गणितीय प्रेरण द्वारा समाधान। उदाहरण - गणितीय प्रेरण

हर समय सच्चा ज्ञान एक पैटर्न स्थापित करने और कुछ परिस्थितियों में इसकी सत्यता को साबित करने पर आधारित था। तार्किक तर्क के अस्तित्व की इतनी लंबी अवधि के लिए, नियमों के सूत्र दिए गए, और अरस्तू ने "सही तर्क" की एक सूची भी तैयार की। ऐतिहासिक रूप से, सभी अनुमानों को दो प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा है - कंक्रीट से बहुवचन (प्रेरण) और इसके विपरीत (कटौती)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशेष से सामान्य और सामान्य से विशेष तक के साक्ष्य केवल एक दूसरे से जुड़े होते हैं और इन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है।

गणित में प्रेरण

"प्रेरण" (प्रेरण) शब्द की लैटिन जड़ें हैं और इसका शाब्दिक अर्थ "मार्गदर्शन" है। करीब से अध्ययन करने पर, कोई भी शब्द की संरचना को अलग कर सकता है, अर्थात् लैटिन उपसर्ग - इन- (निर्देशित क्रिया को अंदर या अंदर होने को दर्शाता है) और -डक्शन - परिचय। यह ध्यान देने योग्य है कि दो प्रकार के होते हैं - पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण। पूर्ण प्रपत्रएक निश्चित वर्ग के सभी विषयों के अध्ययन के आधार पर किए गए निष्कर्षों की विशेषता।

अधूरा - निष्कर्ष कक्षा के सभी विषयों पर लागू होता है, लेकिन केवल कुछ इकाइयों के अध्ययन के आधार पर बनाया जाता है।

पूर्ण गणितीय प्रेरण किसी भी वस्तु के पूरे वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष पर आधारित एक निष्कर्ष है जो इस कार्यात्मक संबंध के ज्ञान के आधार पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के संबंधों से कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं। इस मामले में, सबूत प्रक्रिया तीन चरणों में होती है:

• पहला प्रस्ताव की शुद्धता को साबित करता है गणितीय अधिष्ठापन. उदाहरण: f = 1, प्रेरण;
• अगला चरण इस धारणा पर आधारित है कि स्थिति सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान्य है। अर्थात्, f=h, यह आगमनात्मक धारणा है;
• तीसरे चरण में, पिछले पैराग्राफ की स्थिति की शुद्धता के आधार पर संख्या f=h+1 के लिए स्थिति की वैधता साबित होती है - यह एक प्रेरण संक्रमण है, या गणितीय प्रेरण का एक चरण है। एक उदाहरण तथाकथित है यदि पंक्ति में पहली हड्डी गिरती है (आधार), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिरती हैं (संक्रमण)।

मजाक में और गंभीरता से

धारणा में आसानी के लिए, गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा समाधान के उदाहरणों को मजाक की समस्याओं के रूप में निरूपित किया जाता है। यह विनम्र कतार कार्य है:

• आचरण के नियम पुरुष को महिला के सामने मोड़ लेने से मना करते हैं (ऐसी स्थिति में उसे सामने आने दिया जाता है)। इस कथन के आधार पर, यदि पंक्ति में अंतिम व्यक्ति पुरुष है, तो शेष सभी पुरुष हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि का एक महत्वपूर्ण उदाहरण "आयाम रहित उड़ान" समस्या है:

• यह साबित करना आवश्यक है कि मिनीबस में कितने लोग फिट हैं। यह सच है कि एक व्यक्ति बिना किसी कठिनाई (आधार) के परिवहन के अंदर फिट हो सकता है। लेकिन मिनीबस कितनी भी भरी क्यों न हो, उसमें 1 यात्री हमेशा फिट रहेगा (इंडक्शन स्टेप)।

परिचित मंडलियां

गणितीय प्रेरण द्वारा समस्याओं और समीकरणों को हल करने के उदाहरण काफी सामान्य हैं। इस दृष्टिकोण के उदाहरण के रूप में, हम निम्नलिखित समस्या पर विचार कर सकते हैं।

स्थि‍ति: h वृत्त समतल पर रखे गए हैं। यह साबित करना आवश्यक है कि, आकृतियों की किसी भी व्यवस्था के लिए, उनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान: h=1 के लिए कथन की सच्चाई स्पष्ट है, इसलिए वृत्तों की संख्या h+1 के लिए प्रमाण बनाया जाएगा।

मान लीजिए कि किसी भी मानचित्र के लिए कथन सत्य है, और समतल पर h + 1 वृत्त दिए गए हैं। कुल में से किसी एक मंडल को हटाकर, आप दो रंगों (काले और सफेद) में सही रंग का नक्शा प्राप्त कर सकते हैं।

हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते समय, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत (इस मामले में, सर्कल के अंदर) में बदल जाता है। यह दो रंगों में सही रंग का एक नक्शा निकला, जिसे साबित करना आवश्यक था।

प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग नीचे स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

समाधान उदाहरण:

सिद्ध कीजिए कि किसी भी h के लिए समानता सही होगी:

1 2 +2 2 +3 2 +…+एच 2 =एच(एच+1)(2एच+1)/6.

1. मान लीजिए h=1, तब:

आर 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि h=1 के लिए कथन सही है।

2. यह मानते हुए कि h=d, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

आर 1 \u003d डी 2 \u003d डी (डी + 1) (2 डी + 1) / 6 \u003d 1

3. यह मानते हुए कि h=d+1, यह पता चला है:

आर डी+1 =(डी+1) (डी+2) (2डी+3)/6

आर डी+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+डी 2 +(डी+1) 2 = डी(डी+1)(2डी+1)/6+ (डी+1) 2 =(डी( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2डी+3)/6.

इस प्रकार, h=d+1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है, जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा समाधान उदाहरण में दिखाया गया है।

एक कार्य

स्थि‍ति: प्रमाण आवश्यक है कि h के किसी भी मान के लिए, व्यंजक 7 h -1 बिना शेष के 6 से विभाज्य है।

समाधान:

1. मान लें कि एच = 1, इस मामले में:

आर 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (अर्थात शेष के बिना 6 से विभाजित)

इसलिए, h=1 के लिए कथन सत्य है;

2. मान लीजिए h=d और 7 d -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है;

3. h=d+1 के लिए कथन की वैधता का प्रमाण सूत्र है:

आर डी +1 =7 डी +1 -1=7∙7 डी -7+6=7(7 डी -1)+6

इस मामले में, पहला पद पहले पैराग्राफ की धारणा से 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 के बराबर है। यह कथन कि 7 h -1 किसी भी प्राकृतिक h के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है, सत्य है।

निर्णय की भ्रांति

अक्सर इस्तेमाल किए गए तार्किक निर्माणों की अशुद्धि के कारण, सबूतों में गलत तर्क का उपयोग किया जाता है। मूल रूप से, यह तब होता है जब सबूत की संरचना और तर्क का उल्लंघन होता है। गलत तर्क का एक उदाहरण निम्नलिखित उदाहरण है।

एक कार्य

स्थि‍ति: इस बात के प्रमाण की आवश्यकता है कि पत्थरों का कोई ढेर ढेर नहीं है।

समाधान:

1. मान लें कि h=1, इस स्थिति में ढेर में 1 पत्थर है और कथन सत्य है (आधार);

2. मान लें कि h=d के लिए यह सत्य है कि पत्थरों का ढेर ढेर (धारणा) नहीं है;

3. मान लीजिए h=d+1, जिससे यह पता चलता है कि जब एक और पत्थर जोड़ा जाता है, तो सेट ढेर नहीं होगा। निष्कर्ष स्वयं बताता है कि यह धारणा सभी प्राकृतिक एच के लिए मान्य है।

त्रुटि इस तथ्य में निहित है कि ढेर के रूप में कितने पत्थरों की कोई परिभाषा नहीं है। इस तरह की चूक को गणितीय प्रेरण की विधि में जल्दबाजी में सामान्यीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण इसे स्पष्ट रूप से दिखाता है।

प्रेरण और तर्क के नियम

ऐतिहासिक रूप से, वे हमेशा "हाथ में हाथ डालकर चलते हैं।" ऐसा वैज्ञानिक विषयतर्क की तरह, दर्शन उन्हें विपरीत के रूप में वर्णित करता है।

तर्क के नियम के दृष्टिकोण से, आगमनात्मक परिभाषाओं में तथ्यों पर निर्भरता देखी जाती है, और परिसर की सत्यता परिणामी कथन की शुद्धता का निर्धारण नहीं करती है। अक्सर निष्कर्ष एक निश्चित डिग्री की संभावना और संभाव्यता के साथ प्राप्त किए जाते हैं, जो निश्चित रूप से, अतिरिक्त शोध द्वारा सत्यापित और पुष्टि की जानी चाहिए। तर्क में प्रेरण का एक उदाहरण कथन होगा:

एस्टोनिया में सूखा, लातविया में सूखा, लिथुआनिया में सूखा।

एस्टोनिया, लातविया और लिथुआनिया बाल्टिक राज्य हैं। सभी बाल्टिक राज्यों में सूखा।

उदाहरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि नई जानकारीया सत्य को प्रेरण द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। निष्कर्षों की कुछ संभावित सत्यता पर ही भरोसा किया जा सकता है। इसके अलावा, परिसर की सच्चाई समान निष्कर्ष की गारंटी नहीं देती है। हालांकि, इस तथ्य का मतलब यह नहीं है कि कटौती के पिछवाड़े में इंडक्शन वनस्पतियां होती हैं: इंडक्शन की विधि का उपयोग करके बड़ी संख्या में प्रावधान और वैज्ञानिक कानूनों की पुष्टि की जाती है। गणित, जीव विज्ञान और अन्य विज्ञान एक उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं। यह मुख्य रूप से पूर्ण प्रेरण की विधि के कारण है, लेकिन कुछ मामलों में आंशिक भी लागू होता है।

