्यावहारिक नुकसान यह है कि यह इस धारणा के तहत प्राप्त होता है कि फैलाव = 2 (इसलिए = 2 /n) ज्ञात है; और असल जिंदगी में ऐसा कम ही होता है। अपवाद तब होता है जब नमूना आकार बड़ा होता है, कहते हैं, n को सैकड़ों या हजारों में मापा जाता है, और फिर 2 के लिए हम व्यावहारिक रूप से इसका अनुमान s 2 या ले सकते हैं।

उदाहरण 23.

मान लीजिए कि कुछ में बड़ा शहरनिवासियों के रहने की स्थिति के एक नमूना सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप, निम्न डेटा तालिका प्राप्त की गई थी (उदाहरण काम से)।

तालिका 8

उदाहरण के लिए स्रोत डेटा

यह मान लेना स्वाभाविक है कि मान एक्स - प्रति व्यक्ति कुल (उपयोगी) क्षेत्र (एम 2 में) सामान्य कानून का पालन करता है। माध्य μ और प्रसरण 2 ज्ञात नहीं हैं। μ के लिए, 95% विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है। समूहीकृत आँकड़ों से नमूना माध्य और विचरण ज्ञात करने के लिए, हम गणनाओं की निम्नलिखित तालिका संकलित करेंगे (सारणी 9)।

तालिका 9

समूहीकृत डेटा पर एक्स और 5 गणना

इस सहायक तालिका में, सूत्र (2) के अनुसार, पहले और दूसरे प्रारंभिक सांख्यिकीय क्षणों की गणना की जाती है एक 1तथा एक 2

हालांकि विचरण σ 2 यहां अज्ञात है, बड़े नमूने के आकार के कारण, सूत्र (15) को व्यवहार में लागू किया जा सकता है, इसमें σ==7.16 सेट किया जा सकता है।

फिर δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ = 0.46।

β=0.95 पर सामान्य माध्य के लिए विश्वास अंतराल I 0.95 (μ) = ± = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46) है।

इसलिए, प्रति व्यक्ति औसत क्षेत्रफल यह शहर 0.95 की गारंटी के साथ अंतराल (18.54; 19.46) में निहित है।

2. सामान्य मान के अज्ञात विचरण 2 के मामले में गणितीय अपेक्षा μ के लिए विश्वास अंतराल। दी गई गारंटी β के लिए यह अंतराल सूत्र के अनुसार बनाया गया है, जहां = n-1,

(16)

गुणांक t β,ν का t के लिए समान अर्थ है - स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरण, जैसा कि वितरण N(0,1) के लिए β के लिए है, अर्थात्:

.

दूसरे शब्दों में, एसएल। मान tν प्रायिकता β के साथ अंतराल (-t β,ν ; +t β,ν) में आता है। t β,ν के मान तालिका 10 में β=0.95 और β=0.99 के लिए दिए गए हैं।

तालिका 10

मान टी β,ν

उदाहरण 23 पर लौटने पर, हम देखते हैं कि इसमें विश्वास अंतराल सूत्र (16) के अनुसार गुणांक t β,υ = k 0..95 =1.96 के साथ बनाया गया था, क्योंकि n=1000।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल डेटा से परिकलित एक अंतराल है, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ होता है अपेक्षित मूल्यसामान्य जनसंख्या। गणितीय अपेक्षा के लिए प्राकृतिक अनुमान इसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, आगे पाठ के दौरान हम "औसत", "औसत मूल्य" शब्दों का प्रयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना की समस्याओं में, सबसे अधिक बार आवश्यक उत्तर है "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [एक विशिष्ट समस्या में मूल्य] [निम्न मूल्य] से [उच्च मूल्य] तक है"। विश्वास अंतराल की सहायता से, न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन करना संभव है, बल्कि सामान्य जनसंख्या की एक या दूसरी विशेषता का हिस्सा भी है। औसत, भिन्नता, मानक विचलनऔर जिस त्रुटि के माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों पर आएंगे, उसका पाठ में विश्लेषण किया गया है नमूना और जनसंख्या लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि सामान्य जनसंख्या का औसत मूल्य एक संख्या (बिंदु) से अनुमानित किया जाता है, तो अज्ञात के अनुमान के लिए मध्यम आकारसामान्य जनसंख्या का, एक विशिष्ट माध्य लिया जाता है, जिसकी गणना प्रेक्षणों के नमूने से की जाती है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूने के औसत मूल्य को इंगित करते समय, उसी समय नमूना त्रुटि को इंगित करना भी आवश्यक है। मानक त्रुटि का उपयोग नमूना त्रुटि के माप के रूप में किया जाता है, जिसे समान इकाइयों में माध्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन अक्सर प्रयोग किया जाता है:।

