गणितीय प्रेरण उदाहरणों द्वारा प्रमाण। गणितीय प्रेरण की विधि और समस्या समाधान के लिए इसका अनुप्रयोग

व्याख्यान 6. गणितीय प्रेरण की विधि।

विज्ञान और जीवन में नया ज्ञान अलग-अलग तरीकों से प्राप्त किया जाता है, लेकिन उन सभी (यदि आप विवरण में नहीं जाते हैं) को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है - सामान्य से विशेष और विशेष से सामान्य में संक्रमण। पहला डिडक्शन है, दूसरा इंडक्शन है। डिडक्टिव रीजनिंग वह है जिसे आमतौर पर गणित में कहा जाता है तार्किक विचार, और गणितीय विज्ञान में कटौती जांच का एकमात्र वैध तरीका है। प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक अरस्तू द्वारा तार्किक तर्क के नियम ढाई सहस्राब्दी पहले तैयार किए गए थे। उन्होंने सरलतम सही तर्क की पूरी सूची बनाई, नपुंसकता- तर्क की "ईंटें", एक ही समय में विशिष्ट तर्क की ओर इशारा करते हुए, सही लोगों के समान, लेकिन गलत (हम अक्सर मीडिया में इस तरह के "छद्म" तर्क के साथ मिलते हैं)।

इंडक्शन (प्रेरण - लैटिन में सलाहआइजैक न्यूटन ने एक सेब के सिर पर गिरने के बाद सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को कैसे तैयार किया, इसकी प्रसिद्ध किंवदंती द्वारा सचित्र है। भौतिकी से एक और उदाहरण: विद्युत चुम्बकीय प्रेरण जैसी घटना में, एक विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, "प्रेरित" करता है। "न्यूटन का सेब" उस स्थिति का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां एक या अधिक विशेष मामले, अर्थात। टिप्पणियों, एक सामान्य बयान के लिए "लीड", सामान्य निष्कर्ष विशेष मामलों के आधार पर किया जाता है। प्राकृतिक और मानव विज्ञान दोनों में सामान्य पैटर्न प्राप्त करने के लिए आगमनात्मक विधि मुख्य है। लेकिन इसका एक बहुत ही महत्वपूर्ण दोष है: विशेष उदाहरणों के आधार पर, एक गलत निष्कर्ष निकाला जा सकता है। निजी टिप्पणियों से उत्पन्न होने वाली परिकल्पना हमेशा सही नहीं होती है। यूलर के कारण एक उदाहरण पर विचार करें।

हम पहले कुछ मानों के लिए त्रिपद के मान की गणना करेंगे एन:

ध्यान दें कि गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्याएं अभाज्य हैं। और कोई भी सीधे सत्यापित कर सकता है कि प्रत्येक के लिए एन 1 से 39 बहुपद मान
एक अभाज्य संख्या है। हालाँकि, जब एन=40 हमें संख्या 1681=41 2 प्राप्त होती है, जो अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, जो परिकल्पना यहाँ उत्पन्न हो सकती है, वह यह है कि प्रत्येक के लिए परिकल्पना एनसंख्या
सरल है, असत्य हो जाता है।

लाइबनिज ने 17वीं शताब्दी में सिद्ध किया कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए एनसंख्या
3 . से विभाज्य
5 से विभाज्य है, इत्यादि। इसके आधार पर, उन्होंने सुझाव दिया कि प्रत्येक विषम के लिए कऔर कोई भी प्राकृतिक एनसंख्या
द्वारा विभाजित क, लेकिन जल्द ही ध्यान दिया कि
9 से विभाज्य नहीं है।

विचार किए गए उदाहरण हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: एक बयान कई विशेष मामलों में सच हो सकता है और साथ ही सामान्य रूप से अन्यायपूर्ण भी हो सकता है। सामान्य स्थिति में कथन की वैधता के प्रश्न को तर्क की एक विशेष विधि को लागू करके हल किया जा सकता है जिसे कहा जाता है गणितीय प्रेरण द्वारा(पूर्ण प्रेरण, पूर्ण प्रेरण)।

6.1. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

गणितीय प्रेरण की विधि पर आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत , निम्नलिखित से मिलकर बनता है:

1) इस कथन की वैधता के लिए सत्यापित हैएन=1 (प्रेरण आधार) ,

2) इस कथन को सत्य माना जाता हैएन= क, कहाँ पेकएक मनमाना प्राकृतिक संख्या है 1(प्रेरण धारणा) , और इस धारणा को ध्यान में रखते हुए, इसकी वैधता स्थापित की जाती हैएन= क+1.

सबूत. इसके विपरीत मान लें, अर्थात मान लें कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक के लिए सत्य नहीं है एन. फिर ऐसा स्वाभाविक है एम, क्या:

1) के लिए अनुमोदन एन=एमनिष्पक्ष नहीं,

2) सबके लिए एन, छोटा एम, कथन सत्य है (दूसरे शब्दों में, एमपहली प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए अभिकथन विफल रहता है)।

जाहिर सी बात है एम>1, क्योंकि के लिये एन= 1 कथन सत्य है (शर्त 1)। फलस्वरूप,
- प्राकृतिक संख्या। यह पता चला है कि के लिए प्राकृतिक संख्या
कथन सत्य है, और अगली प्राकृत संख्या के लिए एमयह अनुचित है। यह शर्त 2 के विपरीत है

ध्यान दें कि प्रमाण ने स्वयंसिद्ध का उपयोग किया है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी संग्रह में सबसे छोटी संख्या होती है।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित एक प्रमाण को कहा जाता है पूर्ण गणितीय प्रेरण द्वारा .

 उदाहरण6.1. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसंख्या
3 से विभाज्य है।

समाधान।

1) कब एन=1 , तो एक 1 3 से विभाज्य है और कथन सत्य है एन=1.

2) मान लें कि कथन सत्य है एन=क,
, वह है, वह संख्या
3 से विभाज्य है और ज्ञात कीजिए कि एन=क+1 संख्या 3 से विभाज्य है।

वास्तव में,

इसलिये प्रत्येक पद 3 से विभाज्य है, तो उनका योग भी 3 से विभाज्य है 

 उदाहरण6.2. सिद्ध कीजिए कि प्रथम का योगफल एनप्राकृत विषम संख्याएँ उनकी संख्या के वर्ग के बराबर होती हैं, अर्थात्।

समाधान।हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) हम इस कथन की वैधता की जांच करते हैं एन=1: 1=1 2 सही है।

2) मान लीजिए कि पहले का योग क (
) विषम संख्याओं का योग इन संख्याओं की संख्या के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात . इस समानता के आधार पर, हम यह स्थापित करते हैं कि पहले का योग क+1 विषम संख्या बराबर होती है
, वह है ।

हम अपनी धारणा का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं

. ■ 

कुछ असमानताओं को सिद्ध करने के लिए पूर्ण गणितीय आगमन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए हम बर्नौली की असमानता को सिद्ध करें।

 उदाहरण6.3. साबित करें कि जब
और कोई भी प्राकृतिक एनअसमानता
(बर्नौली की असमानता)।

समाधान। 1) कब एन=1 हमें मिलता है
, क्या सही है।

2) हम मानते हैं कि एन=कएक असमानता है
(*)। इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करते हैं कि
. ध्यान दें कि जब
यह असमानता कायम है, और इसलिए इस मामले पर विचार करना पर्याप्त है
.

असमानता के दोनों भागों (*) को संख्या से गुणा करें
और पाओ:

वह है (1+
.■ 

विधि द्वारा प्रमाण अधूरा गणितीय प्रेरण कुछ दावे के आधार पर एन, कहाँ पे
एक समान तरीके से किया जाता है, लेकिन शुरुआत में, सबसे छोटे मूल्य के लिए न्याय स्थापित किया जाता है एन.

कुछ समस्याएं स्पष्ट रूप से एक कथन नहीं बनाती हैं जिसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, एक नियमितता स्थापित करना और इस नियमितता की वैधता के बारे में एक परिकल्पना व्यक्त करना आवश्यक है, और फिर गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रस्तावित परिकल्पना का परीक्षण करें।

 उदाहरण6.4. राशि का पता लगाएं
.

समाधान।आइए जानें राशि एस 1 , एस 2 , एस 3. हमारे पास है
,
,
. हम अनुमान लगाते हैं कि किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसूत्र मान्य है
. इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, हम पूर्ण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करते हैं।

1) कब एन=1 परिकल्पना सत्य है, क्योंकि
.

2) मान लें कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, वह है
. इस सूत्र का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं कि परिकल्पना सत्य है और के लिए एन=क+1, वह है

वास्तव में,

इसलिए, यह मानते हुए कि परिकल्पना सत्य है एन=क,
, यह साबित हो गया है कि यह सच है एन=क+1, और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक के लिए मान्य है एन. ■ 

 उदाहरण6.5. गणित में, यह साबित होता है कि दो समान रूप से निरंतर कार्यों का योग एक समान रूप से निरंतर कार्य है। इस कथन के आधार पर हमें यह सिद्ध करना होगा कि किसी भी संख्या का योगफल
समान रूप से निरंतर कार्य समान रूप से होता है निरंतर कार्य. लेकिन चूंकि हमने अभी तक "समान रूप से निरंतर कार्य" की अवधारणा को पेश नहीं किया है, आइए समस्या को और अधिक संक्षेप में सेट करें: यह ज्ञात हो कि दो कार्यों का योग जिसमें कुछ संपत्ति है एस, अपने आप में संपत्ति है एस. आइए हम साबित करें कि किसी भी संख्या में कार्यों के योग में संपत्ति होती है एस.

समाधान।यहाँ प्रेरण का आधार समस्या के निरूपण में निहित है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, विचार करें
कार्यों एफ 1 , एफ 2 , …, एफ एन , एफ एन+1 जिसके पास संपत्ति है एस. फिर । दाईं ओर, पहले पद में संपत्ति है एसप्रेरण परिकल्पना के अनुसार, दूसरे पद में संपत्ति है एसशर्त से। इसलिए, उनके योग में संपत्ति है एस- दो शब्दों के लिए, प्रेरण का आधार "काम करता है"।

यह अभिकथन को सिद्ध करता है और आगे भी इसका प्रयोग करेगा। मैं 

 उदाहरण6.6. सभी प्राकृतिक खोजें एन, जिसके लिए असमानता

.

समाधान।विचार करना एन= 1, 2, 3, 4, 5, 6. हमारे पास है: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 । इस प्रकार, हम एक परिकल्पना बना सकते हैं: असमानता
सबके लिए जगह है
. इस परिकल्पना की सत्यता को सिद्ध करने के लिए हम अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का प्रयोग करते हैं।

1) जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह परिकल्पना सत्य है एन=5.

2) मान लीजिए कि यह सत्य है एन=क,
, वह है, असमानता
. इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करते हैं कि असमानता
.