प्रेरण के आदरणीय युग ने इसे मानव गतिविधि के लगभग सभी क्षेत्रों में प्रवेश करने की अनुमति दी - यह विज्ञान, अर्थशास्त्र और रोजमर्रा के निष्कर्ष हैं।

वैज्ञानिक वातावरण में प्रेरण

प्रेरण की विधि के लिए एक ईमानदार दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, क्योंकि बहुत कुछ पूरे अध्ययन के विवरण की संख्या पर निर्भर करता है: क्या अधिकअध्ययन, परिणाम जितना अधिक विश्वसनीय होगा। इस विशेषता के आधार पर, सभी संभावित संरचनात्मक तत्वों, कनेक्शनों और प्रभावों को अलग करने और उनका अध्ययन करने के लिए, प्रेरण की विधि द्वारा प्राप्त वैज्ञानिक कानूनों को संभाव्य मान्यताओं के स्तर पर पर्याप्त रूप से लंबे समय तक परीक्षण किया जाता है।

विज्ञान में, आगमनात्मक निष्कर्ष यादृच्छिक प्रावधानों के अपवाद के साथ, महत्वपूर्ण विशेषताओं पर आधारित है। विशिष्ट के संबंध में यह तथ्य महत्वपूर्ण है वैज्ञानिक ज्ञान. यह विज्ञान में प्रेरण के उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

प्रेरण दो प्रकार के होते हैं वैज्ञानिक दुनिया(अध्ययन की पद्धति के संबंध में):

1. प्रेरण-चयन (या चयन);
2. प्रेरण - बहिष्करण (उन्मूलन)।

पहले प्रकार को उसके विभिन्न क्षेत्रों से एक वर्ग (उपवर्ग) के पद्धतिगत (जांचपूर्ण) नमूने द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है।

इस प्रकार के प्रेरण का एक उदाहरण इस प्रकार है: चांदी (या चांदी का नमक) पानी को शुद्ध करता है। निष्कर्ष लंबी अवधि की टिप्पणियों (एक प्रकार की पुष्टि और खंडन - चयन) पर आधारित है।

दूसरे प्रकार का प्रेरण उन निष्कर्षों पर आधारित है जो कारण संबंध स्थापित करते हैं और उन परिस्थितियों को बाहर करते हैं जो इसके गुणों के अनुरूप नहीं हैं, अर्थात्, सार्वभौमिकता, अस्थायी अनुक्रम का पालन, आवश्यकता और अस्पष्टता।

दर्शन के दृष्टिकोण से प्रेरण और कटौती

यदि आप ऐतिहासिक पूर्वव्यापी को देखें, तो "प्रेरण" शब्द का उल्लेख सबसे पहले सुकरात ने किया था। अरस्तू ने दर्शन में शामिल होने के उदाहरणों को अधिक अनुमानित रूप में वर्णित किया शब्दावली शब्दकोश, लेकिन अपूर्ण प्रेरण का प्रश्न खुला रहता है। अरिस्टोटेलियन न्यायशास्त्र के उत्पीड़न के बाद, आगमनात्मक पद्धति को फलदायी और प्राकृतिक विज्ञान में एकमात्र संभव माना जाने लगा। बेकन को एक स्वतंत्र विशेष विधि के रूप में प्रेरण का जनक माना जाता है, लेकिन वह अलग करने में विफल रहा, जैसा कि उनके समकालीनों ने मांग की, निगमन विधि से प्रेरण।

इंडक्शन का और विकास जे। मिल द्वारा किया गया, जिन्होंने चार मुख्य तरीकों के दृष्टिकोण से इंडक्शन सिद्धांत पर विचार किया: समझौता, अंतर, अवशेष और संबंधित परिवर्तन। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आज सूचीबद्ध तरीके, जब विस्तार से विचार किया जाता है, वे निगमनात्मक हैं।

बेकन और मिल के सिद्धांतों की असंगति के बारे में जागरूकता ने वैज्ञानिकों को प्रेरण के संभाव्य आधार की जांच करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, यहाँ भी कुछ चरम सीमाएँ थीं: आने वाले सभी परिणामों के साथ, संभाव्यता के सिद्धांत के लिए प्रेरण को कम करने का प्रयास किया गया था।

प्रेरण को विश्वास मत प्राप्त होता है जब व्यावहारिक अनुप्रयोगकुछ विषय क्षेत्रों में और आगमनात्मक आधार की मीट्रिक सटीकता के लिए धन्यवाद। दर्शन में प्रेरण और कटौती का एक उदाहरण कानून है गुरुत्वाकर्षण. कानून की खोज की तिथि पर, न्यूटन इसे 4 प्रतिशत की सटीकता के साथ सत्यापित करने में सक्षम था। और जब दो सौ से अधिक वर्षों के बाद जाँच की गई, तो 0.0001 प्रतिशत की सटीकता के साथ शुद्धता की पुष्टि की गई, हालाँकि जाँच उसी आगमनात्मक सामान्यीकरण द्वारा की गई थी।

आधुनिक दर्शन कटौती पर अधिक ध्यान देता है, जो अनुभव, अंतर्ज्ञान का सहारा लिए बिना, लेकिन "शुद्ध" तर्क का उपयोग किए बिना, जो पहले से ही ज्ञात है, उससे नया ज्ञान (या सत्य) प्राप्त करने की तार्किक इच्छा से निर्धारित होता है। सच्चे परिसर का जिक्र करते समय निगमनात्मक विधिसभी मामलों में, आउटपुट एक सत्य कथन है।

यह बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता आगमनात्मक पद्धति के मूल्य को कम नहीं करना चाहिए। चूंकि प्रेरण, अनुभव की उपलब्धियों के आधार पर, इसके प्रसंस्करण (सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण सहित) का एक साधन भी बन जाता है।

अर्थशास्त्र में प्रेरण का अनुप्रयोग

प्रेरण और कटौती लंबे समय से अर्थव्यवस्था के अध्ययन और इसके विकास की भविष्यवाणी करने के तरीकों के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

प्रेरण विधि के उपयोग की सीमा काफी विस्तृत है: पूर्वानुमान संकेतकों (लाभ, मूल्यह्रास, आदि) की पूर्ति का अध्ययन और कुल मिलाकर स्कोरउद्यम की स्थिति; गठन प्रभावी नीतितथ्यों और उनके संबंधों के आधार पर उद्यम का प्रचार।

शेवार्ट के चार्ट में प्रेरण की एक ही विधि का उपयोग किया जाता है, जहां, इस धारणा के तहत कि प्रक्रियाओं को नियंत्रित और अप्रबंधित में विभाजित किया गया है, यह कहा गया है कि नियंत्रित प्रक्रिया का ढांचा निष्क्रिय है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रेरण की विधि का उपयोग करके वैज्ञानिक कानूनों को उचित और पुष्टि की जाती है, और चूंकि अर्थशास्त्र एक विज्ञान है जो अक्सर उपयोग करता है गणितीय विश्लेषण, जोखिम सिद्धांत और सांख्यिकीय डेटा, तो यह आश्चर्य की बात नहीं है कि प्रेरण मुख्य तरीकों में से एक है।

निम्नलिखित स्थिति अर्थशास्त्र में प्रेरण और कटौती के उदाहरण के रूप में काम कर सकती है। भोजन (उपभोक्ता टोकरी से) और आवश्यक वस्तुओं की कीमत में वृद्धि उपभोक्ता को राज्य में उभरती उच्च लागत (प्रेरण) के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है। एक ही समय में, की मदद से उच्च लागत के तथ्य से गणितीय तरीकेव्यक्तिगत वस्तुओं या वस्तुओं की श्रेणियों (कटौती) के लिए मूल्य वृद्धि के संकेतक प्राप्त करना संभव है।

अक्सर, प्रबंधन कर्मियों, प्रबंधकों और अर्थशास्त्रियों ने प्रेरण पद्धति की ओर रुख किया। एक उद्यम के विकास, बाजार के व्यवहार और पर्याप्त सत्यता के साथ प्रतिस्पर्धा के परिणामों की भविष्यवाणी करने में सक्षम होने के लिए, सूचना के विश्लेषण और प्रसंस्करण के लिए एक आगमनात्मक-निगमनात्मक दृष्टिकोण आवश्यक है।

भ्रामक निर्णयों का जिक्र करते हुए अर्थशास्त्र में शामिल होने का एक उदाहरण उदाहरण:

• कंपनी के लाभ में 30% की कमी हुई;
  एक प्रतियोगी ने अपनी उत्पाद लाइन का विस्तार किया है;
  और कुछ नहीं बदला है;
• एक प्रतिस्पर्धी कंपनी की उत्पादन नीति के कारण लाभ में 30% की कटौती हुई;
• इसलिए, समान उत्पादन नीति को लागू करने की आवश्यकता है।

उदाहरण एक रंगीन उदाहरण है कि कैसे प्रेरण की विधि का अयोग्य उपयोग एक उद्यम को बर्बाद करने में योगदान देता है।

