हाथ से वर्गमूल। इस विषय पर शोध कार्य: "बिना कैलकुलेटर के बड़ी संख्या में वर्गमूल निकालना"

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, हमें बड़ी संख्या में सामना करना पड़ता है जिससे हमें निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल . कई छात्र तय करते हैं कि यह एक गलती है और पूरे उदाहरण को हल करना शुरू करते हैं। किसी भी हालत में ऐसा नहीं करना चाहिए! इसके दो कारण हैं:

1. से जड़ें बड़ी संख्यावास्तव में कार्यों में होता है। विशेष रूप से पाठ में;
2. एक एल्गोरिथ्म है जिसके द्वारा इन जड़ों को लगभग मौखिक रूप से माना जाता है।

हम आज इस एल्गोरिथम पर विचार करेंगे। शायद कुछ बातें आपको समझ से परे लगेंगी। लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान दें, तो आप पाएंगे सबसे शक्तिशाली हथियारके खिलाफ वर्गमूल .

तो एल्गोरिथ्म:

1. वांछित रूट को ऊपर और नीचे 10 के गुणकों तक सीमित करें। इस प्रकार, हम खोज श्रेणी को 10 संख्याओं तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से उन संख्याओं को हटा दें जो निश्चित रूप से मूल नहीं हो सकतीं। नतीजतन, 1-2 नंबर रहेंगे;
3. इन 1-2 नंबरों को स्क्वायर करें। उनमें से जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर है, वह मूल होगा।

इस एल्गोरिथम को लागू करने से पहले व्यवहार में काम करता है, आइए प्रत्येक व्यक्तिगत चरण को देखें।

जड़ें बाधा

सबसे पहले हमें यह पता लगाना होगा कि हमारा मूल किन संख्याओं के बीच स्थित है। यह अत्यधिक वांछनीय है कि संख्याएँ दस की गुणज हों:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ये नंबर हमें क्या देते हैं? यह आसान है: हमें सीमाएं मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1296 लें। यह 900 और 1600 के बीच है। इसलिए, इसकी जड़ 30 से कम और 40 से अधिक नहीं हो सकती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ऐसा ही किसी अन्य संख्या के साथ है जिससे आप वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इस प्रकार, एक समझ से बाहर की संख्या के बजाय, हमें एक बहुत विशिष्ट श्रेणी मिलती है जिसमें मूल मूल निहित होता है। खोज के दायरे को और कम करने के लिए, दूसरे चरण पर जाएँ।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्याओं का उन्मूलन

तो, हमारे पास 10 नंबर हैं - रूट के लिए उम्मीदवार। एक कॉलम में जटिल सोच और गुणा के बिना, हमने उन्हें बहुत जल्दी प्राप्त किया। आगे चलने का समय आ गया है।

मानो या न मानो, अब हम उम्मीदवारों की संख्या को घटाकर दो कर देंगे - और फिर बिना किसी जटिल गणना के! विशेष नियम को जान लेना ही पर्याप्त है। यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक केवल अंतिम अंक पर निर्भर करता है मूल संख्या.

दूसरे शब्दों में, वर्ग के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है - और हम तुरंत समझ जाएंगे कि मूल संख्या कहां समाप्त होती है।

केवल 10 अंक हैं जो अंतिम स्थान पर हो सकते हैं। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि चुकता होने पर वे क्या बन जाते हैं। तालिका पर एक नज़र डालें:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

यह तालिका जड़ की गणना की दिशा में एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पाँचों के सापेक्ष सममित निकलीं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मामलों में अंतिम अंक समान है। और इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 की जड़ अनिवार्य रूप से 2 या 8 में समाप्त होती है। दूसरी ओर, हम पिछले पैराग्राफ से प्रतिबंध को याद करते हैं। हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

लाल वर्ग दिखाते हैं कि हम अभी तक इस आंकड़े को नहीं जानते हैं। लेकिन आखिर मूल 50 और 60 के बीच होता है, जिस पर 2 और 8 में समाप्त होने वाली केवल दो संख्याएँ होती हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बस इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़े! और यह सबसे कठिन स्थिति में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0 हो सकता है। और फिर जड़ों के लिए एकमात्र उम्मीदवार रहेगा!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएं शेष हैं। आप कैसे जानते हैं कि कौन सी जड़ है? उत्तर स्पष्ट है: दोनों संख्याओं का वर्ग करें। जो चुकता करेगा वह मूल संख्या देगा, और वह मूल होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 3364 के लिए, हमें दो उम्मीदवार संख्याएँ मिलीं: 52 और 58। आइए उनका वर्ग करें:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364।

बस इतना ही! यह पता चला कि जड़ 58 है! उसी समय, गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने योग और अंतर के वर्गों के सूत्र का उपयोग किया। इसके लिए धन्यवाद, आपको एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की भी आवश्यकता नहीं है! यह गणना के अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

रूट गणना उदाहरण

सिद्धांत अच्छा है, बिल्कुल। लेकिन आइए व्यवहार में इसका परीक्षण करें।

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

सबसे पहले, आइए जानें कि किन नंबरों के बीच 576 नंबर आता है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब आखिरी नंबर पर नजर डालते हैं। यह 6 के बराबर है। यह कब होता है? केवल यदि मूल 4 या 6 में समाप्त होता है। हमें दो संख्याएँ प्राप्त होती हैं:

यह प्रत्येक संख्या का वर्ग करने और मूल के साथ तुलना करने के लिए बनी हुई है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

उत्कृष्ट! पहला वर्ग मूल संख्या के बराबर निकला। तो यह जड़ है।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

1369 → 9;
33; 37.

आइए इसे चौकोर करें:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369।

यहाँ उत्तर है: 37।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

2704 → 4;
52; 58.

आइए इसे चौकोर करें:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

हमें उत्तर मिला: 52. दूसरी संख्या को अब चुकता करने की आवश्यकता नहीं होगी।

एक कार्य। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद, केवल एक विकल्प रहता है: 65. यह वांछित जड़ है। लेकिन आइए अभी भी इसे वर्गाकार करें और जांचें:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

सबकुछ सही है। हम उत्तर लिखते हैं।

निष्कर्ष

काश, बेहतर नहीं। आइए कारणों पर एक नजर डालते हैं। उनमें से दो:

• किसी भी सामान्य गणित परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग करना मना है, चाहे वह जीआईए हो या एकीकृत राज्य परीक्षा। और कक्षा में कैलकुलेटर ले जाने के लिए, उन्हें आसानी से परीक्षा से बाहर किया जा सकता है।
• बेवकूफ अमेरिकियों की तरह मत बनो। जो जड़ों की तरह नहीं हैं - वे दो हैं अभाज्य सँख्यागुना नहीं कर सकता। और भिन्नों को देखते ही, वे आम तौर पर उन्मादी हो जाते हैं।

एक वर्गमूल क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ हर क्रिया के लिए प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। जोड़ है और घटाव है। गुणा है और विभाजन है। वहाँ वर्ग है ... तो वहाँ भी है वर्गमूल निकालना!बस इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल लेना) गणित में इस आइकन द्वारा दर्शाया गया है:

आइकन को ही कहा जाता है सुंदर शब्द "मौलिक".

जड़ कैसे निकालें?विचार करना बेहतर है उदाहरण.

9 का वर्गमूल क्या है? और कौन सी संख्या का वर्ग हमें 9 देगा? 3 चुकता हमें 9 देता है! वे:

शून्य का वर्गमूल क्या होता है? कोई बात नहीं! चुकता शून्य क्या संख्या देता है? हाँ, वह स्वयं शून्य देता है! माध्यम:

पकड़ा गया एक वर्गमूल क्या है?तब हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (अव्यवस्था में): 6; एक; चार; 9; 5.

निर्णय लिया? सच में, यह बहुत आसान है!

लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?

एक व्यक्ति तरसने लगता है ... वह जड़ों की सादगी और हल्केपन में विश्वास नहीं करता है। हालांकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय एक व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया है। फिर ये सनक टेस्ट और परीक्षा का बेरहमी से बदला लेती हैं...

बिंदु एक। जड़ों को नजर से पहचानना चाहिए!

49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! आपको कैसे पता चला कि सात थे? सात का वर्ग और 49 मिला? सही ढंग से! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें उल्टा ऑपरेशन करना था - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक सकते हैं ...

