प्रेरण उदाहरणों द्वारा प्रमाण। गणितीय प्रेरण का सिद्धांत

हर समय सच्चा ज्ञान एक पैटर्न स्थापित करने और कुछ परिस्थितियों में इसकी सत्यता को साबित करने पर आधारित था। तार्किक तर्क के अस्तित्व की इतनी लंबी अवधि के लिए, नियमों के सूत्र दिए गए, और अरस्तू ने "सही तर्क" की एक सूची भी तैयार की। ऐतिहासिक रूप से, सभी अनुमानों को दो प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा है - कंक्रीट से बहुवचन (प्रेरण) और इसके विपरीत (कटौती)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशेष से सामान्य और सामान्य से विशेष तक के साक्ष्य केवल एक दूसरे से जुड़े होते हैं और इन्हें आपस में बदला नहीं जा सकता है।

गणित में प्रेरण

"प्रेरण" (प्रेरण) शब्द की लैटिन जड़ें हैं और इसका शाब्दिक अर्थ "मार्गदर्शन" है। बारीकी से अध्ययन करने पर, कोई भी शब्द की संरचना में अंतर कर सकता है, अर्थात् लैटिन उपसर्ग - इन- (निर्देशित क्रिया को अंदर या अंदर होने को दर्शाता है) और -डक्शन - परिचय। यह ध्यान देने योग्य है कि दो प्रकार के होते हैं - पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण। पूर्ण प्रपत्रएक निश्चित वर्ग के सभी विषयों के अध्ययन के आधार पर किए गए निष्कर्षों की विशेषता।

अधूरा - निष्कर्ष कक्षा के सभी विषयों पर लागू होता है, लेकिन केवल कुछ इकाइयों के अध्ययन के आधार पर बनाया जाता है।

पूर्ण गणितीय प्रेरण किसी भी वस्तु के पूरे वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष पर आधारित एक निष्कर्ष है जो इस कार्यात्मक संबंध के ज्ञान के आधार पर संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के संबंधों से कार्यात्मक रूप से संबंधित हैं। इस मामले में, सबूत प्रक्रिया तीन चरणों में होती है:

• पहला प्रस्ताव की शुद्धता को साबित करता है गणितीय अधिष्ठापन. उदाहरण: f = 1, प्रेरण;
• अगला चरण इस धारणा पर आधारित है कि स्थिति सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए मान्य है। अर्थात्, f=h, यह आगमनात्मक धारणा है;
• तीसरे चरण में, संख्या f=h+1 के लिए स्थिति की वैधता साबित होती है, पिछले पैराग्राफ की स्थिति की शुद्धता के आधार पर - यह एक प्रेरण संक्रमण है, या गणितीय प्रेरण का एक चरण है। एक उदाहरण तथाकथित है यदि पंक्ति में पहली हड्डी गिरती है (आधार), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिरती हैं (संक्रमण)।

मजाक में और गंभीरता से

धारणा में आसानी के लिए, गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा समाधान के उदाहरणों को मजाक की समस्याओं के रूप में निरूपित किया जाता है। यह विनम्र कतार कार्य है:

• आचरण के नियम पुरुष को महिला के सामने मोड़ लेने से मना करते हैं (ऐसी स्थिति में उसे सामने आने दिया जाता है)। इस कथन के आधार पर, यदि पंक्ति में अंतिम व्यक्ति पुरुष है, तो शेष सभी पुरुष हैं।

गणितीय प्रेरण की विधि का एक महत्वपूर्ण उदाहरण "आयाम रहित उड़ान" समस्या है:

• यह साबित करना आवश्यक है कि मिनीबस में कितने लोग फिट हैं। यह सच है कि एक व्यक्ति बिना किसी कठिनाई (आधार) के परिवहन के अंदर फिट हो सकता है। लेकिन मिनीबस कितनी भी भरी क्यों न हो, उसमें 1 यात्री हमेशा फिट रहेगा (इंडक्शन स्टेप)।

परिचित मंडलियां

गणितीय प्रेरण द्वारा समस्याओं और समीकरणों को हल करने के उदाहरण काफी सामान्य हैं। इस दृष्टिकोण के उदाहरण के रूप में, हम निम्नलिखित समस्या पर विचार कर सकते हैं।

स्थि‍ति: h वृत्त समतल पर रखे गए हैं। यह साबित करना आवश्यक है कि, आकृतियों की किसी भी व्यवस्था के लिए, उनके द्वारा बनाए गए मानचित्र को दो रंगों से सही ढंग से रंगा जा सकता है।

समाधान: h=1 के लिए कथन की सच्चाई स्पष्ट है, इसलिए वृत्तों की संख्या h+1 के लिए प्रमाण बनाया जाएगा।

मान लीजिए कि किसी भी मानचित्र के लिए कथन सत्य है, और समतल पर h + 1 वृत्त दिए गए हैं। कुल में से किसी एक मंडल को हटाकर, आप दो रंगों (काले और सफेद) के साथ सही रंग का नक्शा प्राप्त कर सकते हैं।

हटाए गए सर्कल को पुनर्स्थापित करते समय, प्रत्येक क्षेत्र का रंग विपरीत में बदल जाता है (इस मामले में, सर्कल के अंदर)। यह दो रंगों में सही रंग का एक नक्शा निकला, जिसे साबित करना आवश्यक था।

प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग नीचे स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

समाधान उदाहरण:

सिद्ध कीजिए कि किसी भी h के लिए समानता सही होगी:

1 2 +2 2 +3 2 +…+एच 2 =एच(एच+1)(2एच+1)/6.

1. मान लीजिए h=1, तब:

आर 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि h=1 के लिए कथन सही है।

2. यह मानते हुए कि h=d, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

आर 1 \u003d डी 2 \u003d डी (डी + 1) (2 डी + 1) / 6 \u003d 1

3. यह मानते हुए कि h=d+1, यह पता चला है:

आर डी+1 =(डी+1) (डी+2) (2डी+3)/6

आर डी+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+डी 2 +(डी+1) 2 = डी(डी+1)(2डी+1)/6+ (डी+1) 2 =(डी( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2डी+3)/6.

इस प्रकार, h=d+1 के लिए समानता की वैधता सिद्ध हो गई है, इसलिए यह कथन किसी के लिए भी सत्य है प्राकृतिक संख्या, जो गणितीय प्रेरण द्वारा समाधान उदाहरण में दिखाया गया है।

एक कार्य

स्थि‍ति: प्रमाण आवश्यक है कि h के किसी भी मान के लिए, व्यंजक 7 h -1 बिना शेष के 6 से विभाज्य है।

समाधान:

1. मान लें कि एच = 1, इस मामले में:

आर 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (अर्थात शेष के बिना 6 से विभाजित)

इसलिए, h=1 के लिए कथन सत्य है;

2. मान लीजिए h=d और 7 d -1 बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य है;

3. h=d+1 के लिए कथन की वैधता का प्रमाण सूत्र है:

आर डी +1 =7 डी +1 -1=7∙7 डी -7+6=7(7 डी -1)+6

इस मामले में, पहला पद पहले पैराग्राफ की धारणा से 6 से विभाज्य है, और दूसरा पद 6 के बराबर है। यह कथन कि 7 h -1 किसी भी प्राकृतिक h के लिए शेषफल के बिना 6 से विभाज्य है, सत्य है।

निर्णय की भ्रांति

अक्सर इस्तेमाल किए गए तार्किक निर्माणों की अशुद्धि के कारण, सबूतों में गलत तर्क का उपयोग किया जाता है। मूल रूप से, यह तब होता है जब सबूत की संरचना और तर्क का उल्लंघन होता है। गलत तर्क का एक उदाहरण निम्नलिखित उदाहरण है।

एक कार्य

स्थि‍ति: इस बात के प्रमाण की आवश्यकता है कि पत्थरों का कोई ढेर ढेर नहीं है।

समाधान:

1. मान लें कि h=1, इस स्थिति में ढेर में 1 पत्थर है और कथन सत्य है (आधार);

