टेलर श्रृंखला में विस्तार एक वर्गमूल है। शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार

यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले किसी अंतराल पर सभी ऑर्डर के व्युत्पन्न हैं, तो टेलर सूत्र इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ पे आर.एन.- तथाकथित अवशिष्ट पद या श्रृंखला का शेष, लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके इसका अनुमान लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x x और a के बीच स्थित है।

एफ (एक्स) =

बिंदु x 0 = . पर
पंक्ति तत्वों की संख्या 3 4 5 6 7
प्रारंभिक कार्यों के विस्तार का उपयोग करें e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

समारोह प्रवेश नियम:

अगर कुछ मूल्य के लिए एक्स आर.एन.→0 पर एन→∞, फिर सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फलन f(x) को विचार बिंदु x पर एक टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

a = 0 के लिए हमें एक श्रंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर = ∞
त्रिकोणमितीय फलन
, आर = ∞
, आर = ∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फलन actgx x की घातों में विस्तारित नहीं होता, क्योंकि सीटीजी0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणक कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.

उदाहरण 1। फ़ंक्शन को एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित करें एफ (एक्स) = 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों को खोजें एक्स=0
एफ (एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;
च"(एक्स) = 2एक्सएलएन2, एफ"( 0) = 2 0 एलएन2 = एलएन2;
च""(एक्स) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0) = 2 0 लघुगणक 2 2= लघुगणक 2 2;
…
एफ (एन) (एक्स) = 2एक्सएलएन एन 2, एफ (एन) ( 0) = 2 0 एलएन एन 2=ln एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ . के लिए मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण # 2। टेलर श्रृंखला को घातों में लिखिए ( एक्स+4) समारोह के लिए एफ (एक्स) =इ एक्स.
समाधान. फलन e . के अवकलज ज्ञात करना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
एफ (एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;
च"(एक्स)= ई एक्स, एफ"(-4) = ई -4 ;
च""(एक्स)= ई एक्स, एफ""(-4) = ई -4 ;
…
एफ (एन) (एक्स)= ई एक्स, एफ (एन) ( -4) = ई -4 .
इसलिए, फ़ंक्शन की वांछित टेलर श्रृंखला का रूप है:

यह विस्तार -∞ . के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण #3। फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ (एक्स)= एलएन एक्सडिग्री द्वारा एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(अर्थात एक टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स=1).
समाधान. हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पाते हैं।
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1)एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें वांछित टेलर श्रृंखला मिलती है:

डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण की सहायता से, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरण करती है।<1 . Действительно,

श्रृंखला अभिसरण करती है यदि ½ एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक प्रत्यावर्ती श्रेणी प्राप्त होती है जो लाइबनिज परीक्षण की शर्तों को संतुष्ट करती है। x = 0 के लिए फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र आधा खुला अंतराल (0; 2] है।

उदाहरण # 4। एक शक्ति श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. अपघटन (1) में हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:
, -∞

उदाहरण संख्या 5. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. हमारे पास है
सूत्र (4) का प्रयोग करके हम लिख सकते हैं:

सूत्र -x में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठक का विस्तार करने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पदों की कमी करने पर, हम प्राप्त करते हैं
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करती है।

टिप्पणी .
सूत्र (1)-(5) का उपयोग टेलर श्रृंखला में संगत कार्यों का विस्तार करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा) ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1) - (5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत कश्मीर ( हा) m, जहाँ k एक अचर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर को बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में टी के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि एक शक्ति श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के आसपास, दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखला प्राप्त नहीं की जा सकती हैं, जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाती हैं, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण संख्या 5ए। मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें, अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें।
समाधान। पहले हम 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , पाते हैं।
प्राथमिक करने के लिए:

भिन्न 3/(1-3x) को 3x के हर के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में देखा जा सकता है यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.

उदाहरण संख्या 6. टेलर श्रृंखला में बिंदु x = 3 के आस-पास फलन का विस्तार करें।
समाधान. टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके इस समस्या को पहले की तरह हल किया जा सकता है, जिसके लिए कार्यों के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजना आवश्यक है एक्स=3. हालांकि, मौजूदा अपघटन (5) का उपयोग करना आसान होगा:
=
परिणामी श्रृंखला या -3 . पर अभिसरण करती है

उदाहरण संख्या 7. फ़ंक्शन ln(x+2) की घातों (x -1) में एक टेलर श्रृंखला लिखें।
समाधान.