मनोविज्ञान में कटौती और प्रेरण

चूंकि एक विधि है, तो तार्किक रूप से, एक उचित रूप से संगठित सोच भी है (विधि का उपयोग करने के लिए)। मनोविज्ञान एक विज्ञान के रूप में जो मानसिक प्रक्रियाओं, उनके गठन, विकास, संबंधों, अंतःक्रियाओं का अध्ययन करता है, कटौती और प्रेरण की अभिव्यक्ति के रूपों में से एक के रूप में "निगमनात्मक" सोच पर ध्यान देता है। दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर मनोविज्ञान के पन्नों पर, निगमन-प्रेरक पद्धति की अखंडता के लिए व्यावहारिक रूप से कोई औचित्य नहीं है। यद्यपि पेशेवर मनोवैज्ञानिकों को प्रेरण की अभिव्यक्तियों, या बल्कि, गलत निष्कर्षों का सामना करने की अधिक संभावना है।

गलत निर्णयों के उदाहरण के रूप में मनोविज्ञान में शामिल होने का एक उदाहरण यह कथन है: मेरी माँ एक धोखेबाज है, इसलिए, सभी महिलाएं धोखेबाज हैं। जीवन से प्रेरण के और भी "गलत" उदाहरण हैं:

• गणित में एक ड्यूस प्राप्त करने पर एक छात्र कुछ भी करने में सक्षम नहीं है;
• वह मूर्ख है;
• वह चतुर है;
• मैं कुछ भी कर सकता हूं;

और कई अन्य मूल्य निर्णय बिल्कुल यादृच्छिक और कभी-कभी महत्वहीन संदेशों पर आधारित होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए: जब किसी व्यक्ति के निर्णयों की भ्रांति बेतुकेपन के बिंदु पर पहुंच जाती है, तो मनोचिकित्सक के लिए काम का एक मोर्चा दिखाई देता है। विशेषज्ञ नियुक्ति में प्रेरण का एक उदाहरण:

"रोगी को पूरा यकीन है कि लाल रंग किसी भी अभिव्यक्ति में उसके लिए केवल खतरा है। नतीजतन, एक व्यक्ति ने इस रंग योजना को अपने जीवन से बाहर कर दिया - जहाँ तक संभव हो। घर के माहौल में आराम से रहने के कई मौके मिलते हैं। आप सभी लाल वस्तुओं को मना कर सकते हैं या उन्हें एक अलग रंग योजना में बने एनालॉग्स से बदल सकते हैं। लेकीन मे सार्वजनिक स्थानों पर, काम पर, दुकान में - यह असंभव है। तनाव की स्थिति में आने पर, रोगी हर बार पूरी तरह से अलग भावनात्मक अवस्थाओं के "ज्वार" का अनुभव करता है, जो दूसरों के लिए खतरनाक हो सकता है।

प्रेरण और अनजाने में इस उदाहरण को "निश्चित विचार" कहा जाता है। अगर मानसिक के साथ ऐसा होता है एक स्वस्थ व्यक्ति, हम मानसिक गतिविधि के संगठन की कमी के बारे में बात कर सकते हैं। निगमनात्मक सोच का प्रारंभिक विकास जुनूनी अवस्थाओं से छुटकारा पाने का एक तरीका बन सकता है। अन्य मामलों में, मनोचिकित्सक ऐसे रोगियों के साथ काम करते हैं।

प्रेरण के उपरोक्त उदाहरण इंगित करते हैं कि "कानून की अज्ञानता परिणामों (गलत निर्णय) से मुक्त नहीं होती है।"

निगमनात्मक सोच के विषय पर काम कर रहे मनोवैज्ञानिकों ने लोगों को इस पद्धति में महारत हासिल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन की गई सिफारिशों की एक सूची तैयार की है।

पहला कदम समस्या समाधान है। जैसा कि देखा जा सकता है, गणित में प्रयुक्त प्रेरण के रूप को "शास्त्रीय" माना जा सकता है, और इस पद्धति का उपयोग मन के "अनुशासन" में योगदान देता है।

निगमनात्मक सोच के विकास के लिए अगली शर्त क्षितिज का विस्तार है (जो स्पष्ट रूप से सोचते हैं, स्पष्ट रूप से बताते हैं)। यह सिफारिश विज्ञान और सूचना के खजाने (पुस्तकालयों, वेबसाइटों, शैक्षिक पहल, यात्रा, आदि) के लिए "पीड़ा" को निर्देशित करती है।

अलग से, तथाकथित "मनोवैज्ञानिक प्रेरण" का उल्लेख किया जाना चाहिए। यह शब्द, हालांकि शायद ही कभी, इंटरनेट पर पाया जा सकता है। सभी स्रोत इस शब्द की कम से कम एक संक्षिप्त परिभाषा नहीं देते हैं, लेकिन "जीवन से उदाहरण" का संदर्भ देते हैं, जबकि नया प्रकारप्रेरण या तो सुझाव, या मानसिक बीमारी के कुछ रूप, या मानव मानस की चरम अवस्थाएँ। उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि निष्कर्ष निकालने का प्रयास " नया शब्द”, झूठे (अक्सर असत्य) परिसर पर भरोसा करते हुए, प्रयोगकर्ता को गलत (या जल्दबाजी में) बयान प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1960 के प्रयोगों का संदर्भ (स्थल को इंगित किए बिना, प्रयोगकर्ताओं के नाम, विषयों का नमूना, और सबसे महत्वपूर्ण, प्रयोग का उद्देश्य) दिखता है, इसे हल्के ढंग से, असंबद्ध, और बयान कि मस्तिष्क धारणा के सभी अंगों को दरकिनार कर जानकारी को मानता है (इस मामले में "अनुभवी" वाक्यांश अधिक व्यवस्थित रूप से फिट होगा), किसी को कथन के लेखक की भोलापन और अनिश्चितता के बारे में सोचने पर मजबूर करता है।

निष्कर्ष के बजाय

विज्ञान की रानी - गणित, व्यर्थ में प्रेरण और कटौती की विधि के सभी संभावित भंडार का उपयोग नहीं करता है। विचार किए गए उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि सतही और अयोग्य (विचारहीन, जैसा कि वे कहते हैं) यहां तक ​​​​कि सबसे सटीक और विश्वसनीय तरीकों का उपयोग हमेशा गलत परिणाम देता है।

जन चेतना में, कटौती विधि प्रसिद्ध शर्लक होम्स के साथ जुड़ी हुई है, जो अपने तार्किक निर्माण में अक्सर आवश्यक स्थितियों में कटौती का उपयोग करते हुए प्रेरण के उदाहरणों का उपयोग करते हैं।

लेख ने मानव जीवन के विभिन्न विज्ञानों और क्षेत्रों में इन विधियों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया।

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है सच के लिए अगला नंबर n=k+1, तो धारणा A(n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सही है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k) X A(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत सिद्ध होती है कि कथन n=k (प्रेरण धारणा) के लिए सत्य है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k) ~ A(k+1)

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

• 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच
• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ~ A(k+1)

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

• 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
• 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, ए (के) एक्स ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n N . के लिए सही है

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x नंबर 1

• 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है
• 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच

• 2) मान लें कि k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र को सत्य होने दें,
• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

• 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
• 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए सही है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 . है

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सच

2) मान लीजिए कि किसी भी उत्तल k-gon में A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 विकर्ण हैं। A k आइए साबित करें कि एक उत्तल A k+1 (k+1)- में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-gon। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। गिनती करने के लिए कुल गणनाइसके विकर्ण (k + 1)-gon, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k+1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष A k+1 से निकलने वाले gon, और, इसके अलावा, किसी को विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखना चाहिए

इस तरह,

जी के+1 =जी के +(के-2)+1=के(के-3)/2+के-1=(के+1)(के-2)/2

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

हल: 1) मान लीजिए n=1

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1। हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ((3 3 +1)/(3 3 -1)) … ((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

हल: 1) n=2 के लिए, सर्वसमिका इस प्रकार दिखती है:

• (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), यानी। ये सच है
• 2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है
• (2 3 +1) / (2 3 -1) ... (के 3 +1) / (के 3 -1) \u003d 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)
• 3) हम n=k+1 . के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (((2 3 +1)/(2 3 -1)) … ((के 3 +1)/(के 3 -1)) (((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2

((के+1) 2 +(के+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सही है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी भी प्राकृतिक n के लिए

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

• 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
• 2) मान लें कि n=k, तब
• 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
• 3) हम n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करेंगे
• (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक n . के लिए

• 1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
• 2) मान लें कि n=k . के लिए
• (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि n=k+1 . के लिए सर्वसमिका सत्य है
• (1 2 /1 3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 ґ 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

• 2) मान लें कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में (11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। वास्तव में
• 11 k+3 +12 2k+3 =11 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 11 k+2 +

+(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, ए (के) यू ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, फिर X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 को बिना शेष के 6 से विभाजित किया जाता है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n \u003d k 7 k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

एक्स के+1 \u003d 7 के + 1 -1 \u003d 7 7 के -7 + 6 \u003d 7 (7 के -1) + 6

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है।

तो n=1 के लिए कथन सत्य है

• 2) मान लीजिए कि n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है
• 3) हम सिद्ध करते हैं कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

• 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
• 2) मान लीजिए कि n=k 1 2k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
• 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6 संख्या 120 का गुणज है, और दूसरी धारणा द्वारा शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। अतः योग शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि 3 3n+3 -26n-27 एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 26 2 (676) से विभाज्य है, बिना शेष बचे

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

• 1. जब एन = 0
• 3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है
• 3. आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 . के लिए कथन सत्य है
• 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य है

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें

• 1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
• 3 3+3 -26-27=676
• 2) मान लीजिए कि n=k के लिए व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है
• 3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है
• 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