टी. टू.
और कम से
एक असमानता है

पर
,

तब हमें वह मिलता है
. तो, परिकल्पना की सच्चाई एन=क+1 इस धारणा से अनुसरण करता है कि यह सत्य है एन=क,
.

पीपी से 1 और 2, अपूर्ण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह इस प्रकार है कि असमानता
हर प्राकृतिक के लिए सच
. ■ 

 उदाहरण6.7. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए एनविभेदन सूत्र मान्य है
.

समाधान।पर एन=1 इस सूत्र का रूप है
, या 1=1, यानी यह सच है। आगमनात्मक धारणा बनाते हुए, हमारे पास है:

क्यू.ई.डी. मैं 

 उदाहरण6.8. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय से मिलकर बना है एनतत्व, है उपसमुच्चय।

समाधान।एक तत्व के साथ एक सेट एक, के दो उपसमुच्चय हैं। यह सच है क्योंकि इसके सभी उपसमुच्चय खाली समुच्चय और स्वयं समुच्चय हैं, और 2 1 =2।

हम मानते हैं कि का कोई समुच्चय एनतत्वों में है उपसमुच्चय। यदि समुच्चय A में होता है एन+1 तत्व, फिर हम इसमें एक तत्व को ठीक करते हैं - इसे निरूपित करें डी, और सभी सबसेट को दो वर्गों में विभाजित करें - जिसमें शामिल नहीं है डीऔर युक्त डी. प्रथम श्रेणी के सभी उपसमुच्चय तत्व को हटाकर A से प्राप्त समुच्चय B के उपसमुच्चय हैं डी.

सेट बी में शामिल हैं एनतत्व, और इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, यह है उपसमुच्चय, इसलिए प्रथम श्रेणी में उपसमुच्चय।

लेकिन दूसरे वर्ग में उपसमुच्चय की संख्या समान होती है: उनमें से प्रत्येक तत्व को जोड़कर प्रथम श्रेणी के ठीक एक उपसमुच्चय से प्राप्त किया जाता है डी. इसलिए, कुल मिलाकर, समुच्चय A
उपसमुच्चय।

इस प्रकार कथन सिद्ध होता है। ध्यान दें कि यह 0 तत्वों वाले सेट के लिए भी मान्य है - एक खाली सेट: इसका एक एकल सबसेट है - स्वयं, और 2 0 = 1। मैं 

ऐसा करने के लिए पहले नंबर 1 वाले कथन की सत्यता की जांच करें - प्रेरण आधार, और फिर यह साबित हो जाता है कि यदि संख्या के साथ बयान एन, फिर संख्या के साथ निम्नलिखित अभिकथन एन + 1 - प्रेरण चरण, या आगमनात्मक संक्रमण.

प्रेरण द्वारा प्रमाण को तथाकथित के रूप में देखा जा सकता है डोमिनोज़ सिद्धांत. किसी भी संख्या में डोमिनोज़ को एक पंक्ति में इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक डोमिनोज़ गिरते हुए अगले डोमिनोज़ को अनिवार्य रूप से उलट दें (यह आगमनात्मक संक्रमण है)। फिर, यदि हम पहली हड्डी को धक्का देते हैं (यह प्रेरण का आधार है), तो पंक्ति में सभी हड्डियां गिर जाएंगी।

प्रमाण की इस पद्धति का तार्किक आधार तथाकथित है प्रेरण का स्वयंसिद्ध, पीनो स्वयंसिद्धों का पाँचवाँ भाग जो प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करता है। प्रेरण की विधि की शुद्धता इस तथ्य के बराबर है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है।

एक भिन्नता भी है, पूर्ण गणितीय प्रेरण का तथाकथित सिद्धांत। यहाँ इसका सख्त शब्दांकन है:

पूर्ण गणितीय प्रेरण का सिद्धांत भी पीनो के स्वयंसिद्धों में प्रेरण के स्वयंसिद्ध के बराबर है।

उदाहरण

एक कार्य।साबित करें कि, जो कुछ भी स्वाभाविक है एनऔर असली क्यू 1, समानता

सबूत।इंडक्शन ऑन एन.

आधार, एन = 1:

संक्रमण: चलो दिखावा करते हैं कि

,

क्यू.ई.डी.

टिप्पणी:कथन की निष्ठा पी एनइस प्रमाण में समानता की वैधता के समान है

यह सभी देखें

विविधताएं और सामान्यीकरण

साहित्य

• एन. हां विलेनकिनप्रवेश। कॉम्बिनेटरिक्स। शिक्षकों के लिए एक गाइड। एम।, प्रबुद्धता, 1976.-48 पी।
• एल. आई. गोलोविना, आई. एम. याग्लोमीज्यामिति में प्रेरण, "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 21, फ़िज़मटगिज़ 1961.-100 पी।
• आर. कूरेंट, जी. रॉबिंस"गणित क्या है?" अध्याय I, 2।
• आई. एस. सोमिन्स्कीगणितीय प्रेरण की विधि। "गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान", अंक 3, नौका पब्लिशिंग हाउस 1965.-58 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "गणितीय प्रेरण की विधि" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

गणित में गणितीय प्रेरण प्रमाण विधियों में से एक है। सभी प्राकृत संख्याओं के किसी कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए प्रयुक्त होता है। ऐसा करने के लिए, पहले नंबर 1 वाले बयान की सच्चाई की जांच की जाती है, प्रेरण का आधार, और फिर ... ... विकिपीडिया

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परिचय

यह विषय प्रासंगिक है, क्योंकि हर दिन लोग विभिन्न समस्याओं को हल करते हैं जिसमें वे हल करने के विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हैं, लेकिन ऐसे कार्य हैं जिनमें गणितीय प्रेरण की विधि को समाप्त नहीं किया जा सकता है, और ऐसे मामलों में इस क्षेत्र में ज्ञान बहुत उपयोगी होगा।

मैंने इस विषय को शोध के लिए चुना क्योंकि स्कूल के पाठ्यक्रमगणितीय प्रेरण की विधि के लिए बहुत कम समय समर्पित है, छात्र सतही जानकारी सीखता है जो उसे केवल एक सामान्य विचार प्राप्त करने में मदद करेगा यह विधि, लेकिन इस सिद्धांत के गहन अध्ययन के लिए आत्म-विकास की आवश्यकता होगी। इस विषय के बारे में अधिक जानना वास्तव में उपयोगी होगा, क्योंकि यह व्यक्ति के क्षितिज का विस्तार करता है और जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

उद्देश्य:

गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हों, इस विषय पर ज्ञान को व्यवस्थित करें और हल करते समय इसे लागू करें गणित की समस्यायेऔर प्रमेयों का प्रमाण, समस्याओं को हल करने के लिए एक आवश्यक कारक के रूप में गणितीय प्रेरण की विधि के व्यावहारिक महत्व को प्रमाणित और स्पष्ट रूप से दर्शाता है।

सौंपे गए कार्य:

साहित्य का विश्लेषण करें और विषय पर ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

गणितीय प्रेरण के सिद्धांतों को समझें।

समस्या समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग का अन्वेषण करें।

किए गए कार्य पर निष्कर्ष और निष्कर्ष तैयार करें।

अनुसंधान का मुख्य निकाय

मूल इतिहास:

केवल करने के लिए देर से XIXसदी, तार्किक कठोरता के लिए आवश्यकताओं का एक मानक विकसित हुआ है, जो आज तक हावी है व्यावहारिक कार्यव्यक्तिगत गणितीय सिद्धांतों के विकास पर गणितज्ञ।

प्रेरण एक संज्ञानात्मक प्रक्रिया है जिसके माध्यम से उपलब्ध तथ्यों की तुलना से उनका सामान्यीकरण करने वाला एक बयान निकाला जाता है।

गणित में, प्रेरण की भूमिका काफी हद तक यह है कि यह चुने हुए स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का आधार है। एक लंबे अभ्यास के बाद पता चला कि एक सीधा रास्ता हमेशा घुमावदार या टूटे हुए से छोटा होता है, एक स्वयंसिद्ध बनाना स्वाभाविक था: किन्हीं तीन बिंदुओं ए, बी और सी के लिए, असमानता संतुष्ट है।

एक अलग महत्वपूर्ण विधि के रूप में गणितीय प्रेरण की विधि के बारे में जागरूकता ब्लेज़ पास्कल और गेर्सोनाइड्स में वापस जाती है, हालांकि आवेदन के कुछ मामले प्राचीन काल में भी प्रोक्लस और यूक्लिड द्वारा पाए जाते हैं। विधि का आधुनिक नाम डी मॉर्गन द्वारा 1838 में पेश किया गया था।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है: हम निम्नतम से शुरू करते हैं, परिणामस्वरूप तार्किक सोचहम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए प्रगति के लिए प्रयास किया है, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे आगमनात्मक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

प्रेरण और कटौती

यह ज्ञात है कि विशेष और सामान्य दोनों कथन हैं, और दिए गए दो पद एक से दूसरे में संक्रमण पर आधारित हैं।

कटौती (अक्षांश से। कटौती - व्युत्पत्ति) - से अनुभूति की प्रक्रिया में संक्रमण सामान्यकरने के लिए ज्ञान निजीतथा एक. कटौती में, सामान्य ज्ञान तर्क के शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है, और इस सामान्य ज्ञान को "तैयार" माना जाता है, मौजूदा। कटौती की ख़ासियत यह है कि इसके परिसर की सच्चाई निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी देती है। इसलिए, कटौती में अनुनय की एक बड़ी शक्ति है और इसका व्यापक रूप से न केवल गणित में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है, बल्कि जहां भी विश्वसनीय ज्ञान की आवश्यकता होती है।

इंडक्शन (लैटिन इंडक्टियो से - मार्गदर्शन) अनुभूति की प्रक्रिया में एक संक्रमण है निजीकरने के लिए ज्ञान सामान्यदूसरे शब्दों में, यह अनुसंधान, ज्ञान की एक विधि है, जो अवलोकनों और प्रयोगों के परिणामों के सामान्यीकरण से जुड़ी है। प्रेरण की एक विशेषता इसकी संभाव्य प्रकृति है, अर्थात। प्रारंभिक परिसर की सच्चाई को देखते हुए, प्रेरण का निष्कर्ष केवल सच है, और अंतिम परिणाम में यह सही और गलत दोनों हो सकता है।

पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

आगमनात्मक तर्क अमूर्त सोच का एक रूप है जिसमें विचार सामान्यता की कम डिग्री के ज्ञान से अधिक व्यापकता के ज्ञान तक विकसित होता है, और परिसर से आने वाला निष्कर्ष मुख्य रूप से संभाव्य है।

शोध के दौरान, मुझे पता चला कि प्रेरण दो प्रकारों में विभाजित है: पूर्ण और अपूर्ण।

एक पूर्ण प्रेरण एक निष्कर्ष कहलाता है जिसमें इस वर्ग की सभी वस्तुओं के अध्ययन के आधार पर वस्तुओं के एक वर्ग के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाला जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह स्थापित करना आवश्यक है कि 6≤ n≤ 18 के भीतर प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n को दो के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है अभाज्य सँख्या. ऐसा करने के लिए, हम ऐसी सभी संख्याएँ लेते हैं और संगत विस्तार लिखते हैं:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

ये समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या वास्तव में दो सरल शब्दों के योग के रूप में प्रदर्शित होती है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: अनुक्रम yn= n 2 +n+17; आइए पहले चार पद लिखें: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; तब हम मान सकते हैं कि पूरे अनुक्रम में अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन ऐसा नहीं है, आइए y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 लें। यह एक संयुक्त संख्या है, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत है, इस प्रकार, अपूर्ण प्रेरण पूरी तरह से विश्वसनीय निष्कर्ष नहीं देता है, लेकिन हमें एक परिकल्पना तैयार करने की अनुमति देता है, जिसे बाद में गणितीय प्रमाण या खंडन की आवश्यकता होती है।

गणितीय प्रेरण की विधि

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम इन सभी स्थितियों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। लेकिन अनंत मामलों की जांच कैसे करें? यह विधि बी. पास्कल और जे. बर्नौली द्वारा प्रस्तावित की गई थी, यह गणितीय प्रेरण की एक विधि है, जो आधारित है गणितीय प्रेरण का सिद्धांत.