2. मान लें कि h=d के लिए यह सत्य है कि पत्थरों का ढेर ढेर (धारणा) नहीं है;

3. मान लीजिए h=d+1, जिससे यह पता चलता है कि जब एक और पत्थर जोड़ा जाता है, तो सेट ढेर नहीं होगा। निष्कर्ष स्वयं बताता है कि यह धारणा सभी प्राकृतिक एच के लिए मान्य है।

त्रुटि इस तथ्य में निहित है कि ढेर के रूप में कितने पत्थरों की कोई परिभाषा नहीं है। इस तरह की चूक को गणितीय प्रेरण की विधि में जल्दबाजी में सामान्यीकरण कहा जाता है। एक उदाहरण इसे स्पष्ट रूप से दिखाता है।

प्रेरण और तर्क के नियम

ऐतिहासिक रूप से, वे हमेशा "हाथ में हाथ डालकर चलते हैं।" ऐसा वैज्ञानिक विषयतर्क की तरह, दर्शन उन्हें विपरीत के रूप में वर्णित करता है।

तर्क के नियम के दृष्टिकोण से, आगमनात्मक परिभाषाएँ तथ्यों पर आधारित होती हैं, और परिसर की सत्यता परिणामी कथन की शुद्धता का निर्धारण नहीं करती है। अक्सर निष्कर्ष एक निश्चित डिग्री की संभावना और संभाव्यता के साथ प्राप्त किए जाते हैं, जो निश्चित रूप से, अतिरिक्त शोध द्वारा सत्यापित और पुष्टि की जानी चाहिए। तर्क में प्रेरण का एक उदाहरण कथन होगा:

एस्टोनिया में सूखा, लातविया में सूखा, लिथुआनिया में सूखा।

एस्टोनिया, लातविया और लिथुआनिया बाल्टिक राज्य हैं। सभी बाल्टिक राज्यों में सूखा।

उदाहरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि नई जानकारीया सत्य को प्रेरण द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। निष्कर्षों की कुछ संभावित सत्यता पर ही भरोसा किया जा सकता है। इसके अलावा, परिसर की सच्चाई समान निष्कर्ष की गारंटी नहीं देती है। हालांकि, इस तथ्य का मतलब यह नहीं है कि कटौती के पिछवाड़े में इंडक्शन वनस्पतियां हैं: इंडक्शन की विधि का उपयोग करके बड़ी संख्या में प्रावधान और वैज्ञानिक कानूनों की पुष्टि की जाती है। गणित, जीव विज्ञान और अन्य विज्ञान एक उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं। यह मुख्य रूप से पूर्ण प्रेरण की विधि के कारण है, लेकिन कुछ मामलों में आंशिक भी लागू होता है।

प्रेरण के आदरणीय युग ने इसे मानव गतिविधि के लगभग सभी क्षेत्रों में प्रवेश करने की अनुमति दी - यह विज्ञान, अर्थशास्त्र और रोजमर्रा के निष्कर्ष हैं।

वैज्ञानिक वातावरण में प्रेरण

प्रेरण की विधि के लिए एक ईमानदार दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, क्योंकि बहुत कुछ पूरे अध्ययन के विवरण की संख्या पर निर्भर करता है: क्या अधिकअध्ययन, परिणाम जितना अधिक विश्वसनीय होगा। इस विशेषता के आधार पर, सभी संभावित संरचनात्मक तत्वों, कनेक्शनों और प्रभावों को अलग करने और उनका अध्ययन करने के लिए, प्रेरण की विधि द्वारा प्राप्त वैज्ञानिक कानूनों को संभाव्य मान्यताओं के स्तर पर पर्याप्त रूप से लंबे समय तक परीक्षण किया जाता है।

विज्ञान में, आगमनात्मक निष्कर्ष यादृच्छिक प्रावधानों के अपवाद के साथ, महत्वपूर्ण विशेषताओं पर आधारित है। विशिष्ट के संबंध में यह तथ्य महत्वपूर्ण है वैज्ञानिक ज्ञान. यह विज्ञान में प्रेरण के उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

प्रेरण दो प्रकार के होते हैं वैज्ञानिक दुनिया(अध्ययन की पद्धति के संबंध में):

1. प्रेरण-चयन (या चयन);
2. प्रेरण - बहिष्करण (उन्मूलन)।

पहले प्रकार को उसके विभिन्न क्षेत्रों से एक वर्ग (उपवर्ग) के पद्धतिगत (जांचपूर्ण) नमूने द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है।

इस प्रकार के प्रेरण का एक उदाहरण इस प्रकार है: चांदी (या चांदी का नमक) पानी को शुद्ध करता है। निष्कर्ष लंबी अवधि की टिप्पणियों (एक प्रकार की पुष्टि और खंडन - चयन) पर आधारित है।

दूसरे प्रकार का प्रेरण उन निष्कर्षों पर आधारित है जो कारण संबंध स्थापित करते हैं और उन परिस्थितियों को बाहर करते हैं जो इसके गुणों के अनुरूप नहीं हैं, अर्थात्, सार्वभौमिकता, अस्थायी अनुक्रम का पालन, आवश्यकता और अस्पष्टता।

दर्शन के दृष्टिकोण से प्रेरण और कटौती

यदि आप ऐतिहासिक पूर्वव्यापी को देखें, तो "प्रेरण" शब्द का उल्लेख सबसे पहले सुकरात ने किया था। अरस्तू ने दर्शन में शामिल होने के उदाहरणों को अधिक अनुमानित रूप में वर्णित किया शब्दावली शब्दकोश, लेकिन अपूर्ण प्रेरण का प्रश्न खुला रहता है। अरिस्टोटेलियन न्यायशास्त्र के उत्पीड़न के बाद, आगमनात्मक पद्धति को फलदायी और प्राकृतिक विज्ञान में एकमात्र संभव माना जाने लगा। बेकन को एक स्वतंत्र विशेष विधि के रूप में प्रेरण का जनक माना जाता है, लेकिन वह अलग करने में विफल रहा, जैसा कि उनके समकालीनों ने मांग की, निगमन विधि से प्रेरण।

इंडक्शन का और विकास जे। मिल द्वारा किया गया, जिन्होंने चार मुख्य तरीकों के दृष्टिकोण से इंडक्शन सिद्धांत पर विचार किया: समझौता, अंतर, अवशेष और संबंधित परिवर्तन। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आज सूचीबद्ध तरीके, जब विस्तार से विचार किया जाता है, वे निगमनात्मक हैं।

बेकन और मिल के सिद्धांतों की असंगति के बारे में जागरूकता ने वैज्ञानिकों को प्रेरण के संभाव्य आधार की जांच करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, यहाँ भी कुछ चरम सीमाएँ थीं: आने वाले सभी परिणामों के साथ, संभाव्यता के सिद्धांत के लिए प्रेरण को कम करने का प्रयास किया गया था।

प्रेरण को विश्वास मत प्राप्त होता है जब व्यावहारिक अनुप्रयोगकुछ विषय क्षेत्रों में और आगमनात्मक आधार की मीट्रिक सटीकता के लिए धन्यवाद। दर्शन में प्रेरण और कटौती का एक उदाहरण कानून है गुरुत्वाकर्षण. कानून की खोज की तिथि पर, न्यूटन इसे 4 प्रतिशत की सटीकता के साथ सत्यापित करने में सक्षम था। और जब दो सौ से अधिक वर्षों के बाद जाँच की गई, तो 0.0001 प्रतिशत की सटीकता के साथ शुद्धता की पुष्टि की गई, हालाँकि जाँच उसी आगमनात्मक सामान्यीकरण द्वारा की गई थी।

आधुनिक दर्शन कटौती पर अधिक ध्यान देता है, जो अनुभव, अंतर्ज्ञान का सहारा लिए बिना, लेकिन "शुद्ध" तर्क का उपयोग किए बिना, जो पहले से ही ज्ञात है, उससे नया ज्ञान (या सत्य) प्राप्त करने की तार्किक इच्छा से निर्धारित होता है। निगमन पद्धति में वास्तविक परिसर का संदर्भ देते समय, सभी मामलों में, आउटपुट एक सही कथन होता है।