यदि माध्य के अनुमान को एक निश्चित संभाव्यता के साथ जोड़ा जाना आवश्यक है, तो ब्याज की सामान्य जनसंख्या के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से होना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक अंतराल है जिसमें एक निश्चित संभावना के साथ, पीसामान्य जनसंख्या के अनुमानित संकेतक का मूल्य पाया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें प्रायिकता के साथ पी = 1 - α एक यादृच्छिक चर है, इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो आँकड़ों पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और जनसंख्या माध्य नमूना माध्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि

• सामान्य जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र में जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, नमूना आकार है एनके साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1एक निश्चित शहर में बेतरतीब ढंग से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की जाती है कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या का 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 और 11.4 के बीच था।

उदाहरण 2 64 अवलोकनों की सामान्य आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

मानक विचलन की गणना करें:

,

औसत मूल्य की गणना करें:

.

विश्वास अंतराल के लिए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3 100 प्रेक्षणों की सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, 15.2 के माध्य मान और 3.2 के मानक विचलन की गणना की गई। अपेक्षित मान के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की गणना करें। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता समान रहती है, लेकिन विश्वास कारक बढ़ता है, तो क्या विश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

फिर से, हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे आत्मविश्वास कारक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और इसलिए, अंतराल के प्रारंभ और अंत बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास अंतराल बढ़ती है।

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

नमूने की कुछ विशेषता के विशिष्ट वजन की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है बिंदु लागतविशिष्ट गुरुत्व पीसामान्य आबादी में एक ही विशेषता। यदि इस मान को प्रायिकता से संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभावना के साथ सामान्य आबादी में सुविधा पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4एक निश्चित शहर में दो उम्मीदवार हैं एतथा बीमहापौर के लिए चल रहा है। शहर के 200 निवासियों को बेतरतीब ढंग से मतदान किया गया, जिनमें से 46% ने उत्तर दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर के निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

मान लें कि CB X सामान्य जनसंख्या बनाता है और β एक अज्ञात पैरामीटर CB X है। यदि * में सांख्यिकीय अनुमान संगत है, तो नमूना आकार जितना बड़ा होगा, β का मान उतना ही सटीक होगा। हालांकि, व्यवहार में, हमारे पास बहुत बड़े नमूने नहीं हैं, इसलिए हम अधिक सटीकता की गारंटी नहीं दे सकते।

मान लीजिए s* s के लिए एक सांख्यिकीय अनुमान है। मात्रा |in* - in| अनुमान सटीकता कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि परिशुद्धता CB है, क्योंकि s* एक यादृच्छिक चर है। आइए हम एक छोटी सकारात्मक संख्या 8 सेट करें और यह आवश्यक है कि अनुमान की सटीकता |in* - in| 8 से कम था, अर्थात | में* - में |< 8.

द्वारा में * में अनुमान की विश्वसनीयता g या विश्वास प्रायिकता वह प्रायिकता g है जिसके साथ असमानता |in * - in|< 8, т. е.

आम तौर पर, जी की विश्वसनीयता पहले से निर्धारित की जाती है, और जी के लिए, वे 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) के करीब एक संख्या लेते हैं।

असमानता के बाद से |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

अंतराल (* - 8 में, * + 5 में) को कॉन्फिडेंस इंटरवल कहा जाता है, यानी कॉन्फिडेंस इंटरवल अज्ञात पैरामीटर को प्रायिकता y के साथ कवर करता है। ध्यान दें कि विश्वास अंतराल के अंत यादृच्छिक होते हैं और नमूने से नमूने में भिन्न होते हैं, इसलिए यह कहना अधिक सटीक है कि अंतराल (* - 8 पर, * + 8 पर) अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है β के बजाय β इस अंतराल से संबंधित है .