यदि वाक्य A(n), जो एक प्राकृत संख्या n पर निर्भर करता है, n=1 के लिए सत्य है, और इस तथ्य से कि यह n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए सत्य है, तो यह इस प्रकार है कि यह भी है सच के लिए अगला नंबर n=k+1, तो धारणा A(n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सही है।

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है:

यदि वाक्य A(n) n=p के लिए सत्य है और यदि A(k)  A(k+1) किसी भी k>p के लिए, तो वाक्य A(n) किसी भी n>p के लिए सत्य है।

एल्गोरिथम (इसमें चार चरण होते हैं):

1.आधार(हम दिखाते हैं कि सिद्ध किया जा रहा दावा कुछ सरलतम विशेष मामलों के लिए सही है ( पी = 1));

2.अनुमान(हम मानते हैं कि कथन पहले के लिए सिद्ध होता है प्रति मामले); 3 .कदम(इस धारणा के तहत हम मामले के लिए दावा साबित करते हैं पी = प्रति + 1); 4.आउटपुट (वाईकथन सभी मामलों के लिए सत्य है, अर्थात सभी के लिए पी) .

ध्यान दें कि गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा सभी समस्याओं को हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन केवल कुछ चर द्वारा पैरामीटर की गई समस्याएं। इस चर को प्रेरण चर कहा जाता है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग

आइए इस सभी सिद्धांत को व्यवहार में लागू करें और पता करें कि इस पद्धति का उपयोग किन समस्याओं में किया जाता है।

असमानताओं के प्रमाण के लिए समस्याएँ।

उदाहरण 1बर्नौली असमानता साबित करें (1+x)n≥1+n x, x>-1, n N.

1) n=1 के लिए, असमानता सत्य है, क्योंकि 1+х≥1+х

2) मान लें कि असमानता कुछ n=k के लिए सही है, अर्थात।

(1+एक्स) के 1+के एक्स।

असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या 1+x से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि kx 2 0, हम असमिका पर पहुँचते हैं

(1+x) k+1 1+(k+1) x।

इस प्रकार, यह धारणा कि बर्नौली की असमानता n=k के लिए सही है, का अर्थ है कि यह n=k+1 के लिए सही है। गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी भी n N के लिए मान्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n>1 के लिए।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके सिद्ध करें।

असमानता के बाएँ पक्ष को किसके द्वारा निरूपित करें।

1), इसलिए, n=2 के लिए असमानता सत्य है।

2) मान लीजिए कुछ k. आइए हम साबित करें कि तब और हमारे पास है ।

तुलना करना और, हमारे पास है, अर्थात्। .

किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए, अंतिम समानता का दाहिना भाग धनात्मक होता है। इसीलिए। लेकिन, इसलिए, और। हमने n=k+1 के लिए असमानता की वैधता को साबित कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, असमानता किसी भी प्राकृतिक n>1 के लिए सही है।

पहचान के प्रमाण के लिए समस्याएँ।

उदाहरण 1सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

मान लीजिए n=1, फिर X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लीजिए कि समानता n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4 के लिए सही है।

3) आइए हम n=k+1, यानी X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4 के लिए इस कथन की सच्चाई को साबित करें। एक्स के+1 = 3 +2 3 +…+के 3 +(के+1) 3 =के 2 (के+1) 2 /4+(के+1) 3 =(के 2 (के+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

उपरोक्त प्रमाण से यह स्पष्ट है कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है, इसलिए, किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक n समानता के लिए

1) जाँच करें कि यह सर्वसमिका n = 1 के लिए सत्य है; - सही।

2) मान लीजिए कि n = k के लिए भी सर्वसमिका सत्य है, अर्थात्।

3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सर्वसमिका n = k + 1 के लिए भी सत्य है, अर्थात्;

इसलिये समानता n=k और n=k+1 के लिए सही है, तो यह किसी भी प्राकृतिक n के लिए सच है।

सारांश कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। इसलिए, कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि (k) A(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात् 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

दरअसल, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो, ए (के)  ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nN के लिए धारणा A(n) सत्य है।

उदाहरण 2सूत्र सिद्ध कीजिए, n एक प्राकृत संख्या है।

हल: जब n=1, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात। .

इस समानता और परिवर्तन के दोनों पक्षों को जोड़ें दाईं ओर. तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए सत्य है, तो यह कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

विभाज्यता कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि (11 n+2 +12 2n+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

समाधान: 1) मान लीजिए n=1, तब

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133।

(23 × 133) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, इसलिए n=1 के लिए कथन सत्य है;

2) मान लीजिए कि (11 k+2 +12 2k+1) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है।

3) आइए हम साबित करें कि इस मामले में

(11 k+3 +12 2k+3) शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है। दरअसल, 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 ।

परिणामी योग शेषफल के बिना 133 से विभाज्य है, क्योंकि इसका पहला पद अनुमान द्वारा शेष के बिना 133 से विभाज्य है, और दूसरे में कारकों में से 133 है।

तो, A(k) → A(k+1), तो गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, कथन किसी भी प्राकृतिक n के लिए सत्य है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि एक मनमाना धनात्मक पूर्णांक n के लिए 3 3n-1 +2 4n-3, 11 से विभाज्य है।

हल: 1) मान लीजिए n=1, तो X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 बिना शेष के 11 से विभाज्य है। अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k . के लिए

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 शेषफल के बिना 11 से विभाज्य है।

3) आइए हम सिद्ध करें कि कथन n=k+1 के लिए सत्य है।

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 ।

पहला पद 11 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, क्योंकि 3 3k-1 +2 4k-3, अनुमान से 11 से विभाज्य है, दूसरा 11 से विभाज्य है, क्योंकि इसका एक गुणनखंड 11 है। इसलिए, योग है किसी भी प्राकृतिक n के लिए शेषफल के बिना 11 से भी विभाज्य है।

वास्तविक जीवन से कार्य।

उदाहरण 1सिद्ध कीजिए कि किसी उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग Sn होता है ( पी- 2)π, जहां पीइस बहुभुज की भुजाओं की संख्या है: Sn = ( पी- 2)π (1)।

यह कथन सभी के लिए स्वाभाविक नहीं है पी, लेकिन केवल के लिए पी > 3, चूँकि त्रिभुज में कोणों की न्यूनतम संख्या 3 होती है।

1) कब पी= 3 हमारा कथन रूप लेता है: एस 3 = । लेकिन किसी भी त्रिभुज के अंत:कोणों का योग वास्तव में होता है। इसलिए, जब पी= 3 सूत्र (1) सत्य है।

2) मान लें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के, वह है, S क = (क- 2)π, जहां क > 3. आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में सूत्र भी यही मानता है: S कश्मीर+ 1 = (क- 1) .

चलो ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर+ 1 - मनमाना उत्तल ( क+ 1) -गॉन (चित्र। 338)।

बिंदुओं A1 और A . को जोड़कर क , हम उत्तल प्राप्त करते हैं क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क — 1ए क . जाहिर है, कोणों का योग ( क+ 1) -गॉन ए 1 ए 2 ... ए क ए कश्मीर+ 1 कोणों के योग के बराबर होता है क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क साथ ही त्रिभुज A 1 A . के कोणों का योग क ए कश्मीर+ एक । लेकिन कोणों का योग क-गॉन ए 1 ए 2 ... ए क माना जाता है ( क- 2)π, और त्रिभुज A 1 A . के कोणों का योग क ए कश्मीर+ 1 पाई के बराबर है। इसीलिए

एस कश्मीर+ 1=एस क + π = ( क- 2)π + = ( क- 1) .

तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, और इसलिए सूत्र (1) किसी भी प्राकृतिक के लिए सही है पी > 3.

उदाहरण 2एक सीढ़ी है, जिसकी सभी सीढ़ियाँ एक जैसी हैं। पदों की न्यूनतम संख्या को इंगित करना आवश्यक है जो किसी भी चरण में "चढ़ाई" की संभावना की गारंटी देगा।

सभी सहमत हैं कि एक शर्त होनी चाहिए। हमें पहले कदम पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। इसके बाद, उन्हें पहले चरण से दूसरे चरण पर चढ़ने में सक्षम होना चाहिए। फिर दूसरे में - तीसरे पर, आदि। nवें चरण तक। बेशक, कुल मिलाकर, "एन" स्टेटमेंट एनएम की गारंटी देते हैं कि हम एन-वें चरण तक पहुंचने में सक्षम होंगे।

आइए अब 2, 3,…., n स्थितियों को देखें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यह देखना आसान है कि उन सभी की संरचना समान है: यदि हम k चरण पर पहुँच जाते हैं, तो हम (k + 1) चरण पर चढ़ सकते हैं। यहाँ से, "n" पर निर्भर कथनों की वैधता के लिए ऐसा स्वयंसिद्ध स्वाभाविक हो जाता है: यदि वाक्य A (n), जिसमें n एक प्राकृतिक संख्या है, n = 1 के लिए संतुष्ट है और इस तथ्य से कि यह संतुष्ट है n=k (जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है) के लिए, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी है, फिर मान लें कि A(n) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए है।

आवेदन पत्र

विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करने वाले कार्य।

ध्यान दें कि उच्चतर में प्रवेश पर शैक्षणिक संस्थानोंऐसी समस्याएं भी हैं जो इस पद्धति से हल हो जाती हैं। आइए उन पर ठोस उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1साबित करें कि कोई भी प्राकृतिक पीनिष्पक्ष समानता

1) कब एन = 1हमें सही समानता पाप मिलता है।

2) आगमनात्मक धारणा बनाकर कि n= . के लिए कसमानता सत्य है, समानता के बाईं ओर के योग पर विचार करें, n . के लिए = के+1;

3) न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक को रूपांतरित करते हैं:

फिर, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, समानता किसी भी प्राकृतिक n के लिए सही है।

उदाहरण 2सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत n के लिए व्यंजक 4n +15n-1 का मान 9 का गुणज होता है।

1) n=1: 2 2 +15-1=18 के साथ - 9 का गुणज (क्योंकि 18:9=2)

2) समानता को कायम रहने दें एन = कश्मीर: 4k +15k-1, 9 का गुणज है।

3) आइए हम साबित करें कि समानता अगली संख्या के लिए है एन = के + 1

4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k-2)

4(4k +15k-1) - 9 का गुणज;

9(5k-2) - 9 का गुणज;

परिणामस्वरूप, संपूर्ण व्यंजक 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) 9 का गुणज है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

उदाहरण 3सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या के लिए पीशर्त पूरी होती है: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) जाँच करें कि यह सूत्र के लिए सत्य है एन = 1:बाईं तरफ = 1∙2∙3=6.