यह बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता आगमनात्मक पद्धति के मूल्य को कम नहीं करना चाहिए। चूंकि प्रेरण, अनुभव की उपलब्धियों के आधार पर, इसके प्रसंस्करण (सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण सहित) का एक साधन भी बन जाता है।

अर्थशास्त्र में प्रेरण का अनुप्रयोग

प्रेरण और कटौती लंबे समय से अर्थव्यवस्था के अध्ययन और इसके विकास की भविष्यवाणी करने के तरीकों के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

प्रेरण विधि के उपयोग की सीमा काफी विस्तृत है: पूर्वानुमान संकेतकों (लाभ, मूल्यह्रास, आदि) की पूर्ति का अध्ययन और कुल मिलाकर स्कोरउद्यम की स्थिति; गठन प्रभावी नीतितथ्यों और उनके संबंधों के आधार पर उद्यम का प्रचार।

शेवर्ट के चार्ट में प्रेरण की एक ही विधि का उपयोग किया जाता है, जहां, इस धारणा के तहत कि प्रक्रियाओं को नियंत्रित और अप्रबंधित में विभाजित किया गया है, यह कहा गया है कि नियंत्रित प्रक्रिया का ढांचा निष्क्रिय है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रेरण की विधि का उपयोग करके वैज्ञानिक कानूनों को उचित और पुष्टि की जाती है, और चूंकि अर्थशास्त्र एक विज्ञान है जो अक्सर उपयोग करता है गणितीय विश्लेषण, जोखिम सिद्धांत और सांख्यिकीय डेटा, तो यह आश्चर्य की बात नहीं है कि प्रेरण मुख्य तरीकों में से एक है।

निम्नलिखित स्थिति अर्थशास्त्र में प्रेरण और कटौती के उदाहरण के रूप में काम कर सकती है। भोजन (उपभोक्ता टोकरी से) और आवश्यक वस्तुओं की कीमत में वृद्धि उपभोक्ता को राज्य में उभरती उच्च लागत (प्रेरण) के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है। उसी समय, उच्च लागत के तथ्य से, गणितीय विधियों का उपयोग करके, व्यक्तिगत वस्तुओं या वस्तुओं की श्रेणियों (कटौती) के लिए मूल्य वृद्धि के संकेतक प्राप्त करना संभव है।

अक्सर, प्रबंधन कर्मियों, प्रबंधकों और अर्थशास्त्रियों ने प्रेरण पद्धति की ओर रुख किया। एक उद्यम के विकास, बाजार के व्यवहार और पर्याप्त सत्यता के साथ प्रतिस्पर्धा के परिणामों की भविष्यवाणी करने में सक्षम होने के लिए, सूचना के विश्लेषण और प्रसंस्करण के लिए एक आगमनात्मक-निगमनात्मक दृष्टिकोण आवश्यक है।

भ्रामक निर्णयों का जिक्र करते हुए अर्थशास्त्र में शामिल होने का एक उदाहरण उदाहरण:

• कंपनी के लाभ में 30% की कमी हुई;
  एक प्रतियोगी ने अपनी उत्पाद लाइन का विस्तार किया है;
  और कुछ नहीं बदला है;
• एक प्रतिस्पर्धी कंपनी की उत्पादन नीति के कारण लाभ में 30% की कटौती हुई;
• इसलिए, समान उत्पादन नीति को लागू करने की आवश्यकता है।

उदाहरण एक रंगीन उदाहरण है कि कैसे प्रेरण की विधि का अयोग्य उपयोग एक उद्यम को बर्बाद करने में योगदान देता है।

मनोविज्ञान में कटौती और प्रेरण

चूंकि एक विधि है, तो तार्किक रूप से, एक उचित रूप से संगठित सोच भी है (विधि का उपयोग करने के लिए)। मनोविज्ञान एक विज्ञान के रूप में जो मानसिक प्रक्रियाओं, उनके गठन, विकास, संबंधों, अंतःक्रियाओं का अध्ययन करता है, कटौती और प्रेरण की अभिव्यक्ति के रूपों में से एक के रूप में "निगमनात्मक" सोच पर ध्यान देता है। दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर मनोविज्ञान के पन्नों पर, निगमन-प्रेरक पद्धति की अखंडता के लिए व्यावहारिक रूप से कोई औचित्य नहीं है। यद्यपि पेशेवर मनोवैज्ञानिकों को प्रेरण की अभिव्यक्तियों, या बल्कि, गलत निष्कर्षों का सामना करने की अधिक संभावना है।

गलत निर्णयों के उदाहरण के रूप में मनोविज्ञान में शामिल होने का एक उदाहरण यह कथन है: मेरी माँ एक धोखेबाज है, इसलिए, सभी महिलाएं धोखेबाज हैं। जीवन से प्रेरण के और भी "गलत" उदाहरण हैं:

• गणित में एक ड्यूस प्राप्त करने पर एक छात्र कुछ भी करने में सक्षम नहीं है;
• वह मूर्ख है;
• वह चतुर है;
• मैं कुछ भी कर सकता हूं;

और कई अन्य मूल्य निर्णय बिल्कुल यादृच्छिक और कभी-कभी महत्वहीन संदेशों पर आधारित होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए: जब किसी व्यक्ति के निर्णयों की भ्रांति बेतुकेपन के बिंदु पर पहुंच जाती है, तो मनोचिकित्सक के लिए काम का एक मोर्चा दिखाई देता है। विशेषज्ञ नियुक्ति में प्रेरण का एक उदाहरण:

"रोगी को पूरा यकीन है कि लाल रंग किसी भी अभिव्यक्ति में उसके लिए केवल खतरा है। नतीजतन, एक व्यक्ति ने इस रंग योजना को अपने जीवन से बाहर कर दिया - जहाँ तक संभव हो। घर के माहौल में आराम से रहने के कई मौके मिलते हैं। आप सभी लाल वस्तुओं को मना कर सकते हैं या उन्हें एक अलग रंग योजना में बने एनालॉग्स से बदल सकते हैं। लेकीन मे सार्वजनिक स्थानों पर, काम पर, दुकान में - यह असंभव है। तनावपूर्ण स्थिति में आने पर, रोगी हर बार पूरी तरह से अलग भावनात्मक अवस्थाओं के "ज्वार" का अनुभव करता है, जो दूसरों के लिए खतरनाक हो सकता है।

प्रेरण और अनजाने में इस उदाहरण को "निश्चित विचार" कहा जाता है। अगर मानसिक के साथ ऐसा होता है एक स्वस्थ व्यक्ति, हम मानसिक गतिविधि के संगठन की कमी के बारे में बात कर सकते हैं। प्रारंभिक विकास जुनूनी अवस्थाओं से छुटकारा पाने का एक तरीका बन सकता है निगमनात्मक सोच. अन्य मामलों में, मनोचिकित्सक ऐसे रोगियों के साथ काम करते हैं।

प्रेरण के उपरोक्त उदाहरण इंगित करते हैं कि "कानून की अज्ञानता परिणामों (गलत निर्णय) से मुक्त नहीं होती है।"

निगमनात्मक सोच के विषय पर काम कर रहे मनोवैज्ञानिकों ने लोगों को इस पद्धति में महारत हासिल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन की गई सिफारिशों की एक सूची तैयार की है।

पहला कदम समस्या समाधान है। जैसा कि देखा जा सकता है, गणित में प्रयुक्त प्रेरण के रूप को "शास्त्रीय" माना जा सकता है, और इस पद्धति का उपयोग मन के "अनुशासन" में योगदान देता है।

निगमनात्मक सोच के विकास के लिए अगली शर्त क्षितिज का विस्तार है (जो स्पष्ट रूप से सोचते हैं, स्पष्ट रूप से बताते हैं)। यह सिफारिश विज्ञान और सूचना के खजाने (पुस्तकालयों, वेबसाइटों, शैक्षिक पहल, यात्रा, आदि) के लिए "पीड़ा" को निर्देशित करती है।