इसमें कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. बराबरीकोई भी संख्या बिना किसी समस्या के संभव है। एक कॉलम में संख्या को अपने आप से गुणा करें - और बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और परेशानी मुक्त तकनीक नहीं है। के लिये उत्तरदयी होना उठानाउत्तर दें और इसे हिट बाय स्क्वेरिंग के लिए जांचें।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - एक उत्तर चुनना - बहुत सरल है यदि आप याद करनालोकप्रिय संख्याओं के वर्ग। गुणन तालिका की तरह। यदि, मान लें, आपको 4 को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है - आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, है ना? उत्तर तुरंत 24 आता है। हालाँकि, सभी के पास यह नहीं है, हाँ ...

जड़ों के साथ स्वतंत्र और सफल कार्य के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है। इसके अलावा, वहांतथा पीछे।वे। आप दोनों को आसानी से नाम देने में सक्षम होना चाहिए, कहते हैं, 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। यह उदाहरणों के साथ बहुत मदद करेगा। दूसरा, निर्णय लें और ज्यादा उदाहरण. वर्गों की तालिका को याद रखना बहुत अच्छा है।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन के लिए। नहीं तो परीक्षा के दौरान आप बेरहमी से धीमे हो जाएंगे...

इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है कि यह समझ में आता है। अब आइए जानें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।

बिंदु दो। रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!

आप किन संख्याओं से वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, लगभग कोई भी। यह समझना आसान है क्या यह निषिद्ध हैउन्हें निकालें।

आइए इस रूट की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, आपको एक संख्या चुननी होगी जो चुकता हमें -4 देगा। हम चुनते हैं।

क्या नहीं चुना गया है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 फिर से +4 देता है! बस... ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या देगी! भले ही मैं संख्या जानता हूं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा।) कॉलेज जाओ और खुद पता लगाओ।

यही कहानी किसी भी नेगेटिव नंबर की होगी। इसलिए निष्कर्ष:

एक व्यंजक जिसमें एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। जैसा कि शून्य से विभाजन के रूप में निषिद्ध है। इस तथ्य को ध्यान में रखें!या, दूसरे शब्दों में:

आप ऋणात्मक संख्याओं से वर्गमूल नहीं निकाल सकते!

लेकिन बाकी सब - आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गणना करना संभव है

पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। भिन्न उठाओ, लेकिन वर्ग बनाओ ... चिंता मत करो। जब हम जड़ों के गुणों के बारे में बात करते हैं, तो ऐसे उदाहरणों को उसी वर्ग तालिका में घटा दिया जाएगा। जीवन आसान हो जाएगा!

ठीक अंश। लेकिन हम अभी भी इस तरह के भावों में आते हैं:

कोई बात नहीं। सब एक जैसे। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग करने पर हमें एक ड्यूस प्राप्त होता है। केवल संख्या पूरी तरह से असमान है ... यहाँ यह है:

दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ वाले व्यंजक कहलाते हैं तर्कहीन. यह स्पष्ट है कि इस तरह के अनंत अंश को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

यदि, उदाहरण को हल करते समय, आपको कुछ ऐसा मिलता है जो निकालने योग्य नहीं है, जैसे:

फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यह उत्तर होगा।

आपको स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है कि आइकन के नीचे क्या है

बेशक, अगर संख्या की जड़ ली जाती है चिकना, आपको ऐसा करना चाहिए। उदाहरण के लिए प्रपत्र में कार्य का उत्तर

काफी पूरा जवाब।

और, ज़ाहिर है, आपको स्मृति से अनुमानित मूल्यों को जानने की जरूरत है:

यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।

बिंदु तीन। सबसे शातिर।

जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम सिर्फ इस सनक द्वारा लाया जाता है। यह वह है जो आत्म-संदेह देता है ... चलो इस सनक से ठीक से निपटें!

शुरू करने के लिए, हम फिर से उनके चारों का वर्गमूल निकालते हैं। क्या, क्या मैं तुम्हें पहले ही इस जड़ से मिला चुका हूँ?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

4 के वर्ग में क्या अंक देगा? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ...

सही। दो। लेकिन घटा दो 4 चुकता देगा ... इस बीच, उत्तर

सही और उत्तर

घोर गलती. इस प्रकार सं.

तो सौदा क्या है?

दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार . के वर्गमूल की परिभाषा के तहत घटा दोकाफी उपयुक्त ... यह भी चार का वर्गमूल है।

परंतु! गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सभी सकारात्मक। यहां तक ​​कि एक विशेष शब्द गढ़ा गया था: संख्या से एक- ये है गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है एक. अंकगणितीय वर्गमूल निकालने पर नकारात्मक परिणाम आसानी से छोड़ दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल - अंकगणित. हालांकि इसका विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया गया है।

ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों के साथ खिलवाड़ न करना और भी बेहतर है... यह अभी भ्रम की स्थिति नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):

यह उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक संक्षिप्त संकेतन है दोउत्तर:

रुक रुक! थोड़ा ऊपर मैंने लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! विकार। यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए इस समस्या को हल करें। आइए उत्तर इस प्रकार लिखें (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!):

कोष्ठक उत्तर के सार को नहीं बदलते हैं। मैं बस कोष्ठक के साथ अलग हो गया लक्षणसे जड़. अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि मूल स्वयं (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आखिरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें लिखना चाहिए सब x, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम देगा। पांच (सकारात्मक!) की जड़ हमारे प्लस और माइनस दोनों के समीकरण के लिए उपयुक्त है।

इस प्रकार सं. अगर तुम बस वर्गमूल लेंआप किसी भी चीज़ से हमेशाप्राप्त एक गैर नकारात्मकनतीजा। उदाहरण के लिए:

क्योंकि यह - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप कुछ द्विघात समीकरण हल करते हैं जैसे:

फिर हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यह एक समीकरण का हल है।

आशा, वर्गमूल क्या हैआपने अपने अंक के साथ इसे सही पाया। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों का क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और सनक और पानी के नीचे के बक्से क्या हैं ... क्षमा करें, पत्थर!)

यह सब - अगले पाठों में।

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कैलकुलेटर के आगमन से पहले, छात्रों और शिक्षकों ने हाथ से वर्गमूल की गणना की। किसी संख्या के वर्गमूल की मैन्युअल रूप से गणना करने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रदान करते हैं, अन्य सटीक उत्तर देते हैं।

कदम

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

मूल संख्या को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं।मूल संख्या के आधार पर, आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे पूरा वर्गमूल लिया जा सकता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, क्योंकि 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड हैं। कारक हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूल संख्या को वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 (मैन्युअल रूप से) के वर्गमूल की गणना करें। पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, जो 25 से विभाज्य है - यह एक वर्ग संख्या है। 400 को 25 से भाग देने पर आपको 16 प्राप्त होता है। 16 संख्या भी एक वर्ग संख्या होती है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400.
• इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 400 = √(25 x 16)।

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात (a x b) = a x b। इस नियम का प्रयोग करें और प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का वर्गमूल लें।
     • (25 x 16)
     • √25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूलांक दो वर्ग गुणनखंडों में कारक नहीं है (और यह ज्यादातर मामलों में होता है), तो आप पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर नहीं खोज पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक संख्या जिससे पूरा वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेंगे और आप साधारण गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3. समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो, जड़ के मूल्य का मूल्यांकन करें।अब आप मूल संख्या के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों ओर) वर्ग संख्याओं के मूल के मानों के साथ तुलना करके मूल के मान (अनुमानित मान ज्ञात करें) का मूल्यांकन कर सकते हैं। आपको मूल का मान दशमलव भिन्न के रूप में मिलेगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मूल संख्या 3 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) हैं। इस प्रकार, 3 का मान 1 और 2 के बीच है। चूँकि 3 का मान संभवतः 1 से 2 के अधिक निकट है, हमारा अनुमान है: 3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिह्न पर संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 \u003d 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणना करते हैं, तो आपको 12.13 मिलता है, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्या के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, 35 पर विचार करें। मूल संख्या 35 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) हैं। इस प्रकार, 35 का मान 5 और 6 के बीच होता है। चूँकि 35 का मान 5 की तुलना में 6 के अधिक निकट है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि 35 इससे थोड़ा कम है। 6. कैलकुलेटर से सत्यापन हमें उत्तर देता है 5.92 - हम सही थे।

