बुनियादी अवधारणाएँ, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों का समाधान। ऑनलाइन कैलकुलेटर

आइए उदाहरण देखें कि सिस्टम को कैसे हल किया जाए रैखिक असमानताएँ.

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एक प्रणाली को हल करने के लिए, इसकी प्रत्येक घटक असमानताओं की आवश्यकता होती है। केवल अलग-अलग नहीं, बल्कि एक साथ लिखने का निर्णय लिया जाता है, उन्हें एक घुंघराले कोष्ठक के साथ जोड़कर।

सिस्टम की प्रत्येक असमानता में, हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात को दूसरे को विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित करते हैं:

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सरलीकरण के बाद, असमानता के दोनों भागों को x से पहले की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। हम पहली असमानता को एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। हम दूसरी असमानता को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमानता के चिन्ह को उलट देना चाहिए:

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हम संख्या रेखाओं पर असमानताओं के समाधान को चिह्नित करते हैं:

जवाब में, हम समाधान के चौराहे को लिखते हैं, यानी वह हिस्सा जहां छायांकन दोनों रेखाओं पर होता है।

उत्तर: x∈[-2;1).

आइए पहली असमानता में अंश से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों भागों को कम से कम आम भाजक 2 द्वारा शब्द से गुणा करते हैं। जब एक सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।

दूसरी असमिका में कोष्ठक खोलिए। दो भावों के योग और अंतर का गुणनफल इन भावों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है। दाईं ओर दो भावों के बीच के अंतर का वर्ग है।

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हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात को दूसरे को विपरीत चिह्न के साथ और सरल करते हैं:

असमानता के दोनों पक्षों को x से पहले की संख्या से विभाजित करें। पहली असमिका में, हम एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, इसलिए असमिका का चिह्न उल्टा हो जाता है। दूसरे में, हम एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है:

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दोनों असमानताओं को "इससे कम" के रूप में चिह्नित किया गया है (यह आवश्यक नहीं है कि एक चिन्ह सख्ती से "कम से कम" हो, दूसरा सख्त नहीं है, "इससे कम या इसके बराबर")। हम दोनों समाधानों को चिह्नित नहीं कर सकते हैं, लेकिन "" नियम का उपयोग करें। सबसे छोटा 1 है, इसलिए, सिस्टम असमानता को कम करता है

हम इसका हल संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

उत्तर: x∈(-∞;1].

हम कोष्ठक खोलते हैं। पहली असमानता में - . यह इन भावों के घनों के योग के बराबर है।

दूसरे में - दो भावों के योग और अंतर का गुणनफल, जो वर्गों के अंतर के बराबर है। चूँकि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिन्ह होता है, इसलिए उन्हें दो चरणों में खोलना बेहतर होता है: पहले सूत्र का उपयोग करें, और उसके बाद ही कोष्ठक खोलें, प्रत्येक पद के चिह्न को विपरीत में बदलते हुए।

हम अज्ञात को एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, ज्ञात को दूसरे को विपरीत चिह्न के साथ स्थानांतरित करते हैं:

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दोनों संकेतों से अधिक हैं। "अधिक से अधिक" नियम का उपयोग करके, हम असमानताओं की प्रणाली को एक असमानता में कम कर देते हैं। दो संख्याओं में से बड़ी संख्या 5 है, इसलिए

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हम असमानता के समाधान को एक संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं और उत्तर लिखते हैं:

उत्तर: x∈(5;∞).

चूँकि रैखिक असमानताओं की प्रणालियाँ बीजगणित में न केवल स्वतंत्र कार्यों के रूप में होती हैं, बल्कि विभिन्न प्रकार के समीकरणों, असमानताओं आदि को हल करने के दौरान भी होती हैं, इसलिए इस विषय को समय रहते सीखना महत्वपूर्ण है।

अगली बार हम विशेष मामलों में रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे, जब असमानताओं में से एक का कोई समाधान नहीं है या कोई संख्या इसका समाधान है।

हर कोई नहीं जानता कि असमानताओं को कैसे हल किया जाए, जो उनकी संरचना में समान हैं और विशिष्ट सुविधाएंसमीकरणों के साथ। एक समीकरण एक अभ्यास है जिसमें दो भाग होते हैं, जिनके बीच एक समान चिह्न होता है, और असमानता के भागों के बीच एक से अधिक या उससे कम का चिह्न हो सकता है। इस प्रकार, किसी विशेष असमानता का समाधान खोजने से पहले, हमें यह समझना चाहिए कि यदि किसी अभिव्यक्ति द्वारा दोनों भागों को गुणा करना आवश्यक हो जाता है तो संख्या (धनात्मक या नकारात्मक) के चिह्न पर विचार करना उचित है। यदि असमानता को हल करने के लिए वर्ग करना आवश्यक है, तो उसी तथ्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए, क्योंकि वर्ग गुणा द्वारा किया जाता है।

असमानताओं की प्रणाली को कैसे हल करें

साधारण असमानताओं की तुलना में असमानताओं की प्रणालियों को हल करना कहीं अधिक कठिन है। कक्षा 9 की असमानताओं को कैसे हल करें, विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें। यह समझा जाना चाहिए कि द्विघात असमानताओं (सिस्टम) या असमानताओं की किसी भी अन्य प्रणाली को हल करने से पहले, प्रत्येक असमानता को अलग से हल करना और फिर उनकी तुलना करना आवश्यक है। असमानता की प्रणाली का समाधान या तो सकारात्मक या नकारात्मक उत्तर होगा (चाहे सिस्टम में कोई समाधान हो या नहीं)।

कार्य असमानताओं के एक सेट को हल करना है:

आइए प्रत्येक असमानता को अलग से हल करें

हम एक संख्या रेखा बनाते हैं जिस पर हम हलों के समुच्चय को दर्शाते हैं

चूँकि समुच्चय हलों के समुच्चयों का संघ है, संख्या रेखा पर इस समुच्चय को कम से कम एक रेखा द्वारा रेखांकित किया जाना चाहिए।

मापांक के साथ असमानताओं को हल करना

यह उदाहरण दिखाएगा कि मापांक के साथ असमानताओं को कैसे हल किया जाए। तो हमारे पास एक परिभाषा है:

हमें असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

ऐसी असमानता को हल करने से पहले, मॉड्यूल (चिन्ह) से छुटकारा पाना आवश्यक है

हम परिभाषा के आंकड़ों के आधार पर लिखते हैं:

अब प्रत्येक सिस्टम को अलग से हल करना आवश्यक है।

आइए एक संख्या रेखा का निर्माण करें, जिस पर हम समाधानों के समुच्चय दर्शाएंगे।

नतीजतन, हमारे पास एक संग्रह है जो कई समाधानों को जोड़ता है।

द्विघात असमानताओं को हल करना

संख्या रेखा का उपयोग करते हुए, द्विघात असमिकाओं को हल करने के उदाहरण पर विचार करें। हमारे पास असमानता है:

हम जानते हैं कि वर्ग त्रिपद का आलेख एक परवलय होता है। हम यह भी जानते हैं कि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं यदि a>0.

x2-3x-4< 0

वीटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम मूल x 1 = - 1 पाते हैं; एक्स 2 = 4

चलो एक परबोला, या इसके स्केच बनाते हैं।

इस प्रकार, हमें पता चला कि वर्ग ट्रिनोमियल का मान - 1 से 4 तक के खंड पर 0 से कम होगा।

g(x) जैसी दोहरी असमानताओं को हल करते समय बहुत से लोगों के प्रश्न होते हैं< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

वास्तव में, असमिकाओं को हल करने के लिए कई विधियाँ हैं, जिनका उपयोग आप हल करने के लिए कर सकते हैं जटिल असमानताएँग्राफिक तरीका।

आंशिक असमानताओं का समाधान

आंशिक असमानताओं के लिए अधिक सावधान दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। यह इस तथ्य के कारण है कि कुछ हल करने की प्रक्रिया में भिन्नात्मक असमानताएँसंकेत बदल सकता है। भिन्नात्मक असमानताओं को हल करने से पहले, आपको यह जानना होगा कि उन्हें हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग किया जाता है। आंशिक असमानता को इस तरह से दर्शाया जाना चाहिए कि संकेत का एक पक्ष आंशिक तर्कसंगत अभिव्यक्ति की तरह दिखता है, और दूसरा - "- 0"। असमानता को इस तरह बदलने पर, हमें f(x)/g(x) > (.

अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करना

अंतराल तकनीक पूर्ण प्रेरण की विधि पर आधारित है, अर्थात सभी से गुजरना आवश्यक है संभव विकल्प. 8वीं कक्षा के छात्रों के लिए हल करने की इस विधि की आवश्यकता नहीं हो सकती है, क्योंकि उन्हें पता होना चाहिए कि 8वीं कक्षा की असमानताओं को कैसे हल किया जाए, जो कि सबसे सरल अभ्यास हैं। लेकिन पुरानी कक्षाओं के लिए, यह विधि अपरिहार्य है, क्योंकि यह भिन्नात्मक असमानताओं को हल करने में मदद करती है। इस तकनीक का उपयोग करने वाली असमानताओं का समाधान भी एक निरंतर कार्य की ऐसी संपत्ति पर आधारित होता है, जिसमें मूल्यों के बीच चिह्न का संरक्षण होता है जिसमें यह 0 हो जाता है।

आइए एक बहुपद की साजिश रचते हैं। यह निरंतर कार्य, मान 0 को 3 बार प्राप्त करने पर, अर्थात, f(x) बहुपद के मूल बिंदुओं x 1 , x 2 और x 3 पर 0 के बराबर होगा। इन बिंदुओं के बीच, फ़ंक्शन का चिन्ह संरक्षित है।

चूंकि हमें असमानता f(x)>0 को हल करने के लिए फ़ंक्शन के चिह्न की आवश्यकता है, इसलिए हम ग्राफ़ को छोड़कर निर्देशांक रेखा पर जाते हैं।

f(x)>0 x(x 1 ; x 2) और x(x 3 ;) के लिए

f (x) x (-; x 1) और x (x 2; x 3) के लिए

ग्राफ स्पष्ट रूप से असमानताओं के समाधान दिखाता है f(x)f(x)>0 (पहली असमानता का समाधान नीले रंग में है, और दूसरे का समाधान लाल रंग में है)। निर्धारित करने के लिए एक अंतराल पर एक फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करने के लिए, यह पर्याप्त है कि आप किसी एक बिंदु पर फ़ंक्शन के चिह्न को जानते हैं। यह तकनीक आपको उन असमानताओं को जल्दी से हल करने की अनुमति देती है जिसमें बाईं ओर का गुणनखंड होता है, क्योंकि ऐसी असमानताओं में जड़ों को खोजना काफी आसान होता है।

इस पाठ में, हम असमानताओं के तंत्रों का अध्ययन शुरू करेंगे। पहले, हम रैखिक असमिकाओं के निकाय पर विचार करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि असमानताओं की प्रणालियाँ कहाँ और क्यों उत्पन्न होती हैं। इसके बाद, हम अध्ययन करेंगे कि सिस्टम को हल करने का क्या मतलब है, और सेट के संघ और चौराहे को याद रखें। अंत में, हम रैखिक असमानताओं के सिस्टम के लिए विशिष्ट उदाहरण हल करेंगे।