अलग से, तथाकथित "मनोवैज्ञानिक प्रेरण" का उल्लेख किया जाना चाहिए। यह शब्द, हालांकि शायद ही कभी, इंटरनेट पर पाया जा सकता है। सभी स्रोत इस शब्द की कम से कम एक संक्षिप्त परिभाषा नहीं देते हैं, लेकिन "जीवन से उदाहरण" का संदर्भ देते हैं, जबकि नया प्रकारप्रेरण या तो सुझाव, या मानसिक बीमारी के कुछ रूप, या मानव मानस की चरम अवस्थाएँ। उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि निष्कर्ष निकालने का प्रयास " नया शब्द”, झूठे (अक्सर असत्य) परिसर पर भरोसा करते हुए, प्रयोगकर्ता को गलत (या जल्दबाजी में) बयान प्राप्त करने के लिए प्रेरित करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1960 के प्रयोगों का संदर्भ (स्थल को इंगित किए बिना, प्रयोगकर्ताओं के नाम, विषयों का नमूना, और सबसे महत्वपूर्ण, प्रयोग का उद्देश्य) दिखता है, इसे हल्के ढंग से, असंबद्ध, और बयान कि मस्तिष्क धारणा के सभी अंगों को दरकिनार करते हुए जानकारी को मानता है (इस मामले में "अनुभवी" वाक्यांश अधिक व्यवस्थित रूप से फिट होगा), किसी को बयान के लेखक की भोलापन और अनिश्चितता के बारे में सोचता है।

निष्कर्ष के बजाय

विज्ञान की रानी - गणित, व्यर्थ में प्रेरण और कटौती की विधि के सभी संभावित भंडार का उपयोग नहीं करता है। विचार किए गए उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि सतही और अयोग्य (विचारहीन, जैसा कि वे कहते हैं) यहां तक ​​​​कि सबसे सटीक और विश्वसनीय तरीकों का उपयोग हमेशा गलत परिणाम देता है।

जन चेतना में, कटौती विधि प्रसिद्ध शर्लक होम्स के साथ जुड़ी हुई है, जो अपने तार्किक निर्माणों में अक्सर आवश्यक स्थितियों में कटौती का उपयोग करते हुए प्रेरण के उदाहरणों का उपयोग करते हैं।

लेख ने मानव जीवन के विभिन्न विज्ञानों और क्षेत्रों में इन विधियों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया।

ऐसा करने के लिए पहले नंबर 1 वाले कथन की सत्यता की जांच करें - प्रेरण आधार, और फिर यह साबित होता है कि यदि कथन क्रमांकित है एन, फिर संख्या के साथ निम्नलिखित अभिकथन एन + 1 - प्रेरण चरण, या आगमनात्मक संक्रमण.

प्रेरण द्वारा प्रमाण को तथाकथित के रूप में देखा जा सकता है डोमिनोज़ सिद्धांत. किसी भी संख्या में डोमिनोज़ को एक पंक्ति में इस तरह व्यवस्थित करें कि प्रत्येक डोमिनोज़ गिरते हुए, अगले डोमिनोज़ को अनिवार्य रूप से उलट दें (यह आगमनात्मक संक्रमण है)। फिर, यदि हम पहली हड्डी को धक्का देते हैं (यह प्रेरण का आधार है), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिर जाएंगी।

प्रमाण की इस पद्धति का तार्किक आधार तथाकथित है प्रेरण का स्वयंसिद्ध, पीनो स्वयंसिद्धों का पाँचवाँ भाग जो प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करता है। प्रेरण की विधि की शुद्धता इस तथ्य के बराबर है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है।

एक भिन्नता भी है, पूर्ण गणितीय प्रेरण का तथाकथित सिद्धांत। यहाँ इसका सख्त शब्दांकन है:

पूर्ण गणितीय प्रेरण का सिद्धांत भी पीनो के स्वयंसिद्धों में प्रेरण के स्वयंसिद्ध के बराबर है।

उदाहरण

एक कार्य।साबित करें कि, जो कुछ भी स्वाभाविक है एनऔर असली क्यू 1, समानता

सबूत।इंडक्शन ऑन एन.

आधार, एन = 1:

संक्रमण: चलो दिखावा करते हैं कि

,

क्यू.ई.डी.

टिप्पणी:कथन की निष्ठा पी एनइस प्रमाण में समानता की वैधता के समान है

यह सभी देखें

विविधताएं और सामान्यीकरण

साहित्य

• एन. हां विलेनकिनप्रवेश। कॉम्बिनेटरिक्स। शिक्षकों के लिए एक गाइड। एम।, ज्ञानोदय, 1976.-48 पी।
• एल. आई. गोलोविना, आई. एम. याग्लोमीज्यामिति में प्रेरण, "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 21, फ़िज़मटगिज़ 1961.-100 पी।
• आर. कूरेंट, जी. रॉबिंस"गणित क्या है?" अध्याय I, 2।
• आई. एस. सोमिन्स्कीगणितीय प्रेरण की विधि। "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 3, नौका पब्लिशिंग हाउस 1965.-58 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "गणितीय प्रेरण की विधि" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

गणित में गणितीय प्रेरण प्रमाण विधियों में से एक है। सभी प्राकृत संख्याओं के किसी कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए प्रयुक्त होता है। ऐसा करने के लिए, पहले नंबर 1 वाले बयान की सच्चाई की जांच की जाती है, प्रेरण का आधार, और फिर ... ... विकिपीडिया

एक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि, जबकि यह इसके कुछ प्रावधानों पर आधारित है - स्वयंसिद्ध या अभिधारणा - जिससे सिद्धांत के अन्य सभी प्रावधान (प्रमेय) तर्क से प्राप्त होते हैं, जिन्हें प्रमाण कहा जाता है। नियम, वैसे ... ... दार्शनिक विश्वकोश

इंडक्शन (लैटिन इंडक्टिव गाइडेंस) एक विशेष स्थिति से सामान्य स्थिति में संक्रमण के आधार पर अनुमान की प्रक्रिया है। आगमनात्मक तर्क निजी परिसर को निष्कर्ष के साथ जोड़ता है तर्क के नियमों के माध्यम से नहीं, बल्कि कुछ के माध्यम से ... विकिपीडिया

आनुवंशिक विधि- अध्ययन के तहत वस्तु की सामग्री और सार को निर्धारित करने का एक तरीका, सम्मेलन, आदर्शीकरण या तार्किक निष्कर्ष द्वारा नहीं, बल्कि इसकी उत्पत्ति का अध्ययन करके (उन कारणों के अध्ययन के आधार पर जो इसकी घटना, गठन का तंत्र) का कारण बने। चौड़ा... ... विज्ञान का दर्शन: बुनियादी शर्तों की शब्दावली

निर्माण विधि वैज्ञानिक सिद्धांत, जिसमें यह स्वयंसिद्ध के कुछ प्रारंभिक प्रावधानों (निर्णय) (स्वयंसिद्ध देखें), या अभिधारणाओं पर आधारित है, जिससे इस विज्ञान के अन्य सभी कथन (प्रमेय (प्रमेय देखें)) प्राप्त किए जाने चाहिए ... ... महान सोवियत विश्वकोश

स्वयंसिद्ध विधि- AXIOMATIC METHOD (ग्रीक से। axioma) स्वीकृत स्थिति एक वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की एक विधि है, जिसमें केवल स्वयंसिद्ध, अभिधारणाएँ और उनसे पूर्व में प्राप्त कथन साक्ष्य में उपयोग किए जाते हैं। पहली बार दिखाया... ज्ञानमीमांसा और विज्ञान के दर्शनशास्त्र का विश्वकोश

