लघुगणक के साथ सबसे सरल असमानताएँ। लॉगरिदमिक असमानताएं

परिचय

लघुगणक का आविष्कार गणना को गति देने और सरल बनाने के लिए किया गया था। लघुगणक का विचार, अर्थात् संख्याओं को एक ही आधार की शक्ति के रूप में व्यक्त करने का विचार मिखाइल स्टिफ़ेल का है। लेकिन स्टीफेल के समय में गणित इतना विकसित नहीं था और लघुगणक के विचार को इसका विकास नहीं मिला। लघुगणक का आविष्कार बाद में एक साथ और स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश वैज्ञानिक जॉन नेपियर (1550-1617) और स्विस जॉबस्ट बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। नेपियर 1614 में काम प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण" शीर्षक से, नेपियर का लघुगणक का सिद्धांत पर्याप्त रूप से दिया गया था पूरे में, लघुगणक की गणना की विधि सबसे सरल तरीके से दी गई है, इसलिए लघुगणक के आविष्कार में नेपियर की योग्यता बर्गी की तुलना में अधिक है। बर्गी ने नेपियर के साथ ही टेबल पर काम किया, लेकिन उन्हें लंबे समय तक गुप्त रखा और उन्हें केवल 1620 में प्रकाशित किया। नेपियर ने 1594 के आसपास लघुगणक के विचार में महारत हासिल की। हालाँकि तालिकाओं को 20 साल बाद प्रकाशित किया गया था। सबसे पहले, उन्होंने अपने लॉगरिदम को "कृत्रिम संख्या" कहा और उसके बाद ही इन "कृत्रिम संख्याओं" को एक शब्द "लॉगरिदम" में कॉल करने का प्रस्ताव दिया, जो ग्रीक में "सहसंबद्ध संख्या" है, एक अंकगणितीय प्रगति से लिया गया है, और दूसरा एक से लिया गया है। इसके लिए विशेष रूप से चयनित ज्यामितीय प्रगति। प्रगति। रूसी में पहली टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। 18वीं शताब्दी के एक उल्लेखनीय शिक्षक की भागीदारी के साथ। एल एफ मैग्निट्स्की। लघुगणक के सिद्धांत के विकास में बहुत महत्वसेंट पीटर्सबर्ग के शिक्षाविद लियोनहार्ड यूलर का काम था। वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने लघुगणक को घातांक के विलोम के रूप में माना, उन्होंने "लघुगणक का आधार" और "मंटिसा" शब्द पेश किए, ब्रिग्स ने आधार 10 के साथ लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं। दशमलव तालिकाएँ व्यावहारिक उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक हैं, उनका सिद्धांत सरल है नेपियर के लघुगणक का। इसीलिए दशमलव लघुगणककभी-कभी ब्रिग्स कहा जाता है। शब्द "विशेषता" ब्रिग्स द्वारा पेश किया गया था।

उन दूर के समय में, जब ज्ञानियों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानता के बारे में सोचना शुरू किया, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या पर्स नहीं थे। लेकिन दूसरी ओर, ढेर, साथ ही बर्तन, टोकरियाँ थीं, जो अज्ञात संख्या में वस्तुओं वाले कैश-स्टोर की भूमिका के लिए एकदम सही थीं। प्राचीन में गणितीय समस्यामेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोर की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। शास्त्रियों, अधिकारियों और पुजारियों ने गुप्त ज्ञान की शुरुआत की, गिनती के विज्ञान में अच्छी तरह से प्रशिक्षित, ऐसे कार्यों का सफलतापूर्वक सामना किया।

जो स्रोत हमारे पास आए हैं, वे बताते हैं कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके थे। हालांकि, एक भी पपीरस नहीं, एक भी मिट्टी की गोली इन तकनीकों का विवरण नहीं देती है। लेखकों ने कभी-कभी अपनी संख्यात्मक गणनाओं को औसत टिप्पणियों के साथ आपूर्ति की जैसे: "देखो!", "ऐसा करो!", "आपने इसे सही पाया।" इस अर्थ में, अपवाद ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस ऑफ अलेक्जेंड्रिया (III सदी) का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह।

हालांकि, 9वीं शताब्दी के बगदाद विद्वान का काम व्यापक रूप से ज्ञात समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल बन गया। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। इस ग्रंथ के अरबी शीर्षक से "अल-जबर" शब्द - "किताब अल-जबर वाल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापना और विपरीतता की पुस्तक") - समय के साथ "बीजगणित" शब्द में बदल गया, जो सभी के लिए जाना जाता है, और अल-ख्वारिज्मी के काम ने समीकरणों को सुलझाने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया।