श्रृंखला , या -2 . पर अभिसरण करती है< x < 5.

उदाहरण संख्या 8. बिंदु x =2 के चारों ओर टेलर श्रृंखला में फलन f(x)=sin(πx/4) का विस्तार करें।
समाधान. आइए प्रतिस्थापन करें t=x-2:

विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के लिए / 4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी श्रृंखला -∞ . पर दिए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞इस तरह,
, (-∞

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी मदद से, दी गई सटीकता के साथ, आप जड़ों के मूल्यों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक, निश्चित समाकलन की गणना कर सकते हैं। श्रृंखला का उपयोग अवकल समीकरणों के एकीकरण में भी किया जाता है।
एक शक्ति श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, पहला एनसदस्य ( एनएक परिमित संख्या है), और शेष पदों को छोड़ दिया जाता है:

प्राप्त अनुमानित मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, छोड़े गए अवशिष्ट r n (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। इसके लिए, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

• यदि परिणामी श्रृंखला वर्ण-वैकल्पिक है, तो निम्न गुण का उपयोग किया जाता है: एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए जो लाइबनिज़ की शर्तों को पूरा करती है, शेष श्रृंखला का निरपेक्ष मान पहले छोड़े गए पद से अधिक नहीं होता है.
• यदि दी गई श्रृंखला निरंतर चिह्न की है, तो छोड़े गए पदों से बनी श्रृंखला की तुलना एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के साथ की जाती है।
• सामान्य स्थिति में, टेलर श्रृंखला के शेष का अनुमान लगाने के लिए, आप लैग्रेंज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: a एक्स ).

उदाहरण 1। 0.01 के भीतर ln(3) की गणना करें।
समाधान. आइए अपघटन का उपयोग करें, जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):

आइए देखें कि क्या हम विस्तार के पहले तीन पदों के बाद शेष को छोड़ सकते हैं, इसके लिए हम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करते हैं:

तो हम इस शेष को त्याग सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण # 2। निकटतम 0.0001 की गणना करें।
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 का निकटतम पूर्णांक घन है, इसलिए 130 की संख्या को 130=5 3 +5 के रूप में निरूपित करने की सलाह दी जाती है।



चूंकि लीबनिज़ परीक्षण को संतुष्ट करने वाली प्राप्त साइन-अल्टरनेटिंग श्रृंखला का चौथा कार्यकाल पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद की शर्तों को त्याग दिया जा सकता है।
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित इंटीग्रल की गणना नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग एक एंटीडेरिवेटिव खोजने के साथ जुड़ा हुआ है, अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि एक एंटीडेरिवेटिव खोजना संभव है, लेकिन अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य है। हालांकि, अगर एक शक्ति श्रृंखला में एकीकृत का विस्तार किया जाता है, और एकीकरण सीमा इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित होती है, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ अभिन्न की अनुमानित गणना संभव है।

उदाहरण #3। समाकल ∫ 0 1 4 sin (x) x से 10 -5 के भीतर परिकलित करें।
समाधान. तदनुरूपी अनिश्चित समाकल को प्राथमिक फलनों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात्। एक "असंभव अभिन्न" है। न्यूटन-लीबनिज सूत्र यहां लागू नहीं किया जा सकता है। आइए हम लगभग अभिन्न की गणना करें।
पाप के लिए शृंखला द्वारा पद को विभाजित करना एक्सपर एक्स, हम पाते हैं:

इस शृंखला के पद को पद के अनुसार एकीकृत करना (यह संभव है, क्योंकि एकीकरण की सीमाएँ इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं), हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि परिणामी श्रृंखला लाइबनिज़ की शर्तों को संतुष्ट करती है और दी गई सटीकता के साथ वांछित मूल्य प्राप्त करने के लिए पहले दो शब्दों का योग लेने के लिए पर्याप्त है।
इस प्रकार, हम पाते हैं
.

उदाहरण # 4। समाकल 0 1 4 e x 2 से 0.001 के भीतर परिकलित करें।
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेष को छोड़ सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, .

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, एक श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार के लिए समर्पित अनुभाग एक केंद्रीय स्थान रखता है।

इस प्रकार, समस्या उत्पन्न होती है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए ऐसी शक्ति श्रृंखला खोजने की आवश्यकता है

जो कुछ अंतराल पर अभिसरण करता है और इसका योग बराबर होता है
, वे।

= ..