यादृच्छिक त्रुटियों वाले माप परिणामों से अज्ञात मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए त्रुटि सिद्धांत विधियों में से एक। N. c. m. का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन के अन्य (सरल) कार्यों द्वारा अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए भी किया जाता है और अक्सर यह निकला ... गणितीय विश्वकोश

गणितीय प्रेरण विधियों में से एक है गणितीय प्रमाण, का प्रयोग सभी प्राकृत संख्याओं के लिए किसी कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए, पहले जांचें ... विकिपीडिया

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रेरण देखें। इंडक्शन (लैटिन इंडक्टिव गाइडेंस) एक विशेष स्थिति से सामान्य स्थिति में संक्रमण के आधार पर अनुमान की प्रक्रिया है। आगमनात्मक तर्क निजी परिसर को जोड़ता है ... ... विकिपीडिया

ग्रंथ सूची विवरण:बदनिन एएस, सिज़ोवा एम। यू। प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता पर समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग // युवा वैज्ञानिक। 2015. 2। एस. 84-86..02.2019)।

पर गणितीय ओलंपियाडप्राकृत संख्याओं की विभाज्यता सिद्ध करने में अक्सर काफी कठिन समस्याएं आती हैं। स्कूली बच्चों को एक समस्या का सामना करना पड़ता है: एक सार्वभौमिक कैसे खोजें गणितीय विधिऐसी समस्याओं को हल करने के लिए?

यह पता चला है कि अधिकांश विभाज्यता समस्याओं को गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जा सकता है, लेकिन में स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंइस पद्धति पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है, अक्सर एक संक्षिप्त सैद्धांतिक विवरण दिया जाता है और कई समस्याओं का विश्लेषण किया जाता है।

हम संख्या सिद्धांत में गणितीय प्रेरण की विधि पाते हैं। संख्या सिद्धांत की शुरुआत में, गणितज्ञों ने कई तथ्यों की खोज की: एल। यूलर और के। गॉस ने कभी-कभी एक संख्यात्मक पैटर्न पर ध्यान देने और उस पर विश्वास करने से पहले हजारों उदाहरणों पर विचार किया। लेकिन साथ ही, वे समझ गए कि यदि वे "अंतिम" परीक्षा पास कर लेते हैं तो कितनी भ्रामक परिकल्पनाएँ हो सकती हैं। परिमित उपसमुच्चय के लिए सत्यापित कथन से संपूर्ण अनंत समुच्चय के समान कथन में आगमनात्मक संक्रमण के लिए, एक प्रमाण की आवश्यकता होती है। यह विधि ब्लेज़ पास्कल द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जिन्होंने किसी अन्य पूर्णांक द्वारा किसी भी पूर्णांक की विभाज्यता के संकेत खोजने के लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म पाया (ग्रंथ "संख्याओं की विभाज्यता की प्रकृति पर")।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक निश्चित कथन की सत्यता या किसी संख्या n से शुरू होने वाले कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा एक निश्चित कथन की सच्चाई को साबित करने के लिए समस्याओं को हल करने में चार चरण होते हैं (चित्र 1):

चावल। 1. समस्या के समाधान की योजना

1. प्रेरण का आधार . सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या के लिए कथन की वैधता की जाँच करें जिसके लिए कथन समझ में आता है।

2. आगमनात्मक धारणा . हम मानते हैं कि कथन k के कुछ मान के लिए सत्य है।

3. आगमनात्मक संक्रमण . हम सिद्ध करते हैं कि कथन k+1 के लिए सत्य है।

4. निष्कर्ष . यदि ऐसा प्रमाण पूरा हो गया है, तो गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर यह तर्क दिया जा सकता है कि कथन किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

प्राकृत संख्याओं की विभाज्यता सिद्ध करने के लिए समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय आगमन विधि के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 1. सिद्ध कीजिए कि संख्या 5 19 का गुणज है, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है।

सबूत:

1) आइए जाँचें कि यह सूत्र n = 1 के लिए सही है: संख्या =19, 19 का गुणज है।

2) मान लें कि यह सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात संख्या 19 का गुणज है।

19 से विभाज्य। वास्तव में, पहला पद 19 से विभाज्य है क्योंकि धारणा (2); दूसरा पद भी 19 से विभाज्य है क्योंकि इसमें 19 का गुणनखंड है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं के घनों का योग 9 से विभाज्य है।

सबूत:

आइए हम इस कथन को सिद्ध करें: “किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, व्यंजक n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3, 9 का गुणज है।

1) जाँच करें कि यह सूत्र n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 के लिए सही है, 9 का गुणज है।

2) मान लें कि यह सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3, 9 का गुणज है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3, 9 का गुणज है। (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(के +2) 3)+9(के 2 +3के+ 3)।

परिणामी व्यंजक में दो पद हैं, जिनमें से प्रत्येक 9 से विभाज्य है, इसलिए योग 9 से विभाज्य है।

4) गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए प्रस्ताव n के सभी मूल्यों के लिए सही है।

उदाहरण 3सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए संख्या 3 2n+1 +2 n+2 7 से विभाज्य है।

सबूत:

1) जाँच करें कि यह सूत्र n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35 के लिए सही है, 35, 7 का गुणज है।

2) मान लें कि यह सूत्र n = k के लिए सत्य है, अर्थात 3 2 k +1 +2 k +2 7 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्।

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 3 2 +2 k +2 2 1 =3 2 k +1 9+2 k +2 2 =3 2 k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T. चूँकि (3 2 k +1 +2 k +2) 9 7 से विभाज्य है और 7 2 k +2 7 से विभाज्य है, तो उनका अंतर भी 7 से विभाज्य है।

4) गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए प्रस्ताव n के सभी मूल्यों के लिए सही है।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के सिद्धांत में कई प्रमाण समस्याओं को गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है, कोई यह भी कह सकता है कि इस विधि द्वारा समस्याओं को हल करना काफी एल्गोरिथम है, यह 4 बुनियादी चरणों को करने के लिए पर्याप्त है। लेकिन इस पद्धति को सार्वभौमिक नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि इसके नुकसान भी हैं: सबसे पहले, केवल प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर साबित करना संभव है, और दूसरी बात, केवल एक चर के लिए साबित करना संभव है।

विकास के लिए तार्किक सोच, गणितीय संस्कृति यह विधि है आवश्यक उपकरण, आखिरकार, महान रूसी गणितज्ञ ए एन कोलमोगोरोव ने कहा: "गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को सही ढंग से लागू करने की क्षमता और तार्किक परिपक्वता के लिए एक अच्छा मानदंड है, जो गणित के लिए बिल्कुल जरूरी है।"

साहित्य:

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3. सोलोमिंस्की आई। एस। गणितीय प्रेरण की विधि। - एम .: नौका, 1974. - 63 पी।

4. Sharygin I. F. गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम: समस्या समाधान: 10 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। मिडिल स्कूल - एम .: ज्ञानोदय, 1989. - 252 पी।

5. शेन ए। गणितीय प्रेरण। - एम .: एमटीएसएनएमओ, 2007.- 32 पी।

गणितीय आगमन की विधि का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत के लिए एननिम्नलिखित समानताएं सत्य हैं:
एक) ;
बी) .

समाधान।

क) जब एन= 1 समानता मान्य है। के लिए समानता की वैधता मानते हुए एन, आइए हम दिखाते हैं कि यह इसके लिए भी मान्य है एन+ 1. वास्तव में,

क्यू.ई.डी.

बी) कब एन= 1 समानता की वैधता स्पष्ट है। इसकी निष्पक्षता की धारणा से एनचाहिए

समानता को देखते हुए 1 + 2 + ... + एन = एन(एन+ 1)/2, हमें प्राप्त होता है

1 3 + 2 3 + ... + एन 3 + (एन + 1) 3 = (1 + 2 + ... + एन + (एन + 1)) 2 ,

अर्थात्, कथन के लिए भी सत्य है एन + 1.

उदाहरण 1निम्नलिखित समानताएं सिद्ध करें

कहाँ पे एनहे एन.