दायां भाग = . 6 = 6; सच में एन = 1।

2) मान लें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.एस क =.

3) आइए हम सिद्ध करें कि यह सूत्र n . के लिए सत्य है = के+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

एस कश्मीर+1 =.

सबूत:

तो, यह शर्त दो मामलों में सही है और साबित कर दिया है कि यह n . के लिए भी सच है = के+1,इसलिए यह किसी भी प्राकृत संख्या के लिए सत्य है पी।

निष्कर्ष

संक्षेप में, अनुसंधान की प्रक्रिया में, मुझे पता चला कि प्रेरण क्या है, जो पूर्ण या अपूर्ण है, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित गणितीय प्रेरण की विधि से परिचित हुआ, इस पद्धति का उपयोग करने वाली कई समस्याओं पर विचार किया।

मैंने भी बहुत कुछ सीखा नई जानकारी, स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल एक से अलग।गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करते समय, मैंने विभिन्न साहित्य, इंटरनेट संसाधनों का उपयोग किया, और एक शिक्षक से भी परामर्श किया।

निष्कर्ष: गणितीय प्रेरण पर ज्ञान को सामान्यीकृत और व्यवस्थित करने के बाद, मैं इस विषय पर वास्तव में ज्ञान की आवश्यकता के बारे में आश्वस्त हो गया। सकारात्मक गुणवत्तागणितीय प्रेरण की विधि समस्याओं को हल करने में इसका व्यापक अनुप्रयोग है: बीजगणित, ज्यामिति और वास्तविक गणित के क्षेत्र में। साथ ही, यह ज्ञान विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाता है।

मुझे यकीन है कि काम के दौरान हासिल किए गए कौशल भविष्य में मेरी मदद करेंगे।

​ ग्रन्थसूची

सोमिन्स्की आई.एस. गणितीय प्रेरण की विधि। गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान, अंक 3-एम: नौका, 1974।

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डोरोफीव जी.वी., पोतापोव एम.के., रोज़ोव एन.के.एच. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए गणित मैनुअल (प्राथमिक गणित के चयनित प्रश्न) - एड। 5 वीं, संशोधित, 1976 - 638।

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यू.एन. - एम।: प्रो-सेव-शे-नी, 2002।

विकिपीडिया मुक्त विश्वकोश है।

सेवलीवा एकातेरिना

पेपर श्रृंखला के योग के लिए, विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि के आवेदन पर विचार करता है। असमानताओं के प्रमाण और ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। काम को एक प्रस्तुति के साथ चित्रित किया गया है।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

रूसी संघ के विज्ञान और शिक्षा मंत्रालय

राज्य शैक्षणिक संस्थान

औसत समावेशी स्कूल № 618

पाठ्यक्रम: बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत

परियोजना कार्य विषय

"गणितीय प्रेरण की विधि और समस्या समाधान के लिए इसका अनुप्रयोग"

काम पूरा हो गया है: सेवलीवा ई, 11बी वर्ग

पर्यवेक्षक : मकारोवा टी.पी., गणित शिक्षक, माध्यमिक विद्यालय 618

1 परिचय।

2. विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

3. श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

4. असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय आगमन की विधि को लागू करने के उदाहरण।

5. ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

6. प्रयुक्त साहित्य की सूची।

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। निगमनात्मक विधितर्क सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रहा है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है। गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है। यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है, लेकिन आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना इतना महत्वपूर्ण है। समस्याओं को हल करने और प्रमेयों को सिद्ध करने में इस सिद्धांत के अनुप्रयोग पर विचार करने के बराबर है स्कूल अभ्यासऔर अन्य गणितीय सिद्धांत: बहिष्कृत मध्य, समावेश-बहिष्करण, डिरिचलेट, आदि। इस निबंध में गणित की विभिन्न शाखाओं की समस्याएं हैं, जिनमें मुख्य उपकरण गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग है। इस पद्धति के महत्व के बारे में बोलते हुए, ए.एन. कोलमोगोरोव ने कहा कि "गणितीय प्रेरण के सिद्धांत को लागू करने की समझ और क्षमता परिपक्वता के लिए एक अच्छा मानदंड है, जो एक गणितज्ञ के लिए नितांत आवश्यक है।" अपने व्यापक अर्थों में प्रेरण की विधि में निजी अवलोकनों से एक सार्वभौमिक, सामान्य पैटर्न या सामान्य सूत्रीकरण में संक्रमण शामिल है। इस व्याख्या में, विधि, निश्चित रूप से, किसी भी प्रायोगिक प्राकृतिक विज्ञान में अनुसंधान करने की मुख्य तकनीक है।

मानव गतिविधि। गणितीय प्रेरण की विधि (सिद्धांत) को उसके सरलतम रूप में उपयोग किया जाता है जब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कथन को सिद्ध करना आवश्यक होता है।

समस्या 1. अपने लेख "मैं गणितज्ञ कैसे बना" में ए.एन. कोलमोगोरोव लिखते हैं: "मैंने गणितीय "खोज" का आनंद जल्दी सीखा, पांच या छह साल की उम्र में पैटर्न पर ध्यान दिया

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d डब्ल्यू 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 इत्यादि।

स्कूल ने "स्प्रिंग स्वैलोज़" पत्रिका प्रकाशित की। उसमें मेरी खोज प्रकाशित हुई थी..."

हमें नहीं पता कि इस पत्रिका में किस तरह का सबूत दिया गया था, लेकिन यह सब निजी टिप्पणियों से शुरू हुआ। इन आंशिक समानताओं की खोज के बाद संभवतः जो परिकल्पना उत्पन्न हुई, वह यह है कि सूत्र

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

किसी दी गई संख्या के लिए सत्यएन = 1, 2, 3, ...

इस अनुमान को सिद्ध करने के लिए दो तथ्यों को स्थापित करना पर्याप्त है। सबसे पहले, के लिए n = 1 (और यहां तक ​​कि n = . के लिए भी) 2, 3, 4) वांछित कथन सत्य है। दूसरा, मान लीजिए कि कथन सत्य हैएन = के, और सत्यापित करें कि तो यह भी सत्य हैएन = के + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (के + आई) 2।

इसलिए, सिद्ध किया जा रहा दावा सभी मूल्यों के लिए सही है n: n = के लिए 1 यह सच है (यह सत्यापित किया गया है), और दूसरे तथ्य के आधार पर, क्योंकि n = 2, जहां से n = 3 (उसी दूसरे तथ्य के कारण), आदि।

समस्या 2. हर संभव पर विचार करें सामान्य भिन्नअंश 1 और कोई भी (सकारात्मक पूर्णांक) के साथ

हर: साबित करें कि किसी के लिएएन> 3 को योग के रूप में दर्शाया जा सकता हैपी इस प्रकार के विभिन्न अंश।

समाधान, आइए पहले इस अभिकथन की जाँच करेंएन = 3; अपने पास:

इसलिए, मूल दावा संतुष्ट है

अब मान लीजिए कि किसी संख्या के लिए हमारे लिए रुचि का कथन सत्य हैप्रति, और सिद्ध कीजिए कि यह उसके बाद की संख्या के लिए भी सत्य हैप्रति + 1. दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि एक प्रतिनिधित्व है

जिसमें को शब्द और सभी भाजक अलग हैं। आइए हम सिद्ध करें कि तब इकाई का निरूपण योग के रूप में प्राप्त करना संभव हैप्रति वांछित प्रकार के + 1 अंश। हम मान लेंगे कि भिन्न घट रहे हैं, अर्थात हर (इकाई के योग द्वारा निरूपण में)प्रति शब्द) बाएँ से दाएँ बढ़े ताकिटी भाजक में सबसे बड़ा है। हमें योग के रूप में आवश्यक प्रतिनिधित्व मिलेगा(प्रति + 1)वाँ भिन्न, यदि हम एक भिन्न को विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए अंतिम एक, दो में। ऐसा इसलिए किया जा सकता है क्योंकि

और इसीलिए

इसके अलावा, सभी भिन्न भिन्न रहते हैं, क्योंकिटी सबसे बड़ा हर था, औरटी + 1> टी, और

एम (टी + 1)> एम।

इस प्रकार, हमने स्थापित किया है:

1. एन = के लिए 3 यह कथन सत्य है;

1. अगर हम जिस कथन में रुचि रखते हैं, वह सत्य हैप्रति,
   तो यह भी सच हैकरने के लिए + 1.

इस आधार पर, हम यह दावा कर सकते हैं कि विचाराधीन कथन तीन से शुरू होकर सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है। इसके अलावा, उपरोक्त प्रमाण में एकता के वांछित विभाजन को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म भी शामिल है। (यह कौन सा एल्गोरिदम है? संख्या 1 की कल्पना स्वयं 4, 5, 7 शब्दों के योग के रूप में करें।)

पिछली दो समस्याओं को हल करने में, दो कदम उठाए गए थे। पहला कदम कहा जाता हैआधार प्रेरण, दूसराआगमनात्मक संक्रमणया एक प्रेरण कदम। दूसरा चरण सबसे महत्वपूर्ण है, और इसमें एक धारणा शामिल है (कथन सत्य है . के लिए)एन = के) और निष्कर्ष (कथन सत्य हैएन = के + 1)। पैरामीटर p को ही कहा जाता है प्रेरण पैरामीटर।यह तार्किक योजना (उपकरण), जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है कि विचाराधीन कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं (या सभी के लिए, कुछ से शुरू) के लिए सत्य है, क्योंकि आधार और संक्रमण दोनों ही मान्य हैं, कहा जाता हैगणितीय प्रेरण का सिद्धांत,जिस पर और गणितीय प्रेरण की विधि आधारित है।"प्रेरण" शब्द स्वयं लैटिन शब्द . से आया हैअधिष्ठापन (मार्गदर्शन), जिसका अर्थ है किसी दिए गए वर्ग की व्यक्तिगत वस्तुओं के बारे में एकल ज्ञान से किसी दिए गए वर्ग की सभी वस्तुओं के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष तक, जो ज्ञान के मुख्य तरीकों में से एक है।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत, दो चरणों के सामान्य रूप में, पहली बार 1654 में अंकगणित त्रिभुज पर ब्लेज़ पास्कल के ग्रंथ में दिखाई दिया, जिसमें संयोजनों की संख्या (द्विपद गुणांक) की गणना करने का एक सरल तरीका प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया था। D. पोया ने पुस्तक में B. पास्कल को वर्गाकार कोष्ठकों में दिए गए मामूली परिवर्तनों के साथ उद्धृत किया:

"इस तथ्य के बावजूद कि विचाराधीन प्रस्ताव [द्विपद गुणांक के लिए एक स्पष्ट सूत्र] में अनंत संख्या में विशेष मामले हैं, मैं इसके लिए दो लेम्मा के आधार पर एक बहुत छोटा सबूत दूंगा।

पहला लेम्मा बताता है कि आधार के लिए अनुमान सही है - यह स्पष्ट है। [परपी = 1 स्पष्ट सूत्र मान्य है...]