इस कार्य को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन को पावर सीरीज़ में विस्तारित करने की समस्या।

किसी फलन को घात श्रेणी में विस्तारित करने के लिए एक आवश्यक शर्तइसकी भिन्नता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से निम्नानुसार है। यह शर्त, एक नियम के रूप में, उनकी परिभाषा के क्षेत्र में प्राथमिक कार्यों के लिए संतुष्ट है।

तो चलिए मान लेते हैं कि फंक्शन
किसी भी आदेश का व्युत्पन्न है। क्या इसे एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, यदि हां, तो इस श्रृंखला को कैसे खोजें? समस्या का दूसरा भाग हल करना आसान है, तो चलिए इसके साथ शुरू करते हैं।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन
एक बिंदु वाले अंतराल में परिवर्तित होने वाली शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ पे एक 0 ,एक 1 ,एक 2 ,...,एक पी ,... - अनिश्चित (अभी तक) गुणांक।

आइए हम समानता (*) के मान में डालते हैं एक्स = एक्स 0 , तब हमें मिलता है

.

हम पद द्वारा घात श्रृंखला (*) पद में अंतर करते हैं

= ..

और यहाँ डाल रहा हूँ एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं

.

अगले विभेदन के साथ, हमें श्रृंखला मिलती है

= ..

यह सोचते हैं एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ पे
.

बाद में पी- गुना विभेदन हमें मिलता है

अंतिम समानता में मानते हुए एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ पे

तो गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

जिसे एक पंक्ति (*) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

परिणामी श्रृंखला कहलाती है टेलर के पास समारोह के लिए
.

इस प्रकार, हमने यह स्थापित किया है कि यदि फ़ंक्शन को शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है (x - x 0 ), तो यह विस्तार अद्वितीय है और परिणामी श्रृंखला अनिवार्य रूप से एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है जिसमें बिंदु पर किसी भी क्रम के व्युत्पन्न होते हैं एक्स = एक्स 0 . लेकिन इसका अभी तक यह मतलब नहीं है कि फलन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिन्ह लगाया जा सकता है, अर्थात। कि श्रृंखला का योग मूल कार्य के बराबर है। सबसे पहले, ऐसी समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला अलग हो सकती है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल फ़ंक्शन के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2. टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के लिए पर्याप्त शर्तें

आइए एक बयान तैयार करें जिसकी मदद से बताई गई समस्या का समाधान हो जाएगा।

यदि समारोह
बिंदु x . के किसी पड़ोस में 0 तक के डेरिवेटिव हैं (एन+ 1)-वें क्रम समावेशी, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैसूत्र टेलर

कहाँ पेआर एन (एक्स)-टेलर सूत्र का अवशिष्ट पद - इसका रूप है (लैग्रेंज रूप)

कहाँ पे दूरसंचार विभागξ x और x . के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र के बीच अंतर है: टेलर सूत्र एक परिमित योग है, अर्थात। पी -निर्धारित अंक।

याद रखें कि श्रृंखला का योग एस(एक्स) आंशिक रकम के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस पी (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार किसी फंक्शन को टेलर श्रंखला में विस्तारित करने का अर्थ है ऐसी श्रृखंला खोजना जो किसी के लिए एक्सएक्स

हम टेलर सूत्र को इस रूप में लिखते हैं जहाँ

नोटिस जो
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को बदलें एफ(एक्स) बहुपद एस एन (एक्स).

यदि एक
, फिर
,वे। फ़ंक्शन एक टेलर श्रृंखला में फैलता है। इसके विपरीत, यदि
, फिर
.

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है एक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार के लिए मानदंड।

ताकि कुछ अंतराल में फलनएफ(x) एक टेलर श्रृंखला में फैलता है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस अंतराल पर
, कहाँ पेआर एन (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष भाग है।

तैयार किए गए मानदंड की सहायता से, कोई प्राप्त कर सकता है पर्याप्तएक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x . के कुछ पड़ोस 0 किसी फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के निरपेक्ष मान समान संख्या M . द्वारा सीमित होते हैं≥ 0, यानी

, टीइस पड़ोस में, फ़ंक्शन टेलर श्रृंखला में फैलता है।

ऊपर से यह निम्नानुसार है कलन विधिसमारोह विस्तार एफ(एक्स) एक टेलर श्रृंखला मेंबिंदु के आसपास एक्स 0 :

1. व्युत्पन्न कार्य ढूँढना एफ(एक्स):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (एन) (एक्स),…

2. हम बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों की गणना करते हैं एक्स 0

च (एक्स 0 ), एफ'(एक्स 0 ), एफ ”(x 0 ), एफ'" (एक्स 0 ), एफ (एन) (एक्स 0 ),…

3. हम औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला लिखते हैं और परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र पाते हैं।

4. हम पर्याप्त शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं, अर्थात्। जिसके लिए स्थापित करें एक्सअभिसरण क्षेत्र से, शेष पद आर एन (एक्स) शून्य पर जाता है
या
.