लघुगणक समीकरण और असमानताएँ

1. लघुगणक समीकरण

लघुगणक के चिन्ह के नीचे या उसके आधार पर अज्ञात को समाहित करने वाले समीकरण को लघुगणकीय समीकरण कहा जाता है।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण रूप का समीकरण है

लकड़ी का लट्ठा एक एक्स = बी . (1)

कथन 1. यदि एक > 0, एक 1, समीकरण (1) किसी भी वास्तविक के लिए बीयह है केवल निर्णय एक्स = एक बी .

उदाहरण 1. समीकरण हल करें:

ए) लॉग 2 एक्स= 3, बी) लॉग 3 एक्स= -1, ग)

समाधान। कथन 1 का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं a) एक्स= 2 3 या एक्स= 8; बी) एक्स= 3 -1 या एक्स= 1/3; सी)

या एक्स = 1.

हम लघुगणक के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

पी1. मूल लघुगणकीय पहचान:

कहाँ पे एक > 0, एक 1 और बी > 0.

पी 2. सकारात्मक कारकों के उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैइन कारकों के लघुगणक:

लकड़ी का लट्ठा एक एनएक · एन 2 = लॉग एक एन 1 + लॉग एक एन 2 (एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। यदि एक एनएक · एन 2 > 0, तब गुण P2 रूप लेता है

लकड़ी का लट्ठा एक एनएक · एन 2 = लॉग एक |एन 1 | +लोग एक |एन 2 | (एक > 0, एक ≠ 1, एनएक · एन 2 > 0).

पी3. दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक भाज्य और भाजक के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

(एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। यदि एक

, (जो बराबर है एन 1 एन 2 > 0) तब गुण P3 रूप लेता है

(एक > 0, एक ≠ 1, एन 1 एन 2 > 0).

पी4. एक धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक इस संख्या के घातांक और लघुगणक के गुणनफल के बराबर होता है:

लकड़ी का लट्ठा एक एन क = कलकड़ी का लट्ठा एक एन (एक > 0, एक ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी। यदि एक क- सम संख्या ( क = 2एस), फिर

लकड़ी का लट्ठा एक एन 2एस = 2एसलकड़ी का लट्ठा एक |एन | (एक > 0, एक ≠ 1, एन ≠ 0).

पी5. दूसरे आधार पर जाने का सूत्र है:

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1, एन > 0),

विशेष रूप से यदि एन = बी, हम पाते हैं

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1). (2)

गुण P4 और P5 का उपयोग करके, निम्नलिखित गुण प्राप्त करना आसान है

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (3) (एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (4)

(एक > 0, एक ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (5)

और अगर (5) में सी- सम संख्या ( सी = 2एन), घटित होना

(बी > 0, एक ≠ 0, |एक | ≠ 1). (6)

हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं एफ (एक्स) = लॉग एक एक्स :

1. लघुगणकीय फलन का क्षेत्र धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

2. लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी वास्तविक संख्याओं का समूह है।

3. कब एक > 1 लॉगरिदमिक फ़ंक्शनसख्ती से बढ़ रहा है (0< एक्स 1 < एक्स 2 लॉग एक एक्स 1 < logएक एक्स 2), और 0 . पर< एक < 1, - строго убывает (0 < एक्स 1 < एक्स 2 लॉग एक एक्स 1 > लॉग एक एक्स 2).

4 लॉग एक 1 = 0 और लॉग एक एक = 1 (एक > 0, एक ≠ 1).

5. अगर एक> 1, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के लिए ऋणात्मक है एक्स(0;1) और के लिए सकारात्मक है एक्स(1;+∞), और अगर 0< एक < 1, то логарифмическая функция положительна при एक्स (0;1) और के लिए ऋणात्मक है एक्स (1;+∞).

6. अगर एक> 1, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन उत्तल ऊपर की ओर होता है, और यदि एक(0;1) - उत्तल नीचे।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने में निम्नलिखित कथनों (उदाहरण के लिए, देखें) का उपयोग किया जाता है।

लॉगरिदमिक असमानताएं

पिछले पाठों में, हम लघुगणकीय समीकरणों से परिचित हुए और अब हम जानते हैं कि वे क्या हैं और उन्हें कैसे हल किया जाए। और आज का पाठ लघुगणकीय असमानताओं के अध्ययन के लिए समर्पित होगा। ये असमानताएँ क्या हैं और लघुगणक समीकरण और असमानताओं को हल करने में क्या अंतर है?