दूसरा लेम्मा निम्नलिखित कहता है: यदि हमारी धारणा एक मनमाना आधार [एक मनमाना r के लिए] के लिए सही है, तो यह निम्नलिखित आधार के लिए सही होगा [के लिएएन + 1]।

ये दो नींबू आवश्यक रूप से सभी मूल्यों के लिए प्रस्ताव की वैधता का संकेत देते हैंपी। दरअसल, पहले लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 1; इसलिए, दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य हैपी = 2; इसलिए, फिर से दूसरे लेम्मा के आधार पर, यह इसके लिए मान्य है n = 3 और इसी तरह एड इनफिनिटम।

समस्या 3. हनोई पहेली के टावरों में तीन छड़ें होती हैं। छड़ में से एक पर एक पिरामिड (चित्र 1) होता है, जिसमें विभिन्न व्यास के कई छल्ले होते हैं, जो नीचे से ऊपर तक घटते हैं

चित्र एक

इस पिरामिड को दूसरी छड़ों में से एक में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, हर बार केवल एक अंगूठी को स्थानांतरित करना और बड़ी अंगूठी को छोटे पर नहीं रखना चाहिए। क्या यह किया जा सकता है?

समाधान। तो, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: क्या एक पिरामिड को स्थानांतरित करना संभव है जिसमेंपी खेल के नियमों का पालन करते हुए, विभिन्न व्यास के छल्ले, एक छड़ से दूसरी छड़ तक? अब समस्या यह है, जैसा कि वे कहते हैं, हमारे द्वारा पैरामीट्रिज्ड (एक प्राकृतिक संख्या .)पी), और इसे गणितीय प्रेरण द्वारा हल किया जा सकता है।

1. प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1, सब कुछ स्पष्ट है, क्योंकि एक अंगूठी के पिरामिड को स्पष्ट रूप से किसी भी छड़ में ले जाया जा सकता है।
2. प्रेरण का चरण। मान लीजिए कि हम किसी भी पिरामिड को छल्ले की संख्या के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंपी = के।
   आइए हम सिद्ध करें कि तब हम पिरामिड को मध्य से भी स्थानांतरित कर सकते हैंएन = के + 1।

से पिरामिड सबसे बड़े पर पड़े छल्ले(प्रति + 1)-वें वलय, हम धारणा के अनुसार, किसी अन्य धुरी पर जा सकते हैं। हो जाए। स्तब्ध(प्रति + 1)वें वलय विस्थापन एल्गोरिथम को पूरा करने में हमारे साथ हस्तक्षेप नहीं करेगा, क्योंकि यह सबसे बड़ा है। चलने के बादप्रति छल्ले, इसे सबसे बड़ा ले जाएँ(प्रति + 1) शेष छड़ पर छल्ला। और फिर हम आगमनात्मक धारणा द्वारा ज्ञात चलती एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करते हैंप्रति छल्ले, और उन्हें छड़ी के साथ ले जाएँ(प्रति + 1)वीं अंगूठी। इस प्रकार, यदि हम पिरामिडों को के साथ स्थानांतरित कर सकते हैंप्रति छल्ले, फिर हम पिरामिडों को स्थानांतरित कर सकते हैं औरप्रति + 1 अंगूठियां। इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, पिरामिड को स्थानांतरित करना हमेशा संभव होता है, जिसमें शामिल हैं n वलय, जहाँ n > 1.

विभाज्यता समस्याओं को हल करने में गणितीय प्रेरण की विधि।

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संबंध में विभिन्न कथनों को सिद्ध किया जा सकता है।

टास्क 4 . यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो वह संख्या सम होती है।

n=1 के लिए हमारा कथन सत्य है: - एक सम संख्या। आइए मान लें कि यह एक सम संख्या है। चूँकि 2k एक सम संख्या है, इसलिए यह है। तो, n = 1 के लिए समता सिद्ध होती है, समता को समता से घटाया जाता है। इसलिए, n के सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी।

कार्य 3. सिद्ध कीजिए कि संख्या Z 3 + 3 - 26एन - 27 एक मनमाना प्राकृतिक के साथ n शेषफल के बिना 26 2 से विभाज्य है।

समाधान। आइए पहले हम एक सहायक अभिकथन को शामिल करके सिद्ध करें कि 3 3एन+3 1 बिना किसी शेष के 26 से विभाज्य हैएन > 0.

1. प्रेरण का आधार। n = 0 के लिए हमारे पास है: Z 3 - 1 \u003d 26 - 26 से विभाजित।

प्रेरण का चरण। मान लीजिए 3 3एन + 3 - 1 26 से विभाज्य है जबएन = के, और आइए हम सिद्ध करें कि इस मामले में कथन सत्य होगा n = k + 1. चूंकि 3

फिर आगमनात्मक धारणा से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्या 3 3k + 6 - 1 26 से विभाज्य है।

आइए अब समस्या की स्थिति में तैयार किए गए अभिकथन को सिद्ध करें। और फिर से प्रेरण द्वारा।

1. प्रेरण का आधार। यह स्पष्ट है किएन = 1 कथन सत्य है: 3 . के बाद से 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के
   व्यंजक 3 3k + 3 - 26k - 27 26 . से विभाज्य है 2 शेष के बिना, और साबित करें कि कथन सत्य हैएन = के + 1,
   यानी वह नंबर

26 2 . से विभाज्य एक ट्रेस के बिना। अंतिम योग में, दोनों पदों को शेषफल के बिना 26 . से विभाजित किया जाता है 2 . पहला इसलिए है क्योंकि हमने यह साबित कर दिया है कि कोष्ठक में व्यंजक 26 से विभाज्य है; दूसरा, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, आवश्यक कथन पूरी तरह से सिद्ध होता है।

श्रृंखला के योग के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का अनुप्रयोग।

कार्य 5. सूत्र सिद्ध करें

एन एक प्राकृतिक संख्या है।

समाधान।

n=1 के लिए, समानता के दोनों भाग एक में बदल जाते हैं और इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

मान लें कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, अर्थात।

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को जोड़ें और दाईं ओर को रूपांतरित करें। तब हमें मिलता है

इस प्रकार, इस तथ्य से कि सूत्र n=k के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n=k+1 के लिए भी सत्य है। यह कथन k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सत्य है। तो, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत की दूसरी शर्त भी संतुष्ट है। सूत्र सिद्ध हुआ है।

एक कार्य 6. बोर्ड पर दो नंबर लिखे हुए हैं: 1.1। संख्याओं के बीच उनका योग दर्ज करने पर हमें संख्याएँ 1, 2, 1 प्राप्त होती हैं। इस संक्रिया को फिर से दोहराने पर हमें संख्याएँ 1, 3, 2, 3, 1 प्राप्त होती हैं। तीन संक्रियाओं के बाद, संख्याएँ 1, 4, 3 होंगी, 5, 2, 5, 3, 4, 1. इसके बाद बोर्ड पर सभी संख्याओं का योग क्या होगा? 100 ऑपरेशन?

समाधान। सभी करो 100 संचालन बहुत समय लेने वाला और समय लेने वाला होगा। इसलिए, हमें योग S . के लिए कुछ सामान्य सूत्र खोजने का प्रयास करने की आवश्यकता हैसंख्या के बाद संख्या संचालन। आइए तालिका को देखें:

क्या आपने यहां कोई पैटर्न देखा? यदि नहीं, तो आप एक और कदम उठा सकते हैं: चार ऑपरेशनों के बाद, संख्याएँ होंगी

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

जिसका योग S 4 82 है।

वास्तव में, आप संख्याएँ नहीं लिख सकते हैं, लेकिन तुरंत कह सकते हैं कि नई संख्याएँ जोड़ने के बाद योग कैसे बदलेगा। मान लीजिए कि योग 5 के बराबर है। नई संख्याओं को जोड़ने पर यह क्या हो जाएगा? आइए प्रत्येक नई संख्या को दो पुरानी संख्याओं के योग में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 1, 3, 2, 3, 1 से हम 1 पर जाते हैं।

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

यही है, प्रत्येक पुरानी संख्या (दो चरम को छोड़कर) अब तीन बार योग में प्रवेश करती है, इसलिए नया योग 3S - 2 है (लापता इकाइयों को ध्यान में रखते हुए 2 घटाएं)। इसलिए एस 5 = 3एस 4 - 2 = 244, और सामान्य तौर पर

सामान्य सूत्र क्या है? यदि यह दो इकाइयों के घटाव के लिए नहीं होता, तो हर बार योग तीन गुना बढ़ जाता, जैसा कि त्रिगुण (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...) की शक्तियों में होता है। और हमारी संख्या, जैसा कि आप अब देख सकते हैं, एक और हैं। इस प्रकार, यह माना जा सकता है कि

आइए अब इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण का आधार। तालिका देखें (के लिएएन = 0, 1, 2, 3)।

प्रेरण का चरण। चलो दिखावा करते हैं कि

आइए हम सिद्ध करें किएस से + 1 \u003d जेड से + 1 + 1 तक।

सचमुच,

तो, हमारा सूत्र सिद्ध होता है। यह दर्शाता है कि सौ ऑपरेशन के बाद, बोर्ड पर सभी नंबरों का योग 3 . के बराबर होगा 100 + 1.

एक पर विचार करें महान उदाहरणगणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुप्रयोग, जिसमें आपको पहले दो प्राकृतिक मापदंडों का परिचय देना होगा और फिर उनके योग पर प्रेरण करना होगा।

एक कार्य 7. सिद्ध कीजिए कि यदि= 2, x 2 = 3 और हर प्राकृतिक के लिएएन> 3

एक्स एन \u003d जेडएक्स एन - 1 - 2x एन - 2,

फिर

2 एन - 1 + 1, एन = 1, 2, 3, ...