विषय: आहारवास्तविक असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ

पाठ:मुख्यअवधारणाएं, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों का समाधान

अब तक, हमने व्यक्तिगत असमानताओं को हल किया है और उन पर अंतराल विधि लागू की है, ये हो सकती हैं रैखिक असमानताएँ, और वर्ग और तर्कसंगत। आइए अब असमानताओं की प्रणालियों को हल करने की ओर बढ़ते हैं - पहले रैखिक प्रणाली. आइए एक उदाहरण देखें जहां असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करने की आवश्यकता आती है।

किसी फ़ंक्शन का दायरा खोजें

किसी फ़ंक्शन का दायरा खोजें

फ़ंक्शन तब मौजूद होता है जब दोनों वर्गमूल मौजूद होते हैं, अर्थात

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? पहली और दूसरी दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले सभी x को ज्ञात करना आवश्यक है।

x-अक्ष पर पहली और दूसरी असमिकाओं के हलों का समुच्चय खींचिए।

दो किरणों का प्रतिच्छेदन अंतराल हमारा समाधान है।

असमानताओं की प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करने की इस पद्धति को कभी-कभी छत की विधि कहा जाता है।

सिस्टम का समाधान दो सेटों का प्रतिच्छेदन है।

आइए इसे रेखांकन के रूप में प्रदर्शित करें। हमारे पास स्वेच्छ प्रकृति का समुच्चय A है और स्वेच्छ प्रकृति का समुच्चय B है जो प्रतिच्छेद करता है।

परिभाषा: दो समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन एक तीसरा समुच्चय है जिसमें A और B दोनों में शामिल सभी तत्व शामिल हैं।

असमानताओं की रैखिक प्रणालियों को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए विचार करें कि सिस्टम में शामिल व्यक्तिगत असमानताओं के समाधान के सेट के चौराहों को कैसे खोजा जाए।

असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

उत्तर: (7; 10]।

4. सिस्टम को हल करें

सिस्टम की दूसरी असमानता कहां से आ सकती है? उदाहरण के लिए, असमानता से

हम प्रत्येक असमानता के समाधान को रेखांकन से निरूपित करते हैं और उनके प्रतिच्छेदन के अंतराल का पता लगाते हैं।

इस प्रकार, यदि हमारे पास एक ऐसी प्रणाली है जिसमें असमानताओं में से एक x के किसी भी मान को संतुष्ट करती है, तो इसे समाप्त किया जा सकता है।

उत्तर: प्रणाली असंगत है।

हमने विशिष्ट समर्थन समस्याओं पर विचार किया है, जिससे असमानताओं की किसी भी रैखिक प्रणाली का समाधान कम हो जाता है।

निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें।

7.

कभी-कभी एक दोहरी असमानता द्वारा एक रैखिक प्रणाली दी जाती है; इस मामले पर विचार करें।

8.

हमने रेखीय असमानताओं की प्रणालियों की जांच की, यह समझा कि वे कहां से आती हैं, विशिष्ट प्रणालियों की जांच की, जिनमें से सभी रैखिक प्रणालीऔर उनमें से कुछ को हल किया।

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असमानताओं का समाधान उन विषयों में से एक है जिन पर छात्रों से अधिकतम ध्यान और दृढ़ता की आवश्यकता है। तो समीकरणों के समान और साथ ही उनसे बहुत अलग। क्योंकि उनके समाधान के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

उत्तर खोजने के लिए आवश्यक गुण

उन सभी का उपयोग किसी मौजूदा प्रविष्टि को समकक्ष प्रविष्टि से बदलने के लिए किया जाता है। उनमें से ज्यादातर वही हैं जो समीकरणों में थे। लेकिन मतभेद भी हैं।

• डीपीवी, या किसी भी संख्या में परिभाषित एक फ़ंक्शन को मूल असमानता के दोनों हिस्सों में जोड़ा जा सकता है।
• इसी तरह, गुणन संभव है, लेकिन केवल एक सकारात्मक कार्य या संख्या से।
• यदि यह क्रिया किसी ऋणात्मक फलन या संख्या के साथ की जाती है, तो असमानता के चिन्ह को उलट देना चाहिए।
• गैर-नकारात्मक कार्यों को सकारात्मक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।

कभी-कभी असमानताओं का समाधान उन कार्यों के साथ होता है जो असंगत उत्तर देते हैं। ODZ क्षेत्र और समाधान के सेट की तुलना करके उन्हें समाप्त करने की आवश्यकता है।

अंतराल विधि का उपयोग करना

इसका सार असमानता को समीकरण में कम करना है जिसमें शून्य दाईं ओर है।

1. उस क्षेत्र का निर्धारण करें जहां चर के स्वीकार्य मान हैं, अर्थात ODZ।
2. गणितीय क्रियाओं का उपयोग करके असमानता को रूपांतरित करें ताकि इसका दाहिना भाग शून्य हो।
3. असमानता के चिह्न को "=" से बदलें और संबंधित समीकरण को हल करें।
4. संख्यात्मक अक्ष पर, उन सभी उत्तरों को चिह्नित करें जो हल के दौरान प्राप्त हुए थे, साथ ही साथ ODZ के अंतराल भी। सख्त असमानता के मामले में, बिंदुओं को पंचर किया जाना चाहिए। यदि एक समान चिह्न है, तो उन्हें चित्रित किया जाना चाहिए।
5. ODZ के बिंदुओं और इसे विभाजित करने वाले उत्तरों से उत्पन्न प्रत्येक अंतराल पर मूल फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें। यदि किसी बिंदु से गुजरने पर फलन का चिह्न नहीं बदलता है, तो वह उत्तर में प्रवेश करता है। अन्यथा, यह बहिष्कृत है।
6. ODZ के लिए सीमा बिंदुओं को अतिरिक्त रूप से जाँचने की आवश्यकता है और उसके बाद ही प्रतिक्रिया में शामिल किया गया है या नहीं।
7. जो उत्तर प्राप्त होता है उसे संयुक्त समुच्चयों के रूप में लिखा जाना चाहिए।