4. दूसरा तरीका यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाए।अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। अभाज्य गुणनखंडों को एक पंक्ति में लिखिए और समान गुणनखंडों के युग्म ज्ञात कीजिए। ऐसे कारकों को जड़ के चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं: 45 \u003d 9 x 5, और 9 \u003d 3 x 3. इस प्रकार, 45 \u003d √ (3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न से निकाला जा सकता है: 45 = 3√5। अब हम 5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 88।
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11)। आपको तीन गुणक 2s मिले हैं; उनमें से कुछ ले लो और उन्हें जड़ के चिन्ह से बाहर निकालो।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x 11। अब हम √2 और 11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और अनुमानित उत्तर ढूंढ सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना

   स्तंभ विभाजन का उपयोग करना

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और एक सटीक उत्तर देती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करते हुए एक लंबवत रेखा खींचें, और फिर दाएं और शीट के ऊपरी किनारे से थोड़ा नीचे, लंबवत रेखा पर खींचें क्षैतिज रेखा. अब मूल संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से शुरू करते हुए संख्याओं के जोड़े में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा जाता है।

      • उदाहरण के लिए, आइए संख्या 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचिए (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और ऊपर बाईं ओर संख्या को "7 80, 14" के रूप में लिखें। यह सामान्य है कि बाईं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। उत्तर (दिए गए नंबर का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखा होगा।

   2. बाईं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एक संख्या) को देखते हुए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं के युग्म (या एक संख्या) से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एक संख्या) के सबसे निकटतम, लेकिन उससे कम है, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल लें; आपको नंबर n मिलेगा। ऊपर दाईं ओर पाया गया n लिखें, और नीचे दाईं ओर वर्ग n लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 नंबर होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. संख्या n का वर्ग घटाएं जो आपको बाईं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एक संख्या) से मिला है।सबट्रेंड (संख्या n का वर्ग) के तहत गणना का परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाकर 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं के दूसरे जोड़े को नीचे ले जाकर पिछले चरण में प्राप्त मान के आगे लिख दें।फिर ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं की दूसरी जोड़ी "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर से संख्या को दोगुना करने पर 4 मिलता है। नीचे दाईं ओर से "4_×_=" लिखें।

   5. दाईं ओर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

      • हमारे मामले में, यदि डैश के बजाय हम संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 \u003d 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 ठीक है। डैश के बजाय 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 \u003d 329। ऊपर दाईं ओर से 7 लिखें - यह संख्या 780.14 के वांछित वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को वर्तमान संख्या के नीचे बाईं ओर लिखें, अंतर ज्ञात करें और घटाए गए के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 329 को 380 से घटाएँ, जो 51 के बराबर है।

   7. चरण 4 दोहराएं।यदि संख्याओं का ध्वस्त युग्म मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक (अल्पविराम) को ऊपर दाईं ओर से वांछित वर्गमूल में रखें। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे ले जाएं। ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर परिणाम को "_×_=" संलग्न करके लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, ध्वस्त की जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपर दाईं ओर से आवश्यक वर्गमूल में रखें। 14 को ध्वस्त करें और नीचे बाईं ओर लिखें। ऊपर दाईं ओर डबल (27) 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_×_=" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएं।इसे खोजें सबसे बड़ी संख्यादाईं ओर डैश के स्थान पर (डैश के बजाय, आपको उसी संख्या को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन परिणाम बाईं ओर की वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर वर्तमान संख्या से गुणा का परिणाम घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए और अधिक दशमलव स्थान खोजने की आवश्यकता है, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या के आगे शून्य का एक जोड़ा लिखें और चरण 4, 5 और 6 दोहराएं। दशमलव स्थान)।

   प्रक्रिया को समझना

   आत्मसात करने के लिए यह विधिउस संख्या के बारे में सोचें जिसका वर्गमूल आप एक वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में खोजना चाहते हैं। इस स्थिति में, आप ऐसे वर्ग की भुजा L की लंबाई की तलाश करेंगे। L का मान परिकलित करें जिसके लिए L² = S।

   अपने उत्तर में प्रत्येक अंक के लिए एक अक्षर दर्ज करें।एल (इच्छित वर्गमूल) के मान में पहला अंक ए द्वारा निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा और इसी तरह।

   प्रमुख अंकों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें। S a द्वारा मान S में अंकों की पहली जोड़ी, S b द्वारा अंकों की दूसरी जोड़ी, और इसी तरह से निरूपित करें।

   इस विधि का दीर्घ विभाजन से संबंध स्पष्ट कीजिए।जैसा कि डिवीज़न ऑपरेशन में होता है, जहां हर बार हम केवल विभाज्य संख्या के अगले अंक में रुचि रखते हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अंकों की एक जोड़ी के साथ क्रम में काम करते हैं (वर्गमूल मान में अगला एक अंक प्राप्त करने के लिए) .

   1. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंक Sa के पहले जोड़े पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस मामले में, वर्गमूल के मांगे गए मूल्य का पहला अंक ए ऐसा अंक होगा, जिसका वर्ग एस ए से कम या बराबर है (अर्थात, हम ऐसे ए की तलाश कर रहे हैं जो असमानता ए को संतुष्ट करता है। सा< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • मान लें कि हमें 88962 को 7 से भाग देना है; यहां पहला चरण समान होगा: हम विभाज्य संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर का मान मिलता है। यानी, हम खोज रहे हैं एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. मानसिक रूप से उस वर्ग की कल्पना करें जिसका क्षेत्रफल आपको गणना करने की आवश्यकता है।आप L की तलाश कर रहे हैं, यानी एक वर्ग की भुजा की लंबाई जिसका क्षेत्रफल S है। A, B, C संख्या L में संख्याएँ हैं। आप इसे अलग तरह से लिख सकते हैं: 10A + B \u003d L (एक दो के लिए) -डिजिट नंबर) या 100A + 10B + C \u003d L (के लिए तीन अंकों की संख्या) और इसी तरह।

      • होने देना (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². याद रखें कि 10A+B एक ऐसी संख्या है जिसका B का अर्थ इकाई और A का अर्थ दहाई है। उदाहरण के लिए, यदि A=1 और B=2, तो 10A+B संख्या 12 के बराबर है। (10ए+बी)²पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है, 100एबड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, बछोटे आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, 10ए × बीदो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है। वर्णित आकृतियों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर आपको मूल वर्ग का क्षेत्रफल मिलेगा।

अपने पहले संस्करण की प्रस्तावना में, इन द रियलम ऑफ इनजेनिटी (1908) में, ई। आई। इग्नाटिव लिखते हैं: परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र में परिचय एक आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, वस्तुओं और रोजमर्रा और रोजमर्रा की स्थितियों के उदाहरणों पर, उचित बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है।

"गणित में स्मृति की भूमिका" के 1911 के संस्करण की प्रस्तावना में, ई.आई. इग्नाटिव लिखते हैं "... गणित में, किसी को सूत्र नहीं, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"

वर्गमूल निकालने के लिए, दो अंकों की संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं, आप संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं और उत्पाद से वर्गमूल निकाल सकते हैं। वर्गों की तालिका पर्याप्त नहीं है, फैक्टरिंग द्वारा जड़ निकालना एक समय लेने वाला कार्य है, जो हमेशा वांछित परिणाम की ओर नहीं ले जाता है। संख्या 209764 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें? अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन से गुणनफल 2 * 2 * 52441 प्राप्त होता है। परीक्षण और त्रुटि से, चयन - यह, निश्चित रूप से, किया जा सकता है यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह एक पूर्णांक है। जिस तरह से मैं सुझाव देना चाहता हूं वह आपको किसी भी मामले में वर्गमूल लेने की अनुमति देता है।

एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में मैं अब बात करना चाहता हूं। मैंने कभी नहीं सोचा था कि क्या इस पद्धति का कोई प्रमाण है, इसलिए अब मुझे स्वयं कुछ प्रमाण निकालने पड़े।

इस पद्धति का आधार संख्या का संयोजन = है।

=&, यानी &2=596334।

1. संख्या (5963364) को दाएँ से बाएँ जोड़े में विभाजित करें (5`96`33`64)