समाधान।क) जब एन= 1 समानता 1=1 रूप लेगी, इसलिए, पी(1) सच। आइए मान लें कि यह समानता सत्य है, अर्थात हमारे पास है

. हमें जाँचने (साबित करने) की आवश्यकता है किपी(एन+ 1), यानी। सच। क्योंकि (आगमनात्मक धारणा का उपयोग करके)हमें मिलता है, अर्थात् पी(एन+ 1) एक सत्य कथन है।

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन.

टिप्पणी 2.इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। वास्तव में, योग 1 + 2 + 3 + ... + एनपहले का योग है एनसदस्यों अंकगणितीय प्रगतिपहले सदस्य के साथ एक 1 = 1 और अंतर डी= 1. प्रसिद्ध सूत्र के आधार पर , हम पाते हैं

बी) कब एन= 1 समानता का रूप लेगा: 2 1 - 1 = 1 2 या 1=1, अर्थात्, पी(1) सच। आइए मान लें कि समानता

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) = एन 2 और साबित करो किपी(एन + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2(एन + 1) - 1) = (एन+ 1) 2 या 1 + 3 + 5 + ... + (2 .) एन - 1) + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

1 + 3 + 5 + ... + (2एन - 1) + (2एन + 1) = एन 2 + (2एन + 1) = (एन + 1) 2 .

इस तरह, पी(एन+ 1) सत्य है और इसलिए आवश्यक समानता सिद्ध होती है।

टिप्पणी 3.गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल किया जा सकता है (पिछले एक के समान)।

ग) जब एन= 1 समानता सत्य है: 1=1. मान लें कि समानता सत्य है

और दिखाओ कि वह सच हैपी(एन) सत्य का तात्पर्य हैपी(एन+ 1)। सचमुच,और 2 . के बाद से एन 2 + 7 एन + 6 = (2 एन + 3)(एन+ 2), हमें मिलता है और, इसलिए, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य हैएन.

घ) जब एन= 1 समानता मान्य है: 1 = 1। आइए मान लें कि वहाँ है

और साबित करो कि

सचमुच,

ई) अनुमोदन पी(1) सच: 2=2। आइए मान लें कि समानता

सच है, और हम साबित करते हैं कि यह समानता का तात्पर्य हैसचमुच,

इसलिए, मूल समानता किसी भी प्राकृतिक के लिए है एन.

एफ) पी(1) सच: 1/3 = 1/3। समानता होने दो पी(एन):

. आइए हम दिखाते हैं कि अंतिम समानता का तात्पर्य निम्नलिखित है:

दरअसल, यह देखते हुए पी(एन) होता है, हमें मिलता है

इस प्रकार समानता सिद्ध होती है।

छ) कब एन= 1 हमारे पास है एक + बी = बी + एकऔर इसलिए समानता सत्य है।

मान लीजिए न्यूटन का द्विपद सूत्र के लिए मान्य है एन = क, वह है,

फिर समानता का उपयोग करनाहम पाते हैं

उदाहरण 2असमानता साबित करें

ए) बर्नौली की असमानता: (1 + ए) एन ≥ 1 + एनए, ए> -1, एनहे एन.

बी) एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन, यदि एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन= 1 और एक्स मैं > 0, .

c) अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य के संबंध में कॉची की असमानता कहाँ पे एक्स मैं > 0, , एन ≥ 2.

घ) पाप 2 एन a + cos2 एनएक 1, एनहे एन.

इ)

च) 2 एन > एन 3 , एनहे एन, एन ≥ 10.

समाधान।क) जब एन= 1 हमें वास्तविक असमानता प्राप्त होती है

1 + ए ≥ 1 + ए। आइए मान लें कि असमानता है

(1 + ए) एन ≥ 1 + एनएक

(1)

और दिखाओ कि तब हमारे पास है(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए।

वास्तव में, चूंकि a > -1 का अर्थ है a + 1 > 0, तो असमानता के दोनों पक्षों को (a + 1) से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1 + ए) एन(1 + ए) (1 + एनए)(1 + ए) या (1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 क्योंकि एनएक 2 0, इसलिए,(1 + ए) एन + 1 ≥ 1 + (एन+ 1)ए + एनए 2 1 + ( एन+ 1)ए।

इस प्रकार, यदि पी(एन) सच है, तो पी(एन+ 1) सत्य है, इसलिए गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, बर्नौली की असमानता सत्य है।

बी) कब एन= 1 हमें मिलता है एक्स 1 = 1 और इसलिए, एक्स 1 1 अर्थात पी(1) एक उचित कथन है। चलो दिखावा करते हैं कि पी(एन) सच है, यानी अगर एडिका, एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन - एनधनात्मक संख्याएँ जिनका गुणनफल एक के बराबर है, एक्स 1 एक्स 2 ·...· एक्स एन= 1, और एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन ≥ एन.

आइए हम दिखाते हैं कि यह प्रस्ताव दर्शाता है कि निम्नलिखित सत्य है: यदि एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन ,एक्स एन+1 - (एन+ 1) धनात्मक संख्याएँ जैसे कि एक्स 1 एक्स 2 ·...· एक्स एन · एक्स एन+1 = 1, तो एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन + 1 ≥एन + 1.

निम्नलिखित दो मामलों पर विचार करें:

1) एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = एक्स एन+1 = 1. तो इन संख्याओं का योग है ( एन+ 1), और आवश्यक असमानता संतुष्ट है;

2) कम से कम एक संख्या एक से भिन्न होती है, उदाहरण के लिए, एक से बड़ी होने दें। फिर, क्योंकि एक्स 1 एक्स 2 · ... · एक्स एन · एक्स एन+ 1 = 1, कम से कम एक अन्य संख्या है जो एक से भिन्न है (अधिक सटीक, एक से कम)। होने देना एक्स एन+ 1 > 1 और एक्स एन < 1. Рассмотрим एनसकारात्मक संख्या

एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन-1 ,(एक्स एन · एक्स एन+1). इन संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर है, और परिकल्पना के अनुसार, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन + 1 ≥ एन. अंतिम असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा गया है: एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन एक्स एन+1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 या एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन-1 + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 .

क्यों कि

(1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1)> 0, तब एन + एक्स एन + एक्स एन+1 - एक्स एन एक्स एन+1 = एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - 1 + एक्स एन =
= एन + 1 + एक्स एन+1 (1 - एक्स एन) - (1 - एक्स एन) = एन + 1 + (1 - एक्स एन)(एक्स एन+1 - 1) ≥ एन+ 1. इसलिए, एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन + एक्स एन+1 ≥ एन+1, यानी, अगर पी(एन) सच है, तोपी(एन+ 1) उचित है। असमानता सिद्ध हुई है।

टिप्पणी 4.समान चिह्न तब होता है जब और केवल यदि एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन = 1.

ग) चलो एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एनमनमानी सकारात्मक संख्याएं हैं। निम्न पर विचार करें एनसकारात्मक संख्या:

चूंकि उनका उत्पाद एक के बराबर है: पहले सिद्ध असमानता के अनुसार b), यह इस प्रकार हैकहाँ पे

टिप्पणी 5.समानता तभी होती है जब और केवल अगर एक्स 1 = एक्स 2 = ... = एक्स एन .

डी) पी(1) - एक निष्पक्ष कथन: sin 2 a + cos 2 a = 1. मान लीजिए कि पी(एन) एक सत्य कथन है:

पाप 2 एन a + cos2 एनएक 1 और दिखाओ कि वहाँ हैपी(एन+ 1)। सचमुच,पाप 2 ( एन+ 1) a + cos 2( एन+ 1) ए \u003d पाप 2 एनएक पाप 2 ए + कॉस 2 एनएक कॉस 2 ए< sin 2एन a + cos2 एन a 1 (यदि sin 2 a 1, तो cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 ए ≤ 1, फिर पाप 2 ए < 1). Таким образом, для любого एनहे एनपाप 2 एन a + cos2 एन ≤ 1 और बराबर का चिन्ह तभी मिलता है जबएन = 1.