होने देना आबादीएक यादृच्छिक चर एक्स द्वारा दिया जाता है, सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, इसके अलावा, औसत मानक विचलनलेकिन यह जाना जाता है। गणितीय अपेक्षा a = M (X) अज्ञात है। किसी दी गई विश्वसनीयता y के लिए a के लिए एक विश्वास अंतराल ज्ञात करना आवश्यक है।

नमूना माध्य

है सांख्यिकीय मूल्यांकनएक्सआर = ए के लिए।

प्रमेय। यादृच्छिक मूल्यएक्सबी है सामान्य वितरणयदि X का सामान्य वितरण है, और M(XB) = a,

ए (एक्सबी) \u003d ए, जहां ए \u003d वाई / बी (एक्स), ए \u003d एम (एक्स)। एल/आई

a के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का रूप है:

हम 8 पाते हैं।

अनुपात का उपयोग करना

जहां (г) लैपलेस फ़ंक्शन है, हमारे पास है:

पी (| एक्सबी - ए |<8} = 2Ф

हम लाप्लास फ़ंक्शन के मानों की तालिका में t का मान पाते हैं।

दर्शाने

T, हम प्राप्त करते हैं F(t) = g

समानता से खोजें - अनुमान की सटीकता।

तो a के लिए विश्वास अंतराल का रूप है:

यदि सामान्य जनसंख्या से एक नमूना दिया जाता है X

n = U1 + ... + nm, तो विश्वास अंतराल होगा:

उदाहरण 6.35. नमूना माध्य Xb = 10.43, नमूना आकार n = 100, और मानक विचलन s = 5 जानने के साथ, 0.95 की विश्वसनीयता के साथ एक सामान्य वितरण की अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल का पता लगाएं।

आइए सूत्र का उपयोग करें

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर (हम सामान्य जनसंख्या के बारे में बात कर सकते हैं) को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, जिसके लिए विचरण D = 2 (> 0) ज्ञात है। सामान्य आबादी से (वस्तुओं के सेट पर जिनमें एक यादृच्छिक चर निर्धारित किया जाता है), आकार n का एक नमूना बनाया जाता है। नमूना x 1 , x 2 ,..., x n को n स्वतंत्र यादृच्छिक चर के एक सेट के रूप में उसी तरह वितरित किया जाता है जैसे (पाठ में ऊपर वर्णित दृष्टिकोण)।

पहले, निम्नलिखित समानताओं पर भी चर्चा की गई और उन्हें सिद्ध किया गया:

एमएक्स 1 = एमएक्स 2 = ... = एमएक्स एन = एम;

डीएक्स 1 = डीएक्स 2 = ... = डीएक्स एन = डी;

यह केवल साबित करने के लिए पर्याप्त है (हम सबूत छोड़ देते हैं) कि इस मामले में यादृच्छिक चर भी सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

आइए हम अज्ञात मान M को a से निरूपित करें और दी गई विश्वसनीयता के अनुसार संख्या d > 0 चुनें ताकि निम्नलिखित शर्त संतुष्ट हो:

पी(-ए< d) = (1)

चूँकि यादृच्छिक चर को गणितीय अपेक्षा M = M = a और प्रसरण D = D /n = 2 /n के साथ सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

पी(-ए< d) =P(a - d < < a + d) =

यह d चुनना बाकी है कि समानता

किसी के लिए, कोई तालिका से ऐसी संख्या t पा सकता है कि (t) \u003d / 2. इस संख्या t को कभी-कभी कहा जाता है मात्रा.