इस एल्गोरिथम के अनुसार टेलर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार को कहा जाता है परिभाषा के अनुसार टेलर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तारया प्रत्यक्ष अपघटन।

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्रों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में चित्रों के रूप में डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक तरीका खोज इंजन में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगा। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि आप लगातार अपनी साइट पर गणित के सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, तो मैं आपको मैथजेक्स का उपयोग करने की सलाह देता हूं, जो एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी है जो मैथएमएल, लाटेक्स, या एएससीआईआईमैथएमएल मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणित अंकन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक साधारण कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से जोड़ सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजेक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज करने की अनुमति देगी, और यदि किसी कारण से पैरेंट मैथजैक्स सर्वर अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह आपकी अपनी साइट को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहली विधि को चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसके लिए तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच तथाया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृति एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ इसके चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है।

उच्च गणित के छात्रों को इस बात की जानकारी होनी चाहिए कि हमें दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित कुछ शक्ति श्रृंखलाओं का योग एक निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित फलन है। प्रश्न उठता है: क्या यह दावा करना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) कुछ घात श्रेणी का योग है? अर्थात्, किन परिस्थितियों में फलन f(x) को घात श्रेणी द्वारा निरूपित किया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि फ़ंक्शन f(x) को घात श्रृंखला के पहले कुछ पदों के योग से, यानी बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करना लगभग संभव है। कुछ समस्याओं को हल करते समय एक सरल अभिव्यक्ति - एक बहुपद - द्वारा फ़ंक्शन का ऐसा प्रतिस्थापन भी सुविधाजनक होता है, अर्थात्: इंटीग्रल को हल करते समय, गणना करते समय, आदि।

यह साबित हो गया है कि कुछ फ़ंक्शन f(x) के लिए, जिसमें (n + 1) वें क्रम तक के डेरिवेटिव की गणना की जा सकती है, पिछले एक सहित, कुछ के पड़ोस (α - R; x 0 + R) में गणना की जा सकती है। बिंदु x = α सूत्र:

इस सूत्र का नाम प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है। पिछली श्रृंखला से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

वह नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार करना संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे ... ऑर्डर के डेरिवेटिव का निर्धारण करें।
2. गणना करें कि x=0 पर व्युत्पन्न क्या हैं।
3. इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला लिखें, और फिर इसके अभिसरण के अंतराल को निर्धारित करें।
4. अंतराल (-R;R) निर्धारित करें, जहां Maclaurin सूत्र का शेष भाग

आर एन (एक्स) -> 0 एन के लिए -> अनंत। यदि कोई मौजूद है, तो उसमें फ़ंक्शन f(x) मैकलॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

अब व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. तो, पहला f(x) = e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, इस तरह के फ़ंक्शन में बहुत अलग ऑर्डर के डेरिवेटिव होते हैं, और f (k) (x) \u003d e x, जहां k सब कुछ के बराबर होता है आइए हम x \u003d 0 को प्रतिस्थापित करें। हमें f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... पूर्वगामी के आधार पर, श्रृंखला e x इस तरह दिखेगी:

2. फलन f(x) = sin x के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला। तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x +) के अलावा डेरिवेटिव होंगे। 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), जहां k किसी भी प्राकृत संख्या के बराबर है। अर्थात्, सरल गणना करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि f(x) = sin x के लिए श्रंखला इस प्रकार दिखाई देगी:

3. अब आइए फलन f(x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। इसमें सभी अज्ञात के लिए मनमानी क्रम का व्युत्पन्न है, और |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के अभ्यास का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।

1. f-ii f (x) = ln (1 + x) के लिए पहली पंक्ति होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, हमें f (x) = ln (1 + x) दिया गया है, हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके एक श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन के लिए, मैकलॉरिन श्रृंखला को और अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हमें ऐसे नमूने के f (x) = ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला मिलती है:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f (x) \u003d arctg x के लिए एक श्रृंखला होगी। अंतराल [-1; 1] से संबंधित x के लिए, विस्तार मान्य है:

बस इतना ही। इस लेख में, उच्च गणित में, विशेष रूप से, आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार किया गया था।

व्यावहारिक कौशल के प्रशिक्षण के लिए साइट पर टेलर, मैकलॉरिन और लॉरेंट की एक श्रृंखला में एक समारोह का अपघटन। किसी फ़ंक्शन का यह श्रृंखला विस्तार गणितज्ञों को किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में किसी बिंदु पर अनुमानित मूल्य का अनुमान लगाने का एक विचार देता है। ब्रेडिस तालिका का उपयोग करने की तुलना में ऐसे फ़ंक्शन मान की गणना करना बहुत आसान है, जो कंप्यूटिंग के युग में इतना पुराना है। किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का अर्थ है इस श्रृंखला के रैखिक कार्यों के सामने गुणांक की गणना करना और इसे सही रूप में लिखना। छात्र इन दो श्रृंखलाओं को भ्रमित करते हैं, यह नहीं समझते कि सामान्य मामला क्या है और दूसरे का विशेष मामला क्या है। हम आपको एक बार और सभी के लिए याद दिलाते हैं, मैकलॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, अर्थात यह टेलर श्रृंखला है, लेकिन बिंदु x = 0 पर। ज्ञात कार्यों के विस्तार के सभी संक्षिप्त रिकॉर्ड, जैसे कि ई ^x, sin(x), Cos(x) और अन्य, ये टेलर श्रृंखला में विस्तार हैं, लेकिन तर्क के लिए बिंदु 0 पर हैं। एक जटिल तर्क के कार्यों के लिए, लॉरेंट श्रृंखला TFKT में सबसे आम समस्या है, क्योंकि यह दो-तरफा अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। यह दो पंक्तियों का योग है। हमारा सुझाव है कि आप सीधे साइट साइट पर अपघटन का एक उदाहरण देखें, किसी भी संख्या के साथ "उदाहरण" पर क्लिक करके और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करके ऐसा करना बहुत आसान है। यह एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के इस विस्तार के लिए है कि प्रमुख श्रृंखला जुड़ी हुई है, जो एक निश्चित क्षेत्र में मूल कार्य को कोर्डिनेट अक्ष के साथ सीमित करती है, यदि चर एब्सिस्सा क्षेत्र से संबंधित है। वेक्टर विश्लेषण गणित में एक और दिलचस्प अनुशासन के साथ तुलना में आता है। चूंकि प्रत्येक शब्द की जांच की जानी चाहिए, इसलिए प्रक्रिया के लिए बहुत समय की आवश्यकता होती है। किसी भी टेलर श्रृंखला को x0 को शून्य से बदलकर मैकलॉरिन श्रृंखला के साथ जोड़ा जा सकता है, लेकिन मैकलॉरिन श्रृंखला के लिए, टेलर श्रृंखला का उल्टा प्रतिनिधित्व कभी-कभी स्पष्ट नहीं होता है। चाहे इसे अपने शुद्ध रूप में करने की आवश्यकता न हो, यह सामान्य आत्म-विकास के लिए दिलचस्प है। प्रत्येक लॉरेंट श्रृंखला जेड-ए की पूर्णांक शक्तियों में दो-तरफा अनंत शक्ति श्रृंखला से मेल खाती है, दूसरे शब्दों में, एक ही टेलर प्रकार की एक श्रृंखला, लेकिन गुणांक की गणना में थोड़ा अलग है। हम कई सैद्धांतिक गणनाओं के बाद, थोड़ी देर बाद लॉरेंट श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में बात करेंगे। पिछली शताब्दी की तरह, एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का चरणबद्ध विस्तार शायद ही केवल एक सामान्य हर के शब्दों को कम करके प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि हर में कार्य गैर-रैखिक हैं। कार्यात्मक मूल्य की अनुमानित गणना के लिए समस्याओं के निर्माण की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बारे में सोचें कि जब टेलर श्रृंखला का तर्क एक रैखिक चर है, तो विस्तार कई चरणों में होता है, लेकिन एक पूरी तरह से अलग तस्वीर, जब एक जटिल या गैर-रेखीय फ़ंक्शन विस्तारित फ़ंक्शन के तर्क के रूप में कार्य करता है, तो एक शक्ति श्रृंखला में इस तरह के एक समारोह का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया स्पष्ट है, क्योंकि, इस तरह, गणना करना आसान है, यद्यपि अनुमानित, लेकिन परिभाषा के क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर मूल्य, न्यूनतम त्रुटि के साथ आगे की गणना पर प्रभाव। यह मैकलॉरिन श्रृंखला पर भी लागू होता