लघुगणक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम। लघुगणकीय असमानताएँ

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लॉगरिदमिक असमानताओं की पूरी विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से शायद ही कभी स्कूल में पढ़ाया जाता है:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) - g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

जैकडॉ "∨" के बजाय, आप कोई भी असमानता चिन्ह लगा सकते हैं: अधिक या कम। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन जब लघुगणक को हटाते हैं, तो अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक के ODZ को भूल गए हैं, तो मैं दृढ़ता से इसे दोहराने की सलाह देता हूं - देखें "लघुगणक क्या है"।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित सब कुछ अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

च(एक्स) > 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; के (एक्स) ≠ 1।

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल जाती है, तो यह एक तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ इसे पार करने के लिए बनी हुई है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता को हल करें:

सबसे पहले, लघुगणक का ODZ लिखते हैं:

पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से की जाती हैं, और अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य है यदि और केवल यदि संख्या स्वयं शून्य है, तो हमारे पास:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0।

यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लॉगरिदमिक असमानता से तर्कसंगत एक में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न होता है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। अपने पास:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

इस व्यंजक के शून्य: x = 3; एक्स = -3; x = 0। इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इसके पास से गुजरने पर, फ़ंक्शन का चिन्ह नहीं बदलता है। अपने पास:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) प्राप्त होता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में निहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लॉगरिदमिक असमानताओं का परिवर्तन

अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों के अनुसार इसे ठीक करना आसान है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को दिए गए आधार के लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणकों के योग और अंतर को एकल लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में अलग से याद दिलाना चाहता हूं। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का DPV ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODZ ज्ञात करें;
2. लघुगणकों को जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. उपरोक्त योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता को हल करें:

प्रथम लघुगणक की परिभाषा का प्रांत (ODZ) ज्ञात कीजिए:

हम अंतराल विधि से हल करते हैं। अंश के शून्य का पता लगाना:

3x - 2 = 0;
एक्स = 2/3।

तब - भाजक के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1।

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिन्ह अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) प्राप्त होता है। ODZ का दूसरा लघुगणक समान होगा। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप जांच कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक से पहले के त्रिगुण सिकुड़ गए हैं। से हमें दो लघुगणक प्राप्त हुए हैं एक ही आधार. आइए उन्हें एक साथ रखें:

लॉग 2 (एक्स - 1) 2< 2;
लॉग 2 (एक्स - 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की है। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं। चूंकि मूल असमानता में एक से कम चिह्न है, परिणामी परिमेय व्यंजक भी शून्य से कम होना चाहिए। अपने पास:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 - 2x - 3< 0;
(एक्स - 3) (एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उत्तर उम्मीदवार: x ∈ (−1; 3)।

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें असली जवाब मिलता है:

हम सेट के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतराल चुनते हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु पंक्चर हो जाते हैं।

लघुगणकीय असमानताएँ

पिछले पाठों में, हम लघुगणकीय समीकरणों से परिचित हुए और अब हम जानते हैं कि वे क्या हैं और उन्हें कैसे हल करना है। और आज का पाठ लघुगणकीय असमानताओं के अध्ययन के लिए समर्पित होगा। ये असमानताएँ क्या हैं और एक लघुगणकीय समीकरण और असमानताओं को हल करने में क्या अंतर है?

लघुगणकीय असमानताएँ वे असमानताएँ होती हैं जिनमें लघुगणक के चिह्न के नीचे या उसके आधार पर एक चर होता है।

या, कोई यह भी कह सकता है कि एक लघुगणकीय असमानता एक असमानता है जिसमें इसका अज्ञात मान, जैसा कि लघुगणकीय समीकरण में होता है, लघुगणक के चिन्ह के नीचे होगा।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएँ इस तरह दिखती हैं:

जहाँ f(x) और g(x) कुछ व्यंजक हैं जो x पर निर्भर करते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके देखें: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि जब उन्हें हल किया जाता है, तो वे समान होती हैं घातीय असमानताएँ, अर्थात्:

सबसे पहले, लघुगणक से लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत व्यंजकों की ओर बढ़ते समय, हमें लघुगणक के आधार की एक के साथ तुलना करने की भी आवश्यकता होती है;

दूसरे, चरों के परिवर्तन का उपयोग करते हुए लघुगणकीय असमानता को हल करते समय, हमें परिवर्तन के संबंध में असमानताओं को तब तक हल करने की आवश्यकता होती है जब तक कि हमें सबसे सरल असमानता न मिल जाए।

लेकिन यह हम ही थे जिन्होंने लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के समान क्षणों पर विचार किया। अब आइए एक महत्वपूर्ण अंतर देखें। आप और मैं जानते हैं कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा का एक सीमित डोमेन है, इसलिए लॉगरिदम से लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत आने वाले भावों की ओर बढ़ते समय, आपको स्वीकार्य मानों (ODV) की सीमा को ध्यान में रखना होगा।

अर्थात्, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय, हम पहले समीकरण की जड़ों को खोज सकते हैं और फिर इस समाधान की जाँच कर सकते हैं। लेकिन लघुगणकीय असमानता को हल करना इस तरह से काम नहीं करेगा, क्योंकि लघुगणक से लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत व्यंजकों की ओर जाने पर, असमानता के ODZ को लिखना आवश्यक होगा।

इसके अलावा, यह याद रखने योग्य है कि असमानताओं के सिद्धांत में वास्तविक संख्याएँ होती हैं, जो सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएँ होती हैं, साथ ही संख्या 0 भी होती है।

उदाहरण के लिए, जब संख्या "ए" सकारात्मक है, तो निम्न संकेतन का उपयोग किया जाना चाहिए: ए> 0। इस स्थिति में, ऐसी संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों ही धनात्मक होंगे।

असमानता को हल करने का मूल सिद्धांत इसे सरल असमानता से बदलना है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह दी गई असमानता के बराबर है। इसके अलावा, हमने एक असमानता भी प्राप्त की और इसे फिर से एक से बदल दिया जिसका एक सरल रूप है, और इसी तरह।

एक चर के साथ असमानताओं को हल करते हुए, आपको इसके सभी समाधान खोजने होंगे। यदि दो असमिकाओं का चर x समान है, तो ऐसी असमिकाएँ समतुल्य होती हैं, बशर्ते कि उनके हल समान हों।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्य करते समय, यह याद रखना आवश्यक है कि जब a> 1 होता है, तो लघुगणकीय कार्य बढ़ता है, और जब 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के तरीके

आइए अब कुछ ऐसी विधियों को देखें जो लघुगणकीय असमिकाओं को हल करने में अपनाई जाती हैं। बेहतर समझ और आत्मसात करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।

हम जानते हैं कि सबसे सरल लघुगणकीय असमानता के निम्नलिखित रूप हैं:

इस असमानता में, V - इस तरह की असमानता के संकेतों में से एक है:<,>, ≤ या ≥।

जब इस लघुगणक का आधार एक (a>1) से अधिक होता है, तो लघुगणक से लघुगणक चिह्न के अंतर्गत व्यंजकों में परिवर्तन करते हुए, तब इस संस्करण में असमानता चिह्न संरक्षित रहता है, और असमानता इस तरह दिखाई देगी:

जो निम्न प्रणाली के बराबर है:

मामले में जब लघुगणक का आधार शून्य से अधिक और एक से कम (0

यह इस प्रणाली के बराबर है:

आइए नीचे दी गई तस्वीर में दिखाई गई सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के और उदाहरण देखें:

उदाहरणों का समाधान

व्यायाम।आइए इस असमानता को हल करने का प्रयास करें:

स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र का निर्णय।

अब इसके दाहिने पक्ष को इससे गुणा करने का प्रयास करते हैं:

आइए देखें कि हम क्या कर सकते हैं:

अब, उपलघुगणकीय व्यंजकों के रूपांतरण की ओर बढ़ते हैं। चूँकि लघुगणक का आधार 0 है< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
एक्स > 8।

और इससे यह पता चलता है कि हमने जो अंतराल प्राप्त किया है वह पूरी तरह से ओडीजेड से संबंधित है और ऐसी असमानता का समाधान है।

यहाँ हमें उत्तर मिला है:

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए क्या आवश्यक है?

अब आइए विश्लेषण करने का प्रयास करें कि लॉगरिदमिक असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

सबसे पहले, अपना सारा ध्यान केंद्रित करें और इस असमानता में दिए गए परिवर्तनों को करते समय गलतियाँ न करने का प्रयास करें। इसके अलावा, यह याद रखना चाहिए कि ऐसी असमानताओं को हल करते समय, ODZ असमानता के विस्तार और संकीर्णता को रोकना आवश्यक है, जिससे बाहरी समाधानों का नुकसान या अधिग्रहण हो सकता है।

दूसरे, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, आपको तार्किक रूप से सोचने और असमानताओं की एक प्रणाली और असमानताओं के एक सेट के रूप में इस तरह की अवधारणाओं के बीच के अंतर को समझने की आवश्यकता है, ताकि आप आसानी से असमानता के समाधान का चयन कर सकें, जबकि इसके डीएचएस द्वारा निर्देशित किया जा सके।

तीसरा, इस तरह की असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आप में से प्रत्येक को प्राथमिक कार्यों के सभी गुणों को अच्छी तरह से जानना चाहिए और उनके अर्थ को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए। इस तरह के कार्यों में न केवल लघुगणक, बल्कि तर्कसंगत, शक्ति, त्रिकोणमितीय आदि भी शामिल हैं, एक शब्द में, वे सभी जिनका आपने अध्ययन किया है शिक्षाबीजगणित।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणकीय असमानताओं के विषय का अध्ययन करने के बाद, इन असमानताओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बशर्ते कि आप अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए चौकस और लगातार हों। ताकि असमानताओं को हल करने में कोई समस्या न हो, आपको जितना संभव हो उतना प्रशिक्षित करने, विभिन्न कार्यों को हल करने और साथ ही ऐसी असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के मुख्य तरीकों को याद करने की आवश्यकता है। लघुगणकीय असमानताओं के असफल समाधान के साथ, आपको अपनी गलतियों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना चाहिए ताकि आप भविष्य में फिर से उनके पास न लौटें।

गृहकार्य

विषय के बेहतर समावेश और शामिल सामग्री के समेकन के लिए, निम्नलिखित असमानताओं को हल करें:

एक असमानता को लघुगणक कहा जाता है यदि इसमें एक लघुगणकीय कार्य होता है।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के तरीके दो चीजों को छोड़कर से अलग नहीं हैं।

सबसे पहले, जब लॉगरिदमिक असमानता से असमानता के तहत गुजरते हैं लघुगणकीय कार्यचाहिए परिणामी असमानता के चिह्न का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है।

यदि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लॉगरिदमिक असमानता से सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की असमानता में जाने पर, असमानता चिह्न संरक्षित रहता है, और यदि यह $1$ से कम है, तो इसे उल्टा कर दिया जाता है।

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लॉगरिदमिक कार्यों की असमानता के समाधान के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता की असमानता होगी सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, और दूसरा लॉगरिदमिक असमानता में शामिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की परिभाषा के डोमेन का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिन्ह नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \में )