साबित करें कि अगर n>2 और х>0, तो असमानता (1+х) n >1+n ґ

• 1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि
• (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

तो A(2) सत्य है

• 2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) A(k+1) यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
• (1+х) k >1+k x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

विचार करना दाईं ओरअंतिम असमानता; अपने पास

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 . के लिए मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 a> 0 के लिए सही है

हल: 1) m=1 . के लिए

• (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भाग बराबर हैं
• 2) मान लें कि m=k . के लिए
• (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
• 3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है
• (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((के+1)(के+2)/2) ए 2

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>6 असमानता 3 n>n ґ 2 n+1 . के लिए

आइए इस असमानता को (3/2) n >2n . के रूप में फिर से लिखें

• 1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7/2 7 =2187/128>14=2 7 असमानता सत्य है
• 2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k . के लिए
• 3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• 3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक n . के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

• 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
• 2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
• 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)
• 3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
• (1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

एस के (के + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

परिचय

मुख्य हिस्सा

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत

3. गणितीय प्रेरण की विधि

4. उदाहरणों का समाधान

5. समानताएं

6. संख्याओं का विभाजन

7. असमानताएं

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, इसे स्कूली पाठ्यक्रम में बहुत कम समय दिया जाता है। खैर, मान लीजिए कि एक उपयोगी व्यक्ति उन दो या तीन पाठों द्वारा लाया जाएगा जिनके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनता है, पांच आदिम समस्याओं को हल करता है, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए पांच प्राप्त करता है।

लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण है - आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द तर्क पर लागू होता है, जिसकी सहायता से कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। इस तरह के तर्क का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो अभाज्य पदों के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण यह है कि सामान्य कथन संभावित मामलों की एक सीमित संख्या में प्रत्येक में अलग से साबित होता है।

कभी-कभी सामान्य परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि बड़ी संख्या में विशेष मामलों (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण) पर विचार करने के बाद की जा सकती है।

हालाँकि, अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, केवल एक परिकल्पना ही रहता है, जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं हो जाता। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, लेकिन यह नए सत्य की खोज के लिए एक शक्तिशाली तरीका है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना आवश्यक है। विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम अनंत मामलों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को सिद्ध करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n=k+1 के लिए भी इसकी वैधता है।

तब अभिकथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगले नंबर n=1+1=2 के लिए भी मान्य है। n=2 के लिए अभिकथन की वैधता का तात्पर्य n=2+ . के लिए इसकी वैधता है

1=3. इसका तात्पर्य n=4, इत्यादि के लिए दिए गए कथन की वैधता से है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

अगर वाक्य ए( एन ) प्राकृतिक संख्या के आधार पर एन , सच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के (कहाँ पे क -कोई प्राकृत संख्या), यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = के + 1 , फिर धारणा ए ( एन ) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है एन .

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है। अगर वाक्य ए( एन ) के लिए सच है एन = पी और अगर ए ( क ) Þ लेकिन( कश्मीर+1) किसी के लिए भी कश्मीर>पी, फिर वाक्य ए ( एन) किसी के लिए सच एन>पी.

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत सिद्ध होती है कि कथन n=k (प्रेरण धारणा) के लिए सत्य है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k)ÞA(k+1)।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। फलस्वरूप,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nнN के लिए अनुमान A(n) सत्य है।

उदाहरण 2

साबित करो

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

हल: 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1)।

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

वास्तव में

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

उदाहरण 3

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 है।

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है

और 3 सही है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए (3) सच है।

2) मान लीजिए कि किसी में

उत्तल के-गॉन है-

ए 1 सिया ए के = के (के-3) / 2 विकर्ण।

A k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में

(के+1)-गॉन नंबर

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

मान लीजिए 1 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-कोण। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। इस (k + 1)-gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। शीर्ष A k+1 से आने वाले (k+1)-gon के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस तरह,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

उदाहरण 4

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, किसी भी प्राकृतिक n के लिए कथन सत्य है।

उदाहरण 5

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

हल: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1।

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

ऐसा करने के लिए पहले नंबर 1 वाले कथन की सत्यता की जांच करें - प्रेरण आधार, और फिर यह साबित होता है कि यदि कथन क्रमांकित है एन, फिर संख्या के साथ निम्नलिखित अभिकथन एन + 1 - प्रेरण चरण, या आगमनात्मक संक्रमण.

प्रेरण द्वारा प्रमाण को तथाकथित के रूप में देखा जा सकता है डोमिनोज़ सिद्धांत. किसी भी संख्या में डोमिनोज़ को एक पंक्ति में इस तरह रखा जाए कि प्रत्येक डोमिनोज़ गिरते हुए, अगले डोमिनोज़ को अनिवार्य रूप से उलट दें (यह आगमनात्मक संक्रमण है)। फिर, यदि हम पहली हड्डी को धक्का देते हैं (यह प्रेरण का आधार है), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिर जाएंगी।

प्रमाण की इस पद्धति का तार्किक आधार तथाकथित है प्रेरण का स्वयंसिद्ध, पीनो स्वयंसिद्धों का पाँचवाँ भाग जो प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करता है। प्रेरण की विधि की शुद्धता इस तथ्य के बराबर है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है।

एक भिन्नता भी है, पूर्ण गणितीय प्रेरण का तथाकथित सिद्धांत। यहाँ इसका सख्त शब्दांकन है:

पूर्ण गणितीय प्रेरण का सिद्धांत भी पीनो के स्वयंसिद्धों में प्रेरण के स्वयंसिद्ध के बराबर है।

उदाहरण

एक कार्य।साबित करें कि, जो कुछ भी स्वाभाविक है एनऔर असली क्यू 1, समानता

सबूत।इंडक्शन ऑन एन.

आधार, एन = 1:

संक्रमण: चलो दिखावा करते हैं कि

,

क्यू.ई.डी.

टिप्पणी:कथन की निष्ठा पी एनइस प्रमाण में समानता की वैधता के समान है

यह सभी देखें

विविधताएं और सामान्यीकरण

साहित्य

• एन. हां विलेनकिनप्रवेश। कॉम्बिनेटरिक्स। शिक्षकों के लिए एक गाइड। एम।, ज्ञानोदय, 1976.-48 पी।
• एल. आई. गोलोविना, आई. एम. याग्लोमीज्यामिति में प्रेरण, "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 21, फ़िज़मटगिज़ 1961.-100 पी।
• आर. कूरेंट, जी. रॉबिंस"गणित क्या है?" अध्याय I, 2।
• आई. एस. सोमिन्स्कीगणितीय प्रेरण की विधि। "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 3, नौका पब्लिशिंग हाउस 1965.-58 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "गणितीय प्रेरण की विधि" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

गणित में गणितीय प्रेरण प्रमाण विधियों में से एक है। सभी प्राकृत संख्याओं के किसी कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए प्रयुक्त होता है। ऐसा करने के लिए, पहले नंबर 1 वाले बयान की सच्चाई की जांच की जाती है, प्रेरण का आधार, और फिर ... ... विकिपीडिया

एक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि, जबकि यह इसके कुछ प्रावधानों पर आधारित है - स्वयंसिद्ध या अभिधारणा - जिससे सिद्धांत (प्रमेय) के अन्य सभी प्रावधान तर्क द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जिन्हें प्रमाण कहा जाता है। नियम, वैसे ... ... दार्शनिक विश्वकोश

इंडक्शन (लैटिन इंडक्टिव गाइडेंस) एक विशेष स्थिति से सामान्य स्थिति में संक्रमण के आधार पर अनुमान की प्रक्रिया है। आगमनात्मक तर्क निजी परिसर को निष्कर्ष के साथ जोड़ता है तर्क के नियमों के माध्यम से नहीं, बल्कि कुछ के माध्यम से ... विकिपीडिया

आनुवंशिक विधि- अध्ययन के तहत वस्तु की सामग्री और सार को निर्धारित करने का एक तरीका, सम्मेलन, आदर्शीकरण या तार्किक निष्कर्ष द्वारा नहीं, बल्कि इसकी उत्पत्ति का अध्ययन करके (उन कारणों के अध्ययन के आधार पर जो इसकी घटना, गठन का तंत्र) का कारण बने। चौड़ा... ... विज्ञान का दर्शन: बुनियादी शर्तों की शब्दावली

एक वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि, जिसमें यह एक स्वयंसिद्ध (स्वयंसिद्ध देखें), या अभिधारणाओं के कुछ प्रारंभिक प्रस्तावों (निर्णय) पर आधारित है, जिससे इस विज्ञान के अन्य सभी कथन (प्रमेय (प्रमेय देखें)) प्राप्त किए जाने चाहिए। .. ... महान सोवियत विश्वकोश

स्वयंसिद्ध विधि- AXIOMATIC METHOD (ग्रीक से। axioma) स्वीकृत स्थिति एक वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि है, जिसमें केवल स्वयंसिद्ध, अभिधारणाएँ और उनसे पूर्व में प्राप्त कथन साक्ष्य में उपयोग किए जाते हैं। पहली बार दिखाया... ज्ञानमीमांसा और विज्ञान के दर्शनशास्त्र का विश्वकोश

यादृच्छिक त्रुटियों वाले माप परिणामों से अज्ञात मात्रा का अनुमान लगाने के लिए त्रुटि सिद्धांत विधियों में से एक। N. c. m. का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन के अन्य (सरल) कार्यों द्वारा अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए भी किया जाता है और अक्सर यह निकला ... गणितीय विश्वकोश