अब समानता से

डी के मूल्य को परिभाषित करें:

हम फॉर्मूला (1) को फॉर्म में प्रस्तुत करके अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

अंतिम सूत्र का अर्थ इस प्रकार है: विश्वसनीयता के साथ, विश्वास अंतराल

जनसंख्या के अज्ञात पैरामीटर a = M को शामिल करता है। इसे अलग तरह से कहा जा सकता है: एक बिंदु अनुमान पैरामीटर एम के मूल्य को डी = टी / और विश्वसनीयता की सटीकता के साथ निर्धारित करता है।

एक कार्य। 6.25 के बराबर फैलाव के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित कुछ विशेषताओं के साथ एक सामान्य आबादी होने दें। आयतन n = 27 का एक नमूना बनाया गया था और विशेषता का औसत नमूना मूल्य = 12 प्राप्त किया गया था। विश्वसनीयता के साथ सामान्य जनसंख्या की अध्ययन की गई विशेषता की अज्ञात गणितीय अपेक्षा को कवर करने वाला विश्वास अंतराल खोजें = 0.99।

समाधान। सबसे पहले, लैपलेस फ़ंक्शन के लिए तालिका का उपयोग करते हुए, हम समीकरण (टी) \u003d / 2 \u003d 0.495 से टी का मान पाते हैं। प्राप्त मूल्य t = 2.58 के आधार पर, हम अनुमान की सटीकता (या विश्वास अंतराल की आधी लंबाई) d: d = 2.52.58 / 1.24 निर्धारित करते हैं। यहां से हम वांछित विश्वास अंतराल प्राप्त करते हैं: (10.76; 13.24)।

सांख्यिकीय परिकल्पना सामान्य परिवर्तनशील

अज्ञात विचरण के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

आज्ञा देना एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा M के साथ सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है, जिसे हम अक्षर a से निरूपित करते हैं। आइए आकार n का एक नमूना बनाएं। आइए हम ज्ञात फ़ार्मुलों का उपयोग करके औसत नमूना और सही नमूना विचरण s 2 निर्धारित करें।

यादृच्छिक मूल्य

छात्र के कानून के अनुसार n-1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ वितरित।

कार्य दी गई विश्वसनीयता और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n - 1 के अनुसार ऐसी संख्या t ज्ञात करना है ताकि समानता

या समकक्ष समानता

यहां, कोष्ठकों में, शर्त लिखी जाती है कि अज्ञात पैरामीटर का मान एक निश्चित अंतराल से संबंधित है, जो कि विश्वास अंतराल है। इसकी सीमा विश्वसनीयता पर निर्भर करती है, साथ ही साथ नमूनाकरण मापदंडों और एस पर भी निर्भर करती है।

परिमाण द्वारा t का मान निर्धारित करने के लिए, हम समानता (2) को रूप में बदलते हैं:

अब, एक यादृच्छिक चर t के लिए तालिका के अनुसार, छात्र के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, संभावना 1 के अनुसार - और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n -1, हम t पाते हैं। सूत्र (3) समस्या का उत्तर देता है।

एक कार्य। 20 इलेक्ट्रिक लैंप के नियंत्रण परीक्षणों में, उनके संचालन की औसत अवधि 2000 घंटे के बराबर थी, जिसमें मानक विचलन (सही नमूना विचरण के वर्गमूल के रूप में गणना) 11 घंटे के बराबर था। यह ज्ञात है कि दीपक संचालन की अवधि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.95 की विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

समाधान। मान 1 - इस मामले में 0.05 के बराबर है। छात्र की वितरण तालिका के अनुसार, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 19 के बराबर है, हम पाते हैं: t = 2.093। आइए अब अनुमान की सटीकता की गणना करें: 2.093121/ = 56.6। यहां से हमें वांछित आत्मविश्वास अंतराल मिलता है: (1943.4; 2056.6)।

कानून के अधीन एक सामान्य आबादी से एक नमूना बनाया जाए सामान्यवितरण एक्सएन( एम;  ) गणितीय आँकड़ों की यह मूल धारणा केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित है। सामान्य मानक विचलन ज्ञात होने दें  , लेकिन सैद्धांतिक वितरण की गणितीय अपेक्षा अज्ञात है एम(अर्थ )।

इस मामले में, नमूना मतलब , प्रयोग के दौरान प्राप्त किया गया (खंड 3.4.2), एक यादृच्छिक चर भी होगा एम;
) फिर "सामान्यीकृत" विचलन
N(0;1) एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर है।

समस्या के लिए एक अंतराल अनुमान खोजने के लिए है एम. आइए हम इसके लिए दो-तरफा विश्वास अंतराल का निर्माण करें एम ताकि वास्तविक गणितीय अपेक्षा दी गई संभावना (विश्वसनीयता) के साथ उससे संबंधित हो  .