दोहरी असमानताओं के बारे में थोड़ा

वे रिकॉर्ड में एक साथ दो असमानता के संकेतों का उपयोग करते हैं। अर्थात्, कुछ कार्य एक बार में दो बार शर्तों द्वारा सीमित होते हैं। इस तरह की असमानताओं को दो की एक प्रणाली के रूप में हल किया जाता है, जब मूल को भागों में विभाजित किया जाता है। तथा अन्तराल विधि में दोनों समीकरणों के हल से प्राप्त उत्तरों को दर्शाया गया है।

उन्हें हल करने के लिए ऊपर बताए गए गुणों का उपयोग करने की भी अनुमति है। उनकी मदद से असमानता को शून्य तक कम करना सुविधाजनक है।

मापांक वाली असमानताओं के बारे में क्या?

इस मामले में, असमानताओं का समाधान निम्नलिखित गुणों का उपयोग करता है, और वे "ए" के सकारात्मक मूल्य के लिए मान्य हैं।

यदि "x" बीजगणितीय अभिव्यक्ति लेता है, तो निम्नलिखित प्रतिस्थापन मान्य हैं:

• |एक्स|< a на -a < х < a;
• |एक्स| > ए ऑन एक्स< -a или х >एक।

यदि असमानताएँ सख्त नहीं हैं, तो सूत्र भी सत्य हैं, उनमें केवल अधिक या कम चिह्न के अलावा, "=" प्रकट होता है।

असमानताओं की व्यवस्था कैसे हल की जाती है?

यह ज्ञान उन मामलों में आवश्यक होगा जब ऐसा कार्य दिया जाता है या दोहरी असमानता का रिकॉर्ड होता है या रिकॉर्ड में एक मॉड्यूल दिखाई देता है। ऐसी स्थिति में समाधान चरों के ऐसे मान होंगे जो अभिलेख में सभी असमानताओं को संतुष्ट करेंगे। यदि ऐसी कोई संख्या नहीं है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

वह योजना जिसके अनुसार असमानताओं की प्रणाली का समाधान किया जाता है:

• उनमें से प्रत्येक को अलग-अलग हल करें;
• संख्यात्मक अक्ष पर सभी अंतरालों को चित्रित करें और उनके चौराहों का निर्धारण करें;
• सिस्टम की प्रतिक्रिया लिखें, जो कि दूसरे पैराग्राफ में जो हुआ उसका मिलन होगा।

आंशिक असमानताओं के बारे में क्या?

चूंकि उनके समाधान के दौरान असमानता के संकेत को बदलना आवश्यक हो सकता है, इसलिए योजना के सभी बिंदुओं का बहुत सावधानीपूर्वक और सावधानी से पालन करना आवश्यक है। अन्यथा, आपको विपरीत उत्तर मिल सकता है।

भिन्नात्मक असमानताओं को हल करने में भी अंतराल विधि का उपयोग किया जाता है। और कार्य योजना होगी:

• वर्णित गुणों का उपयोग करते हुए, अंश को ऐसा रूप दें कि चिह्न के दाईं ओर केवल शून्य ही रहे।
• असमानता को "=" से बदलें और उन बिंदुओं को निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन शून्य के बराबर होगा।
• उन्हें समन्वय अक्ष पर चिह्नित करें। इस स्थिति में, भाजक में गणनाओं से उत्पन्न संख्याएँ हमेशा बाहर निकाल दी जाएँगी। अन्य सभी असमानता की स्थिति पर आधारित हैं।
• स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें।
• इसके जवाब में, उन अंतरालों के मिलन को लिखिए जिनका चिन्ह उस से मेल खाता है जो मूल असमानता में था।

परिस्थितियाँ जब असमानता में तर्कहीनता प्रकट होती है

दूसरे शब्दों में, रिकॉर्ड में एक गणितीय जड़ होती है। चूंकि स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अधिकांश कार्य वर्गमूल के लिए हैं, यह वह है जिस पर विचार किया जाएगा।

तर्कहीन असमानताओं का समाधान दो या तीन की एक प्रणाली प्राप्त करने के लिए नीचे आता है जो मूल एक के बराबर होगा।

विभिन्न प्रकार की असमानताओं को हल करने के उदाहरण

असमानताओं को हल करने के सिद्धांत में स्पष्टता लाने के लिए नीचे उदाहरण दिए गए हैं।

पहला उदाहरण। 2x - 4 > 1 + x

समाधान: डीएचएस का निर्धारण करने के लिए, केवल असमानता को करीब से देखने की जरूरत है। से बनता है रैखिक कार्य, इसलिए इसे Variable के सभी Values ​​के लिए Define किया जाता है।

अब आपको असमिका के दोनों पक्षों से (1 + x) घटाना है। यह पता चला है: 2x - 4 - (1 + x)> 0। कोष्ठक खोले जाने और समान शब्द दिए जाने के बाद, असमानता निम्नलिखित रूप ले लेगी: x - 5> 0।

इसे शून्य के बराबर करने पर, इसका हल निकालना आसान है: x = 5.