समाधान। ध्यान दें कि इस समस्या में संख्याओं का प्रारंभिक क्रम(एक्स एन) प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हमारे अनुक्रम की शर्तें, पहले दो को छोड़कर, आगमनात्मक रूप से दी जाती हैं, अर्थात पिछले वाले के माध्यम से। दिए गए क्रम कहलाते हैंआवर्तक, और हमारे मामले में यह क्रम एक अनोखे तरीके से (इसके पहले दो शब्दों को निर्दिष्ट करके) निर्धारित किया जाता है।

प्रेरण का आधार। इसमें दो अभिकथनों की जाँच शामिल है: n=1 और n=2.B दोनों ही मामलों में, अभिकथन अनुमान से सत्य है।

प्रेरण का चरण। आइए मान लें किएन = के - 1 और एन = के अभिकथन किया जाता है, अर्थात्

आइए, फिर के अभिकथन को सिद्ध करेंएन = के + 1. हमारे पास है:

एक्स 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, जिसे सिद्ध किया जाना था।

टास्क 8. साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को फाइबोनैचि संख्याओं के आवर्तक अनुक्रम के कई अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

कश्मीर > 2 के लिए

समाधान। चलो पी - प्राकृतिक संख्या। हम इंडक्शन चालू करेंगेपी।

प्रेरण का आधार। एन = के लिए 1 कथन सत्य है, क्योंकि इकाई स्वयं एक फाइबोनैचि संख्या है।

प्रेरण का चरण। मान लें कि सभी प्राकृत संख्याएँ किसी संख्या से छोटी हैंपी, फाइबोनैचि अनुक्रम के कई अलग-अलग शब्दों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। सबसे बड़ी फाइबोनैचि संख्या ज्ञात कीजिएएफ टी, जो निम्न से अधिक नहीं हैपी; तो एफ टी एन और एफ टी +1> एन।

क्यों कि

प्रेरण परिकल्पना से, संख्यापी- एफ टी फाइबोनैचि अनुक्रम के 5 अलग-अलग सदस्यों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और अंतिम असमानता से यह निम्नानुसार है कि 8 के योग में शामिल फाइबोनैचि अनुक्रम के सभी सदस्य इससे कम हैंएफ टी। इसलिए, संख्या का विस्तारएन = 8 + एफ टी समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

असमानताओं के प्रमाण के लिए गणितीय प्रेरण की विधि के अनुप्रयोग के उदाहरण।

कार्य 9. (बर्नौली की असमानता।)साबित करें कि जब x > -1, x 0, और पूर्णांक n > . के लिए 2 असमानता

(1 + एक्स) एन> 1 + एक्सएन।

समाधान। हम फिर से प्रेरण द्वारा प्रमाण का संचालन करेंगे।

1. प्रेरण का आधार। आइए हम असमानता की वैधता को सत्यापित करेंएन = 2. वास्तव में,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x।

2. प्रेरण का चरण। आइए मान लें कि संख्या के लिएएन = के कथन सत्य है, अर्थात्

(1 + एक्स) के> 1 + एक्सके,

जहाँ k > 2. हम इसे n = k + 1 के लिए सिद्ध करते हैं। हमारे पास है: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (के + 1)x + केएक्स 2> 1 + (के + 1)x।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि बर्नौली की असमानता किसी के लिए भी मान्य हैएन > 2.

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके हल की गई समस्याओं की स्थितियों में हमेशा नहीं, सामान्य कानून जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता होती है वह स्पष्ट रूप से तैयार किया जाता है। कभी-कभी, विशेष मामलों को देखकर, पहले यह पता लगाना (अनुमान लगाना) आवश्यक है कि सामान्य विधिवे देते हैं, और उसके बाद ही गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा बताई गई परिकल्पना को सिद्ध करते हैं। इसके अलावा, इंडक्शन वैरिएबल को मास्क किया जा सकता है, और समस्या को हल करने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इंडक्शन किस पैरामीटर पर किया जाएगा। उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें।

समस्या 10. सिद्ध कीजिए कि

किसी भी प्राकृतिक के लिएएन > 1.

समाधान, आइए इस असमानता को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करें।

प्रेरण आधार आसानी से सत्यापित है:1+

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा

और हमें यह साबित करना बाकी है कि

आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करते हुए, हम दावा करेंगे कि

यद्यपि यह समानता वास्तव में सत्य है, यह हमें समस्या का समाधान नहीं देती है।

आइए मूल समस्या में आवश्यकता से अधिक मजबूत दावे को साबित करने का प्रयास करें। अर्थात्, हम यह सिद्ध करेंगे कि

ऐसा लग सकता है कि प्रेरण द्वारा इस दावे को साबित करना निराशाजनक है।

हालांकि, पी पर = 1 हमारे पास है: कथन सत्य है। आगमनात्मक चरण को सही ठहराने के लिए, मान लीजिए कि

और फिर हम साबित करेंगे कि

सचमुच,

इस प्रकार, हमने एक मजबूत अभिकथन सिद्ध किया है, जिससे समस्या की स्थिति में निहित अभिकथन तुरंत अनुसरण करता है।

यहाँ शिक्षाप्रद बात यह है कि यद्यपि हमें समस्या में आवश्यकता से अधिक प्रबल अभिकथन सिद्ध करना था, हम आगमनात्मक चरण में अधिक प्रबल धारणा का भी प्रयोग कर सकते थे। यह बताता है कि गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग हमेशा लक्ष्य की ओर नहीं ले जाता है।

समस्या के समाधान में जो स्थिति उत्पन्न होती है उसे कहते हैंआविष्कारक का विरोधाभास।विरोधाभास ही यह है कि अधिक जटिल योजनाओं को लागू किया जा सकता है महान सफलतायदि वे मामले के सार की गहरी समझ पर आधारित हैं।

समस्या 11. सिद्ध कीजिए कि 2m + n - 2m किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

समाधान। यहां हमारे पास दो विकल्प हैं। इसलिए, आप तथाकथित को अंजाम देने की कोशिश कर सकते हैंदोहरा प्रेरण(एक प्रेरण के भीतर एक प्रेरण)।

हम आगमनात्मक तर्क करेंगेपी।

1. पी के अनुसार प्रेरण का आधार।एन = के लिए 1 इसे जांचने की जरूरत है 2 टी ~ 1> टी। इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम प्रेरण का उपयोग करते हैंटी।

एक) वॉल्यूम द्वारा प्रेरण का आधार।टी = . के लिए 1 चल रहा है
समानता, जो स्वीकार्य है।

बी) टी के अनुसार प्रेरण का चरण।आइए मान लें किटी = के कथन सत्य है, अर्थात् 2 के ~ 1> के। फिर ऊपर
मान लें कि कथन सत्य है, भले हीएम = के + 1।
हमारे पास है:

प्राकृतिक के.

इस प्रकार, असमानता 2 किसी भी प्राकृतिक के लिए प्रदर्शन कियाटी।

2. मद के अनुसार प्रेरण का चरणकोई प्राकृत संख्या चुनें और नियत करेंटी। आइए मान लें किएन = मैं कथन सत्य है (निश्चित के लिए)टी), यानी 2 टी +1 ~ 2> टी 1, और सिद्ध करें कि तब अभिकथन सत्य होगाएन = एल + 1।
हमारे पास है:

किसी भी प्राकृतिक के लिएके प्रकार।

इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत पर आधारित (के अनुसारपी) समस्या का कथन किसी के लिए भी सत्य हैपी और किसी भी निश्चित . के लिएटी। इस प्रकार, यह असमानता किसी भी प्राकृतिकके प्रकार।

समस्या 12. मान लीजिए m, n और k प्राकृत संख्याएं हैं, औरटी > पी दोनों में से कौन सी संख्या बड़ी है:

हर अभिव्यक्ति मेंप्रति लक्षण वर्गमूल, टी और एन वैकल्पिक।

समाधान। आइए पहले हम कुछ सहायक अभिकथन सिद्ध करें।

लेम्मा। किसी भी प्राकृतिक के लिएटी और एन (टी> एन) और गैर-ऋणात्मक (जरूरी नहीं कि पूर्णांक हो)एक्स असमानता

सबूत। असमानता पर विचार करें

यह असमानता सही है, क्योंकि बाईं ओर के दोनों कारक सकारात्मक हैं। कोष्ठक का विस्तार और रूपांतरण, हम प्राप्त करते हैं:

अंतिम असमानता के दोनों भागों का वर्गमूल लेते हुए, हम लेम्मा का अभिकथन प्राप्त करते हैं। तो लेम्मा साबित होता है।

अब चलिए समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इनमें से पहली संख्या को द्वारा निरूपित करेंएक, और दूसरा के माध्यम सेबी से . आइए साबित करें कि a किसी भी प्राकृतिक के लिएप्रति। सम और विषम के लिए अलग-अलग गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण किया जाएगाप्रति।

प्रेरण का आधार। कश्मीर के लिए = 1 हमारे पास असमानता है

y[t > y/n , जो इस तथ्य के कारण मान्य है किएम> एन। = 2, सिद्ध लेम्मा से प्रतिस्थापित करके वांछित परिणाम प्राप्त किया जाता हैएक्स = 0.

प्रेरण का चरण। मान लीजिए, कुछ के लिएअसमानता के लिए a >b to निष्पक्ष। आइए साबित करें कि

प्रेरण की धारणा और वर्गमूल की एकरसता से, हमारे पास है:

दूसरी ओर, यह सिद्ध लेम्मा का अनुसरण करता है कि

अंतिम दो असमानताओं को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, अभिकथन सिद्ध होता है।

टास्क 13. (कॉची की असमानता।)सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए...,एक पी असमानता

समाधान। n = 2 के लिए असमानता

अंकगणित माध्य और ज्यामितीय माध्य (दो संख्याओं के लिए) को ज्ञात माना जाएगा। होने देनाएन = 2, के = 1, 2, 3, ... और पहले इंडक्शन को पर करेंप्रति। इस प्रेरण का आधार है। अब यह मानते हुए कि वांछित असमानता पहले से ही स्थापित की जा चुकी हैएन = 2 , हम इसे सिद्ध करेंगेपी = 2। हमारे पास है (दो संख्याओं के लिए असमानता का उपयोग करते हुए):

इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा

इस प्रकार, k पर प्रेरण द्वारा, हमने सभी के लिए असमानता सिद्ध कर दी हैपी 9 जो दो की शक्तियाँ हैं।

अन्य मूल्यों के लिए असमानता साबित करने के लिएपी हम "प्रेरण नीचे" का उपयोग करेंगे, अर्थात, हम यह साबित करेंगे कि यदि असमानता मनमानी गैर-ऋणात्मक के लिए संतुष्ट हैपी संख्या, यह इसके लिए भी मान्य है(पी - 1)वां अंक। इसे सत्यापित करने के लिए, हम ध्यान दें कि, की गई धारणा के अनुसार, के लिएपी संख्या, असमानता

अर्थात् a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. दोनों भागों को विभाजित करनापी -1, हम आवश्यक असमानता प्राप्त करते हैं।

इसलिए, पहले हमने स्थापित किया कि असमानता अनंत संभावित मूल्यों के लिए हैपी, और फिर दिखाया कि यदि असमानता कायम हैपी संख्या, यह इसके लिए भी मान्य है(पी - 1) अंक। इससे अब हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कोटी की असमानता के एक समुच्चय के लिए हैपी किसी के लिए कोई भी गैर-ऋणात्मक संख्याएन = 2, 3, 4, ...