मान के लिए ऐसा अंतराल सेट करें
का अर्थ है इस मात्रा का अधिकतम मूल्य ज्ञात करना
और न्यूनतम
, जो महत्वपूर्ण क्षेत्र की सीमाएँ हैं:
.

इसलिये यह संभावना है
, तो इस समीकरण की जड़
लैपलेस फ़ंक्शन की तालिकाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है (तालिका 3, परिशिष्ट 1)।

फिर संभावना के साथ  यह तर्क दिया जा सकता है कि यादृच्छिक चर
, अर्थात्, वांछित सामान्य माध्य अंतराल के अंतर्गत आता है
. (3.13)

मूल्य
(3.14)

बुलाया शुद्धताअनुमान।

संख्या
– मात्रासामान्य वितरण - 2Ф के अनुपात को देखते हुए, लैपलेस फ़ंक्शन (तालिका 3, परिशिष्ट 1) के तर्क के रूप में पाया जा सकता है। तुम)=, अर्थात। एफ( तुम)=
.

इसके विपरीत, निर्दिष्ट विचलन मान के अनुसार  यह ज्ञात करना संभव है कि अज्ञात सामान्य माध्य किस प्रायिकता के साथ अंतराल से संबंधित है
. ऐसा करने के लिए, आपको गणना करने की आवश्यकता है

. (3.15)

मान लीजिए कि पुन: चयन की विधि द्वारा सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूना लिया जाता है। समीकरण से
पाया जा सकता है न्यूनतमपुन: नमूनाकरण मात्रा एनयह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि दी गई विश्वसनीयता के साथ विश्वास अंतराल पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं था  . आवश्यक नमूना आकार का अनुमान सूत्र का उपयोग करके लगाया जाता है:

. (3.16)

तलाश अनुमान सटीकता
:

1) नमूना आकार बढ़ाने के साथ एनआकार  कम हो जाती है, और इसलिए अनुमान की सटीकता बढ़ती है.

2) सी बढ़ोतरीअनुमानों की विश्वसनीयता तर्क का मूल्य बढ़ा हुआ है तुम(इसलिये एफ(तुम) नीरस रूप से बढ़ता है) और इसलिए बढ़ती है  . इस मामले में, विश्वसनीयता में वृद्धि कम कर देता हैइसके मूल्यांकन की सटीकता  .

आकलन
(3.17)

बुलाया क्लासिक(कहाँ पे टीएक पैरामीटर है जो निर्भर करता है तथा एन), इसलिये यह सबसे अधिक बार सामना किए जाने वाले वितरण कानूनों की विशेषता है।

3.5.3 अज्ञात मानक विचलन के साथ सामान्य वितरण की अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल

बता दें कि सामान्य जनसंख्या सामान्य वितरण के कानून के अधीन है एक्सएन( एम; ), जहां मूल्य वर्गमूल औसत का वर्गविचलन अनजान।

सामान्य माध्य का अनुमान लगाने के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने के लिए, इस मामले में, आँकड़ों का उपयोग किया जाता है
, जिसमें एक छात्र का वितरण है क= एन-1 डिग्री स्वतंत्रता। यह इस तथ्य से होता है कि N(0;1) (आइटम 3.5.2 देखें), और
(खंड 3.5.3 देखें) और छात्र के वितरण की परिभाषा से (भाग 1.खंड 2.11.2)।

आइए हम विद्यार्थी के वितरण के शास्त्रीय अनुमान की सटीकता का पता लगाएं: यानी। पाना टीसूत्र (3.17) से। माना असमानता को पूरा करने की प्रायिकता
विश्वसनीयता द्वारा दिया गया  :

. (3.18)

क्यों कि टीसेंट( एन-1), यह स्पष्ट है कि टीनिर्भर करता है  तथा एन, इसलिए हम आम तौर पर लिखते हैं
.

(3.19)

कहाँ पे
के साथ विद्यार्थी का वितरण फलन है एन-1 डिग्री स्वतंत्रता।

के लिए इस समीकरण को हल करना एम, हमें अंतराल मिलता है
जो विश्वसनीयता के साथ  अज्ञात पैरामीटर को कवर करता है एम.

मूल्य टी  , एन-1, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल को निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है टी(एन-1), के साथ छात्र द्वारा वितरित एन-1 डिग्री की स्वतंत्रता कहलाती है छात्र का गुणांक. इसे दिए गए मानों द्वारा पाया जाना चाहिए एनऔर  "छात्र वितरण के महत्वपूर्ण बिंदु" तालिकाओं से। (सारणी 6, परिशिष्ट 1), जो समीकरण (3.19) के हल हैं।

नतीजतन, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: शुद्धतागणितीय अपेक्षा (सामान्य माध्य) का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतराल, यदि विचरण अज्ञात है:

(3.20)

इस प्रकार, सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक सामान्य सूत्र है:

विश्वास अंतराल की सटीकता कहाँ है  ज्ञात या अज्ञात विचरण के आधार पर क्रमशः सूत्रों के अनुसार 3.16 पाया जाता है। और 3.20.

कार्य 10.कुछ परीक्षण किए गए, जिनके परिणाम तालिका में सूचीबद्ध हैं:

यह ज्ञात है कि वे सामान्य वितरण कानून का पालन करते हैं
. एक अनुमान खोजें एम*गणितीय अपेक्षा के लिए एम, इसके लिए 90% कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाएं।

समाधान:

इसलिए, एम(2.53;5.47).

टास्क 11.समुद्र की गहराई को एक उपकरण द्वारा मापा जाता है जिसकी व्यवस्थित त्रुटि 0 है, और यादृच्छिक त्रुटियों को मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।  =15मी. 90% के आत्मविश्वास स्तर के साथ 5 मीटर से अधिक की त्रुटियों के साथ गहराई निर्धारित करने के लिए कितने स्वतंत्र माप किए जाने चाहिए?

समाधान:

समस्या की स्थिति से, हमारे पास है एक्सएन( एम;  ), कहाँ पे  =15मी,  = 5 मी,  =0.9. आइए जानते हैं वॉल्यूम एन.

1) दी गई विश्वसनीयता = 0.9 के साथ, हम टेबल 3 (परिशिष्ट 1) से लैपलेस फ़ंक्शन का तर्क पाते हैं तुम  = 1.65.

2) दी गई अनुमान सटीकता को जानना  =तुम  = 5, खोजें
. हमारे पास है

. इसलिए, परीक्षणों की संख्या एन 25.

कार्य 12.तापमान नमूनाकरण टीजनवरी के पहले 6 दिनों के लिए तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

उम्मीद के लिए विश्वास अंतराल खोजें एमविश्वास संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या
और सामान्य मानक विचलन का अनुमान लगाएं एस.

समाधान:

तथा
.

2) निष्पक्ष अनुमान सूत्र द्वारा खोजें
:

;
;

.

3) चूँकि सामान्य प्रसरण अज्ञात है, लेकिन इसका अनुमान ज्ञात है, तो गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए एमहम विद्यार्थी के बंटन (तालिका 6, अनुबंध 1) और सूत्र (3.20) का उपयोग करते हैं।

इसलिये एन 1 =एन 2 = 6, तब ,
, एस 1 = 6.85 हमारे पास है:
, इसलिए -29.2-4.1<एम 1 < -29.2+4.1.

इसलिए -33.3<एम 1 <-25.1.

इसी तरह, हमारे पास है
, एस 2 = 4.8, तो

–34.9< एम 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: एम 1 (-33.3;-25.1) और एम 2 (-34.9;-29.1).

अनुप्रयुक्त विज्ञान में, उदाहरण के लिए, निर्माण विषयों में, वस्तुओं की सटीकता का आकलन करने के लिए आत्मविश्वास अंतराल की तालिकाओं का उपयोग किया जाता है, जो प्रासंगिक संदर्भ साहित्य में दिए गए हैं।