2. हम बाईं ओर पहले समूह का वर्गमूल निकालते हैं ( - संख्या 2)। अतः हमें संख्या का पहला अंक प्राप्त होता है।

3. पहले अंक का वर्ग ज्ञात कीजिए (2 2 \u003d 4)।

4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4=1) के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

5. हम अगले दो अंकों को तोड़ते हैं (हमें संख्या 196 मिली)।

6. हमने जो पहला आंकड़ा पाया है, हम उसे दोगुना करते हैं, इसे लाइन के पीछे बाईं ओर लिखते हैं (2*2=4)।

7. अब आपको संख्या का दूसरा अंक खोजने की जरूरत है और: जो पहला अंक हमें मिला वह संख्या के दहाई का अंक बन जाता है, जब इकाइयों की संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करने की आवश्यकता होती है ( यह संख्या 4, 44 * 4 \u003d 176) है। 4 & का दूसरा अंक है।

8. अंतर ज्ञात कीजिए (196-176=20)।

9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें संख्या 2033 मिलती है)।

10. संख्या 24 को दुगना करने पर हमें 48 प्राप्त होता है।

एक संख्या में 11.48 दहाई, जब इकाइयों की संख्या से गुणा किया जाता है, तो हमें 2033 (484 * 4 \u003d 1936) से कम संख्या प्राप्त करनी चाहिए। हमारे द्वारा पाया गया इकाइयों का अंक (4) संख्या का तीसरा अंक है।

मामलों के लिए मेरे द्वारा सबूत दिया गया है:

1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;

2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना।

वर्गमूल निकालने की अनुमानित विधियाँ (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।

1. प्राचीन बेबीलोनियों ने अपनी x संख्या के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि का प्रयोग किया। उन्होंने संख्या x को 2 + b के योग के रूप में निरूपित किया, जहाँ a 2 प्राकृतिक संख्या a (a 2 ? x) के सटीक वर्ग x के सबसे निकट है, और सूत्र का उपयोग किया . (1)

सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हम वर्गमूल निकालते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:

एमके 5.2915026 का उपयोग करके 28 की जड़ निकालने का परिणाम।

जैसा कि हम देख सकते हैं, बाबुलियों का मार्ग एक अच्छा सन्निकटन देता है सही मूल्यजड़।

2. आइजैक न्यूटन ने एक वर्गमूल विधि विकसित की जो अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (सी। 100 ईस्वी) की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के रूप में जानी जाती है) इस प्रकार है।

होने देना एक 1- किसी संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में, आप एक प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल का मान ले सकते हैं - एक सटीक वर्ग जो इससे अधिक नहीं है एक्स) ।

अगला, अधिक सटीक सन्निकटन एक 2नंबर सूत्र द्वारा पाया गया .

अध्याय पहले।

किसी दिए गए पूर्णांक से सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल निकालना।

170. प्रारंभिक टिप्पणी।

एक)चूँकि हम केवल वर्गमूल निकालने के बारे में बात करेंगे, इस अध्याय में संक्षिप्तता के लिए, "वर्गमूल" के बजाय, हम केवल "रूट" कहेंगे।

बी)यदि हम प्राकृतिक श्रृंखला की संख्याओं का वर्ग करते हैं: 1,2,3,4,5। . . , तो हमें वर्गों की निम्न तालिका प्राप्त होती है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144। ।,

जाहिर है, ऐसे बहुत से पूर्णांक हैं जो इस तालिका में नहीं हैं; ऐसी संख्याओं से, निश्चित रूप से, पूरी जड़ निकालना असंभव है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि आप किसी पूर्णांक की जड़ लेना चाहते हैं। यह 4082 खोजने के लिए आवश्यक है, तो हम इस आवश्यकता को इस प्रकार समझने के लिए सहमत होंगे: यदि संभव हो तो 4082 से पूरी जड़ निकालें; यदि नहीं, तो हमें सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करना होगा जिसका वर्ग 4082 है (ऐसी संख्या 63 है, 63 2 \u003d 3969, और 64 2 \u003d 4090)।

में)यदि यह संख्या 100 से कम है, तो इसका मूल गुणन सारणी में है; तो 60 7 होगा, क्योंकि सेम 7 बराबर 49 है, जो 60 से कम है, और 8 बराबर 64 है, जो 60 से बड़ा है।

171. 10,000 से कम लेकिन 100 से अधिक की संख्या का मूल निकालना।मान लीजिए कि 4082 ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि यह संख्या 10,000 से कम है, तो इसका मूल √l0000 = 100 से कम है। दूसरी ओर, यह संख्या 100 से अधिक है; इसलिए इसका मूल (या 10 के बराबर) से बड़ा है। (यदि, उदाहरण के लिए, यह . खोजने के लिए आवश्यक थे 120 , फिर हालांकि संख्या 120 > 100, हालांकि 120 10 के बराबर है क्योंकि 11 2 = 121.) लेकिन कोई भी संख्या जो 10 से बड़ी हो लेकिन 100 से कम हो, उसमें 2 अंक होते हैं; तो वांछित जड़ योग है:

दसियों + इकाइयाँ,

और इसलिए इसका वर्ग योग के बराबर होना चाहिए:

यह योग सबसे बड़ा वर्ग होना चाहिए, जिसमें 4082 हो।

आइए उनमें से सबसे बड़ा, 36 लें, और मान लें कि दहाई के मूल का वर्ग इस सबसे बड़े वर्ग के बराबर होगा। फिर मूल में दहाई की संख्या 6 होनी चाहिए। आइए अब जाँचते हैं कि यह हमेशा ऐसा ही होना चाहिए, अर्थात, मूल के दहाई की संख्या हमेशा मूल संख्या के सैकड़ों के सबसे बड़े पूर्णांक मूल के बराबर होती है।

दरअसल, हमारे उदाहरण में, जड़ के दसियों की संख्या 6 से अधिक नहीं हो सकती है, क्योंकि (7 दिसंबर) 2 \u003d 49 सैकड़ों, जो 4082 से अधिक है। लेकिन यह 5 दिसंबर से 6 से कम नहीं हो सकता है। (इकाइयों के साथ) 6 डेस से कम है, और इस बीच (6 डेस।) 2 = 36 सैकड़ों, जो कि 4082 से कम है। और चूंकि हम सबसे बड़े पूर्णांक रूट की तलाश कर रहे हैं, इसलिए हमें रूट के लिए 5 डेस नहीं लेना चाहिए, जब 6 दहाई बहुत अधिक नहीं है।

इसलिए, हमने मूल के दहाई की संख्या ज्ञात की है, अर्थात् 6. हम इस संख्या को = चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं, यह याद रखते हुए कि इसका अर्थ है जड़ का दहाई। इसे वर्ग तक बढ़ाने पर हमें 36 शतक मिलते हैं। हम इन 36 सैकड़ों को मूल संख्या के 40 सैकड़ों में से घटाते हैं और इस संख्या के अन्य दो अंकों को हटा देते हैं। शेष 482 में 2 (6 दिसंबर) (इकाइयाँ) + (इकाइयाँ) 2 होने चाहिए। (6 dec.) (इकाई) का गुणनफल दहाई होना चाहिए; इसलिए, इकाइयों द्वारा दहाई का दोहरा गुणन शेष के दहाई में खोजा जाना चाहिए, यानी 48 में (हम शेष 48 "2 में एक अंक को दाईं ओर से अलग करके उनकी संख्या प्राप्त करेंगे। जो अभी तक ज्ञात नहीं हैं) , तो हमें 48 में निहित संख्या प्राप्त करनी चाहिए। इसलिए, हम 48 को 12 से विभाजित करेंगे।

ऐसा करने के लिए, हम शेष के बाईं ओर एक लंबवत रेखा खींचते हैं और उसके पीछे (रेखा से एक स्थान से बाईं ओर लक्ष्य के लिए जो अब मिलेगा) हम रूट का दोगुना पहला अंक लिखते हैं, यानी 12, और इसमें 48 को भाग दें।भागफल में हमें 4 प्राप्त होता है।