लघुगणकीय असमानताएँ वे असमानताएँ हैं जिनका लघुगणक के चिह्न के नीचे या उसके आधार पर चर होता है।

या, आप यह भी कह सकते हैं कि लघुगणक असमानता- यह एक ऐसी असमानता है जिसमें इसका अज्ञात मान, जैसे कि लघुगणक समीकरण में, लघुगणक के चिह्न के नीचे होगा।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएँ इस तरह दिखती हैं:

जहाँ f(x) और g(x) कुछ व्यंजक हैं जो x पर निर्भर करते हैं।

आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इसे देखें: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि जब उन्हें हल किया जाता है, तो वे समान होते हैं घातीय असमानताएँ, अर्थात्:

सबसे पहले, जब लघुगणक के चिह्न के तहत लघुगणक से व्यंजकों की ओर बढ़ते हैं, तो हमें लघुगणक के आधार की तुलना एक से करने की भी आवश्यकता होती है;

दूसरे, चर के परिवर्तन का उपयोग करके एक लघुगणकीय असमानता को हल करते समय, हमें परिवर्तन के संबंध में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता होती है जब तक कि हमें सबसे सरल असमानता न मिल जाए।

लेकिन यह हम ही थे जिन्होंने लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के समान क्षणों पर विचार किया। अब आइए एक महत्वपूर्ण अंतर को देखें। आप और मैं जानते हैं कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा का एक सीमित डोमेन है, इसलिए, लॉगरिदम से उन अभिव्यक्तियों की ओर बढ़ते समय, जो लॉगरिदम के संकेत के तहत हैं, आपको अनुमेय मानों की सीमा (ODV) को ध्यान में रखना होगा। .

यानी इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि लघुगणक समीकरणहम पहले समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं, और फिर इस हल की जाँच कर सकते हैं। लेकिन लॉगरिदमिक असमानता को हल करना इस तरह से काम नहीं करेगा, क्योंकि लॉगरिदम के संकेत के तहत लॉगरिदम से अभिव्यक्तियों तक जाने के लिए, असमानता के ODZ को लिखना आवश्यक होगा।

इसके अलावा, यह याद रखने योग्य है कि असमानताओं के सिद्धांत में वास्तविक संख्याएं होती हैं, जो सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं होती हैं, साथ ही संख्या 0 भी होती है।

उदाहरण के लिए, जब संख्या "a" धनात्मक हो, तो निम्न संकेतन का उपयोग किया जाना चाहिए: a > 0. इस स्थिति में, इन संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों भी धनात्मक होंगे।

एक असमानता को हल करने का मूल सिद्धांत इसे एक सरल असमानता से बदलना है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह दिए गए के बराबर है। इसके अलावा, हमने एक असमानता भी प्राप्त की और इसे फिर से एक सरल रूप के साथ बदल दिया, और इसी तरह।

एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको इसके सभी समाधान खोजने होंगे। यदि दो असमानताओं में एक ही चर x है, तो ऐसी असमानताएं समतुल्य हैं, बशर्ते कि उनके समाधान समान हों।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए कार्य करते समय, यह याद रखना आवश्यक है कि जब a> 1, तब लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ता है, और जब 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीके

आइए अब कुछ ऐसे तरीकों को देखें जो लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय होते हैं। बेहतर समझ और आत्मसात करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।

हम जानते हैं कि सबसे सरल लघुगणकीय असमानता का निम्न रूप है:

इस असमानता में, वी - ऐसे असमानता संकेतों में से एक है:<,>, या .

जब इस लघुगणक का आधार एक (a>1) से बड़ा होता है, जिससे लघुगणक के चिह्न के तहत लघुगणक से व्यंजकों में संक्रमण होता है, तो इस संस्करण में असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है, और असमानता इस तरह दिखेगी:

जो निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है:

उस स्थिति में जब लघुगणक का आधार शून्य से बड़ा और एक से कम (0 .) हो

यह इस प्रणाली के बराबर है:

आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के और उदाहरण देखें:

उदाहरणों का समाधान

व्यायाम।आइए इस असमानता को हल करने का प्रयास करें:

स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र का निर्णय।

आइए अब इसके दाहिने हिस्से को इससे गुणा करने का प्रयास करें:

आइए देखें कि हम क्या कर सकते हैं:

अब, आइए सबलॉगरिदमिक व्यंजकों के रूपांतरण की ओर बढ़ते हैं। चूँकि लघुगणक का आधार 0 . है< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x> 24;
एक्स > 8.

और इससे यह पता चलता है कि हमने जो अंतराल प्राप्त किया है वह पूरी तरह से ODZ का है और इस तरह की असमानता का समाधान है।

यहाँ उत्तर हमें मिला है:

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए क्या आवश्यक है?

आइए अब विश्लेषण करने का प्रयास करें कि लॉगरिदमिक असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

सबसे पहले अपना सारा ध्यान केंद्रित करें और कोशिश करें कि इस असमानता में दिए गए परिवर्तनों को करते समय गलती न करें। साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि ऐसी असमानताओं को हल करते समय, ODZ असमानता के विस्तार और संकुचन को रोकना आवश्यक है, जिससे बाहरी समाधानों का नुकसान या अधिग्रहण हो सकता है।

दूसरे, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, आपको तार्किक रूप से सोचना सीखना होगा और असमानताओं की एक प्रणाली और असमानताओं के एक सेट के रूप में ऐसी अवधारणाओं के बीच अंतर को समझना होगा, ताकि आप आसानी से एक असमानता के समाधान का चयन कर सकें, जबकि इसके डीएचएस द्वारा निर्देशित किया जा सके।

तीसरा, ऐसी असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आप में से प्रत्येक को प्राथमिक कार्यों के सभी गुणों को अच्छी तरह से जानना चाहिए और उनके अर्थ को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए। इस तरह के कार्यों में न केवल लॉगरिदमिक, बल्कि तर्कसंगत, शक्ति, त्रिकोणमितीय, आदि भी शामिल हैं, एक शब्द में, वे सभी जो आपने पूरे अध्ययन में पढ़े हैं शिक्षाबीजगणित।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदमिक असमानताओं के विषय का अध्ययन करने के बाद, इन असमानताओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बशर्ते कि आप अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए चौकस और लगातार हों। असमानताओं को हल करने में किसी भी समस्या से बचने के लिए, आपको जितना संभव हो सके प्रशिक्षित करने, विभिन्न कार्यों को हल करने और साथ ही ऐसी असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के मुख्य तरीकों को याद करने की आवश्यकता है। लघुगणकीय असमानताओं के असफल समाधानों के साथ, आपको अपनी गलतियों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना चाहिए ताकि आप भविष्य में उन पर दोबारा न लौटें।

गृहकार्य

विषय को बेहतर ढंग से आत्मसात करने और कवर की गई सामग्री के समेकन के लिए, निम्नलिखित असमानताओं को हल करें:

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उनके साथ लॉगरिदम के अंदर हैं।

उदाहरण:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \(˅\) का अर्थ है कोई भी )। यह फ़ॉर्म हमें लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जो कि लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता को पारित करके, \(f(x) ˅ g(x)\) के रूप में है।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\(-\) अगर - एक संख्या और यह 1 से अधिक है - संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\(-\) यदि आधार 0 से बड़ा लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच) है, तो असमानता चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए, यानी।

उदाहरण:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ओडीजेड: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(एक्स<8\)

समाधान:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\)
ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\)

समाधान:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
उत्तर: \((2;5]\)

बहुत ज़रूरी!किसी भी असमानता में, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log\)\(≤-1\)

समाधान:

\(\लकड़ी का लट्ठा\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं।
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	हम तुलना चिह्न को उलटने के लिए याद करते हुए असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं।
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि इस तथ्य के बावजूद कि असमानता सख्त नहीं है, हर से बिंदु पंचर है। तथ्य यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि असमानता में प्रतिस्थापित होने पर, यह हमें शून्य से विभाजित करने के लिए प्रेरित करेगा।
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।
	अंतिम उत्तर लिखिए।

उत्तर: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

समाधान:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(x>0\)	आइए समाधान पर आते हैं।
समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	हमसे पहले एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। हम कर।
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।
\(डी=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((टी+1)(टी-2)>0\)
	अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पास करते हैं, जिसका एक ही समाधान है, और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) टी>2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	ट्रांसफ़ॉर्म \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्रित) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के आधार \(1\) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आकृति में संयोजित करें।
	आइए उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)