जटिल लघुगणकीय असमानता विश्वविद्यालय। लॉगरिदमिक असमानताओं के बारे में सब कुछ

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक:

• स्तर 1 - लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करना सिखाएं;
• स्तर 2 - लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करें, अपनी खुद की समाधान विधि चुनें;
• स्तर 3 - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल को लागू करने में सक्षम होना।

विकसित होना:स्मृति, ध्यान विकसित करें, तार्किक सोच, तुलना कौशल, सामान्यीकरण और निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना

शैक्षिक:सटीकता की खेती करने के लिए, किए गए कार्य की जिम्मेदारी, पारस्परिक सहायता।

शिक्षण विधियों: मौखिक , तस्वीर , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

संगठन के रूप संज्ञानात्मक गतिविधिछात्र: ललाट , व्यक्तिगत , जोड़े में काम।

उपकरण: परीक्षण कार्यों का एक सेट, एक संदर्भ नोट, समाधान के लिए रिक्त पत्रक।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।पाठ के विषय और उद्देश्यों की घोषणा की जाती है, पाठ की योजना: प्रत्येक छात्र को एक मूल्यांकन पत्रक दिया जाता है, जिसे छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - कार्यों के साथ मुद्रित सामग्री, आपको कार्यों को जोड़े में पूरा करने की आवश्यकता है; साफ चादरेंसमाधान के लिए; संदर्भ पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ, उसके गुण; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

स्व-मूल्यांकन के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

छात्र स्कोर शीट

2. ज्ञान की प्राप्ति।

शिक्षक निर्देश। लॉगरिदम की परिभाषा, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और उसके गुण याद रखें। ऐसा करने के लिए, श्री ए अलीमोव, यू.एम कोल्यागिन और अन्य द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" के पीपी। 88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें।

छात्रों को पत्रक दिए जाते हैं जिन पर लिखा होता है: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन, उसके गुणों का ग्राफ दिखाता है; लघुगणक के गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, एक लघुगणक असमानता को हल करने का एक उदाहरण जो एक वर्ग में कम हो जाता है।

3. नई सामग्री सीखना।

लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता पर आधारित है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

ए) असमानता की परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं (सबलॉगरिदमिक व्यंजक शून्य से बड़ा है)।
बी) असमानता के बाएँ और दाएँ भागों को एक ही आधार में लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें (यदि संभव हो)।
सी) निर्धारित करें कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है: यदि t>1, तो बढ़ रहा है; अगर 0 1, फिर घट रहा है।
डी) और अधिक पर जाएं साधारण असमानता(सबलॉगरिदमिक एक्सप्रेशन), यह देखते हुए कि यदि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो असमानता चिह्न संरक्षित रहेगा, और घटने पर बदल जाएगा।

सीखने का तत्व # 1।

उद्देश्य: सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन का रूप: व्यक्तिगत कार्य।

के लिए कार्य स्वतंत्र काम 10 मिनट के लिए। प्रत्येक असमानता के लिए, कई उत्तर हैं, आपको सही उत्तर चुनने और कुंजी द्वारा जांच करने की आवश्यकता है।

कुंजी: 13321, अधिकतम अंक - 6 पी।

सीखने का तत्व # 2।

उद्देश्य: लघुगणक के गुणों को लागू करके लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना।

शिक्षक निर्देश। लघुगणक के मूल गुणों को याद करें। ऐसा करने के लिए, पाठ्यपुस्तक का पाठ पृष्ठ 92, 103-104 पर पढ़ें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य।

कुंजी: 2113, अंकों की अधिकतम संख्या 8 ख है।

सीखने का तत्व #3।

उद्देश्य: वर्ग में कमी की विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं के समाधान का अध्ययन करना।

शिक्षक के निर्देश: एक वर्ग में असमानता को कम करने की विधि यह है कि आपको इस चर के संबंध में एक वर्ग असमानता प्राप्त करते हुए, असमानता को इस तरह के रूप में बदलने की आवश्यकता है कि कुछ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को एक नए चर द्वारा दर्शाया गया है।

आइए अंतराल विधि का उपयोग करें।

आपने सामग्री को आत्मसात करने के पहले स्तर को पार कर लिया है। अब आपको समाधान का तरीका खुद चुनना होगा लघुगणक समीकरणअपने सभी ज्ञान और क्षमताओं का उपयोग करना।

लर्निंग एलिमेंट नंबर 4।

उद्देश्य: इसे स्वयं हल करने का एक तर्कसंगत तरीका चुनकर लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करना।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

लर्निंग एलिमेंट नंबर 5.