हालांकि, कोई पहले से गारंटी नहीं दे सकता है कि संख्या 4 को रूट की इकाइयों के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि अब हमने शेष के दसियों की पूरी संख्या को 12 से विभाजित कर दिया है, जबकि उनमें से कुछ दसियों के दोहरे उत्पाद से संबंधित नहीं हो सकते हैं। इकाइयों द्वारा, लेकिन इकाइयों के वर्ग का हिस्सा हैं। इसलिए, संख्या 4 बड़ी हो सकती है। आपको उसकी परीक्षा लेनी है। यह स्पष्ट रूप से उपयुक्त है यदि 2 (6 दिसंबर) 4 + 4 2 का योग शेष 482 से अधिक न हो।

नतीजतन, हमें तुरंत दोनों का योग मिलता है। परिणामी उत्पाद 496 निकला, जो शेष 482 से अधिक है; तो 4 बड़ा है। फिर हम इसी तरह अगली छोटी संख्या 3 का परीक्षण करेंगे।

उदाहरण।

चौथे उदाहरण में, शेष के 47 दहाई को 4 से विभाजित करने पर, हमें भागफल में 11 प्राप्त होता है, लेकिन चूंकि मूल का इकाई अंक नहीं हो सकता है दोहरा अंक 11 या 10, तो आपको सीधे 9 नंबर का परीक्षण करने की आवश्यकता है।

5वें उदाहरण में, वर्ग के पहले फलक से 8 घटाने पर शेषफल 0 आता है और अगले फलक में भी शून्य होता है। इससे पता चलता है कि वांछित जड़ में केवल 8 दहाई होते हैं, और इसलिए इकाइयों के स्थान पर शून्य रखा जाना चाहिए।

172. 10000 . से बड़ी संख्या का मूल निकालना. इसे √35782 खोजने के लिए आवश्यक होने दें। चूँकि मूलांक 10,000 से अधिक है, तो इसका मूल √10000 = 100 से बड़ा है और इसलिए, इसमें 3 अंक या अधिक होते हैं। इसमें कितने भी अंक क्यों न हों, हम इसे हमेशा केवल दहाई और इकाई के योग के रूप में मान सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, रूट 482 निकला, तो हम इसे 48 डेस का योग मान सकते हैं। + 2 इकाइयां तब मूल के वर्ग में 3 पद होंगे:

(दिसंबर) 2 + 2 (दिसंबर) (संयुक्त राष्ट्र) + (संयुक्त राष्ट्र) 2।

अब हम ठीक उसी तरह तर्क कर सकते हैं जैसे 4082 (पिछले पैराग्राफ में) खोजने पर। अंतर केवल इतना होगा कि 4082 के मूल का दहाई ज्ञात करने के लिए, हमें 40 का मूल निकालना होगा, और यह गुणन तालिका का उपयोग करके किया जा सकता है; अब, दहाई 35782 प्राप्त करने के लिए, हमें 357 का मूल लेना होगा, जो गुणन तालिका का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। लेकिन हम पिछले पैराग्राफ में वर्णित ट्रिक से 357 पा सकते हैं, क्योंकि संख्या 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

फिर हम उसी तरह आगे बढ़ते हैं जैसे हमने 4082 को खोजते समय किया था, अर्थात्: शेष 3382 के बाईं ओर हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं और इसके बाद हम (रेखा से एक स्थान से प्रस्थान करते हुए) पाए गए रूट दहाई की संख्या का दोगुना, यानी 36 लिखते हैं। (दो बार 18)। शेष में, हम दाईं ओर एक अंक को अलग करते हैं और शेष के दहाई की संख्या, यानी 338, को 36 से विभाजित करते हैं। भागफल में हमें 9 मिलता है। हम इस संख्या का परीक्षण करते हैं, जिसके लिए हम इसे दाईं ओर 36 से जोड़ते हैं और इसे इससे गुणा करें। गुणनफल 3321 निकला, जो शेष से कम है। अतः 9 अंक अच्छा है, हम इसे मूल में लिखते हैं।

सामान्य तौर पर, किसी भी पूर्ण संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, पहले उसके सैकड़ों का मूल लेना आवश्यक है; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको इन सैकड़ों में से सैकड़ों की संख्या से, अर्थात् दी गई संख्या के दसियों हज़ार में से मूल ढूँढ़ना होगा; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको सैकड़ों दसियों हज़ारों की संख्या से, अर्थात् दी गई संख्या के लाखों में से, आदि से मूल लेना होगा।

उदाहरण।

पिछले उदाहरण में, पहला अंक खोजने और उसके वर्ग को घटाने पर, हमें शेष 0 मिलता है। हम अगले 2 अंक 51 को तोड़ते हैं। दहाई को अलग करने पर हमें 5 dec मिलता है, जबकि मूल अंक दो बार मिलता है। इसलिए, 5 को विभाजित करना 6 से, हम 0 प्राप्त करते हैं हम दूसरे स्थान पर मूल में 0 डालते हैं और शेष के अगले 2 अंकों को हटा देते हैं; हमें 5110 मिलते हैं। फिर हम हमेशा की तरह चलते हैं।

इस उदाहरण में, वांछित मूल में केवल 9 सौ होते हैं, और इसलिए शून्य को दहाई और इकाइयों के स्थान पर रखा जाना चाहिए।

नियम। किसी दिए गए पूर्णांक का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे दाएं हाथ से बाएं, किनारे पर, प्रत्येक में 2 अंकों के साथ, अंतिम एक को छोड़कर, जिसमें एक अंक हो सकता है, को तोड़ दें।
मूल का पहला अंक ज्ञात करने के लिए पहले फलक का वर्गमूल लें।
दूसरा अंक ज्ञात करने के लिए, मूल के पहले अंक के वर्ग को पहले फलक से घटाया जाता है, दूसरे फलक को शेष से घटाया जाता है, और परिणामी संख्या के दहाई की संख्या को मूल के पहले अंक के दोगुने से विभाजित किया जाता है ; परिणामी पूर्णांक का परीक्षण किया जाता है।
यह परीक्षण निम्नानुसार किया जाता है: ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे (शेष के बाईं ओर) वे रूट की दो बार पहले से मिली संख्या लिखते हैं और इसके लिए, दाईं ओर, वे परीक्षण आकृति, परिणामी संख्या को इसके बाद लिखते हैं। इसके अलावा, संख्या को परीक्षण के आंकड़े से गुणा किया जाता है। यदि, गुणा करने के बाद, एक संख्या प्राप्त होती है जो शेष से अधिक है, तो परीक्षण आंकड़ा अच्छा नहीं है और अगली छोटी संख्या का परीक्षण किया जाना चाहिए।
जड़ की निम्नलिखित संख्याएँ उसी विधि से ज्ञात की जाती हैं।
यदि फलक को गिराने के बाद परिणामी संख्या के दहाई की संख्या भाजक से कम हो, अर्थात जड़ के पाए गए भाग के दोगुने से कम हो, तो 0 को जड़ में डाल दिया जाता है, अगला फलक ध्वस्त कर दिया जाता है और कार्रवाई आगे भी जारी है।

173. जड़ के अंकों की संख्या।मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया पर विचार करने से यह पता चलता है कि मूल में जितने अंक हैं उतने ही मूल संख्या में 2 अंकों के फलक हैं (बाईं ओर एक अंक हो सकता है)।

अध्याय दो।

पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं से अनुमानित वर्गमूल निकालना .