ई) कब एन= 1 कथन सत्य है: 1< 3 / 2 .

आइए मान लें कि और साबित करो कि

क्यों कि
मानते हुए पी(एन), हम पाते हैं

च) टिप्पणी 1 को ध्यान में रखते हुए, हम जांचते हैं पी(10): 2 10 > 10 3 , 1024 > 1000, इसलिए, के लिए एन= 10 कथन सत्य है। मान लीजिए 2 एन > एन 3 (एन> 10) और साबित करें पी(एन+ 1), यानी 2 एन+1 > (एन + 1) 3 .

चूंकि ए.टी एन> 10 हमारे पास है or , उसका अनुसरण करता है

2एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन+ 1 या एन 3 > 3एन 2 + 3एन + 1. असमानता को ध्यान में रखते हुए (2 एन > एन 3), हमें 2 . मिलता है एन+1 = 2 एन 2 = 2 एन + 2 एन > एन 3 + एन 3 > एन 3 + 3एन 2 + 3एन + 1 = (एन + 1) 3 .

इस प्रकार, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, किसी भी प्राकृतिक के लिए एनहे एन, एन 10 हमारे पास 2 . है एन > एन 3 .

उदाहरण 3साबित करें कि किसी के लिए एनहे एन

समाधान।एक) पी(1) एक सत्य कथन है (0, 6 से विभाज्य है)। होने देना पी(एन) निष्पक्ष है, अर्थात् एन(2एन 2 - 3एन + 1) = एन(एन - 1)(2एन- 1) 6 से विभाज्य है। आइए हम प्रदर्शित करें कि हमारे पास है पी(एन+ 1), अर्थात्, ( एन + 1)एन(2एन+ 1) 6 से विभाज्य है। दरअसल, चूँकि

और कैसे एन(एन - 1)(2 एन- 1) और 6 एन 2 6 से विभाज्य हैं, तो उनका योगएन(एन + 1)(2 एन+ 1) 6 से विभाज्य है।

इस तरह, पी(एन+ 1) एक निष्पक्ष कथन है, और इसलिए, एन(2एन 2 - 3एन+ 1) किसी के लिए 6 से विभाज्य है एनहे एन.

बी) चेक पी(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, इसलिए पी(1) एक उचित कथन है। यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि यदि 6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 11 से विभाज्य है ( पी(एन)), फिर 6 2 एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से भी विभाज्य है ( पी(एन+ 1))। दरअसल, क्योंकि

6 2एन + 3 एन+2 + 3 एन = 6 2एन-2+2 + 3 एन+1+1 + 3 एन-1+1 == 6 2 6 2 एन-2 + 3 3 एन+1 + 3 3 एन-1 = 3 (6 2 .) एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1) + 33 6 2 एन-2 और लाइक 6 2 एन-2 + 3 एन+1 + 3 एन-1 और 33 6 2 एन-2 11 से विभाज्य हैं, तो उनका योग 6 . है 2एन + 3 एन+2 + 3 एन 11 से विभाज्य है। अभिकथन सिद्ध होता है। ज्यामिति में प्रेरण

उदाहरण 4सही 2 . के पक्ष की गणना करें एन-गोन त्रिज्या के एक वृत्त में खुदा हुआ आर.

व्याख्यान 6. गणितीय प्रेरण की विधि।

विज्ञान और जीवन में नया ज्ञान अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जाता है, लेकिन उन सभी (यदि आप विवरण में नहीं जाते हैं) को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सामान्य से विशेष और विशेष से सामान्य में संक्रमण। पहला डिडक्शन है, दूसरा इंडक्शन है। डिडक्टिव रीजनिंग वह है जिसे आमतौर पर गणित में कहा जाता है तार्किक विचार, और गणितीय विज्ञान में कटौती जांच का एकमात्र वैध तरीका है। प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा तार्किक तर्क के नियम ढाई सहस्राब्दी पहले तैयार किए गए थे। उन्होंने सरलतम सही तर्क की पूरी सूची बनाई, नपुंसकता- तर्क की "ईंटें", एक ही समय में विशिष्ट तर्क की ओर इशारा करते हुए, सही लोगों के समान, लेकिन गलत (हम अक्सर मीडिया में इस तरह के "छद्म" तर्क के साथ मिलते हैं)।

इंडक्शन (प्रेरण - लैटिन में सलाहआइजैक न्यूटन ने एक सेब के सिर पर गिरने के बाद सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को कैसे तैयार किया, इसकी प्रसिद्ध किंवदंती द्वारा सचित्र है। भौतिकी से एक और उदाहरण: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण जैसी घटना में, एक विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, "प्रेरित" करता है। "न्यूटन का सेब" उस स्थिति का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक या अधिक विशेष मामले, अर्थात। टिप्पणियों, एक सामान्य बयान के लिए "लीड", सामान्य निष्कर्ष विशेष मामलों के आधार पर किया जाता है। प्राकृतिक और मानव विज्ञान दोनों में सामान्य पैटर्न प्राप्त करने के लिए आगमनात्मक विधि मुख्य है। लेकिन इसका एक बहुत ही महत्वपूर्ण दोष है: विशेष उदाहरणों के आधार पर, एक गलत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। निजी टिप्पणियों से उत्पन्न होने वाली परिकल्पना हमेशा सही नहीं होती है। यूलर के कारण एक उदाहरण पर विचार करें।

हम पहले कुछ मानों के लिए त्रिपद के मान की गणना करेंगे एन:

ध्यान दें कि गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएं अभाज्य हैं। और कोई भी सीधे सत्यापित कर सकता है कि प्रत्येक के लिए एन 1 से 39 बहुपद मान
है अभाज्य संख्या. हालाँकि, जब एन=40 हमें संख्या 1681=41 2 प्राप्त होती है, जो अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, जो परिकल्पना यहाँ उत्पन्न हो सकती है, वह यह है कि प्रत्येक के लिए परिकल्पना एनसंख्या
सरल है, असत्य हो जाता है।

लाइबनिज ने 17वीं शताब्दी में सिद्ध किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए एनसंख्या
3 . से विभाज्य
5 से विभाज्य है, इत्यादि। इसके आधार पर, उन्होंने सुझाव दिया कि प्रत्येक विषम के लिए कऔर कोई भी प्राकृतिक एनसंख्या
द्वारा विभाजित क, लेकिन जल्द ही ध्यान दिया कि
9 से विभाज्य नहीं है।

विचार किए गए उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: एक बयान कई विशेष मामलों में सच हो सकता है और साथ ही सामान्य रूप से अन्यायपूर्ण भी हो सकता है। सामान्य स्थिति में कथन की वैधता के प्रश्न को तर्क की एक विशेष विधि को लागू करके हल किया जा सकता है जिसे कहा जाता है गणितीय प्रेरण द्वारा(पूर्ण प्रेरण, पूर्ण प्रेरण)।

6.1. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

गणितीय प्रेरण की विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत , निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

1) इस कथन की वैधता के लिए सत्यापित हैएन=1 (प्रेरण आधार) ,

2) इस कथन को सत्य माना जाता हैएन= क, कहाँ पेकएक मनमाना प्राकृतिक संख्या है 1(प्रेरण धारणा) , और इस धारणा को ध्यान में रखते हुए, इसकी वैधता स्थापित की जाती हैएन= क+1.

सबूत. इसके विपरीत मान लें, अर्थात मान लें कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक के लिए सत्य नहीं है एन. फिर ऐसा स्वाभाविक है एम, क्या:

1) के लिए अनुमोदन एन=एमनिष्पक्ष नहीं,

2) सबके लिए एन, छोटा एम, कथन सत्य है (दूसरे शब्दों में, एमपहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए अभिकथन विफल रहता है)।

जाहिर सी बात है एम>1, क्योंकि के लिये एन= 1 कथन सत्य है (शर्त 1)। फलस्वरूप,
- प्राकृतिक संख्या। यह पता चला है कि एक प्राकृतिक संख्या के लिए
कथन सत्य है, और अगली प्राकृत संख्या के लिए एमयह अनुचित है। यह शर्त 2 के विपरीत है

ध्यान दें कि प्रमाण ने स्वयंसिद्ध का उपयोग किया है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी संग्रह में सबसे छोटी संख्या होती है।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित एक प्रमाण को कहा जाता है पूर्ण गणितीय प्रेरण द्वारा .