है। जब शून्य बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक हो। हालाँकि, लॉरेंट श्रृंखला को यहाँ काल्पनिक इकाइयों के साथ एक समतल विस्तार द्वारा दर्शाया गया है। साथ ही, सफलता के बिना समग्र प्रक्रिया के दौरान समस्या का सही समाधान नहीं होगा। गणित में, यह दृष्टिकोण ज्ञात नहीं है, लेकिन यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है। नतीजतन, आप तथाकथित बिंदुवार उपसमुच्चय के निष्कर्ष पर आ सकते हैं, और एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार में, आपको इस प्रक्रिया के लिए ज्ञात विधियों को लागू करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि डेरिवेटिव के सिद्धांत को लागू करना। एक बार फिर हम उस शिक्षक की सत्यता के प्रति आश्वस्त हैं, जिसने कम्प्यूटेशनल गणना के बाद के परिणामों के बारे में अपनी धारणाएँ बनाईं। आइए ध्यान दें कि गणित के सभी सिद्धांतों के अनुसार प्राप्त टेलर श्रृंखला मौजूद है और संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित है, हालांकि, वेबसाइट सेवा के प्रिय उपयोगकर्ता, मूल फ़ंक्शन के रूप को मत भूलना, क्योंकि यह बदल सकता है कि प्रारंभ में फ़ंक्शन के डोमेन को सेट करना आवश्यक है, अर्थात, उन बिंदुओं को लिखना और बाहर करना, जिन पर फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के डोमेन में परिभाषित नहीं है। तो बोलने के लिए, यह समस्या को हल करने में आपकी तेज़ी दिखाएगा। तर्क के शून्य मान के साथ मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण जो कहा गया है उसका अपवाद नहीं होगा। उसी समय, किसी ने फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने की प्रक्रिया को रद्द नहीं किया, और आपको इस गणितीय क्रिया को पूरी गंभीरता के साथ करना चाहिए। यदि लॉरेंट श्रृंखला में मुख्य भाग होता है, तो पैरामीटर "ए" को एक पृथक एकवचन बिंदु कहा जाएगा, और लॉरेंट श्रृंखला को रिंग में विस्तारित किया जाएगा - यह इसके भागों के अभिसरण के क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है, जिसमें से संबंधित प्रमेय का पालन करेंगे। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में एक अनुभवहीन छात्र को लग सकता है। केवल टेलर श्रृंखला का अध्ययन करने के बाद, कोई भी लॉरेंट श्रृंखला को आसानी से समझ सकता है - संख्याओं के स्थान के विस्तार के लिए एक सामान्यीकृत मामला। किसी फ़ंक्शन का किसी श्रेणी में विस्तार केवल फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु पर ही किया जा सकता है। ऐसे कार्यों के गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, उदाहरण के लिए, आवधिकता या अनंत भिन्नता। हम यह भी सुझाव देते हैं कि आप टेलर श्रृंखला के प्राथमिक कार्यों में तैयार किए गए विस्तार की तालिका का उपयोग करें, क्योंकि एक फ़ंक्शन को दर्जनों विभिन्न शक्ति श्रृंखलाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के उपयोग से देखा जा सकता है। मैकलॉरिन की ऑनलाइन श्रृंखला यह निर्धारित करने के लिए पहले से कहीं अधिक आसान है कि क्या आप अद्वितीय साइट सेवा का उपयोग करते हैं, आपको बस सही लिखित फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है और आपको प्रस्तुत उत्तर कुछ ही सेकंड में प्राप्त होगा, यह सटीक और एक मानक लिखित रूप में गारंटीकृत होगा . आप शिक्षक को वितरण के लिए परिणाम को तुरंत एक साफ प्रति में फिर से लिख सकते हैं। यह सही होगा कि पहले रिंगों में विचाराधीन फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता का निर्धारण किया जाए, और फिर स्पष्ट रूप से कहा जाए कि इसे ऐसे सभी रिंगों में लॉरेंट श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण क्षण नकारात्मक डिग्री वाले लॉरेंट श्रृंखला के सदस्यों की दृष्टि खोना नहीं है। इस पर जितना हो सके ध्यान दें। किसी फ़ंक्शन के पूर्णांक घातों में एक श्रृंखला में विस्तार पर लॉरेंट के प्रमेय का अच्छा उपयोग करें।