गणितीय प्रेरण गणितीय प्रमाण के तरीकों में से एक है, जिसका उपयोग सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए किसी कथन की सच्चाई को साबित करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले जांचें ... विकिपीडिया

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रेरण देखें। इंडक्शन (लैटिन इंडक्टिव गाइडेंस) एक विशेष स्थिति से सामान्य स्थिति में संक्रमण के आधार पर अनुमान की प्रक्रिया है। आगमनात्मक तर्क निजी परिसर को जोड़ता है ... ... विकिपीडिया

सेवलीवा एकातेरिना

पेपर श्रृंखला के योग के लिए, विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि के आवेदन पर विचार करता है। असमानताओं के प्रमाण और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। काम को एक प्रस्तुति के साथ चित्रित किया गया है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

रूसी संघ के विज्ञान और शिक्षा मंत्रालय

राज्य शैक्षणिक संस्थान

माध्यमिक विद्यालय संख्या 618

पाठ्यक्रम: बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत

परियोजना कार्य विषय

"गणितीय प्रेरण की विधि और समस्या समाधान के लिए इसका अनुप्रयोग"

काम पूरा हो गया है: सेवलीवा ई, 11बी वर्ग

पर्यवेक्षक : मकारोवा टी.पी., गणित शिक्षक, माध्यमिक विद्यालय 618

1 परिचय।

2. विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

3. श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

4. असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय आगमन की विधि को लागू करने के उदाहरण।

5. ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची।

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है। गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है। यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है, लेकिन आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना इतना महत्वपूर्ण है। समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में इस सिद्धांत का अनुप्रयोग अन्य गणितीय सिद्धांतों के स्कूल अभ्यास में विचार के बराबर है: बहिष्कृत मध्य, समावेश-बहिष्करण, डिरिचलेट, आदि। इस निबंध में गणित की विभिन्न शाखाओं की समस्याएं हैं, जिसमें मुख्य उपकरण गणितीय प्रेरण की उपयोग विधि है। इस पद्धति के महत्व के बारे में बोलते हुए, ए.एन. कोलमोगोरोव ने कहा कि "गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करने की समझ और क्षमता परिपक्वता के लिए एक अच्छा मानदंड है, जो एक गणितज्ञ के लिए नितांत आवश्यक है।" अपने व्यापक अर्थों में प्रेरण की विधि में निजी अवलोकनों से एक सार्वभौमिक, सामान्य पैटर्न या सामान्य सूत्रीकरण में संक्रमण शामिल है। इस व्याख्या में, विधि, निश्चित रूप से, किसी भी प्रायोगिक प्राकृतिक विज्ञान में अनुसंधान करने की मुख्य तकनीक है।

मानवीय गतिविधियाँ। गणितीय प्रेरण की विधि (सिद्धांत) को उसके सरलतम रूप में उपयोग किया जाता है जब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कथन को सिद्ध करना आवश्यक होता है।

समस्या 1. अपने लेख "मैं गणितज्ञ कैसे बना" में ए.एन. कोलमोगोरोव लिखते हैं: "मैंने गणितीय "खोज" के आनंद को जल्दी सीखा, पांच या छह साल की उम्र में पैटर्न पर ध्यान दिया।

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d डब्ल्यू 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 इत्यादि।

स्कूल ने "स्प्रिंग स्वैलोज़" पत्रिका प्रकाशित की। उसमें मेरी खोज प्रकाशित हुई थी..."

हमें नहीं पता कि इस पत्रिका में किस तरह का सबूत दिया गया था, लेकिन यह सब निजी टिप्पणियों से शुरू हुआ। इन आंशिक समानताओं की खोज के बाद संभवतः जो परिकल्पना उत्पन्न हुई, वह यह है कि सूत्र

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

किसी दी गई संख्या के लिए सत्यएन = 1, 2, 3, ...

इस अनुमान को सिद्ध करने के लिए दो तथ्यों को स्थापित करना पर्याप्त है। सबसे पहले, के लिए n = 1 (और यहां तक ​​कि n = . के लिए भी) 2, 3, 4) वांछित कथन सत्य है। दूसरा, मान लीजिए कि कथन सत्य हैएन = के, और सत्यापित करें कि तो यह भी सत्य हैएन = के + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (के + आई) 2।

इसलिए, सिद्ध किया जा रहा दावा सभी मूल्यों के लिए सही है n: n = के लिए 1 यह सच है (यह सत्यापित किया गया है), और दूसरे तथ्य के आधार पर, क्योंकि n = 2, जहां से n = 3 (उसी दूसरे तथ्य के कारण), आदि।

समस्या 2. अंश 1 और कोई भी (धनात्मक पूर्णांक) वाली सभी संभावित साधारण भिन्नों पर विचार करें

हर: साबित करें कि किसी के लिएएन> 3 को योग के रूप में दर्शाया जा सकता हैपी इस प्रकार के विभिन्न अंश।

समाधान, आइए पहले इस अभिकथन की जाँच करेंएन = 3; अपने पास:

इसलिए, मूल दावा संतुष्ट है

अब मान लीजिए कि किसी संख्या के लिए हमारे लिए रुचि का कथन सत्य हैप्रति, और सिद्ध कीजिए कि यह उसके बाद की संख्या के लिए भी सत्य हैप्रति + 1. दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि एक प्रतिनिधित्व है

जिसमें को शब्द और सभी भाजक अलग हैं। आइए हम सिद्ध करें कि तब इकाई का निरूपण योग के रूप में प्राप्त करना संभव हैप्रति वांछित प्रकार के + 1 अंश। हम मान लेंगे कि भिन्न घट रहे हैं, अर्थात हर (इकाई के योग द्वारा निरूपण में)प्रति शब्द) बाएँ से दाएँ बढ़े ताकिटी भाजक में सबसे बड़ा है। हमें योग के रूप में आवश्यक प्रतिनिधित्व मिलेगा(प्रति + 1)वाँ भिन्न, यदि हम एक भिन्न को विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए अंतिम एक, दो में। ऐसा इसलिए किया जा सकता है क्योंकि

और इसीलिए

इसके अलावा, सभी भिन्न भिन्न रहते हैं, क्योंकिटी सबसे बड़ा हर था, औरटी + 1> टी, और

एम (टी + 1)> एम।

इस प्रकार, हमने स्थापित किया है:

1. एन = के लिए 3 यह कथन सत्य है;

1. अगर हम जिस कथन में रुचि रखते हैं, वह सत्य हैप्रति,
   तो यह भी सच हैकरने के लिए + 1.

इस आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि विचाराधीन कथन तीन से शुरू होने वाली सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है। इसके अलावा, उपरोक्त प्रमाण में एकता के वांछित विभाजन को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी शामिल है। (यह कौन सा एल्गोरिदम है? संख्या 1 की कल्पना स्वयं 4, 5, 7 शब्दों के योग के रूप में करें।)

पिछली दो समस्याओं को हल करने में, दो कदम उठाए गए थे। पहला कदम कहा जाता हैआधार प्रेरण, दूसराआगमनात्मक संक्रमणया एक प्रेरण कदम। दूसरा चरण सबसे महत्वपूर्ण है, और इसमें एक धारणा शामिल है (कथन सत्य है . के लिए)एन = के) और निष्कर्ष (कथन सत्य हैएन = के + 1)। पैरामीटर p को ही कहा जाता है प्रेरण पैरामीटर।यह तार्किक योजना (उपकरण), जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है कि विचाराधीन कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (या सभी के लिए, कुछ से शुरू) के लिए सत्य है, क्योंकि आधार और संक्रमण दोनों ही मान्य हैं, कहा जाता हैगणितीय प्रेरण का सिद्धांत,जिस पर और गणितीय प्रेरण की विधि आधारित है।"प्रेरण" शब्द स्वयं लैटिन शब्द . से आया हैअधिष्ठापन (मार्गदर्शन), जिसका अर्थ है किसी दिए गए वर्ग की व्यक्तिगत वस्तुओं के बारे में एकल ज्ञान से किसी दिए गए वर्ग की सभी वस्तुओं के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष तक, जो ज्ञान के मुख्य तरीकों में से एक है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, दो चरणों के सामान्य रूप में, पहली बार 1654 में अंकगणित त्रिभुज पर ब्लेज़ पास्कल के ग्रंथ में दिखाई दिया, जिसमें संयोजनों की संख्या (द्विपद गुणांक) की गणना करने का एक सरल तरीका प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया था। D. पोया ने पुस्तक में B. पास्कल को वर्गाकार कोष्ठकों में दिए गए मामूली परिवर्तनों के साथ उद्धृत किया:

"इस तथ्य के बावजूद कि विचाराधीन प्रस्ताव [द्विपद गुणांक के लिए एक स्पष्ट सूत्र] में अनंत संख्या में विशेष मामले हैं, मैं इसके लिए दो लेम्मा के आधार पर एक बहुत छोटा सबूत दूंगा।

पहला लेम्मा बताता है कि आधार के लिए अनुमान सही है - यह स्पष्ट है। [परपी = 1 स्पष्ट सूत्र मान्य है...]

दूसरा लेम्मा निम्नलिखित कहता है: यदि हमारी धारणा एक मनमाना आधार [एक मनमाना r के लिए] के लिए सही है, तो यह निम्नलिखित आधार के लिए सही होगा [के लिएएन + 1]।

ये दो नींबू आवश्यक रूप से सभी मूल्यों के लिए प्रस्ताव की वैधता का संकेत देते हैंपी। दरअसल, पहले लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 1; इसलिए, दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 2; इसलिए, फिर से दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य है n = 3 और इसी तरह एड इनफिनिटम।

समस्या 3. हनोई पहेली के टावरों में तीन छड़ें होती हैं। छड़ में से एक पर एक पिरामिड (चित्र 1) होता है, जिसमें विभिन्न व्यास के कई छल्ले होते हैं, जो नीचे से ऊपर तक घटते हैं

चित्र एक

इस पिरामिड को दूसरी छड़ों में से एक में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, हर बार केवल एक अंगूठी को स्थानांतरित करना और बड़ी अंगूठी को छोटे पर नहीं रखना चाहिए। क्या यह किया जा सकता है?