बहुपदों का वर्गमूल निकालने पर, 399 et seq के दूसरे भाग में जोड़ देखें।

174. एक सटीक वर्गमूल के लक्षण।किसी दी गई संख्या का सटीक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसका वर्ग दी गई संख्या के ठीक बराबर होता है। आइए हम कुछ संकेतों को इंगित करें जिनके द्वारा कोई यह तय कर सकता है कि दी गई संख्या से सटीक मूल निकाला गया है या नहीं:

एक)यदि किसी दिए गए पूर्णांक से सटीक पूर्णांक मूल नहीं निकाला जाता है (यह शेष को निकालने पर प्राप्त होता है), तो ऐसी संख्या से एक भिन्नात्मक सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है, क्योंकि कोई भी अंश जो पूर्णांक के बराबर नहीं है, जब स्वयं से गुणा किया जाता है , गुणनफल में एक भिन्न भी देता है, पूर्णांक नहीं।

बी)अंश की जड़ के बाद से जड़ के बराबरहर के मूल से विभाजित अंश से, तो इरेड्यूसबल भिन्न का सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है यदि इसे अंश से या हर से नहीं निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, सटीक मूल भिन्न 4/5, 8/9 और 11/15 से नहीं निकाला जा सकता है, क्योंकि पहले अंश में इसे हर से नहीं निकाला जा सकता है, दूसरे में - अंश से और तीसरे में - न तो से अंश और हर से।

ऐसी संख्याओं से, जिनसे सटीक जड़ निकालना असंभव है, केवल अनुमानित जड़ें ही निकाली जा सकती हैं।

175. अनुमानित जड़ 1 . तक. किसी दी गई संख्या के 1 तक का अनुमानित वर्गमूल (पूर्णांक या भिन्न - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) एक पूर्णांक है जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करता है:

1) इस संख्या का वर्ग दी गई संख्या से बड़ा नहीं है; 2) लेकिन इस संख्या के वर्ग में 1 की वृद्धि दी गई संख्या से अधिक है। दूसरे शब्दों में, 1 तक का अनुमानित वर्गमूल किसी दी गई संख्या का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल होता है, अर्थात वह मूल जिसे हमने पिछले अध्याय में खोजना सीखा था। इस मूल को 1 तक अनुमानित कहा जाता है, क्योंकि एक सटीक मूल प्राप्त करने के लिए, 1 से कम के कुछ अंश को इस अनुमानित मूल में जोड़ना होगा, इसलिए यदि हम अज्ञात सटीक मूल के बजाय यह अनुमानित लेते हैं, तो हम करेंगे 1 से कम त्रुटि।

नियम। 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित वर्गमूल निकालने के लिए, आपको दी गई संख्या के पूर्णांक भाग का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल निकालना होगा।

इस नियम के अनुसार पाई गई संख्या एक अनुमानित जड़ है जिसमें एक नुकसान है, क्योंकि इसमें सटीक मूल के कुछ अंश (1 से कम) का अभाव है। यदि हम इस मूल को 1 से बढ़ा दें, तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है जिसमें सटीक मूल के ऊपर कुछ अधिकता होती है, और यह अधिकता 1 से कम होती है। 1 से बढ़ाए गए इस मूल को 1 तक का अनुमानित मूल भी कहा जा सकता है, लेकिन इसके साथ अतिरेक। (नाम: कुछ गणितीय पुस्तकों में "एक कमी के साथ" या "अतिरिक्त के साथ" को अन्य समकक्षों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: "कमी से" या "अधिक से"।)

176. 1/10 . की सटीकता के साथ अनुमानित जड़. इसे 2.35104 से 1/10 तक खोजने की आवश्यकता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसा दशमलव भिन्न ज्ञात करना आवश्यक है, जिसमें संपूर्ण इकाइयाँ और दहाई शामिल हों, और जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करे:

1) इस भिन्न का वर्ग 2.35104 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इसे 1/10 से बढ़ा दें, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 2.35104 से अधिक हो जाता है।

इस तरह के भिन्न को खोजने के लिए, हम पहले 1 तक अनुमानित मूल पाते हैं, यानी, हम केवल पूर्णांक 2 से रूट निकालते हैं। हमें 1 मिलता है (और शेष 1 है)। हम संख्या 1 को मूल में लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं। अब हम दहाई की संख्या देखेंगे। ऐसा करने के लिए, हम अल्पविराम के दायीं ओर 1 के शेष के अंक 35 को ध्वस्त कर देते हैं, और निष्कर्षण जारी रखते हैं जैसे कि हम पूर्णांक 235 से रूट निकाल रहे थे। हम परिणामी संख्या 5 को रूट के स्थान पर लिखते हैं। दसवां। हमें मूलांक (104) के शेष अंकों की आवश्यकता नहीं है। परिणामी संख्या 1.5 वास्तव में 1/10 की सटीकता के साथ एक अनुमानित जड़ होगी जो निम्नलिखित से स्पष्ट है। यदि हमें 1 की सटीकता के साथ 235 का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल ज्ञात करना है, तो हमें 15 मिलेगा। तो:

15 2 < 235, लेकिन 16 2>235।

इन सभी संख्याओं को 100 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 1.5 वह दशमलव अंश है, जिसे हम 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।

हम इस विधि द्वारा 0.1 की सटीकता के साथ निम्नलिखित अनुमानित जड़ें भी पाते हैं:

177. 1/100 से 1/1000, आदि की सटीकता के साथ अनुमानित वर्गमूल।

इसे 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित √248 खोजने की आवश्यकता होने दें। इसका अर्थ है: ऐसा दशमलव अंश ज्ञात करना, जिसमें पूर्णांक, दसवां और सौवां भाग शामिल हो और जो दो आवश्यकताओं को पूरा करे:

1) इसका वर्ग 248 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इस भिन्न को 1/100 से बढ़ा दें, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 248 से अधिक हो जाता है।

हम इस तरह के अंश को निम्नलिखित क्रम में पाएंगे: पहले हम पूरी संख्या पाएंगे, फिर दसवें की संख्या, फिर सौवें की संख्या। एक पूर्णांक का वर्गमूल 15 पूर्णांक होगा। दहाई की संख्या प्राप्त करने के लिए, जैसा कि हमने देखा है, दशमलव बिंदु के दाईं ओर शेष 23 2 और अंकों को नीचे ले जाना आवश्यक है। हमारे उदाहरण में, ये संख्याएँ बिल्कुल भी मौजूद नहीं हैं, हम उनके स्थान पर शून्य लगाते हैं। उन्हें शेषफल में नियत करना और इस क्रिया को जारी रखना जैसे कि हम पूर्णांक 24,800 का मूल ज्ञात कर रहे हैं, हम दसवां अंक 7 पाएंगे। यह सौवां अंक खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम शेष 151 में 2 और शून्य जोड़ते हैं और निष्कर्षण जारी रखते हैं, जैसे कि हम पूर्णांक 2,480,000 का मूल ज्ञात कर रहे थे। हमें 15.74 मिलता है। यह संख्या वास्तव में 248 से 1/100 के बीच की अनुमानित जड़ है जो निम्नलिखित से स्पष्ट है। यदि हमें पूर्णांक 2,480,000 का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करना हो, तो हमें 1574 प्राप्त होंगे; साधन:

1574 2 < 2,480,000 लेकिन 1575 2 > 2,480,000।

सभी संख्याओं को 10,000 (= 100 2) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

तो 15.74 वह दशमलव अंश है जिसे हम 248 के 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।

इस तकनीक को 1/1000 से 1/10000, आदि की सटीकता के साथ एक अनुमानित जड़ खोजने के लिए लागू करने पर, हम निम्नलिखित पाते हैं।

नियम। किसी दिए गए पूर्णांक से या किसी दिए गए दशमलव अंश से 1/10 से 1/100 से 1/100, आदि की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल निकालने के लिए, पहले 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल खोजें, मूल से मूल निकालें पूर्णांक (यदि यह नहीं है, तो वे 0 पूर्णांकों के मूल के बारे में लिखते हैं)।

तो दहाई की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, वे दशमलव बिंदु के दायीं ओर मूलांक के 2 अंक शेष तक ले जाते हैं (यदि वे मौजूद नहीं हैं, तो शेष के लिए दो शून्य जिम्मेदार हैं), और उसी तरह निष्कर्षण जारी रखें जैसे यह एक पूर्णांक से रूट निकालते समय किया जाता है। परिणामी आकृति को दहाई के स्थान पर मूल में लिखा जाता है।

तो सौवें की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, दो नंबरों को फिर से शेष के लिए ध्वस्त कर दिया जाता है, जो कि अभी-अभी ध्वस्त किए गए थे, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंश के साथ एक पूर्णांक से जड़ निकालते समय, अल्पविराम से शुरू होकर, बाईं ओर (संख्या के पूर्णांक भाग में) और दाईं ओर, प्रत्येक 2 अंकों के चेहरों पर विभाजित करना आवश्यक है ( भिन्नात्मक भाग में)।

उदाहरण।

1) 1/100 तक जड़ें खोजें: a) 2; बी) 0.3;

पिछले उदाहरण में, हमने मूल के 4 दशमलव स्थानों को खोजने के लिए आवश्यक 4 फलकों को बनाने के लिए 8 दशमलव स्थानों की गणना करके 3/7 को दशमलव में बदल दिया।