समस्या 14. (डी। उसपेन्स्की।) कोणों वाले किसी त्रिभुज ABC के लिए =सीएबी, = सीबीए तुलनीय हैं, असमानताएं हैं

समाधान। कोण और अनुरूप हैं, और इसका (परिभाषा के अनुसार) इसका अर्थ है कि इन कोणों का एक सामान्य माप है, जिसके लिए = p, = (p, q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ हैं)।

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करें और इसे योग के ऊपर खींचेंएन = पी + q प्राकृतिक सहअभाज्य संख्याएँ ..

प्रेरण का आधार। पी + क्यू = 2 के लिए हमारे पास है: पी = 1 और क्यू = 1। फिर त्रिभुज एबीसी समद्विबाहु है, और वांछित असमानताएं स्पष्ट हैं: वे त्रिभुज असमानता से अनुसरण करते हैं

प्रेरण का चरण। अब मान लीजिए कि p + q = 2, 3, ..., के लिए वांछित असमानताएँ स्थापित हो गई हैं।के -1, जहां के > 2. आइए हम सिद्ध करें कि असमानताएँ के लिए भी मान्य हैंपी + क्यू = के।

चलो एबीसी के साथ दिया गया त्रिभुज है> 2. फिर भुजाएँ AC और BC बराबर नहीं हो सकता: चलोएसी> ई.पू. आइए अब चित्र 2 की तरह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैंएबीसी; अपने पास:

एसी \u003d डीसी और एडी \u003d एबी + बीडी, इसलिए,

2एसी > एबी + बीडी (1)

अब त्रिभुज पर विचार करेंवीडीसी, जिनके कोण भी तुलनीय हैं:

डीसीबी = (क्यू - पी), बीडीसी = पी।

चावल। 2

यह त्रिभुज आगमनात्मक धारणा को संतुष्ट करता है, और इसलिए

(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, हमारे पास है:

2एसी+बीडी>

और इसीलिए

एक ही त्रिभुज सेडब्ल्यूबीएस प्रेरण परिकल्पना से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

पिछली असमानता को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

इस प्रकार, आगमनात्मक संक्रमण प्राप्त होता है, और समस्या का विवरण गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आता है।

टिप्पणी। समस्या का कथन तब भी मान्य रहता है जब कोण a और p समानुपाती न हों। में विचार के आधार पर सामान्य मामलापहले से ही एक और महत्वपूर्ण आवेदन करना होगा गणितीय सिद्धांत- निरंतरता का सिद्धांत।

समस्या 15. कई सीधी रेखाएँ समतल को भागों में विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि इन भागों को सफेद रंग में रंगना संभव है

और काले रंग ताकि एक सामान्य सीमा खंड वाले आसन्न भाग हों भिन्न रंग(जैसा कि चित्र 3 में . के साथ)एन = 4)।

तस्वीर 3

समाधान। हम लाइनों की संख्या पर प्रेरण का उपयोग करते हैं। तो चलोपी - हमारे विमान को भागों में विभाजित करने वाली रेखाओं की संख्या,एन > 1.

प्रेरण का आधार। अगर केवल एक सीधा है(पी = 1), फिर यह समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को सफेद और दूसरे को काला रंग दिया जा सकता है, और समस्या का कथन सत्य है।

प्रेरण का चरण। आगमनात्मक चरण के प्रमाण को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, एक नई पंक्ति जोड़ने की प्रक्रिया पर विचार करें। यदि हम दूसरी रेखा खींचते हैं(पी= 2), तो हमें चार भाग मिलते हैं जिन्हें विपरीत कोनों को एक ही रंग में रंगकर वांछित तरीके से रंगा जा सकता है। आइए देखें कि यदि हम तीसरी सीधी रेखा खींचते हैं तो क्या होता है। यह कुछ "पुराने" भागों को विभाजित करेगा, जबकि सीमा के नए खंड दिखाई देंगे, जिसके दोनों ओर रंग समान है (चित्र 4)।

चावल। चार

आइए इस प्रकार आगे बढ़ें:एक तरफनई सीधी रेखा से हम रंग बदलेंगे - हम सफेद काला बना देंगे और इसके विपरीत; साथ ही, वे भाग जो इस सीधी रेखा के दूसरी ओर स्थित हैं, उन्हें दोबारा रंगा नहीं गया है (चित्र 5)। फिर यह नया रंगआवश्यक आवश्यकताओं को पूरा करेगा: एक ओर, सीधी रेखा पहले से ही वैकल्पिक थी (लेकिन विभिन्न रंगों के साथ), और दूसरी ओर, यह आवश्यक था। खींची गई रेखा से संबंधित एक सामान्य सीमा वाले भागों को अलग-अलग रंगों में रंगने के लिए, हमने इस खींची गई रेखा के केवल एक तरफ के हिस्सों को फिर से रंग दिया।

चित्र 5

आइए अब आगमनात्मक चरण को सिद्ध करें। मान लीजिए कि कुछ के लिएएन = केसमस्या का कथन मान्य है, अर्थात्, समतल के सभी भाग जिनमें इसे इन द्वारा विभाजित किया गया हैप्रतिसीधे, आप सफेद और काले रंग में पेंट कर सकते हैं ताकि पड़ोसी हिस्से अलग-अलग रंगों के हों। आइए हम साबित करें कि तब इस तरह के रंग मौजूद हैंपी= प्रति+ 1 सीधा। आइए हम दो सीधी रेखाओं से तीन में संक्रमण के मामले में इसी तरह आगे बढ़ें। चलो विमान पर खर्च करते हैंप्रतिप्रत्यक्ष। फिर, आगमनात्मक धारणा से, परिणामी "मानचित्र" को वांछित तरीके से रंगीन किया जा सकता है। चलो अब खर्च करते हैं(प्रति+ 1) - सीधी रेखा और इसके एक तरफ हम विपरीत रंगों में रंग बदलते हैं। तो अब(प्रति+ 1)-वीं सीधी रेखा हर जगह अलग-अलग रंगों के वर्गों को अलग करती है, जबकि "पुराने" भाग, जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, सही रंग में रहते हैं। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, समस्या हल हो जाती है।

एक कार्य16. रेगिस्तान के किनारे पर गैसोलीन और एक कार की बड़ी आपूर्ति होती है, जो एक पूर्ण गैस स्टेशन के साथ 50 किलोमीटर की यात्रा कर सकती है। असीमित मात्रा में, ऐसे कनस्तर होते हैं जिनमें आप कार के गैस टैंक से गैसोलीन निकाल सकते हैं और इसे रेगिस्तान में कहीं भी भंडारण के लिए छोड़ सकते हैं। सिद्ध कीजिए कि कार 50 किलोमीटर से अधिक किसी भी पूर्णांक दूरी की यात्रा कर सकती है। गैसोलीन के डिब्बे ले जाने की अनुमति नहीं है, खाली डिब्बे किसी भी मात्रा में ले जाया जा सकता है।

समाधान।आइए इसे प्रेरण द्वारा सिद्ध करने का प्रयास करेंपी,कि कार चला सकती हैपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर। परपी= 50 ज्ञात है। यह प्रेरण के चरण को पूरा करना और यह बताना है कि वहां कैसे पहुंचा जाएएन = के+ 1 किमी यदि ज्ञात होएन = केकिलोमीटर चलाया जा सकता है।

हालाँकि, यहाँ हमें एक कठिनाई का सामना करना पड़ता है: हमारे पास होने के बादप्रतिकिलोमीटर, गैसोलीन वापसी यात्रा (भंडारण का उल्लेख नहीं करने के लिए) के लिए भी पर्याप्त नहीं हो सकता है। और इस मामले में, साबित होने वाले दावे (आविष्कारक का विरोधाभास) को मजबूत करने का तरीका है। हम साबित करेंगे कि न केवल गाड़ी चलाना संभव हैपीकिलोमीटर, लेकिन दूरी पर एक बिंदु पर गैसोलीन की मनमाने ढंग से बड़ी आपूर्ति करने के लिएपीरेगिस्तान के किनारे से किलोमीटर की दूरी पर, परिवहन के अंत के बाद इस बिंदु पर होने के नाते।

प्रेरण का आधार।बता दें कि गैसोलीन की एक इकाई एक किलोमीटर की यात्रा को पूरा करने के लिए आवश्यक गैसोलीन की मात्रा है। फिर 1 किलोमीटर की यात्रा और पीछे के लिए दो यूनिट गैसोलीन की आवश्यकता होती है, इसलिए हम 48 यूनिट गैसोलीन को किनारे से एक किलोमीटर दूर भंडारण में छोड़ सकते हैं और अधिक के लिए वापस आ सकते हैं। इस प्रकार, भंडारण की कई यात्राओं के लिए, हम एक मनमाना आकार का स्टॉक बना सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। वहीं, 48 यूनिट स्टॉक बनाने के लिए हम 50 यूनिट पेट्रोल खर्च करते हैं।

प्रेरण का चरण।आइए मान लें कि कुछ दूरी परपी= प्रतिरेगिस्तान के किनारे से आप कितनी भी मात्रा में पेट्रोल जमा कर सकते हैं। आइए हम साबित करें कि तब कुछ दूरी पर एक भंडार बनाना संभव हैएन = के+ 1 किमी गैसोलीन की किसी भी पूर्व निर्धारित आपूर्ति के साथ और परिवहन के अंत में इस भंडारण पर हो। क्योंकि बिंदु परपी= प्रतिगैसोलीन की असीमित आपूर्ति होती है, फिर (प्रेरण आधार के अनुसार) हम बिंदु पर कई यात्राओं में कर सकते हैंएन = के+1 एक बिंदु बनाने के लिएपी= प्रति4- किसी भी आकार का 1 स्टॉक जो आपको चाहिए।

समस्या की स्थिति की तुलना में अधिक सामान्य कथन की सच्चाई अब गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से आती है।

निष्कर्ष

विशेष रूप से, गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन करने के बाद, मैंने गणित के इस क्षेत्र में अपने ज्ञान में सुधार किया, और यह भी सीखा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जो पहले मेरी शक्ति से परे थीं।

मूल रूप से, ये तार्किक और मनोरंजक कार्य थे, अर्थात। सिर्फ वही जो एक विज्ञान के रूप में गणित में रुचि बढ़ाते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करना एक मनोरंजक गतिविधि बन जाती है और अधिक से अधिक जिज्ञासु लोगों को गणितीय लेबिरिंथ की ओर आकर्षित कर सकती है। मेरी राय में, यह किसी भी विज्ञान का आधार है।