अब इस बिंदु को 5 नंबर के साथ समन्वयित बीम पर चिह्नित किया जाना चाहिए। फिर मूल कार्य के संकेतों की जाँच करें। माइनस इनफिनिटी से 5 तक के पहले अंतराल पर, आप संख्या 0 ले सकते हैं और इसे परिवर्तनों के बाद प्राप्त असमानता में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। गणना के बाद यह -7 >0 निकलता है। अंतराल के चाप के नीचे आपको ऋण चिह्न पर हस्ताक्षर करने की आवश्यकता है।

5 से अनंत तक के अगले अंतराल पर, आप संख्या 6 चुन सकते हैं। फिर यह पता चलता है कि 1> 0. चाप के नीचे "+" चिन्ह अंकित है। यह दूसरा अंतराल असमानता का उत्तर होगा।

उत्तर: x अंतराल (5; ∞) में स्थित है।

दूसरा उदाहरण। दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है: 3x + 3 ≤ 2x + 1 और 3x - 2 ≤ 4x + 2।

समाधान। इन असमानताओं का ODZ भी किसी भी संख्या के क्षेत्र में स्थित है, क्योंकि रैखिक कार्य दिए गए हैं।

दूसरी असमानता निम्नलिखित समीकरण का रूप लेगी: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. परिवर्तन के बाद: -x - 4 =0। यह -4 के बराबर चर के लिए एक मान पैदा करता है।

अंतराल दिखाते हुए इन दो नंबरों को अक्ष पर चिह्नित किया जाना चाहिए। चूंकि असमानता सख्त नहीं है, इसलिए सभी बिंदुओं को छायांकित किया जाना चाहिए। पहला अंतराल माइनस इनफिनिटी से -4 तक है। बता दें कि संख्या -5 को चुना गया है। पहली असमानता मान -3 देगी, और दूसरी 1. इसलिए यह अंतराल उत्तर में शामिल नहीं है।

दूसरा अंतराल -4 से -2 तक है। आप संख्या -3 चुन सकते हैं और इसे दोनों असमानताओं में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। पहले और दूसरे में -1 का मान प्राप्त होता है। तो, चाप के नीचे "-"।

अंतिम अंतराल पर -2 से अनंत तक, शून्य सबसे अच्छी संख्या है। आपको इसे प्रतिस्थापित करने और असमानताओं के मूल्यों को खोजने की जरूरत है। उनमें से पहले में एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है, और दूसरे में शून्य। इस अंतराल को भी उत्तर से बाहर कर देना चाहिए।

तीन अंतरालों में से केवल एक ही असमानता का हल है।

उत्तर: x [-4 से संबंधित है; -2]।

तीसरा उदाहरण। |1 - एक्स| > 2 |x - 1|।

समाधान। पहला कदम उन बिंदुओं को निर्धारित करना है जिन पर कार्य गायब हो जाते हैं। बाईं ओर यह संख्या 2 होगी, दाईं ओर - 1. उन्हें बीम पर चिह्नित किया जाना चाहिए और स्थिरता के अंतराल निर्धारित किए जाने चाहिए।

पहले अंतराल पर, माइनस इनफिनिटी से 1 तक, असमानता के बाईं ओर से कार्य लेता है सकारात्मक मूल्य, और दाईं ओर - नकारात्मक। चाप के नीचे, आपको एक दूसरे के बगल में दो चिह्न "+" और "-" लिखने की आवश्यकता है।

अगला अंतराल 1 से 2 तक है। इस पर, दोनों कार्य सकारात्मक मान लेते हैं। तो, चाप के नीचे दो प्लसस हैं।

2 से अनंत तक का तीसरा अंतराल निम्नलिखित परिणाम देगा: बायां कार्य ऋणात्मक है, दायां कार्य सकारात्मक है।

परिणामी संकेतों को ध्यान में रखते हुए, सभी अंतरालों के लिए असमानता मूल्यों की गणना करना आवश्यक है।

पहले पर, निम्नलिखित असमानता प्राप्त की जाती है: 2 - x\u003e - 2 (x - 1)। दूसरी असमानता में दो से पहले ऋण इस तथ्य के कारण है कि यह कार्य नकारात्मक है।

परिवर्तन के बाद, असमानता इस तरह दिखती है: x > 0. यह तुरंत चर के मान देता है। यानी इस इंटरवल से सिर्फ 0 से 1 तक का इंटरवल ही रिस्पांस में जाएगा।

दूसरे पर: 2 - x\u003e 2 (x - 1)। रूपांतरण ऐसी असमानता देगा: -3x + 4 शून्य से बड़ा है। इसका शून्य मान x = 4/3 होगा। असमानता के चिन्ह को देखते हुए, यह पता चलता है कि x इस संख्या से कम होना चाहिए। इसका मतलब है कि यह अंतराल 1 से 4/3 के अंतराल तक घट जाता है।

उत्तरार्द्ध असमानता का निम्नलिखित रिकॉर्ड देता है: - (2 - x)> 2 (x - 1)। इसका परिवर्तन इस ओर ले जाता है: -x > 0. अर्थात, शून्य से कम x के लिए समीकरण सत्य है। इसका मतलब यह है कि असमानता आवश्यक अंतराल पर समाधान नहीं देती है।

पहले दो अंतरालों पर सीमा संख्या 1 थी। इसे अलग से जांचा जाना चाहिए। अर्थात्, मूल असमानता में स्थानापन्न करें। यह पता चला: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. गिनने से पता चलता है कि 1, 0 से बड़ा है। यह एक सत्य कथन है, इसलिए उत्तर में एक को शामिल किया गया है।