शिक्षक निर्देश। बहुत बढ़िया! आपने जटिलता के दूसरे स्तर के समीकरणों को हल करने में महारत हासिल कर ली है। आपके आगे के काम का उद्देश्य अपने ज्ञान और कौशल को अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में लागू करना है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक निर्देश। यदि आपने सारा काम कर लिया है तो यह बहुत अच्छा है। बहुत बढ़िया!

पूरे पाठ के लिए ग्रेड सभी शैक्षिक तत्वों के लिए प्राप्त अंकों की संख्या पर निर्भर करता है:

• अगर एन 20, तो आपको "5" का स्कोर मिलता है,
• 16 एन ≤ 19 के लिए - स्कोर "4",
• 8 एन ≤ 15 के लिए - स्कोर "3",
• एन . पर< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को सौंपने के लिए अनुमानित लोमड़ियों।

5. गृहकार्य: यदि आपने 15 बी से अधिक स्कोर नहीं किया है - गलतियों पर काम करें (शिक्षक से समाधान लिया जा सकता है), यदि आपने 15 बी से अधिक स्कोर किया है - "लॉगरिदमिक असमानताओं" विषय पर एक रचनात्मक कार्य करें।

क्या आपको लगता है कि परीक्षा से पहले अभी भी समय है, और आपके पास तैयारी के लिए समय होगा? शायद ऐसा ही है। लेकिन किसी भी मामले में, छात्र जितनी जल्दी प्रशिक्षण शुरू करता है, उतनी ही सफलतापूर्वक वह परीक्षा उत्तीर्ण करता है। आज हमने लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए एक लेख समर्पित करने का निर्णय लिया। यह उन कार्यों में से एक है, जिसका अर्थ है एक अतिरिक्त अंक प्राप्त करने का अवसर।

क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक (लॉग) क्या है? हम वास्तव में ऐसा आशा करते हैं। लेकिन अगर आपके पास इस सवाल का जवाब नहीं है, तो भी कोई समस्या नहीं है। यह समझना बहुत आसान है कि लघुगणक क्या है।

ठीक 4 क्यों? 81 प्राप्त करने के लिए आपको संख्या 3 को ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। जब आप सिद्धांत को समझते हैं, तो आप अधिक जटिल गणनाओं के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

आप कुछ साल पहले असमानताओं से गुजरे थे। और तब से आप लगातार उनसे गणित में मिलते हैं। यदि आपको असमानताओं को हल करने में समस्या हो रही है, तो उपयुक्त अनुभाग देखें।
अब, जब हम अवधारणाओं से अलग-अलग परिचित हो जाते हैं, तो हम सामान्य रूप से उनके विचार पर विचार करेंगे।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानता।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएं इस उदाहरण तक सीमित नहीं हैं, तीन और हैं, केवल विभिन्न संकेतों के साथ। इसकी आवश्यकता क्यों है? बेहतर ढंग से समझने के लिए कि लघुगणक के साथ असमानता को कैसे हल किया जाए। अब हम एक अधिक लागू उदाहरण देते हैं, फिर भी काफी सरल, हम जटिल लघुगणकीय असमानताओं को बाद के लिए छोड़ देते हैं।

इसे कैसे हल करें? यह सब ODZ से शुरू होता है। यदि आप किसी भी असमानता को हमेशा आसानी से हल करना चाहते हैं तो आपको इसके बारे में अधिक जानकारी होनी चाहिए।

ODZ क्या है? लॉगरिदमिक असमानताओं के लिए डीपीवी

संक्षिप्त नाम मान्य मानों की श्रेणी के लिए है। परीक्षा के लिए असाइनमेंट में, यह शब्द अक्सर पॉप अप होता है। डीपीवी न केवल लघुगणकीय असमानताओं के मामले में आपके लिए उपयोगी है।