 उदाहरण6.1. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसंख्या
3 से विभाज्य है।

समाधान।

1) कब एन=1 , तो एक 1 3 से विभाज्य है और कथन सत्य है एन=1.

2) मान लें कि कथन सत्य है एन=क,
, वह है, वह संख्या
3 से विभाज्य है और ज्ञात कीजिए कि एन=क+1 संख्या 3 से विभाज्य है।

वास्तव में,

इसलिये प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है, तो उनका योग भी 3 से विभाज्य है 

 उदाहरण6.2. सिद्ध कीजिए कि प्रथम का योगफल एनप्राकृत विषम संख्याएँ उनकी संख्या के वर्ग के बराबर होती हैं, अर्थात्।

समाधान।हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) हम इस कथन की वैधता की जांच करते हैं एन=1: 1=1 2 सही है।

2) मान लीजिए कि पहले का योग क (
) विषम संख्याओं का योग इन संख्याओं की संख्या के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात . इस समानता के आधार पर, हम यह स्थापित करते हैं कि पहले का योग क+1 विषम संख्या बराबर होती है
, वह है ।

हम अपनी धारणा का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं

. ■ 

कुछ असमानताओं को सिद्ध करने के लिए पूर्ण गणितीय आगमन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए हम बर्नौली की असमानता को सिद्ध करें।

 उदाहरण6.3. साबित करें कि जब
और कोई भी प्राकृतिक एनअसमानता
(बर्नौली की असमानता)।

समाधान। 1) कब एन=1 हमें मिलता है
, क्या सही है।

2) हम मानते हैं कि एन=कएक असमानता है
(*)। इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करते हैं कि
. ध्यान दें कि जब
यह असमानता कायम है, और इसलिए इस मामले पर विचार करना पर्याप्त है
.

असमानता के दोनों हिस्सों (*) को संख्या से गुणा करें
और पाओ:

वह है (1+
.■ 

विधि द्वारा प्रमाण अधूरा गणितीय प्रेरण कुछ दावे के आधार पर एन, कहाँ पे
एक समान तरीके से किया जाता है, लेकिन शुरुआत में, सबसे छोटे मूल्य के लिए न्याय स्थापित किया जाता है एन.

कुछ समस्याएं स्पष्ट रूप से एक कथन नहीं बनाती हैं जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, एक नियमितता स्थापित करना और इस नियमितता की वैधता के बारे में एक परिकल्पना व्यक्त करना आवश्यक है, और फिर गणितीय प्रेरण द्वारा प्रस्तावित परिकल्पना का परीक्षण करें।

 उदाहरण6.4. राशि का पता लगाएं
.

समाधान।आइए जानें राशि एस 1 , एस 2 , एस 3. हमारे पास है
,
,
. हम अनुमान लगाते हैं कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसूत्र मान्य है
. इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) कब एन=1 परिकल्पना सत्य है, क्योंकि
.

2) मान लें कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, वह है
. इस सूत्र का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं कि परिकल्पना सत्य है और इसके लिए एन=क+1, वह है

वास्तव में,

इसलिए, यह मानते हुए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, यह साबित हो गया है कि यह सच है एन=क+1, और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन. ■ 

 उदाहरण6.5. गणित में, यह साबित होता है कि दो समान रूप से निरंतर कार्यों का योग एक समान रूप से निरंतर कार्य है। इस कथन के आधार पर हमें यह सिद्ध करना होगा कि किसी भी संख्या का योगफल
समान रूप से निरंतर कार्य समान रूप से होता है निरंतर कार्य. लेकिन चूंकि हमने अभी तक "समान रूप से निरंतर कार्य" की अवधारणा को पेश नहीं किया है, आइए समस्या को और अधिक संक्षेप में सेट करें: यह ज्ञात हो कि दो कार्यों का योग जिसमें कुछ संपत्ति है एस, अपने आप में संपत्ति है एस. आइए हम साबित करें कि किसी भी संख्या में कार्यों के योग में संपत्ति होती है एस.

समाधान।यहाँ प्रेरण का आधार समस्या के निरूपण में निहित है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, विचार करें
कार्यों एफ 1 , एफ 2 , …, एफ एन , एफ एन+1 जिसके पास संपत्ति है एस. फिर । दाईं ओर, पहले पद में संपत्ति है एसप्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरे पद में संपत्ति है एसशर्त से। इसलिए, उनके योग में संपत्ति है एस- दो शब्दों के लिए, प्रेरण का आधार "काम करता है"।

यह अभिकथन को सिद्ध करता है और आगे भी इसका प्रयोग करेगा। मैं 

 उदाहरण6.6. सभी प्राकृतिक खोजें एन, जिसके लिए असमानता

.

समाधान।विचार करना एन= 1, 2, 3, 4, 5, 6. हमारे पास है: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 । इस प्रकार, हम एक परिकल्पना बना सकते हैं: असमानता
सबके लिए जगह है
. इस परिकल्पना की सत्यता को सिद्ध करने के लिए हम अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का प्रयोग करते हैं।

1) जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह परिकल्पना सत्य है एन=5.

2) मान लीजिए कि यह सत्य है एन=क,
, वह है, असमानता
. इस धारणा का उपयोग करके, हम यह साबित करते हैं कि असमानता
.

टी. टू.
और कम से
एक असमानता है

पर
,

तब हमें वह मिलता है
. तो, परिकल्पना की सच्चाई एन=क+1 इस धारणा से अनुसरण करता है कि यह सत्य है एन=क,
.

पीपी से 1 और 2, अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह इस प्रकार है कि असमानता
हर प्राकृतिक के लिए सच
. ■ 

 उदाहरण6.7. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एनविभेदन सूत्र मान्य है
.

समाधान।पर एन=1 इस सूत्र का रूप है
, या 1=1, यानी यह सच है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, हमारे पास है:

क्यू.ई.डी. मैं 

 उदाहरण6.8. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय से मिलकर बना है एनतत्व, है उपसमुच्चय।

समाधान।एक तत्व के साथ एक सेट एक, के दो उपसमुच्चय हैं। यह सच है क्योंकि इसके सभी उपसमुच्चय खाली समुच्चय और स्वयं समुच्चय हैं, और 2 1 =2।

हम मानते हैं कि का कोई समुच्चय एनतत्वों में है उपसमुच्चय। यदि समुच्चय A में होता है एन+1 तत्व, फिर हम इसमें एक तत्व को ठीक करते हैं - इसे निरूपित करें डी, और सभी उपसमुच्चय को दो वर्गों में विभाजित करें - जिसमें शामिल नहीं है डीऔर युक्त डी. प्रथम श्रेणी के सभी उपसमुच्चय तत्व को हटाकर A से प्राप्त समुच्चय B के उपसमुच्चय हैं डी.

सेट बी में शामिल हैं एनतत्वों, और इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, यह है उपसमुच्चय, इसलिए प्रथम श्रेणी में उपसमुच्चय।

लेकिन दूसरे वर्ग में उपसमुच्चय की संख्या समान होती है: उनमें से प्रत्येक तत्व को जोड़कर प्रथम श्रेणी के ठीक एक उपसमुच्चय से प्राप्त किया जाता है डी. इसलिए, कुल मिलाकर, समुच्चय A
उपसमुच्चय।

इस प्रकार कथन सिद्ध होता है। ध्यान दें कि यह 0 तत्वों वाले सेट के लिए भी मान्य है - एक खाली सेट: इसका एक एकल सबसेट है - स्वयं, और 2 0 = 1। मैं 