समाधान। तो, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या एक पिरामिड को स्थानांतरित करना संभव है जिसमेंपी खेल के नियमों का पालन करते हुए, विभिन्न व्यास के छल्ले, एक छड़ से दूसरी छड़ तक? अब समस्या यह है, जैसा कि वे कहते हैं, हमारे द्वारा पैरामीट्रिज्ड (एक प्राकृतिक संख्या .)पी), और इसे गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जा सकता है।

1. प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1, सब कुछ स्पष्ट है, क्योंकि एक अंगूठी के पिरामिड को स्पष्ट रूप से किसी भी छड़ में ले जाया जा सकता है।
2. प्रेरण का चरण। मान लीजिए कि हम किसी भी पिरामिड को छल्ले की संख्या के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंपी = के।
   आइए हम सिद्ध करें कि तब हम पिरामिड को मध्य से भी स्थानांतरित कर सकते हैंएन = के + 1।

से पिरामिड सबसे बड़े पर पड़े छल्ले(प्रति + 1)-वें वलय, हम धारणा के अनुसार, किसी अन्य धुरी पर जा सकते हैं। हो जाए। स्तब्ध(प्रति + 1)वें वलय विस्थापन एल्गोरिथम को पूरा करने में हमारे साथ हस्तक्षेप नहीं करेगा, क्योंकि यह सबसे बड़ा है। चलने के बादप्रति छल्ले, इसे सबसे बड़ा ले जाएँ(प्रति + 1) शेष छड़ पर छल्ला। और फिर हम आगमनात्मक धारणा द्वारा ज्ञात चलती एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करते हैंप्रति छल्ले, और उन्हें छड़ी के साथ ले जाएँ(प्रति + 1)वीं अंगूठी। इस प्रकार, यदि हम पिरामिडों को के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंप्रति छल्ले, फिर हम पिरामिडों को स्थानांतरित कर सकते हैं औरप्रति + 1 अंगूठियां। इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पिरामिड को स्थानांतरित करना हमेशा संभव होता है, जिसमें शामिल हैं n वलय, जहाँ n > 1.

विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता से संबंधित विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।

टास्क 4 . यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।

n=1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है। चूंकि 2k एक सम संख्या है, इसलिए यह है। तो, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता को समता से घटाया जाता है। इसलिए, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।

कार्य 3. सिद्ध कीजिए कि संख्या Z 3 + 3 - 26एन - 27 एक मनमाना प्राकृतिक के साथ n शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है।

समाधान। आइए पहले हम एक सहायक अभिकथन को शामिल करके सिद्ध करें कि 3 3एन+3 1 बिना किसी शेष के 26 से विभाज्य हैएन > 0.

1. प्रेरण का आधार। n = 0 के लिए हमारे पास है: Z 3 - 1 \u003d 26 - 26 से विभाजित।

प्रेरण का चरण। मान लीजिए 3 3एन + 3 - 1 26 से विभाज्य है जबएन = के, और आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में कथन सत्य होगा n = k + 1. चूंकि 3

फिर आगमनात्मक धारणा से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्या 3 3k + 6 - 1 26 से विभाज्य है।

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें। और फिर से प्रेरण द्वारा।

1. प्रेरण का आधार। यह स्पष्ट है किएन = 1 कथन सत्य है: 3 . के बाद से 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के
   व्यंजक 3 3k + 3 - 26k - 27 26 . से विभाज्य है 2 शेषफल के बिना, और सिद्ध कीजिए कि अभिकथन सत्य हैएन = के + 1,
   यानी वह नंबर

26 2 . से विभाज्य एक ट्रेस के बिना। अंतिम योग में, दोनों पदों को शेषफल के बिना 26 . से विभाजित किया जाता है 2 . पहला इसलिए है क्योंकि हमने यह साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है; दूसरा, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, आवश्यक कथन पूरी तरह से सिद्ध होता है।

श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

कार्य 5. सूत्र सिद्ध करें

एन एक प्राकृतिक संख्या है।

समाधान।

n=1 के लिए, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध हुआ है।

एक कार्य 6. बोर्ड पर दो नंबर लिखे हुए हैं: 1.1। संख्याओं के बीच उनका योग दर्ज करने पर हमें संख्याएँ 1, 2, 1 प्राप्त होती हैं। इस संक्रिया को फिर से दोहराने पर हमें संख्याएँ 1, 3, 2, 3, 1 प्राप्त होती हैं। तीन संक्रियाओं के बाद, संख्याएँ 1, 4, 3 होंगी, 5, 2, 5, 3, 4, 1. इसके बाद बोर्ड पर सभी संख्याओं का योग क्या होगा? 100 ऑपरेशन?

समाधान। सभी करो 100 संचालन बहुत समय लेने वाला और समय लेने वाला होगा। इसलिए, हमें योग S . के लिए कुछ सामान्य सूत्र खोजने का प्रयास करने की आवश्यकता हैसंख्या के बाद संख्या संचालन। आइए तालिका देखें:

क्या आपने यहां कोई पैटर्न देखा? यदि नहीं, तो आप एक और कदम उठा सकते हैं: चार ऑपरेशनों के बाद, संख्याएँ होंगी

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

जिसका योग S 4 82 है।

वास्तव में, आप संख्याएँ नहीं लिख सकते हैं, लेकिन तुरंत कह सकते हैं कि नई संख्याएँ जोड़ने के बाद योग कैसे बदलेगा। मान लीजिए कि योग 5 के बराबर है। नई संख्याओं को जोड़ने पर यह क्या हो जाएगा? आइए प्रत्येक नई संख्या को दो पुरानी संख्याओं के योग में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 1, 3, 2, 3, 1 से हम 1 पर जाते हैं।

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

यही है, प्रत्येक पुरानी संख्या (दो चरम को छोड़कर) अब तीन बार योग में प्रवेश करती है, इसलिए नया योग 3S - 2 है (लापता इकाइयों को ध्यान में रखते हुए 2 घटाएं)। इसलिए एस 5 = 3एस 4 - 2 = 244, और सामान्य तौर पर

सामान्य सूत्र क्या है? यदि यह दो इकाइयों के घटाव के लिए नहीं होता, तो हर बार योग तीन गुना बढ़ जाता, जैसा कि त्रिगुण (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) की शक्तियों में होता है। और हमारी संख्या, जैसा कि आप अब देख सकते हैं, एक और हैं। इस प्रकार, यह माना जा सकता है कि

आइए अब इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण का आधार। तालिका देखें (के लिएएन = 0, 1, 2, 3)।

प्रेरण का चरण। चलो दिखावा करते हैं कि

आइए हम सिद्ध करें किएस से + 1 \u003d जेड से + 1 + 1।

सचमुच,

तो, हमारा सूत्र सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि सौ ऑपरेशन के बाद, बोर्ड पर सभी नंबरों का योग 3 . के बराबर होगा 100 + 1.

एक पर विचार करें महान उदाहरणगणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुप्रयोग, जिसमें आपको पहले दो प्राकृतिक मापदंडों का परिचय देना होगा और फिर उनके योग पर प्रेरण करना होगा।

एक कार्य 7. सिद्ध कीजिए कि यदि= 2, x 2 = 3 और हर प्राकृतिक के लिएएन> 3

एक्स एन \u003d जेडएक्स एन - 1 - 2x एन - 2,

फिर

2 एन - 1 + 1, एन = 1, 2, 3, ...

समाधान। ध्यान दें कि इस समस्या में संख्याओं का प्रारंभिक क्रम(एक्स एन) प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हमारे अनुक्रम की शर्तें, पहले दो को छोड़कर, आगमनात्मक रूप से दी जाती हैं, अर्थात पिछले वाले के माध्यम से। दिए गए क्रम कहलाते हैंआवर्तक, और हमारे मामले में यह क्रम एक अनोखे तरीके से (इसके पहले दो शब्दों को निर्दिष्ट करके) निर्धारित किया जाता है।

प्रेरण का आधार। इसमें दो अभिकथनों की जाँच शामिल है: n=1 और n=2.B दोनों ही मामलों में, अभिकथन अनुमान से सत्य है।

प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के - 1 और एन = के अभिकथन किया जाता है, अर्थात्

आइए, फिर के अभिकथन को सिद्ध करेंएन = के + 1. हमारे पास है:

एक्स 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, जिसे सिद्ध किया जाना था।

टास्क 8. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को फाइबोनैचि संख्याओं के आवर्तक अनुक्रम के कई अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

कश्मीर > 2 के लिए

समाधान। चलो पी - प्राकृतिक संख्या। हम इंडक्शन चालू करेंगेपी।

प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1 कथन सत्य है, क्योंकि इकाई स्वयं एक फाइबोनैचि संख्या है।

प्रेरण का चरण। आइए मान लें कि सब कुछ पूर्णांकों, कुछ संख्या से कमपी, फाइबोनैचि अनुक्रम के कई अलग-अलग शब्दों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। हमे पता करने दें सबसे बड़ी संख्याफिबोनैकीएफ टी, जो निम्न से अधिक नहीं हैपी; तो एफ टी एन और एफ टी +1> एन।