उपरोक्त उदाहरण को फिर से देखें। हम इसके आधार पर ODZ पर विचार करेंगे, ताकि आप सिद्धांत को समझ सकें, और लघुगणकीय असमानताओं के समाधान पर सवाल न उठें। यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि 2x+4 शून्य से बड़ा होना चाहिए। हमारे मामले में, इसका मतलब निम्नलिखित है।

यह संख्या परिभाषा के अनुसार धनात्मक होनी चाहिए। ऊपर प्रस्तुत असमानता को हल करें। यह मौखिक रूप से भी किया जा सकता है, यहाँ यह स्पष्ट है कि X 2 से कम नहीं हो सकता। असमानता का समाधान स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की परिभाषा होगी।
अब आइए सबसे सरल लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

हम असमानता के दोनों भागों से लघुगणक को स्वयं हटा देते हैं। परिणामस्वरूप हमारे लिए क्या बचा है? साधारण असमानता।

इसे हल करना आसान है। X -0.5 से बड़ा होना चाहिए। अब हम दो प्राप्त मूल्यों को सिस्टम में जोड़ते हैं। इस तरह,

यह माना लॉगरिदमिक असमानता के लिए स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र होगा।

ODZ की बिल्कुल आवश्यकता क्यों है? यह गलत और असंभव उत्तरों को हटाने का एक अवसर है। यदि उत्तर स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर नहीं है, तो उत्तर का कोई मतलब नहीं है। यह लंबे समय तक याद रखने योग्य है, क्योंकि परीक्षा में अक्सर ODZ की खोज करने की आवश्यकता होती है, और यह न केवल लघुगणकीय असमानताओं की चिंता करता है।

लॉगरिदमिक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम

समाधान में कई चरण होते हैं। सबसे पहले, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजना आवश्यक है। ODZ में दो मान होंगे, हमने इसे ऊपर माना है। अगला कदम असमानता को ही हल करना है। समाधान के तरीके इस प्रकार हैं:

• गुणक प्रतिस्थापन विधि;
• अपघटन;
• युक्तिकरण विधि।

स्थिति के आधार पर, उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग किया जाना चाहिए। चलिए सीधे समाधान पर चलते हैं। हम सबसे लोकप्रिय विधि प्रकट करेंगे जो लगभग सभी मामलों में यूएसई कार्यों को हल करने के लिए उपयुक्त है। अगला, हम अपघटन विधि पर विचार करेंगे। यदि आप विशेष रूप से "मुश्किल" असमानता का सामना करते हैं तो यह मदद कर सकता है। तो, लघुगणक असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

समाधान उदाहरण :

यह व्यर्थ नहीं है कि हमने ऐसी असमानता को ठीक किया! आधार पर ध्यान दें। याद रखें: यदि यह एक से अधिक है, तो मान्य मानों की सीमा का पता लगाने पर चिह्न वही रहता है; अन्यथा, असमानता के संकेत को बदलना होगा।

परिणामस्वरूप, हमें असमानता मिलती है:

अब हम बायीं ओर को शून्य के बराबर समीकरण के रूप में लाते हैं। "से कम" चिह्न के बजाय, हम "बराबर" डालते हैं, हम समीकरण को हल करते हैं। इस प्रकार, हम ODZ पाएंगे। हमें उम्मीद है कि इस तरह के समाधान के साथ सरल समीकरणआपको कोई समस्या नहीं होगी। उत्तर -4 और -2 हैं। वह सब कुछ नहीं हैं। आपको इन बिंदुओं को चार्ट पर प्रदर्शित करने की आवश्यकता है, "+" और "-" रखें। इसके लिए क्या करने की जरूरत है? अंतराल से व्यंजक में संख्याएँ रखें। जहां मान सकारात्मक हैं, हम वहां "+" डालते हैं।

उत्तर: x -4 से बड़ा और -2 से छोटा नहीं हो सकता।

हमने केवल बाईं ओर के लिए मान्य मानों की सीमा पाई, अब हमें दाईं ओर के लिए मान्य मानों की श्रेणी खोजने की आवश्यकता है। यह किसी भी तरह से आसान नहीं है। उत्तर: -2। हम दोनों प्राप्त क्षेत्रों को काटते हैं।