गणितीय प्रेरण की विधि का अध्ययन जारी रखते हुए, मैं यह सीखने की कोशिश करूंगा कि इसे न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीवन में ही समस्याओं को हल करने में कैसे लागू किया जाए।

साहित्य

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परिचय

मुख्य हिस्सा

1. पूर्ण और अपूर्ण प्रेरण

2. गणितीय प्रेरण का सिद्धांत

3. गणितीय प्रेरण की विधि

4. उदाहरणों का समाधान

5. समानताएं

6. संख्याओं का विभाजन

7. असमानताएं

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिचय

निगमनात्मक और आगमनात्मक विधियाँ किसी भी गणितीय शोध का आधार होती हैं। तर्क की निगमन विधि सामान्य से विशेष की ओर तर्क कर रही है, अर्थात। तर्क, जिसका प्रारंभिक बिंदु सामान्य परिणाम है, और अंतिम बिंदु विशेष परिणाम है। विशेष परिणामों से सामान्य परिणामों में जाने पर प्रेरण लागू किया जाता है, अर्थात। निगमन विधि के विपरीत है।

गणितीय प्रेरण की विधि की तुलना प्रगति से की जा सकती है। हम सबसे नीचे से शुरू करते हैं, तार्किक सोच के परिणामस्वरूप हम उच्चतम पर आते हैं। मनुष्य ने हमेशा प्रगति के लिए प्रयास किया है, अपने विचार को तार्किक रूप से विकसित करने की क्षमता के लिए, जिसका अर्थ है कि प्रकृति ने ही उसे स्वाभाविक रूप से सोचने के लिए नियत किया है।

यद्यपि गणितीय प्रेरण की पद्धति के अनुप्रयोग का क्षेत्र बढ़ा है, स्कूली पाठ्यक्रम में इसके लिए बहुत कम समय दिया जाता है। अच्छा बोलो क्या मनुष्य के लिए उपयोगीवे उन दो या तीन पाठों को लाएंगे जिनके लिए वह सिद्धांत के पांच शब्द सुनता है, पांच आदिम समस्याओं को हल करता है, और परिणामस्वरूप, कुछ भी नहीं जानने के लिए ए प्राप्त करता है।

लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण है - आगमनात्मक रूप से सोचने में सक्षम होना।

मुख्य हिस्सा

अपने मूल अर्थ में, "प्रेरण" शब्द तर्क पर लागू होता है जिसके द्वारा कई विशेष कथनों के आधार पर सामान्य निष्कर्ष प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार के तर्क करने की सबसे सरल विधि पूर्ण प्रेरण है। इस तरह के तर्क का एक उदाहरण यहां दिया गया है।

यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक प्राकृतिक सम संख्या n 4 . के भीतर< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ये नौ समानताएं दर्शाती हैं कि हमारे लिए ब्याज की प्रत्येक संख्या को वास्तव में दो अभाज्य पदों के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

इस प्रकार, पूर्ण प्रेरण यह है कि संभावित मामलों की एक सीमित संख्या में प्रत्येक में सामान्य कथन अलग से साबित होता है।

कभी-कभी समग्र परिणाम की भविष्यवाणी सभी पर नहीं, बल्कि पर्याप्त पर विचार करने के बाद की जा सकती है एक बड़ी संख्या मेंविशेष मामले (तथाकथित अपूर्ण प्रेरण)।

अपूर्ण प्रेरण द्वारा प्राप्त परिणाम, हालांकि, केवल एक परिकल्पना ही रहता है जब तक कि यह सभी विशेष मामलों को शामिल करते हुए सटीक गणितीय तर्क द्वारा सिद्ध नहीं किया जाता है। दूसरे शब्दों में, गणित में अपूर्ण प्रेरण को कठोर प्रमाण का एक वैध तरीका नहीं माना जाता है, लेकिन यह नए सत्य की खोज के लिए एक शक्तिशाली तरीका है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, पहले n क्रमागत विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना आवश्यक है। विशेष मामलों पर विचार करें:

1+3+5+7+9=25=5 2

इन कुछ विशेष मामलों पर विचार करने के बाद, निम्नलिखित सामान्य निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

वे। पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n 2 . है

बेशक, किया गया अवलोकन अभी तक उपरोक्त सूत्र की वैधता के प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सकता है।

पूर्ण प्रेरण में गणित में केवल सीमित अनुप्रयोग हैं। कई दिलचस्प गणितीय कथन अनंत संख्या में विशेष मामलों को कवर करते हैं, और हम अनंत मामलों के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। अधूरा प्रेरण अक्सर गलत परिणाम देता है।

कई मामलों में, इस तरह की कठिनाई से बाहर निकलने का तरीका तर्क की एक विशेष विधि का सहारा लेना है, जिसे गणितीय प्रेरण की विधि कहा जाता है। यह इस प्रकार है।

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए एक निश्चित कथन की वैधता को सिद्ध करना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, यह सिद्ध करना आवश्यक है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n 2 के बराबर है)। n के प्रत्येक मान के लिए इस कथन का प्रत्यक्ष सत्यापन असंभव है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए पहले n=1 के लिए इसकी वैधता की जाँच करें। तब यह सिद्ध हो जाता है कि k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए, n=k के लिए विचाराधीन कथन की वैधता का अर्थ n=k+1 के लिए भी इसकी वैधता है।

तब अभिकथन को सभी n के लिए सिद्ध माना जाता है। वास्तव में, कथन n=1 के लिए सत्य है। लेकिन फिर यह अगले नंबर n=1+1=2 के लिए भी मान्य है। n=2 के लिए अभिकथन की वैधता का तात्पर्य n=2+ . के लिए इसकी वैधता है

1=3. इसका तात्पर्य n=4, इत्यादि के लिए दिए गए कथन की वैधता से है। यह स्पष्ट है कि, अंत में, हम किसी भी प्राकृतिक संख्या n पर पहुंचेंगे। इसलिए, कथन किसी भी n के लिए सत्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम निम्नलिखित सामान्य सिद्धांत तैयार करते हैं।

गणितीय प्रेरण का सिद्धांत।

अगर वाक्य ए( एन ) प्राकृतिक संख्या के आधार पर एन , सच के लिए एन = 1 और इस तथ्य से कि यह सत्य है एन = के (कहाँ पे क -कोई प्राकृत संख्या), यह इस प्रकार है कि यह अगली संख्या के लिए भी सत्य है एन = के + 1 , फिर धारणा ए ( एन ) किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है एन .

कई मामलों में, एक निश्चित कथन की वैधता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल n>p के लिए साबित करना आवश्यक हो सकता है, जहां p एक निश्चित प्राकृतिक संख्या है। इस मामले में, गणितीय प्रेरण का सिद्धांत निम्नानुसार तैयार किया गया है। अगर वाक्य ए( एन ) के लिए सच है एन = पी और अगर ए ( क ) Þ लेकिन( कश्मीर+1) किसी के लिए भी कश्मीर>पी, फिर वाक्य ए ( एन) किसी के लिए सच एन>पी.

गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा प्रमाण निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, सिद्ध किए जाने वाले अभिकथन को n = 1 के लिए जाँचा जाता है, अर्थात, कथन A(1) की सत्यता स्थापित होती है। प्रमाण के इस भाग को प्रेरण आधार कहा जाता है। इसके बाद प्रूफ का एक भाग आता है जिसे इंडक्शन स्टेप कहा जाता है। इस भाग में, n=k+1 के लिए कथन की वैधता इस धारणा के तहत सिद्ध होती है कि कथन n=k (प्रेरक धारणा) के लिए सत्य है, अर्थात। सिद्ध कीजिए कि A(k)ÞA(k+1)।

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ।

हल: 1) हमारे पास n=1=1 2 है। फलस्वरूप,

कथन n=1 के लिए सत्य है, अर्थात्। ए (1) सच है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि A(k)ÞA(k+1)।

मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए कथन सत्य है, अर्थात्।

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 ।

आइए हम सिद्ध करें कि यह अभिकथन अगली प्राकृत संख्या n=k+1, अर्थात् के लिए भी सत्य है। क्या

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 ।

वास्तव में,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 ।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी nОN के लिए अनुमान A(n) सत्य है।

उदाहरण 2

साबित करो

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), जहां x¹1

हल: 1) n=1 के लिए हमें प्राप्त होता है

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

इसलिए, n=1 के लिए सूत्र सत्य है; ए (1) सच है।

2) मान लीजिए k कोई प्राकृत संख्या है और n=k के लिए सूत्र सत्य है, अर्थात्।

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1)।

आइए हम सिद्ध करें कि तब समानता

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

वास्तव में

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)।

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सूत्र किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है।

उदाहरण 3

सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 है।

हल: 1) n=3 के लिए, कथन सत्य है

और 3 सही है, क्योंकि एक त्रिभुज में

 ए 3 =3(3-3)/2=0 विकर्ण;

ए 2 ए (3) सच है।

2) मान लीजिए कि किसी में

उत्तल के-गॉन है-

ए 1 सिया ए के = के (के-3) / 2 विकर्ण।

A k आइए सिद्ध करें कि तब उत्तल में

(के+1)-गॉन नंबर

विकर्ण A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

मान लीजिए 1 2 А 3 …A k A k+1 -उत्तल (k+1)-कोण। आइए इसमें एक विकर्ण A 1 A k बनाते हैं। गिनती करने के लिए कुल गणनाइसके विकर्ण (k + 1)-gon, आपको k-gon A 1 A 2 ...A k में विकर्णों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, परिणामी संख्या में k-2 जोड़ें, अर्थात। शीर्ष A k+1 से निकलने वाले (k+1)-gon के विकर्णों की संख्या, और, इसके अलावा, विकर्ण A 1 A k को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

इस तरह,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

तो ए (के) Þ ए (के + 1)। गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के कारण, किसी भी उत्तल n-gon के लिए कथन सत्य है।

उदाहरण 4

सिद्ध कीजिए कि किसी भी n के लिए कथन सत्य है:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

हल: 1) मान लीजिए n=1, तब

एक्स 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

अत: n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि n=k

एक्स के \u003d के 2 \u003d के (के + 1) (2k + 1) / 6.

3) n=k+1 . के लिए इस कथन पर विचार करें

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

हमने n=k+1 के लिए समानता की वैधता को सिद्ध कर दिया है, इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के आधार पर, किसी भी प्राकृतिक n के लिए कथन सत्य है।

उदाहरण 5

सिद्ध करें कि किसी भी प्राकृतिक n के लिए समानता सत्य है:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4।

हल: 1) मान लीजिए n=1.

फिर एक्स 1 = 3 = 1 2 (1+1) 2 /4=1।

हम देखते हैं कि n=1 के लिए कथन सत्य है।

2) मान लें कि समानता n=k . के लिए सही है