क्यों कि

प्रेरण परिकल्पना से, संख्यापी- एफ टी फाइबोनैचि अनुक्रम के 5 अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और अंतिम असमानता से यह निम्नानुसार है कि 8 के योग में शामिल फाइबोनैचि अनुक्रम के सभी सदस्य इससे कम हैंएफ टी। इसलिए, संख्या का विस्तारएन = 8 + एफ टी समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरण।

कार्य 9. (बर्नौली की असमानता।)साबित करें कि जब x > -1, x 0, और पूर्णांक n > . के लिए 2 असमानता

(1 + एक्स) एन> 1 + एक्सएन।

समाधान। हम फिर से प्रेरण द्वारा प्रमाण का संचालन करेंगे।

1. प्रेरण का आधार। आइए हम असमानता की वैधता को सत्यापित करेंएन = 2. वास्तव में,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x।

2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें कि संख्या के लिएएन = के कथन सत्य है, अर्थात्

(1 + एक्स) के> 1 + एक्सके,

जहाँ k > 2. हम इसे n = k + 1 के लिए सिद्ध करते हैं। हमारे पास है: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (के + 1)x + केएक्स 2> 1 + (के + 1)x।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी मान्य हैएन > 2.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल की गई समस्याओं की स्थितियों में हमेशा नहीं, सामान्य कानून जिसे साबित करने की आवश्यकता होती है वह स्पष्ट रूप से तैयार किया जाता है। कभी-कभी, विशेष मामलों को देखकर, पहले यह पता लगाना (अनुमान लगाना) आवश्यक है कि सामान्य विधिवे देते हैं, और उसके बाद ही गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा बताई गई परिकल्पना को सिद्ध करते हैं। इसके अलावा, इंडक्शन वैरिएबल को मास्क किया जा सकता है, और समस्या को हल करने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इंडक्शन किस पैरामीटर पर किया जाएगा। उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें।

समस्या 10. सिद्ध कीजिए कि

किसी भी प्राकृतिक के लिएएन > 1.

समाधान, आइए इस असमानता को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण आधार आसानी से सत्यापित है:1+

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा

और हमें यह साबित करना बाकी है कि

आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम दावा करेंगे कि

यद्यपि यह समानता वास्तव में सत्य है, यह हमें समस्या का समाधान नहीं देती है।

आइए मूल समस्या में आवश्यकता से अधिक मजबूत दावे को साबित करने का प्रयास करें। अर्थात्, हम यह सिद्ध करेंगे कि

ऐसा लग सकता है कि प्रेरण द्वारा इस दावे को साबित करना निराशाजनक है।

हालांकि, पी पर = 1 हमारे पास है: कथन सत्य है। आगमनात्मक चरण को सही ठहराने के लिए, मान लीजिए कि

और फिर हम साबित करेंगे कि

सचमुच,

इस प्रकार, हमने एक मजबूत अभिकथन सिद्ध किया है, जिससे समस्या की स्थिति में निहित अभिकथन तुरंत अनुसरण करता है।

यहाँ शिक्षाप्रद बात यह है कि यद्यपि हमें समस्या में आवश्यकता से अधिक प्रबल अभिकथन सिद्ध करना था, हम आगमनात्मक चरण में अधिक प्रबल धारणा का भी प्रयोग कर सकते थे। यह बताता है कि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग हमेशा लक्ष्य की ओर नहीं ले जाता है।

समस्या के समाधान में जो स्थिति उत्पन्न होती है उसे कहते हैंआविष्कारक का विरोधाभास।विरोधाभास ही यह है कि अधिक जटिल योजनाओं को लागू किया जा सकता है महान सफलतायदि वे मामले के सार की गहरी समझ पर आधारित हैं।

समस्या 11. सिद्ध कीजिए कि 2m + n - 2m किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

समाधान। यहां हमारे पास दो विकल्प हैं। इसलिए, आप तथाकथित को अंजाम देने की कोशिश कर सकते हैंदोहरा प्रेरण(एक प्रेरण के भीतर एक प्रेरण)।

हम आगमनात्मक तर्क करेंगेपी।

1. पी के अनुसार प्रेरण का आधार।एन = के लिए 1 इसे जांचने की जरूरत है 2 टी ~ 1> टी। इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम प्रेरण का उपयोग करते हैंटी।

एक) वॉल्यूम द्वारा प्रेरण का आधार।टी = . के लिए 1 चल रहा है
समानता, जो स्वीकार्य है।

बी) टी के अनुसार प्रेरण का चरण।आइए मान लें किटी = के कथन सत्य है, अर्थात् 2 के ~ 1> के। फिर ऊपर
मान लें कि कथन सत्य है, भले हीएम = के + 1।
हमारे पास है:

प्राकृतिक के.

इस प्रकार, असमानता 2 किसी भी प्राकृतिक के लिए प्रदर्शन कियाटी।

2. मद के अनुसार प्रेरण का चरणकोई प्राकृत संख्या चुनें और नियत करेंटी। आइए मान लें किएन = मैं कथन सत्य है (निश्चित के लिए)टी), यानी 2 टी +1 ~ 2> टी 1, और सिद्ध करें कि तब अभिकथन सत्य होगाएन = एल + 1।
हमारे पास है:

किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित (के अनुसारपी) समस्या का कथन किसी के लिए भी सत्य हैपी और किसी भी निश्चित . के लिएटी। इस प्रकार, यह असमानता किसी भी प्राकृतिकके प्रकार।

समस्या 12. मान लीजिए m, n और k प्राकृत संख्याएं हैं, औरटी > पी दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है:

हर अभिव्यक्ति मेंप्रति लक्षण वर्गमूल, टी और एन वैकल्पिक।

समाधान। आइए पहले हम कुछ सहायक अभिकथन सिद्ध करें।

लेम्मा। किसी भी प्राकृतिक के लिएटी और एन (टी> एन) और गैर-ऋणात्मक (जरूरी नहीं कि पूर्णांक हो)एक्स असमानता

सबूत। असमानता पर विचार करें

यह असमानता सही है, क्योंकि बाईं ओर के दोनों कारक सकारात्मक हैं। कोष्ठक का विस्तार और रूपांतरण, हम प्राप्त करते हैं:

अंतिम असमानता के दोनों भागों का वर्गमूल लेते हुए, हम लेम्मा का अभिकथन प्राप्त करते हैं। तो लेम्मा साबित होता है।

अब चलिए समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इनमें से पहली संख्या को द्वारा निरूपित करेंएक, और दूसरा के माध्यम सेबी से . आइए साबित करें कि a किसी भी प्राकृतिक के लिएप्रति। सम और विषम के लिए अलग-अलग गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण किया जाएगाप्रति।

प्रेरण का आधार। कश्मीर के लिए = 1 हमारे पास असमानता है

y[t > y/n , जो इस तथ्य के कारण मान्य है किएम> एन। = 2, सिद्ध लेम्मा से प्रतिस्थापित करके वांछित परिणाम प्राप्त किया जाता हैएक्स = 0.

प्रेरण का चरण। मान लीजिए, कुछ के लिएअसमानता के लिए a >b to निष्पक्ष। आइए साबित करें कि

प्रेरण की धारणा और वर्गमूल की एकरसता से, हमारे पास है:

दूसरी ओर, यह सिद्ध लेम्मा का अनुसरण करता है कि

अंतिम दो असमानताओं को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, अभिकथन सिद्ध होता है।

टास्क 13. (कॉची की असमानता।)सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए...,एक पी असमानता

समाधान। n = 2 के लिए असमानता

अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य (दो संख्याओं के लिए) को ज्ञात माना जाएगा। होने देनाएन = 2, के = 1, 2, 3, ... और पहले इंडक्शन को पर करेंप्रति। इस प्रेरण का आधार है। अब यह मानते हुए कि वांछित असमानता पहले से ही स्थापित की जा चुकी हैएन = 2 , हम इसे सिद्ध करेंगेपी = 2। हमारे पास है (दो संख्याओं के लिए असमानता का उपयोग करते हुए):

इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा

इस प्रकार, k पर प्रेरण द्वारा, हमने सभी के लिए असमानता सिद्ध कर दी हैपी 9 जो दो की शक्तियाँ हैं।

अन्य मूल्यों के लिए असमानता साबित करने के लिएपी हम "प्रेरण नीचे" का उपयोग करेंगे, अर्थात्, हम यह साबित करेंगे कि यदि असमानता मनमानी गैर-ऋणात्मक के लिए संतुष्ट हैपी संख्या, यह के लिए भी मान्य है(पी - 1)वां अंक। इसे सत्यापित करने के लिए, हम ध्यान दें कि, की गई धारणा के अनुसार, के लिएपी संख्या, असमानता

अर्थात् a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. दोनों भागों को विभाजित करनापी -1, हम आवश्यक असमानता प्राप्त करते हैं।

इसलिए, पहले हमने स्थापित किया कि असमानता अनंत संभावित मूल्यों के लिए हैपी, और फिर दिखाया कि यदि असमानता कायम हैपी संख्या, यह इसके लिए भी मान्य है(पी - 1) अंक। इससे अब हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोटी की असमानता के एक समुच्चय के लिए हैपी किसी के लिए कोई भी गैर-ऋणात्मक संख्याएन = 2, 3, 4, ...