178. वर्गमूलों की तालिका का विवरण।इस पुस्तक के अंत में चार अंकों के साथ परिकलित वर्गमूलों की एक तालिका है। इस तालिका का उपयोग करके, आप एक पूर्णांक (या दशमलव अंश) का वर्गमूल जल्दी से पा सकते हैं, जो चार अंकों से अधिक नहीं में व्यक्त किया जाता है। इस तालिका को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, यह समझाने से पहले, हम ध्यान दें कि हम हमेशा मूल संख्या पर एक नज़र में तालिकाओं की सहायता के बिना वांछित रूट का पहला महत्वपूर्ण अंक पा सकते हैं; हम यह भी आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि किस दशमलव स्थान का अर्थ मूल का पहला अंक है और इसलिए, जड़ में, जब हमें इसके अंक मिलते हैं, तो हमें अल्पविराम लगाने की आवश्यकता होती है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

1) √5"27,3 . पहला अंक 2 होगा, क्योंकि मूल संख्या के बाईं ओर 5 है; और 5 का मूल 2 है। इसके अलावा, चूँकि सभी फलकों की मूलांक संख्या के पूर्णांक भाग में केवल 2 हैं, तो वांछित मूल के पूर्णांक भाग में 2 अंक होने चाहिए और इसलिए, इसके पहले अंक 2 का अर्थ होना चाहिए दसियों

2) 9.041। जाहिर है, इस मूल में पहला अंक 3 साधारण इकाई होगा।

3) 0.00"83"4. पहला सार्थक अंक 9 है, क्योंकि पहला सार्थक अंक प्राप्त करने के लिए जिस फलक से मूल निकालना होगा, वह 83 है, और 83 का मूल 9 है। चूंकि वांछित संख्या में न तो पूर्णांक होंगे और न ही दहाई, पहले अंक 9 का मतलब सौवां होना चाहिए।

4) 0.73 "85. पहला महत्वपूर्ण आंकड़ा 8 दसवां हिस्सा है।

5) 0.00 "00" 35 "7. पहला महत्वपूर्ण आंकड़ा 5 हजारवां होगा।

आइए एक और टिप्पणी करें। मान लीजिए कि ऐसी संख्या से मूल निकालने की आवश्यकता है, जो इसमें शामिल एक को छोड़ने के बाद, ऐसी संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है: 5681। यह रूट निम्न में से एक हो सकता है:

यदि हम उन मूलों को लें जिन्हें हमने एक पंक्ति से रेखांकित किया है, तो वे सभी संख्याओं की एक ही श्रृंखला द्वारा व्यक्त किए जाएंगे, ठीक वे संख्याएँ जो 5681 से मूल निकालने पर प्राप्त होती हैं (ये संख्याएँ 7, 5, 3, 7 होंगी) ) इसका कारण यह है कि इन सभी उदाहरणों में मूल के अंक ज्ञात करते समय जिन फलकों में मूलांकों को विभाजित करना होता है, वे समान होंगे, इसलिए प्रत्येक मूल के अंक समान होंगे (केवल अल्पविराम की स्थिति निश्चित रूप से अलग होगा)। इसी प्रकार, हमारे द्वारा दो पंक्तियों द्वारा रेखांकित सभी मूलों में समान संख्याएँ प्राप्त की जानी चाहिए, ठीक वे जो 568.1 (ये संख्याएँ 2, 3, 8, 3 होंगी) को व्यक्त करती हैं, और इसी कारण से। इस प्रकार, 5681 अंकों की एक ही श्रृंखला द्वारा दर्शाए गए अंकों (अल्पविराम को हटाकर) से जड़ों के अंक दुगने (और केवल दुगने) प्रकार के होंगे: या तो यह 7, 5, 3, 7 की एक श्रृंखला है। या 2, 3, 8, 3 की एक श्रृंखला। जाहिर है, आंकड़ों की किसी अन्य श्रृंखला के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इसलिए, जैसा कि अब हम तालिका में देखेंगे, मूलांक के अंकों की प्रत्येक पंक्ति मूल के लिए अंकों की 2 पंक्तियों से मेल खाती है।

अब हम तालिका की संरचना और इसका उपयोग करने के तरीके की व्याख्या कर सकते हैं। स्पष्टीकरण की स्पष्टता के लिए, हमने यहां तालिका के पहले पृष्ठ की शुरुआत को दर्शाया है।

यह तालिका कई पृष्ठों तक फैली हुई है। उनमें से प्रत्येक पर, बाईं ओर पहले कॉलम में, संख्याएँ 10, 11, 12 ... (99 तक) रखी गई हैं। ये संख्याएँ उस संख्या के पहले 2 अंकों को व्यक्त करती हैं जिससे वर्गमूल निकाला जा रहा है। ऊपरी क्षैतिज रेखा में (और नीचे भी) संख्याएँ हैं: 0, 1, 2, 3 ... 9, जो इस संख्या का तीसरा अंक हैं, और फिर आगे दाईं ओर संख्याएँ 1, 2 हैं, 3. . . 9, इस संख्या के चौथे अंक का प्रतिनिधित्व करता है। अन्य सभी क्षैतिज रेखाओं में 2 . होता है चार अंकों की संख्या, संबंधित संख्याओं के वर्गमूल को व्यक्त करते हुए।

मान लीजिए कि किसी संख्या, पूर्णांक या व्यंजक का वर्गमूल ज्ञात करना आवश्यक है दशमलव अंश. सबसे पहले, हम तालिकाओं की सहायता के बिना मूल और उसकी श्रेणी का पहला अंक पाते हैं। फिर हम दी गई संख्या में अल्पविराम को हटा देते हैं, यदि कोई हो। पहले मान लीजिए कि अल्पविराम को हटाने के बाद, उदाहरण के लिए, केवल 3 अंक शेष हैं। 114. हम सबसे बाएं कॉलम में टेबल में पहले 2 अंक, यानी 11 पाते हैं, और जब तक हम लंबवत कॉलम तक नहीं पहुंच जाते, तब तक हम क्षैतिज रेखा के साथ दाएं जाते हैं, जिसमें से ऊपर (और नीचे) तीसरा अंक होता है संख्या का, अर्थात 4. इस स्थान पर हमें चार अंकों की दो संख्याएँ मिलती हैं: 1068 और 3376। इन दोनों में से कौन सी संख्या लेनी चाहिए और उसमें अल्पविराम कहाँ लगाना चाहिए, यह मूल के पहले अंक से निर्धारित होता है और इसका निर्वहन, जो हमने पहले पाया था। इसलिए, यदि आपको √0.11 "4 खोजने की आवश्यकता है, तो रूट का पहला अंक 3 दसवां है, और इसलिए हमें रूट के लिए 0.3376 लेना होगा। यदि इसे √1.14 खोजने की आवश्यकता होती है, तो रूट का पहला अंक होगा 1 हो, और फिर हम 1.068 लेंगे।

इस प्रकार हम आसानी से पा सकते हैं:

√5.30 = 2.302; 7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, आदि।

आइए अब मान लें कि 4 अंकों द्वारा व्यक्त की गई संख्या (अल्पविराम को हटाकर) का मूल ज्ञात करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए 7 "45.6। यह देखते हुए कि मूल का पहला अंक 2 दहाई है, हम संख्या के लिए पाते हैं 745, जैसा कि अब समझाया गया है, संख्याएँ 2729 (हम केवल इस संख्या को एक उंगली से देखते हैं, लेकिन इसे लिखते नहीं हैं।) फिर हम इस संख्या से दाईं ओर तालिका के दाईं ओर (पीछे) आगे बढ़ते हैं। अंतिम बोल्ड लाइन) हम ऊर्ध्वाधर कॉलम से मिलते हैं जो इस संख्या के 4 वें अंक के ऊपर (और नीचे) चिह्नित है, यानी संख्या 6, और हम वहां नंबर 1 पाते हैं। यह सुधार होगा जिसे लागू किया जाना चाहिए (में) दिमाग) पहले मिली संख्या 2729 पर, हमें 2730 मिलते हैं। हम इस संख्या को लिखते हैं और इसमें उचित स्थान पर अल्पविराम लगाते हैं: 27.30।

इस तरह हम पाते हैं, उदाहरण के लिए:

√44.37 = 6.661; 4.437 = 2.107; 0.04"437 \u003d 0.2107, आदि।

यदि मूलांक केवल एक या दो अंकों में व्यक्त किया जाता है, तो हम मान सकते हैं कि इन अंकों के बाद एक या दो शून्य हैं, और फिर तीन अंकों की संख्या के लिए बताए अनुसार आगे बढ़ें। उदाहरण के लिए 2.7 = √2.70 =1.643; 0.13 \u003d √0.13 "0 \u003d 0.3606, आदि।