और केवल अब हम असमानता को ही हल करना शुरू करते हैं।

आइए इसे तय करना आसान बनाने के लिए इसे जितना संभव हो उतना सरल करें।

हम समाधान में फिर से अंतराल विधि का उपयोग करते हैं। आइए गणनाओं को छोड़ दें, उसके साथ पिछले उदाहरण से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। उत्तर।

लेकिन यह विधि उपयुक्त है यदि लॉगरिदमिक असमानता के समान आधार हैं।

लघुगणक समीकरणों और असमानताओं को हल करना अलग आधारएक आधार पर प्रारंभिक कमी का अनुमान लगाता है। फिर उपरोक्त विधि का प्रयोग करें। लेकिन एक और पेचीदा मामला भी है। सबसे में से एक पर विचार करें जटिल प्रकारलघुगणकीय असमानताएँ।

चर आधार के साथ लघुगणकीय असमानताएँ

ऐसी विशेषताओं वाली असमानताओं को कैसे हल करें? हां, और ऐसा परीक्षा में पाया जा सकता है। असमानताओं को निम्न प्रकार से हल करने से भी आप पर लाभकारी प्रभाव पड़ेगा शैक्षिक प्रक्रिया. आइए समझते हैं मामला विस्तार से. आइए सिद्धांत को एक तरफ रख दें और सीधे अभ्यास पर जाएं। लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए, उदाहरण के साथ खुद को परिचित करना पर्याप्त है।

प्रस्तुत प्रपत्र की लघुगणकीय असमानता को हल करने के लिए कम करना आवश्यक है दाईं ओरएक ही आधार के साथ लघुगणक के लिए। सिद्धांत समकक्ष संक्रमण जैसा दिखता है। नतीजतन, असमानता इस तरह दिखेगी।

वास्तव में, यह लघुगणक के बिना असमानताओं की एक प्रणाली बनाने के लिए बनी हुई है। युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, हम असमानताओं की एक समान प्रणाली को पास करते हैं। जब आप उचित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और उनके परिवर्तनों का पालन करते हैं तो आप नियम को स्वयं समझेंगे। प्रणाली में निम्नलिखित असमानताएँ होंगी।

युक्तिकरण विधि का उपयोग करते हुए, असमानताओं को हल करते समय, आपको निम्नलिखित को याद रखने की आवश्यकता है: आपको आधार से एक घटाना होगा, x, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, असमानता के दोनों भागों (बाएं से दाएं) से घटाया जाता है, दो व्यंजकों को गुणा किया जाता है और शून्य के सापेक्ष मूल चिह्न के अंतर्गत सेट किया जाता है।

आगे का समाधान अंतराल विधि द्वारा किया जाता है, यहां सब कुछ सरल है। समाधान विधियों में अंतर को समझना आपके लिए महत्वपूर्ण है, फिर सब कुछ आसानी से काम करना शुरू कर देगा।

लॉगरिदमिक असमानताओं में कई बारीकियां हैं। उनमें से सबसे सरल हल करने में काफी आसान हैं। इसे कैसे बनाया जाए ताकि उनमें से प्रत्येक को बिना किसी समस्या के हल किया जा सके? आपको इस लेख में सभी उत्तर पहले ही मिल चुके हैं। अब आपके सामने एक लंबा अभ्यास है। परीक्षा के भीतर विभिन्न समस्याओं को हल करने का लगातार अभ्यास करें और आप उच्चतम अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे। आपके कठिन कार्य में शुभकामनाएँ!

एक असमानता को लघुगणक कहा जाता है यदि इसमें एक लघुगणकीय कार्य होता है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीके दो चीजों को छोड़कर अलग नहीं हैं।

सबसे पहले, लघुगणकीय असमानता से नीचे की असमानता में जाने पर लघुगणक कार्यचाहिए परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है।

यदि लघुगणकीय फलन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक फलनों की असमानता में जाने पर, असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है, और यदि यह $1$ से कम है, तो इसे उलट दिया जाता है।

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-वर्गीय कार्यों की असमानता के समाधान के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली की रचना करना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता की असमानता होगी सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, और दूसरा लॉगरिदमिक असमानता में शामिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की परिभाषा के डोमेन का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )