गणितीय प्रेरण की विधि n n 1. प्रेरण के उदाहरण

परिचय

मुख्य हिस्सा

पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण
गणितीय प्रेरण का सिद्धांत
गणितीय प्रेरण की विधि
उदाहरणों का समाधान
समानता
संख्या विभाजन
असमानताओं

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। निगमनात्मक विधितर्क सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रहा है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, परिणामस्वरूप तार्किक सोचहम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के क्षेत्र में वृद्धि हुई है, स्कूल के पाठ्यक्रमउसके पास कम समय है। अच्छा बोलो क्या मनुष्य के लिए उपयोगीवे उन दो या तीन पाठों को लाएंगे जिनके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनता है, पांच आदिम समस्याओं को हल करता है, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए ए प्राप्त करता है।

लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण है - आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द तर्क पर लागू होता है जिसके द्वारा कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। इस तरह के तर्क का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух अभाज्य सँख्या. ऐसा करने के लिए, हम ऐसी सभी संख्याएँ लेते हैं और संगत विस्तार लिखते हैं:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो अभाज्य पदों के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण यह है कि संभावित मामलों की एक सीमित संख्या में प्रत्येक में सामान्य कथन अलग से साबित होता है।

कभी-कभी समग्र परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त पर विचार करने के बाद की जा सकती है एक बड़ी संख्या मेंविशेष मामले (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण)।

हालाँकि, अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, केवल एक परिकल्पना ही रहता है, जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं हो जाता। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, लेकिन यह नए सत्य की खोज के लिए एक शक्तिशाली तरीका है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना आवश्यक है। विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम अनंत मामलों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।

किसी के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को सिद्ध करना आवश्यक होने दें प्राकृतिक संख्या n (उदाहरण के लिए, आपको यह साबित करना होगा कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n=k+1 के लिए भी इसकी वैधता है।

तब अभिकथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह भी सच है अगला नंबरएन = 1 + 1 = 2। n=2 के लिए अभिकथन की वैधता का तात्पर्य n=2+ . के लिए इसकी वैधता है

1=3. इसका तात्पर्य n=4, इत्यादि के लिए दिए गए कथन की वैधता से है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है अगली संख्या n=k +1 के लिए सत्य है, तो मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k)ÞA(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत साबित होती है कि कथन n=k (प्रेरक धारणा) के लिए सही है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k)ÞA(k+1)।

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। फलस्वरूप,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nОN के लिए अनुमान A(n) सत्य है।

साबित करो

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

हल: 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1)।

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

वास्तव में

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 है।

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है

और 3 सही है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए (3) सच है।

2) मान लीजिए कि किसी में

उत्तल के-गॉन है-

ए 1 सिया ए के = के (के-3) / 2 विकर्ण।

A k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में

(के+1)-गॉन नंबर

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

मान लीजिए 1 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-कोण। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। गिनती करने के लिए कुल गणनाइसके विकर्ण (k + 1)-gon, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। शीर्ष A k+1 से निकलने वाले (k+1)-gon के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस तरह,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, किसी भी प्राकृतिक n के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

हल: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1।

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4।

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है।

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2.

हल: 1) n=2 के लिए पहचान इस तरह दिखती है: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

वे। यह सही है।

2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(के 3 +1)/(के 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)।

3) हम n=k+1 के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे।

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((के 3 +1)/(के 3 -1)))´((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

((k+1) 2 +(k+1)+1)।

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, कथन किसी भी n>2 के लिए सही है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

किसी भी प्राकृतिक एन.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) मान लें कि n=k, तब

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)।

3) आइए n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करें

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)।

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए कथन सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

किसी भी प्राकृतिक एन.

1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1)।

2) मान लें कि n=k . के लिए

(1 2 /1´3)+…+(के 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)।

3) आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 के लिए सर्वसमिका सत्य है।

(1 2 /1´3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)।

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133।

लेकिन (23´133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में

(11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 ।

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे कारक में 133 है। तो, А(k)ÞА(k+1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =7 1 -1=6 को 6 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है। अतः n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

7 k -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

एक्स के+1 =7 के+1 -1=7´7 के -7+6=7(7 के -1)+6।

पहला पद 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 k -1, 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 है। इसलिए 7 n -1 किसी भी प्राकृतिक n के लिए 6 का गुणज है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि स्वेच्छ प्राकृतिक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।
हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है। अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1।

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1, बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। अतः n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

11 2k -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है।

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1)।

दोनों पद शेषफल के बिना 6 से विभाज्य हैं: पहले में 6 संख्या 120 का गुणज है, और दूसरी धारणा द्वारा शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। अतः योग शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n+3 -26n-27 बिना किसी शेषफल के 26 2 (676) से विभाज्य है।

हल: आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है।

एन = 0 . के लिए

3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है

मान लीजिए कि n=k . के लिए

3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है

आइए हम सिद्ध करें कि कथन

n=k+1 के लिए सत्य।

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें।

1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है

3 3+3 -26-27=676

2) मान लें कि n=k . के लिए

व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 बिना शेष के 26 2 से विभाज्य है।

3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)।

दोनों पद 26 2 से विभाज्य हैं; पहला 26 2 से विभाज्य है क्योंकि हमने साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है, और दूसरा आगमनात्मक परिकल्पना से विभाज्य है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है।

सिद्ध कीजिए कि यदि n>2 और x>0, तो असमानता

(1+x) n >1+n´x।

हल: 1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x।

तो ए (2) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1) यदि k> 2. मान लीजिए कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता

(1+x) k >1+k´x। (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x।

वास्तव में, असमानता के दोनों पक्षों (3) को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x)।

विचार करना दाईं ओरउत्तरार्द्ध असमान है

स्टवा; अपने पास

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x।

परिणामस्वरूप, हमें वह मिलता है

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता सत्य है

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

हल: 1) m=1 . के लिए

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 दोनों भाग बराबर हैं।

2) मान लें कि m=k . के लिए

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 ।

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए सही है।

साबित करें कि n>6 के लिए असमानता

3 n >n´2 n+1 ।

हल: आइए असमानता को इस रूप में फिर से लिखें

n=7 के लिए हमारे पास है

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

असमानता सच है।

मान लीजिए कि n=k . के लिए

3) आइए n=k+1 के लिए असमानता की सत्यता सिद्ध करें।

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1)।

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक n के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n).

हल: 1) n=3 के लिए असमानता सत्य है

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

मान लीजिए कि n=k . के लिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)।

3) हम गैर की वैधता साबित करेंगे-

n=k+1 . के लिए समानताएं

(1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

डब्ल्यू(1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

k(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1).

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, गैर-समानता सिद्ध होती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपने ज्ञान में सुधार किया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं का समाधान एक मनोरंजक गतिविधि बन जाता है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकता है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन में ही समस्याओं को हल करने में कैसे लागू किया जाए।

गणित:

व्याख्यान, कार्य, समाधान

पाठ्यपुस्तक / वी। जी। बोल्त्यंस्की, यू। वी। सिदोरोव, एम। आई। शबुनिन। पोटपौरी एलएलसी 1996।

बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांत

पाठ्यपुस्तक / आई.टी. डेमिडोव, ए.एन. कोलमोगोरोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ग, ओएस इवाशेव-मुसातोव, बी.ई. "ज्ञानोदय" 1975।

सबूत की विधि, जिस पर इस खंड में चर्चा की जाएगी, प्राकृतिक श्रृंखला के स्वयंसिद्धों में से एक पर आधारित है।

प्रेरण का स्वयंसिद्ध। एक वाक्य दिया जाए जो चर पर निर्भर करता है पी,जिसके स्थान पर आप किसी भी प्राकृत संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। आइए इसे निरूपित करें ए (पी)।चलो वाक्य भी लेकिनसंख्या 1 के लिए सत्य है और इस तथ्य से कि लेकिनसंख्या के लिए सही प्रति, उसका अनुसरण करता है लेकिनसंख्या के लिए सही कश्मीर+ 1. फिर ऑफर लेकिनसभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए सत्य पी।

स्वयंसिद्ध का प्रतीकात्मक संकेतन:

यहां शिखर-प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर चर। प्रेरण के स्वयंसिद्ध से, निम्नलिखित अनुमान नियम प्राप्त होता है:

तो, प्रस्ताव की सच्चाई को साबित करने के लिए लेकिन,हम पहले दो कथनों को सिद्ध कर सकते हैं: कथन की सच्चाई लेकिन( 1), साथ ही साथ परिणाम ए (के) => ए (के + 1).

उपरोक्त को ध्यान में रखते हुए, हम इकाई का वर्णन करते हैं तरीका

गणितीय अधिष्ठापन।

यह साबित करने की आवश्यकता है कि वाक्य ए (पी)सभी प्राकृतिक के लिए सच पी।प्रमाण को दो चरणों में विभाजित किया गया है।

पहला चरण। प्रेरण का आधार।हम एक मूल्य के रूप में लेते हैं पीनंबर 1 और जांचें कि लेकिन( 1) एक सत्य कथन है।
दूसरा चरण। आगमनात्मक संक्रमण।हम सिद्ध करते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए प्रतिनिहितार्थ सत्य है: यदि ए (के), फिर ए (के + 1).

आगमनात्मक मार्ग शब्दों से शुरू होता है: "एक मनमाना प्राकृतिक संख्या लें" प्रति,ऐसा है कि ए (के)",या "चलो एक प्राकृतिक संख्या के लिए प्रतिसही ए (के)"।"चलो" शब्द के बजाय वे अक्सर "मान लीजिए ..." कहते हैं।

इन शब्दों के बाद, पत्र प्रतिकुछ निश्चित वस्तु को दर्शाता है जिसके लिए संबंध है ए (के)।से आ रही ए (के)हम परिणाम निकालते हैं, यानी हम वाक्यों की एक श्रृंखला बनाते हैं ए (के) 9 पी, पाई, ..., आरएन = ए (के + 1), जहां प्रत्येक वाक्य आर,एक सच्चा कथन है या पिछले वाक्यों का परिणाम है। अंतिम वाक्य आर"के साथ मेल खाना चाहिए ए (के +एक)। इससे हम निष्कर्ष निकालते हैं: से ए (के)चाहिए ए (के +).

आगमनात्मक संक्रमण के निष्पादन को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1) आगमनात्मक धारणा। यहाँ हम मानते हैं कि लेकिन प्रतिचर एन।
2) धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि लेकिननंबर के लिए सही? +1।

उदाहरण 5.5.1।आइए साबित करें कि संख्या पी+पीसभी प्राकृतिक के लिए भी है पी।

यहां ए (पी) = "एन 2 + एन- सम संख्या"। यह साबित करना आवश्यक है कि लेकिन -समान रूप से सत्य विधेय। हम गणितीय प्रेरण की विधि लागू करते हैं।

प्रेरण का आधार।आइए एल = 1 लें। व्यंजक में स्थानापन्न करें पी+//, हमें मिलता है एन 2 +एन= I 2 + 1 = 2 एक सम संख्या है, अर्थात /1(1) एक सत्य कथन है।

आइए तैयार करें आगमनात्मक परिकल्पना A(k)= "नंबर से 2 + से -यहाँ तक की।" आप यह कह सकते हैं: "एक मनमाना प्राकृत संख्या लीजिए प्रतिऐसा है कि 2 + से . तकएक सम संख्या है।

हम इस कथन से निष्कर्ष निकालते हैं ए (केए-)= "नंबर (के+ 1) 2 + (? + 1) - सम।

संचालन के गुणों से, हम परिवर्तन करते हैं:

परिणामी योग का पहला पद धारणा द्वारा सम है, दूसरा परिभाषा के अनुसार भी है (क्योंकि इसका रूप 2 . है) पी)।अतः योग एक सम संख्या है। वाक्य ए (के + 1) सिद्ध।

गणितीय प्रेरण की विधि से, हम निष्कर्ष निकालते हैं: वाक्य ए (पी)सभी प्राकृतिक के लिए सच पी।

बेशक, हर बार अंकन दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है ए (पी)।हालांकि, यह अभी भी आगमनात्मक धारणा तैयार करने की सिफारिश की जाती है और एक अलग पंक्ति में इससे क्या घटाया जाना आवश्यक है।

ध्यान दें कि उदाहरण 5.5.1 से अभिकथन को गणितीय आगमन विधि का उपयोग किए बिना सिद्ध किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दो मामलों पर विचार करना पर्याप्त है: कब पीसम और कब पीअजीब।

कई विभाज्यता समस्याओं को गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जाता है। आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.5.2।आइए हम सिद्ध करें कि संख्या 15 2u_| +1 सभी प्राकृत संख्याओं के लिए 8 से विभाज्य है पी।

बाचा प्रेरण।आइए /1=1 लेते हैं। हमारे पास है: संख्या 15 2|_| +1 = 15+1 = 16, 8 से विभाज्य है।

, जो कुछ के लिए

प्राकृतिक संख्या प्रतिसंख्या 15 2 * '+1 8 से विभाज्य है।

आइए साबित करेंतो संख्या क्या है एक\u003d 15 2 (ZHN +1 8 से विभाज्य है।

चलिए नंबर कन्वर्ट करते हैं एक:

धारणा के अनुसार, संख्या 15 2A1 +1 8 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि पूरा पहला पद 8 से विभाज्य है। दूसरा पद 224=8-28 भी 8 से विभाज्य है। इस प्रकार, संख्या एकक्योंकि दो संख्याओं का अंतर जो 8 का गुणज है, 8 से विभाज्य है। आगमनात्मक चरण उचित है।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी प्राकृतिक के लिए पीसंख्या 15 2 "-1 -*-1 8 से विभाज्य है।

आइए हल की गई समस्या पर कुछ टिप्पणी करें।

सिद्ध कथन को थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: "संख्या 15" "+1 किसी भी विषम प्राकृतिक / और के लिए 8 से विभाज्य है"।

दूसरे, सिद्ध सामान्य कथन से, कोई एक विशेष निष्कर्ष निकाल सकता है, जिसका प्रमाण एक अलग समस्या के रूप में दिया जा सकता है: संख्या 15 2015 +1 8 से विभाज्य है। इसलिए, कभी-कभी समस्या को सामान्य करने के लिए इसे निरूपित करना उपयोगी होता है एक अक्षर द्वारा एक विशेष मूल्य, और फिर विधि गणितीय प्रेरण लागू करें।

सबसे सामान्य अर्थ में, "प्रेरण" शब्द का अर्थ है कि सामान्य निष्कर्ष विशेष उदाहरणों के आधार पर बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, सम संख्याओं 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 के योग के कुछ उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किन्हीं दो का योग सम संख्या सम संख्या होती है।

सामान्य मामले में, इस तरह के प्रेरण से गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं। आइए हम ऐसे गलत तर्क का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 5.5.3। संख्या पर विचार करें एक= /r+n+41 प्राकृतिक के लिए /?।

आइए मान खोजें एककुछ मूल्यों के लिए पी।

होने देना एन =मैं फिर ए = 43 एक अभाज्य संख्या है।

चलो /7=2। फिर एक= 4+2+41 = 47 अभाज्य है।

चलो एल = 3। फिर एक= 9+3+41 = 53 अभाज्य है।

चलो /7=4. फिर एक= 16+4+41 = 61 अभाज्य है।

मूल्यों के रूप में लें पीक्वाड के बाद की संख्याएं, जैसे कि 5, 6, 7, और सुनिश्चित करें कि संख्या एकसरल होगा।

हम निष्कर्ष निकालते हैं: "सभी प्राकृतिक / के लिए? संख्या एकसरल होगा।"

परिणाम एक गलत बयान है। यहाँ एक प्रति उदाहरण है: /7=41। सुनिश्चित करें कि इसके साथ पीसंख्या एकसमग्र होगा।

"गणितीय प्रेरण" शब्द का एक संकीर्ण अर्थ है, क्योंकि इस पद्धति का उपयोग आपको हमेशा सही निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.4। आगमनात्मक तर्क के आधार पर, हम एक अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। याद रखें कि अंकगणितीय पेशा एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, जिसे प्रगति अंतर कहा जाता है। अंकगणितीय पेशे को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसके पहले सदस्य को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है एकऔर अंतर डी।

तो परिभाषा के अनुसार एक पी+ = ए एन + डी,पर एन> 1.

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में, एक नियम के रूप में, अंकगणितीय पेशे के सामान्य शब्द का सूत्र विशेष उदाहरणों के आधार पर स्थापित किया जाता है, अर्थात ठीक प्रेरण द्वारा।

अगर /7=1, तब से 7| = मैं|, तब मैं हूँ| = टीएफ | + डीएफ (एल -1)।

अगर /7=2, तो मैं 2 = ए + डी,वह है एक= मैं|+*/(2-1)।

अगर /7=3, तो मैं 3 = मैं 2 + = (ए+डी)+डी = ए+2डी,यानी मैं 3 = मैं|+(3-1)।

अगर /7=4, तो मैं 4 = मैं 3 +*/ = ( ए+2डी)+डी\u003d R1 + 3, आदि।

दिए गए विशेष उदाहरण हमें एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति देते हैं: सामान्य शब्द सूत्र का रूप होता है एक" = ए+(एन-)डीसभी के लिए /7>1.

आइए हम इस सूत्र को गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करें।

आधार प्रेरणपिछली चर्चाओं में सत्यापित।

होने देना प्रति -ऐसी संख्या जिस पर मैं*- ए+(के-)डी (आगमनात्मक धारणा).

आइए साबित करेंकि मैं **! = ए+((के+)-)डी,यानी मैं*+1 = कुल्हाड़ी + केडी।

परिभाषा के अनुसार मैं*+1 = एबी + डी। एक टू= मैं | +(से-1 )डी, साधन, एसी+\u003d मैं मैं + (ए: -1) ^ / + सी / \u003d मैं | +(ए-1+1 )डी= मैं मैं +केडी, जिसे साबित करना आवश्यक था (आगमनात्मक संक्रमण को सही ठहराने के लिए)।

अब सूत्र i„ = ए+(एन-)डीकिसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सिद्ध /;।

मान लीजिए कुछ क्रम i b i 2 , i, ... (not .)

आवश्यक रूप से एक अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति)। अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जहां पहले योग करना आवश्यक होता है पीइस अनुक्रम के सदस्य, अर्थात्, योग R|+i 2 +...+i और एक सूत्र निर्दिष्ट करें जो आपको अनुक्रम के सदस्यों की गणना किए बिना इस योग के मूल्यों को खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण 5.5.5. आइए हम साबित करें कि पहले का योग पीप्राकृतिक संख्या है

/?(/7 + 1)

योग 1+2+...+/7 को . से निरूपित करें एस.एन.आइए मान खोजें एस नहींकुछ के लिए /7.

ध्यान दें कि S 4 का योग ज्ञात करने के लिए, आप पहले परिकलित मान 5 3 का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि 5 4 = 5 3 +4।

एन (एन +1)

यदि हम माने गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं /? टर्म में --- कुछ

हमें क्रमशः वही योग 1, 3, 6, 10 प्राप्त होते हैं। ये प्रेक्षण

. _ एन (एन + 1)

सुझाव है कि सूत्र एस„=--- का उपयोग तब किया जा सकता है जब

कोई //। आइए हम इस अनुमान को गणितीय आगमन विधि द्वारा सिद्ध करें।

आधार प्रेरणसत्यापित। हो जाए आगमनात्मक संक्रमण।

मान लीजिएकि सूत्र किसी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है

, के (के + 1)

k, तो नेटवर्क पहले का योग है प्रतिप्राकृत संख्या है ----

आइए साबित करेंकि पहली (?+1) प्राकृत संख्याओं का योग के बराबर है

(* + !)(* + 2)

आइए व्यक्त करें?*+1 से एस के.ऐसा करने के लिए, योग S*+i में हम पहले समूह को समूहित करते हैं प्रतिशर्तें, और अंतिम शब्द अलग से लिखें:

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा एस के =तो खोजने के लिए

पहले (? + 1) प्राकृत संख्याओं का योग, पहले से परिकलित के लिए पर्याप्त है

. „ के (के + 1) _ .. ..

पहले का योग प्रति--- के बराबर संख्याएँ, एक पद (k + 1) जोड़ें।

आगमनात्मक संक्रमण उचित है। इस प्रकार प्रारम्भ में रखी गई परिकल्पना सिद्ध होती है।

हमने सूत्र सिद्ध किया है एस एन =एन ^ एन + विधि

गणितीय अधिष्ठापन। बेशक, अन्य सबूत भी हैं। उदाहरण के लिए, आप योग लिख सकते हैं एस,शब्दों के आरोही क्रम में, और फिर शब्दों के अवरोही क्रम में:

एक कॉलम में पदों का योग स्थिर होता है (एक योग में, प्रत्येक अगला पद 1 से घटता है और दूसरे में 1 से बढ़ता है) और (/r + 1) के बराबर होता है। इसलिए, परिणामी योगों का योग, हमारे पास है पी(u+1) के बराबर पद। तो दुगुनी राशि एस "के बराबर है एन (एन + 1).

अभी सिद्ध किया गया सूत्र पहले के योग के सूत्र के विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है पीअंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि पर लौटते हैं। ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण (प्रेरण का आधार) की विधि का पहला चरण हमेशा आवश्यक होता है। इस कदम की अनुपस्थिति से गलत निष्कर्ष निकल सकता है।

उदाहरण 5.5.6। आइए वाक्य को "सिद्ध" करें: "संख्या 7" + 1 किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए 3 से विभाज्य है "।

"मान लीजिए कि कुछ प्राकृतिक मूल्य के लिए प्रतिसंख्या 7*+1 3 से विभाज्य है। आइए सिद्ध करें कि संख्या 7 x +1 3 से विभाज्य है।

संख्या 6 स्पष्ट रूप से 3 से विभाज्य है। संख्या 1 से +आगमनात्मक परिकल्पना से 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 7-(7* + 1) भी 3 से विभाज्य है। इसलिए, 3 से विभाज्य संख्याओं का अंतर भी 3 से विभाज्य होगा।

प्रस्ताव सिद्ध।"

मूल प्रस्ताव का प्रमाण गलत है, इस तथ्य के बावजूद कि आगमनात्मक कदम सही है। वास्तव में, अत एन =मेरे पास संख्या 8 है, के साथ एन = 2 -संख्या 50, ..., और इनमें से कोई भी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।

आइए हम आगमनात्मक संक्रमण करते समय एक प्राकृत संख्या के अंकन के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करें। प्रस्ताव तैयार करते समय ए (पी)पत्र पीहम एक चर को निरूपित करते हैं, जिसके बजाय किसी भी प्राकृतिक संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आगमनात्मक परिकल्पना तैयार करते समय, हमने अक्षर द्वारा चर के मान को निरूपित किया प्रति।हालाँकि, बहुत बार एक नए पत्र के बजाय प्रतिचर के समान अक्षर का उपयोग करें। यह आगमनात्मक संक्रमण करते समय तर्क की संरचना को प्रभावित नहीं करता है।

आइए समस्याओं के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें जिनके लिए गणितीय प्रेरण की विधि लागू की जा सकती है।

उदाहरण 5.5.7। योग का मान ज्ञात कीजिए

कार्य में चर पीदिखाई नहीं देता है। हालाँकि, शब्दों के अनुक्रम पर विचार करें:

निरूपित एस, \u003d ए + ए 2 + ... + ए ।हमे पता करने दें एस" कुछ के लिए पी।अगर /1=1, तो एस, = ए, =-.

यदि एक एन = 2. तब एस, = एक, + एक? = - + - = - = -.

अगर /?=3, तो एस-, = ए,+ए 7+ मैं, = - + - + - = - + - = - = -।

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

आप स्वयं मूल्यों की गणना कर सकते हैं एस "पर /7 = 4; 5. उठता है

प्राकृतिक अनुमान: एस नहीं= - किसी भी प्राकृतिक /7 के लिए। आइए साबित करें

यह गणितीय प्रेरण द्वारा है।

आधार प्रेरणऊपर चेक किया गया।

हो जाए आगमनात्मक संक्रमण, एक मनमाना को दर्शाता है

परिवर्तनीय मूल्य पीवही अक्षर, यानी हम समानता से साबित करते हैं

0 /7 _ /7 +1

एस नहीं= - समानता का पालन करता है एस, =-.

/7+1 /7 + 2

मान लीजिएकि समानता सत्य है एस= - पी -.

आइए कुल आवंटित करें एस„+पहला पीशर्तें:

आगमनात्मक धारणा को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

भिन्न को (/7+1) से कम करने पर, हमारे पास समानता होगी एसएन +1 - , एल

आगमनात्मक संक्रमण उचित है।

इससे सिद्ध होता है कि प्रथम का योगफल पीशर्तें

1 1 1 /7 ^
- +-+...+- बराबर है -। अब मूल पर वापस चलते हैं
1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

काम। इसे हल करने के लिए, यह मान के रूप में लेने के लिए पर्याप्त है पीनंबर 99.

तब योग -!- + -!- + -!- + ...+ --- संख्या 0.99 के बराबर होगा।

1-2 2-3 3-4 99100

इस राशि की गणना किसी अन्य तरीके से करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5.5.8। आइए हम सिद्ध करें कि अवकलनीय फलनों की किसी परिमित संख्या के योग का अवकलज इन फलनों के अवकलजों के योग के बराबर होता है।

चलो चर /? दी गई सुविधाओं की संख्या को दर्शाता है। मामले में जब केवल एक फ़ंक्शन दिया जाता है, तो यह फ़ंक्शन होता है जिसे योग के रूप में समझा जाता है। इसलिए, यदि /7=1, तो कथन स्पष्ट रूप से सत्य है: /" = /"।

मान लीजिएकि कथन के समुच्चय के लिए सत्य है पीकार्य (यहां फिर से पत्र के बजाय प्रतिपत्र लिया पी),वह है, योग का व्युत्पन्न पीफ़ंक्शन डेरिवेटिव के योग के बराबर है।

आइए साबित करेंकि (n + 1) फलनों के योग का अवकलज, अवकलजों के योग के बराबर होता है। एक मनमाना समुच्चय लीजिए जिसमें एन+अवकलनीय फलन: /1,/2, . आइए हम इन कार्यों के योग का प्रतिनिधित्व करें

जैसा जी+एफ„+ 1, जहां जी = एफ +/जी + ... +/टी-जोड़ पीकार्य। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न जीडेरिवेटिव के योग के बराबर है: जी" = फीट + फीट + ... + फीट।इसलिए, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला धारण करती है:

आगमनात्मक संक्रमण पूरा हो गया है।

इस प्रकार, किसी भी सीमित संख्या में कार्यों के लिए मूल प्रस्ताव सिद्ध होता है।

कुछ मामलों में, प्रस्ताव की सच्चाई को साबित करना आवश्यक है ए (पी)सभी प्राकृतिक i के लिए, कुछ मान से शुरू करते हुए साथ।ऐसे मामलों में गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है।

प्रेरण का आधार।हम साबित करते हैं कि प्रस्ताव लेकिनमूल्य के लिए सही पी,बराबर साथ।

आगमनात्मक संक्रमण। 1) हम मानते हैं कि प्रस्ताव लेकिनकुछ मूल्य के लिए सच प्रतिचर /?, जो से बड़ा या उसके बराबर है साथ।

2) हम साबित करते हैं कि प्रस्ताव लेकिनके लिए सच /? के बराबर

फिर से ध्यान दें कि पत्र के बजाय प्रतिअक्सर परिवर्तनशील पदनाम छोड़ दें पी।इस मामले में, आगमनात्मक संक्रमण शब्दों से शुरू होता है: "मान लीजिए कि कुछ मूल्य के लिए एन>एससही ए (पी)।आइए साबित करें कि तब ए (एन +एक)"।

उदाहरण 5.5.9। आइए हम साबित करें कि सभी के लिए प्राकृतिक एन> 5 असमानता 2”> और 2 सत्य है।

प्रेरण का आधार।होने देना एन = 5. तब 2 5 =32, 5 2 =25। असमानता 32>25 सत्य है।

आगमनात्मक संक्रमण। मान लीजिए, कि असमानता 2 पी>एन 2कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए एन> 5. आइए साबित करें, जो तब 2" +| > (n+1) 2 है।

शक्तियों के गुणों से 2” +| = 2-2"। चूंकि 2"> n 2 (आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा), फिर 2-2"> 2n 2 (I)।

आइए हम इसका औचित्य सिद्ध करें कि 2 पी 2(i+1) 2 से बड़ा। यह किया जा सकता है विभिन्न तरीके. निर्णय लेने के लिए पर्याप्त वर्ग असमानता 2x 2 >(x+) 2वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में देखें और देखें कि 5 से बड़ी या उसके बराबर सभी प्राकृत संख्याएँ इसके हल हैं।

हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे। आइए संख्याओं का अंतर ज्ञात करें 2 पी 2और (i+1) 2:

चूंकि और > 5, फिर i + 1 > 6, जिसका अर्थ है (i + 1) 2 > 36। इसलिए, अंतर 0 से अधिक है। इसलिए, 2i 2> (i + 1) 2 (2)।

असमानताओं के गुणों से, यह (I) और (2) से यह अनुसरण करता है कि 2*2"> (n + 1) 2, जो कि आगमनात्मक संक्रमण को सही ठहराने के लिए आवश्यक था।

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता 2" > i 2 किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है i.

गणितीय प्रेरण की विधि के दूसरे रूप पर विचार करें। अंतर आगमनात्मक संक्रमण में निहित है। इसे लागू करने के लिए, दो चरणों की आवश्यकता है:

1) मान लें कि प्रस्ताव ए (पी)चर के सभी मूल्यों के लिए सही है मैं कुछ संख्या से कम आर;
2) की गई धारणा से, यह निष्कर्ष निकालें कि प्रस्ताव ए (पी)संख्या के लिए सही आर।

इस प्रकार, आगमनात्मक चरण को कोरोलरी के प्रमाण की आवश्यकता होती है: [(Ui?) ए (एन)] => ए (पी)।ध्यान दें कि कोरोलरी को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ .) 1).

प्रस्ताव को सिद्ध करने में गणितीय प्रेरण की विधि के मूल सूत्रीकरण में ए (पी)हम केवल "पिछले" प्रस्ताव पर निर्भर थे ए (पी-एक)। यहां दी गई विधि का सूत्रीकरण व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है ए (पी),यह मानते हुए कि सभी प्रस्ताव एक),मैं कहाँ कम हूँ आर, सच हैं।

उदाहरण 5.5.10। आइए प्रमेय को सिद्ध करें: "किसी भी आई-गॉन के आंतरिक कोणों का योग 180°(i-2) होता है"।

एक उत्तल बहुभुज के लिए, प्रमेय को सिद्ध करना आसान होता है यदि इसे एक शीर्ष से त्रिभुजों में खींचे गए विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है। हालांकि, एक गैर-उत्तल बहुभुज के लिए, ऐसी प्रक्रिया संभव नहीं हो सकती है।

आइए हम गणितीय प्रेरण द्वारा एक मनमाना बहुभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करें। हम मानते हैं कि निम्नलिखित अभिकथन ज्ञात है, जिसे कड़ाई से बोलते हुए, एक अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है: "किसी भी //-गॉन में, एक विकर्ण होता है जो पूरी तरह से इसके आंतरिक भाग में स्थित होता है।"

एक चर // के बजाय, आप किसी भी प्राकृतिक संख्या को 3 से अधिक या उसके बराबर स्थानापन्न कर सकते हैं एन = बीप्रमेय सत्य है क्योंकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है।

कुछ ले लो /7-gon (पी> 4) और मान लीजिए कि किसी //-gon के कोणों का योग, जहां //p, 180°(//-2) के बराबर है। आइए हम सिद्ध करें कि //-gon के कोणों का योग 180°(//-2) के बराबर होता है।

आइए इसके अंदर एक विकर्ण //-गॉन बनाएं। यह //-gon को दो बहुभुजों में विभाजित कर देगा। चलो उनमें से एक है प्रतिपक्ष, अन्य 2 . तकपक्ष। फिर के + के 2 -2 \u003d पी,चूँकि परिणामी बहुभुजों में एक उभयनिष्ठ भुजा वाला विकर्ण होता है, जो मूल //-gon का एक पक्ष नहीं है।

दोनों नंबर प्रतितथा 2 . तककम //। आइए परिणामी बहुभुजों पर आगमनात्मक धारणा लागू करें: ए]-गॉन के कोणों का योग 180°-(?i-2) है, और कोणों का योग? 2-गॉन 180 ° - (Ar 2 -2) के बराबर होता है। तब //- gon के कोणों का योग इन संख्याओं के योग के बराबर होगा:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2)।

आगमनात्मक संक्रमण उचित है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, प्रमेय किसी भी //-gon (//>3) के लिए सिद्ध होता है।

यदि प्रस्ताव A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि किसी k>p के लिए A(k) X A(k+1), तो प्रस्ताव A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच
2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) ~ A(k+1)

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 वास्तव में,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

तो, ए (के) एक्स ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि धारणा A(n) किसी भी n N . के लिए सही है

साबित करो

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), जहां x नंबर 1

1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच

2) मान लें कि k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र को सत्य होने दें,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) वास्तव में
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n . के लिए सही है

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 . है

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है, क्योंकि त्रिभुज में

ए 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 विकर्ण; ए 2 ए(3) सच

2) मान लीजिए कि किसी भी उत्तल k-gon में A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 विकर्ण हैं। A k आइए साबित करें कि एक उत्तल A k+1 (k+1)- में विकर्णों की संख्या A k+1 =(k+1)(k-2)/2 है।

मान लीजिए 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-gon। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। इस (k + 1)-gon के विकर्णों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। (k+1) के विकर्णों की संख्या - शीर्ष A k+1 से निकलने वाले gon, और, इसके अलावा, किसी को विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखना चाहिए

इस तरह,

जी के+1 =जी के +(के-2)+1=के(के-3)/2+के-1=(के+1)(के-2)/2

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

हल: 1) मान लीजिए n=1

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1। हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है

एक्स के \u003d के 2 (के + 1) 2/4

3) आइए हम इस कथन की सत्यता को n=k+1, अर्थात् सिद्ध करें।

एक्स के+1 =(के+1) 2 (के+2) 2 /4। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है

साबित करो

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ((3 3 +1)/(3 3 -1)) … ((एन 3 +1)/(एन 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), जहां n>2

हल: 1) n=2 के लिए, सर्वसमिका इस प्रकार दिखती है:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), यानी। ये सच है
2) मान लें कि n=k . के लिए व्यंजक सत्य है
(2 3 +1) / (2 3 -1) ... (के 3 +1) / (के 3 -1) \u003d 3के (के + 1) / 2 (के 2 + के + 1)
3) हम n=k+1 . के लिए व्यंजक की सत्यता सिद्ध करेंगे
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) … ((के 3 +1)/(के 3 -1)) (((के+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ((k+2)((k+)

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2

((के+1) 2 +(के+1)+1)

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता साबित कर दी है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी n>2 के लिए सही है।

साबित करो

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) किसी भी प्राकृतिक n के लिए

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) मान लें कि n=k, तब
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) हम n=k+1 . के लिए इस कथन की सत्यता सिद्ध करेंगे
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

n=k+1 के लिए समानता की वैधता भी सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

पहचान की वैधता साबित करें

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए

1) n=1 के लिए सर्वसमिका सत्य है 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) मान लें कि n=k . के लिए
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) हम सिद्ध करते हैं कि n=k+1 . के लिए सर्वसमिका सत्य है
(1 2 /1 ґ 3)+…+(के 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (के+2)/2(2(के+1)+1)

उपरोक्त प्रमाण से यह देखा जा सकता है कि अभिकथन किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

लेकिन (23 ґ 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लें कि (11 k+2 +12 2k+1) बिना किसी शेषफल के 133 से विभाज्य है
3) आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में (11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। वास्तव में
11 k+3 +12 2k+3 =11 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 11 k+2 +

+(11+133) 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

परिणामी राशि शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद 133 से विभाज्य है बिना शेषफल के, और दूसरे कारक में 133 है। तो, ए (के) यू ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, अभिकथन सिद्ध होता है

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n 7 n -1 के लिए बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

1) मान लीजिए n=1, फिर X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 को बिना शेष के 6 से विभाजित किया जाता है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
2) मान लीजिए कि n \u003d k 7 k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

एक्स के+1 \u003d 7 के + 1 -1 \u003d 7 7 के -7 + 6 \u003d 7 (7 के -1) + 6

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 बिना शेष के 11 से विभाजित है।

तो n=1 के लिए कथन सत्य है

2) मान लीजिए कि n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है
3) हम सिद्ध करते हैं कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 11 2n -1 बिना शेषफल के 6 से विभाज्य है

1) मान लीजिए n=1, तो 11 2 -1=120 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है। तो n=1 के लिए कथन सत्य है
2) मान लीजिए कि n=k 1 2k -1 के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

सिद्ध कीजिए कि 3 3n+3 -26n-27 एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 26 2 (676) से विभाज्य है, बिना शेष बचे

आइए पहले हम सिद्ध करें कि 3 3n+3 -1 बिना किसी शेषफल के 26 से विभाज्य है

1. जब एन = 0
3 3 -1=26 26 . से विभाज्य है
2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
3 3k+3 -1 26 . से विभाज्य है
3. आइए हम सिद्ध करें कि n=k+1 . के लिए कथन सत्य है
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - 26 से विभाज्य है

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें

1) यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए कथन सत्य है
3 3+3 -26-27=676
2) मान लीजिए कि n=k के लिए व्यंजक 3 3k+3 -26k-27 शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है
3) आइए सिद्ध करें कि कथन n=k+1 . के लिए सत्य है
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

साबित करें कि अगर n>2 और х>0, तो असमानता (1+х) n >1+n ґ

1) n=2 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

तो A(2) सत्य है

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k) A(k+1) यदि k> 2. मान लें कि A(k) सत्य है, अर्थात असमानता
(1+х) k >1+k x. (3)

आइए हम सिद्ध करें कि तब A(k+1) भी सत्य है, अर्थात् असमानता

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

अंतिम असमानता के दाहिने पक्ष पर विचार करें; अपने पास

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

तो ए (के) ⋅ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n> 2 . के लिए मान्य है

सिद्ध कीजिए कि असमानता (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 a> 0 के लिए सही है

हल: 1) m=1 . के लिए

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 दोनों भाग बराबर हैं
2) मान लें कि m=k . के लिए
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) आइए हम साबित करें कि m=k+1 के लिए गैर-समानता सत्य है
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((के+1)(के+2)/2) ए 2

हमने m=k+1 के लिए असमानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक m के लिए मान्य है।

साबित करें कि n>6 असमानता 3 n>n ґ 2 n+1 . के लिए

आइए इस असमानता को (3/2) n >2n . के रूप में फिर से लिखें

1. n=7 के लिए हमारे पास 3 7/2 7 =2187/128>14=2 7 असमानता सत्य है
2. मान लीजिए कि n=k (3/2) k >2k . के लिए
3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 के बाद से, अंतिम असमानता स्पष्ट है।

गणितीय प्रेरण की विधि के कारण, असमानता किसी भी प्राकृतिक n . के लिए मान्य है

साबित करें कि n>2 के लिए असमानता

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/एन 2)<1,7-(1/n)

1) n=3 के लिए असमानता सत्य है
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. मान लीजिए कि n=k . के लिए
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/के 2)=1.7-(1/के)
3) आइए n=k+1 . के लिए असमानता की वैधता साबित करें
(1+(1/2 2)+…+(1/के 2))+(1/(के+1) 2)

आइए हम सिद्ध करें कि 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

एस (1/(के+1) 2)+(1/के+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

एस के (के + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

उत्तरार्द्ध स्पष्ट है, और इसलिए

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(के+1) 2)<1,7-(1/k+1)

गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर असमानता सिद्ध होती है।

व्याख्यान 6. गणितीय प्रेरण की विधि।

विज्ञान और जीवन में नया ज्ञान अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जाता है, लेकिन उन सभी (यदि आप विवरण में नहीं जाते हैं) को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सामान्य से विशेष और विशेष से सामान्य में संक्रमण। पहला डिडक्शन है, दूसरा इंडक्शन है। डिडक्टिव रीजनिंग वह है जिसे आमतौर पर गणित में कहा जाता है तार्किक विचार, और गणितीय विज्ञान में कटौती जांच का एकमात्र वैध तरीका है। प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा तार्किक तर्क के नियम ढाई सहस्राब्दी पहले तैयार किए गए थे। उन्होंने सरलतम सही तर्क की पूरी सूची बनाई, नपुंसकता- तर्क की "ईंटें", एक ही समय में विशिष्ट तर्क की ओर इशारा करते हुए, सही लोगों के समान, लेकिन गलत (हम अक्सर मीडिया में इस तरह के "छद्म" तर्क के साथ मिलते हैं)।

इंडक्शन (प्रेरण - लैटिन में सलाहआइजैक न्यूटन ने एक सेब के सिर पर गिरने के बाद सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को कैसे तैयार किया, इसकी प्रसिद्ध किंवदंती द्वारा सचित्र है। भौतिकी से एक और उदाहरण: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण जैसी घटना में, एक विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, "प्रेरित" करता है। "न्यूटन का सेब" उस स्थिति का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक या अधिक विशेष मामले, अर्थात। टिप्पणियों, एक सामान्य बयान के लिए "लीड", सामान्य निष्कर्ष विशेष मामलों के आधार पर किया जाता है। प्राकृतिक और मानव विज्ञान दोनों में सामान्य पैटर्न प्राप्त करने के लिए आगमनात्मक विधि मुख्य है। लेकिन इसका एक बहुत ही महत्वपूर्ण दोष है: विशेष उदाहरणों के आधार पर, एक गलत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। निजी टिप्पणियों से उत्पन्न होने वाली परिकल्पना हमेशा सही नहीं होती है। यूलर के कारण एक उदाहरण पर विचार करें।

हम पहले कुछ मानों के लिए त्रिपद के मान की गणना करेंगे एन:

ध्यान दें कि गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएं अभाज्य हैं। और कोई भी सीधे सत्यापित कर सकता है कि प्रत्येक के लिए एन 1 से 39 बहुपद मान
एक अभाज्य संख्या है। हालाँकि, जब एन=40 हमें संख्या 1681=41 2 प्राप्त होती है, जो अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, जो परिकल्पना यहाँ उत्पन्न हो सकती है, वह यह है कि प्रत्येक के लिए परिकल्पना एनसंख्या
सरल है, असत्य हो जाता है।

लाइबनिज ने 17वीं शताब्दी में सिद्ध किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए एनसंख्या
3 . से विभाज्य
5 से विभाज्य है, इत्यादि। इसके आधार पर, उन्होंने सुझाव दिया कि प्रत्येक विषम के लिए कऔर कोई भी प्राकृतिक एनसंख्या
द्वारा विभाजित क, लेकिन जल्द ही ध्यान दिया कि
9 से विभाज्य नहीं है।

विचार किए गए उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: एक बयान कई विशेष मामलों में सच हो सकता है और साथ ही सामान्य रूप से अन्यायपूर्ण भी हो सकता है। सामान्य स्थिति में कथन की वैधता के प्रश्न को तर्क की एक विशेष विधि को लागू करके हल किया जा सकता है जिसे कहा जाता है गणितीय प्रेरण द्वारा(पूर्ण प्रेरण, पूर्ण प्रेरण)।

6.1. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

गणितीय प्रेरण की विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत , निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

1) इस कथन की वैधता के लिए सत्यापित हैएन=1 (प्रेरण आधार) ,

2) इस कथन को सत्य माना जाता हैएन= क, कहाँ पेकएक मनमाना प्राकृतिक संख्या है 1(प्रेरण धारणा) , और इस धारणा को ध्यान में रखते हुए, इसकी वैधता स्थापित की जाती हैएन= क+1.

सबूत. इसके विपरीत मान लें, अर्थात मान लें कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक के लिए सत्य नहीं है एन. फिर ऐसा स्वाभाविक है एम, क्या:

1) के लिए अनुमोदन एन=एमनिष्पक्ष नहीं,

2) सबके लिए एन, छोटा एम, कथन सत्य है (दूसरे शब्दों में, एमपहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए अभिकथन विफल रहता है)।

जाहिर सी बात है एम>1, क्योंकि के लिये एन= 1 कथन सत्य है (शर्त 1)। फलस्वरूप,
- प्राकृतिक संख्या। यह पता चला है कि एक प्राकृतिक संख्या के लिए
कथन सत्य है, और अगली प्राकृत संख्या के लिए एमयह अनुचित है। यह शर्त 2 के विपरीत है

ध्यान दें कि प्रमाण ने स्वयंसिद्ध का उपयोग किया है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी संग्रह में सबसे छोटी संख्या होती है।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित एक प्रमाण को कहा जाता है पूर्ण गणितीय प्रेरण द्वारा .

 उदाहरण6.1. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसंख्या
3 से विभाज्य है।

समाधान।

1) कब एन=1 , तो एक 1 3 से विभाज्य है और कथन सत्य है एन=1.

2) मान लें कि कथन सत्य है एन=क,
, वह है, वह संख्या
3 से विभाज्य है और ज्ञात कीजिए कि एन=क+1 संख्या 3 से विभाज्य है।

वास्तव में,

इसलिये प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है, तो उनका योग भी 3 से विभाज्य है 

 उदाहरण6.2. सिद्ध कीजिए कि प्रथम का योगफल एनप्राकृत विषम संख्याएँ उनकी संख्या के वर्ग के बराबर होती हैं, अर्थात्।

समाधान।हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) हम इस कथन की वैधता की जांच करते हैं एन=1: 1=1 2 सही है।

2) मान लीजिए कि पहले का योग क (
) विषम संख्याओं का योग इन संख्याओं की संख्या के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात . इस समानता के आधार पर, हम यह स्थापित करते हैं कि पहले का योग क+1 विषम संख्या बराबर होती है
, वह है ।

हम अपनी धारणा का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं

. ■ 

कुछ असमानताओं को सिद्ध करने के लिए पूर्ण गणितीय आगमन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए हम बर्नौली की असमानता को सिद्ध करें।

 उदाहरण6.3. साबित करें कि जब
और कोई भी प्राकृतिक एनअसमानता
(बर्नौली की असमानता)।

समाधान। 1) कब एन=1 हमें मिलता है
, क्या सही है।

2) हम मानते हैं कि एन=कएक असमानता है
(*)। इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करते हैं कि
. ध्यान दें कि जब
यह असमानता कायम है, और इसलिए इस मामले पर विचार करना पर्याप्त है
.

असमानता के दोनों हिस्सों (*) को संख्या से गुणा करें
और पाओ:

वह है (1+
.■ 

विधि द्वारा प्रमाण अधूरा गणितीय प्रेरण कुछ दावे के आधार पर एन, कहाँ पे
एक समान तरीके से किया जाता है, लेकिन शुरुआत में, सबसे छोटे मूल्य के लिए न्याय स्थापित किया जाता है एन.

कुछ समस्याएं स्पष्ट रूप से एक कथन नहीं बनाती हैं जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, एक नियमितता स्थापित करना और इस नियमितता की वैधता के बारे में एक परिकल्पना व्यक्त करना आवश्यक है, और फिर गणितीय प्रेरण द्वारा प्रस्तावित परिकल्पना का परीक्षण करें।

 उदाहरण6.4. राशि का पता लगाएं
.

समाधान।आइए जानें राशि एस 1 , एस 2 , एस 3. हमारे पास है
,
,
. हम अनुमान लगाते हैं कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसूत्र मान्य है
. इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) कब एन=1 परिकल्पना सत्य है, क्योंकि
.

2) मान लें कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, वह है
. इस सूत्र का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं कि परिकल्पना सत्य है और इसके लिए एन=क+1, वह है

वास्तव में,

इसलिए, यह मानते हुए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, यह साबित हो गया है कि यह सच है एन=क+1, और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन. ■ 

 उदाहरण6.5. गणित में, यह साबित होता है कि दो समान रूप से निरंतर कार्यों का योग एक समान रूप से निरंतर कार्य है। इस कथन के आधार पर हमें यह सिद्ध करना होगा कि किसी भी संख्या का योगफल
समान रूप से निरंतर कार्यों का एक समान रूप से निरंतर कार्य है। लेकिन चूंकि हमने अभी तक "समान रूप से निरंतर कार्य" की अवधारणा को पेश नहीं किया है, आइए समस्या को और अधिक संक्षेप में सेट करें: यह ज्ञात हो कि दो कार्यों का योग जिसमें कुछ संपत्ति है एस, अपने आप में संपत्ति है एस. आइए हम साबित करें कि किसी भी संख्या में कार्यों के योग में संपत्ति होती है एस.

समाधान।यहाँ प्रेरण का आधार समस्या के निरूपण में निहित है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, विचार करें
कार्यों एफ 1 , एफ 2 , …, एफ एन , एफ एन+1 जिसके पास संपत्ति है एस. फिर । दाईं ओर, पहले पद में संपत्ति है एसप्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरे पद में संपत्ति है एसशर्त से। इसलिए, उनके योग में संपत्ति है एस- दो शब्दों के लिए, प्रेरण का आधार "काम करता है"।

यह अभिकथन को सिद्ध करता है और आगे भी इसका प्रयोग करेगा। मैं 

 उदाहरण6.6. सभी प्राकृतिक खोजें एन, जिसके लिए असमानता

समाधान।विचार करना एन= 1, 2, 3, 4, 5, 6. हमारे पास है: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 । इस प्रकार, हम एक परिकल्पना बना सकते हैं: असमानता
सबके लिए जगह है
. इस परिकल्पना की सत्यता को सिद्ध करने के लिए हम अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का प्रयोग करते हैं।

1) जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह परिकल्पना सत्य है एन=5.

2) मान लीजिए कि यह सत्य है एन=क,
, वह है, असमानता
. इस धारणा का उपयोग करके, हम यह साबित करते हैं कि असमानता
.

टी. टू.
और कम से
एक असमानता है

पर
,

तब हमें वह मिलता है
. तो, परिकल्पना की सच्चाई एन=क+1 इस धारणा से अनुसरण करता है कि यह सत्य है एन=क,
.

पीपी से 1 और 2, अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह इस प्रकार है कि असमानता
हर प्राकृतिक के लिए सच
. ■ 

 उदाहरण6.7. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एनविभेदन सूत्र मान्य है
.

समाधान।पर एन=1 इस सूत्र का रूप है
, या 1=1, यानी यह सच है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, हमारे पास है:

क्यू.ई.डी. मैं 

 उदाहरण6.8. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय से मिलकर बना है एनतत्व, है उपसमुच्चय।

समाधान।एक तत्व के साथ एक सेट एक, के दो उपसमुच्चय हैं। यह सच है क्योंकि इसके सभी उपसमुच्चय खाली समुच्चय और स्वयं समुच्चय हैं, और 2 1 =2।

हम मानते हैं कि का कोई समुच्चय एनतत्वों में है उपसमुच्चय। यदि समुच्चय A में होता है एन+1 तत्व, फिर हम इसमें एक तत्व को ठीक करते हैं - इसे निरूपित करें डी, और सभी उपसमुच्चय को दो वर्गों में विभाजित करें - जिसमें शामिल नहीं है डीऔर युक्त डी. प्रथम श्रेणी के सभी उपसमुच्चय तत्व को हटाकर A से प्राप्त समुच्चय B के उपसमुच्चय हैं डी.

सेट बी में शामिल हैं एनतत्वों, और इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, यह है उपसमुच्चय, इसलिए प्रथम श्रेणी में उपसमुच्चय।

लेकिन दूसरे वर्ग में उपसमुच्चय की संख्या समान होती है: उनमें से प्रत्येक तत्व को जोड़कर प्रथम श्रेणी के ठीक एक उपसमुच्चय से प्राप्त किया जाता है डी. इसलिए, कुल मिलाकर, समुच्चय A
उपसमुच्चय।

इस प्रकार कथन सिद्ध होता है। ध्यान दें कि यह 0 तत्वों वाले सेट के लिए भी मान्य है - एक खाली सेट: इसका एक एकल सबसेट है - स्वयं, और 2 0 = 1। मैं 

कई गणितीय गुणों और विभिन्न कथनों को सिद्ध करने के लिए पीनो के अभिगृहीत 4 पर आधारित एक प्रमाण विधि का उपयोग किया जाता है। इसका आधार निम्नलिखित प्रमेय है।

प्रमेय. यदि कथन लेकिन(एन)प्राकृतिक चर के साथ एनसच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के, यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = कश्मीर,फिर बयान लेकिन(एन) एन.

सबूत. द्वारा निरूपित करें एमउन और केवल उन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय जिसके लिए कथन लेकिन(एन)सच। तब प्रमेय की स्थिति से हमें प्राप्त होता है: 1) 1 एम; 2) के एमकएम. अतः अभिगृहीत 4 के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एम =एन, अर्थात। बयान लेकिन(एन)किसी भी प्राकृतिक के लिए सच एन.

इस प्रमेय पर आधारित प्रमाण की विधि कहलाती है गणितीय प्रेरण की विधि,और अभिगृहीत प्रेरण का अभिगृहीत है। इस प्रमाण के दो भाग हैं:

1) सिद्ध कीजिए कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = ए (1);

2) मान लें कि कथन लेकिन(एन)सच के लिए एन = के, और, इस धारणा से शुरू करते हुए, साबित करें कि बयान एक)सच के लिए n=k+ 1, यानी कि कथन सत्य है ए (के) ए (के + 1).

यदि एक लेकिन( 1) लेकिन(के) ए (के + 1) एक सत्य कथन है, तो वे निष्कर्ष निकालते हैं कि कथन एक)किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य एन.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण न केवल कथन की सत्यता की पुष्टि के साथ शुरू हो सकता है एन = 1, लेकिन किसी भी प्राकृतिक संख्या से भी एम. इस मामले में, बयान लेकिन(एन)सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध किया जाएगा एनएम.

समस्या। आइए साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एन।

समाधान।समानता 1 + 3 + 5 ... + (2 .) एन- 1) = एनएक सूत्र है जिसका उपयोग पहली क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (योग में 4 पद हैं), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (योग में 6 पद हैं); यदि इस योग में संकेतित प्रकार के 20 पद हैं, तो यह 20 = 400, आदि के बराबर है। इस समानता की सच्चाई को सिद्ध करने के बाद, हम सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट प्रकार के पदों की संख्या का योग ज्ञात करने में सक्षम होंगे।

1) इस समानता की सच्चाई को सत्यापित करें एन = 1. कब एन = 1 समानता के बाईं ओर 1 के बराबर एक पद होता है, दायां पक्ष 1 = 1 के बराबर होता है। 1 = 1 के बाद से, के लिए एन = 1 यह समानता सत्य है।

2) मान लें कि यह समानता सत्य है एन = के, अर्थात। कि 1 + 3 + 5 + … + (2 .) क- 1) = क।इस धारणा के आधार पर, हम साबित करते हैं कि यह सच है n=k+ 1, यानी 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = (कश्मीर + 1).

अंतिम समानता के बाईं ओर पर विचार करें।

धारणा के अनुसार, पहले का योग कशर्तें is कऔर इसलिए 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) क- 1) + (2(कश्मीर + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2क- 1) + (2क+ 1)=

= के+(2कश्मीर + 1) = कश्मीर+ 2कश्मीर + 1. अभिव्यक्ति कश्मीर+ 2कश्मीर + 1 समान रूप से व्यंजक के बराबर है ( कश्मीर + 1).

इसलिए, इस समानता की सच्चाई n=k+ 1 सिद्ध होता है।

इस प्रकार, यह समानता सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई के लिए एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह समानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, न केवल समानता, बल्कि असमानताओं की भी सच्चाई को साबित किया जा सकता है।

एक कार्य। साबित करें कि जहां एन.एन.

समाधान।आइए हम असमानता की सच्चाई की जाँच करें एन = 1. हमारे पास - एक सच्ची असमानता है।

आइए मान लें कि असमानता सत्य है एन = कश्मीर,वे। - सच्ची असमानता। आइए हम इस धारणा के आधार पर साबित करें कि यह सत्य है n=k+ 1, यानी (*).

हम इस बात को ध्यान में रखते हुए असमानता (*) के बाईं ओर रूपांतरित करते हैं कि : .

परंतु , जिसका अर्थ है और .

तो यह असमानता सत्य है एन = 1, और, इस तथ्य से कि असमानता कुछ के लिए सही है एन = क, हमने पाया कि यह इसके लिए भी सत्य है एन = कश्मीर + 1.

इस प्रकार, अभिगृहीत 4 का उपयोग करते हुए, हमने सिद्ध किया है कि यह असमानता किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

अन्य अभिकथन को गणितीय आगमन विधि द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

समाधान. आइए हम इस कथन की सत्यता की जाँच करें एन = 1:- सत्य कथन।

आइए मान लें कि यह कथन सत्य है एन = के: . आइए, इसका उपयोग करते हुए, के लिए कथन की सत्यता को प्रदर्शित करें n=k+ 1: .

आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें: . आइए जानें अंतर कतथा कश्मीर+ 1 सदस्य। यदि यह पता चलता है कि परिणामी अंतर 7 का गुणज है, और यह मानकर कि सबट्रेंड 7 से विभाज्य है, तो मिन्यूएंड भी 7 का गुणज है:

गुणनफल 7 का गुणज है, इसलिए, और .

अत: यह कथन के लिए सत्य है एन = 1 और इसकी सच्चाई के लिए एन = केसत्य का अनुसरण करता है n=k+ 1.

इससे सिद्ध होता है कि यह कथन किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है।

एक कार्य। सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एन 2 कथन (7-1)24 सत्य है।

समाधान। 1) के लिए कथन की सत्यता की जाँच करें एन= 2: - सत्य कथन।