अंत में, यदि मूलांक 4 से अधिक अंकों द्वारा व्यक्त किया जाता है, तो हम उनमें से केवल पहले 4 को लेंगे, और बाकी को छोड़ देंगे, और त्रुटि को कम करने के लिए, यदि छोड़े गए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से अधिक है, तो हम बरकरार अंकों के चौथे को l से बढ़ा देंगे। इसलिए:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; आदि।

टिप्पणी। तालिकाएं अनुमानित वर्गमूल को इंगित करती हैं, कभी-कभी कमी के साथ, कभी-कभी अधिकता के साथ, अर्थात्, इन अनुमानित जड़ों में से एक जो सटीक जड़ के करीब आती है।

179. साधारण भिन्नों से वर्गमूल निकालना।एक अघुलनशील अंश का सटीक वर्गमूल केवल तभी निकाला जा सकता है जब भिन्न के दोनों पद सटीक वर्ग हों। इस मामले में, अंश और हर से अलग-अलग रूट निकालने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए:

कुछ दशमलव परिशुद्धता के साथ एक साधारण अंश का अनुमानित वर्गमूल सबसे आसानी से पाया जा सकता है यदि हम पहले उलटा करें सामान्य अंशएक दशमलव में, इस भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद इतनी संख्या में दशमलव स्थानों की गणना करना, जो वांछित मूल में दशमलव स्थानों की संख्या का दोगुना होगा।

हालाँकि, आप अन्यथा कर सकते हैं। आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझाते हैं:

अनुमानित 5 / 24 . खोजें

आइए हर को एक सटीक वर्ग बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के दोनों पदों को हर 24 से गुणा करना पर्याप्त होगा; लेकिन इस उदाहरण में, आप अन्यथा कर सकते हैं। हम 24 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 24 \u003d 2 2 2 3. इस अपघटन से यह देखा जा सकता है कि यदि 24 को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा किया जाए, तो गुणनफल में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सम संख्या में दोहराया जाएगा, और, इसलिए, हर एक वर्ग बन जाएगा:

यह कुछ सटीकता के साथ √30 की गणना करने और परिणाम को 12 से विभाजित करने के लिए बनी हुई है। इस मामले में, यह ध्यान में रखना चाहिए कि सटीकता की डिग्री दिखाने वाला अंश भी 12 से विभाजित होने से कम हो जाएगा। इसलिए, यदि हम 30 को 1/10 की सटीकता के साथ पाते हैं और परिणाम को 12 से विभाजित करते हैं, तो हमें 1/120 (अर्थात् 54/120 और 55/120) की सटीकता के साथ अंश 5/24 का अनुमानित मूल मिलता है।

अध्याय तीन।

फंक्शन ग्राफएक्स = वाई .

180. उलटा कार्य।मान लीजिए कि एक समीकरण है जो परिभाषित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , उदाहरण के लिए, यह: वाई = एक्स 2 . हम कह सकते हैं कि यह न केवल निर्धारित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , लेकिन यह भी, इसके विपरीत, निर्धारित करता है एक्स के एक समारोह के रूप में पर , भले ही एक निहित तरीके से। इस फ़ंक्शन को स्पष्ट करने के लिए, हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है एक्स , ले रहा पर एक ज्ञात संख्या के लिए; इसलिए, हमने जो समीकरण लिया है, उससे हम पाते हैं: वाई = एक्स 2 .

y को x के एक फलन के रूप में परिभाषित करने वाले समीकरण को हल करने के बाद x के लिए प्राप्त बीजीय व्यंजक y को परिभाषित करने वाले का व्युत्क्रम फलन कहलाता है।

तो समारोह एक्स = वाई समारोह उलटा वाई = एक्स 2 . यदि, जैसा कि प्रथागत है, स्वतंत्र चर को निरूपित किया जाता है एक्स , और आश्रित पर , तो हम अब प्राप्त प्रतिलोम फलन को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: वाई = √ एक्स . इस प्रकार, किसी दिए गए (प्रत्यक्ष) के विपरीत एक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए, यह उस समीकरण से आवश्यक है जो इसे निर्धारित करता है यह समारोह, आउटपुट एक्स निर्भर करना आप और परिणामी अभिव्यक्ति में, प्रतिस्थापित करें आप पर एक्स , एक एक्स पर आप .

181. एक फलन का ग्राफ वाई = √ एक्स . यह फ़ंक्शन संभव नहीं है ऋणात्मक मान एक्स , लेकिन इसकी गणना (किसी भी सटीकता के साथ) किसी के लिए भी की जा सकती है सकारात्मक मूल्य एक्स , और ऐसे प्रत्येक मान के लिए, फ़ंक्शन दो प्राप्त करता है विभिन्न अर्थसमान निरपेक्ष मान लेकिन विपरीत संकेतों के साथ। अगर परिचित √ हम केवल वर्गमूल के अंकगणितीय मान को निरूपित करते हैं, फिर फ़ंक्शन के इन दो मानों को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: वाई = ± एक्स इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आपको पहले इसके मानों की एक तालिका बनानी होगी। इस तालिका को संकलित करने का सबसे आसान तरीका प्रत्यक्ष फ़ंक्शन मानों की तालिका से है:

वाई = एक्स 2 .

एक्स

आप

अगर मान पर मूल्यों के रूप में लें एक्स , और इसके विपरीत:

वाई = ± एक्स

इन सभी मानों को आरेखण पर रखने पर हमें निम्न आलेख प्राप्त होता है।

उसी चित्र में, हमने (धराशायी रेखा) और प्रत्यक्ष कार्य के ग्राफ को दर्शाया है वाई = एक्स 2 . आइए इन दो चार्टों की तुलना करें।

182. प्रत्यक्ष और प्रतिलोम फलन के रेखांकन के बीच संबंध।व्युत्क्रम फ़ंक्शन मानों की तालिका संकलित करने के लिए वाई = ± एक्स हमने लिया एक्स वे संख्याएँ जो प्रत्यक्ष कार्य तालिका में हैं वाई = एक्स 2 के लिए मूल्यों के रूप में कार्य किया पर , और के लिए पर उन नंबरों को लिया; जिसके लिए इस तालिका में मान थे एक्स . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों ग्राफ समान हैं, केवल प्रत्यक्ष कार्य का ग्राफ अक्ष के सापेक्ष स्थित है पर - s व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित होता है एक्स - ओव। नतीजतन, अगर हम ड्राइंग को एक सीधी रेखा के चारों ओर मोड़ते हैं ओए समकोण को समद्विभाजित करना xOy , ताकि ड्राइंग का वह भाग जिसमें अर्ध-अक्ष हो कहां , अर्ध-अक्ष वाले हिस्से पर गिर गया ओह , फिर कहां के साथ संगत ओह , सभी डिवीजन कहां डिवीजनों के साथ मेल खाना ओह , और परवलय के बिंदु वाई = एक्स 2 ग्राफ पर संबंधित बिंदुओं के साथ मेल खाता है वाई = ± एक्स . उदाहरण के लिए, डॉट्स एम तथा एन , जिसका निर्देशांक 4 , और भुज 2 तथा - 2 , बिंदुओं के साथ मेल खाता है एम" तथा एन" , जिसका भुज 4 , और निर्देशांक 2 तथा - 2 . यदि ये बिंदु मेल खाते हैं, तो इसका मतलब है कि रेखाएं एमएम" तथा एनएन" के लम्बवत ओएऔर इस सीधी रेखा को आधा कर दें। दोनों ग्राफ़ पर अन्य सभी प्रासंगिक बिंदुओं के लिए भी यही कहा जा सकता है।

इस प्रकार, प्रतिलोम फलन का ग्राफ प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ के समान होना चाहिए, लेकिन ये ग्राफ अलग-अलग स्थित होते हैं, अर्थात् कोण के द्विभाजक के संबंध में सममित रूप से एक दूसरे के साथ। बजरा . हम कह सकते हैं कि प्रतिलोम फलन का ग्राफ कोण के द्विभाजक के संबंध में प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ का प्रतिबिंब (दर्पण के रूप में) है बजरा .