उत्तर: x अंतराल (0; 4/3) में स्थित है।

असमानताओं और असमानताओं की प्रणाली इसमें शामिल विषयों में से एक है उच्च विद्यालयबीजगणित में। कठिनाई के संदर्भ में, यह सबसे कठिन नहीं है, क्योंकि इसके सरल नियम हैं (उनके बारे में थोड़ी देर बाद)। एक नियम के रूप में, स्कूली बच्चे असमानताओं की प्रणाली का समाधान काफी आसानी से सीखते हैं। यह इस तथ्य के कारण भी है कि शिक्षक अपने छात्रों को इस विषय पर "प्रशिक्षित" करते हैं। और वे ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि भविष्य में इसका अध्ययन अन्य गणितीय मात्राओं के उपयोग के साथ किया जाता है, और OGE और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए भी जाँच की जाती है। में स्कूल की पाठ्यपुस्तकेंअसमानताओं और असमानताओं की प्रणालियों के विषय को बहुत विस्तार से कवर किया गया है, इसलिए यदि आप इसका अध्ययन करने जा रहे हैं, तो उनका सहारा लेना सबसे अच्छा है। यह लेख केवल बड़ी सामग्री को पुनः बताता है, और इसमें कुछ चूक हो सकती है।

असमानताओं की एक प्रणाली की अवधारणा

यदि हम वैज्ञानिक भाषा की ओर मुड़ें, तो हम "असमानताओं की प्रणाली" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह एक ऐसा गणितीय मॉडल है, जो कई असमानताओं को दर्शाता है। यह मॉडल, निश्चित रूप से, एक समाधान की आवश्यकता है, और यह कार्य में प्रस्तावित प्रणाली की सभी असमानताओं के लिए सामान्य उत्तर होगा (आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है, उदाहरण के लिए: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4 x + 1 > 2 और 30 - x > 6...")। हालाँकि, समाधानों के प्रकारों और विधियों पर जाने से पहले, आपको कुछ और समझने की आवश्यकता है।

असमानताओं की प्रणाली और समीकरणों की प्रणाली

अध्ययन की प्रक्रिया में नया विषयबहुत बार गलतफहमियां होती हैं। एक ओर, सब कुछ स्पष्ट है और मैं कार्यों को हल करना शुरू कर दूंगा, लेकिन दूसरी ओर, कुछ क्षण "छाया" में रहते हैं, वे अच्छी तरह से समझ में नहीं आते हैं। साथ ही, पहले से प्राप्त ज्ञान के कुछ तत्वों को नए के साथ जोड़ा जा सकता है। इस "ओवरले" के परिणामस्वरूप त्रुटियां अक्सर होती हैं।

इसलिए, हमारे विषय के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें समीकरणों और असमानताओं, उनकी प्रणालियों के बीच के अंतरों को याद करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक बार फिर यह समझाने की आवश्यकता है कि ये गणितीय अवधारणाएँ क्या हैं। एक समीकरण हमेशा एक समानता होती है, और यह हमेशा किसी चीज़ के बराबर होती है (गणित में, इस शब्द को चिन्ह "=" द्वारा दर्शाया जाता है)। असमानता एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक मान दूसरे से अधिक या कम होता है, या इसमें यह दावा शामिल होता है कि वे समान नहीं हैं। इस प्रकार, पहले मामले में, समानता के बारे में बात करना उचित है, और दूसरे में, प्रारंभिक डेटा की असमानता के बारे में, नाम से ही कितना स्पष्ट लग सकता है। समीकरणों और असमानताओं की प्रणालियाँ व्यावहारिक रूप से एक दूसरे से भिन्न नहीं होती हैं और उनके समाधान के तरीके समान हैं। अंतर केवल इतना है कि पूर्व समानता का उपयोग करता है, जबकि बाद वाला असमानताओं का उपयोग करता है।

असमानताओं के प्रकार

असमानताएँ दो प्रकार की होती हैं: संख्यात्मक और एक अज्ञात चर वाली। पहला प्रकार मान (संख्या) प्रदान किया जाता है जो एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, 8> 10. दूसरा प्रकार एक अज्ञात चर वाली असमानताएं हैं (लैटिन वर्णमाला के कुछ अक्षर द्वारा इंगित, अक्सर एक्स)। इस चर को खोजने की जरूरत है। कितने हैं, इस पर निर्भर करते हुए, गणितीय मॉडल एक के साथ असमानताओं के बीच अंतर करता है (वे एक चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) या कई चर (वे कई चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं)।

अंतिम दो प्रकार, उनके निर्माण की डिग्री और समाधान की जटिलता के स्तर के अनुसार, सरल और जटिल में विभाजित हैं। साधारण असमानताओं को रैखिक असमानताएँ भी कहा जाता है। वे, बदले में, सख्त और गैर-सख्त में विभाजित हैं। सख्त विशेष रूप से "कहें" कि एक मूल्य या तो कम या अधिक होना चाहिए, इसलिए यह शुद्ध असमानता है। इसके कई उदाहरण हैं: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, आदि। गैर-सख्त लोगों में समानता भी शामिल है। अर्थात्, एक मान दूसरे मान से अधिक या उसके बराबर हो सकता है (चिन्ह "≥") या किसी अन्य मान से कम या बराबर हो सकता है ("≤ चिह्न")। यहां तक ​​​​कि रैखिक असमानताओं में, चर मूल, वर्ग पर नहीं खड़ा होता है, किसी भी चीज़ से विभाज्य नहीं होता है, यही कारण है कि उन्हें "सरल" कहा जाता है। जटिल वाले में अज्ञात चर शामिल होते हैं, जिनकी खोज के लिए निष्पादन की आवश्यकता होती है अधिकगणितीय संचालन। वे अक्सर एक वर्ग, घन या जड़ के नीचे होते हैं, वे मॉड्यूलर, लॉगरिदमिक, भिन्नात्मक आदि हो सकते हैं। लेकिन चूँकि हमारा काम असमानताओं की प्रणालियों के समाधान को समझना है, हम रैखिक असमानताओं की प्रणाली के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, इससे पहले, उनके गुणों के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए।

असमानताओं के गुण

असमानताओं के गुणों में निम्नलिखित प्रावधान शामिल हैं:

1. यदि भुजाओं के अनुक्रम को बदलने की संक्रिया लागू की जाती है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2, तो t 2 ≥ t 1), तो असमिका चिह्न उलट जाता है।
2. असमानता के दोनों भाग आपको अपने आप में समान संख्या जोड़ने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2, तो t 1 + संख्या ≤ t 2 + संख्या)।
3. दो या दो से अधिक असमानताएँ जिनमें एक ही दिशा के चिह्न हैं, आपको उनके बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ने की अनुमति देती हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, तो t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2 और संख्या ≤ 0, तो संख्या t 1 ≥ संख्या t 2)।
5. दो या दो से अधिक असमानताएँ जिनमें धनात्मक शब्द हैं और एक ही दिशा का चिन्ह स्वयं को एक दूसरे से गुणा करने की अनुमति देता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 तो टी 1 टी 3 ≤ टी 2 टी 4)।
6. असमानता के दोनों हिस्से खुद को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं, लेकिन असमानता का चिन्ह बदल जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2 और संख्या ≤ 0, तो संख्या t 1 ≥ संख्या t 2)।
7. सभी असमानताओं में संक्रामकता का गुण होता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 ≤ t 2 और t 2 ≤ t 3, तो t 1 ≤ t 3)।

अब, असमानताओं से संबंधित सिद्धांत के मुख्य प्रावधानों का अध्ययन करने के बाद, हम सीधे उनकी प्रणालियों को हल करने के नियमों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

असमानताओं की प्रणालियों का समाधान। सामान्य जानकारी। समाधान

जैसा ऊपर बताया गया है, समाधान वेरिएबल के मान हैं जो दिए गए सिस्टम की सभी असमानताओं को फिट करते हैं। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान गणितीय संक्रियाओं का कार्यान्वयन है जो अंततः संपूर्ण प्रणाली के समाधान की ओर ले जाता है या यह साबित करता है कि इसका कोई समाधान नहीं है। इस मामले में, चर को खाली संख्यात्मक सेट (इस तरह लिखा गया है) को संदर्भित करने के लिए कहा जाता है: एक पत्र एक चर को दर्शाता है∈ (चिन्ह "संबंधित") ø (चिन्ह "रिक्त समुच्चय"), उदाहरण के लिए, x ∈ ø (इसमें लिखा है: "चर "x" रिक्त समुच्चय से संबंधित है")। असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं: ग्राफिकल, बीजगणितीय, प्रतिस्थापन विधि। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे हैं गणितीय मॉडल, जिसमें कई अज्ञात चर हैं। ऐसे मामले में जहां केवल एक ही है, अंतराल विधि उपयुक्त है।

ग्राफिकल तरीका

आपको कई अज्ञात (दो या अधिक से) के साथ असमानताओं की प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। इस पद्धति के लिए धन्यवाद, रैखिक असमानताओं की प्रणाली काफी आसानी से और जल्दी हल हो जाती है, इसलिए यह सबसे आम तरीका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्लॉटिंग से गणितीय संक्रियाओं को लिखने की मात्रा कम हो जाती है। कलम से थोड़ा ब्रेक लेना विशेष रूप से सुखद हो जाता है, एक शासक के साथ एक पेंसिल उठाएं और उनकी मदद से आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ें जब बहुत काम हो चुका हो और आप थोड़ी विविधता चाहते हों। हालाँकि यह विधिकुछ इसे इस तथ्य के कारण नापसंद करते हैं कि आपको कार्य से अलग होना पड़ता है और अपनी मानसिक गतिविधि को ड्राइंग में बदलना पड़ता है। हालाँकि, यह एक बहुत ही प्रभावी तरीका है।

का उपयोग कर असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिक तरीका, प्रत्येक असमानता की सभी शर्तों को उनके बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। चिह्नों को उल्टा कर दिया जाएगा, शून्य को दाईं ओर लिखा जाना चाहिए, फिर प्रत्येक असमानता को अलग-अलग लिखा जाना चाहिए। नतीजतन, कार्यों को असमानताओं से प्राप्त किया जाएगा। उसके बाद, आप एक पेंसिल और एक शासक प्राप्त कर सकते हैं: अब आपको प्राप्त प्रत्येक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है। संख्याओं का पूरा सेट जो उनके प्रतिच्छेदन के अंतराल में होगा, असमानताओं की प्रणाली का समाधान होगा।

बीजगणितीय तरीका

आपको दो अज्ञात चरों वाली असमानताओं की प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। साथ ही, असमानताओं में समान असमानता चिह्न होना चाहिए (अर्थात, उनमें या तो केवल "से अधिक" चिह्न होना चाहिए, या केवल "इससे कम" चिह्न, आदि) इसकी सीमाओं के बावजूद, यह विधि भी अधिक जटिल है। इसे दो चरणों में लगाया जाता है।

पहले में अज्ञात चरों में से एक से छुटकारा पाने के लिए क्रियाएं शामिल हैं। पहले आपको इसे चुनने की जरूरत है, फिर इस चर के सामने संख्याओं की उपस्थिति की जांच करें। यदि कोई नहीं है (तब चर एक अक्षर की तरह दिखेगा), तो हम कुछ भी नहीं बदलते हैं, अगर वहाँ है (चर का प्रकार होगा, उदाहरण के लिए, 5y या 12y), तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रत्येक असमानता में चयनित चर के सामने की संख्या समान है। ऐसा करने के लिए, आपको असमानताओं के प्रत्येक सदस्य को एक सामान्य कारक से गुणा करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यदि पहली असमानता में 3y और दूसरी में 5y लिखा गया है, तो आपको पहली असमानता के सभी सदस्यों को 5 से गुणा करना होगा , और दूसरा 3 से। यह क्रमशः 15y और 15y निकलेगा।

निर्णय का दूसरा चरण। प्रत्येक असमानता के बाईं ओर को उनके दाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है, प्रत्येक शब्द के विपरीत में परिवर्तन के साथ, दाईं ओर शून्य लिखें। इसके बाद मज़ेदार हिस्सा आता है: असमानताओं को जोड़ते हुए चुने गए चर (अन्यथा "कमी" के रूप में जाना जाता है) से छुटकारा पाना। आपको एक चर के साथ एक असमानता मिलेगी जिसे हल करने की आवश्यकता है। उसके बाद, आपको वही करना चाहिए, केवल एक अन्य अज्ञात चर के साथ। प्राप्त परिणाम सिस्टम का समाधान होगा।

प्रतिस्थापन विधि

जब एक नया चर पेश करना संभव हो तो आपको असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। आमतौर पर इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब असमानता के एक पद में अज्ञात चर को चौथी शक्ति तक बढ़ाया जाता है, और दूसरे पद में इसे चुकता किया जाता है। इस प्रकार, इस पद्धति का उद्देश्य प्रणाली में असमानताओं की डिग्री को कम करना है। नमूना असमानता x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 इस तरह से हल किया गया है। एक नया चर पेश किया गया है, उदाहरण के लिए टी। वे लिखते हैं: "चलो टी = एक्स 2", फिर मॉडल को एक नए रूप में फिर से लिखा जाता है। हमारे मामले में, हमें t 2 - t - 1 ≤0 मिलता है। इस असमानता को अंतराल विधि (इसके बारे में थोड़ी देर बाद) द्वारा हल करने की आवश्यकता है, फिर चर X पर वापस लौटें, फिर दूसरी असमानता के साथ भी ऐसा ही करें। प्राप्त उत्तर सिस्टम का निर्णय होगा।

अंतराल विधि

असमानताओं की प्रणालियों को हल करने का यह सबसे आसान तरीका है, और साथ ही यह सार्वभौमिक और व्यापक है। इसका उपयोग हाई स्कूल में और यहां तक ​​कि हाई स्कूल में भी किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि छात्र संख्या रेखा पर असमानता के अंतराल की तलाश कर रहा है, जो एक नोटबुक में खींची गई है (यह एक ग्राफ नहीं है, बल्कि संख्याओं के साथ एक साधारण सीधी रेखा है)। जहां असमानताओं के अंतराल प्रतिच्छेद करते हैं, वहां सिस्टम का समाधान पाया जाता है। रिक्ति विधि का उपयोग करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करने की आवश्यकता है:

1. प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, इसके विपरीत एक संकेत परिवर्तन होता है (दाईं ओर शून्य लिखा जाता है)।
2. असमानताओं को अलग से लिखा जाता है, उनमें से प्रत्येक का समाधान निर्धारित किया जाता है।
3. वास्तविक रेखा पर असमानताओं के प्रतिच्छेदन पाए जाते हैं। इन चौराहों पर सभी नंबरों का समाधान होगा।

किस तरीके से करें इस्तेमाल?

जाहिर है कि सबसे आसान और सुविधाजनक लगता है, लेकिन कई बार ऐसा होता है जब कार्यों के लिए एक निश्चित विधि की आवश्यकता होती है। अक्सर, वे कहते हैं कि आपको या तो ग्राफ का उपयोग करके या अंतराल विधि का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है। बीजगणितीय विधि और प्रतिस्थापन का उपयोग बहुत कम या बिल्कुल नहीं किया जाता है, क्योंकि वे काफी जटिल और भ्रामक हैं, और इसके अलावा, वे असमानताओं के बजाय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए अधिक उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको रेखांकन और अंतराल का सहारा लेना चाहिए। वे दृश्यता लाते हैं, जो गणितीय संक्रियाओं के कुशल और तेज संचालन में योगदान किए बिना नहीं रह सकता।

अगर कुछ काम नहीं करता है

बीजगणित में किसी विशेष विषय के अध्ययन के दौरान निश्चित रूप से उसे समझने में समस्या उत्पन्न हो सकती है। और यह सामान्य है, क्योंकि हमारे मस्तिष्क को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि यह जटिल सामग्री को एक बार में समझने में सक्षम नहीं है। अक्सर आपको एक पैराग्राफ को फिर से पढ़ने, शिक्षक की मदद लेने या विशिष्ट समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में, उदाहरण के लिए, वे इस तरह दिखते हैं: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3 x + 1 ≥ 0 और 2 x - 1> 3"। इस प्रकार, व्यक्तिगत प्रयास, तीसरे पक्ष के लोगों की मदद और अभ्यास किसी भी जटिल विषय को समझने में मदद करते हैं।

रेशेबनिक?

और समाधान पुस्तिका भी बहुत अच्छी तरह से अनुकूल है, लेकिन गृहकार्य में धोखा देने के लिए नहीं, बल्कि स्व-सहायता के लिए। उनमें, आप एक समाधान के साथ असमानताओं की प्रणाली पा सकते हैं, उन्हें (पैटर्न के रूप में) देखें, यह समझने की कोशिश करें कि समाधान के लेखक ने कार्य के साथ कैसे मुकाबला किया, और फिर इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

निष्कर्ष

बीजगणित स्कूल में सबसे कठिन विषयों में से एक है। अच्छा, तुम क्या कर सकते हो? गणित हमेशा से ऐसा ही रहा है: कुछ के लिए यह आसानी से आ जाता है, और कुछ के लिए यह कठिन होता है। लेकिन किसी भी मामले में, यह याद रखना चाहिए कि सामान्य शिक्षा कार्यक्रम इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि कोई भी छात्र इसका सामना कर सके। इसके अलावा, आपको बड़ी संख्या में सहायकों को ध्यान में रखना होगा। उनमें से कुछ का उल्लेख ऊपर किया गया है।