समस्या 14. (डी। उसपेन्स्की।) कोणों वाले किसी त्रिभुज ABC के लिए =सीएबी, = सीबीए तुलनीय हैं, असमानताएं हैं

समाधान। कोण और अनुरूप हैं, जिसका अर्थ है (परिभाषा के अनुसार) कि इन कोणों का एक सामान्य माप है जिसके लिए = p, = (p, q सहअभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं)।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें और इसे योग के ऊपर खींचेंएन = पी + q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ ..

प्रेरण का आधार। p + q = 2 के लिए हमारे पास है: p = 1 और q = 1। तब त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, और वांछित असमानताएँ स्पष्ट हैं: वे त्रिभुज असमानता से अनुसरण करते हैं

प्रेरण का चरण। अब मान लीजिए कि p + q = 2, 3, ..., के लिए वांछित असमानताएँ स्थापित हो गई हैं।के -1, जहां के > 2. आइए हम सिद्ध करें कि असमानताएँ के लिए भी मान्य हैंपी + क्यू = के।

चलो एबीसी के साथ दिया गया त्रिभुज है> 2. फिर भुजाएँ AC और BC बराबर नहीं हो सकता: चलोएसी> ई.पू. आइए अब चित्र 2 की तरह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैंएबीसी; अपने पास:

एसी \u003d डीसी और एडी \u003d एबी + बीडी, इसलिए,

2एसी > एबी + बीडी (1)

अब त्रिभुज पर विचार करेंवीडीसी, जिनके कोण भी तुलनीय हैं:

डीसीबी = (क्यू - पी), बीडीसी = पी।

चावल। 2

यह त्रिभुज आगमनात्मक परिकल्पना को संतुष्ट करता है, और इसलिए

(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमारे पास है:

2एसी+बीडी>

और इसीलिए

एक ही त्रिभुज सेडब्ल्यूबीएस प्रेरण परिकल्पना से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

पिछली असमानता को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण प्राप्त होता है, और समस्या का विवरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आता है।

टिप्पणी। समस्या का कथन तब भी मान्य रहता है जब कोण a और p समानुपाती न हों। में विचार के आधार पर सामान्य मामलाहमें पहले से ही एक और महत्वपूर्ण गणितीय सिद्धांत लागू करना होगा - निरंतरता का सिद्धांत।

समस्या 15. कई सीधी रेखाएँ समतल को भागों में विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि इन भागों को सफेद रंग में रंगना संभव है

और काले रंग ताकि एक सामान्य सीमा खंड वाले आसन्न भाग हों भिन्न रंग(जैसा कि चित्र 3 में . के साथ)एन = 4)।

तस्वीर 3

समाधान। हम लाइनों की संख्या पर प्रेरण का उपयोग करते हैं। तो चलोपी - हमारे विमान को भागों में विभाजित करने वाली रेखाओं की संख्या,एन > 1.

प्रेरण का आधार। अगर केवल एक सीधा है(पी = 1), फिर यह समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को सफेद और दूसरे को काला रंग दिया जा सकता है, और समस्या का कथन सत्य है।

प्रेरण का चरण। आगमनात्मक चरण के प्रमाण को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, एक नई पंक्ति जोड़ने की प्रक्रिया पर विचार करें। यदि हम दूसरी रेखा खींचते हैं(पी= 2), तो हमें चार भाग मिलते हैं जिन्हें विपरीत कोनों को एक ही रंग में रंगकर वांछित तरीके से रंगा जा सकता है। आइए देखें कि यदि हम तीसरी सीधी रेखा खींचते हैं तो क्या होता है। यह कुछ "पुराने" भागों को विभाजित करेगा, जबकि सीमा के नए खंड दिखाई देंगे, जिसके दोनों किनारों पर रंग समान है (चित्र 4)।

चावल। चार

आइए इस प्रकार आगे बढ़ें:एक तरफनई सीधी रेखा से हम रंग बदलेंगे - हम सफेद काला बना देंगे और इसके विपरीत; साथ ही, वे भाग जो इस सीधी रेखा के दूसरी ओर स्थित हैं, उन्हें दोबारा रंगा नहीं गया है (चित्र 5)। फिर यह नया रंगआवश्यक आवश्यकताओं को पूरा करेगा: एक ओर, सीधी रेखा पहले से ही वैकल्पिक थी (लेकिन विभिन्न रंगों के साथ), और दूसरी ओर, यह आवश्यक था। खींची गई रेखा से संबंधित एक सामान्य सीमा वाले भागों को अलग-अलग रंगों में रंगने के लिए, हमने इस खींची गई रेखा के केवल एक तरफ के हिस्सों को फिर से रंग दिया।

चित्र 5

आइए अब आगमनात्मक चरण को सिद्ध करें। मान लीजिए कि कुछ के लिएएन = केसमस्या का कथन मान्य है, अर्थात्, समतल के सभी भाग जिनमें इसे इन द्वारा विभाजित किया गया हैप्रतिसीधे, आप सफेद और काले रंग में पेंट कर सकते हैं ताकि पड़ोसी हिस्से अलग-अलग रंगों के हों। आइए हम साबित करें कि तब इस तरह के रंग मौजूद हैंपी= प्रति+ 1 सीधा। आइए हम दो सीधी रेखाओं से तीन में संक्रमण के मामले में इसी तरह आगे बढ़ें। चलो विमान पर खर्च करते हैंप्रतिप्रत्यक्ष। फिर, आगमनात्मक धारणा से, परिणामी "मानचित्र" को वांछित तरीके से रंगीन किया जा सकता है। चलो अब खर्च करते हैं(प्रति+ 1) - सीधी रेखा और इसके एक तरफ हम विपरीत रंगों में रंग बदलते हैं। तो अब(प्रति+ 1)-वीं सीधी रेखा हर जगह अलग-अलग रंगों के वर्गों को अलग करती है, जबकि "पुराने" भाग, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, सही रंग में रहते हैं। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, समस्या हल हो जाती है।

एक कार्य16. रेगिस्तान के किनारे पर गैसोलीन और एक कार की बड़ी आपूर्ति होती है, जो एक पूर्ण गैस स्टेशन के साथ 50 किलोमीटर की यात्रा कर सकती है। असीमित मात्रा में, ऐसे कनस्तर होते हैं जिनमें आप कार के गैस टैंक से गैसोलीन निकाल सकते हैं और इसे रेगिस्तान में कहीं भी भंडारण के लिए छोड़ सकते हैं। सिद्ध कीजिए कि कार 50 किलोमीटर से अधिक किसी भी पूर्णांक दूरी की यात्रा कर सकती है। गैसोलीन के डिब्बे ले जाने की अनुमति नहीं है, खाली डिब्बे किसी भी मात्रा में ले जाया जा सकता है।

समाधान।आइए इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करेंपी,कि कार चला सकती हैपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर। परपी= 50 ज्ञात है। यह प्रेरण के चरण को पूरा करना और यह बताना है कि वहां कैसे पहुंचा जाएएन = के+ 1 किमी यदि ज्ञात होएन = केकिलोमीटर चलाया जा सकता है।

हालाँकि, यहाँ हमें एक कठिनाई का सामना करना पड़ता है: हमारे पास होने के बादप्रतिकिलोमीटर, गैसोलीन वापसी यात्रा (भंडारण का उल्लेख नहीं करने के लिए) के लिए भी पर्याप्त नहीं हो सकता है। और इस मामले में, साबित होने वाले दावे (आविष्कारक का विरोधाभास) को मजबूत करने का तरीका है। हम साबित करेंगे कि न केवल गाड़ी चलाना संभव हैपीकिलोमीटर, लेकिन दूरी पर एक बिंदु पर गैसोलीन की मनमाने ढंग से बड़ी आपूर्ति करने के लिएपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर की दूरी पर, परिवहन के अंत के बाद इस बिंदु पर होने के नाते।

प्रेरण का आधार।बता दें कि गैसोलीन की एक इकाई एक किलोमीटर की यात्रा को पूरा करने के लिए आवश्यक गैसोलीन की मात्रा है। फिर 1 किलोमीटर की यात्रा और पीछे के लिए दो यूनिट गैसोलीन की आवश्यकता होती है, इसलिए हम 48 यूनिट गैसोलीन को किनारे से एक किलोमीटर दूर भंडारण में छोड़ सकते हैं और अधिक के लिए वापस आ सकते हैं। इस प्रकार, भंडारण की कई यात्राओं के लिए, हम एक मनमाना आकार का स्टॉक बना सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। वहीं, 48 यूनिट स्टॉक बनाने के लिए हम 50 यूनिट पेट्रोल खर्च करते हैं।

प्रेरण का चरण।आइए मान लें कि कुछ दूरी परपी= प्रतिरेगिस्तान के किनारे से आप कितनी भी मात्रा में पेट्रोल जमा कर सकते हैं। आइए हम साबित करें कि तब कुछ दूरी पर एक भंडार बनाना संभव हैएन = के+ 1 किमी गैसोलीन की किसी भी पूर्व निर्धारित आपूर्ति के साथ और परिवहन के अंत में इस भंडारण पर हो। क्योंकि बिंदु परपी= प्रतिगैसोलीन की असीमित आपूर्ति होती है, फिर (प्रेरण आधार के अनुसार) हम बिंदु पर कई यात्राओं में कर सकते हैंएन = के+1 एक बिंदु बनाने के लिएपी= प्रति4- किसी भी आकार का 1 स्टॉक जो आपको चाहिए।

समस्या की स्थिति की तुलना में अधिक सामान्य कथन की सच्चाई अब गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपने ज्ञान में सुधार किया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करना एक मनोरंजक गतिविधि बन जाती है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकती है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन में ही समस्याओं को हल करने में कैसे लागू किया जाए।

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